Metoda e intervalit konsiderohet të jetë universale për zgjidhjen e pabarazive. Ndonjëherë kjo metodë quhet edhe metoda e hendekut. Mund të përdoret si për zgjidhjen e pabarazive racionale me një ndryshore ashtu edhe për pabarazitë e llojeve të tjera. Në materialin tonë ne u përpoqëm t'i kushtonim vëmendje të gjitha aspekteve të çështjes.

Çfarë ju pret në këtë seksion? Ne do të analizojmë metodën e intervalit dhe do të shqyrtojmë algoritmet për zgjidhjen e pabarazive duke përdorur atë. Le të prekim aspektet teorike në të cilat bazohet aplikimi i metodës.

Ne i kushtojmë vëmendje të veçantë nuancave të temës, të cilat zakonisht nuk trajtohen në kurrikulën shkollore. Për shembull, le të shqyrtojmë rregullat për rregullimin e shenjave në intervale dhe vetë metodën e intervalit në formë të përgjithshme, pa lidhjen e saj me pabarazitë racionale.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritmi

Kush e mban mend se si u prezantua metoda e intervaleve në një kurs shkollor algjebër? Zakonisht gjithçka fillon me zgjidhjen e pabarazive të formës f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >ose ≥). Këtu f(x) mund të jetë një polinom ose një raport i polinomeve. Polinomi, nga ana tjetër, mund të përfaqësohet si:

• prodhimi i binomeve lineare me koeficient 1 për ndryshoren x;
• prodhimi i trinomeve kuadratike me koeficient kryesor 1 dhe diskriminues negativ i rrënjëve të tyre.

Këtu janë disa shembuj të pabarazive të tilla:

(x + 3) · (x 2 − x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) · (x + 5) x + 3 > 0,

(x − 5) · (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0.

Le të shkruajmë një algoritëm për zgjidhjen e pabarazive të këtij lloji, siç kemi dhënë në shembuj, duke përdorur metodën e intervalit:

• gjejmë zerot e numëruesit dhe emëruesit, për këtë barazojmë me zero numëruesin dhe emëruesin e shprehjes në anën e majtë të mosbarazimit dhe zgjidhim ekuacionet që rezultojnë;
• përcaktojmë pikat që u përgjigjen zerave të gjetura dhe i shënojmë me viza në boshtin koordinativ;
• përcaktojnë shenjat e shprehjes f(x) nga ana e majtë e pabarazisë që zgjidhet në çdo interval dhe vendos ato në grafik;
• ne aplikojmë hije mbi seksionet e kërkuara të grafikut, të udhëhequr nga rregulli i mëposhtëm: nëse pabarazia ka shenja< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >ose ≥ , më pas theksojmë duke hijezuar zonat e shënuara me shenjën “+”.

Modeli me të cilin do të punojmë mund të ketë një pamje skematike. Detajet e tepërta mund të mbingarkojnë vizatimin dhe ta bëjnë të vështirë zgjidhjen e tij. Ne do të kemi pak interes në shkallë. Do të jetë e mjaftueshme t'i përmbaheni vendndodhjes së saktë të pikave pasi vlerat e koordinatave të tyre rriten.

Kur punojmë me pabarazi strikte, do të përdorim shënimin e një pike në formën e një rrethi me një qendër të paplotësuar (bosh). Në rastin e pabarazive jo të rrepta, ne do t'i përshkruajmë pikat që korrespondojnë me zerot e emëruesit si bosh, dhe të gjitha të tjerat si të zeza të zakonshme.

Pikat e shënuara e ndajnë vijën koordinative në disa intervale numerike. Kjo na lejon të marrim një paraqitje gjeometrike të një bashkësie numerike, e cila në fakt është një zgjidhje për këtë pabarazi.

Shkenca e metodës së hendekut

Qasja në bazë të metodës së intervalit bazohet në vetinë e mëposhtme të një funksioni të vazhdueshëm: funksioni mban një shenjë konstante në intervalin (a, b) në të cilin ky funksion është i vazhdueshëm dhe nuk zhduket. E njëjta veti është karakteristike për rrezet numerike (− ∞ , a) dhe (a, + ∞).

Kjo veti e funksionit konfirmohet nga teorema Bolzano-Cauchy, e cila jepet në shumë tekste shkollore për përgatitjen për provimet pranuese.

Qëndrueshmëria e shenjës në intervale mund të justifikohet edhe në bazë të vetive të pabarazive numerike. Për shembull, merrni pabarazinë x - 5 x + 1 > 0. Nëse gjejmë zerot e numëruesit dhe emëruesit dhe i vizatojmë në vijën numerike, do të marrim një seri intervalesh: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) dhe (5 , + ∞) .

Le të marrim ndonjë nga intervalet dhe të tregojmë mbi të se gjatë gjithë intervalit shprehja në anën e majtë të pabarazisë do të ketë një shenjë konstante. Le të jetë ky intervali (− ∞ , − 1) . Le të marrim çdo numër t nga ky interval. Do të plotësojë kushtet t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Duke përdorur si pabarazitë rezultuese ashtu edhe vetinë e pabarazive numerike, mund të supozojmë se t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t në intervalin (− ∞ , − 1) .

Duke përdorur rregullin për pjesëtimin e numrave negativë, mund të themi se vlera e shprehjes t - 5 t + 1 do të jetë pozitive. Kjo do të thotë se vlera e shprehjes x - 5 x + 1 do të jetë pozitive për çdo vlerë x nga mes (− ∞ , − 1) . E gjithë kjo na lejon të pohojmë se në intervalin e marrë si shembull, shprehja ka një shenjë konstante. Në rastin tonë, kjo është shenja "+".

Gjetja e zeros së numëruesit dhe emëruesit

Algoritmi për gjetjen e zerave është i thjeshtë: ne barazojmë shprehjet nga numëruesi dhe emëruesi me zero dhe zgjidhim ekuacionet që rezultojnë. Nëse keni ndonjë vështirësi, mund t'i referoheni temës "Zgjidhja e ekuacioneve me faktorizim". Në këtë pjesë do të kufizohemi vetëm në një shembull.

Konsideroni thyesën x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3. Për të gjetur zerot e numëruesit dhe emëruesit, i barazojmë me zero për të marrë dhe zgjidhur ekuacionet: x (x − 0, 6) = 0 dhe x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

Në rastin e parë, mund të shkojmë te bashkësia e dy ekuacioneve x = 0 dhe x − 0, 6 = 0, e cila na jep dy rrënjë 0 dhe 0, 6. Këto janë zerot e numëruesit.

Ekuacioni i dytë është i barabartë me grupin e tre ekuacioneve x 7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Ne kryejmë një seri transformimesh dhe marrim x = 0, x 2 + 2 · x + 7 = 0, x + 5 = 0. Rrënja e ekuacionit të parë është 0, ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë, pasi ka një diskriminues negativ, rrënja e ekuacionit të tretë është 5. Këto janë zero të emëruesit.

0 në këtë rast është edhe zeroja e numëruesit edhe zeroja e emëruesit.

Në përgjithësi, kur ana e majtë e një pabarazie përmban një thyesë që nuk është domosdoshmërisht racionale, numëruesi dhe emëruesi janë gjithashtu të barabartë me zero për të marrë ekuacionet. Zgjidhja e ekuacioneve ju lejon të gjeni zerot e numëruesit dhe emëruesit.

Përcaktimi i shenjës së një intervali është i thjeshtë. Për ta bërë këtë, ju mund të gjeni vlerën e shprehjes nga ana e majtë e pabarazisë për çdo pikë të zgjedhur në mënyrë arbitrare nga një interval i caktuar. Shenja rezultuese e vlerës së shprehjes në një pikë të zgjedhur në mënyrë arbitrare në interval do të përkojë me shenjën e të gjithë intervalit.

Le ta shohim këtë deklaratë me një shembull.

Le të marrim pabarazinë x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0. Shprehja në anën e majtë të mosbarazimit nuk ka zero në numërues. Zero e emëruesit do të jetë numri - 3. Ne marrim dy intervale në vijën numerike (− ∞ , − 3) dhe (− 3 , + ∞) .

Për të përcaktuar shenjat e intervaleve, llogarisim vlerën e shprehjes x 2 - x + 4 x + 3 për pikat e marra në mënyrë arbitrare në secilin prej intervaleve.

Nga hendeku i parë (− ∞ , − 3) le të marrim − 4. Në x = - 4 kemi (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24. Ne morëm një vlerë negative, që do të thotë se i gjithë intervali do të ketë një shenjë "-".

Për hendekun (− 3 , + ∞) Le të bëjmë llogaritjet me një pikë që ka një koordinatë zero. Në x = 0 kemi 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3. Ne morëm një vlerë pozitive, që do të thotë se i gjithë intervali do të ketë një shenjë "+".

Ju mund të përdorni një mënyrë tjetër për të përcaktuar shenjat. Për ta bërë këtë, ne mund të gjejmë shenjën në një nga intervalet dhe ta ruajmë ose ta ndryshojmë kur kalojmë në zero. Për të bërë gjithçka në mënyrë korrekte, është e nevojshme të ndiqni rregullin: kur kalojmë nëpër zero emëruesin, por jo numëruesin, ose numëruesin, por jo emëruesin, mund ta ndryshojmë shenjën në të kundërtën, nëse shkalla e shprehja që jep këtë zero është tek, dhe ne nuk mund ta ndryshojmë shenjën, nëse shkalla është çift. Nëse kemi marrë një pikë që është edhe zero i numëruesit edhe i emëruesit, atëherë mund ta ndryshojmë shenjën në të kundërtën vetëm nëse shuma e fuqive të shprehjeve që japin këtë zero është tek.

Nëse kujtojmë pabarazinë që shqyrtuam në fillim të paragrafit të parë të këtij materiali, atëherë në intervalin më të djathtë mund të vendosim një shenjë "+".

Tani le të shohim shembuj.

Merrni pabarazinë (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 dhe zgjidheni duke përdorur metodën e intervalit . Për ta bërë këtë, ne duhet të gjejmë zerot e numëruesit dhe emëruesit dhe t'i shënojmë ato në vijën e koordinatave. Zerot e numëruesit do të jenë pikë 2 , 3 , 4 , pikë emëruesi 1 , 3 , 4 . Le t'i shënojmë në boshtin koordinativ me viza.

Zerot e emëruesit i shënojmë me pika boshe.

Duke qenë se kemi të bëjmë me një pabarazi jo të rreptë, vizat e mbetura i zëvendësojmë me pika të zakonshme.

Tani le të vendosim pika në intervale. Hapësira më e djathtë (4 , + ∞) do të jetë shenja +.

Duke lëvizur nga e djathta në të majtë, do të vendosim shenja për intervalet e mbetura. Kalojmë nëpër pikën me koordinatën 4. Kjo është edhe zeroja e numëruesit edhe e emëruesit. Në përmbledhje, këto zero japin shprehjet (x − 4) 2 Dhe x − 4. Le të shtojmë fuqitë e tyre 2 + 1 = 3 dhe të marrim një numër tek. Kjo do të thotë se shenja gjatë kalimit në këtë rast ndryshon në të kundërtën. Intervali (3, 4) do të ketë një shenjë minus.

Kalojmë në intervalin (2, 3) përmes pikës me koordinatë 3. Kjo është gjithashtu një zero si për numëruesin ashtu edhe për emëruesin. E kemi marrë falë dy shprehjeve (x − 3) 3 dhe (x − 3) 5, shuma e fuqive të së cilës është 3 + 5 = 8. Marrja e një numri çift na lejon të lëmë shenjën e intervalit të pandryshuar.

Pika me koordinatë 2 është zero e numëruesit. Fuqia e shprehjes x - 2 është 1 (tek). Kjo do të thotë që kur kaloni në këtë pikë, shenja duhet të ndryshohet në të kundërtën.

Na mbetet intervali i fundit (− ∞ , 1) . Pika me koordinatë 1 është zero e emëruesit. Ajo rrjedh nga shprehja (x − 1) 4, me diplomë të barabartë 4 . Prandaj, shenja mbetet e njëjtë. Vizatimi përfundimtar do të duket kështu:

Metoda e intervalit është veçanërisht efektive kur llogaritja e vlerës së një shprehje kërkon shumë punë. Një shembull do të ishte nevoja për të llogaritur vlerën e një shprehjeje

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

në çdo pikë të intervalit 3 - 3 4, 3 - 2 4.

Tani le të fillojmë të zbatojmë njohuritë dhe aftësitë e fituara në praktikë.

Shembulli 1

Zgjidheni pabarazinë (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0.

Zgjidhje

Këshillohet që të përdoret metoda e intervalit për të zgjidhur pabarazinë. Gjeni zeron e numëruesit dhe të emëruesit. Zerot e numëruesit janë 1 dhe - 5, zerot e emëruesit janë 7 dhe 1. Le t'i shënojmë në vijën numerike. Kemi të bëjmë me një pabarazi jo të rreptë, kështu që zerot e emëruesit do t'i shënojmë me pika boshe, dhe zeroja e numëruesit - 5 - do të shënohet me një pikë të rregullt të mbushur.

Le të vendosim shenjat e intervaleve duke përdorur rregullat për ndryshimin e shenjës kur kalojmë në zero. Le të fillojmë me intervalin më të djathtë, për të cilin llogarisim vlerën e shprehjes nga ana e majtë e pabarazisë në një pikë të marrë në mënyrë arbitrare nga intervali. Ne marrim shenjën "+". Le të lëvizim në mënyrë sekuenciale nëpër të gjitha pikat në vijën e koordinatave, duke renditur shenjat dhe të marrim:

Punojmë me një pabarazi jo të rreptë me shenjën ≤. Kjo do të thotë se duhet të shënojmë me hije hapësirat e shënuara me shenjën “-”.

Përgjigje: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Zgjidhja e pabarazive racionale në shumicën e rasteve kërkon shndërrimin e tyre paraprak në formën e dëshiruar. Vetëm pas kësaj bëhet e mundur përdorimi i metodës së intervalit. Algoritmet për kryerjen e transformimeve të tilla diskutohen në materialin "Zgjidhja e pabarazive racionale".

Le të shohim një shembull të shndërrimit të trinomeve kuadratike në pabarazi.

Shembulli 2

Gjeni zgjidhjen e pabarazisë (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0.

Zgjidhje

Le të shohim nëse diskriminuesit e trinomeve kuadratike në shënimin e pabarazisë janë në të vërtetë negativë. Kjo do të na lejojë të përcaktojmë nëse forma e kësaj pabarazie na lejon të përdorim metodën e intervalit për zgjidhje.

Le të llogarisim diskriminuesin për trinomin x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Tani le të llogarisim diskriminuesin për trinomin x 2 + 2 · x − 8: D ’ = 1 2 − 1 · (− 8) = 9 > 0 . Siç mund ta shihni, pabarazia kërkon një transformim paraprak. Për ta bërë këtë, ne paraqesim trinomin x 2 + 2 x − 8 si (x + 4) · (x − 2), dhe më pas aplikoni metodën e intervalit për të zgjidhur pabarazinë (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0.

Përgjigje: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Metoda e intervalit të përgjithësuar përdoret për të zgjidhur pabarazitë e formës f (x)< 0 (≤ , >, ≥), ku f (x) është një shprehje arbitrare me një ndryshore x.

Të gjitha veprimet kryhen sipas një algoritmi të caktuar. Në këtë rast, algoritmi për zgjidhjen e pabarazive duke përdorur metodën e intervalit të përgjithësuar do të jetë paksa i ndryshëm nga ajo që diskutuam më parë:

• gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit f dhe zerot e këtij funksioni;
• shënoni pikat kufitare në boshtin koordinativ;
• vizatoni zerot e funksionit në vijën numerike;
• të përcaktojë shenjat e intervaleve;
• aplikoni hijezimin;
• shkruani përgjigjen.

Në vijën numerike, është e nevojshme të shënohen, ndër të tjera, pikat individuale të fushës së përkufizimit. Për shembull, fusha e përkufizimit të një funksioni është bashkësia (− 5, 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Kjo do të thotë që ne duhet të shënojmë pikat me koordinatat − 5, 1, 3, 4 , 7 Dhe 10 . Pikat − 5 dhe 7 do të përshkruhen si bosh, pjesa tjetër mund të theksohet me një laps me ngjyra për t'i dalluar ato nga zerot e funksionit.

Në rastin e pabarazive jo strikte, zerot e funksionit vizatohen si pika të zakonshme (të hijezuara), dhe në rastin e pabarazive strikte - si pika boshe. Nëse zerot përkojnë me pikat kufitare ose pikat individuale të fushës së përkufizimit, atëherë ato mund të rilyhen me ngjyrë të zezë, duke i bërë ato të zbrazëta ose me hije, në varësi të llojit të pabarazisë.

Rekordi i përgjigjes është një grup numerik që përfshin:

• hapësira me hijezim;
• pikat individuale të fushës së përkufizimit me shenjë plus, nëse kemi të bëjmë me një pabarazi, shenja e së cilës është > ose ≥, ose me një shenjë minus, nëse pabarazia ka shenja< или ≤ .

Tani është bërë e qartë se algoritmi që kemi paraqitur në fillim të temës është një rast i veçantë i algoritmit për përdorimin e metodës së intervalit të përgjithësuar.

Le të shqyrtojmë një shembull të përdorimit të metodës së intervalit të përgjithësuar.

Shembulli 3

Zgjidh pabarazinë x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Zgjidhje

Prezantojmë një funksion f të tillë që f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Le të gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Tani le të gjejmë zerot e funksionit. Për ta bërë këtë, ne do të zgjidhim ekuacionin irracional:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Marrim rrënjën x = 12.

Për të treguar pikat kufitare në boshtin e koordinatave, ne përdorim portokalli. Pikët - 6, 4 do të plotësohen dhe 7 do të lihen bosh. Ne marrim:

Le të shënojmë zeron e funksionit me një pikë të zezë bosh, pasi po punojmë me një pabarazi strikte.

Ne përcaktojmë shenjat në intervale individuale. Për ta bërë këtë, merrni një pikë nga çdo interval, për shembull, 16 , 8 , 6 Dhe − 8 , dhe llogaritni vlerën e funksionit në to f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15< 0

Vendosim shenjat e sapopërcaktuara dhe aplikojmë hijezim mbi hapësirat me shenjën minus:

Përgjigja do të jetë bashkimi i dy intervaleve me shenjën “-”: (− ∞, − 6 ] ∪ (7, 12).

Si përgjigje, ne përfshimë një pikë me koordinatë - 6. Kjo nuk është zeroja e funksionit, të cilën nuk do ta përfshinim në përgjigje kur zgjidhim një pabarazi strikte, por pika kufitare e fushës së përkufizimit, e cila përfshihet në domenin e përkufizimit. Vlera e funksionit në këtë pikë është negative, që do të thotë se plotëson pabarazinë.

Ne nuk kemi përfshirë pikën 4 në përgjigje, ashtu siç nuk kemi përfshirë të gjithë intervalin [4, 7). Në këtë pikë, ashtu si gjatë gjithë intervalit të treguar, vlera e funksionit është pozitive, gjë që nuk plotëson pabarazinë që zgjidhet.

Le ta shkruajmë këtë përsëri për një kuptim më të qartë: pikat me ngjyra duhet të përfshihen në përgjigje në rastet e mëposhtme:

• këto pika janë pjesë e hendekut të çelur,
• këto pika janë pika individuale në fushën e përcaktimit të funksionit, vlerat e funksionit në të cilat plotësojnë pabarazinë që zgjidhet.

Përgjigje: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Niveli i hyrjes

Metoda e intervalit. Udhëzuesi i fundit (2019)

Thjesht duhet ta kuptoni këtë metodë dhe ta dini si në fund të dorës! Qoftë vetëm sepse përdoret për të zgjidhur pabarazitë racionale dhe sepse, njohja e duhur e kësaj metode, zgjidhja e këtyre pabarazive është çuditërisht e thjeshtë. Pak më vonë do t'ju tregoj disa sekrete se si të kurseni kohë në zgjidhjen e këtyre pabarazive. Epo, a jeni të intriguar? Atëherë le të shkojmë!

Thelbi i metodës është faktorizimi i pabarazisë në faktorë (përsëriteni temën) dhe përcaktoni ODZ dhe shenjën e faktorëve tani unë do të shpjegoj gjithçka. Le të marrim shembullin më të thjeshtë: .

Nuk ka nevojë të shkruani gamën e vlerave të pranueshme () këtu, pasi nuk ka ndarje nga ndryshorja dhe nuk ka radikale (rrënjë) të vërejtura këtu. Gjithçka këtu tashmë është e faktorizuar për ne. Por mos u relaksoni, kjo është e gjitha për t'ju kujtuar bazat dhe për të kuptuar thelbin!

Le të themi se nuk e dini metodën e intervalit, si do ta zgjidhnit këtë pabarazi? Qasuni logjikisht dhe ndërtoni mbi atë që tashmë dini. Së pari, ana e majtë do të jetë më e madhe se zero nëse të dyja shprehjet në kllapa janë ose më të mëdha se zero ose më pak se zero, sepse "plus" për "plus" jep "plus" dhe "minus" për "minus" jep "plus", apo jo? Dhe nëse shenjat e shprehjeve në kllapa janë të ndryshme, atëherë në fund ana e majtë do të jetë më pak se zero. Çfarë na duhet për të gjetur ato vlera në të cilat shprehjet në kllapa do të jenë negative ose pozitive?

Ne duhet të zgjidhim një ekuacion, është saktësisht njësoj si një pabarazi, vetëm në vend të një shenje do të ketë një shenjë, rrënjët e këtij ekuacioni do të na lejojnë të përcaktojmë ato vlera kufitare, kur të largohemi nga të cilat faktorët do të jenë më të mëdhenj. ose më pak se zero.

Dhe tani vetë intervalet. Çfarë është një interval? Ky është një interval i caktuar i linjës numerike, domethënë, të gjithë numrat e mundshëm që gjenden midis dy numrave - skajet e intervalit. Nuk është aq e lehtë të imagjinosh këto intervale në kokën tënde, kështu që është e zakonshme të vizatosh intervale, do t'ju mësoj tani.

Ne vizatojmë një bosht të gjithë serinë e numrave nga dhe deri në të; Pikat vizatohen në bosht, të ashtuquajturat zero të funksionit, vlerat në të cilat shprehja është e barabartë me zero. Këto pika janë "të fiksuara" që do të thotë se ato nuk janë ndër vlerat në të cilat është e vërtetë pabarazia. Në këtë rast shpohen sepse shenjë në pabarazinë dhe jo, pra, rreptësisht më e madhe se dhe jo më e madhe se ose e barabartë me.

Dua të them se nuk është e nevojshme të shënosh zero, është këtu pa rrathë, por për të kuptuar dhe orientuar përgjatë boshtit. Mirë, ne kemi vizatuar boshtin, vendosim pikat (më saktë, rrathët), çfarë më pas, si do të më ndihmojë kjo në zgjidhjen? - pyet ti. Tani thjesht merrni vlerën për x nga intervalet në rend dhe zëvendësojini ato në pabarazinë tuaj dhe shikoni se në cilën shenjë rezulton shumëzimi.

Shkurtimisht, ne thjesht marrim për shembull, zëvendësojeni këtu, do të funksionojë, që do të thotë se pabarazia do të jetë e vlefshme për të gjithë intervalin (për të gjithë intervalin) nga deri në, nga e morëm. Me fjalë të tjera, nëse x është nga deri, atëherë pabarazia është e vërtetë.

Ne bëjmë të njëjtën gjë me intervalin nga te, marrim ose, për shembull, zëvendësojmë, përcaktojmë shenjën, shenja do të jetë "minus". Dhe ne bëjmë të njëjtën gjë me intervalin e fundit, të tretë nga deri në, ku shenja rezulton të jetë "plus". Ka kaq shumë tekst, por jo mjaft qartësi, apo jo?

Hidhini një sy tjetër pabarazisë.

Tani ne aplikojmë edhe shenjat që do të përftohen si rezultat në të njëjtin bosht. Në shembullin tim, një vijë e thyer tregon seksionet pozitive dhe negative të boshtit.

Shikoni pabarazinë - në vizatim, përsëri në pabarazi - dhe përsëri në vizatim, a është diçka e qartë? Tani përpiquni të thoni se në cilat intervale X, pabarazia do të jetë e vërtetë. Ashtu është, nga tek pabarazia do të jetë gjithashtu e vërtetë nga tek, por në intervalin nga tek pabarazia është zero dhe ky interval nuk na intereson pak, sepse ne kemi një shenjë në pabarazi.

Epo, tani që e keni kuptuar, e vetmja gjë që mbetet për të bërë është të shkruani përgjigjen! Si përgjigje, ne shkruajmë ato intervale për të cilat ana e majtë është më e madhe se zero, e cila lexohet si X i përket intervalit nga minus pafundësia në minus një dhe nga dy në plus pafundësi. Vlen të sqarohet se kllapat nënkuptojnë që vlerat me të cilat kufizohet intervali nuk janë zgjidhje të pabarazisë, domethënë nuk përfshihen në përgjigje, por vetëm tregojnë se deri në, për shembull, nuk është një zgjidhje.

Tani një shembull në të cilin jo vetëm që do të duhet të vizatoni intervalin:

Çfarë mendoni se duhet bërë përpara se të vendosni pika në bosht? Po, faktorojeni atë në faktorë:

Vizatojmë intervale dhe vendosim shenja, vini re se kemi pika të shpuara, sepse shenja është rreptësisht më e vogël se zero:

Është koha t'ju tregoj një sekret që ju premtova në fillim të kësaj teme! Po sikur t'ju them se nuk keni nevojë të zëvendësoni vlerat nga çdo interval për të përcaktuar shenjën, por mund të përcaktoni shenjën në një nga intervalet dhe thjesht të alternoni shenjat në pjesën tjetër!

Kështu, kemi kursyer pak kohë në vendosjen e tabelave - mendoj se kjo kohë e fituar në Provimin e Bashkuar të Shtetit nuk do të dëmtojë!

Ne shkruajmë përgjigjen:

Tani merrni parasysh një shembull të një pabarazie fraksionale-racionale - një pabarazi, të dyja pjesët e së cilës janë shprehje racionale (shih).

Çfarë mund të thoni për këtë pabarazi? Dhe ju e shikoni atë si një ekuacion thyesor-racional, çfarë të bëjmë së pari? Ne shohim menjëherë se nuk ka rrënjë, që do të thotë se është padyshim racionale, por më pas është një fraksion, madje edhe me një të panjohur në emërues!

Kjo është e drejtë, ne kemi nevojë për ODZ!

Pra, le të shkojmë më tej, këtu të gjithë faktorët përveç njërit kanë një ndryshore të shkallës së parë, por ka një faktor ku x ka një shkallë të dytë. Zakonisht, shenja jonë ndryshonte pasi kalonim në njërën nga pikat në të cilën ana e majtë e pabarazisë merr një vlerë zero, për të cilën ne përcaktuam se me çfarë duhet të jetë x në secilin faktor. Por këtu, është gjithmonë pozitive, sepse çdo numër në katror > zero dhe një term pozitiv.

A mendoni se kjo do të ndikojë në kuptimin e pabarazisë? Kjo është e drejtë - nuk do të ndikojë! Ne mund ta ndajmë pabarazinë në të dy pjesët në mënyrë të sigurtë dhe në këtë mënyrë ta heqim këtë faktor në mënyrë që të mos jetë një dhimbje në sy.

Ka ardhur koha për të tërhequr intervalet për ta bërë këtë, ju duhet të përcaktoni ato vlera kufitare, nga të cilat shumëzuesit do të jenë më të mëdhenj dhe më të vegjël se zero. Por kushtojini vëmendje se këtu ka një shenjë, do të thotë që ne nuk do të zgjedhim pikën në të cilën ana e majtë e pabarazisë merr një vlerë zero, ajo përfshihet në numrin e zgjidhjeve, kemi vetëm një pikë të tillë, kjo është pika ku x është e barabartë me një. A do të ngjyrosim pikën ku emëruesi është negativ? - Sigurisht që jo!

Emëruesi nuk duhet të jetë zero, kështu që intervali do të duket kështu:

Duke përdorur këtë diagram, mund ta shkruani lehtësisht përgjigjen, thjesht do të them që tani keni në dispozicion një lloj të ri kllapash - katror! Këtu është një kllapa [ thotë se vlera përfshihet në intervalin e zgjidhjes, d.m.th. është pjesë e përgjigjes, kjo kllapa korrespondon me një pikë të mbushur (jo të fiksuar) në bosht.

Pra, a morët të njëjtën përgjigje?

Ne e faktorizojmë atë në faktorë dhe lëvizim gjithçka në njërën anë, ne duhet të lëmë vetëm zero në të djathtë për t'u krahasuar me të:

Unë tërheq vëmendjen tuaj për faktin se në transformimin e fundit, për të marrë si në numërues ashtu edhe në emërues, unë i shumëzoj të dyja anët e pabarazisë me. Mos harroni se kur të dy anët e një pabarazie shumëzohen me, shenja e pabarazisë ndryshon në të kundërtën!!!

Ne shkruajmë ODZ:

Përndryshe, emëruesi do të shkojë në zero, dhe, siç e mbani mend, nuk mund të ndani me zero!

Dakord, pabarazia që rezulton është joshëse për të zvogëluar numëruesin dhe emëruesin! Kjo nuk mund të bëhet, ju mund të humbni disa nga vendimet ose ODZ!

Tani përpiquni t'i vendosni vetë pikat në bosht. Do të vërej vetëm se kur vizatoni pika, duhet t'i kushtoni vëmendje faktit që një pikë me një vlerë, e cila, në bazë të shenjës, duket se është e paraqitur në bosht si e hijezuar, nuk do të hijezohet, do të jetë u hoq! Pse pyet? Dhe mbani mend ODZ-në, nuk do të pjesëtoni me zero kështu?

Mos harroni, ODZ vjen i pari! Nëse të gjitha pabarazitë dhe shenjat e barabarta thonë një gjë, dhe ODZ thotë një tjetër, besojini ODZ-së, të madh dhe të fuqishëm!

Epo, ju i keni ndërtuar intervalet, jam i sigurt që keni marrë sugjerimin tim për alternimin dhe e keni marrë kështu (shih foton më poshtë) Tani kryqëzojeni dhe mos e bëni më atë gabim! Çfarë gabimi? - pyet ti.

Aksi i mëposhtëm me intervale dhe shenja do të jetë i saktë:

Dhe, ju lutemi vini re se shenja që na intereson nuk është ajo që ishte në fillim (kur pamë për herë të parë pabarazinë, shenja ishte aty), pas transformimeve, shenja ndryshoi në, që do të thotë se ne jemi të interesuar për intervalet me një shenjë.

Përgjigje:

Do të them gjithashtu se ka situata kur ka rrënjë pabarazie që nuk përfshihen në asnjë interval, si përgjigje ato shkruhen në kllapa kaçurrelë, si kjo, për shembull: . Mund të lexoni më shumë rreth situatave të tilla në nivelin mesatar të artikullit.

Le të përmbledhim se si të zgjidhim pabarazitë duke përdorur metodën e intervalit:

1. Ne lëvizim gjithçka në anën e majtë, duke lënë vetëm zero në të djathtë;
2. Ne gjejmë ODZ;
3. Ne vizatojmë të gjitha rrënjët e pabarazisë në bosht;
4. Marrim një arbitrar nga një nga intervalet dhe përcaktojmë shenjën në intervalin të cilit i përket rrënja, alternojmë shenjat, duke u kushtuar vëmendje rrënjëve që përsëriten disa herë në pabarazinë nëse shenja ndryshon kur kalon nëpër to mbi barazinë ose çuditshmërinë e numrit të herëve që përsëriten ose jo;
5. Si përgjigje, ne shkruajmë intervale, duke vëzhguar pikat e shpuara dhe jo të shpuara (shih ODZ), duke vendosur llojet e nevojshme të kllapave midis tyre.

Dhe së fundi, seksioni ynë i preferuar, "bëje vetë"!

Shembuj:

Përgjigjet:

METODA E INTERVALIT. NIVELI I MESËM

Funksioni linear

Një funksion i formës quhet linear. Le të marrim një funksion si shembull. Është pozitive në dhe negative në. Pika është zero e funksionit (). Le të tregojmë shenjat e këtij funksioni në boshtin e numrave:

Themi se "funksioni ndryshon shenjën kur kalon nëpër pikë".

Mund të shihet se shenjat e funksionit korrespondojnë me pozicionin e grafikut të funksionit: nëse grafiku është mbi boshtin, shenja është “ ”, nëse poshtë tij është “ ”.

Nëse e përgjithësojmë rregullin që rezulton në një funksion linear arbitrar, marrim algoritmin e mëposhtëm:

• Gjetja e zeros së funksionit;
• E shënojmë në boshtin e numrave;
• Ne përcaktojmë shenjën e funksionit në anët e kundërta të zeros.

Funksioni kuadratik

Shpresoj të mbani mend se si të zgjidhni pabarazitë kuadratike? Nëse jo, lexoni temën. Më lejoni t'ju kujtoj formën e përgjithshme të një funksioni kuadratik: .

Tani le të kujtojmë se cilat shenja merr funksioni kuadratik. Grafiku i tij është një parabolë, dhe funksioni merr shenjën " " për ato në të cilat parabola është mbi boshtin, dhe " " - nëse parabola është nën bosht:

Nëse një funksion ka zero (vlerat në të cilat), parabola kryqëzon boshtin në dy pika - rrënjët e ekuacionit kuadratik përkatës. Kështu, boshti ndahet në tre intervale, dhe shenjat e funksionit ndryshojnë në mënyrë alternative kur kalojnë nëpër secilën rrënjë.

A është e mundur të përcaktohen disi shenjat pa vizatuar një parabolë çdo herë?

Kujtojmë se një trinom katror mund të faktorizohet:

Për shembull: .

Le të shënojmë rrënjët në bosht:

Kujtojmë se shenja e një funksioni mund të ndryshojë vetëm kur kalon nëpër rrënjë. Le të përdorim këtë fakt: për secilin nga tre intervalet në të cilat boshti ndahet me rrënjë, mjafton të përcaktohet shenja e funksionit vetëm në një pikë të zgjedhur në mënyrë arbitrare: në pikat e mbetura të intervalit, shenja do të jetë e njëjtë. .

Në shembullin tonë: në të dyja shprehjet në kllapa janë pozitive (zëvendësojnë, për shembull:). Ne vendosim një shenjë " " në bosht:

Epo, kur (zëvendësoni, për shembull), të dy kllapat janë negative, që do të thotë se produkti është pozitiv:

Kjo është ajo metoda e intervalit: duke ditur shenjat e faktorëve në çdo interval, ne përcaktojmë shenjën e të gjithë produktit.

Le të shqyrtojmë edhe rastet kur funksioni nuk ka zero, ose vetëm një.

Nëse nuk janë aty, atëherë nuk ka rrënjë. Kjo do të thotë se nuk do të ketë "kalim nëpër rrënjë". Kjo do të thotë që funksioni merr vetëm një shenjë në të gjithë vijën numerike. Mund të përcaktohet lehtësisht duke e zëvendësuar atë në një funksion.

Nëse ka vetëm një rrënjë, parabola prek boshtin, kështu që shenja e funksionit nuk ndryshon kur kalon nëpër rrënjë. Çfarë rregulli mund të nxjerrim për situata të tilla?

Nëse faktorizoni një funksion të tillë, merrni dy faktorë identikë:

Dhe çdo shprehje në katror është jonegative! Prandaj, shenja e funksionit nuk ndryshon. Në raste të tilla do të theksojmë rrënjën, kur kalojmë nëpër të cilën shenja nuk ndryshon, duke e rrethuar me një katror:

Një rrënjë të tillë do ta quajmë shumëfish.

Metoda e intervalit në pabarazitë

Tani çdo pabarazi kuadratike mund të zgjidhet pa vizatuar një parabolë. Mjafton vetëm vendosja e shenjave të funksionit kuadratik në bosht dhe përzgjedhja e intervaleve në varësi të shenjës së pabarazisë. Për shembull:

Le të matim rrënjët në bosht dhe të vendosim shenjat:

Na duhet pjesa e boshtit me shenjën " "; meqenëse pabarazia nuk është e rreptë, vetë rrënjët përfshihen gjithashtu në zgjidhje:

Tani merrni parasysh një pabarazi racionale - një pabarazi, të dyja anët e së cilës janë shprehje racionale (shih).

Shembull:

Të gjithë faktorët përveç njërit janë "linearë" këtu, domethënë, ata përmbajnë një ndryshore vetëm në fuqinë e parë. Na duhen faktorë të tillë linearë për të aplikuar metodën e intervalit - shenja ndryshon kur kalon nëpër rrënjët e tyre. Por shumëzuesi nuk ka rrënjë fare. Kjo do të thotë se është gjithmonë pozitive (kontrollojeni vetë), dhe për këtë arsye nuk ndikon në shenjën e të gjithë pabarazisë. Kjo do të thotë që ne mund të ndajmë anën e majtë dhe të djathtë të pabarazisë me të, dhe kështu të shpëtojmë prej saj:

Tani gjithçka është njësoj siç ishte me pabarazitë kuadratike: ne përcaktojmë se në cilat pika secili prej faktorëve bëhet zero, shënojmë këto pika në bosht dhe rregullojmë shenjat. Dëshiroj të tërheq vëmendjen tuaj për një fakt shumë të rëndësishëm:

Përgjigje:. Shembull: .

Për të aplikuar metodën e intervalit, një nga pjesët e pabarazisë duhet të ketë. Prandaj, le të lëvizim anën e djathtë në të majtë:

Numëruesi dhe emëruesi kanë të njëjtin faktor, por mos nxitoni ta zvogëloni atë! Në fund të fundit, atëherë ne mund të harrojmë të theksojmë këtë pikë. Është më mirë ta shënoni këtë rrënjë si një shumëfish, domethënë, kur kaloni nëpër të, shenja nuk do të ndryshojë:

Përgjigje:.

Dhe një shembull shumë ilustrues:

Përsëri, ne nuk anulojmë të njëjtët faktorë të numëruesit dhe emëruesit, sepse nëse e bëjmë, do të duhet të kujtojmë në mënyrë specifike të shpojmë pikën.

• : herë të përsëritura;
• : herë;
• : herë (në numërues dhe një në emërues).

Në rastin e një numri çift veprojmë njësoj si më parë: rrethojmë pikën me katror dhe nuk e ndryshojmë shenjën kur kalojmë nga rrënjës. Por në rastin e një numri tek, ky rregull nuk zbatohet: shenja do të ndryshojë akoma kur kalon nëpër rrënjë. Prandaj, ne nuk bëjmë asgjë shtesë me një rrënjë të tillë, sikur të mos ishte shumëfish. Rregullat e mësipërme vlejnë për të gjitha fuqitë çift dhe tek.

Çfarë duhet të shkruajmë në përgjigje?

Nëse ndërrimi i shenjave është shkelur, duhet të jeni shumë të kujdesshëm, sepse nëse pabarazia nuk është e rreptë, përgjigja duhet të përfshijë të gjitha pikat me hije. Por disa prej tyre shpesh qëndrojnë të ndarë, domethënë nuk përfshihen në zonën e hijes. Në këtë rast, ne i shtojmë ato në përgjigje si pika të izoluara (në kllapa kaçurrelë):

Shembuj (vendosni vetë):

Përgjigjet:

1. Nëse ndër faktorët është i thjeshtë, është rrënjë, sepse mund të paraqitet si.
   .

METODA E INTERVALIT. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Metoda e intervalit përdoret për zgjidhjen e pabarazive racionale. Ai konsiston në përcaktimin e shenjës së produktit nga shenjat e faktorëve në intervale të ndryshme.

Algoritmi për zgjidhjen e pabarazive racionale duke përdorur metodën e intervalit.

• Ne lëvizim gjithçka në anën e majtë, duke lënë vetëm zero në të djathtë;
• Ne gjejmë ODZ;
• Ne vizatojmë të gjitha rrënjët e pabarazisë në bosht;
• Marrim një arbitrar nga një nga intervalet dhe përcaktojmë shenjën në intervalin të cilit i përket rrënja, alternojmë shenjat, duke u kushtuar vëmendje rrënjëve që përsëriten disa herë në pabarazinë nëse shenja ndryshon kur kalon nëpër to mbi barazinë ose çuditshmërinë e numrit të herëve që përsëriten ose jo;
• Si përgjigje, ne shkruajmë intervale, duke vëzhguar pikat e shpuara dhe jo të shpuara (shih ODZ), duke vendosur llojet e nevojshme të kllapave midis tyre.

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Për çfarë?

Për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit, për hyrjen në kolegj me buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LUMTUR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teori gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUMË!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të doni, detyrimisht me zgjidhje, analiza të detajuara dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

1. Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull - 299 fshij.
2. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - 999 fshij.

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Në rastin e dytë ne do t'ju japim simulator "6000 probleme me zgjidhje dhe përgjigje, për secilën temë, në të gjitha nivelet e kompleksitetit." Do të jetë padyshim e mjaftueshme për të marrë në dorë zgjidhjen e problemeve për çdo temë.

Në fakt, ky është shumë më tepër sesa thjesht një imitues - një program i tërë trajnimi. Nëse është e nevojshme, mund ta përdorni edhe FALAS.

Qasja në të gjitha tekstet dhe programet ofrohet për TË GJITHË periudhën e ekzistencës së sajtit.

Dhe në përfundim ...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

Metoda e intervalit është një algoritëm i veçantë i krijuar për të zgjidhur pabarazitë komplekse të formës f(x) > 0. Algoritmi përbëhet nga 5 hapa:

1. Zgjidheni ekuacionin f(x) = 0. Kështu, në vend të një pabarazie, marrim një ekuacion shumë më të thjeshtë për t'u zgjidhur;
2. Shënoni të gjitha rrënjët e marra në vijën koordinative. Kështu, vija e drejtë do të ndahet në disa intervale;
3. Gjeni shumësinë e rrënjëve. Nëse rrënjët janë të shumëfishta, atëherë vizatoni një lak mbi rrënjë. (Një rrënjë konsiderohet shumëfish nëse ka një numër çift zgjidhjesh identike)
4. Gjeni shenjën (plus ose minus) të funksionit f(x) në intervalin më të djathtë. Për ta bërë këtë, mjafton të zëvendësohet në f(x) çdo numër që do të jetë në të djathtë të të gjitha rrënjëve të shënuara;
5. Shënoni shenjat në intervalet e mbetura, duke i alternuar ato.

Pas kësaj, mbetet vetëm të shkruajmë intervalet që na interesojnë. Ato shënohen me shenjën “+” nëse pabarazia ishte e formës f(x) > 0, ose me shenjën “−” nëse pabarazia ishte e formës f(x)< 0.

Në rastin e pabarazive jo strikte (≤ , ≥), është e nevojshme të përfshihen në intervale pikat që janë zgjidhje e ekuacionit f(x) = 0;

Shembulli 1:

Zgjidhja e pabarazisë:

(x - 2) (x + 7)< 0

Ne punojmë duke përdorur metodën e intervalit.

Hapi 1: zëvendësojeni pabarazinë me një ekuacion dhe zgjidheni atë:

(x - 2) (x + 7) = 0

Produkti është zero nëse dhe vetëm nëse të paktën një nga faktorët është zero:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Kemi dy rrënjë.

Hapi 2: Këto rrënjë i shënojmë në vijën e koordinatave. Ne kemi:

Hapi 3: e gjejmë shenjën e funksionit në intervalin më të djathtë (në të djathtë të pikës së shënuar x = 2). Për ta bërë këtë, ju duhet të merrni çdo numër që është më i madh se numri x = 2. Për shembull, le të marrim x = 3 (por askush nuk e ndalon marrjen e x = 4, x = 10 dhe madje x = 10,000).

f(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Marrim se f(3) = 10 > 0 (10 është një numër pozitiv), kështu që vendosim një shenjë plus në intervalin më të djathtë.

Hapi 4: duhet të vini re shenjat në intervalet e mbetura. Kujtojmë se kur kalojmë nëpër secilën rrënjë, shenja duhet të ndryshojë. Për shembull, në të djathtë të rrënjës x = 2 ka një plus (ne u siguruam për këtë në hapin e mëparshëm), kështu që duhet të ketë një minus në të majtë. Ky minus shtrihet në të gjithë intervalin (−7; 2), pra ka një minus në të djathtë të rrënjës x = −7. Prandaj, në të majtë të rrënjës x = −7 ka një plus. Mbetet për të shënuar këto shenja në boshtin koordinativ.

Le të kthehemi te pabarazia origjinale, e cila kishte formën:

(x - 2) (x + 7)< 0

Pra, funksioni duhet të jetë më i vogël se zero. Kjo do të thotë se ne jemi të interesuar për shenjën minus, e cila shfaqet vetëm në një interval: (−7; 2). Kjo do të jetë përgjigja.

Shembulli 2:

Zgjidhja e pabarazisë:

(9x 2 - 6x + 1) (x - 2) ≥ 0

Zgjidhja:

Së pari ju duhet të gjeni rrënjët e ekuacionit

(9x 2 - 6x + 1) (x - 2) = 0

Le të rrëzojmë kllapin e parë dhe të marrim:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

Duke zgjidhur këto ekuacione marrim:

Le të vizatojmë pikat në vijën numerike:

Sepse x 2 dhe x 3 janë rrënjë të shumta, atëherë do të ketë një pikë në vijë dhe mbi të " lak”.

Le të marrim çdo numër më të vogël se pika më e majtë dhe ta zëvendësojmë atë në pabarazinë origjinale. Le të marrim numrin -1.

Mos harroni të përfshini zgjidhjen e ekuacionit (të gjetur X), sepse pabarazia jonë nuk është e rreptë.

Përgjigje: () U ∪[-6;4]∪\majtas\(6\djathtas\)\)

Shembull.(Detyrë nga OGE) Zgjidheni pabarazinë duke përdorur metodën e intervalit \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Zgjidhja:

Përgjigju : \((-∞;-8]∪}