Gjetja e vëllimit të një trupi rrotullues duke përdorur një integral të caktuar. II

Vëllimi i një trupi rrotullues mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Në formulë, numri duhet të jetë i pranishëm para integralit. Kështu ndodhi - gjithçka që rrotullohet në jetë është e lidhur me këtë konstante.

Unë mendoj se është e lehtë të merret me mend se si të vendosen kufijtë e integrimit "a" dhe "të jenë" nga vizatimi i përfunduar.

Funksioni... çfarë është ky funksion? Le të shohim vizatimin. Figura e rrafshët është e kufizuar nga grafiku i parabolës në krye. Ky është funksioni që nënkuptohet në formulë.

Në detyrat praktike, një figurë e sheshtë ndonjëherë mund të vendoset nën bosht. Kjo nuk ndryshon asgjë - funksioni në formulë është në katror: , pra vëllimi i një trupi revolucioni është gjithmonë jo negativ, që është shumë logjike.

Le të llogarisim vëllimin e një trupi rrotullues duke përdorur këtë formulë:

Siç e kam vërejtur tashmë, integrali pothuajse gjithmonë rezulton i thjeshtë, gjëja kryesore është të jesh i kujdesshëm.

Përgjigje:

Në përgjigjen tuaj, duhet të tregoni dimensionin - njësitë kub. Kjo do të thotë, në trupin tonë të rrotullimit ka afërsisht 3.35 "kube". Pse kub njësi? Sepse formulimi më universal. Mund të ketë centimetra kub, mund të ketë metra kub, mund të ketë kilometra kub, etj., ja sa njerëz të gjelbër mund të vendosë imagjinata juaj në një disk fluturues.

Shembulli 2

Gjeni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të kufizuar me vija,

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Le të shqyrtojmë dy probleme më komplekse, të cilat gjithashtu hasen shpesh në praktikë.

Shembulli 3

Llogaritni vëllimin e trupit të përftuar duke u rrotulluar rreth boshtit të abshisës së figurës së kufizuar nga vijat , dhe

Zgjidhja: Le të përshkruajmë në vizatim një figurë të sheshtë të kufizuar nga vijat , , , , pa harruar se ekuacioni përcakton boshtin:

Figura e dëshiruar është e hijezuar në blu. Kur rrotullohet rreth boshtit të tij, rezulton të jetë një donut surreal me katër cepa.

Le të llogarisim vëllimin e trupit të revolucionit si dallimi në vëllimet e trupave.

Së pari, le të shohim figurën e rrethuar me të kuqe. Kur rrotullohet rreth një boshti, fitohet një kon i cunguar. Le të shënojmë vëllimin e këtij koni të cunguar me .

Konsideroni figurën që është rrethuar në të gjelbër. Nëse e rrotulloni këtë figurë rreth boshtit, do të merrni gjithashtu një kon të cunguar, vetëm pak më të vogël. Le ta shënojmë vëllimin e tij me .

Dhe, padyshim, ndryshimi në vëllime është pikërisht vëllimi i "donut" tonë.

Ne përdorim formulën standarde për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

1) Figura e rrethuar me të kuqe kufizohet sipër me një vijë të drejtë, prandaj:

2) Figura e rrethuar në të gjelbër kufizohet sipër me një vijë të drejtë, prandaj:

3) Vëllimi i trupit të dëshiruar të rrotullimit:

Përgjigje:

Është interesante që në këtë rast zgjidhja mund të kontrollohet duke përdorur formulën e shkollës për llogaritjen e vëllimit të një koni të cunguar.

Vetë vendimi shpesh shkruhet më shkurt, diçka si kjo:

Tani le të pushojmë pak dhe t'ju tregojmë për iluzionet gjeometrike.

Njerëzit shpesh kanë iluzione të lidhura me vëllime, të cilat u vunë re nga Perelman (jo ai) në libër. Gjeometri argëtuese. Shikoni figurën e sheshtë në problemin e zgjidhur - duket se është i vogël në sipërfaqe, dhe vëllimi i trupit të revolucionit është pak më shumë se 50 njësi kub, gjë që duket shumë e madhe. Nga rruga, një person mesatar pi ekuivalentin e një dhome prej 18 metrash katrorë lëng gjatë gjithë jetës së tij, e cila, përkundrazi, duket një vëllim shumë i vogël.

Në përgjithësi, sistemi arsimor në BRSS ishte vërtet më i miri. I njëjti libër i Perelman, i shkruar prej tij në vitin 1950, zhvillohet shumë mirë, siç tha humoristi, të menduarit dhe mëson të kërkojë zgjidhje origjinale, jo standarde për problemet. Kohët e fundit i rilexova disa nga kapitujt me shumë interes, e rekomandoj, është i arritshëm edhe për humanistët. Jo, nuk keni nevojë të buzëqeshni se ju ofrova një kohë të lirë, erudicioni dhe horizonte të gjera në komunikim janë një gjë e shkëlqyer.

Pas një digresioni lirik, është thjesht e përshtatshme të zgjidhet një detyrë krijuese:

Shembulli 4

Llogaritni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të sheshtë të kufizuar nga vijat , , ku .

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Ju lutemi vini re se të gjitha gjërat ndodhin në grup, me fjalë të tjera, janë dhënë kufij praktikisht të gatshëm të integrimit. Gjithashtu përpiquni të vizatoni saktë grafikët e funksioneve trigonometrike nëse argumenti ndahet me dy: atëherë grafikët shtrihen dy herë përgjatë boshtit; Mundohuni të gjeni të paktën 3-4 pikë sipas tabelave trigonometrike dhe plotësoni më saktë vizatimin. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit. Nga rruga, detyra mund të zgjidhet në mënyrë racionale dhe jo shumë racionale.

Llogaritja e vëllimit të një trupi të formuar nga rrotullimi
figurë e sheshtë rreth një boshti

Paragrafi i dytë do të jetë edhe më interesant se i pari. Detyra e llogaritjes së vëllimit të një trupi rrotullues rreth boshtit të ordinatave është gjithashtu një mysafir mjaft i zakonshëm në punën testuese. Gjatë rrugës do të konsiderohet problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure metoda e dytë është integrimi përgjatë boshtit, kjo do t'ju lejojë jo vetëm të përmirësoni aftësitë tuaja, por gjithashtu do t'ju mësojë të gjeni rrugën e zgjidhjes më fitimprurëse. Ka edhe një kuptim praktik të jetës në këtë! Ndërsa mësuesja ime për metodat e mësimdhënies së matematikës kujtoi me një buzëqeshje, shumë maturantë e falënderuan atë me fjalët: "Lënda juaj na ndihmoi shumë, tani jemi menaxherë efektivë dhe menaxhojmë në mënyrë optimale stafin". Duke shfrytëzuar këtë rast, i shpreh edhe mirënjohjen time të madhe, veçanërisht pasi njohuritë e marra i përdor për qëllimin e synuar =).

Shembulli 5

Jepet një figurë e sheshtë e kufizuar nga vijat , , .

1) Gjeni sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar nga këto vija.
2) Gjeni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth boshtit.

Kujdes! Edhe nëse doni të lexoni vetëm pikën e dytë, së pari Domosdoshmërisht lexo të parën!

Zgjidhja: Detyra përbëhet nga dy pjesë. Le të fillojmë me sheshin.

1) Le të bëjmë një vizatim:

Është e lehtë të shihet se funksioni specifikon degën e sipërme të parabolës, dhe funksioni specifikon degën e poshtme të parabolës. Para nesh është një parabolë e parëndësishme që "shtrihet në anën e saj".

Figura e dëshiruar, sipërfaqja e së cilës duhet të gjendet, është e hijezuar në ngjyrë blu.

Si të gjeni sipërfaqen e një figure? Mund të gjendet në mënyrën "e zakonshme", e cila u diskutua në klasë Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure. Për më tepër, sipërfaqja e figurës gjendet si shuma e sipërfaqeve:
- në segment ;
- në segment.

Kjo është arsyeja pse:

Pse zgjidhja e zakonshme është e keqe në këtë rast? Së pari, ne morëm dy integrale. Së dyti, integralet janë rrënjë, dhe rrënjët në integrale nuk janë dhuratë, dhe përveç kësaj, mund të ngatërrohesh në zëvendësimin e kufijve të integrimit. Në fakt, integralet, natyrisht, nuk janë vrasës, por në praktikë gjithçka mund të jetë shumë më e trishtuar, thjesht zgjodha funksione "më të mira" për problemin.

Ekziston një zgjidhje më racionale: ajo konsiston në kalimin në funksione të anasjellta dhe integrimin përgjatë boshtit.

Si të arrijmë te funksionet e anasjellta? Përafërsisht, ju duhet të shprehni "x" përmes "y". Së pari, le të shohim parabolën:

Kjo është e mjaftueshme, por le të sigurohemi që i njëjti funksion mund të rrjedhë nga dega e poshtme:

Është më e lehtë me një vijë të drejtë:

Tani shikoni boshtin: ju lutemi anoni periodikisht kokën në të djathtë 90 gradë ndërsa shpjegoni (kjo nuk është shaka!). Shifra që na nevojitet qëndron në segmentin, i cili tregohet nga vija e kuqe me pika. Në këtë rast, në segment vija e drejtë ndodhet mbi parabolën, që do të thotë se zona e figurës duhet të gjendet duke përdorur formulën tashmë të njohur për ju: . Çfarë ka ndryshuar në formulë? Vetëm një letër dhe asgjë më shumë.

! Shënim: Kufijtë e integrimit përgjatë boshtit duhet të vendosen rreptësisht nga poshtë lart!

Gjetja e zonës:

Prandaj, në segment:

Ju lutemi vini re se si e realizova integrimin, kjo është mënyra më racionale, dhe në paragrafin tjetër të detyrës do të jetë e qartë pse.

Për lexuesit që dyshojnë në korrektësinë e integrimit, do të gjej derivate:

Funksioni origjinal i integrandit është marrë, që do të thotë se integrimi është kryer në mënyrë korrekte.

Përgjigje:

2) Le të llogarisim vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i kësaj figure rreth boshtit.

Unë do ta rivizatoj vizatimin në një dizajn paksa të ndryshëm:

Pra, figura e hijezuar në blu rrotullohet rreth boshtit. Rezultati është një "flutur pezull" që rrotullohet rreth boshtit të saj.

Për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues, ne do të integrojmë përgjatë boshtit. Së pari duhet të kalojmë te funksionet e anasjellta. Kjo tashmë është bërë dhe përshkruar në detaje në paragrafin e mëparshëm.

Tani e përkulim kokën përsëri në të djathtë dhe studiojmë figurën tonë. Natyrisht, vëllimi i një trupi rrotullues duhet të gjendet si ndryshim në vëllime.

E rrotullojmë figurën e rrethuar me të kuqe rreth boshtit, duke rezultuar në një kon të cunguar. Le ta shënojmë këtë vëllim me .

Ne e rrotullojmë figurën e rrethuar në të gjelbër rreth boshtit dhe e shënojmë atë me vëllimin e trupit që rezulton i rrotullimit.

Vëllimi i fluturës sonë është i barabartë me ndryshimin në vëllime.

Ne përdorim formulën për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

Cili është ndryshimi nga formula në paragrafin e mëparshëm? Vetëm në letër.

Por avantazhi i integrimit, për të cilin fola kohët e fundit, është shumë më i lehtë për t'u gjetur , në vend që së pari të ngrihet integranti në fuqinë e 4-të.

Përgjigje:

Sidoqoftë, jo një flutur e sëmurë.

Ju lutemi vini re se nëse e njëjta figurë e sheshtë rrotullohet rreth boshtit, do të merrni një trup rrotullimi krejtësisht të ndryshëm, me një vëllim të ndryshëm, natyrisht.

Shembulli 6

Jepet një figurë e sheshtë e kufizuar me vija dhe një bosht.

1) Shkoni te funksionet e anasjellta dhe gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar nga këto rreshta duke u integruar mbi ndryshoren.
2) Llogaritni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth boshtit.

Përdorimi i integraleve për të gjetur vëllimet e trupave të revolucionit

Dobia praktike e matematikës është për faktin se pa

Njohuritë specifike matematikore e bëjnë të vështirë kuptimin e parimeve të pajisjes dhe përdorimin e teknologjisë moderne. Çdo person në jetën e tij duhet të kryejë llogaritje mjaft komplekse, të përdorë pajisjet e përdorura zakonisht, të gjejë formulat e nevojshme në librat e referencës dhe të krijojë algoritme të thjeshta për zgjidhjen e problemeve. Në shoqërinë moderne, gjithnjë e më shumë specialitete që kërkojnë një nivel të lartë arsimimi shoqërohen me aplikimin e drejtpërdrejtë të matematikës. Kështu, matematika bëhet një lëndë e rëndësishme profesionalisht për një student. Roli kryesor i përket matematikës në formimin e të menduarit algoritmik, ajo zhvillon aftësinë për të vepruar sipas një algoritmi të caktuar dhe për të ndërtuar algoritme të reja.

Gjatë studimit të temës së përdorimit të integralit për llogaritjen e vëllimeve të trupave të revolucionit, unë sugjeroj që studentët në klasat me zgjedhje të marrin në konsideratë temën: "Vëllimet e trupave të revolucionit duke përdorur integrale". Më poshtë janë rekomandimet metodologjike për shqyrtimin e kësaj teme:

1. Sipërfaqja e një figure të sheshtë.

Nga kursi i algjebrës dimë se problemet e natyrës praktike çuan në konceptin e një integrali të caktuar..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues të formuar nga rrotullimi i një trapezi lakor rreth boshtit Ox, i kufizuar nga një vijë e thyer y=f(x), boshti Ox, drejtëza x=a dhe x=b, ne llogarisim duke përdorur formulën

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.Vëllimi i cilindrit.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Koni fitohet duke rrotulluar trekëndëshin kënddrejtë ABC(C=90) rreth boshtit Ox në të cilin shtrihet këmba AC.

Segmenti AB shtrihet në vijën e drejtë y=kx+c, ku https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Le të a=0, b=H (H është lartësia e konit), pastaj Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5.Vëllimi i një koni të cunguar.

Një kon i cunguar mund të merret duke rrotulluar një trapezoid drejtkëndor ABCD (CDOx) rreth boshtit Ox.

Segmenti AB shtrihet në drejtëzën y=kx+c, ku , c=r.

Meqenëse drejtëza kalon nëpër pikën A (0;r).

Kështu, vija e drejtë duket si https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Le të a=0, b=H (H është lartësia e konit të cunguar), pastaj https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Vëllimi i topit.

Topi mund të merret duke rrotulluar një rreth me qendër (0;0) rreth boshtit Ox. Gjysmërrethi i vendosur mbi boshtin Ox jepet nga ekuacioni

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues duke përdorur një integral të caktuar?

Përveç kësaj gjetja e sipërfaqes së një figure të rrafshët duke përdorur një integral të caktuar aplikimi më i rëndësishëm i temës është llogaritja e vëllimit të një trupi rrotullues. Materiali është i thjeshtë, por lexuesi duhet të jetë i përgatitur: duhet të jeni në gjendje të zgjidhni integrale të pacaktuara kompleksiteti mesatar dhe aplikoni formulën Newton-Leibniz në integral i caktuar . Ashtu si me problemin e gjetjes së zonës, keni nevojë për aftësi të sigurta vizatimi - kjo është pothuajse gjëja më e rëndësishme (pasi vetë integralet shpesh do të jenë të lehta). Ju mund të zotëroni teknikat kompetente dhe të shpejta të hartimit me ndihmën e materialit metodologjik . Por, në fakt, unë kam folur tashmë për rëndësinë e vizatimeve disa herë në klasë. .

Në përgjithësi, ka shumë aplikime interesante në llogaritjen integrale, duke përdorur një integral të caktuar, mund të llogarisni sipërfaqen e një figure, vëllimin e një trupi rrotullues, gjatësinë e një harku, sipërfaqen prej një trup dhe shumë më tepër. Kështu që do të jetë argëtuese, ju lutemi qëndroni optimistë!

Imagjinoni një figurë të sheshtë në planin koordinativ. prezantuar? ... Pyes veten se kush ka paraqitur çfarë ... =))) Ne kemi gjetur tashmë zonën e saj. Por, përveç kësaj, kjo shifër gjithashtu mund të rrotullohet dhe rrotullohet në dy mënyra:

– rreth boshtit x; – rreth boshtit të ordinatave.

Ky artikull do të shqyrtojë të dyja rastet. Metoda e dytë e rrotullimit është veçanërisht interesante, ajo shkakton më shumë vështirësi, por në fakt zgjidhja është pothuajse e njëjtë si në rrotullimin më të zakonshëm rreth boshtit x. Si bonus do të kthehem problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure , dhe unë do t'ju tregoj se si ta gjeni zonën në mënyrën e dytë - përgjatë boshtit. Nuk është aq shumë një bonus, pasi materiali përshtatet mirë me temën.

Le të fillojmë me llojin më të njohur të rrotullimit.

Shembulli 1

Llogaritni vëllimin e një trupi që përftohet duke rrotulluar një figurë të kufizuar me vija rreth një boshti.

Zgjidhja: Si në problemin e gjetjes së zonës, zgjidhja fillon me një vizatim të një figure të sheshtë. Kjo do të thotë, në një aeroplan është e nevojshme të ndërtohet një figurë e kufizuar nga vija, dhe mos harroni se ekuacioni përcakton boshtin. Si të përfundoni një vizatim në mënyrë më efikase dhe më të shpejtë mund të gjendet në faqe Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare Dhe Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure . Ky është një kujtesë kineze dhe në këtë pikë nuk do të ndalem më tej.

Vizatimi këtu është mjaft i thjeshtë:

Figura e sheshtë e dëshiruar është e hijezuar në ngjyrë blu, është ajo që rrotullohet rreth boshtit. Si rezultat i rrotullimit, rezultati është një disk fluturues pak vezak që është simetrik rreth boshtit. Në fakt, trupi ka një emër matematikor, por unë jam shumë dembel të shikoj në librin e referencës, kështu që ne vazhdojmë.

Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues?

Vëllimi i një trupi rrotullues mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Në formulë, numri duhet të jetë i pranishëm para integralit. Kështu ndodhi - gjithçka që rrotullohet në jetë është e lidhur me këtë konstante.

Unë mendoj se është e lehtë të merret me mend se si të vendosen kufijtë e integrimit "a" dhe "të jenë" nga vizatimi i përfunduar.

Funksioni... çfarë është ky funksion? Le të shohim vizatimin. Figura e sheshtë kufizohet nga grafiku i parabolës në krye. Ky është funksioni që nënkuptohet në formulë.

Në detyrat praktike, një figurë e sheshtë ndonjëherë mund të vendoset nën bosht. Kjo nuk ndryshon asgjë - funksioni në formulë është në katror: kështu vëllimi i një trupi revolucioni është gjithmonë jo negativ, që është shumë logjike.

Le të llogarisim vëllimin e një trupi rrotullues duke përdorur këtë formulë:

Siç e kam vërejtur tashmë, integrali pothuajse gjithmonë rezulton i thjeshtë, gjëja kryesore është të jesh i kujdesshëm.

Përgjigje:

Shembulli 2

Gjeni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të kufizuar me vija,

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Le të shqyrtojmë dy probleme më komplekse, të cilat gjithashtu hasen shpesh në praktikë.

Shembulli 3

Llogaritni vëllimin e trupit të marrë duke u rrotulluar rreth boshtit të abshisës së figurës së kufizuar nga vijat , dhe

Zgjidhja: Le të përshkruajmë në vizatim një figurë të sheshtë të kufizuar nga vijat ,,,, pa harruar se ekuacioni përcakton boshtin:

Figura e dëshiruar është e hijezuar në blu. Kur rrotullohet rreth boshtit të tij, rezulton të jetë një donut surreal me katër cepa.

Le të llogarisim vëllimin e trupit të revolucionit si dallimi në vëllimet e trupave.

Së pari, le të shohim figurën e rrethuar me të kuqe. Kur rrotullohet rreth një boshti, fitohet një kon i cunguar. Le të shënojmë vëllimin e këtij koni të cunguar me.

Dhe, padyshim, ndryshimi në vëllime është pikërisht vëllimi i "donut" tonë.

Ne përdorim formulën standarde për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

1) Figura e rrethuar me të kuqe kufizohet sipër me një vijë të drejtë, prandaj:

2) Figura e rrethuar në të gjelbër kufizohet sipër me një vijë të drejtë, prandaj:

3) Vëllimi i trupit të dëshiruar të rrotullimit:

Përgjigje:

Është interesante që në këtë rast zgjidhja mund të kontrollohet duke përdorur formulën e shkollës për llogaritjen e vëllimit të një koni të cunguar.

Vetë vendimi shpesh shkruhet më shkurt, diçka si kjo:

Tani le të pushojmë pak dhe t'ju tregojmë për iluzionet gjeometrike.

Pas një digresioni lirik, është thjesht e përshtatshme të zgjidhet një detyrë krijuese:

Shembulli 4

Llogaritni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të sheshtë të kufizuar me vija, ku.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Ju lutemi vini re se të gjitha gjërat ndodhin në grup, me fjalë të tjera, janë dhënë kufij praktikisht të gatshëm të integrimit. Përpiquni gjithashtu të vizatoni saktë grafikët e funksioneve trigonometrike nëse argumenti ndahet me dy: atëherë grafikët shtrihen përgjatë boshtit dy herë. Mundohuni të gjeni të paktën 3-4 pikë sipas tabelave trigonometrike dhe plotësoni më saktë vizatimin. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit. Nga rruga, detyra mund të zgjidhet në mënyrë racionale dhe jo shumë racionale.

Llogaritja e vëllimit të një trupi të formuar nga rrotullimi i një figure të sheshtë rreth një boshti

Shembulli 5

Jepet një figurë e sheshtë e kufizuar me vija ,,.

1) Gjeni sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar nga këto vija. 2) Gjeni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth boshtit.

Kujdes! Edhe nëse doni të lexoni vetëm pikën e dytë, së pari Domosdoshmërisht lexo të parën!

Zgjidhja: Detyra përbëhet nga dy pjesë. Le të fillojmë me sheshin.

1) Le të bëjmë një vizatim:

Figura e dëshiruar, sipërfaqja e së cilës duhet gjetur, është e hijezuar në ngjyrë blu.

Si të gjeni sipërfaqen e një figure? Mund të gjendet në mënyrën "e zakonshme", e cila u diskutua në klasë Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure . Për më tepër, sipërfaqja e figurës gjendet si shuma e sipërfaqeve: - në segment ; - në segment.

Kjo është arsyeja pse:

Ekziston një zgjidhje më racionale: ajo konsiston në kalimin në funksione të kundërta dhe integrimin përgjatë boshtit.

Si të arrijmë te funksionet e anasjellta? Përafërsisht, ju duhet të shprehni "x" përmes "y". Së pari, le të shohim parabolën:

Kjo është e mjaftueshme, por le të sigurohemi që i njëjti funksion mund të rrjedh nga dega e poshtme:

Është më e lehtë me një vijë të drejtë:

! Shënim: Kufijtë e integrimit përgjatë boshtit duhet të vendosenrreptësisht nga poshtë lart !

Gjetja e zonës:

Prandaj, në segment:

Ju lutemi vini re se si e realizova integrimin, kjo është mënyra më racionale, dhe në paragrafin tjetër të detyrës do të jetë e qartë pse.

Për lexuesit që dyshojnë në korrektësinë e integrimit, do të gjej derivate:

Funksioni origjinal i integrandit është marrë, që do të thotë se integrimi është kryer në mënyrë korrekte.

Përgjigje:

2) Le të llogarisim vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i kësaj figure rreth boshtit.

Unë do ta rivizatoj vizatimin në një dizajn paksa të ndryshëm:

Pra, figura e hijezuar në blu rrotullohet rreth boshtit. Rezultati është një "flutur pezull" që rrotullohet rreth boshtit të saj.

Tani e përkulim kokën përsëri në të djathtë dhe studiojmë figurën tonë. Natyrisht, vëllimi i një trupi rrotullues duhet të gjendet si ndryshim në vëllime.

E rrotullojmë figurën e rrethuar me të kuqe rreth boshtit, duke rezultuar në një kon të cunguar. Le ta shënojmë këtë vëllim me.

Ne e rrotullojmë figurën e rrethuar në të gjelbër rreth boshtit dhe e shënojmë me vëllimin e trupit që rezulton i rrotullimit.

Vëllimi i fluturës sonë është i barabartë me ndryshimin në vëllime.

Ne përdorim formulën për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

Cili është ndryshimi nga formula në paragrafin e mëparshëm? Vetëm në letër.

Por avantazhi i integrimit, për të cilin fola kohët e fundit, është shumë më i lehtë për t'u gjetur , në vend që së pari të ngrihet integranti në fuqinë e 4-të.

Tema: "Llogaritja e vëllimeve të trupave të revolucionit duke përdorur një integral të caktuar"

Lloji i mësimit: të kombinuara.

Qëllimi i mësimit: Mësoni të llogarisni vëllimet e trupave të rrotullimit duke përdorur integrale.

Detyrat:

të konsolidojë aftësinë për të identifikuar trapezoidët lakuar nga një numër figurash gjeometrike dhe të zhvillojë aftësinë e llogaritjes së zonave të trapezoidëve lakor;

të njihen me konceptin e një figure tredimensionale;

të mësojnë të llogaritin vëllimet e trupave të rrotullimit;

promovojnë zhvillimin e të menduarit logjik, fjalimin kompetent matematikor, saktësinë gjatë ndërtimit të vizatimeve;

për të kultivuar interes për lëndën, për të vepruar me koncepte dhe imazhe matematikore, për të kultivuar vullnet, pavarësi dhe këmbëngulje në arritjen e rezultatit përfundimtar.

Gjatë orëve të mësimit

I. Momenti organizativ.

Pershendetje nga grupi. T'u komunikoni nxënësve objektivat e mësimit.

Do të doja ta filloja mësimin e sotëm me një shëmbëlltyrë. “Njëherë e një kohë jetonte një njeri i mençur që dinte gjithçka. Një burrë donte të provonte se i urti nuk di gjithçka. Duke mbajtur një flutur në pëllëmbët e tij, ai pyeti: "Më thuaj, i urtë, cila flutur është në duart e mia: e vdekur apo e gjallë?" Dhe ai mendon: "Nëse i gjalli thotë, do ta vras, nëse i vdekuri thotë, do ta liroj". I urti, pasi u mendua, u përgjigj: "Gjithçka është në duart tuaja".

Prandaj, le të punojmë me fryt sot, të fitojmë një depo të re njohurish dhe aftësitë dhe aftësitë e fituara do t'i zbatojmë në jetën e ardhshme dhe në aktivitetet praktike "Gjithçka është në duart tuaja".

II. Përsëritja e materialit të studiuar më parë.

Le të kujtojmë pikat kryesore të materialit të studiuar më parë. Për ta bërë këtë, le të përfundojmë detyrën "Eliminoni fjalën shtesë".

(Studentët thonë një fjalë shtesë.)

E drejta "Diferencial". Mundohuni të emërtoni fjalët e mbetura me një fjalë të përbashkët. (Njehsimi integral.)

Le të kujtojmë fazat dhe konceptet kryesore që lidhen me llogaritjen integrale.

Ushtrimi. Rikuperoni boshllëqet. (Nxënësi del dhe shkruan fjalët e kërkuara me një shënues.)

Puna në fletore.

Formula Njuton-Leibniz është nxjerrë nga fizikani anglez Isaac Newton (1643-1727) dhe filozofi gjerman Gottfried Leibniz (1646-1716). Dhe kjo nuk është për t'u habitur, sepse matematika është gjuha e folur nga vetë natyra.

Le të shqyrtojmë se si përdoret kjo formulë për të zgjidhur problemet praktike.

Shembulli 1: Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Zgjidhja: Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve në planin koordinativ . Le të zgjedhim zonën e figurës që duhet të gjendet.

III. Mësimi i materialit të ri.

Kushtojini vëmendje ekranit. Çfarë tregohet në foton e parë? (Figura tregon një figurë të sheshtë.)

Çfarë tregohet në foton e dytë? A është e sheshtë kjo shifër? (Figura tregon një figurë tre-dimensionale.)

Në hapësirë, në tokë dhe në jetën e përditshme hasim jo vetëm figura të sheshta, por edhe tredimensionale, por si mund të llogarisim vëllimin e trupave të tillë? Për shembull: vëllimi i një planeti, komete, meteori etj.

Njerëzit mendojnë për vëllimin si kur ndërtojnë shtëpi ashtu edhe kur derdhin ujë nga një enë në tjetrën. Duhej të dilnin rregullat dhe teknikat për llogaritjen e vëllimeve, se sa të sakta dhe të justifikuara ishin ato.

Viti 1612 ishte shumë i frytshëm për banorët e qytetit austriak të Linzit, ku jetonte astronomi i njohur Johannes Kepler, veçanërisht për rrushin. Njerëzit po përgatisnin fuçi vere dhe donin të dinin se si të përcaktonin praktikisht vëllimet e tyre.

Kështu, veprat e konsideruara të Keplerit shënuan fillimin e një rryme të tërë kërkimesh që kulmoi në çerekun e fundit të shekullit të 17-të. dizajni në veprat e I. Newton dhe G.V. Lajbnici i njehsimit diferencial dhe integral. Që nga ajo kohë, matematika e variablave zuri një vend kryesor në sistemin e njohurive matematikore.

Sot ju dhe unë do të përfshihemi në aktivitete të tilla praktike, prandaj,

Tema e mësimit tonë: "Llogaritja e vëllimeve të trupave të revolucionit duke përdorur një integral të caktuar".

Ju do të mësoni përkufizimin e një trupi revolucioni duke plotësuar detyrën e mëposhtme.

"Labirinti".

Ushtrimi. Gjeni një rrugëdalje nga situata konfuze dhe shkruani përkufizimin.

IVLlogaritja e vëllimeve.

Duke përdorur një integral të caktuar, mund të llogarisni vëllimin e një trupi të caktuar, në veçanti, një trup revolucioni.

Një trup rrotullues është një trup i marrë duke rrotulluar një trapez të lakuar rreth bazës së tij (Fig. 1, 2)

Vëllimi i një trupi rrotullues llogaritet duke përdorur një nga formulat:

1. rreth boshtit OX.

2. , nëse rrotullimi i një trapezi të lakuar rreth boshtit të op-amp.

Nxënësit shënojnë formulat bazë në një fletore.

Mësuesi/ja shpjegon zgjidhjet e shembujve në tabelë.

1. Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit të ordinatave të një trapezi lakor të kufizuar me vija: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Zgjidhje.

Përgjigje: 1163 cm3.

2. Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi i një trapezi parabolik rreth boshtit x y = , x = 4, y = 0.

Zgjidhje.

V. Simulator matematike.

2. Bashkësia e të gjithë antiderivave të një funksioni të caktuar quhet

A) një integral i pacaktuar,

B) funksioni,

B) diferencimi.

7. Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit të abshisave të një trapezi lakor të kufizuar me vija:

D/Z. Konsolidimi i materialit të ri

Llogaritni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i petalit rreth boshtit x y = x2, y2 = x.

Le të ndërtojmë grafikët e funksionit. y = x2, y2 = x. Le ta shndërrojmë grafikun y2 = x në formën y = .

Ne kemi V = V1 - V2 Le të llogarisim vëllimin e secilit funksion:

konkluzioni:

Integrali i caktuar është një bazë e caktuar për studimin e matematikës, e cila jep një kontribut të pazëvendësueshëm në zgjidhjen e problemeve praktike.

Tema “Integrali” tregon qartë lidhjen mes matematikës dhe fizikës, biologjisë, ekonomisë dhe teknologjisë.

Zhvillimi i shkencës moderne është i paimagjinueshëm pa përdorimin e integralit. Në këtë drejtim, është e nevojshme të fillohet studimi i tij në kuadër të arsimit të mesëm të specializuar!

VI. Notimi.(Me koment.)

I madhi Omar Khayyam - matematikan, poet, filozof. Ai na inkurajon që të jemi zotërues të fatit tonë. Le të dëgjojmë një fragment nga puna e tij:

Ju thoni, kjo jetë është një moment.
Vlerësoni atë, merrni frymëzim prej tij.
Si ta shpenzoni, ashtu do të kalojë.
Mos harroni: ajo është krijimi juaj.