Funksioni karakteristik ndryshore e rastësishme X quhet transformimi Furier i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme:

Vetitë

Dëshmi.

Dëshmi.

Natyrisht, kjo pronë shtrihet në një numër më të madh termash:

.

φ (t) është njëtrajtësisht e vazhdueshme.

Dëshmi.

Shprehja përfundimtare që rezulton varet vetëm nga h. Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme mund të shkruajmë

.

Dëshmi. Nëse ekziston k momenti i magnitudës X, atëherë, duke përdorur diferencimin nën shenjën integrale (e cila është e mundur, pasi fq(x) ekziston), marrim

Me çdo diferencim të mëvonshëm, ai "mbartet" i E[ X], pra pas k diferencimet që marrim i k E[ X k]. Ky rezultat mund të paraqitet në formë

.

Funksioni karakteristik përcakton në mënyrë unike shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme.

Dëshmi e rasteve të veçanta

Le X - ndryshorja e rastësishme diskrete numër i plotë ( k Z), pastaj (transformimi i anasjelltë i Furierit)

(Seri Fourier koeficientët e së cilës janë fq k), Pastaj

Të gjitha kushtet për të cilat k≠m, jepni 0 (sipas ortogonalitetit) dhe mbetet

.

Le φ (t) është absolutisht i integrueshëm në linjën reale dhe ka një densitet shpërndarjeje fq(x) 11 .

Le te perpiqemi shprehin fq(x) nëpërmjet funksionit karakteristik. Le të shkruajmë transformimin e anasjelltë të Furierit të funksionit φ :

.

Me kete ne mendje

Sepse

Nga ndryshimi i variablave marrim

dhe për këtë arsye

.

Nëse në (*) në ​​integralin e dytë të dy kufijtë e integrimit kanë të njëjtat shenja, marrim 0; nëse është i ndryshëm - një numër i kufizuar. Kjo do të thotë, ekziston një kufi jo zero në a<y<b. Në këtë rast, integrali nga −∞ në ∞ do të shfaqet, i barabartë me π . Nga këtu

Mora:

,

prandaj, fq përcaktohet plotësisht nga funksioni karakteristik.

.

Dëshmi..

Kriteri i funksionit karakteristik

Funksioni φ X (t) - karakteristikë e një ndryshoreje të rastësishme X nese dhe vetem nese:

φ X (0) = 1,

φ X (t) definitiv pozitiv.

Funksioni φ (t) quhet definitiv pozitiv(e caktuar pozitive), nëse

dhe barazia me zero arrihet vetëm kur z i = 0i. Nëse e dobësojmë kushtin për arritjen e barazisë në zero, marrim caktues jo negativ funksionin.

Le të kontrollojmë që funksioni karakteristik është i përcaktuar pozitiv:

Arsyetimi. Sipas pronës 5),

Në k= 1, marrim,

Në k= 2 -.

Nëse E X= 0.D X=E[ X 2 ] = 1,
.

20.2 Shembuj

Zgjidhje. Le ta reduktojmë shprehjen në formë

Nuk është e vështirë ta shohësh këtë
. Pas transformimit mund të shkruani
.

Le të shohim vlerat fq i :

konkluzioni:cos 2 t është funksioni karakteristik i një ndryshoreje diskrete të rastësishme duke marrë vlerën 0 me probabilitet 1/2 dhe vlerat 2 dhe −2 me probabilitetin 1/4.

Llogaritni funksionin karakteristik i degjeneruar ndryshore e rastësishme: P(X= 0) = 1.

Zgjidhje..

Nëse P(X=C) = 1, marrim.

Zgjidhje. Le ta reduktojmë shprehjen në formë

.

Le të shohim vlerat fq i :

Mora: Ky është funksioni karakteristik i një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Zgjidhje. Le Y=X–X′ , Pastaj

konkluzioni: katrori i modulit të çdo funksioni karakteristik është sërish funksion karakteristik.

Le X,Y - variabla të rastit me funksione karakteristike φ X (t) Dhe φ Y (t);a,b> 0 - konstante të tilla që a+b= 1. Konsideroni funksionin

A është karakteristike dhe nëse po, për cilën ndryshore të rastësishme?

Përgjigju: Po kjo është. Le të funksionojnë shpërndarjet përkatëse X Dhe Y - F X (x) Dhe F Y (y). Le të shqyrtojmë funksionin. Natyrisht ky është një funksion shpërndarjeje, pasi

Pastaj dendësia e probabilitetit

Nëse φ (t) - funksion karakteristik X, Kjo φ (−t) - funksioni karakteristik (– X). (nga shembulli 4)).

Le φ (tX, atëherë është

f (t) =Re[ φ (t)]

Zgjidhje. Natyrisht,

Le φ (t) i përgjigjet funksionit të shpërndarjes F X (x), pastaj për Re[ φ (t)]:

Le φ (t) - funksion karakteristik i sasisë X, atëherë është

f (t) = Unë[ φ (t)]

funksioni karakteristik i disa ndryshoreve të rastësishme?

Zgjidhje. Jo, nuk është, sepse f (0) = 0.

Gjeni funksionin karakteristik të shpërndarjes normale.

1. X ~ N(0, 1):

Le të numërojmë φ (t), duke dalluar nën shenjën integrale:

Le të zgjidhim ekuacionin diferencial
me gjendje fillestare φ (0) = 1:

X~N(a,σ 2): krahasojeni këtë vlerë me X 0 ~N(0, 1). Është e lehtë ta shohësh këtë X=a+σ X 0 . Pastaj, sipas pronës 2)

Meqë ra fjala, sapo keni mbrojtur që studenti të mos dijë asgjë për vazhdimësinë uniforme, dhe tani po i ofroni funksione delta? Në mënyrë adekuate, nuk do të them asgjë.

Më vjen mirë që ju shoh sërish në këtë temë me gatishmëri për të diskutuar pavarësisht nga karakteristikat që më shqetësojnë mua personalisht. Unë jam i interesuar për ju. Studenti duhet të dijë gjithçka për të cilën mund të pyetet, por para së gjithash, ai duhet të zotërojë sistemin e koncepteve, karakterizimin e tyre dhe marrëdhëniet midis tyre dhe nuk duhet të kufizohet në rrethin e ngushtë të seksionit të disiplinës që ai është. aktualisht studion dhe gjithashtu nuk duhet të jetë një libër referimi në këmbë, i cili vazhdimisht kujton një numër të madh funksionesh që nuk plotësojnë një ose një kusht.
Në problemin fillestar, kërkohej të vërtetohej nëse funksioni i dhënë HF ishte ndonjë ndryshore e rastësishme. Studenti merr një detyrë të tillë kur futet koncepti i HF. Dhe qëllimi i zgjidhjes së problemeve të tilla është të konsolidojë një kuptim të marrëdhënies midis CP dhe PR, si dhe të konsolidojë njohuritë rreth vetive të CP.
Ka dy mënyra për të treguar se një funksion i dhënë është një HF: ose duhet të gjesh funksionin që i korrespondon atij sipas Fourierit dhe të kontrollosh nëse ai plotëson kushtin e normalizimit dhe është pozitiv, ose duhet të provosh përcaktimin jo negativ të asaj të dhënë. funksionojnë dhe i referohen teoremës Bochner-Khinchin. Në të njëjtën kohë, përdorimi i teoremave për përfaqësimin e një SV në formën e një kombinimi linear të SV-ve të tjera Rademacher nuk kontribuon në asnjë mënyrë në kuptimin e vetive themelore të HF-së, për më tepër, siç e tregova më lart, zgjidhjen tuaj përmban një seri Furier të mbuluar, domethënë, në të vërtetë korrespondon me metodën e parë.
Kur kërkohet të tregohet se një funksion i caktuar nuk mund të jetë një HF i ndonjë SV, atëherë mjafton të vërtetohet dështimi i një prej vetive të HF: një vlerë njësi në zero, modul i kufizuar me një, duke marrë vlerat e sakta. ​për momentet e PDF-së, vazhdimësi uniforme. Kontrollimi i saktësisë së vlerave të momenteve të llogaritura përmes një funksioni të caktuar është një kontroll matematikisht ekuivalent i vazhdimësisë uniforme në kuptimin që mospërmbushja e ndonjërës prej këtyre veçorive mund të shërbejë si e njëjta bazë për njohjen e papërshtatshmërisë së një funksioni të caktuar. Sidoqoftë, kontrollimi i korrektësisë së vlerave të momentit është zyrtarizuar: diferenconi dhe kontrolloni. Vazhdimësia uniforme, në rastin e përgjithshëm, duhet të vërtetohet, gjë që e bën suksesin e zgjidhjes së një problemi të varur nga potenciali krijues i studentit, nga aftësia e tij për të "menduar".
Si pjesë e diskutimit të "ndërtimit" të një SV, unë propozoj të shqyrtojmë një problem të thjeshtë: le të ndërtojmë një SV me një HF të formës: Ku

Jepet në të gjithë vijën numerike me formulë

X. f. ndryshorja e rastësishme X, sipas përkufizimit, është X. f. shpërndarja e probabilitetit të saj

Metoda e lidhur me përdorimin e X.f u përdor fillimisht nga A. M. Lyapunov dhe më vonë u bë një nga ato kryesore analitike. metodat e teorisë së probabilitetit. Përdoret veçanërisht në mënyrë efektive në vërtetimin e teoremave kufitare në teorinë e probabilitetit, për shembull. teorema e kufirit qendror për variablat e rastësishme të pavarura të shpërndara identike me 2 momente reduktohet në relacionin elementar

Vetitë themelore të X. f. 1) dhe definitive pozitive, d.m.th.

Për çdo koleksion të fundëm numrash kompleksë dhe argumentesh

2) në mënyrë uniforme të vazhdueshme përgjatë gjithë boshtit

4)në veçanti, merr vetëm vlera reale (dhe është një funksion çift) nëse dhe vetëm nëse probabiliteti përkatës është simetrik, d.m.th.

5) X. f. përcakton në mënyrë të qartë masën; ka një apel:

Për çdo interval (a, 6) skajet e të cilave kanë zero m-masë. Nëse është i integrueshëm (absolutisht, nëse kuptohet në kuptimin Riemannian), atëherë funksioni përkatës i shpërndarjes ka ri

6) X. f. konvolucioni i dy masave të probabilitetit (shuma e dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura) është X e tyre. f.

Tre vetitë e mëposhtme shprehin lidhjen midis ekzistencës së momenteve të një ndryshoreje të rastësishme dhe shkallës së butësisë së funksionit të saj X..

7) Nëse për disa natyrale P, atëherë për të gjitha natyrale ekzistojnë derivate të rendit r nga X. f. ndryshorja e rastësishme X dhe barazia vlen

8) Nëse ekziston atëherë

9) Nëse për të gjithë

atëherë vlen për të gjithë

Duke përdorur metodën X.f bazohet kryesisht në vetitë e mësipërme të funksioneve të X., si dhe në dy teoremat e mëposhtme.
Teorema e Bochner-it (përshkrimi i klasës së funksioneve X.). Le të jepet funksioni f dhe f(0)=1. Në mënyrë që f të jetë X. f. një masë e caktuar probabiliteti, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ajo të jetë e caktuar e vazhdueshme dhe pozitive.
Teorema e Levit (korrespondencë). Le të jetë një sekuencë masash probabiliteti dhe le të jetë një sekuencë e X.f. Pastaj konvergjon dobët në një masë të caktuar probabiliteti (d.m.th., për një funksion arbitrar të kufizuar të vazhdueshëm, nëse dhe vetëm nëse në çdo pikë ai konvergjon në një funksion të caktuar të vazhdueshëm f; në rastin e konvergjencës, funksioni Nga kjo rrjedh se relativi (në kuptim e konvergjencës së dobët) e një familje masash probabiliteti është ekuivalente me ekuivazhdueshmërinë në zero të familjes së funksioneve korresponduese X..
Teorema e Bochner-it na lejon të shikojmë transformimin Fourier-Stieltjes si midis një gjysmëgrupi (në lidhje me operacionin e konvolucionit) të masave të probabilitetit në dhe një gjysmëgrupi (në lidhje me shumëzimin në pikë) të funksioneve të vazhdueshme pozitive të përcaktuara të barabarta me zero në zero në një. Teorema e Lévy-t thotë se kjo algjebrike. izomorfizmi është gjithashtu topologjik. homeomorfizmi, nëse në gjysmëgrupin e masave të probabilitetit nënkuptojmë topologjinë e konvergjencës së dobët, dhe në gjysmëgrupin e funksioneve të përcaktuara pozitive - topologjinë e konvergjencës uniforme në grupe të kufizuara.
Janë të njohura shprehjet e X. f. sëmundjet bazë probabilistike (shih,), për shembull, X. f. Masa Gaussian me variancë mesatare është
Për variablat e rastësishëm me numër të plotë jo-negativ X, Së bashku me X. f., përdoret analogu i tij -

I lidhur me X. f. raport
X. f. Masat e probabilitetit në një hapësirë ​​me dimensione të fundme përcaktohen në mënyrë të ngjashme:

Ku x> do të thotë . Faktet e formuluara më sipër janë gjithashtu të vërteta për X. f. masat e probabilitetit në

Ndezur.: Lukach E., Funksionet karakteristike, përkth. nga anglishtja, M., 1979; Feller V., Hyrje në teorinë e probabilitetit dhe aplikimet e saj, vëll. nga anglishtja, M., 1967; Prokhorov Yu V., Rozanov Yu., Teoria e probabilitetit. Konceptet bazë. Teorema kufitare. Proceset e rastësishme, botimi i dytë, M., 1973; 3olotarev V. M., Shpërndarjet e qëndrueshme njëdimensionale, M., 1983.
N.H. Vakhania.

Enciklopedi matematikore. - M.: Enciklopedia Sovjetike. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Shihni se çfarë është "FUNKSIONI KARAKTERISTIK" në fjalorë të tjerë:

Funksioni karakteristik: Funksioni karakteristik në termodinamikë është një funksion me të cilin përcaktohen vetitë termodinamike të një sistemi. Funksioni karakteristik i një grupi është një funksion që përcakton anëtarësimin e një elementi në një grup ... ... Wikipedia

Në termodinamikë, një funksion i gjendjes së parametrave të pavarur që përcaktojnë gjendjen e termodinamikës. sistemeve. Tek X. f. përfshijnë potencialet termodinamike dhe entropike. Përmes X... Enciklopedi fizike

funksioni karakteristik- Një funksion i gjendjes së një sistemi termodinamik të parametrave termodinamikë të pavarur përkatës, i karakterizuar nga fakti se përmes këtij funksioni dhe derivateve të tij në lidhje me këto parametra, të gjitha termodinamike ... ... Udhëzues teknik i përkthyesit

Funksioni karakteristik- në teorinë e lojërave bashkëpunuese, një raport që përcakton shumën e fitimeve minimale për çdo koalicion në lojë. Kur bashkohen dy koalicione, vlera e H.f. do të jetë jo më pak se shuma e funksioneve të tilla për të pakombinuara... ... Fjalor ekonomik dhe matematikor

funksioni karakteristik- būdingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti viza termodinaminės sistemos savybes. atitikmenys: angl. funksioni karakteristik rus. funksioni karakteristik... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

funksioni karakteristik- būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. funksion karakteristik vok. Charakteristische Funktion, f rus. funksion karakteristik, f pranc. karakteristikë e funksionit, f… Fizikos terminų žodynas - grupet e Espace X janë një funksion i barabartë me 1 në dhe i barabartë me 0 në (ku CE është plotësuesi i Ev X). Çdo funksion me vlera në (0, 1) është një funksion X.. të një bashkësie të caktuar, përkatësisht të një bashkësie, Vetitë e funksioneve të X.: disjoint në çift, atëherë 6) nëse atëherë... Enciklopedia matematikore

variablat e rastësishëm janë të lidhura në mënyrë unike Transformimi i Furierit. Për shembull, dendësia e shpërndarjes f (x) e një ndryshoreje të rastësishme X shprehet në mënyrë unike përmes funksionit të saj karakteristik duke përdorur transformimi i anasjelltë i Furierit:

ku υ X (k) (0) është vlera e derivatit kth të funksionit karakteristik në t = 0.

variablat e rastësishëm janë të barabartë me produktin e funksioneve karakteristike të termave:

LEKTURA 8 Variabla të rastësishme dydimensionale. Ligji i shpërndarjes dydimensionale

Një ndryshore e rastësishme dydimensionale (X,Y) është një grup i dy ndryshoreve të rastësishme njëdimensionale që marrin vlera si rezultat i të njëjtit eksperiment.

Variablat e rastësishëm dydimensionale karakterizohen nga grupe vlerash Ω X, Ω Y të përbërësve të tyre dhe një ligj i përbashkët (dydimensionale) i shpërndarjes. Në varësi të llojit të komponentëve X,Y, dallohen variabla të rastësishme dydimensionale diskrete, të vazhdueshme dhe të përziera.

Një ndryshore e rastësishme dydimensionale (X, Y) mund të përfaqësohet gjeometrikisht si një pikë e rastësishme (X, Y) në planin x0y ose si një vektor i rastësishëm i drejtuar nga origjina në pikën (X, Y).

Funksioni i shpërndarjes dydimensionale ndryshore e rastësishme dydimensionale

(X,Y) është e barabartë me probabilitetin e ekzekutimit të përbashkët të dy ngjarjeve (X<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .

Funksioni i shpërndarjes gjeometrikisht dy-dimensionale F(x, y)

Vetitë e funksionit të shpërndarjes dydimensionale:

1. 0 ≤ F (x ,y )≤ 1.

është probabiliteti

. (x,y)

Dëshmi. Vetia rrjedh nga përkufizimi i funksionit të shpërndarjes si një probabilitet: probabiliteti është një numër jo negativ që nuk e kalon 1.

2. F (–∞, y) = F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), nëse x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), nëse y 2 >y 1 .

Dëshmi. Le të vërtetojmë se F (x ,y ) është një funksion jo-zvogëlues në lidhje me

ndryshorja x. Merrni parasysh probabilitetin

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

Që nga p(X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

Po kështu për y.

4. Kalimi në karakteristikat njëdimensionale:

Matrica e shpërndarjes

Një ndryshore e rastësishme dydimensionale (X,Y) është diskrete nëse grupet e vlerave të përbërësve të saj Ω X dhe Ω Y janë grupe të numërueshme. Për të përshkruar karakteristikat probabilistike të sasive të tilla, përdoret një funksion shpërndarjeje dydimensionale dhe një matricë shpërndarjeje.

Matrica e shpërndarjesështë një tabelë drejtkëndëshe që përmban vlerat e komponentit X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ), vlerat e komponentit Y − Ω Y =( y 1 ,y 2 , …,y m ) dhe probabilitetet e të gjitha çifteve të mundshme të vlerave p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m.

i= 1

Dendësia e shpërndarjes dydimensionale

Një ndryshore e rastësishme dydimensionale (X ,Y ) është e vazhdueshme nëse është

funksioni i shpërndarjes F (x,y) është një funksion i vazhdueshëm, i diferencueshëm për secilin nga argumentet dhe ka një të dytë

derivat i përzier ∂ 2 F (x, y).

∂ x ∂y

Dendësia e shpërndarjes dydimensionale f(x, y ) karakterizon densitetin e probabilitetit në afërsi të një pike me koordinata ( x, y ) dhe është e barabartë me derivatin e dytë të përzier të funksionit të shpërndarjes:

∫∫ f(x, y) dxdy.

Karakteristikat e densitetit dydimensional:

1. f (x,y)≥ 0.

2. Gjendja e normalizimit:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .