Gjeni rrënjën më të vogël të një ekuacioni në internet. Zgjidhja e ekuacioneve në dy ndryshore

për të zgjidhur matematikën. Gjeni shpejt zgjidhja e një ekuacioni matematik në modalitet online. Faqja e internetit www.site lejon zgjidhin ekuacionin pothuajse çdo e dhënë algjebrike, trigonometrike ose ekuacioni transcendental në internet. Kur studioni pothuajse çdo degë të matematikës në faza të ndryshme, duhet të vendosni ekuacionet online. Për të marrë një përgjigje menjëherë, dhe më e rëndësishmja një përgjigje të saktë, ju duhet një burim që ju lejon ta bëni këtë. Falë sajtit www.site zgjidhni ekuacionet në internet do të duhen disa minuta. Avantazhi kryesor i www.site gjatë zgjidhjes së matematikës ekuacionet online- kjo është shpejtësia dhe saktësia e përgjigjes së dhënë. Faqja është në gjendje të zgjidhë çdo ekuacionet algjebrike në internet, ekuacionet trigonometrike në internet, ekuacionet transcendentale në internet, dhe ekuacionet me parametra të panjohur në modalitet online. Ekuacionet shërbejnë si një aparat i fuqishëm matematikor Zgjidhjet probleme praktike. Me ndihmën ekuacionet matematikoreështë e mundur të shprehen fakte dhe marrëdhënie që mund të duken konfuze dhe komplekse në shikim të parë. Sasi të panjohura ekuacionet mund të gjendet duke formuluar problemin në matematikore gjuha në formë ekuacionet Dhe vendosin marrë detyrën në modalitet online në faqen e internetit www.site. Çdo ekuacioni algjebrik, ekuacioni trigonometrik ose ekuacionet që përmban transcendentale veçoritë që mund t'i lehtësoni vendosin online dhe merrni përgjigjen e saktë. Kur studion shkencat e natyrës, në mënyrë të pashmangshme ndeshesh me nevojën zgjidhjen e ekuacioneve. Në këtë rast, përgjigja duhet të jetë e saktë dhe duhet të merret menjëherë në modalitet online. Prandaj për zgjidhja e ekuacioneve matematikore në internet ne rekomandojmë faqen www.site, e cila do të bëhet kalkulatori juaj i domosdoshëm zgjidhin ekuacionet algjebrike në internet, ekuacionet trigonometrike në internet, dhe ekuacionet transcendentale në internet ose ekuacionet me parametra të panjohur. Për problemet praktike të gjetjes së rrënjëve të ndryshme ekuacionet matematikore burimi www.. Zgjidhja ekuacionet online vetë, është e dobishme të kontrolloni përgjigjen e marrë duke përdorur zgjidhja e ekuacioneve në internet në faqen e internetit www.site. Ju duhet të shkruani ekuacionin saktë dhe të merrni menjëherë zgjidhje online, pas së cilës mbetet vetëm të krahasoni përgjigjen me zgjidhjen tuaj të ekuacionit. Kontrollimi i përgjigjes do të zgjasë jo më shumë se një minutë, mjaftueshëm zgjidhni ekuacionin në internet dhe krahasoni përgjigjet. Kjo do t'ju ndihmojë të shmangni gabimet në vendim dhe korrigjoni përgjigjen me kohë zgjidhja e ekuacioneve në internet qoftë algjebrike, trigonometrike, transcendentale ose ekuacionin me parametra të panjohur.

Në lëndën e matematikës së klasës së 7-të hasim për herë të parë ekuacionet me dy ndryshore, por ato studiohen vetëm në kuadrin e sistemeve të ekuacioneve me dy të panjohura. Kjo është arsyeja pse një seri e tërë problemesh në të cilat vendosen kushte të caktuara në koeficientët e ekuacionit që i kufizojnë ato bien jashtë syve. Gjithashtu, metodat për zgjidhjen e problemave si “Zgjidhja e një ekuacioni me numra natyrorë ose me numra të plotë” gjithashtu shpërfillen, megjithëse probleme të këtij lloji gjenden gjithnjë e më shpesh në materialet e Provimit të Bashkuar të Shtetit dhe në provimet pranuese.

Cili ekuacion do të quhet ekuacion me dy ndryshore?

Kështu, për shembull, ekuacionet 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ose xy = 12 janë ekuacione në dy ndryshore.

Konsideroni ekuacionin 2x – y = 1. Bëhet i vërtetë kur x = 2 dhe y = 3, kështu që ky çift vlerash të ndryshueshme është një zgjidhje për ekuacionin në fjalë.

Kështu, zgjidhja e çdo ekuacioni me dy ndryshore është një grup çiftesh të renditura (x; y), vlerat e variablave që e kthejnë këtë ekuacion në një barazi të vërtetë numerike.

Një ekuacion me dy të panjohura mund:

A) kanë një zgjidhje. Për shembull, ekuacioni x 2 + 5y 2 = 0 ka një zgjidhje unike (0; 0);

b) kanë zgjidhje të shumta. Për shembull, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ka 4 zgjidhje: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nuk ka zgjidhje. Për shembull, ekuacioni x 2 + y 2 + 1 = 0 nuk ka zgjidhje;

G) kanë pafundësisht shumë zgjidhje. Për shembull, x + y = 3. Zgjidhjet e këtij ekuacioni do të jenë numra, shuma e të cilëve është e barabartë me 3. Bashkësia e zgjidhjeve të këtij ekuacioni mund të shkruhet në formën (k; 3 - k), ku k është çdo real numri.

Metodat kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve me dy variabla janë metodat e bazuara në faktorizimin e shprehjeve, izolimi i një katrori të plotë, përdorimi i vetive të një ekuacioni kuadratik, shprehjet e kufizuara dhe metodat e vlerësimit. Ekuacioni zakonisht shndërrohet në një formë nga e cila mund të merret një sistem për gjetjen e të panjohurave.

Faktorizimi

Shembulli 1.

Zgjidheni ekuacionin: xy – 2 = 2x – y.

Zgjidhje.

Ne grupojmë termat për qëllim të faktorizimit:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Nga çdo kllapa nxjerrim një faktor të përbashkët:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Kemi:

y = 2, x – çdo numër real ose x = -1, y – çdo numër real.

Kështu, përgjigja janë të gjitha çiftet e formës (x; 2), x € R dhe (-1; y), y € R.

Barazia e numrave jonegativë në zero

Shembulli 2.

Zgjidheni ekuacionin: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Zgjidhje.

Grupimi:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Tani çdo kllapa mund të paloset duke përdorur formulën e diferencës në katror.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Shuma e dy shprehjeve jo negative është zero vetëm nëse 3x – 2 = 0 dhe 2y – 3 = 0.

Kjo do të thotë x = 2/3 dhe y = 3/2.

Përgjigje: (2/3; 3/2).

Metoda e vlerësimit

Shembulli 3.

Zgjidheni ekuacionin: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.

Zgjidhje.

Në çdo kllapa zgjedhim një katror të plotë:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Le të vlerësojmë kuptimi i shprehjeve në kllapa.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 dhe (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, atëherë ana e majtë e ekuacionit është gjithmonë të paktën 2. Barazia është e mundur nëse:

(x + 1) 2 + 1 = 1 dhe (y – 2) 2 + 2 = 2, që do të thotë x = -1, y = 2.

Përgjigje: (-1; 2).

Le të njihemi me një metodë tjetër për zgjidhjen e ekuacioneve me dy ndryshore të shkallës së dytë. Kjo metodë konsiston në trajtimin e ekuacionit si katror në lidhje me disa ndryshore.

Shembulli 4.

Zgjidheni ekuacionin: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Zgjidhje.

Le ta zgjidhim ekuacionin si ekuacion kuadratik për x. Le të gjejmë diskriminuesin:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ekuacioni do të ketë zgjidhje vetëm kur D = 0, domethënë nëse y = 4. Ne e zëvendësojmë vlerën e y në ekuacionin origjinal dhe gjejmë se x = 3.

Përgjigje: (3; 4).

Shpesh në ekuacionet me dy të panjohura ato tregojnë kufizimet në variabla.

Shembulli 5.

Zgjidheni ekuacionin me numra të plotë: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Zgjidhje.

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formën x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Ana e djathtë e ekuacionit që rezulton kur pjesëtohet me 5 jep një mbetje prej 2. Prandaj, x 2 nuk pjesëtohet me 5. Por katrori i a numri i papjesëtueshëm me 5 jep një mbetje prej 1 ose 4. Pra, barazia është e pamundur dhe nuk ka zgjidhje.

Përgjigje: pa rrënjë.

Shembulli 6.

Zgjidheni ekuacionin: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Zgjidhje.

Le të theksojmë katrorët e plotë në çdo kllapa:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ana e majtë e ekuacionit është gjithmonë më e madhe ose e barabartë me 3. Barazia është e mundur me kusht |x| – 2 = 0 dhe y + 3 = 0. Kështu, x = ± 2, y = -3.

Përgjigje: (2; -3) dhe (-2; -3).

Shembulli 7.

Për çdo çift të numrave të plotë negativ (x;y) që plotëson ekuacionin
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, njehso shumën (x + y). Ju lutemi tregoni shumën më të vogël në përgjigjen tuaj.

Zgjidhje.

Le të zgjedhim katrorë të plotë:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Meqenëse x dhe y janë numra të plotë, edhe katrorët e tyre janë numra të plotë. Ne marrim shumën e katrorëve të dy numrave të plotë të barabartë me 37 nëse mbledhim 1 + 36. Prandaj:

(x – y) 2 = 36 dhe (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 dhe (y + 2) 2 = 36.

Duke zgjidhur këto sisteme dhe duke marrë parasysh se x dhe y janë negative, gjejmë zgjidhje: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Përgjigje: -17.

Mos u dëshpëroni nëse keni vështirësi në zgjidhjen e ekuacioneve me dy të panjohura. Me pak praktikë, mund të përballoni çdo ekuacion.

Ende keni pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet në dy ndryshore?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
Mësimi i parë është falas!

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Në këtë video ne do të analizojmë një grup të tërë ekuacionesh lineare që zgjidhen duke përdorur të njëjtin algoritëm - kjo është arsyeja pse ato quhen më të thjeshtat.

Së pari, le të përcaktojmë: çfarë është një ekuacion linear dhe cili quhet më i thjeshtë?

Një ekuacion linear është ai në të cilin ka vetëm një ndryshore dhe vetëm në shkallën e parë.

Ekuacioni më i thjeshtë nënkupton ndërtimin:

Të gjitha ekuacionet e tjera lineare reduktohen në më të thjeshtat duke përdorur algoritmin:

1. Zgjeroni kllapat, nëse ka;
2. Zhvendosni termat që përmbajnë një ndryshore në njërën anë të shenjës së barabartë dhe termat pa ndryshore në anën tjetër;
3. Jepni terma të ngjashëm majtas dhe djathtas të shenjës së barabartë;
4. Ndajeni ekuacionin që rezulton me koeficientin e ndryshores $x$.

Sigurisht, ky algoritëm nuk ndihmon gjithmonë. Fakti është se ndonjëherë pas gjithë këtyre makinacioneve koeficienti i ndryshores $x$ rezulton të jetë i barabartë me zero. Në këtë rast, dy opsione janë të mundshme:

1. Ekuacioni nuk ka fare zgjidhje. Për shembull, kur del diçka si $0\cdot x=8$, d.m.th. në të majtë është zero, dhe në të djathtë është një numër i ndryshëm nga zero. Në videon e mëposhtme do të shohim disa arsye pse kjo situatë është e mundur.
2. Zgjidhja janë të gjithë numrat. I vetmi rast kur kjo është e mundur është kur ekuacioni është reduktuar në konstruksionin $0\cdot x=0$. Është mjaft logjike që pa marrë parasysh se çfarë $x$ zëvendësojmë, përsëri do të rezultojë "zero është e barabartë me zero", d.m.th. barazia numerike e saktë.

Tani le të shohim se si funksionon e gjithë kjo duke përdorur shembuj të jetës reale.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve

Sot kemi të bëjmë me ekuacione lineare, dhe vetëm me ato më të thjeshtat. Në përgjithësi, një ekuacion linear nënkupton çdo barazi që përmban saktësisht një ndryshore dhe shkon vetëm në shkallën e parë.

Ndërtime të tilla zgjidhen afërsisht në të njëjtën mënyrë:

1. Para së gjithash, ju duhet të zgjeroni kllapat, nëse ka (si në shembullin tonë të fundit);
2. Pastaj sillni të ngjashme
3. Së fundi, izoloni variablin, d.m.th. zhvendosni çdo gjë që lidhet me variablin - termat në të cilët përmbahet - në njërën anë dhe zhvendosni gjithçka që mbetet pa të në anën tjetër.

Pastaj, si rregull, duhet të sillni të ngjashme në secilën anë të barazisë që rezulton, dhe pas kësaj gjithçka që mbetet është të ndani me koeficientin "x" dhe do të marrim përgjigjen përfundimtare.

Në teori, kjo duket e bukur dhe e thjeshtë, por në praktikë, edhe nxënësit e shkollave të mesme me përvojë mund të bëjnë gabime fyese në ekuacione lineare mjaft të thjeshta. Në mënyrë tipike, gabimet bëhen ose kur hapen kllapat ose kur llogariten "pluset" dhe "minuset".

Përveç kësaj, ndodh që një ekuacion linear të mos ketë fare zgjidhje, ose që zgjidhja të jetë e gjithë boshti numerik, d.m.th. çdo numër. Ne do t'i shikojmë këto hollësi në mësimin e sotëm. Por ne do të fillojmë, siç e keni kuptuar tashmë, me detyrat më të thjeshta.

Skema për zgjidhjen e ekuacioneve të thjeshta lineare

Së pari, më lejoni të shkruaj edhe një herë të gjithë skemën për zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta lineare:

1. Zgjeroni kllapat, nëse ka.
2. I izolojmë variablat, d.m.th. Ne zhvendosim gjithçka që përmban "X" në njërën anë dhe gjithçka pa "X" në anën tjetër.
3. Ne paraqesim terma të ngjashëm.
4. Ne pjesëtojmë gjithçka me koeficientin "x".

Natyrisht, kjo skemë nuk funksionon gjithmonë, ka disa hollësi dhe truket në të, dhe tani do t'i njohim ato.

Zgjidhja e shembujve realë të ekuacioneve të thjeshta lineare

Detyra nr. 1

Hapi i parë kërkon që ne të hapim kllapat. Por ata nuk janë në këtë shembull, kështu që ne e kalojmë këtë hap. Në hapin e dytë duhet të izolojmë variablat. Ju lutemi vini re: ne po flasim vetëm për kushte individuale. Le ta shkruajmë:

Ne paraqesim terma të ngjashëm majtas dhe djathtas, por kjo tashmë është bërë këtu. Prandaj, kalojmë në hapin e katërt: pjesëtojeni me koeficientin:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Kështu që e morëm përgjigjen.

Detyra nr. 2

Ne mund të shohim kllapat në këtë problem, kështu që le t'i zgjerojmë ato:

Si në të majtë ashtu edhe në të djathtë shohim afërsisht të njëjtin dizajn, por le të veprojmë sipas algoritmit, d.m.th. duke ndarë variablat:

Këtu janë disa të ngjashme:

Në cilat rrënjë funksionon kjo? Përgjigje: për çdo. Prandaj, mund të shkruajmë se $x$ është çdo numër.

Detyra nr. 3

Ekuacioni i tretë linear është më interesant:

\[\majtas(6-x \djathtas)+\majtas(12+x \djathtas)-\majtas(3-2x \djathtas)=15\]

Këtu ka disa kllapa, por ato nuk shumëzohen me asgjë, thjesht paraprihen nga shenja të ndryshme. Le t'i zbërthejmë ato:

Ne kryejmë hapin e dytë të njohur tashmë për ne:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Le të bëjmë matematikën:

Ne kryejmë hapin e fundit - ndajmë gjithçka me koeficientin "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Gjërat që duhen mbajtur mend gjatë zgjidhjes së ekuacioneve lineare

Nëse i shpërfillim detyrat shumë të thjeshta, do të doja të them sa vijon:

• Siç thashë më lart, jo çdo ekuacion linear ka një zgjidhje - ndonjëherë thjesht nuk ka rrënjë;
• Edhe nëse ka rrënjë, mund të ketë zero mes tyre - nuk ka asgjë të keqe me këtë.

Zero është i njëjti numër si të tjerët, nuk duhet ta diskriminoni në asnjë mënyrë ose të supozoni se nëse merrni zero, atëherë keni bërë diçka të gabuar.

Një veçori tjetër lidhet me hapjen e kllapave. Ju lutemi vini re: kur ka një "minus" para tyre, ne e heqim atë, por në kllapa i ndryshojmë shenjat në e kundërt. Dhe pastaj mund ta hapim duke përdorur algoritme standarde: do të marrim atë që pamë në llogaritjet e mësipërme.

Kuptimi i këtij fakti të thjeshtë do t'ju ndihmojë të shmangni gabimet e trashë dhe lënduese në shkollën e mesme, kur bërja e gjërave të tilla merret si e mirëqenë.

Zgjidhja e ekuacioneve komplekse lineare

Le të kalojmë në ekuacione më komplekse. Tani ndërtimet do të bëhen më komplekse dhe gjatë kryerjes së transformimeve të ndryshme do të shfaqet një funksion kuadratik. Sidoqoftë, nuk duhet të kemi frikë nga kjo, sepse nëse, sipas planit të autorit, po zgjidhim një ekuacion linear, atëherë gjatë procesit të transformimit të gjithë monomët që përmbajnë një funksion kuadratik me siguri do të anulohen.

Shembulli nr. 1

Natyrisht, hapi i parë është hapja e kllapave. Le ta bëjmë këtë me shumë kujdes:

Tani le t'i hedhim një sy privatësisë:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Këtu janë disa të ngjashme:

Natyrisht, ky ekuacion nuk ka zgjidhje, kështu që ne do ta shkruajmë këtë në përgjigje:

\[\varnogjë\]

ose nuk ka rrënjë.

Shembulli nr. 2

Ne kryejmë të njëjtat veprime. Hapi i parë:

Le të lëvizim gjithçka me një ndryshore në të majtë, dhe pa të - në të djathtë:

Këtu janë disa të ngjashme:

Natyrisht, ky ekuacion linear nuk ka zgjidhje, kështu që ne do ta shkruajmë në këtë mënyrë:

\[\varnogjë\],

ose nuk ka rrënjë.

Nuancat e zgjidhjes

Të dy ekuacionet janë zgjidhur plotësisht. Duke përdorur këto dy shprehje si shembull, ne u bindëm edhe një herë se edhe në ekuacionet më të thjeshta lineare, gjithçka mund të mos jetë aq e thjeshtë: mund të ketë ose një, ose asnjë, ose pafundësisht shumë rrënjë. Në rastin tonë, ne konsideruam dy ekuacione, të dyja thjesht nuk kanë rrënjë.

Por dua t'ju tërheq vëmendjen për një fakt tjetër: si të punoni me kllapa dhe si t'i hapni ato nëse ka një shenjë minus përpara tyre. Merrni parasysh këtë shprehje:

Para hapjes, duhet të shumëzoni gjithçka me "X". Ju lutemi vini re: shumëzohet çdo term individual. Brenda ka dy terma - respektivisht, dy terma dhe të shumëzuar.

Dhe vetëm pasi të kenë përfunduar këto transformime në dukje elementare, por shumë të rëndësishme dhe të rrezikshme, mund të hapni kllapa nga pikëpamja e faktit se pas saj ka një shenjë minus. Po, po: vetëm tani, kur përfundojnë transformimet, kujtojmë se ka një shenjë minus përpara kllapave, që do të thotë se gjithçka më poshtë thjesht ndryshon shenja. Në të njëjtën kohë, vetë kllapat zhduken dhe, më e rëndësishmja, "minus" i përparmë gjithashtu zhduket.

Ne bëjmë të njëjtën gjë me ekuacionin e dytë:

Jo rastësisht u kushtoj vëmendje këtyre fakteve të vogla, në dukje të parëndësishme. Sepse zgjidhja e ekuacioneve është gjithmonë një sekuencë transformimesh elementare, ku pamundësia për të kryer qartë dhe me kompetencë veprime të thjeshta çon në faktin që nxënësit e shkollave të mesme vijnë tek unë dhe përsëri mësojnë të zgjidhin ekuacione të tilla të thjeshta.

Sigurisht, do të vijë dita kur do t'i përpunoni këto aftësi deri në automatik. Nuk do t'ju duhet më të kryeni kaq shumë transformime çdo herë, do të shkruani gjithçka në një rresht. Por ndërsa jeni vetëm duke mësuar, ju duhet të shkruani çdo veprim veç e veç.

Zgjidhja e ekuacioneve lineare edhe më komplekse

Ajo që do të zgjidhim tani vështirë se mund të quhet detyra më e thjeshtë, por kuptimi mbetet i njëjtë.

Detyra nr. 1

\[\majtas(7x+1 \djathtas)\majtas(3x-1 \djathtas)-21((x)^(2))=3\]

Le të shumëzojmë të gjithë elementët në pjesën e parë:

Le të bëjmë pak privatësi:

Këtu janë disa të ngjashme:

Le të përfundojmë hapin e fundit:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Këtu është përgjigja jonë përfundimtare. Dhe, pavarësisht se në procesin e zgjidhjes kishim koeficientë me funksion kuadratik, ata anulonin njëri-tjetrin, gjë që e bën ekuacionin linear dhe jo kuadratik.

Detyra nr. 2

\[\majtas(1-4x \djathtas)\majtas(1-3x \djathtas)=6x\majtas(2x-1 \djathtas)\]

Le të kryejmë me kujdes hapin e parë: shumëzojmë çdo element nga kllapa e parë me çdo element nga i dyti. Duhet të ketë gjithsej katër terma të rinj pas transformimeve:

Tani le të kryejmë me kujdes shumëzimin në secilin term:

Le t'i zhvendosim termat me "X" në të majtë, dhe ato pa - në të djathtë:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Këtu janë terma të ngjashëm:

Edhe një herë kemi marrë përgjigjen përfundimtare.

Nuancat e zgjidhjes

Shënimi më i rëndësishëm për këto dy ekuacione është si vijon: sapo fillojmë të shumëzojmë kllapat që përmbajnë më shumë se një term, kjo bëhet sipas rregullit të mëposhtëm: marrim termin e parë nga i pari dhe shumëzojmë me secilin element nga i dyti; atëherë marrim elementin e dytë nga i pari dhe në mënyrë të ngjashme shumëzojmë me secilin element nga i dyti. Si rezultat do të kemi katër mandate.

Rreth shumës algjebrike

Me këtë shembull të fundit, do të doja t'u kujtoja studentëve se çfarë është shuma algjebrike. Në matematikën klasike, me 1-7$ nënkuptojmë një ndërtim të thjeshtë: zbresim shtatë nga një. Në algjebër, nënkuptojmë si vijon me këtë: numrit "një" i shtojmë një numër tjetër, përkatësisht "minus shtatë". Kështu ndryshon një shumë algjebrike nga një shumë e zakonshme aritmetike.

Sapo, kur kryeni të gjitha transformimet, çdo mbledhje dhe shumëzim, filloni të shihni ndërtime të ngjashme me ato të përshkruara më sipër, thjesht nuk do të keni asnjë problem në algjebër kur punoni me polinome dhe ekuacione.

Së fundi, le të shohim disa shembuj të tjerë që do të jenë edhe më të ndërlikuar se ata që sapo pamë, dhe për t'i zgjidhur ata do të duhet të zgjerojmë pak algoritmin tonë standard.

Zgjidhja e ekuacioneve me thyesa

Për të zgjidhur detyra të tilla, do të duhet të shtojmë një hap tjetër në algoritmin tonë. Por së pari, më lejoni t'ju kujtoj algoritmin tonë:

1. Hapni kllapat.
2. Variabla të ndara.
3. Sillni të ngjashme.
4. Pjestojeni me raportin.

Mjerisht, ky algoritëm i mrekullueshëm, me gjithë efektivitetin e tij, rezulton të jetë jo plotësisht i përshtatshëm kur kemi fraksione para nesh. Dhe në atë që do të shohim më poshtë, kemi një fraksion në të majtë dhe në të djathtë në të dy ekuacionet.

Si të punoni në këtë rast? Po, është shumë e thjeshtë! Për ta bërë këtë, duhet të shtoni një hap tjetër në algoritëm, i cili mund të bëhet si para ashtu edhe pas veprimit të parë, domethënë, duke hequr qafe fraksionet. Pra, algoritmi do të jetë si më poshtë:

1. Hiqni qafe thyesat.
2. Hapni kllapat.
3. Variabla të ndara.
4. Sillni të ngjashme.
5. Pjestojeni me raportin.

Çfarë do të thotë "të heqësh qafe thyesat"? Dhe pse mund të bëhet kjo si pas dhe para hapit të parë standard? Në fakt, në rastin tonë, të gjitha thyesat janë numerike në emëruesin e tyre, d.m.th. Kudo emëruesi është vetëm një numër. Prandaj, nëse i shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me këtë numër, do të shpëtojmë nga thyesat.

Shembulli nr. 1

\[\frac(\majtas(2x+1 \djathtas)\majtas(2x-3 \djathtas))(4)=((x)^(2))-1\]

Le të heqim qafe thyesat në këtë ekuacion:

\[\frac(\majtas(2x+1 \djathtas)\majtas(2x-3 \djathtas)\cdot 4)(4)=\majtas(((x)^(2))-1 \djathtas)\cdot 4\]

Ju lutemi vini re: çdo gjë shumëzohet me "katër" një herë, d.m.th. vetëm për shkak se keni dy kllapa nuk do të thotë që ju duhet ta shumëzoni secilën me "katër". Le të shkruajmë:

\[\majtas(2x+1 \djathtas)\majtas(2x-3 \djathtas)=\majtas(((x)^(2))-1 \djathtas)\cdot 4\]

Tani le të zgjerojmë:

Ne veçojmë variablin:

Ne kryejmë reduktimin e termave të ngjashëm:

\[-4x=-1\majtas| :\left(-4 \djathtas) \djathtas.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ne kemi marrë zgjidhjen përfundimtare, le të kalojmë në ekuacionin e dytë.

Shembulli nr. 2

\[\frac(\majtas(1-x \djathtas)\majtas(1+5x \djathtas))(5)+((x)^(2))=1\]

Këtu kryejmë të gjitha veprimet e njëjta:

\[\frac(\majtas(1-x \djathtas)\majtas(1+5x \djathtas)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problemi është zgjidhur.

Kjo, në fakt, është gjithçka që doja t'ju them sot.

Pikat kryesore

Gjetjet kryesore janë:

• Të njohë algoritmin për zgjidhjen e ekuacioneve lineare.
• Aftësia për të hapur kllapa.
• Mos u shqetësoni nëse keni funksione kuadratike diku, ato do të reduktohen në procesin e transformimeve të mëtejshme.
• Ekzistojnë tre lloje rrënjësh në ekuacionet lineare, madje edhe ato më të thjeshtat: një rrënjë e vetme, e gjithë boshti numerik është një rrënjë dhe nuk ka rrënjë fare.

Shpresoj se ky mësim do t'ju ndihmojë të zotëroni një temë të thjeshtë, por shumë të rëndësishme për të kuptuar më tej të gjithë matematikën. Nëse diçka nuk është e qartë, shkoni në sit dhe zgjidhni shembujt e paraqitur atje. Qëndroni të sintonizuar, shumë gjëra të tjera interesante ju presin!

Llogaritësi falas që sjellim në vëmendjen tuaj ka një arsenal të pasur mundësish për llogaritjet matematikore. Kjo ju lejon të përdorni kalkulatorin në internet në fusha të ndryshme të aktivitetit: arsimore, profesionale Dhe komerciale. Sigurisht, përdorimi i një kalkulatori në internet është veçanërisht i popullarizuar në mesin e nxënësit Dhe nxënës shkollash, e bën shumë më të lehtë për ta kryerjen e një sërë llogaritjesh.

Në të njëjtën kohë, kalkulatori mund të bëhet një mjet i dobishëm në disa fusha të biznesit dhe për njerëz të profesioneve të ndryshme. Sigurisht, nevoja për të përdorur një kalkulator në biznes ose punë përcaktohet kryesisht nga vetë lloji i aktivitetit. Nëse biznesi dhe profesioni juaj shoqërohen me llogaritje dhe llogaritje të vazhdueshme, atëherë ia vlen të provoni një kalkulator elektronik dhe të vlerësoni shkallën e dobisë së tij për një detyrë të caktuar.

Ky kalkulator në internet mund

• Kryeni saktë funksionet standarde matematikore të shkruara në një rresht si - 12*3-(7/2) dhe mund të përpunojmë numra më të mëdhenj se sa ne mund të numërojmë numra të mëdhenj në një kalkulator në internet Ne as nuk dimë se si ta quajmë saktë një numër të tillë ( ka 34 karaktere dhe ky nuk është fare kufiri).
• Përveç tangjente, kosinusi, sinus dhe funksione të tjera standarde - kalkulatori mbështet operacionet e llogaritjes arktangjent, arkotangjente dhe të tjerët.
• Në dispozicion në Arsenal logaritme, faktorialet dhe veçori të tjera interesante
• Ky kalkulator në internet di të ndërtojë grafikë!!!

Për të hartuar grafikët, shërbimi përdor një buton të veçantë (grafiku është vizatuar në gri) ose një paraqitje me shkronjë të këtij funksioni (Plot). Për të ndërtuar një grafik në një kalkulator në internet, thjesht shkruani funksionin: komplot(tan(x)),x=-360..360.

Ne morëm grafikun më të thjeshtë për tangjenten dhe pas pikës dhjetore treguam diapazonin e ndryshores X nga -360 në 360.

Ju mund të ndërtoni absolutisht çdo funksion, me çdo numër variablash, për shembull: komplot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) apo edhe më komplekse që mund të dalësh me. Kushtojini vëmendje sjelljes së ndryshores X - intervali nga dhe në tregohet duke përdorur dy pika.

E vetmja negative (edhe pse është e vështirë ta quash një disavantazh) të këtij kalkulatori online është se nuk mund të ndërtojë sfera dhe figura të tjera tredimensionale - vetëm aeroplanë.

Si të përdorni kalkulatorin e matematikës

1. Ekrani (ekrani i makinës llogaritëse) shfaq shprehjen e futur dhe rezultatin e llogaritjes së saj në simbole të zakonshme, siç shkruajmë në letër. Kjo fushë është thjesht për të parë transaksionin aktual. Hyrja shfaqet në ekran ndërsa shkruani një shprehje matematikore në rreshtin e hyrjes.

2. Fusha e hyrjes së shprehjes është menduar për regjistrimin e shprehjes që duhet llogaritur. Këtu duhet theksuar se simbolet matematikore të përdorura në programet kompjuterike nuk janë gjithmonë të njëjta me ato që përdorim zakonisht në letër. Në përmbledhjen e secilit funksion të makinës llogaritëse do të gjeni përcaktimin e saktë të një operacioni specifik dhe shembuj të llogaritjeve në kalkulator. Në këtë faqe më poshtë është një listë e të gjitha veprimeve të mundshme në kalkulator, duke treguar gjithashtu drejtshkrimin e tyre të saktë.

3. Shiriti i veglave - këta janë butona llogaritës që zëvendësojnë futjen manuale të simboleve matematikore që tregojnë funksionimin përkatës. Disa butona të kalkulatorit (funksionet shtesë, konverteri i njësive, zgjidhja e matricave dhe ekuacioneve, grafikët) plotësojnë shiritin e detyrave me fusha të reja ku futen të dhënat për një llogaritje specifike. Fusha "Historia" përmban shembuj të shkrimit të shprehjeve matematikore, si dhe gjashtë hyrjet tuaja më të fundit.

Ju lutemi vini re se kur shtypni butonat për thirrjen e funksioneve shtesë, konvertimin e sasive, zgjidhjen e matricave dhe ekuacioneve dhe vizatimin e grafikëve, i gjithë paneli i kalkulatorit lëviz lart, duke mbuluar një pjesë të ekranit. Plotësoni fushat e kërkuara dhe shtypni tastin "I" (i theksuar me të kuqe në foto) për të parë ekranin në madhësi të plotë.

4. Tastiera numerike përmban numra dhe simbole aritmetike. Butoni "C" fshin të gjithë hyrjen në fushën e hyrjes së shprehjes. Për të fshirë karakteret një nga një, duhet të përdorni shigjetën në të djathtë të rreshtit të hyrjes.

Mundohuni të mbyllni gjithmonë kllapat në fund të një shprehjeje. Për shumicën e operacioneve kjo nuk është kritike, kalkulatori në internet do të llogarisë gjithçka në mënyrë korrekte. Megjithatë, në disa raste mund të ndodhin gabime. Për shembull, kur ngrihet në një fuqi thyesore, kllapat e pambyllura do të bëjnë që emëruesi i fraksionit në eksponent të shkojë në emëruesin e bazës. Kllapa e mbylljes shfaqet me gri të zbehtë në ekran dhe duhet të mbyllet kur të përfundojë regjistrimi.