Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni. Vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni Studimi i funksionit për konveksitetin dhe pikën e lakimit.

Koncepti i vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni.

Koncepti i vlerave më të mëdha dhe më të vogla është i lidhur ngushtë me konceptin e pikës kritike të një funksioni.

Përkufizimi 1

$x_0$ quhet pikë kritike e funksionit $f(x)$ nëse:

1) $x_0$ - pika e brendshme e domenit të përkufizimit;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ ose nuk ekziston.

Le të prezantojmë tani përkufizimet e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni.

Përkufizimi 2

Funksioni $y=f(x)$ i përcaktuar në intervalin $X$ arrin vlerën e tij maksimale nëse ka një pikë $x_0\në X$ e tillë që pabarazia të jetë e vlefshme për të gjithë $x\in X$

Përkufizimi 3

Një funksion $y=f(x)$ i përcaktuar në intervalin $X$ arrin vlerën e tij minimale nëse ka një pikë $x_0\në X$ e tillë që pabarazia të jetë e vlefshme për të gjithë $x\in X$

Teorema e Weierstrass-it mbi një funksion të vazhdueshëm në një interval

Le të prezantojmë fillimisht konceptin e një funksioni të vazhdueshëm në një interval:

Përkufizimi 4

Një funksion $f\left(x\right)$ thuhet se është i vazhdueshëm në intervalin $$ nëse është i vazhdueshëm në çdo pikë të intervalit $(a,b)$, dhe është gjithashtu i vazhdueshëm në të djathtë në pikën $x=a$ dhe në të majtë në pikën $x =b$.

Le të formulojmë një teoremë për një funksion të vazhdueshëm në një interval.

Teorema 1

Teorema e Weierstrass

Një funksion $f\left(x\right)$ që është i vazhdueshëm në një interval $$ arrin vlerat e tij maksimale dhe minimale në këtë interval, domethënë, ka pika $\alpha ,\beta \në $ të tilla që për të gjitha $x\in $ pabarazi $f(\alfa)\le f(x)\le f(\beta)$.

Interpretimi gjeometrik i teoremës është paraqitur në Figurën 1.

Këtu funksioni $f(x)$ arrin vlerën e tij minimale në pikën $x=\alpha $ arrin vlerën e tij maksimale në pikën $x=\beta $.

Skema për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksionit $f(x)$ në segmentin $$

1) Gjeni derivatin $f"(x)$;

2) Gjeni pikat në të cilat derivati ​​$f"\left(x\right)=0$;

3) Gjeni pikat në të cilat derivati ​​$f"(x)$ nuk ekziston;

4) Zgjidhni nga pikat e marra në hapat 2 dhe 3 ato që i përkasin segmentit $$;

5) Llogaritni vlerën e funksionit në pikat e marra në hapin 4, si dhe në skajet e segmentit $$;

6) Zgjidhni vlerën më të madhe dhe më të vogël nga vlerat e marra.

Problemet e gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një segment

Shembulli 1

Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit në segment: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Zgjidhje.

1) $f"\majtas(x\djathtas)=6x^2-30x+36$;

2) $f"\majtas(x\djathtas)=0$;

\ \ \

4) $2\në \majtas,\ 3\në $;

5) Vlerat:

\ \ \ \

6) Vlera më e madhe e gjetur është $33$, vlera më e vogël e gjetur është $1$. Kështu, marrim:

Përgjigje:$max=33,\ min=1$.

Shembulli 2

Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit në segment: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$

Zgjidhje.

Zgjidhjen do ta realizojmë sipas skemës së mësipërme.

1) $f"\majtas(x\djathtas)=3x^2-6x-45$;

2) $f"\majtas(x\djathtas)=0$;

\ \ \

3) $f"(x)$ ekziston në të gjitha pikat e domenit të përkufizimit;

4) $-3\jonë \majtas,\ 5\në $;

5) Vlerat:

\ \ \

6) Vlera më e madhe e gjetur është 225$, vlera më e vogël e gjetur është 50$. Kështu, marrim:

Përgjigje:$max=225,\ min=50$.

Shembulli 3

Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit në intervalin [-2,2]: $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$

Zgjidhje.

Zgjidhjen do ta realizojmë sipas skemës së mësipërme.

1) $f"\majtas(x\djathtas)=\frac(\majtas(2x-6\djathtas)\majtas(x-1\djathtas)-(x^2-6x+9))((x- 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)$;

2) $f"\majtas(x\djathtas)=0$;

\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \ \

3) $f"(x)$ nuk ekziston në pikën $x=1$

4) $3\jonë \majtas[-2,2\djathtas],\ -1\në \majtas[-2,2\djathtas],\ 1\në \majtas[-2,2\djathtas]$, megjithatë 1 nuk i përket fushës së përkufizimit;

5) Vlerat:

\ \ \

6) Vlera më e madhe e gjetur është $1$, vlera më e vogël e gjetur është $-8\frac(1)(3)$. Kështu, marrim: \end(numerate)

Përgjigje:$max=1,\min==-8\frac(1)(3)$.

Në detyrën B14 nga Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë, duhet të gjeni vlerën më të vogël ose më të madhe të një funksioni të një ndryshoreje. Ky është një problem mjaft i parëndësishëm nga analiza matematikore dhe është për këtë arsye që çdo maturant mund dhe duhet të mësojë ta zgjidhë atë normalisht. Le të shohim disa shembuj që nxënësit e shkollës zgjidhën gjatë punës diagnostikuese në matematikë, të mbajtur në Moskë më 7 dhjetor 2011.

Në varësi të intervalit mbi të cilin dëshironi të gjeni vlerën maksimale ose minimale të një funksioni, një nga algoritmet standarde të mëposhtme përdoret për të zgjidhur këtë problem.

I. Algoritmi për gjetjen e vlerës më të madhe ose më të vogël të një funksioni në një segment:

• Gjeni derivatin e funksionit.
• Zgjidhni nga pikat që dyshohet se janë ekstreme ato që i përkasin segmentit dhe fushës së caktuar të përkufizimit të funksionit.
• Llogaritni vlerat funksione(jo derivat!) në këto pika.
• Ndër vlerat e marra, zgjidhni më të madhin ose më të vogël, do të jetë ai i dëshiruari.

Shembulli 1. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit
y = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 në segment.

Zgjidhja: Ne ndjekim algoritmin për gjetjen e vlerës më të vogël të një funksioni në një segment:

• Shtrirja e një funksioni nuk është e kufizuar: D(y) = R.
• Derivati ​​i funksionit është i barabartë me: ju = 3x 2 – 36x+ 81. Fusha e përkufizimit të derivatit të një funksioni gjithashtu nuk është e kufizuar: D(y') = R.
• Zerot e derivatit: ju = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, që do të thotë x 2 – 12x+ 27 = 0, prej nga x= 3 dhe x= 9, intervali ynë përfshin vetëm x= 9 (një pikë e dyshimtë për një ekstrem).
• Ne e gjejmë vlerën e funksionit në një pikë të dyshimtë për një ekstrem dhe në skajet e hendekut. Për lehtësinë e llogaritjes, ne e paraqesim funksionin në formën: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
  • y(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
  • y(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
  • y(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Pra, nga vlerat e marra, më e vogla është 23. Përgjigje: 23.

II. Algoritmi për gjetjen e vlerës më të madhe ose më të vogël të një funksioni:

• Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit.
• Gjeni derivatin e funksionit.
• Identifikoni pikat e dyshimta për ekstremin (ato pika në të cilat derivati ​​i funksionit zhduket dhe pikat në të cilat nuk ka derivat të fundëm të dyanshëm).
• Shënoni këto pika dhe fushën e përcaktimit të funksionit në vijën numerike dhe përcaktoni shenjat derivatore(jo funksione!) në intervalet që rezultojnë.
• Përcaktoni vlerat funksione(jo derivati!) në pikat minimale (ato pika në të cilat shenja e derivatit ndryshon nga minus në plus), më e vogla nga këto vlera do të jetë vlera më e vogël e funksionit. Nëse nuk ka pikë minimale, atëherë funksioni nuk ka një vlerë minimale.
• Përcaktoni vlerat funksione(jo derivati!) në pikat maksimale (ato pika në të cilat shenja e derivatit ndryshon nga plus në minus), më e madhja nga këto vlera do të jetë vlera më e madhe e funksionit. Nëse nuk ka pikë maksimale, atëherë funksioni nuk ka vlerën më të madhe.

Shembulli 2. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit.

Nga pikëpamja praktike, interesi më i madh është përdorimi i derivatit për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni. Me çfarë lidhet kjo? Maksimizimi i fitimeve, minimizimi i kostove, përcaktimi i ngarkesës optimale të pajisjeve... Me fjalë të tjera, në shumë fusha të jetës ne duhet të zgjidhim problemet e optimizimit të disa parametrave. Dhe këto janë detyrat për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni.

Duhet të theksohet se vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni zakonisht kërkohen në një interval të caktuar X, i cili është ose i gjithë domeni i funksionit ose pjesë e fushës së përkufizimit. Vetë intervali X mund të jetë një segment, një interval i hapur , një interval i pafund.

Në këtë artikull do të flasim për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të specifikuar në mënyrë eksplicite të një ndryshoreje y=f(x).

Navigimi i faqes.

Vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni - përkufizime, ilustrime.

Le të shohim shkurtimisht përkufizimet kryesore.

Vlera më e madhe e funksionit atë për këdo pabarazia është e vërtetë.

Vlera më e vogël e funksionit y=f(x) në intervalin X quhet vlerë e tillë atë për këdo pabarazia është e vërtetë.

Këto përkufizime janë intuitive: vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni është vlera më e madhe (më e vogël) e pranuar në intervalin në shqyrtim në abshisë.

Pikat e palëvizshme- këto janë vlerat e argumentit në të cilin derivati ​​i funksionit bëhet zero.

Pse na duhen pikat stacionare kur gjejmë vlerat më të mëdha dhe më të vogla? Përgjigjen për këtë pyetje e jep teorema e Fermatit. Nga kjo teoremë del se nëse një funksion i diferencueshëm ka një ekstrem (minimum lokal ose maksimum lokal) në një pikë, atëherë kjo pikë është e palëvizshme. Kështu, funksioni shpesh merr vlerën e tij më të madhe (më të vogël) në intervalin X në një nga pikat stacionare nga ky interval.

Gjithashtu, një funksion shpesh mund të marrë vlerat e tij më të mëdha dhe më të vogla në pikat në të cilat derivati ​​i parë i këtij funksioni nuk ekziston dhe vetë funksioni është i përcaktuar.

Le t'i përgjigjemi menjëherë një prej pyetjeve më të zakonshme në këtë temë: "A është gjithmonë e mundur të përcaktohet vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni"? Jo jo gjithmonë. Ndonjëherë kufijtë e intervalit X përkojnë me kufijtë e fushës së përcaktimit të funksionit, ose intervali X është i pafund. Dhe disa funksione në pafundësi dhe në kufijtë e fushës së përkufizimit mund të marrin vlera pafundësisht të mëdha dhe pafundësisht të vogla. Në këto raste, nuk mund të thuhet asgjë për vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit.

Për qartësi, ne do të japim një ilustrim grafik. Shikoni fotot dhe shumëçka do të bëhet më e qartë.

Në segmentin

Në figurën e parë, funksioni merr vlerat më të mëdha (max y) dhe më të vogla (min y) në pikat stacionare të vendosura brenda segmentit [-6;6].

Konsideroni rastin e paraqitur në figurën e dytë. Le ta ndryshojmë segmentin në . Në këtë shembull, vlera më e vogël e funksionit arrihet në një pikë të palëvizshme, dhe më e madhja në pikën me abshisën që korrespondon me kufirin e djathtë të intervalit.

Në figurën 3, pikat kufitare të segmentit [-3;2] janë abshisat e pikave që korrespondojnë me vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit.

Në një interval të hapur

Në figurën e katërt, funksioni merr vlerat më të mëdha (max y) dhe më të vogla (min y) në pikat stacionare të vendosura brenda intervalit të hapur (-6;6).

Në intervalin , nuk mund të nxirren përfundime për vlerën më të madhe.

Në pafundësi

Në shembullin e paraqitur në figurën e shtatë, funksioni merr vlerën më të madhe (max y) në një pikë të palëvizshme me abshisë x=1, dhe vlera më e vogël (min y) arrihet në kufirin e djathtë të intervalit. Në minus pafundësi, vlerat e funksionit i afrohen asimptotikisht y=3.

Gjatë intervalit, funksioni nuk arrin as vlerën më të vogël dhe as më të madhe. Ndërsa x=2 afrohet nga e djathta, vlerat e funksionit priren në minus pafundësi (rreshti x=2 është një asimptotë vertikale), dhe ndërsa abshisa tenton në plus pafundësi, vlerat e funksionit i afrohen asimptotikisht y=3. Një ilustrim grafik i këtij shembulli është paraqitur në Figurën 8.

Algoritmi për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të vazhdueshëm në një segment.

Le të shkruajmë një algoritëm që na lejon të gjejmë vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një segment.

1. Gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit dhe kontrollojmë nëse ai përmban të gjithë segmentin.
2. I gjejmë të gjitha pikat në të cilat derivati ​​i parë nuk ekziston dhe që përmbahen në segment (zakonisht pika të tilla gjenden në funksionet me argument nën shenjën e modulit dhe në funksionet e fuqisë me një eksponent thyesor-racional). Nëse nuk ka pika të tilla, atëherë kaloni në pikën tjetër.
3. Ne përcaktojmë të gjitha pikat stacionare që bien brenda segmentit. Për ta bërë këtë, ne e barazojmë atë me zero, zgjidhim ekuacionin që rezulton dhe zgjedhim rrënjët e përshtatshme. Nëse nuk ka pika të palëvizshme ose asnjëra prej tyre nuk bie në segment, atëherë kaloni në pikën tjetër.
4. Ne llogarisim vlerat e funksionit në pikat e zgjedhura të palëvizshme (nëse ka), në pikat në të cilat derivati ​​i parë nuk ekziston (nëse ka), si dhe në x=a dhe x=b.
5. Nga vlerat e marra të funksionit, ne zgjedhim më të madhin dhe më të voglin - ato do të jenë respektivisht vlerat më të mëdha dhe më të vogla të kërkuara të funksionit.

Le të analizojmë algoritmin për zgjidhjen e një shembulli për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një segment.

Shembull.

Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni

• në segment;
• në segmentin [-4;-1].

Zgjidhje.

Fusha e përkufizimit të një funksioni është tërësia e numrave realë, me përjashtim të zeros, d.m.th. Të dy segmentet bien në domenin e përkufizimit.

Gjeni derivatin e funksionit në lidhje me:

Natyrisht, derivati ​​i funksionit ekziston në të gjitha pikat e segmenteve dhe [-4;-1].

Ne përcaktojmë pikat stacionare nga ekuacioni. Rrënja e vetme reale është x=2. Kjo pikë e palëvizshme bie në segmentin e parë.

Për rastin e parë, ne llogarisim vlerat e funksionit në skajet e segmentit dhe në pikën e palëvizshme, domethënë për x=1, x=2 dhe x=4:

Prandaj, vlera më e madhe e funksionit arrihet në x=1, dhe vlera më e vogël – në x=2.

Për rastin e dytë, ne llogarisim vlerat e funksionit vetëm në skajet e segmentit [-4;-1] (pasi nuk përmban një pikë të vetme të palëvizshme):

Zgjidhje.

Le të fillojmë me domenin e funksionit. Trinomi katror në emëruesin e thyesës nuk duhet të zhduket:

Është e lehtë të kontrollohet që të gjitha intervalet nga deklarata e problemit i përkasin domenit të përkufizimit të funksionit.

Le të dallojmë funksionin:

Natyrisht, derivati ​​ekziston në të gjithë fushën e përkufizimit të funksionit.

Le të gjejmë pika të palëvizshme. Derivati ​​shkon në zero në . Kjo pikë e palëvizshme bie brenda intervaleve (-3;1] dhe (-3;2).

Tani mund të krahasoni rezultatet e marra në çdo pikë me grafikun e funksionit. Vijat blu me pika tregojnë asimptota.

Në këtë pikë mund të përfundojmë me gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksionit. Algoritmet e diskutuara në këtë artikull ju lejojnë të merrni rezultate me një minimum veprimesh. Sidoqoftë, mund të jetë e dobishme që së pari të përcaktohen intervalet e funksioneve në rritje dhe në ulje dhe vetëm pas kësaj të nxirren përfundime për vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në çdo interval. Kjo jep një pasqyrë më të qartë dhe justifikim rigoroz për rezultatet.

Ndonjëherë në problemet B15 ka funksione "të këqija" për të cilat është e vështirë të gjesh një derivat. Më parë, kjo ndodhte vetëm gjatë testeve të mostrës, por tani këto detyra janë aq të zakonshme sa nuk mund të injorohen më gjatë përgatitjes për Provimin e vërtetë të Unifikuar të Shtetit.

Në këtë rast funksionojnë teknika të tjera, njëra prej të cilave është monotone.

Një funksion f (x) thuhet se është në rritje monotonike në segment nëse për çdo pikë x 1 dhe x 2 të këtij segmenti vlen sa vijon:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Funksioni f (x) thuhet se zvogëlohet në mënyrë monotonike në segment nëse për çdo pikë x 1 dhe x 2 të këtij segmenti vlen sa vijon:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Me fjalë të tjera, për një funksion në rritje, sa më i madh x, aq më i madh f(x). Për një funksion në rënie, e kundërta është e vërtetë: sa më i madh x, aq më pak f(x).

Për shembull, logaritmi rritet në mënyrë monotonike nëse baza a > 1, dhe monotonisht zvogëlohet nëse 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Rrënja katrore aritmetike (dhe jo vetëm katrore) rritet në mënyrë monotone në të gjithë domenin e përkufizimit:

Funksioni eksponencial sillet në mënyrë të ngjashme me logaritmin: rritet për një > 1 dhe zvogëlohet për 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Së fundi, gradë me një eksponent negativ. Mund t'i shkruani si thyesë. Ata kanë një pikë pushimi ku prishet monotonia.

Të gjitha këto funksione nuk gjenden kurrë në formën e tyre të pastër. Ata shtojnë polinome, thyesa dhe marrëzi të tjera, gjë që e bën të vështirë llogaritjen e derivatit. Le të shohim se çfarë ndodh në këtë rast.

Koordinatat e kulmit të parabolës

Më shpesh, argumenti i funksionit zëvendësohet me trinomi kuadratik të formës y = sëpatë 2 + bx + c. Grafiku i tij është një parabolë standarde në të cilën ne jemi të interesuar:

1. Degët e një parabole mund të shkojnë lart (për një > 0) ose poshtë (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Kulmi i një parabole është pika ekstreme e një funksioni kuadratik në të cilin ky funksion merr minimumin e tij (për një > 0) ose maksimumin (a< 0) значение.

Me interesin më të madh është kulmi i parabolës, abshisa e së cilës llogaritet me formulën:

Pra, kemi gjetur pikën ekstreme të funksionit kuadratik. Por nëse funksioni origjinal është monoton, për të pika x 0 do të jetë gjithashtu një pikë ekstreme. Kështu, le të formulojmë rregullin kryesor:

Pikat ekstreme të një trinomi kuadratik dhe funksioni kompleks në të cilin ai përfshihet përkojnë. Prandaj, mund të kërkoni x 0 për një trinom kuadratik dhe të harroni funksionin.

Nga arsyetimi i mësipërm, mbetet e paqartë se cilën pikë marrim: maksimale apo minimale. Sidoqoftë, detyrat janë krijuar posaçërisht në mënyrë që kjo të mos ketë rëndësi. Gjykojeni vetë:

1. Nuk ka asnjë segment në deklaratën e problemit. Prandaj, nuk ka nevojë të llogaritet f(a) dhe f(b). Mbetet të merren parasysh vetëm pikat ekstreme;
2. Por ekziston vetëm një pikë e tillë - kjo është kulmi i parabolës x 0, koordinatat e së cilës llogariten fjalë për fjalë me gojë dhe pa asnjë derivat.

Kështu, zgjidhja e problemit thjeshtohet shumë dhe zbret në vetëm dy hapa:

1. Shkruani ekuacionin e parabolës y = ax 2 + bx + c dhe gjeni kulmin e saj duke përdorur formulën: x 0 = −b /2a ;
2. Gjeni vlerën e funksionit origjinal në këtë pikë: f (x 0). Nëse nuk ka kushte shtesë, kjo do të jetë përgjigja.

Në pamje të parë, ky algoritëm dhe arsyetimi i tij mund të duken të ndërlikuara. Unë qëllimisht nuk postoj një diagram zgjidhjeje "të zhveshur", pasi zbatimi i pamenduar i rregullave të tilla është i mbushur me gabime.

Le të shohim problemet reale nga testi i Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë - këtu gjendet më shpesh kjo teknikë. Në të njëjtën kohë do të sigurohemi që në këtë mënyrë shumë probleme B15 të bëhen pothuajse gojore.

Nën rrënjë ka një funksion kuadratik y = x 2 + 6x + 13. Grafiku i këtij funksioni është një parabolë me degëzime lart, pasi koeficienti a = 1 > 0.

Kulmi i parabolës:

x 0 = −b /(2a) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Meqenëse degët e parabolës janë të drejtuara lart, në pikën x 0 = −3 funksioni y = x 2 + 6x + 13 merr vlerën e tij minimale.

Rrënja rritet në mënyrë monotone, që do të thotë se x 0 është pika minimale e të gjithë funksionit. Ne kemi:

Detyrë. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Nën logaritëm ka përsëri një funksion kuadratik: y = x 2 + 2x + 9. Grafiku është një parabolë me degë lart, sepse a = 1 > 0.

Kulmi i parabolës:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Pra, në pikën x 0 = −1 funksioni kuadratik merr vlerën e tij minimale. Por funksioni y = log 2 x është monoton, kështu që:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponenti përmban funksionin kuadratik y = 1 − 4x − x 2 . Le ta rishkruajmë në formë normale: y = −x 2 − 4x + 1.

Natyrisht, grafiku i këtij funksioni është një parabolë, e degëzuar poshtë (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Funksioni origjinal është eksponencial, është monoton, kështu që vlera më e madhe do të jetë në pikën e gjetur x 0 = -2:

Një lexues i vëmendshëm ndoshta do të vërejë se ne nuk kemi shkruar gamën e vlerave të lejueshme të rrënjës dhe logaritmit. Por kjo nuk kërkohej: brenda ka funksione, vlerat e të cilave janë gjithmonë pozitive.

Pasojat nga fusha e një funksioni

Ndonjëherë thjesht gjetja e kulmit të parabolës nuk mjafton për të zgjidhur problemin B15. Vlera që kërkoni mund të gënjejë në fund të segmentit, dhe aspak në pikën ekstreme. Nëse problemi nuk specifikon fare një segment, shikoni varg vlerash të pranueshme funksioni origjinal. Gjegjësisht:

Ju lutemi vini re përsëri: zero mund të jetë fare mirë nën rrënjë, por kurrë në logaritëm ose emërues të një thyese. Le të shohim se si funksionon kjo me shembuj specifik:

Detyrë. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit:

Nën rrënjë është përsëri një funksion kuadratik: y = 3 − 2x − x 2 . Grafiku i tij është një parabolë, por degëzohet poshtë sepse a = -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Ne shkruajmë gamën e vlerave të lejuara (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Tani le të gjejmë kulmin e parabolës:

x 0 = −b /(2a) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Pika x 0 = −1 i përket segmentit ODZ - dhe kjo është mirë. Tani llogarisim vlerën e funksionit në pikën x 0, si dhe në skajet e ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Pra, morëm numrat 2 dhe 0. Na kërkohet të gjejmë më të madhin - ky është numri 2.

Detyrë. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Brenda logaritmit ekziston një funksion kuadratik y = 6x − x 2 − 5. Kjo është një parabolë me degë poshtë, por nuk mund të ketë numra negativë në logaritëm, kështu që ne shkruajmë ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Ju lutemi vini re: pabarazia është e rreptë, kështu që skajet nuk i përkasin ODZ. Kjo ndryshon logaritmin nga rrënja, ku skajet e segmentit na përshtaten mjaft mirë.

Ne po kërkojmë kulmin e parabolës:

x 0 = −b /(2a) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Kulmi i parabolës përshtatet sipas ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Por meqenëse nuk jemi të interesuar për skajet e segmentit, ne llogarisim vlerën e funksionit vetëm në pikën x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Në praktikë, është mjaft e zakonshme të përdoret derivati ​​për të llogaritur vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni. Ne e kryejmë këtë veprim kur kuptojmë se si të minimizojmë kostot, të rrisim fitimet, të llogarisim ngarkesën optimale në prodhim, etj., domethënë në rastet kur duhet të përcaktojmë vlerën optimale të një parametri. Për të zgjidhur në mënyrë korrekte probleme të tilla, duhet të kuptoni mirë se cilat janë vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni.

Në mënyrë tipike, ne i përcaktojmë këto vlera brenda një intervali të caktuar x, i cili nga ana tjetër mund të korrespondojë me të gjithë domenin e funksionit ose një pjesë të tij. Mund të jetë si një segment [a; b ] , dhe intervali i hapur (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), intervali i pafundëm (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) ose intervali i pafund - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Në këtë material do t'ju tregojmë se si të llogaritni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të përcaktuar në mënyrë eksplicite me një ndryshore y=f(x) y = f (x) .

Përkufizimet bazë

Le të fillojmë, si gjithmonë, me formulimin e përkufizimeve bazë.

Përkufizimi 1

Vlera më e madhe e funksionit y = f (x) në një interval të caktuar x është vlera m a x y = f (x 0) x ∈ X, e cila për çdo vlerë x x ∈ X, x ≠ x 0 bën pabarazinë f (x) ≤ f (x) e vlefshme 0) .

Përkufizimi 2

Vlera më e vogël e funksionit y = f (x) në një interval të caktuar x është vlera m i n x ∈ X y = f (x 0), e cila për çdo vlerë x ∈ X, x ≠ x 0 bën pabarazinë f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Këto përkufizime janë mjaft të qarta. Edhe më e thjeshtë, mund të themi këtë: vlera më e madhe e një funksioni është vlera e tij më e madhe në një interval të njohur në abscissa x 0, dhe më e vogla është vlera më e vogël e pranuar në të njëjtin interval në x 0.

Përkufizimi 3

Pikat stacionare janë ato vlera të argumentit të një funksioni në të cilin derivati ​​i tij bëhet 0.

Pse duhet të dimë se cilat janë pikat e palëvizshme? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, duhet të kujtojmë teoremën e Fermatit. Nga kjo rrjedh se një pikë e palëvizshme është pika në të cilën ndodhet ekstremi i funksionit të diferencueshëm (d.m.th., minimumi ose maksimumi i tij lokal). Rrjedhimisht, funksioni do të marrë vlerën më të vogël ose më të madhe në një interval të caktuar pikërisht në një nga pikat e palëvizshme.

Një funksion gjithashtu mund të marrë vlerën më të madhe ose më të vogël në ato pika në të cilat vetë funksioni është përcaktuar dhe derivati ​​i tij i parë nuk ekziston.

Pyetja e parë që lind gjatë studimit të kësaj teme: në të gjitha rastet a mund të përcaktojmë vlerën më të madhe apo më të vogël të një funksioni në një interval të caktuar? Jo, nuk mund ta bëjmë këtë kur kufijtë e një intervali të caktuar përkojnë me kufijtë e zonës së përkufizimit, ose nëse kemi të bëjmë me një interval të pafund. Ndodh gjithashtu që një funksion në një segment të caktuar ose në pafundësi të marrë vlera pafundësisht të vogla ose pafundësisht të mëdha. Në këto raste, nuk është e mundur të përcaktohet vlera më e madhe dhe/ose më e vogël.

Këto pika do të bëhen më të qarta pasi të përshkruhen në grafikët:

Figura e parë na tregon një funksion që merr vlerat më të mëdha dhe më të vogla (m a x y dhe m i n y) në pikat stacionare të vendosura në segmentin [-6; 6].

Le të shqyrtojmë në detaje rastin e treguar në grafikun e dytë. Le të ndryshojmë vlerën e segmentit në [1; 6 ] dhe gjejmë se vlera maksimale e funksionit do të arrihet në pikën me abshisën në kufirin e djathtë të intervalit, dhe minimumi - në pikën e palëvizshme.

Në figurën e tretë, abshisat e pikave përfaqësojnë pikat kufitare të segmentit [-3; 2]. Ato korrespondojnë me vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni të caktuar.

Tani le të shohim foton e katërt. Në të, funksioni merr m a x y (vlera më e madhe) dhe m i n y (vlera më e vogël) në pikat stacionare në intervalin e hapur (- 6; 6).

Nëse marrim intervalin [1; 6), atëherë mund të themi se vlera më e vogël e funksionit në të do të arrihet në një pikë të palëvizshme. Vlera më e madhe do të jetë e panjohur për ne. Funksioni mund të marrë vlerën e tij maksimale në x të barabartë me 6 nëse x = 6 i përkiste intervalit. Ky është pikërisht rasti i paraqitur në grafikun 5.

Në grafikun 6, ky funksion fiton vlerën e tij më të vogël në kufirin e djathtë të intervalit (- 3; 2 ], dhe ne nuk mund të nxjerrim përfundime të caktuara për vlerën më të madhe.

Në figurën 7 shohim se funksioni do të ketë m a x y në një pikë të palëvizshme që ka një abshisë të barabartë me 1. Funksioni do të arrijë vlerën e tij minimale në kufirin e intervalit në anën e djathtë. Në minus pafundësi, vlerat e funksionit do të afrohen asimptotikisht y = 3.

Nëse marrim intervalin x ∈ 2 ; + ∞ , atëherë do të shohim se funksioni i dhënë nuk do të marrë as vlerën më të vogël dhe as më të madhe. Nëse x tenton në 2, atëherë vlerat e funksionit do të priren në minus pafundësi, pasi vija e drejtë x = 2 është një asimptotë vertikale. Nëse abshisa tenton në plus pafundësi, atëherë vlerat e funksionit do të afrohen në mënyrë asimptotike y = 3. Ky është pikërisht rasti i paraqitur në Figurën 8.

Në këtë paragraf do të paraqesim sekuencën e veprimeve që duhet të kryhen për të gjetur vlerën më të madhe ose më të vogël të një funksioni në një segment të caktuar.

1. Së pari, le të gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit. Le të kontrollojmë nëse segmenti i specifikuar në kusht përfshihet në të.
2. Tani le të llogarisim pikat që përmban ky segment në të cilin derivati ​​i parë nuk ekziston. Më shpesh ato mund të gjenden në funksione, argumenti i të cilëve është shkruar nën shenjën e modulit, ose në funksionet e fuqisë, eksponenti i të cilëve është një numër racional thyesor.
3. Më pas, do të zbulojmë se cilat pika të palëvizshme do të bien në segmentin e dhënë. Për ta bërë këtë, duhet të llogarisni derivatin e funksionit, më pas ta barazoni me 0 dhe të zgjidhni ekuacionin që rezulton, dhe më pas të zgjidhni rrënjët e duhura. Nëse nuk marrim një pikë të vetme të palëvizshme ose ato nuk bien në segmentin e dhënë, atëherë kalojmë në hapin tjetër.
4. Ne përcaktojmë se çfarë vlerash do të marrë funksioni në pikat e dhëna stacionare (nëse ka), ose në ato pika në të cilat derivati ​​i parë nuk ekziston (nëse ka), ose llogarisim vlerat për x = a dhe x = b.
5. 5. Kemi një numër vlerash funksioni, nga të cilat tani duhet të zgjedhim më të madhin dhe më të voglin. Këto do të jenë vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit që duhet të gjejmë.

Le të shohim se si ta zbatojmë saktë këtë algoritëm kur zgjidhim probleme.

Shembulli 1

Kushti: jepet funksioni y = x 3 + 4 x 2. Përcaktoni vlerat e tij më të mëdha dhe më të vogla në segmentet [1; 4 ] dhe [ - 4 ; - 1 ] .

Zgjidhja:

Le të fillojmë duke gjetur domenin e përkufizimit të një funksioni të caktuar. Në këtë rast, do të jetë bashkësia e të gjithë numrave realë përveç 0. Me fjalë të tjera, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Të dy segmentet e specifikuar në kusht do të jenë brenda zonës së përkufizimit.

Tani ne llogarisim derivatin e funksionit sipas rregullit të diferencimit të thyesave:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Mësuam se derivati ​​i një funksioni do të ekzistojë në të gjitha pikat e segmenteve [1; 4 ] dhe [ - 4 ; - 1 ] .

Tani duhet të përcaktojmë pikat stacionare të funksionit. Le ta bëjmë këtë duke përdorur ekuacionin x 3 - 8 x 3 = 0. Ajo ka vetëm një rrënjë të vërtetë, e cila është 2. Do të jetë një pikë e palëvizshme e funksionit dhe do të bjerë në segmentin e parë [1; 4 ] .

Le të llogarisim vlerat e funksionit në skajet e segmentit të parë dhe në këtë pikë, d.m.th. për x = 1, x = 2 dhe x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Kemi gjetur se vlera më e madhe e funksionit m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 do të arrihet në x = 1, dhe m i vogël m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 - në x = 2.

Segmenti i dytë nuk përfshin një pikë të vetme të palëvizshme, kështu që ne duhet të llogarisim vlerat e funksionit vetëm në skajet e segmentit të caktuar:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Kjo do të thotë m a x y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Përgjigje: Për segmentin [1; 4 ] - m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3, për segmentin [-4; - 1 ] - m a x y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Shihni foton:

Para se të studioni këtë metodë, ju këshillojmë të rishikoni se si të llogaritni saktë kufirin e njëanshëm dhe kufirin në pafundësi, si dhe të mësoni metodat themelore për gjetjen e tyre. Për të gjetur vlerën më të madhe dhe/ose më të vogël të një funksioni në një interval të hapur ose të pafund, kryeni hapat e mëposhtëm me radhë.

1. Së pari ju duhet të kontrolloni nëse intervali i dhënë është një nëngrup i domenit të përkufizimit të këtij funksioni.
2. Le të përcaktojmë të gjitha pikat që përmbahen në intervalin e kërkuar dhe në të cilat derivati ​​i parë nuk ekziston. Ato zakonisht ndodhin për funksionet ku argumenti është i mbyllur në shenjën e modulit dhe për funksionet e fuqisë me një eksponent pjesshëm racional. Nëse këto pika mungojnë, atëherë mund të vazhdoni në hapin tjetër.
3. Tani le të përcaktojmë se cilat pika të palëvizshme do të bien brenda intervalit të dhënë. Së pari, barazojmë derivatin me 0, zgjidhim ekuacionin dhe zgjedhim rrënjët e përshtatshme. Nëse nuk kemi një pikë të vetme të palëvizshme ose ato nuk bien brenda intervalit të specifikuar, atëherë ne vazhdojmë menjëherë me veprime të mëtejshme. Ato përcaktohen nga lloji i intervalit.

• Nëse intervali është i formës [a; b) , atëherë duhet të llogarisim vlerën e funksionit në pikën x = a dhe kufirin e njëanshëm lim x → b - 0 f (x) .
• Nëse intervali ka formën (a; b ], atëherë duhet të llogarisim vlerën e funksionit në pikën x = b dhe kufirin e njëanshëm lim x → a + 0 f (x).
• Nëse intervali ka formën (a ; b), atëherë duhet të llogarisim kufijtë e njëanshëm lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
• Nëse intervali është i formës [a; + ∞), atëherë duhet të llogarisim vlerën në pikën x = a dhe kufirin në plus pafundësi lim x → + ∞ f (x) .
• Nëse intervali duket si (- ∞ ; b ] , ne llogarisim vlerën në pikën x = b dhe kufirin në minus pafundësi lim x → - ∞ f (x) .
• Nëse - ∞ ; b , atëherë konsiderojmë kufirin e njëanshëm lim x → b - 0 f (x) dhe kufirin në minus pafundësi lim x → - ∞ f (x)
• Nëse - ∞; + ∞ , atëherë marrim parasysh kufijtë në minus dhe plus pafundësi lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x).

1. Në fund, duhet të nxirrni një përfundim bazuar në vlerat dhe kufijtë e funksionit të marrë. Ka shumë opsione të disponueshme këtu. Pra, nëse kufiri i njëanshëm është i barabartë me minus pafundësi ose plus pafundësi, atëherë është menjëherë e qartë se asgjë nuk mund të thuhet për vlerat më të vogla dhe më të mëdha të funksionit. Më poshtë do të shohim një shembull tipik. Përshkrimet e hollësishme do t'ju ndihmojnë të kuptoni se çfarë është. Nëse është e nevojshme, mund të ktheheni te figurat 4 - 8 në pjesën e parë të materialit.

Gjendja: është dhënë funksioni y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Llogaritni vlerën e tij më të madhe dhe më të vogël në intervalet - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞, [4; + ∞).

Zgjidhje

Para së gjithash, gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit. Emëruesi i thyesës përmban një trinom kuadratik, i cili nuk duhet të kthehet në 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Ne kemi marrë domenin e përcaktimit të funksionit të cilit i përkasin të gjitha intervalet e specifikuara në kusht.

Tani le të dallojmë funksionin dhe të marrim:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Rrjedhimisht, derivatet e një funksioni ekzistojnë në të gjithë domenin e tij të përkufizimit.

Le të kalojmë në gjetjen e pikave të palëvizshme. Derivati ​​i funksionit bëhet 0 në x = - 1 2 . Kjo është një pikë e palëvizshme që shtrihet në intervalet (- 3 ; 1 ] dhe (- 3 ; 2) .

Le të llogarisim vlerën e funksionit në x = - 4 për intervalin (- ∞ ; - 4 ], si dhe kufirin në minus pafundësi:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Meqenëse 3 e 1 6 - 4 > - 1, do të thotë që m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Kjo nuk na lejon të përcaktojmë në mënyrë unike vlerën më të vogël të Funksioni Mund të konkludojmë vetëm se ka një kufizim më poshtë - 1, pasi është pikërisht kjo vlerë që funksioni i afrohet në mënyrë asimptotike në minus pafundësi.

E veçanta e intervalit të dytë është se nuk ka një pikë të vetme të palëvizshme dhe asnjë kufi të vetëm të rreptë në të. Rrjedhimisht, ne nuk do të jemi në gjendje të llogarisim as vlerën më të madhe ose më të vogël të funksionit. Pasi kemi përcaktuar kufirin në minus pafundësi dhe me argumentin që priret në - 3 në anën e majtë, marrim vetëm një interval vlerash:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Kjo do të thotë që vlerat e funksionit do të vendosen në intervalin - 1; +∞

Për të gjetur vlerën më të madhe të funksionit në intervalin e tretë, ne përcaktojmë vlerën e tij në pikën e palëvizshme x = - 1 2 nëse x = 1. Do të na duhet gjithashtu të dimë kufirin e njëanshëm për rastin kur argumenti priret në - 3 në anën e djathtë:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Doli se funksioni do të marrë vlerën më të madhe në një pikë të palëvizshme m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Sa i përket vlerës më të vogël, ne nuk mund ta përcaktojmë atë. Gjithçka që dimë , është prania e një kufiri më të ulët në - 4 .

Për intervalin (- 3 ; 2), merrni rezultatet e llogaritjes së mëparshme dhe llogaritni edhe një herë se me çfarë kufiri i njëanshëm është i barabartë kur prireni në 2 në anën e majtë:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Kjo do të thotë që m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, dhe vlera më e vogël nuk mund të përcaktohet, dhe vlerat e funksionit janë të kufizuara nga poshtë me numrin - 4 .

Bazuar në atë që morëm në dy llogaritjet e mëparshme, mund të themi se në intervalin [1; 2) funksioni do të marrë vlerën më të madhe në x = 1, por është e pamundur të gjendet më e vogla.

Në intervalin (2 ; + ∞) funksioni nuk do të arrijë as vlerën më të madhe dhe as vlerën më të vogël, d.m.th. do të marrë vlera nga intervali - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Pasi kemi llogaritur se sa do të jetë vlera e funksionit të barabartë me x = 4, zbulojmë se m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , dhe funksioni i dhënë në plus pafundësi do t'i afrohet asimptotikisht drejtëzës y = - 1 .

Le të krahasojmë atë që kemi marrë në çdo llogaritje me grafikun e funksionit të dhënë. Në figurë, asimptotat tregohen me vija me pika.

Kjo është gjithçka që donim t'ju tregonim për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni. Sekuencat e veprimeve që kemi dhënë do t'ju ndihmojnë të bëni llogaritjet e nevojshme sa më shpejt dhe thjesht. Por mbani mend se shpesh është e dobishme që së pari të zbuloni se në cilat intervale funksioni do të ulet dhe në cilin do të rritet, pas së cilës mund të nxirrni përfundime të mëtejshme. Në këtë mënyrë ju mund të përcaktoni më saktë vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit dhe të justifikoni rezultatet e marra.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter