TEMA: Integrimi i thyesave racionale.
Kujdes! Kur studiojmë një nga metodat bazë të integrimit: integrimin e thyesave racionale, kërkohet të merren parasysh polinomet në domenin kompleks për të kryer prova rigoroze. Prandaj është e nevojshme studioni paraprakisht disa veti të numrave kompleksë dhe veprime mbi to.
Integrimi i thyesave të thjeshta racionale.
Nëse P(z) Dhe P(z) janë polinome në domenin kompleks, atëherë janë thyesa racionale. Quhet e saktë, nëse diplomë P(z) më pak shkallë P(z) , Dhe gabim, nëse diplomë R jo më pak se një diplomë P.
Çdo fraksion jo i duhur mund të përfaqësohet si: 
,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
a R(z) – polinom shkalla e të cilit është më e vogël se shkalla P(z).
Kështu, integrimi i thyesave racionale zbret në integrimin e polinomeve, domethënë funksioneve të fuqisë dhe thyesave të duhura, pasi është një thyesë e duhur.
Përkufizimi 5. Thyesat më të thjeshta (ose elementare) janë llojet e mëposhtme të thyesave:
1) , 2) , 3) , 4) 
.
Le të zbulojmë se si ato integrohen.
3) 
(të studiuara më parë).
Teorema 5. Çdo thyesë e duhur mund të paraqitet si një shumë e thyesave të thjeshta (pa vërtetim).
Përfundim 1. Nëse është një thyesë e duhur racionale, dhe nëse midis rrënjëve të polinomit ka vetëm rrënjë të thjeshta reale, atëherë në zbërthimin e thyesës në shumën e thyesave të thjeshta do të ketë vetëm thyesa të thjeshta të llojit të parë:
Shembulli 1.
Përfundimi 2. Nëse është një thyesë e duhur racionale dhe nëse midis rrënjëve të polinomit ka vetëm shumë rrënjë reale, atëherë në zbërthimin e thyesës në shumën e thyesave të thjeshta do të ketë vetëm thyesa të thjeshta të tipit 1 dhe 2. :
Shembulli 2.
Përfundimi 3. Nëse është një thyesë e duhur racionale, dhe nëse midis rrënjëve të polinomit ka vetëm rrënjë të thjeshta komplekse të konjuguara, atëherë në zbërthimin e thyesës në shumën e thyesave të thjeshta do të ketë vetëm thyesa të thjeshta të llojit të tretë:
Shembulli 3.
Përfundimi 4. Nëse është një thyesë e duhur racionale dhe nëse midis rrënjëve të polinomit ka vetëm rrënjë të shumta komplekse të konjuguara, atëherë në zbërthimin e thyesës në shumën e thyesave të thjeshta do të ketë vetëm thyesa të thjeshta të 3-tës dhe 4-tës. llojet:
Për të përcaktuar koeficientët e panjohur në zgjerimet e dhëna veprohet si më poshtë. Ana e majtë dhe e djathtë e zgjerimit që përmban koeficientë të panjohur shumëzohen me Përftohet barazia e dy polinomeve. Prej tij, ekuacionet për koeficientët e kërkuar merren duke përdorur:
1. barazia është e vërtetë për çdo vlerë të X (metoda e vlerës së pjesshme). Në këtë rast, fitohet çdo numër ekuacionesh, çdo m prej të cilave mund të gjejë koeficientët e panjohur.
2. koeficientët përkojnë për të njëjtat shkallë të X (metoda e koeficientëve të pacaktuar). Në këtë rast, fitohet një sistem m - ekuacionesh me m - të panjohura, nga të cilat gjenden koeficientët e panjohur.
3. metodë e kombinuar.
Shembulli 5. Zgjero një thyesë 
tek më të thjeshtat.
Zgjidhja:
Le të gjejmë koeficientët A dhe B.
Metoda 1 - metoda e vlerës private:
Metoda 2 - metoda e koeficientëve të pacaktuar:
Përgjigje: 
Integrimi i thyesave racionale.
Teorema 6. Integrali i pacaktuar i çdo thyese racionale në çdo interval në të cilin emëruesi i tij nuk është i barabartë me zero ekziston dhe shprehet përmes funksioneve elementare, përkatësisht thyesave racionale, logaritmeve dhe arktangjentëve.
Dëshmi.
Le të imagjinojmë një thyesë racionale në formën: 
. Në këtë rast, termi i fundit është një thyesë e duhur, dhe sipas Teoremës 5 mund të përfaqësohet si një kombinim linear i thyesave të thjeshta. Kështu, integrimi i një thyese racionale reduktohet në integrimin e një polinomi S(x)
dhe thyesat e thjeshta, antiderivatet e të cilave, siç u tregua, kanë formën e treguar në teoremë.
Komentoni. Vështirësia kryesore në këtë rast është faktorizimi i emëruesit, domethënë kërkimi i të gjitha rrënjëve të tij.
Shembulli 1. Gjeni integralin
Siç e kam vërejtur tashmë, në llogaritjen integrale nuk ka një formulë të përshtatshme për integrimin e një fraksioni. Prandaj, ekziston një prirje e trishtueshme: sa më e sofistikuar të jetë fraksioni, aq më e vështirë është të gjesh integralin e saj. Në këtë drejtim, ju duhet të drejtoheni në truket e ndryshme, për të cilat tani do t'ju tregoj. Lexuesit e përgatitur mund të përfitojnë menjëherë tabela e përmbajtjes:
- Mënyra e nënshtrimit të shenjës diferenciale për thyesat e thjeshta
Metoda e konvertimit të numëruesit artificial
Shembulli 1
Meqë ra fjala, integrali i konsideruar mund të zgjidhet edhe me ndryshimin e metodës së ndryshores, duke treguar , por shkrimi i zgjidhjes do të jetë shumë më i gjatë.
Shembulli 2
Gjeni integralin e pacaktuar. Kryeni kontrollin.
Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Duhet të theksohet se metoda e zëvendësimit të variablave nuk do të funksionojë më këtu.
Kujdes, e rëndësishme! Shembujt nr. 1, 2 janë tipikë dhe ndodhin shpesh. Në veçanti, integrale të tilla shpesh lindin gjatë zgjidhjes së integraleve të tjera, në veçanti, kur integrohen funksionet irracionale (rrënjët).
Teknika e konsideruar gjithashtu funksionon në këtë rast nëse shkalla më e lartë e numëruesit është më e madhe se shkalla më e lartë e emëruesit.
Shembulli 3
Gjeni integralin e pacaktuar. Kryeni kontrollin.
Fillojmë të zgjedhim numëruesin.
Algoritmi për zgjedhjen e numëruesit është diçka si ky:
1) Në numërues duhet të organizoj, por atje. Çfarë duhet bërë? E vendos në kllapa dhe e shumëzoj me: .
2) Tani po përpiqem të hap këto kllapa, çfarë ndodh? . Hmm... kjo është më mirë, por fillimisht nuk ka dy në numërues. Çfarë duhet bërë? Ju duhet të shumëzoni me:
3) Hap përsëri kllapat: . Dhe këtu është suksesi i parë! Doli ashtu siç duhet! Por problemi është se është shfaqur një term shtesë. Çfarë duhet bërë? Për të parandaluar ndryshimin e shprehjes, duhet të shtoj të njëjtën gjë në konstruksionin tim: 
. Jeta është bërë më e lehtë. A është e mundur të organizohet përsëri në numërues?
4) Është e mundur. Le te perpiqemi: 
. Hapni kllapat e termit të dytë: 
. Na vjen keq, por në hapin e mëparshëm unë në fakt kisha , jo. Çfarë duhet bërë? Ju duhet të shumëzoni termin e dytë me: 
5) Përsëri, për të kontrolluar, hap kllapat në termin e dytë: 
. Tani është normale: rrjedh nga ndërtimi përfundimtar i pikës 3! Por përsëri ka një "por" të vogël, është shfaqur një term shtesë, që do të thotë që duhet të shtoj në shprehjen time: 
Nëse gjithçka është bërë në mënyrë korrekte, atëherë kur hapim të gjitha kllapat, duhet të marrim numëruesin origjinal të integrandit. Ne kontrollojmë:
Kapuç.
Kështu: 
Gati. Në termin e fundit, përdora metodën e nënshtrimit të një funksioni nën një diferencial.
Nëse gjejmë derivatin e përgjigjes dhe e reduktojmë shprehjen në një emërues të përbashkët, atëherë do të marrim saktësisht funksionin e integrandit origjinal. Metoda e konsideruar e zbërthimit në një shumë nuk është gjë tjetër veçse veprimi i kundërt i sjelljes së një shprehje në një emërues të përbashkët.
Algoritmi për zgjedhjen e numëruesit në shembuj të tillë bëhet më së miri në formë drafti. Me disa aftësi do të funksionojë mendërisht. Më kujtohet një rast rekordi kur po kryeja një përzgjedhje për fuqinë e 11-të, dhe zgjerimi i numëruesit mori pothuajse dy rreshta të Verdit.
Shembulli 4
Gjeni integralin e pacaktuar. Kryeni kontrollin.
Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.
Mënyra e nënshtrimit të shenjës diferenciale për thyesat e thjeshta
Le të vazhdojmë të shqyrtojmë llojin tjetër të thyesave.
, , , (koeficientët dhe nuk janë të barabartë me zero).
Në fakt, disa raste me arksine dhe arktangent janë përmendur tashmë në mësim Metoda e ndryshimit të ndryshores në integral të pacaktuar. Shembuj të tillë zgjidhen duke e futur funksionin nën shenjën diferenciale dhe duke u integruar më tej duke përdorur një tabelë. Këtu janë shembuj më tipikë me logaritme të gjata dhe të larta:
Shembulli 5
Shembulli 6
Këtu këshillohet të zgjidhni një tabelë integrale dhe të shihni se cilat formula dhe Si bëhet transformimi. Shënim, si dhe pse Sheshet në këta shembuj janë të theksuar. Në veçanti, në Shembullin 6 së pari duhet të paraqesim emëruesin në formë 
, pastaj futeni nën shenjën diferenciale. Dhe e gjithë kjo duhet të bëhet për të përdorur formulën standarde tabelare 
.
Pse shikoni, përpiquni t'i zgjidhni vetë shembujt nr. 7, 8, veçanërisht pasi ato janë mjaft të shkurtra:
Shembulli 7
Shembulli 8
Gjeni integralin e pacaktuar:
Nëse arrini t'i kontrolloni edhe këta shembuj, atëherë respekt i madh - aftësitë tuaja të diferencimit janë të shkëlqyera.
Metoda e zgjedhjes së katrorit të plotë
Integrale të formës 
(koeficientët dhe nuk janë të barabartë me zero) janë zgjidhur metoda e plotë e nxjerrjes katrore, e cila tashmë është shfaqur në mësim Shndërrimet gjeometrike të grafikëve.
Në fakt, integrale të tilla reduktohen në një nga katër integralet e tabelës që sapo shikuam. Dhe kjo arrihet duke përdorur formulat e njohura të shkurtuara të shumëzimit:
Formulat zbatohen pikërisht në këtë drejtim, domethënë, ideja e metodës është të organizojë artificialisht shprehjet ose në emërues, dhe pastaj t'i konvertojë ato në përputhje me rrethanat në secilën prej tyre.
Shembulli 9
Gjeni integralin e pacaktuar
Ky është shembulli më i thjeshtë në të cilin me termin – koeficienti njësi(jo ndonjë numër ose minus).
Le të shohim emëruesin, këtu e gjithë çështja del qartë tek rastësia. Le të fillojmë konvertimin e emëruesit:
Natyrisht, ju duhet të shtoni 4. Dhe, në mënyrë që shprehja të mos ndryshojë, zbritni të njëjtat katër:
Tani mund të aplikoni formulën:
Pasi të përfundojë konvertimi GJITHMONË Këshillohet të kryeni lëvizjen e kundërt: gjithçka është në rregull, nuk ka gabime.
Dizajni përfundimtar i shembullit në fjalë duhet të duket diçka si kjo: 
Gati. Përfshirja e një funksioni kompleks "të lirë" nën shenjën diferenciale: , në parim, mund të neglizhohet
Shembulli 10
Gjeni integralin e pacaktuar:
Ky është një shembull që ju ta zgjidhni vetë, përgjigja është në fund të mësimit
Shembulli 11
Gjeni integralin e pacaktuar:
Çfarë duhet të bëni kur ka një minus përpara? Në këtë rast, duhet të heqim minusin nga kllapat dhe t'i renditim termat sipas rendit që na duhen: . Konstante("dy" në këtë rast) mos prek!
Tani shtojmë një në kllapa. Duke analizuar shprehjen, arrijmë në përfundimin se duhet të shtojmë një jashtë kllapave:
Këtu marrim formulën, aplikoni:
GJITHMONË Ne kontrollojmë draftin:
, e cila ishte ajo që duhej të kontrollohej.
Shembulli i pastër duket diçka si ky: 
Duke e bërë detyrën më të vështirë
Shembulli 12
Gjeni integralin e pacaktuar: 
Këtu termi nuk është më një koeficient njësi, por një "pesë".
(1) Nëse ka një konstante në, atëherë e heqim menjëherë nga kllapat.
(2) Në përgjithësi, është gjithmonë më mirë që kjo konstante të zhvendoset jashtë integralit në mënyrë që të mos pengohet.
(3) Natyrisht, gjithçka do të zbresë në formulë. Ne duhet të kuptojmë termin, domethënë, të marrim "dy"
(4) Po, . Kjo do të thotë që ne i shtojmë shprehjes dhe zbresim të njëjtën thyesë.
(5) Tani zgjidhni një katror të plotë. Në rastin e përgjithshëm, ne gjithashtu duhet të llogarisim, por këtu kemi një formulë për një logaritëm të gjatë 
, dhe nuk ka kuptim në kryerjen e veprimit pse do të bëhet e qartë më poshtë.
(6) Në fakt, ju mund të aplikoni formulën 
, vetëm në vend të “X” kemi , që nuk e mohon vlefshmërinë e integralit të tabelës. Në mënyrë të rreptë, një hap humbi - para integrimit, funksioni duhet të ishte nënshtruar nën shenjën diferenciale: 
, por, siç e kam theksuar në mënyrë të përsëritur, kjo shpesh neglizhohet.
(7) Në përgjigjen nën rrënjë, këshillohet të zgjeroni të gjitha kllapat prapa:
E veshtire? Kjo nuk është pjesa më e vështirë e llogaritjes integrale. Megjithëse, shembujt në shqyrtim nuk janë aq kompleks sa kërkojnë teknika të mira llogaritëse.
Shembulli 13
Gjeni integralin e pacaktuar:
Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Përgjigja është në fund të mësimit.
Ka integrale me rrënjë në emërues, të cilat, duke përdorur një zëvendësim, reduktohen në integrale të llojit të konsideruar që mund të lexoni rreth tyre në artikull; Integrale komplekse, por është krijuar për studentë shumë të përgatitur.
Përfshirja e numëruesit nën shenjën diferenciale
Kjo është pjesa e fundit e mësimit, megjithatë, integralet e këtij lloji janë mjaft të zakonshme! Nëse jeni të lodhur, ndoshta është më mirë të lexoni nesër? ;)
Integralet që do të shqyrtojmë janë të ngjashëm me integralet e paragrafit të mëparshëm, kanë formën: ose 
(koeficientët , dhe nuk janë të barabartë me zero).
Kjo do të thotë, ne tani kemi një funksion linear në numërues. Si të zgjidhen integrale të tilla?
Siç dihet, çdo funksion racional i disa ndryshoreve x mund të zbërthehet në një polinom dhe në thyesat më të thjeshta, elementare. Ekzistojnë katër lloje thyesash të thjeshta:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Këtu a, A, B, b, c janë numra realë. Ekuacioni x 2 + bx + c = 0 nuk ka rrënjë të vërteta.
Integrimi i thyesave të dy llojeve të para
Integrimi i dy thyesave të para bëhet duke përdorur formulat e mëposhtme nga tabela e integraleve:
,
, n ≠ - 1
.
1. Integrimi i thyesave të tipit të parë
Një pjesë e tipit të parë reduktohet në një integral tabele me zëvendësimin t = x - a:
.
2. Integrimi i thyesave të llojit të dytë
Pjesa e tipit të dytë reduktohet në një integral tabele me të njëjtin zëvendësim t = x - a:
.
3. Integrimi i thyesave të llojit të tretë
Konsideroni integralin e një fraksioni të llojit të tretë:
.
Ne do ta llogarisim atë në dy hapa.
3.1. Hapi 1. Zgjidhni derivatin e emëruesit në numërues
Le të veçojmë derivatin e emëruesit në numëruesin e thyesës. Le të shënojmë: u = x 2 + bx + c. Të dallojmë: u′ = 2 x + b. Pastaj
;
.
Por
.
Ne e kemi lënë jashtë shenjën e modulit sepse .
Pastaj:
,
Ku
.
3.2. Hapi 2. Njehsoni integralin me A = 0, B=1
Tani llogarisim integralin e mbetur:
.
E sjellim emëruesin e thyesës në shumën e katrorëve:
,
Ku .
Ne besojmë se ekuacioni x 2 + bx + c = 0 nuk ka rrënjë. Kjo është arsyeja pse.
Le të bëjmë një zëvendësim
,
.
.
Kështu që,
.
Kështu, gjetëm integralin e një fraksioni të llojit të tretë:
,
Ku .
4. Integrimi i thyesave të tipit të katërt
Dhe së fundi, merrni parasysh integralin e një fraksioni të llojit të katërt:
.
Ne e llogarisim atë në tre hapa.
4.1) Zgjidhni derivatin e emëruesit në numërues:
.
4.2) Njehsoni integralin
.
4.3) Njehsoni integralet
,
duke përdorur formulën e reduktimit:
.
4.1. Hapi 1. Izolimi i derivatit të emëruesit në numërues
Le të izolojmë derivatin e emëruesit në numërues, siç bëmë në . Le të shënojmë u = x 2 + bx + c. Të dallojmë: u′ = 2 x + b. Pastaj
.
.
Por
.
Më në fund kemi:
.
4.2. Hapi 2. Llogaritni integralin me n = 1
Njehsoni integralin
.
Llogaritja e tij është përshkruar në.
4.3. Hapi 3. Nxjerrja e formulës së reduktimit
Tani merrni parasysh integralin
.
Ne e zvogëlojmë trinomin kuadratik në shumën e katrorëve:
.
Këtu.
Le të bëjmë një zëvendësim.
.
.
Ne kryejmë transformime dhe integrohemi në pjesë.
.
Le të shumëzojmë me 2 (n - 1):
.
Le të kthehemi te x dhe unë n.
,
;
;
.
Pra, për I n kemi marrë formulën e reduktimit:
.
Duke zbatuar vazhdimisht këtë formulë, ne reduktojmë integralin I n në I 1
.
Shembull
Llogarit integralin
Zgjidhje
1.
Le të veçojmë derivatin e emëruesit në numërues.
;
;
.
Këtu
.
2.
Llogaritim integralin e thyesës më të thjeshtë.
.
3.
Ne aplikojmë formulën e reduktimit:
për integralin.
Në rastin tonë b = 1
, c = 1
,
4 c - b 2 = 3. Ne e shkruajmë këtë formulë për n = 2
dhe n = 3
:
;
.
Nga këtu
.
Më në fund kemi:
.
Gjeni koeficientin për .
.
Materiali i paraqitur në këtë temë bazohet në informacionin e paraqitur në temën "Tyesat racionale. Zbërthimi i thyesave racionale në thyesa elementare (të thjeshta)". Unë rekomandoj shumë që të paktën të kaloni nëpër këtë temë përpara se të kaloni në leximin e këtij materiali. Për më tepër, do të na duhet një tabelë integralesh të pacaktuar.
Më lejoni t'ju kujtoj disa terma. Ato u diskutuan në temën përkatëse, kështu që këtu do të kufizohem në një formulim të shkurtër.
Raporti i dy polinomeve $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ quhet funksion racional ose thyesë racionale. Thyesa racionale quhet e saktë, nëse $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется gabim.
Thyesat racionale elementare (më të thjeshta) janë thyesa racionale të katër llojeve:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Shënim (e dëshirueshme për një kuptim më të plotë të tekstit): shfaq/fsheh
Pse nevojitet kushti $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Për shembull, për shprehjen $x^2+5x+10$ marrim: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Meqenëse $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Meqë ra fjala, për këtë kontroll nuk është aspak e nevojshme që koeficienti i $x^2$ të jetë i barabartë me 1. Për shembull, për $5x^2+7x-3=0$ marrim: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Meqenëse $D > 0$, shprehja $5x^2+7x-3$ është e faktorizueshme.
Mund të gjenden shembuj të thyesave racionale (të duhura dhe të pahijshme), si dhe shembuj të zbërthimit të një thyese racionale në ato elementare. Këtu do të na interesojnë vetëm çështjet e integrimit të tyre. Le të fillojmë me integrimin e thyesave elementare. Pra, secili nga katër llojet e fraksioneve elementare të mësipërme është i lehtë për t'u integruar duke përdorur formulat e mëposhtme. Më lejoni t'ju kujtoj se kur integrohen thyesat e llojeve (2) dhe (4), supozohen $n=2,3,4,\ldots$. Formulat (3) dhe (4) kërkojnë plotësimin e kushtit $p^2-4q< 0$.
\fillimi(ekuacioni) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \fund(ekuacioni) \fillimi(ekuacioni) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \fund(ekuacioni) \fillimi(ekuacioni) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \fund(ekuacion)
Për $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ bëhet zëvendësimi $t=x+\frac(p)(2)$, pas së cilës intervali që rezulton është ndarë në dy. E para do të llogaritet duke futur nën shenjën diferenciale dhe e dyta do të ketë formën $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ky integral merret duke përdorur relacionin e përsëritjes
\fillim(ekuacion) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\në N\fund (ekuacioni)
Llogaritja e një integrali të tillë diskutohet në shembullin nr. 7 (shih pjesën e tretë).
Skema për llogaritjen e integraleve të funksioneve racionale (thyesat racionale):
- Nëse integrandi është elementar, atëherë aplikoni formulat (1)-(4).
- Nëse integrandi nuk është elementar, atëherë përfaqësojeni atë si një shumë të thyesave elementare dhe më pas integrojeni duke përdorur formulat (1)-(4).
Algoritmi i mësipërm për integrimin e fraksioneve racionale ka një avantazh të pamohueshëm - është universal. Ato. duke përdorur këtë algoritëm ju mund të integroni ndonjë thyesa racionale. Kjo është arsyeja pse pothuajse të gjitha ndryshimet e ndryshoreve në një integral të pacaktuar (Euler, Chebyshev, zëvendësimi universal trigonometrik) bëhen në atë mënyrë që pas këtij ndryshimi të marrim një fraksion racional nën interval. Dhe pastaj aplikoni algoritmin për të. Ne do të analizojmë zbatimin e drejtpërdrejtë të këtij algoritmi duke përdorur shembuj, pasi të bëjmë një shënim të vogël.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Në parim, ky integral është i lehtë për t'u marrë pa aplikim mekanik të formulës. Nëse marrim konstanten $7$ nga shenja integrale dhe marrim parasysh se $dx=d(x+9)$, marrim:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Për informacion të detajuar, unë rekomandoj të shikoni temën. Ai shpjegon në detaje se si zgjidhen integrale të tillë. Nga rruga, formula vërtetohet nga të njëjtat transformime që u zbatuan në këtë paragraf kur zgjidhet "me dorë".
2) Përsëri, ka dy mënyra: përdorni formulën e gatshme ose bëni pa të. Nëse aplikoni formulën, duhet të keni parasysh se koeficienti përpara $x$ (numri 4) do të duhet të hiqet. Për ta bërë këtë, le të marrim këto katër nga kllapat:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\djathtas)\djathtas)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\majtas(x+\frac(19)(4)\djathtas)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\majtas(x+\frac(19)(4)\djathtas)^8). $$
Tani është koha për të aplikuar formulën:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\majtas(x+\frac(19)(4)\djathtas)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\majtas(x+\frac(19)(4) \djathtas)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \djathtas)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \djathtas )^7)+C. $$
Ju mund të bëni pa përdorur formulën. Dhe madje edhe pa hequr 4$ konstante nga kllapat. Nëse marrim parasysh se $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, marrim:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Shpjegime të hollësishme për gjetjen e integraleve të tilla jepen në temën “Integrimi me zëvendësim (zëvendësimi nën shenjën diferenciale)”.
3) Duhet të integrojmë thyesën $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Kjo thyesë ka strukturën $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, ku $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Megjithatë, për t'u siguruar që kjo është me të vërtetë një fraksion elementar i llojit të tretë, duhet të kontrolloni nëse kushti $p^2-4q plotësohet< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Le të zgjidhim të njëjtin shembull, por pa përdorur një formulë të gatshme. Le të përpiqemi të izolojmë derivatin e emëruesit në numërues. Çfarë do të thotë kjo? Ne e dimë se $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Është shprehja $2x+10$ që duhet ta izolojmë në numërues. Deri tani numëruesi përmban vetëm $4x+7$, por kjo nuk do të zgjasë shumë, le të zbatojmë transformimin e mëposhtëm në numërues
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
Tani shprehja e kërkuar $2x+10$ shfaqet në numërues. Dhe integrali ynë mund të rishkruhet si më poshtë:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Le ta ndajmë integranin në dysh. Epo, dhe, në përputhje me rrethanat, vetë integrali është gjithashtu "i dyfishuar":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \djathtas)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Le të flasim fillimisht për integralin e parë, d.m.th. rreth $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Meqenëse $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, atëherë numëruesi i integrandit përmban diferencialin e emëruesit. Shkurtimisht, në vend të kësaj të shprehjes $( 2x+10)dx$ shkruajmë $d(x^2+10x+34)$.
Tani le të themi disa fjalë për integralin e dytë. Le të zgjedhim një katror të plotë në emërues: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Përveç kësaj, ne marrim parasysh $dx=d(x+5)$. Tani shuma e integraleve që kemi marrë më parë mund të rishkruhet në një formë paksa të ndryshme:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
Nëse bëjmë zëvendësimin $u=x^2+10x+34$ në integralin e parë, atëherë ai do të marrë formën $\int\frac(du)(u)$ dhe mund të merret thjesht duke aplikuar formulën e dytë nga . Sa i përket integralit të dytë, ndryshimi $u=x+5$ është i realizueshëm për të, pas së cilës ai do të marrë formën $\int\frac(du)(u^2+9)$. Kjo është formula e njëmbëdhjetë më e pastër nga tabela e integraleve të pacaktuara. Pra, duke u kthyer në shumën e integraleve, kemi:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Ne morëm të njëjtën përgjigje si gjatë aplikimit të formulës, e cila, në mënyrë rigoroze, nuk është befasuese. Në përgjithësi, formula vërtetohet me të njëjtat metoda që kemi përdorur për të gjetur këtë integral. Besoj se lexuesi i vëmendshëm mund të ketë një pyetje këtu, ndaj do ta formuloj:
Pyetja nr. 1
Nëse aplikojmë formulën e dytë nga tabela e integraleve të pacaktuara në integralin $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, atëherë marrim si vijon:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Pse nuk kishte asnjë modul në zgjidhje?
Përgjigja e pyetjes numër 1
Pyetja është krejtësisht e natyrshme. Moduli mungonte vetëm sepse shprehja $x^2+10x+34$ për çdo $x\in R$ është më e madhe se zero. Kjo është mjaft e lehtë për t'u treguar në disa mënyra. Për shembull, meqë $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ dhe $(x+5)^2 ≥ 0$, pastaj $(x+5)^2+9 > 0$ . Mund të mendoni ndryshe, pa përdorur përzgjedhjen e një katrori të plotë. Që nga $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ për çdo $x\në R$ (nëse ky zinxhir logjik është befasues, ju këshilloj të shikoni metodën grafike për zgjidhjen e pabarazive kuadratike). Në çdo rast, meqë $x^2+10x+34 > 0$, atëherë $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, d.m.th. Në vend të një moduli, mund të përdorni kllapa të rregullta.
Të gjitha pikat e shembullit nr. 1 janë zgjidhur, ajo që mbetet është të shkruajmë përgjigjen.
Përgjigju:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.
Shembulli nr. 2
Gjeni integralin $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
Në pamje të parë, fraksioni integrand $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ është shumë i ngjashëm me një fraksion elementar të tipit të tretë, d.m.th. nga $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Duket se ndryshimi i vetëm është koeficienti prej $3$ përballë $x^2$, por nuk kërkon shumë kohë për të hequr koeficientin (e vendosim jashtë kllapave). Megjithatë, kjo ngjashmëri është e dukshme. Për thyesën $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ kushti $p^2-4q është i detyrueshëm< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Koeficienti ynë përpara $x^2$ nuk është i barabartë me një, prandaj kontrolloni kushtin $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, prandaj shprehja $3x^2-5x-2$ mund të faktorizohet. Kjo do të thotë se fraksioni $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nuk është një fraksion elementar i llojit të tretë dhe aplikoni $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) në formulën integrale 5x-2)dx$ nuk është e mundur.
Epo, nëse thyesa racionale e dhënë nuk është një thyesë elementare, atëherë ajo duhet të paraqitet si një shumë e thyesave elementare dhe pastaj të integrohet. Me pak fjalë, përfitoni nga shtegu. Si të zbërthehet një thyesë racionale në ato elementare është shkruar në detaje. Le të fillojmë duke faktorizuar emëruesin:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \fillimi(lidhur) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\ fund (lidhur)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\djathtas)\djathtas)\cdot (x-2)= 3\cdot\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas)(x-2). $$
Ne e paraqesim fraksionin nënndërkalues në këtë formë:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas)(x-2)). $$
Tani le të zbërthejmë fraksionin $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\djathtas)(x-2))$ në ato elementare:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas))(\majtas(x+ \frac(1)(3)\djathtas)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\majtas(x+\frac(1)( 3)\djathtas). $$
Për të gjetur koeficientët $A$ dhe $B$ ekzistojnë dy mënyra standarde: metoda e koeficientëve të papërcaktuar dhe metoda e zëvendësimit të vlerave të pjesshme. Le të zbatojmë metodën e zëvendësimit të vlerës së pjesshme, duke zëvendësuar $x=2$ dhe më pas $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\djathtas); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \djathtas)+4=A\majtas(-\frac(1)(3)-2\djathtas)+B\majtas (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\djathtas); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Meqenëse koeficientët janë gjetur, gjithçka që mbetet është të shënoni zgjerimin e përfunduar:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
Në parim, ju mund ta lini këtë hyrje, por më pëlqen një opsion më i saktë:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Duke u kthyer në integralin origjinal, ne zëvendësojmë zgjerimin që rezulton në të. Më pas e ndajmë integralin në dysh dhe aplikojmë formulën për secilën. Preferoj të vendos menjëherë konstantet jashtë shenjës integrale:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\djathtas)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\djathtas)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\djathtas)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\majtas|x+\frac(1)(3)\djathtas|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Përgjigju: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\majtas|x+\frac(1)(3)\djathtas| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Shembulli nr. 3
Gjeni integralin $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Duhet të integrojmë thyesën $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Numëruesi përmban një polinom të shkallës së dytë, dhe emëruesi përmban një polinom të shkallës së tretë. Meqenëse shkalla e polinomit në numërues është më e vogël se shkalla e polinomit në emërues, d.m.th. 2 dollarë< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
Gjithçka që duhet të bëjmë është të ndajmë integralin e dhënë në tre dhe të zbatojmë formulën për secilin. Preferoj të vendos menjëherë konstantet jashtë shenjës integrale:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \djathtas)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Përgjigju: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Vazhdimi i analizës së shembujve të kësaj teme gjendet në pjesën e dytë.
Këtu ne ofrojmë zgjidhje të detajuara për tre shembuj të integrimit të thyesave racionale të mëposhtme:
,
,
.
Shembulli 1
Llogarit integralin:
.
Zgjidhje
Këtu, nën shenjën integrale ekziston një funksion racional, pasi integrani është një pjesë e polinomeve. Shkalla e polinomit të emërtuesit ( 3 ) është më e vogël se shkalla e polinomit numërues ( 4 ). Prandaj, së pari ju duhet të zgjidhni të gjithë pjesën e fraksionit.
1.
Le të zgjedhim të gjithë pjesën e thyesës. Ndani x 4
nga x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Nga këtu
.
2.
Të faktorizojmë emëruesin e thyesës. Për ta bërë këtë, ju duhet të zgjidhni ekuacionin kub:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Le të zëvendësojmë x = 1
:
.
1
. Pjestojeni me x - 1
:
Nga këtu
.
Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik.
.
Rrënjët e ekuacionit janë: , .
Pastaj
.
3.
Le ta zbërthejmë thyesën në formën e saj më të thjeshtë.
.
Kështu ne gjetëm:
.
Le të integrohemi.
Përgjigju
Shembulli 2
Llogarit integralin:
.
Zgjidhje
Këtu numëruesi i thyesës është një polinom i shkallës zero ( 1 = x 0). Emëruesi është një polinom i shkallës së tretë. Sepse 0 < 3 , atëherë thyesa është e saktë. Le ta zbërthejmë në thyesa të thjeshta.
1.
Të faktorizojmë emëruesin e thyesës. Për ta bërë këtë, ju duhet të zgjidhni ekuacionin e shkallës së tretë:
.
Le të supozojmë se ka të paktën një rrënjë të tërë. Atëherë është pjesëtues i numrit 3
(anëtar pa x). Kjo do të thotë, e gjithë rrënja mund të jetë një nga numrat:
1, 3, -1, -3
.
Le të zëvendësojmë x = 1
:
.
Pra, ne kemi gjetur një rrënjë x = 1
. Ndani x 3 + 2 x - 3 në x - 1
:
Kështu që,
.
Zgjidhja e ekuacionit kuadratik:
x 2 + x + 3 = 0.
Gjeni diskriminuesin: D = 1 2 - 4 3 = -11. Që nga D< 0
, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë reale. Kështu, kemi marrë faktorizimin e emëruesit:
.
2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1)
.
Le të zëvendësojmë x = 1
. Pastaj x - 1 = 0
,
.
Le të zëvendësojmë (2.1)
x = 0
:
1 = 3 A - C;
.
Le të barazojmë me (2.1)
koeficientët për x 2
:
;
0 = A + B;
.
.
3.
Le të integrohemi.
(2.2)
.
Për të llogaritur integralin e dytë, ne izolojmë derivatin e emëruesit në numërues dhe e reduktojmë emëruesin në shumën e katrorëve.
;
;
.
Llogaritni I 2
.
.
Që nga ekuacioni x 2 + x + 3 = 0 nuk ka rrënjë të vërteta, atëherë x 2 + x + 3 > 0. Prandaj, shenja e modulit mund të hiqet.
Ne dorëzojmë në (2.2)
:
.
Përgjigju
Shembulli 3
Llogarit integralin:
.
Zgjidhje
Këtu nën shenjën integrale është një pjesë e polinomeve. Prandaj, integrandi është një funksion racional. Shkalla e polinomit në numërues është e barabartë me 3 . Shkalla e polinomit të emëruesit të thyesës është e barabartë me 4 . Sepse 3 < 4 , atëherë thyesa është e saktë. Prandaj, mund të zbërthehet në fraksione të thjeshta. Por për ta bërë këtë ju duhet të faktorizoni emëruesin.
1.
Të faktorizojmë emëruesin e thyesës. Për ta bërë këtë, ju duhet të zgjidhni ekuacionin e shkallës së katërt:
.
Le të supozojmë se ka të paktën një rrënjë të tërë. Atëherë është pjesëtues i numrit 2
(anëtar pa x). Kjo do të thotë, e gjithë rrënja mund të jetë një nga numrat:
1, 2, -1, -2
.
Le të zëvendësojmë x = -1
:
.
Pra, ne kemi gjetur një rrënjë x = -1
. Pjestojeni me x - (-1) = x + 1:
Kështu që,
.
Tani duhet të zgjidhim ekuacionin e shkallës së tretë:
.
Nëse supozojmë se ky ekuacion ka një rrënjë numër të plotë, atëherë ai është pjesëtues i numrit 2
(anëtar pa x). Kjo do të thotë, e gjithë rrënja mund të jetë një nga numrat:
1, 2, -1, -2
.
Le të zëvendësojmë x = -1
:
.
Pra, gjetëm një rrënjë tjetër x = -1
. Do të ishte e mundur, si në rastin e mëparshëm, të ndajmë polinomin me , por ne do të grupojmë termat:
.
Që nga ekuacioni x 2 + 2 = 0
nuk ka rrënjë të vërteta, atëherë marrim faktorizimin e emëruesit:
.
2.
Le ta zbërthejmë thyesën në formën e saj më të thjeshtë. Ne jemi duke kërkuar për një zgjerim në formën:
.
Ne heqim qafe emëruesin e thyesës, shumëzohemi me (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1)
.
Le të zëvendësojmë x = -1
. Pastaj x + 1 = 0
,
.
Le të dallojmë (3.1)
:
;
.
Le të zëvendësojmë x = -1
dhe merrni parasysh se x + 1 = 0
:
;
;
.
Le të zëvendësojmë (3.1)
x = 0
:
0 = 2 A + 2 B + D;
.
Le të barazojmë me (3.1)
koeficientët për x 3
:
;
1 = B + C;
.
Pra, ne kemi gjetur zbërthimin në fraksione të thjeshta:
.
3.
Le të integrohemi.
.
