Gjeni grafikun e figurës me vija të kufizuara. Integral i caktuar

Si të futni formula matematikore në një faqe interneti?

Nëse ndonjëherë ju duhet të shtoni një ose dy formula matematikore në një faqe interneti, atëherë mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është siç përshkruhet në artikull: formulat matematikore futen lehtësisht në faqe në formën e fotografive që gjenerohen automatikisht nga Wolfram Alpha . Përveç thjeshtësisë, kjo metodë universale do të ndihmojë në përmirësimin e dukshmërisë së faqes në motorët e kërkimit. Ajo ka funksionuar për një kohë të gjatë (dhe, mendoj, do të funksionojë përgjithmonë), por tashmë është e vjetëruar moralisht.

Nëse përdorni rregullisht formula matematikore në faqen tuaj, atëherë ju rekomandoj të përdorni MathJax - një bibliotekë speciale JavaScript që shfaq shënime matematikore në shfletuesit e internetit duke përdorur shënimin MathML, LaTeX ose ASCIIMathML.

Ka dy mënyra për të filluar përdorimin e MathJax: (1) duke përdorur një kod të thjeshtë, mund të lidhni shpejt një skript MathJax me faqen tuaj të internetit, i cili do të ngarkohet automatikisht nga një server në distancë në kohën e duhur (lista e serverëve); (2) shkarkoni skriptin MathJax nga një server në distancë në serverin tuaj dhe lidheni atë me të gjitha faqet e faqes tuaj. Metoda e dytë - më komplekse dhe kërkon kohë - do të përshpejtojë ngarkimin e faqeve të faqes suaj, dhe nëse serveri prind MathJax bëhet përkohësisht i padisponueshëm për ndonjë arsye, kjo nuk do të ndikojë në faqen tuaj në asnjë mënyrë. Pavarësisht këtyre avantazheve, unë zgjodha metodën e parë pasi është më e thjeshtë, më e shpejtë dhe nuk kërkon aftësi teknike. Ndiqni shembullin tim dhe në vetëm 5 minuta do të mund të përdorni të gjitha veçoritë e MathJax në faqen tuaj.

Ju mund të lidhni skriptin e bibliotekës MathJax nga një server në distancë duke përdorur dy opsione kodi të marra nga faqja kryesore e internetit e MathJax ose në faqen e dokumentacionit:

Një nga këto opsione kodi duhet të kopjohet dhe ngjitet në kodin e faqes tuaj të internetit, mundësisht midis etiketave dhe ose menjëherë pas etiketës. Sipas opsionit të parë, MathJax ngarkon më shpejt dhe ngadalëson faqen më pak. Por opsioni i dytë monitoron dhe ngarkon automatikisht versionet më të fundit të MathJax. Nëse futni kodin e parë, ai do të duhet të përditësohet periodikisht. Nëse futni kodin e dytë, faqet do të ngarkohen më ngadalë, por nuk do t'ju duhet të monitoroni vazhdimisht përditësimet e MathJax.

Mënyra më e lehtë për të lidhur MathJax është në Blogger ose WordPress: në panelin e kontrollit të faqes, shtoni një miniaplikacion të krijuar për të futur kodin JavaScript të palës së tretë, kopjoni në të versionin e parë ose të dytë të kodit të shkarkimit të paraqitur më sipër dhe vendoseni miniaplikacionin më afër. në fillim të shabllonit (nga rruga, kjo nuk është aspak e nevojshme, pasi skripti MathJax ngarkohet në mënyrë asinkrone). Kjo eshte e gjitha. Tani mësoni sintaksën e shënimit të MathML, LaTeX dhe ASCIIMathML dhe jeni gati të futni formula matematikore në faqet e internetit të faqes suaj.

Çdo fraktal ndërtohet sipas një rregulli të caktuar, i cili zbatohet vazhdimisht një numër të pakufizuar herë. Çdo kohë e tillë quhet përsëritje.

Algoritmi përsëritës për ndërtimin e një sfungjeri Menger është mjaft i thjeshtë: kubi origjinal me anën 1 ndahet me plane paralele me faqet e tij në 27 kube të barabartë. Një kub qendror dhe 6 kube ngjitur me të përgjatë fytyrave hiqen prej tij. Rezultati është një grup i përbërë nga 20 kube më të vegjël të mbetur. Duke bërë të njëjtën gjë me secilin prej këtyre kubeve, marrim një grup të përbërë nga 400 kube më të vegjël. Duke e vazhduar këtë proces pafundësisht, marrim një sfungjer Menger.

Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë aplikimet e llogaritjes integrale. Në këtë mësim do të analizojmë problemin tipik dhe më të zakonshëm - si të llogarisim sipërfaqen e një figure të rrafshët duke përdorur një integral të caktuar. Më në fund, ata që kërkojnë kuptim në matematikën e lartë - le ta gjejnë atë. Ju kurrë nuk e dini. Në jetën reale, do t'ju duhet të përafroni një komplot dacha duke përdorur funksione elementare dhe të gjeni zonën e saj duke përdorur një integral të caktuar.

Për të zotëruar me sukses materialin, duhet:

1) Kuptoni integralin e pacaktuar të paktën në një nivel të ndërmjetëm. Kështu, dummies duhet së pari të familjarizohen me mësimin Jo.

Në fakt, për të gjetur sipërfaqen e një figure, nuk ju nevojitet aq shumë njohuri për integralin e pacaktuar dhe të caktuar. Detyra "llogaritja e zonës duke përdorur një integral të caktuar" përfshin gjithmonë ndërtimin e një vizatimi, kështu që njohuritë dhe aftësitë tuaja në ndërtimin e vizatimeve do të jenë një pyetje shumë më e ngutshme. Në këtë drejtim, është e dobishme të rifreskoni memorien tuaj për grafikët e funksioneve themelore elementare dhe, së paku, të jeni në gjendje të ndërtoni një vijë të drejtë, parabolë dhe hiperbolë. Kjo mund të bëhet (për shumë, është e nevojshme) me ndihmën e materialit metodologjik dhe një artikulli mbi transformimet gjeometrike të grafikëve.

Në fakt, të gjithë kanë qenë të njohur me detyrën e gjetjes së zonës duke përdorur një integral të caktuar që në shkollë, dhe ne nuk do të shkojmë shumë më larg se programi shkollor. Ky artikull mund të mos kishte ekzistuar fare, por fakti është se problemi shfaqet në 99 raste nga 100, kur një student vuan nga një shkollë e urryer dhe zotëron me entuziazëm një kurs për matematikën e lartë.

Materialet e këtij seminari janë paraqitur thjesht, në detaje dhe me një minimum teorie.

Le të fillojmë me një trapez të lakuar.

Një trapez i lakuar është një figurë e sheshtë e kufizuar nga një bosht, vija të drejta dhe grafiku i një funksioni të vazhdueshëm në një segment që nuk ndryshon shenjë në këtë interval. Le të gjendet kjo shifër jo më pak boshti x:

Atëherë zona e trapezit lakor është numerikisht e barabartë me integralin e caktuar. Çdo integral i caktuar (që ekziston) ka një kuptim shumë të mirë gjeometrik. Në mësimin Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh Thashë se një integral i caktuar është një numër. Dhe tani është koha për të theksuar një tjetër fakt të dobishëm. Nga pikëpamja e gjeometrisë, integrali i caktuar është SIPËRMARRJA.

Kjo do të thotë, një integral i caktuar (nëse ekziston) korrespondon gjeometrikisht me sipërfaqen e një figure të caktuar. Për shembull, merrni parasysh integralin e caktuar. Integrandi përcakton një kurbë në rrafshin e vendosur mbi bosht (ata që dëshirojnë mund të bëjnë një vizatim), dhe vetë integrali i caktuar është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor përkatës.

Shembulli 1

Kjo është një deklaratë tipike e detyrës. Pika e parë dhe më e rëndësishme në vendim është vizatimi. Për më tepër, vizatimi duhet të ndërtohet SAKT.

Kur ndërtoni një vizatim, unë rekomandoj rendin e mëposhtëm: së pari, është më mirë të ndërtoni të gjitha linjat e drejta (nëse ka) dhe vetëm atëherë - parabolat, hiperbolat dhe grafikët e funksioneve të tjera. Është më fitimprurëse të ndërtohen grafikët e funksioneve në drejtim të pikës, teknika e ndërtimit të pikës mund të gjendet në materialin referues Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Aty mund të gjeni gjithashtu material shumë të dobishëm për mësimin tonë - si të ndërtoni shpejt një parabolë.

Në këtë problem, zgjidhja mund të duket kështu.
Le të vizatojmë vizatimin (vini re se ekuacioni përcakton boshtin):

Unë nuk do të hijesh trapezin e lakuar, këtu është e qartë se për cilën zonë po flasim. Zgjidhja vazhdon kështu:

Në segment, grafiku i funksionit ndodhet mbi bosht, prandaj:

Përgjigje:

Kush ka vështirësi në llogaritjen e integralit të caktuar dhe zbatimin e formulës Njuton-Leibniz , referojuni leksionit Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh.

Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. Në këtë rast, ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim "me sy" - mirë, do të jenë rreth 9, duket të jetë e vërtetë. Është absolutisht e qartë se nëse marrim, të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë është e qartë se diku është bërë një gabim - 20 qeliza padyshim nuk përshtaten në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja është negative, atëherë edhe detyra është zgjidhur gabimisht.

Shembulli 2

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija, , dhe bosht

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Çfarë duhet të bëni nëse një trapez i lakuar ndodhet nën bosht?

Shembulli 3

Llogaritni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat dhe boshtet e koordinatave.

Zgjidhja: Le të bëjmë një vizatim:

Nëse trapezi i lakuar ndodhet nën bosht (ose të paktën jo me lart boshti i dhënë), atëherë zona e saj mund të gjendet duke përdorur formulën:
Në këtë rast:

Kujdes! Dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:

1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni thjesht një integral të caktuar pa ndonjë kuptim gjeometrik, atëherë ai mund të jetë negativ.

2) Nëse ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar, atëherë zona është gjithmonë pozitive! Kjo është arsyeja pse minus shfaqet në formulën e sapo diskutuar.

Në praktikë, më shpesh figura është e vendosur në gjysmë rrafshin e sipërm dhe të poshtëm, dhe për këtë arsye, nga problemet më të thjeshta të shkollës kalojmë në shembuj më kuptimplotë.

Shembulli 4

Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar nga vijat, .

Zgjidhja: Së pari ju duhet të bëni një vizatim. Në përgjithësi, kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe vijës së drejtë. Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Metoda e parë është analitike. Ne zgjidhim ekuacionin:

Kjo do të thotë se kufiri i poshtëm i integrimit është, kufiri i sipërm i integrimit është.
Është më mirë, nëse është e mundur, të mos e përdorni këtë metodë.

Është shumë më fitimprurëse dhe më e shpejtë të ndërtosh linja pikë për pikë, dhe kufijtë e integrimit bëhen të qarta “vetëvetiu”. Teknika e ndërtimit në pikë për grafikë të ndryshëm diskutohet në detaje në ndihmën Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Sidoqoftë, metoda analitike e gjetjes së kufijve nganjëherë duhet të përdoret ende nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i detajuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm). Dhe ne gjithashtu do të shqyrtojmë një shembull të tillë.

Le t'i kthehemi detyrës sonë: është më racionale të ndërtojmë fillimisht një vijë të drejtë dhe vetëm më pas një parabolë. Le të bëjmë vizatimin:

E përsëris që kur ndërtohet në drejtim të pikës, kufijtë e integrimit më së shpeshti zbulohen "automatikisht".

Dhe tani formula e punës: Nëse në një segment një funksion i vazhdueshëm është më i madh ose i barabartë me ndonjë funksion të vazhdueshëm, atëherë sipërfaqja e figurës e kufizuar nga grafikët e këtyre funksioneve dhe linjat e drejta mund të gjendet duke përdorur formulën:

Këtu nuk keni më nevojë të mendoni se ku ndodhet figura - mbi bosht ose nën bosht, dhe, përafërsisht, është e rëndësishme se cili grafik është MË I LARTË (në raport me një grafik tjetër) dhe cili është MËPOSHT.

Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye është e nevojshme të zbritet nga

Zgjidhja e përfunduar mund të duket si kjo:

Shifra e dëshiruar kufizohet nga një parabolë sipër dhe një vijë e drejtë poshtë.
Në segment, sipas formulës përkatëse:

Përgjigje:

Në fakt, formula e shkollës për sipërfaqen e një trapezi lakor në gjysmëplanin e poshtëm (shih shembullin e thjeshtë nr. 3) është një rast i veçantë i formulës . Meqenëse boshti specifikohet nga ekuacioni, dhe grafiku i funksionit është i vendosur jo me lart sëpata, atëherë

Dhe tani disa shembuj për zgjidhjen tuaj

Shembulli 5

Shembulli 6

Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat, .

Kur zgjidhni probleme që përfshijnë llogaritjen e sipërfaqes duke përdorur një integral të caktuar, ndonjëherë ndodh një incident qesharak. Vizatimi u bë saktë, llogaritjet ishin të sakta, por për shkak të pakujdesisë... u gjet zona e figurës së gabuar, pikërisht kështu gaboi disa herë shërbëtori juaj i përulur. Këtu është një rast real:

Shembulli 7

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat , , , .

Zgjidhja: Së pari, le të bëjmë një vizatim:

...Eh, vizatimi doli katrahurë, por gjithçka duket se është e lexueshme.

Figura, zona e së cilës duhet të gjejmë është e hijezuar në blu (shikoni me kujdes gjendjen - si është e kufizuar shifra!). Por në praktikë, për shkak të pavëmendjes, shpesh ndodh një "gabim" që ju duhet të gjeni zonën e një figure që është e hijezuar në të gjelbër!

Ky shembull është gjithashtu i dobishëm në atë që llogarit sipërfaqen e një figure duke përdorur dy integrale të përcaktuara. Vërtet:

1) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një vije të drejtë;

2) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një hiperbole.

Është mjaft e qartë se zonat mund (dhe duhet) të shtohen, prandaj:

Përgjigje:

Le të kalojmë në një detyrë tjetër kuptimplote.

Shembulli 8

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija,
Le t'i paraqesim ekuacionet në formën "shkollë" dhe të bëjmë një vizatim pikë për pikë:

Nga vizatimi duket qartë se kufiri ynë i sipërm është "i mirë": .
Por cili është kufiri i poshtëm?! Është e qartë se ky nuk është një numër i plotë, por çfarë është? Ndoshta ? Por ku është garancia që vizatimi të jetë bërë me saktësi të përsosur, mund të rezultojë se... Ose rrënja. Po sikur ta ndërtojmë grafikun gabimisht?

Në raste të tilla, duhet të shpenzoni kohë shtesë dhe të sqaroni kufijtë e integrimit në mënyrë analitike.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të një drejtëze dhe një parabole.
Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin:

,

Vërtet,.

Zgjidhja e mëtejshme është e parëndësishme, gjëja kryesore është të mos ngatërroheni në zëvendësime dhe shenja, llogaritjet këtu nuk janë më të thjeshtat.

Në segment , sipas formulës përkatëse:

Përgjigje:

Epo, për të përfunduar mësimin, le të shohim dy detyra më të vështira.

Shembulli 9

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat, ,

Zgjidhja: Le ta përshkruajmë këtë figurë në vizatim.

Dreqin, harrova të firmosa orarin dhe, më falni, nuk doja ta ribëja foton. Jo një ditë vizatimi, me pak fjalë, sot është dita =)

Për ndërtimin pikë për pikë, duhet të dini pamjen e sinusoidit (dhe në përgjithësi është e dobishme të njihni grafikët e të gjitha funksioneve elementare), si dhe disa vlera të sinusit, ato mund të gjenden në tabelën trigonometrike. Në disa raste (si në këtë rast), është e mundur të ndërtohet një vizatim skematik, mbi të cilin grafikët dhe kufijtë e integrimit duhet të shfaqen në themel të saktë.

Këtu nuk ka probleme me kufijtë e integrimit, ato rrjedhin drejtpërdrejt nga kushti: "x" ndryshon nga zero në "pi". Le të marrim një vendim të mëtejshëm:

Në segment, grafiku i funksionit ndodhet mbi bosht, prandaj:

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë aplikimet e llogaritjes integrale. Në këtë mësim do të shikojmë problemin tipik dhe më të zakonshëm të llogaritjes së sipërfaqes së një figure të rrafshët duke përdorur një integral të caktuar. Më në fund, le ta gjejnë të gjithë ata që kërkojnë kuptim në matematikën e lartë. Ju kurrë nuk e dini. Në jetën reale, do t'ju duhet të përafroni një komplot dacha duke përdorur funksione elementare dhe të gjeni zonën e saj duke përdorur një integral të caktuar.

Për të zotëruar me sukses materialin, duhet:

1) Kuptoni integralin e pacaktuar të paktën në një nivel të ndërmjetëm. Kështu, bedelet duhet së pari të familjarizohen me mësimin e Tij.

2) Të jetë në gjendje të zbatojë formulën Njuton-Leibniz dhe të llogarisë integralin e caktuar. Ju mund të krijoni marrëdhënie të ngrohta miqësore me integrale të përcaktuara në faqen "Integrali i caktuar". Shembuj zgjidhjesh. Detyra "llogaritja e zonës duke përdorur një integral të caktuar" përfshin gjithmonë ndërtimin e një vizatimi, kështu që njohuritë dhe aftësitë tuaja për vizatim do të jenë gjithashtu një çështje e rëndësishme. Së paku, duhet të jeni në gjendje të ndërtoni një vijë të drejtë, parabolë dhe hiperbolë.

Le të fillojmë me një trapezoid të lakuar. Një trapez i lakuar është një figurë e sheshtë e kufizuar nga grafiku i një funksioni y = f(x), boshti OK dhe linjat x = a; x = b.

Sipërfaqja e një trapezi lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar

Çdo integral i caktuar (që ekziston) ka një kuptim shumë të mirë gjeometrik. Në mësimin Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh thamë se një integral i caktuar është një numër. Dhe tani është koha për të theksuar një tjetër fakt të dobishëm. Nga pikëpamja e gjeometrisë, integrali i caktuar është SIPËRMARRJA. Kjo do të thotë, një integral i caktuar (nëse ekziston) korrespondon gjeometrikisht me sipërfaqen e një figure të caktuar. Konsideroni integralin e caktuar

Integrand

përcakton një kurbë në aeroplan (mund të vizatohet nëse dëshironi), dhe vetë integrali i caktuar është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor përkatës.

Shembulli 1

, , , .

Kjo është një deklaratë tipike e detyrës. Pika më e rëndësishme në vendim është ndërtimi i vizatimit. Për më tepër, vizatimi duhet të ndërtohet SAKT.

Kur ndërtoni një vizatim, unë rekomandoj rendin e mëposhtëm: së pari, është më mirë të ndërtoni të gjitha linjat e drejta (nëse ka) dhe vetëm atëherë - parabolat, hiperbolat dhe grafikët e funksioneve të tjera. Teknika e ndërtimit me pikë mund të gjendet në materialin referues Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Aty mund të gjeni gjithashtu material shumë të dobishëm për mësimin tonë - si të ndërtoni shpejt një parabolë.

Në këtë problem, zgjidhja mund të duket kështu.

Le të bëjmë vizatimin (vini re se ekuacioni y= 0 specifikon boshtin OK):

Ne nuk do të hijeshojmë trapezin e lakuar këtu është e qartë se për cilën zonë po flasim. Zgjidhja vazhdon kështu:

Në segmentin [-2; 1] grafiku i funksionit y = x 2 + 2 të vendosura mbi bosht OK, Kjo është arsyeja pse:

Përgjigje:.

Kush ka vështirësi në llogaritjen e integralit të caktuar dhe zbatimin e formulës Njuton-Leibniz

Referojuni leksionit Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh. Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. Në këtë rast, ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim "me sy" - mirë, do të jenë rreth 9, duket të jetë e vërtetë. Është absolutisht e qartë se nëse marrim, të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë është e qartë se diku është bërë një gabim - 20 qeliza padyshim nuk përshtaten në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja është negative, atëherë edhe detyra është zgjidhur gabimisht.

Shembulli 2

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija xy = 4, x = 2, x= 4 dhe boshti OK.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Çfarë duhet të bëni nëse një trapez i lakuar ndodhet nën bosht OK?

Shembulli 3

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija y = e-x, x= 1 dhe boshtet e koordinatave.

Zgjidhja: Le të bëjmë një vizatim:

Nëse një trapez i lakuar është plotësisht i vendosur nën bosht OK, atëherë zona e saj mund të gjendet duke përdorur formulën:

Në këtë rast:

Kujdes! Dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:

1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni thjesht një integral të caktuar pa ndonjë kuptim gjeometrik, atëherë ai mund të jetë negativ.

Shembulli 4

Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar me vija y = 2x – x 2 , y = -x.

Zgjidhja: Së pari ju duhet të bëni një vizatim. Kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës y = 2x – x 2 dhe drejt y = -x. Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Metoda e parë është analitike. Ne zgjidhim ekuacionin:

Kjo do të thotë se kufiri i poshtëm i integrimit a= 0, kufiri i sipërm i integrimit b= 3. Shpesh është më fitimprurëse dhe më e shpejtë të ndërtosh linja pikë për pikë dhe kufijtë e integrimit bëhen të qarta “vetëvetiu”. Sidoqoftë, metoda analitike e gjetjes së kufijve nganjëherë duhet të përdoret ende nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i detajuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm). Le të kthehemi në detyrën tonë: është më racionale të ndërtojmë fillimisht një vijë të drejtë dhe vetëm më pas një parabolë. Le të bëjmë vizatimin:

Le të përsërisim se kur ndërtohet në drejtim të pikës, kufijtë e integrimit më së shpeshti përcaktohen "automatikisht".

Dhe tani formula e punës:

Nëse në segmentin [ a; b] disa funksione të vazhdueshme f(x) është më i madh ose i barabartë me disa funksione të vazhdueshme g(x), atëherë zona e figurës përkatëse mund të gjendet duke përdorur formulën:

Këtu nuk keni më nevojë të mendoni se ku ndodhet figura - mbi bosht apo nën bosht, por ajo që është e rëndësishme është se cili grafik është MË I LARTË (në raport me një grafik tjetër) dhe cili është MËPOSHT.

Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye nga 2 x – x 2 duhet të zbritet - x.

Zgjidhja e përfunduar mund të duket si kjo:

Shifra e dëshiruar është e kufizuar nga një parabolë y = 2x – x 2 sipër dhe drejt y = -x më poshtë.

Në segmentin 2 x – x 2 ≥ -x. Sipas formulës përkatëse:

Përgjigje:.

Në fakt, formula e shkollës për sipërfaqen e një trapezi lakor në gjysmëplanin e poshtëm (shih shembullin nr. 3) është një rast i veçantë i formulës

Sepse boshti OK dhënë nga ekuacioni y= 0, dhe grafiku i funksionit g(x) ndodhet poshtë boshtit OK, Kjo

Dhe tani disa shembuj për zgjidhjen tuaj

Shembulli 5

Shembulli 6

Gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Kur zgjidhni probleme që përfshijnë llogaritjen e sipërfaqes duke përdorur një integral të caktuar, ndonjëherë ndodh një incident qesharak. Vizatimi u krye saktë, llogaritjet ishin të sakta, por nga pakujdesia... u gjet zona e figurës së gabuar.

Shembulli 7

Së pari le të bëjmë një vizatim:

Figura, zona e së cilës duhet të gjejmë është e hijezuar në blu (shikoni me kujdes gjendjen - si është e kufizuar shifra!). Por në praktikë, për shkak të pavëmendjes, njerëzit shpesh vendosin që duhet të gjejnë zonën e figurës që është e hijezuar në të gjelbër!

Ky shembull është gjithashtu i dobishëm sepse llogarit sipërfaqen e një figure duke përdorur dy integrale të përcaktuara. Vërtet:

1) Në segmentin [-1; 1] mbi bosht OK grafiku ndodhet drejt y = x+1;

2) Në një segment mbi bosht OK gjendet grafiku i hiperbolës y = (2/x).

Është mjaft e qartë se zonat mund (dhe duhet) të shtohen, prandaj:

Përgjigje:

Shembulli 8

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Le t'i paraqesim ekuacionet në formën "shkollë".

dhe bëni një vizatim pikë për pikë:

Nga vizatimi është e qartë se kufiri ynë i sipërm është "i mirë": b = 1.

Por cili është kufiri i poshtëm?! Është e qartë se ky nuk është një numër i plotë, por çfarë është?

Ndoshta, a=(-1/3)? Por ku është garancia që vizatimi është bërë me saktësi të përsosur, mund të rezultojë se kjo a= (-1/4). Po sikur ta ndërtojmë grafikun gabimisht?

Në raste të tilla, duhet të shpenzoni kohë shtesë dhe të sqaroni kufijtë e integrimit në mënyrë analitike.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve

Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin:

Prandaj, a=(-1/3).

Zgjidhja e mëtejshme është e parëndësishme. Gjëja kryesore është të mos ngatërroheni në zëvendësime dhe shenja. Llogaritjet këtu nuk janë më të thjeshtat. Në segment

, ,

sipas formulës përkatëse:

Përgjigje:

Për të përfunduar mësimin, le të shohim dy detyra më të vështira.

Shembulli 9

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Zgjidhja: Le ta përshkruajmë këtë figurë në vizatim.

Për të ndërtuar një vizatim pikë për pikë, duhet të dini pamjen e një sinusoidi. Në përgjithësi, është e dobishme të njihen grafikët e të gjitha funksioneve elementare, si dhe disa vlera të sinusit. Ato mund të gjenden në tabelën e vlerave të funksioneve trigonometrike. Në disa raste (për shembull, në këtë rast), është e mundur të ndërtohet një vizatim skematik, mbi të cilin grafikët dhe kufijtë e integrimit duhet të shfaqen thelbësisht saktë.

Nuk ka probleme me kufijtë e integrimit këtu, ato rrjedhin drejtpërdrejt nga kushti:

– “x” ndryshon nga zero në “pi”. Le të marrim një vendim të mëtejshëm:

Në një segment, grafiku i një funksioni y= mëkat 3 x ndodhet mbi bosht OK, Kjo është arsyeja pse:

(1) Mund të shihni se si sinuset dhe kosinuset integrohen në fuqi teke në mësimin Integralet e funksioneve trigonometrike. Ne heqim njërin sinus.

(2) Ne përdorim identitetin kryesor trigonometrik në formë

(3) Le të ndryshojmë variablin t=cos x, atëherë: ndodhet mbi bosht, pra:

Shënim: vini re se si merret integrali i tangjentës kub është përdorur këtu një rrjedhojë e identitetit bazë trigonometrik

Problemi 1 (në lidhje me llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi të lakuar).

Në sistemin koordinativ drejtkëndor kartezian xOy, jepet një figurë (shih figurën) e kufizuar nga boshti x, vijat e drejta x = a, x = b (një trapez i lakuar. Kërkohet të llogaritet sipërfaqja e trapezit të lakuar.
Zgjidhje. Gjeometria na jep receta për llogaritjen e sipërfaqeve të shumëkëndëshave dhe të disa pjesëve të rrethit (sektori, segmenti). Duke përdorur konsiderata gjeometrike, ne mund të gjejmë vetëm një vlerë të përafërt të zonës së kërkuar, duke arsyetuar si më poshtë.

Le të ndajmë segmentin [a; b] (baza e një trapezi të lakuar) në n pjesë të barabarta; kjo ndarje kryhet duke përdorur pikat x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Le të vizatojmë vija të drejta nëpër këto pika paralele me boshtin y. Atëherë trapezi lakor i dhënë do të ndahet në n pjesë, në n kolona të ngushta. Sipërfaqja e të gjithë trapezit është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të kolonave.

Le të shqyrtojmë kolonën k-të veçmas, d.m.th. një trapez i lakuar, baza e të cilit është një segment. Le ta zëvendësojmë me një drejtkëndësh me të njëjtën bazë dhe lartësi të barabartë me f(x k) (shih figurën). Sipërfaqja e drejtkëndëshit është e barabartë me $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, ku $\Delta x_k $ është gjatësia e segmentit; Është e natyrshme të konsiderohet produkti që rezulton si një vlerë e përafërt e sipërfaqes së kolonës k-të.

Nëse tani bëjmë të njëjtën gjë me të gjitha kolonat e tjera, do të arrijmë në rezultatin e mëposhtëm: sipërfaqja S e një trapezi të caktuar lakor është afërsisht e barabartë me sipërfaqen S n të një figure me shkallë të përbërë nga n drejtkëndësha (shih figurën):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \pika + f(x_k)\Delta x_k + \pika + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Këtu, për hir të uniformitetit të shënimit, supozojmë se a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - gjatësia e segmentit, $\Delta x_1 $ - gjatësia e segmentit, etj.; në këtë rast, siç ramë dakord më lart, $\Delta x_0 = \pika = \Delta x_(n-1) $

Pra, $S \përafërsisht S_n $, dhe kjo barazi e përafërt është më e saktë, sa më e madhe n.
Sipas përkufizimit, besohet se zona e kërkuar e një trapezi lakor është e barabartë me kufirin e sekuencës (S n):
$$ S = \lim_(n \në \infty) S_n $$

Problemi 2 (për lëvizjen e një pike)
Një pikë materiale lëviz në një vijë të drejtë. Varësia e shpejtësisë nga koha shprehet me formulën v = v(t). Gjeni lëvizjen e një pike gjatë një periudhe kohe [a; b].
Zgjidhje. Nëse lëvizja do të ishte uniforme, atëherë problemi do të zgjidhej shumë thjesht: s = vt, d.m.th. s = v(b-a). Për lëvizje të pabarabartë, duhet të përdorni të njëjtat ide mbi të cilat u bazua zgjidhja e problemit të mëparshëm.
1) Ndani intervalin kohor [a; b] në n pjesë të barabarta.
2) Konsideroni një periudhë kohore dhe supozoni se gjatë kësaj periudhe kohore shpejtësia ishte konstante, e njëjtë si në kohën t k. Pra supozojmë se v = v(t k).
3) Le të gjejmë vlerën e përafërt të lëvizjes së pikës gjatë një periudhe kohe, ne do ta shënojmë këtë vlerë të përafërt si s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Gjeni vlerën e përafërt të zhvendosjes s:
$s \përafërsisht S_n $ ku
$S_n = s_0 + \pika + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pika + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Zhvendosja e kërkuar është e barabartë me kufirin e sekuencës (S n):
$$ s = \lim_(n \në \infty) S_n $$

Le të përmbledhim. Zgjidhjet e problemeve të ndryshme u reduktuan në të njëjtin model matematikor. Shumë probleme nga fusha të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë çojnë në të njëjtin model në procesin e zgjidhjes. Kjo do të thotë se ky model matematikor duhet studiuar posaçërisht.

Koncepti i një integrali të caktuar

Le të japim një përshkrim matematikor të modelit që u ndërtua në tre problemat e konsideruara për funksionin y = f(x), i vazhdueshëm (por jo domosdoshmërisht jo negativ, siç u supozua në problemat e shqyrtuara) në intervalin [a; b]:
1) ndani segmentin [a; b] në n pjesë të barabarta;
2) përbëjnë shumën $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \pika + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) llogarit $$ \lim_(n \në \infty) S_n $$

Gjatë analizës matematikore u vërtetua se ky kufi ekziston në rastin e një funksioni të vazhdueshëm (ose pjesërisht të vazhdueshëm). Quhet integrali i caktuar i funksionit y = f(x) mbi segmentin [a; b] dhe shënohet si më poshtë:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Numrat a dhe b quhen kufijtë e integrimit (përkatësisht i poshtëm dhe i sipërm).

Le të kthehemi te detyrat e diskutuara më sipër. Përkufizimi i zonës i dhënë në problemin 1 tani mund të rishkruhet si më poshtë:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
këtu S është zona e trapezit lakor të treguar në figurën e mësipërme. Ky është kuptimi gjeometrik i integralit të caktuar.

Përkufizimi i zhvendosjes s të një pike që lëviz në një vijë të drejtë me një shpejtësi v = v(t) gjatë periudhës kohore nga t = a në t = b, të dhëna në problemin 2, mund të rishkruhet si më poshtë:

Formula Njuton - Leibniz

Së pari, le t'i përgjigjemi pyetjes: cila është lidhja midis integralit të caktuar dhe antiderivativit?

Përgjigja gjendet në problemin 2. Nga njëra anë, zhvendosja s e një pike që lëviz në vijë të drejtë me shpejtësi v = v(t) gjatë periudhës kohore nga t = a në t = b llogaritet me formulën
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Nga ana tjetër, koordinata e një pike lëvizëse është një antiderivativ për shpejtësinë - le ta shënojmë s(t); Kjo do të thotë se zhvendosja s shprehet me formulën s = s(b) - s(a). Si rezultat marrim:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
ku s(t) është antiderivati i v(t).

Teorema e mëposhtme u vërtetua gjatë analizës matematikore.
Teorema. Nëse funksioni y = f(x) është i vazhdueshëm në intervalin [a; b], atëherë formula është e vlefshme
$S = \int\ limitet_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
ku F(x) është antiderivati i f(x).

Formula e mësipërme zakonisht quhet formula Njuton-Leibniz për nder të fizikantit anglez Isaac Newton (1643-1727) dhe filozofit gjerman Gottfried Leibniz (1646-1716), të cilët e morën atë në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri dhe pothuajse njëkohësisht.

Në praktikë, në vend që të shkruajnë F(b) - F(a), ata përdorin shënimin $\left. F(x)\right|_a^b $ (nganjëherë quhet zëvendësim i dyfishtë) dhe, në përputhje me rrethanat, rishkruajnë Njutonin Formula e Leibniz-it në këtë mënyrë formohet:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \majtas. F(x)\djathtas|_a^b $

Kur llogaritni një integral të caktuar, së pari gjeni antiderivativin dhe më pas kryeni një zëvendësim të dyfishtë.

Bazuar në formulën Njuton-Leibniz, mund të marrim dy veti të integralit të caktuar.

Vetia 1. Integrali i shumës së funksioneve është i barabartë me shumën e integraleve:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Vetia 2. Faktori konstant mund të nxirret nga shenja integrale:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Llogaritja e sipërfaqeve të figurave të rrafshët duke përdorur një integral të caktuar

Duke përdorur integralin, mund të llogaritni zonat jo vetëm të trapezoidëve lakor, por edhe të figurave të rrafshët të një lloji më kompleks, për shembull, ai i paraqitur në figurë. Figura P kufizohet nga drejtëza x = a, x = b dhe grafikët e funksioneve të vazhdueshme y = f(x), y = g(x), dhe në segmentin [a; b] vlen pabarazia $g(x) \leq f(x) $. Për të llogaritur sipërfaqen S të një figure të tillë, do të veprojmë si më poshtë:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\ limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Pra, zona S e një figure të kufizuar nga drejtëza x = a, x = b dhe grafikët e funksioneve y = f(x), y = g(x), e vazhdueshme në segment dhe e tillë që për çdo x nga segmenti [a; b] pabarazia $g(x) \leq f(x) $ është e plotësuar, e llogaritur me formulën
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabela e integraleve të pacaktuar (antiderivativë) të disa funksioneve $$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^ (n +1))(n+1) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\tekst(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \tekst(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Në këtë artikull do të mësoni se si të gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga vija duke përdorur llogaritjet integrale. Për herë të parë formulimin e një problemi të tillë e hasim në shkollën e mesme, kur sapo kemi përfunduar studimin e integraleve të përcaktuara dhe është koha që të fillojmë interpretimin gjeometrik të njohurive të marra në praktikë.

Pra, çfarë kërkohet për të zgjidhur me sukses problemin e gjetjes së sipërfaqes së një figure duke përdorur integrale:

Aftësia për të bërë vizatime kompetente;
Aftësia për të zgjidhur një integral të caktuar duke përdorur formulën e njohur Newton-Leibniz;
Aftësia për të "shikuar" një opsion zgjidhjeje më fitimprurëse - d.m.th. kuptoni se si do të jetë më i përshtatshëm për të kryer integrimin në një rast apo në një tjetër? Përgjatë boshtit x (OX) apo boshtit y (OY)?
Epo, ku do të ishim pa llogaritjet e sakta?) Kjo përfshin të kuptuarit se si të zgjidhni atë lloj tjetër të integraleve dhe llogaritjet e sakta numerike.

Algoritmi për zgjidhjen e problemit të llogaritjes së sipërfaqes së një figure të kufizuar me vija:

1. Ne ndërtojmë një vizatim. Këshillohet që ta bëni këtë në një copë letre me kuadrate, në shkallë të gjerë. Ne nënshkruajmë emrin e këtij funksioni me një laps mbi çdo grafik. Grafikët janë nënshkruar vetëm për lehtësinë e llogaritjeve të mëtejshme. Pasi të keni marrë një grafik të figurës së dëshiruar, në shumicën e rasteve do të jetë menjëherë e qartë se cilat kufij të integrimit do të përdoren. Kështu, ne e zgjidhim problemin grafikisht. Sidoqoftë, ndodh që vlerat e kufijve të jenë të pjesshme ose të paarsyeshme. Prandaj, mund të bëni llogaritje shtesë, shkoni në hapin e dytë.

2. Nëse kufijtë e integrimit nuk janë specifikuar në mënyrë eksplicite, atëherë gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve me njëri-tjetrin dhe shohim nëse zgjidhja jonë grafike përkon me atë analitike.

3. Tjetra, ju duhet të analizoni vizatimin. Në varësi të mënyrës se si janë rregulluar grafikët e funksionit, ekzistojnë qasje të ndryshme për të gjetur sipërfaqen e një figure. Le të shohim shembuj të ndryshëm të gjetjes së sipërfaqes së një figure duke përdorur integrale.

3.1.

Versioni më klasik dhe më i thjeshtë i problemit është kur duhet të gjeni zonën e një trapezi të lakuar. Çfarë është një trapez i lakuar? Kjo është një figurë e sheshtë e kufizuar nga boshti x (y = 0), drejtëzat x = a, x = b dhe çdo kurbë e vazhdueshme në intervalin nga a në b. Për më tepër, kjo shifër është jo negative dhe ndodhet jo nën boshtin x. Në këtë rast, zona e trapezit lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar, të llogaritur duke përdorur formulën Newton-Leibniz: Shembulli 1

y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Me cilat vija kufizohet figura? Kemi një parabolë y = x2 - 3x + 3, e cila ndodhet mbi boshtin OX, është jo negative, sepse të gjitha pikat e kësaj parabole kanë vlera pozitive. Më tej jepen drejtëza x = 1 dhe x = 3, të cilat shkojnë paralelisht me boshtin OU, dhe janë vijat kufizuese të figurës majtas dhe djathtas. Epo, y = 0, që është edhe boshti x, i cili kufizon figurën nga poshtë. Figura që rezulton është e hijezuar, siç mund të shihet nga figura në të majtë. Në këtë rast, ju mund të filloni menjëherë zgjidhjen e problemit. Para nesh është një shembull i thjeshtë i një trapezi të lakuar, të cilin më pas e zgjidhim duke përdorur formulën Newton-Leibniz.

3.2. Në paragrafin e mëparshëm 3.1, ne shqyrtuam rastin kur një trapez i lakuar ndodhet mbi boshtin x. Tani merrni parasysh rastin kur kushtet e problemit janë të njëjta, përveç se funksioni shtrihet nën boshtin x. Një minus i shtohet formulës standarde të Newton-Leibniz. Ne do të shqyrtojmë se si ta zgjidhim një problem të tillë më poshtë.

Në këtë shembull kemi një parabolë y = x2 + 6x + 2, e cila buron nga nën boshtin OX, drejtëza x = -4, x = -1, y = 0. Këtu y = 0 kufizon figurën e dëshiruar nga lart. Drejtëzat x = -4 dhe x = -1 janë kufijtë brenda të cilëve do të llogaritet integrali i caktuar. Parimi i zgjidhjes së problemit të gjetjes së sipërfaqes së një figure pothuajse plotësisht përkon me shembullin numër 1. I vetmi ndryshim është se funksioni i dhënë nuk është pozitiv, dhe është gjithashtu i vazhdueshëm në intervalin [-4; -1]. Çfarë do të thotë jo pozitive? Siç shihet nga figura, figura që shtrihet brenda x-ve të dhëna ka ekskluzivisht koordinata "negative", gjë që duhet të shohim dhe të mbajmë mend kur zgjidhim problemin. Ne kërkojmë zonën e figurës duke përdorur formulën Newton-Leibniz, vetëm me një shenjë minus në fillim.

Artikulli nuk është i plotësuar.