Mënyra jo standarde për zgjidhjen e pabarazive. Puna e lëndës: Metoda jo standarde për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive

Mikhailov Alexander, Petukhova Anastasia, Zhagurina Ksenia, Kotov Alexander

Ky punim është një abstrakt hulumtues që studentët e prezantuan në një konferencë praktike shkencore, si dhe materialet e kësaj pune u prezantuan në një mësim-seminar në klasën e 11-të me temën “Zgjidhja e ekuacioneve logaritmike dhe eksponenciale duke përdorur metoda jo standarde”. Kjo punë mund të përdoret nga mësuesit si një udhëzues metodologjik në klasat me zgjedhje, në përgatitjen për detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit C1, C3 dhe për punë në klasa të specializuara. Avantazhi i kësaj pune është se këtu nxirren dhe përshkruhen në detaje algoritmet për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive, gjë që nuk vërehet në burimet konvencionale.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Planifikoni.

Prezantimi.

1. Metoda e kufizimit të funksionit:

1.1. Zgjidhja e ekuacioneve

1.2.Zgjidhja e pabarazive

2. Metoda e jonegativitetit të funksioneve:

2.1.Zgjidhja e ekuacioneve

2.2 Zgjidhja e pabarazive

3. Metoda e përdorimit të diapazonit të vlerave të pranueshme:

3.1.Zgjidhja e ekuacioneve

3.2 Zgjidhja e pabarazive

4. Metoda e përdorimit të vetive të sinusit dhe kosinusit:

4.1.Zgjidhja e ekuacioneve

4.2 Zgjidhja e pabarazive

5. Metoda e përdorimit të mosbarazimeve numerike:

5.1.Zgjidhja e ekuacioneve

5.2. zgjidhjen e pabarazive

6. Mënyra e përdorimit të derivatit:

6.1.Zgjidhja e ekuacioneve

6.2. zgjidhjen e pabarazive

7. Zgjidhja e pabarazive duke zëvendësuar funksionet.

8. Përfundim.

9. Letërsia.

Prezantimi.

“Është më mirë të mos mendosh fare për të gjetur ndonjë të vërtetë sesa ta bësh atë pa asnjë metodë…”

Rene Dekarti.

Në matematikë, siç e dimë, ajo që vlerësohet më shumë nuk është vetëm zgjidhja e saktë, por edhe zgjidhja më e shkurtër e mundshme, siç thonë vetë matematikanët, ajo më racionale.

Si të gjeni një zgjidhje të tillë? Çfarë duhet të dini për këtë? Çfarë të zotëroni? Çfarë i jep kjo studentit? Apo është kjo vetëm pjesa e studentëve të talentuar? Ne do të përpiqemi të gjejmë përgjigje për këto pyetje. Ne studiojmë në një klasë të fizikës dhe matematikës dhe jemi të apasionuar pas matematikës.

Ne duam të kemi njohuri solide dhe të larta në këtë lëndë, të cilat do të na nevojiten në studimet tona të mëtejshme në universitete. Pse zgjodhëm këtë temë të veçantë?

Kjo temë është e rëndësishme, korrespondon me profilin tonë, sepse studimi i saj ndihmon në zgjerimin dhe thellimin e njohurive mbi temën: "Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive". Kjo punë do të na ndihmojë të kalojmë me sukses Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe të fitojmë përvojë në kryerjen e punës shkencore.

1. Metoda e funksioneve të kufizuara.

1.1. Zgjidhja e ekuacioneve.

Kjo metodë bazohet në zbatimin e teoremës së mëposhtme:

Teorema: Nëse në intervalin X vlera më e madhe e njërit prej funksioneve y=f(x), y=g(x) është e barabartë me A dhe vlera më e vogël e funksionit tjetër është gjithashtu e barabartë me A, pastaj ekuacioni f(x)=g(x) është ekuivalente me sistemin e ekuacioneve:

Paraqitje grafike.

E(f(x))E(g(x))= A

Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin: .

Zgjidhja:

1. Le të shohim funksionet g() = dhe f()=
2. E(g()) =, sepse
3. E(f()) =, sepse, atëherë.
4. g()=1 për funksionin g() = dhe f()=1 për funksionin f()= , që do të thotë se mund të përdorim teoremën mbi kufirin e një funksioni.

5. Ne hartojmë një sistem ekuacionesh dhe e zgjidhim atë:

Mjafton të zgjidhni një ekuacion më të thjeshtë dhe të kontrolloni rrënjët në një ekuacion tjetër.

Lg(-2)=0,

Kontrolloni: nëse, atëherë, -1 = -1, është e vërtetë, atëherë është një zgjidhje e ekuacionit origjinal.

Përgjigje: 3.

Shembulli 2 . Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja:

Le ta transformojmë këtë ekuacion:

Le të shohim funksionet dhe

1. E, sepse,
2. E, sepse
3. Ne hartojmë një sistem ekuacionesh dhe e zgjidhim atë:

Përgjigje:.

1.2. Zgjidhja e pabarazive.

Le të jetë bashkësia pjesa e përbashkët (kryqëzimi) i fushave të ekzistencës së funksioneve dhe le të jenë pabarazitë dhe ku janë disa numra. Pastaj pabarazia

është ekuivalente me sistemin e ekuacioneve

Shembulli 1.

Të dy anët e pabarazisë janë përcaktuar për të gjithë numrat realë. Për çdo, pra, pabarazia është ekuivalente me sistemin

e cila, nga ana tjetër, është ekuivalente me sistemin

E vetmja zgjidhje për ekuacionin e dytë të sistemit është Ky numër plotëson ekuacionin e parë të sistemit. Prandaj, sistemi dhe pabarazia kanë një zgjidhje

Përgjigje: -1.

Shembulli 2.

Të dyja anët e pabarazisë janë të përcaktuara në grupin Për cilindo që kemi

Prandaj, pabarazia është ekuivalente me sistemin e ekuacioneve

Ekuacioni i parë i sistemit ka një zgjidhje unike që plotëson ekuacionin e dytë të sistemit. Prandaj, sistemi dhe pabarazia kanë një zgjidhje.

Përgjigje: 3.

1. Metoda e mosnegativitetit të funksioneve.

2.1. Zgjidhja e ekuacioneve.

Kjo metodë bazohet në teoremën e mëposhtme:

Teorema:

Le të jetë ana e majtë e ekuacionit F(x)=0 (1) shuma e disa funksioneve F(x)=f(x)+f(x)+…+f(x) secili prej tyre është jonegativ për çdo x nga fusha e tij e ekzistencës.

Atëherë ekuacioni (1) është i barabartë me sistemin e ekuacioneve:

Shembulli 1.

Zgjidhe ekuacionin:

Meqenëse dhe 0, ky ekuacion është i barabartë me një sistem prej dy ekuacionesh:

Ekzaminimi:
nëse x=3, atëherë 0 = 0, e vërtetë. Sepse X = 3 është një zgjidhje e një sistemi ekuivalent me ekuacionin origjinal, atëherë është rrënja e ekuacionit origjinal.

Përgjigje: 3.

Shembulli 2.

Zgjidhe ekuacionin:

Le ta transformojmë këtë ekuacion duke zgjedhur katrorët e përsosur të dy shprehjeve

(x+22)+(2-1)=0.

Meqenëse këto funksione f(x)=(x+22) dhe g(x)=(2-1) janë jonegative, ky ekuacion është i barabartë me një sistem prej dy ekuacionesh:

Kontrollo: nëse x = 0, pastaj 2 = 0, e pasaktë.

Meqenëse ekuacioni ka një zgjidhje unike

x = 0, që nuk është zgjidhje e ekuacionit të dytë, atëherë sistemi nuk ka zgjidhje, prandaj ekuacioni origjinal nuk ka zgjidhje.

Përgjigje: nuk ka zgjidhje.

2.2. Zgjidhja e pabarazive.

Kjo metodë për zgjidhjen e pabarazive bazohet në teoremën e mëposhtme:

Le të jetë ana e majtë e pabarazisë shuma e disa funksioneve jonegative, secili prej të cilëve është jonegativ për cilindo nga fushat e përkufizimit të ekzistencës së tij, atëherë kjo pabarazi është ekuivalente me një sistem ekuacionesh

Shembulli 1.

Meqenëse pabarazitë janë të vlefshme për këdo

Dhe pastaj

kjo pabarazi është ekuivalente me sistemin e ekuacioneve

Ekuacioni i dytë i sistemit ka dy zgjidhje: dhe. Nga këta numra, plotëson vetëm ekuacionin e parë të sistemit. Prandaj, sistemi dhe pabarazia kanë një zgjidhje unike

Përgjigje: 2.

Shembulli 2.

Çdo funksion dhe jonegative për cilindo nga domenet e tij të ekzistencës. Prandaj, pabarazia është ekuivalente me sistemin e ekuacioneve

Ekuacioni i parë i sistemit ka dy zgjidhje: dhe. Nga këta numra, vetëm 4 plotësojnë ekuacionin e dytë të sistemit. Rrjedhimisht, sistemi dhe pabarazia kanë një zgjidhje.

Përgjigje: 4.

1. Metoda për përdorimin e diapazonit të vlerave të pranueshme.

3.1. Zgjidhja e ekuacioneve.

Ndonjëherë njohja e ODZ ju lejon të vërtetoni se ekuacioni nuk ka zgjidhje, dhe ndonjëherë ju lejon të gjeni zgjidhje për ekuacionin duke zëvendësuar numrat nga ODZ.

Shembulli 1 . Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja:

ODZ-ja e këtij ekuacioni përbëhet nga të gjitha ato që njëkohësisht plotësojnë kushtet dhe, d.m.th., ODZ është një bashkësi boshe, që do të thotë se asnjë nga numrat nuk mund të jetë zgjidhje, pra kjo do të thotë se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Përgjigje: pa rrënjë.

Le të shohim një shembull tjetër.

Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja:

ODZ e këtij ekuacioni përbëhet nga numra që plotësojnë kushtet d.m.th. ODZ është Le të kontrollojmë duke zëvendësuar këto vlera në ekuacion dhe do të marrim barazinë e saktë.

Përgjigje:

3.2. Zgjidhja e pabarazive.

Thelbi i kësaj metode është si vijon: nëse, kur merret parasysh një pabarazi, rezulton se të dyja pjesët e saj janë të përcaktuara në grup M i përbërë nga një ose më shumë numra, atëherë nuk ka nevojë të kryhet ndonjë transformim i pabarazisë, mjafton të kontrollohet nëse secili prej këtyre numrave është një zgjidhje për këtë pabarazi.

Konsideroni këtë metodë duke përdorur pabarazitë e mëposhtme X:

Shembulli 1.

1. Le të gjejmë gamën e vlerave të pranueshme të pabarazisë dhe t'i kombinojmë ato në një sistem:

2. Le të zgjidhim këtë sistem:

3. Zgjidhja e këtij sistemi janë dy numra: dhe.

4. Pasi të keni kontrolluar pabarazinë origjinale, x = 1 nuk e plotëson atë. Prandaj, zgjidhja e pabarazisë është x = 5.

Përgjigje: 5.

Shembulli 2.

1. Le të gjejmë gamën e vlerave të pranueshme të pabarazisë dhe t'i kombinojmë ato në një sistem:

2. Ky sistem nuk ka zgjidhje, që do të thotë se kjo pabarazi nuk ka zgjidhje.

Përgjigje: nuk ka zgjidhje.

1. Një metodë për përdorimin e vetive të sinusit dhe kosinusit.

4.1. Zgjidhja e ekuacioneve.

Zgjidhja e disa ekuacioneve trigonometrike mund të reduktohet në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve. Shembuj të ekuacioneve të tilla mund të jenë si më poshtë:

ku A dhe B janë dhënë numra jozero, m dhe n janë dhënë numra natyrorë.Në këtë rast përdoren vetitë e mëposhtme: nëse për ndonjë numër pabarazia strikte ose është e vërtetë, atëherë një numër i tillë nuk mund të jetë rrënja e asnjërit prej ekuacioneve të këtij lloji.

Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin: (1)

Zgjidhja:

1. Nëse numri është zgjidhje e ekuacionit (1), atëherë sin=1 ose sin=-1.
2. Nëse, atëherë nga ekuacioni (1) rezulton se, por kjo është e pamundur.
3. Nëse sin=1, atëherë cos4=1.
4. Nëse sin=-1, atëherë cos4= - 1.
5. Rrjedhimisht, çdo zgjidhje e ekuacionit (1) është një zgjidhje për një grup prej dy sistemesh ekuacionesh

(2)

(3)

1. Ekuacioni i parë i sistemit (2) ka zgjidhje.

Të gjithë ata plotësojnë ekuacionin e dytë të sistemit (2), d.m.th. janë zgjidhja e saj.

1. Ekuacioni i parë i sistemit (3) ka zgjidhje. Asnjë nga këta numra nuk plotëson ekuacionin e dytë të sistemit (3). Prandaj, sistemi (3) nuk ka zgjidhje.
2. Kjo do të thotë që të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (1) përkojnë me të gjitha zgjidhjet e sistemit (2).

Përgjigje:

4.2. Zgjidhja e pabarazive.

Arsyetim i ngjashëm mund të zbatohet kur zgjidhen pabarazitë.

Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm:

Shembulli 1.

Zgjidhje.

1. Le të supozojmë një zgjidhje për këtë pabarazi, pasi përndryshe pabarazia do të ishte e vërtetë, gjë që është e pamundur. Prandaj, zgjidhja e pabarazisë është zgjidhja e sistemit:

2. Duke zgjidhur ekuacionin e parë, marrim Kjo zgjidhje plotëson ekuacionin e dytë. Kjo do të thotë se kjo zgjidhje është një zgjidhje për pabarazinë.

Përgjigje:

1. Metoda e përdorimit të inekuacioneve numerike.

5.1. Zgjidhja e ekuacioneve.

Duke aplikuar një ose një tjetër pabarazi numerike në një nga pjesët e tij të ekuacionit, ai mund të zëvendësohet nga një sistem ekuivalent ekuacionesh. Një shembull i një pabarazie të tillë është pabarazia ndërmjet mesatares aritmetike dhe mesatares gjeometrike, ku a dhe b janë numra jonegativë, dhe barazia këtu është e mundur vetëm nëse a=b.

Ju mund të përdorni një pasojë të këtyre pabarazive, për shembull, kur, dhe nëse dhe vetëm nëse, ose kur, dhe

Atëherë dhe vetëm kur

Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhje.

1. ODZ=R.
2. Le të transformojmë anën e majtë:

dhe është e barabartë me katër nëse x=0.

3. Ana e djathtë në x=0 është gjithashtu e barabartë me katër, dhe për të gjitha më pak se katër

4. Prandaj, x=0, e vetmja zgjidhje

Përgjigje: x = 0.

Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhje.

1. Le të prezantojmë ndryshore të reja: , ku a>0 dhe b>0.
2. Le të rishkruajmë anën e majtë të ekuacionit dhe ta vërtetojmë atë
3. Le të zbatojmë pabarazinë rreth mesatares aritmetike dhe mesatares gjeometrike:

Dhe ku

Ato.

4. ODZ:

5. Meqenëse, a

atëherë ky ekuacion është i barabartë me një sistem prej dy ekuacionesh

6. Nga ekuacioni i dytë i sistemit gjejmë zgjidhjet e tij dhe. Le t'i zëvendësojmë këto vlera në ekuacionin e parë të sistemit, marrim barazitë e sakta, prandaj ato janë zgjidhja e tij. Kjo do të thotë se ato janë një zgjidhje e ekuacionit origjinal.

Përgjigje: i.

5.2. Zgjidhja e pabarazive.

Shembull.

1. Transformoni anën e majtë të pabarazisë, marrim:

Duke zbatuar formulën e kësaj metode, gjejmë se për çdo x pabarazia e mëposhtme është e vërtetë:

Gjithashtu për çdo x pabarazia e mëposhtme është e vërtetë:

Barazia këtu është e vërtetë kur x=0.

2.Rrjedhimisht, pabarazia ka një zgjidhje x=0.

3. Nga dy inekuacionet e fundit rezulton se pabarazia fillestare vlen vetëm kur të dyja anët e pabarazisë fillestare janë të barabarta me 4, dhe kjo është e mundur vetëm nëse x = 0.

Përgjigje: 0.

1. Metoda e përdorimit të derivateve.

6.1. Zgjidhja e ekuacioneve.

Përdorimi i monotonitetit të funksionit.

Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja:

1. Merrni parasysh funksionin
2. Ky derivat merr vetëm vlera pozitive në të gjithë domenin e përkufizimit, që nënkupton funksioninrritet. Rrjedhimisht, ajo merr secilën nga vlerat e saj vetëm në një pikë. Kjo do të thotë se ky ekuacion ka më së shumti një rrënjë.
3. Me përzgjedhje e gjejmë atë.

Përgjigje:

Përdorimi i vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni

Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin: .

Zgjidhja:

1. Ekuacioni ODZ është një interval.
2. Merrni parasysh funksionin në segment

1. Meqenëse funksioni është i vazhdueshëm në domenin e tij të përkufizimit, vlerat e tij më të mëdha dhe më të vogla janë midis numrave
2. Vlera më e madhe është, prandaj ekuacioni ka një rrënjë të vetme.

Përgjigje: 3.

Zbatimi i teoremës së Langranzhit.

Teorema: Nëse një funksion është i vazhdueshëm në një interval dhe ka një derivat në interval, atëherë ka një pikë në interval të tillë që.

Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhje.

1. Me përzgjedhje gjejmë se dhe. Le të vërtetojmë se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera.
2. Supozoni se ekuacioni ka tre rrënjë
3. Le të shqyrtojmë funksionin. Ai është i vazhdueshëm përgjatë gjithë vijës numerike.
4. Të gjejmë derivatin e tij: . Ky funksion është gjithashtu i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike.
5. Nga teorema e Lagranzhit kemi

1. Kjo do të thotë se ka të paktën dy pika dhe në të cilat derivati ​​i funksionit f(x) është e barabartë me zero.
2. Ekuacioni ka vetëm një rrënjë.
3. Kjo do të thotë se ekuacioni i dhënë ka dy rrënjë: -2 dhe 1.

Përgjigje: -2, 1.

1. 6.2. Zgjidhja e pabarazive.

Shembulli 1. Zgjidhja e pabarazisë

Zgjidhje.

1. Merrni parasysh funksionin

D(f) = ().

2. D() = (). në domenin e përkufizimit, pastaj funksionin f(x) rritet në domenin e tij të përkufizimit dhe merr secilën nga vlerat e tij saktësisht në një pikë.

3. Pastaj ekuacioni f(x) = 0 mund të ketë më së shumti një rrënjë dhe një rrënjë e tillë është x = 0.

4. Përcaktoni shenjat e funksionit: meqë funksioni f(x) të përcaktuara dhe të vazhdueshme në të gjithë vijën numerike, pastaj për x f(x) dhe për x >0 kemi f(x)>0.

5. Kjo do të thotë se zgjidhjet e pabarazisë fillestare janë të gjitha X nga intervali (0;).

Përgjigje: (0;).

1. Zgjidhja e pabarazive duke zëvendësuar funksionet.

Kjo metodë bazohet në deklaratën e mëposhtme:

Nëse domeni i përkufizimit, zerot dhe intervalet e shenjës konstante të një funksioni përkojnë përkatësisht me domenin e përkufizimit, zerot dhe intervalet e shenjës konstante të funksionit, atëherë pabarazitë

janë ekuivalente.

Ky pohim do të thotë që nëse një nga funksionet ose ka një formë më të thjeshtë, atëherë gjatë zgjidhjes së këtyre pabarazive ai mund të zëvendësohet me një tjetër. Le të shohim shembujt kryesorë të çifteve të tilla të funksioneve.

Funksione

Shembulli 1. Zgjidh pabarazinë

Le të marrim numëruesin e thyesës në bazën 2 dhe emëruesin në bazën 5.

Pabarazia e fundit zgjidhet me metodën e intervalit zgjidhja e saj është kombinimi i intervaleve

Përgjigje:

Funksione

DHE .

Fushat e përcaktimit të funksioneve dhe përkojnë. Përveç kësaj,

Për rrjedhojë, funksionet dhe kushtet e deklaratës janë të përmbushura.

Shembulli 1.

Ne zgjidhim pabarazinë e fundit duke përdorur metodën e intervalit.

Përgjigje:

Shembulli 2.

Kjo pabarazi është e barabartë me pabarazinë

Bashkësia është zgjidhja e pabarazisë së fundit.

Përgjigje:.

Funksione

Ku kur edhe.

Nëse pohimi është teki drejtë. Përveç kësaj, nëse domenet janë të njëtrajtshme, përkufizimet e funksioneve përkojnë, dhe

Prandaj, kur edhe, kushtet e deklaratës janë të kënaqur edhe për funksionet dhe.

Shembulli 1.

Që atëherë dhe atëherë

Përgjigje:

Shembulli 2.

Që atëherë dhe atëherë

Duke zgjidhur sistemin e fundit me metodën e intervalit, marrim

Përgjigje:

Funksione

Kur dhe

Fushat e përcaktimit të funksioneve dhe përkojnë. Përveç kësaj, kur:

Rrjedhimisht, kushtet e deklaratës origjinale plotësohen për funksionet dhe.

Shembulli 1.

Përgjigje:

Shembulli 2.

Kjo pabarazi është ekuivalente me sa vijon:

Përgjigje:

Metodat e paraqitura të zgjidhjes janë efektive në zgjidhjen e pabarazive, ana e majtë e të cilave është prodhimi ose herësi i dy funksioneve të llojeve të mësipërme, dhe ana e djathtë është e barabartë me zero.

Për të zgjidhur me sukses ekuacione dhe pabarazi të tilla, ne sugjerojmë të ndiqni algoritmin e përgjithshëm:

1. Analizoni vizualishtekuacion (pabarazi)

(përcaktoni llojin, mos nxitoni të zgjeroni shenjën e modulit, kllapat, ngrini në fuqi)

1. Konvertoni nëse është e nevojshme
2. Përcaktoni metodën e zgjidhjes dhe merrni parasysh veçoritë e saj gjatë kryerjes
3. Gjatë procesit të transformimit, është e nevojshme të monitorohet vazhdimisht diapazoni i vlerave të pranueshme dhe ekuivalenca e transformimeve
4. Ekuacioni - kontrolloni!

konkluzioni.

Puna në këtë temë ishte interesante dhe edukative. Duke studiuar metoda të reja për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive, ne kemi pasuruar përvojën tonë:

1. Koncepte të reja shkencore
2. Mësoi se si të punoni me libra referencë
3. Metoda të mësuara që shkojnë përtej kurrikulës shkollore
4. Thelloi dhe zgjeroi njohuritë tuaja

Metodat më të vështira rezultuan të ishin: përdorimi i derivateve: përdorimi i teoremës së Lagranzhit (ende kërkon studim shtesë), përdorimi i vetive të sinusit dhe kosinusit, përdorimi i pabarazive numerike.

Ne gjithashtu fituam aftësitë e përdorimit të kompjuterit:

1. Formatimi dhe redaktimi i tekstit
2. Puna me redaktuesin e formulës në Microsoft Word
3. Puna me magjistarin e funksionit në Microsoft Excel

Këto metoda ju lejojnë të zgjidhni në mënyrë racionale ekuacionet komplekse dhe pabarazitë, dhe ndonjëherë ato janë mënyrat e vetme. Për të zotëruar këto metoda, duhet të keni aftësi të forta në metoda standarde, transformime, të dini shumë materiale teorike dhe gjithashtu të zgjidhni.

Letërsia.

1. Nikolsky S.M. “Algjebra dhe fillimet e analizës. Klasa e 11-të", Moskë, "Iluminizmi" - 2004.
2. S.N. Olehnik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko "Ekuacionet dhe pabarazitë", Moskë, "Provimi" - 1998.
3. Revista “Matematika për nxënësit e shkollës”, nr.4 – 2005.
4. S.N. Olehnik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko “Ekuacionet dhe pabarazitë. Metodat jo standarde", Moskë, "Drofa" - 2002.
5. Enciklopedia e shkollës "Matematika", Moskë, "Drofa" - 1997.
6. Mordkovich A.G. “Kam filluar të analizoj algjebrën në klasat 10-11. Teksti shkollor dhe libri i problemeve", Moskë, "Mnemosyne" - 2002.
7. Burimet mediatike: “E gjithë matematika”, “Rishikimi i të gjithë kursit shkollor”, “Algjebra 7 - 11”.

Teoria e ekuacioneve zë një vend kryesor në kursin e algjebrës shkollore. Më shumë kohë i kushtohet studimit të tyre sesa çdo teme tjetër në kursin e matematikës shkollore. Kjo për faktin se shumica e problemeve në jetë vijnë në zgjidhjen e llojeve të ndryshme të ekuacioneve.

Në tekstin e algjebrës së klasës së 8-të, njihemi me disa lloje ekuacionesh kuadratike dhe ushtrohemi në zgjidhjen e tyre duke përdorur formula. A ka metoda të tjera për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike? Sa komplekse janë këto metoda dhe a mund të përdoren në praktikë?

Këtyre çështjeve i kushtohet puna kërkimore "Metodat jo standarde për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike".

Rëndësia e kësaj temeështë se në mësimet e algjebrës, gjeometrisë dhe fizikës hasim shumë shpesh zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Prandaj, çdo student duhet të jetë në gjendje të zgjidhë saktë dhe racionalisht ekuacionet kuadratike, kjo gjithashtu mund të jetë e dobishme për mua kur zgjidh probleme më komplekse, përfshirë në klasën e 9-të kur jep provime.

Qëllimi i punës kërkimore: identifikoni metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, zbuloni nëse ndonjë ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur këto metoda dhe nënvizoni veçoritë dhe disavantazhet e këtyre metodave.

Objektivat e kërkimit: të analizojë burimet e literaturës për të identifikuar mënyrat e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, të tregojë mënyra të ndryshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike; të identifikojë mënyrat më të përshtatshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike; Mësoni të zgjidhni ekuacionet kuadratike në mënyra të ndryshme.

Metodat e hulumtimit: analiza e literaturës, vrojtimi sociologjik, vëzhgimi, krahasimi dhe sinteza e rezultateve .

Shikoni përmbajtjen e prezantimit
"Mënyra jo standarde për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike"

Institucion arsimor shtetëror komunal

"Shkolla e mesme Bogucharskaya nr. 1"

Puna kërkimore me temën: "Jo standarde Mënyrat për të zgjidhur ekuacionet kuadratike"

Pryadkova Ekaterina Sergeevna

Kreu: Alabina Galina Yurievna

Identifikoni mënyrat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Zbuloni nëse është e mundur të zgjidhet ndonjë ekuacion kuadratik duke përdorur këto metoda dhe nënvizoni veçoritë dhe disavantazhet e këtyre metodave

• Analizoni burimet e literaturës për të identifikuar mënyrat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike
• Trego mënyra të ndryshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike
• Identifikoni mënyrat më të përshtatshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike
• Mësoni të zgjidhni ekuacionet kuadratike në mënyra të ndryshme

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Faktorimi i anës së majtë

Sipas formulës

bazë

Përdorimi i teoremës së Vietës (e drejtpërdrejtë dhe e anasjelltë)

Metoda grafike

Sipas vetive të koeficientëve

Me metodën e "transferimit".

Shtesë

Duke përdorur një busull dhe vizore

Duke përdorur një nomogram

Metoda gjeometrike

Vetitë e koeficientëve

Vetitë:

Mënyra e transferimit

Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me a, marrim

Le

, ku

Pastaj marrim një ekuacion me një ndryshore të re

Rrënjët e saj janë 1 dhe në 2 . Së fundi

Duke përdorur një busull dhe vizore

Rrezja e rrethit është më e madhe se ordinata e qendrës

, rrethi pret boshtin Ox në dy pika ku janë rrënjët e ekuacionit origjinal.

Rrezja e rrethit është e barabartë me ordinatën e qendrës

, rrethi pret boshtin Ox në një pikë ku është rrënja e ekuacionit origjinal.

Rrezja e rrethit është më e vogël se ordinata e qendrës

, rrethi nuk ka pika të përbashkëta me boshtin Ox. Në këtë rast, ekuacioni origjinal nuk ka rrënjë.

Duke përdorur një nomogram

X 2 -9x+8=0

X 1 =8; X 2 =1

Metoda gjeometrike

Le të shohim se si e zgjidhën ekuacionin grekët e lashtë

Zgjidhja është paraqitur në figurën, ku

ose

Shprehjet

dhe 16 + 9

gjeometrikisht ato përfaqësojnë të njëjtin katror me anën 5.

Kjo është arsyeja pse

Përpunimin e të dhënave

Metoda e përzgjedhjes

katror i plotë

Zbërthimi i anës së majtë

ekuacionet e faktorizimit

Përgjigje: -4,5; 1.

Përpunimin e të dhënave

Duke përdorur

Formulat Vieta

Sipas formulës

ka dy te ndryshme

me shenjë të rrënjës

më i madh në modul

rrënjë negative

Përgjigje: -4,5; 1.

Përpunimin e të dhënave

Nga vetia e koeficientëve

Me metodën e "transferimit".

Le të hedhim koeficientin a = 2 në termin e lirë dhe të marrim ekuacionin:

Sepse

nga e cila, sipas formulave të Vietës

Rrënjët e ekuacionit origjinal do të jenë

Përgjigje: -4,5; 1.

Përpunimin e të dhënave

Metoda grafike

Duke përdorur një busull dhe vizore

Le ta shkruajmë ekuacionin në formë

Le të përcaktojmë koordinatat e qendrës së rrethit duke përdorur formulat:

Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve në një sistem koordinativ

Le të vizatojmë një rreth me rreze S.A. Ku A (0;1).

Përgjigje: -4,5; 1.

Përpunimin e të dhënave

Metoda gjeometrike

Duke përdorur një nomogram

Le të paraqesim ekuacionin në formën:

Le të paraqesim ekuacionin në formën:

Sipërfaqja e katrorit që rezulton:

Sepse

Nomogrami jep një rrënjë pozitive

Kështu, kemi marrë ekuacionin:

rrënjë negative

Përgjigje: -4,5; 1.

Pro dhe kundra

Anët pozitive

Faktorizimi i anës së majtë të ekuacionit

Të metat

Bën të mundur shikimin e menjëhershëm të rrënjëve të ekuacionit.

Metoda e zgjedhjes së katrorit të plotë

Është e nevojshme të ndahen saktë termat për

grupe.

Sipas formulës

Në një numër minimal hapash mund të gjeni rrënjët e ekuacioneve

Ju duhet të gjeni saktë të gjitha termat për të izoluar një katror të plotë.

Mund të zbatohet për të gjitha ekuacionet kuadratike.

Përdorimi i formulave të Vieta

Ju duhet të mësoni formulat.

Një mënyrë mjaft e thjeshtë, bën të mundur shikimin e menjëhershëm të rrënjëve të ekuacionit.

Vetëm rrënjët e tëra gjenden lehtësisht.

Emri i metodës për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Anët pozitive

Të metat

Me metodën e "transferimit".

Në një numër minimal hapash, mund të gjeni rrënjët e ekuacionit, të përdorura në lidhje me metodën e teoremës Vieta.

Sipas vetive të koeficientëve

Metoda grafike

Është e lehtë të gjesh vetëm rrënjë të tëra.

Nuk kërkon shumë përpjekje

Mënyra vizuale

I përshtatshëm vetëm për disa ekuacione

Duke përdorur një busull dhe vizore

Mund të ketë pasaktësi në planifikim

Mënyra vizuale

Duke përdorur një nomogram

Metoda vizuale, e lehtë për t'u përdorur.

Mund të ketë pasaktësi

Metoda gjeometrike

Mënyra vizuale.

Një nomogram nuk është gjithmonë i disponueshëm.

Ngjashëm me metodën e zgjedhjes së një katrori të plotë

Për të zgjidhur mirë çdo ekuacion kuadratik, duhet

di:

 formula për gjetjen e diskriminuesit;

 formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik;

 algoritme për zgjidhjen e ekuacioneve të këtij lloji.

te jesh i afte te:

 të zgjidhë ekuacione kuadratike jo të plota;

 të zgjidhë ekuacione të plota kuadratike;

 të zgjidhë ekuacionet e dhëna kuadratike;

 të gjejë gabimet në ekuacionet e zgjidhura dhe t'i korrigjojë ato;

 bëj një kontroll.

Tema: "Metodat jo standarde për zgjidhjen e ekuacioneve"

Synimi: rishikoni disa teknika të zgjidhjes së ekuacioneve për t'i ndihmuar studentët të përgatiten për zgjidhjen e problemeve të provimit përfundimtar.

Gjatë orëve të mësimit.

1. Studimi i materialit teorik.

METODA E PËRZGJEDHJES SË RRËNJËVE .

Ekuacionet e formularit https://pandia.ru/text/78/386/images/image002_13.png" width="47" height="29 src=">.png" width="143" height="29 src =" >ekuacioni racional i shkallës së nëntë.

1) Nëse numri i plotë N është rrënja.png" width="22" height="29 src=">.png" width="22" height="29 src=">.png" width="10" lartësi = "40 src=">.png" width="52" height="29 src=">.png" width="23" height="29 src=">.png" width="260" height=" 30 src="> .

Zgjidhje. Në këtë rast https://pandia.ru/text/78/386/images/image015_5.png" width="252" height="29 src=">

Kështu, fraksioni i pareduktueshëm https://pandia.ru/text/78/386/images/image017_5.png" width="69" height="40 src="> ; https://pandia.ru/text/78/386/images/image019_4.png" height="40 src="> është një zgjidhje racionale e ekuacionit origjinal.

Shembulli 2. Gjeni rrënjët me numra të plotë të një polinomif(x)= https://pandia.ru/text/78/386/images/image021_1.png" width="143" height="29 src="> Duke zëvendësuar numrat që rezultojnë në polinomin origjinal, mund të verifikoni që numrat 1, 2, -2 janë rrënjët e polinomit.

5) Polinomi është një funksion i vazhdueshëm, kështu që nëse në skajet https://pandia.ru/text/78/386/images/image023_1.png" width="51" height="29 src="> ka në të paktën një rrënjë e këtij polinomi.

Shembulli 3. Gjeni të paktën një rrënjë të plotë të një polinomif(x)= https://pandia.ru/text/78/386/images/image025_2.png" width="336" height="29 src="> Prandaj, të paktën një rrënjë qëndron në interval https://pandia.ru/text/78/386/images/image027_0.png" width="358" height="241 src=">

Kështu, polinomi origjinal mund të shkruhet në formën: 2https://pandia.ru/text/78/386/images/image029_1.png" width="214" height="29 src=">

Zgjidhje. Koeficienti kryesor është 1, dhe termi i lirë ka pjesëtues 1,2,8,16, prandaj, ky ekuacion ka një rrënjë racionale, atëherë kjo rrënjë është sigurisht një numër i plotë dhe gjendet midis numrave nëse https://pandia.ru /text/78/386/ images/image031_0.png" width="16" height="29 src=">16..png" width="324" height="243 src=">

Prandaj, https://pandia.ru/text/78/386/images/image035_1.png" width="569" height="64 src=">

Problemet për zgjidhje të pavarur.

1..png" width="265" height="29 src=">

3..png" width="89" height="29 src=">+10x+24=0;

5..png" width="109" height="29 src=">.png" width="83" height="29 src=">.png" width="72" height="29 src="> .png" width="22" height="29 src=">.png" width="212" height="29 src=">.png" width="154" height="29 src=">.png "width="288" height="29 src=">+-https://pandia.ru/text/78/386/images/image055_1.png" width="624" height="58">

Ky polinom duhet të jetë identikisht i barabartë me polinomin origjinal, gjë që është e mundur nëse koeficientët në fuqitë përkatëse janë të barabartë.

2https://pandia.ru/text/78/386/images/image057_1.png" width="302" height="29 src=">.png" width="570" height="130 src="> =1.

Kështu, polinomi origjinal mund të shkruhet si:

2https://pandia.ru/text/78/386/images/image061_1.png" width="159" height="29 src=">

Shembull 1..png" width="286" height="25 src=">.png" width="146" height="25 src=">.png" width="149" height="103 src="> .png" width="82" height="29 src=">.png" width="165" height="50 src=">.png" width="61" height="29 src=">.

Mënyra jo standarde për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Nxënëse e klasës së 9-të

Shefi i punës:

Firsova Daria Evgenevna

mësues i matematikës

Shpesh është më e dobishme për një person që studion algjebër të zgjidhë të njëjtin problem në tre mënyra të ndryshme sesa të zgjidhë tre ose katër probleme. Duke zgjidhur një problem në mënyra të ndryshme, mund të zbuloni duke krahasuar se cili është më i shkurtër dhe më efikas. Kështu zhvillohet përvoja.

U.U. Sawyer (matematicient anglez i shekullit të 20-të)

Qëllimi i punës

Studioni të gjitha mënyrat ekzistuese për të zgjidhur një ekuacion kuadratik. Mësoni të përdorni këto metoda.

Detyrat

• Kuptoni atë që quhet ekuacion kuadratik.
• Gjeni se çfarë lloje ekuacionesh kuadratike ekzistojnë.
• Gjeni informacion për mënyrat e zgjidhjes së një ekuacioni kuadratik dhe studioni atë.

Rëndësia e temës: Njerëzit kanë studiuar ekuacionet kuadratike që nga kohërat e lashta. Doja të dija historinë e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike.

Tekstet shkollore nuk japin informacion të plotë për ekuacionet kuadratike dhe metodat e zgjidhjes së tyre.

Nje objekt: Ekuacionet kuadratike.

Artikulli: Metodat për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve.

Metodat e hulumtimit: analitike.

Hipoteza – nëse gjatë hulumtimit të kësaj teme mund të realizoj qëllimet dhe objektivat që kam vendosur, atëherë në përputhje me rrethanat do të vazhdoj të zbatoj trajnime paraprofile në fushën e edukimit matematikor.

Metodat e hulumtimit:

• Puna me literaturë edukative dhe shkencore popullore.
• Vëzhgim, krahasim, analizë.
• Zgjidhja e problemeve.

Rezultatet e pritura: Gjatë studimit të kësaj pune, unë do të jem në gjendje të vlerësoj me të vërtetë potencialin tim intelektual dhe, në përputhje me rrethanat, në të ardhmen, të vendos për një profil trajnimi, të krijoj një produkt projekti për temën në studim në formën e një prezantimi kompjuterik; kjo çështje do të më lejojë të kompensoj mungesën e njohurive për temën e caktuar.

Unë e konsideroj punën time premtuese, pasi në të ardhmen ky material mund të përdoret si nga nxënësit për të përmirësuar shkrim-leximin matematikor ashtu edhe nga mësuesit në klasat me zgjedhje.

Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

Nevoja për të zgjidhur ekuacionet jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë, edhe në kohët e lashta, u shkaktua nga nevoja për të zgjidhur problemet që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave dhe me punë gërmimi të natyrës ushtarake., si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Babilonasit ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet kuadratike rreth vitit 2000 para Krishtit. Duke përdorur shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme ka, përveç atyre jo të plota, të tilla, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri tani paraqesin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën. Pavarësisht nga niveli i lartë i zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Si kompozoi dhe zgjidhi Diofanti

ekuacionet kuadratike

EKUACIONI:

"Gjeni dy numra duke e ditur se shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96."

Diofanti arsyeton si më poshtë: nga kushtet e problemës del se numrat e kërkuar Jo janë të barabartë, sepse po të ishin të barabartë, atëherë prodhimi i tyre nuk do të ishte 96, por 100. Kështu, njëri prej tyre do të ishte më shumë se gjysma e shumës së tyre, d.m.th. 10+X , tjetra është më pak, d.m.th. 10-X .

Dallimi midis tyre është 2 X

Nga këtu X=2 . Njëri nga numrat e kërkuar është 12, tjetri është 8. Zgjidhje X = -2 sepse Diofanti nuk ekziston, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.

Ekuacionet kuadratike në Indi

Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden gjithashtu në traktatin astronomik "Aryabhattiam", i përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta, vendosi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike: sëpatë ² +bx=c, a0

Një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të Bhaskara

Një tufë majmunësh të gjallë

Pasi hëngra me kënaqësi, u argëtova.

Pjesa e tetë e tyre në katror

Po argëtohesha në pastrim.

Dhe dymbëdhjetë përgjatë hardhive ...

Ata filluan të hidheshin duke u varur...

Sa majmunë kishte?

Më thuaj, në këtë paketë?

Ekuacioni që korrespondon me problemin është:

Baskara shkruan nën maskën:

Plotësoi anën e majtë në një katror,

Ekuacionet kuadratike në Azinë e Lashtë

X 2 +10 x = 39

Kështu e zgjidhi këtë ekuacion shkencëtari i Azisë Qendrore al-Khwarizmi:

Ai shkroi: "Rregulli është:

dyfishoni numrin e rrënjëve, x=2x · 5

merrni pesë në këtë problem, 5

shumëzohemi me këtë të barabartë me të, bëhet njëzet e pesë, 5·5=25

shto atë në tridhjetë e nëntë, 25+39

do të jetë gjashtëdhjetë e katër, 64

merr rrënjë nga kjo, bëhet tetë, 8

dhe nga kjo gjysma zbres numrin e rrënjëve, pra pesë, 8-5

do të ngelet 3

kjo do të jetë rrënja katrore që po kërkoni."

Po rrënja e dytë? Rrënja e dytë nuk u gjet, pasi numrat negativë nuk njiheshin.

Ekuacionet kuadratike në Evropë shekujt XIII-XVII.

Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike x2+inx+c=0 u formulua në Evropë vetëm në 1544. Zoti Stiefel.

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në Evropë u parashtruan për herë të parë në 1202 nga një matematikan italian

Leonard Fibonacci.

Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Vieth, por Vieth njohu vetëm rrënjë pozitive. Vetëm në shekullin e 17-të. falë përpjekjeve Dekarti, Njutoni dhe shkencëtarë të tjerë metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne

Rreth teoremës së Vietës

Teorema që shpreh marrëdhënien midis koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, të emërtuar pas Vieta, u formulua për herë të parë nga ai në 1591 si më poshtë: "Nëse B + D shumëfishohet A-A është BD, atëherë A është e barabartë me B dhe e barabartë me D."

Për të kuptuar Vietën, duhet mbajtur mend se A, si çdo shkronjë zanore, nënkuptonte të panjohurën (x-në tonë), ndërsa zanoret B, D janë koeficientë për të panjohurën.

Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i mësipërm Vieta do të thotë :

Nëse ekuacioni kuadratik i reduktuar x 2 +px+q=0 ka rrënjë reale, atëherë shuma e tyre është e barabartë me -fq, dhe produkti është i barabartë q, kjo eshte x 1 +x 2 = -p, x 1 x 2 = q

(shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të mësipërm është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë).

• Faktorizimi i anës së majtë të ekuacionit
• Teorema e Vietës
• Zbatimi i vetive të koeficientëve të ekuacionit kuadratik
• Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur metodën e "hedhjes" së koeficientit kryesor
• Metoda e zgjedhjes së katrorit të plotë
• Metoda grafike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike
• Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur busull dhe vizore
• Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një nomogram
• Metoda gjeometrike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Metoda e faktorizimit

sillni një ekuacion të përgjithshëm kuadratik në formën:

A(x)·B(x)=0,

ku A(x) dhe B(x) janë polinome në lidhje me x.

Synimi:

Metodat:

• Heqja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave;
• Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit;
• Metoda e grupimit.

Shembull:

: X 2 + 10x – 24 = 0

Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit:

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x – 2x – 24 = x(x + 12) – 2(x + 12) = = (x + 12)(x – 2);

(x + 12) (x – 2) = 0;

x + 12 = 0 ose x – 2 = 0;

X 1 = -12 x 2 = 2 ;

Numrat - 12 dhe 2 janë rrënjët e këtij ekuacioni.

Përgjigje: x 1 = -12; X 2 = 2.

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Vietës

x 1 Dhe X 2 – rrënjët e ekuacionit

Për shembull :

X 2 + 3X – 10 = 0

X 1 ·X 2 = – 10, që do të thotë se rrënjët janë të ndryshme

shenjat

X 1 + X 2 = – 3, do të thotë më i madh në modul

rrënjë - negative

Me përzgjedhje gjejmë rrënjët: X 1 = – 5, X 2 = 2

Vetitë e koeficientëve të një ekuacioni kuadratik

Le të jepet sëpata e ekuacionit kuadratik 2 + bx + c = 0

Nëse a + b + c = 0 (d.m.th. shuma e koeficientëve

ekuacioni është zero), atëherë X 1 = 1 , X 2 = c/a

Nëse a - b + c = 0 , ose b = a + c , Se X 1 = – 1 , X 2 = – s/a .

Shembull :

137x 2 + 20x – 157 = 0.

a = 137, b = 20, c = -157.

a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.

x 1 = 1,

Përgjigje: 1;

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e "hedhjes".

Rrënjët e ekuacioneve kuadratike sëpatë 2 + bx + c = 0 Dhe y 2 + nga + ac = 0 të lidhura nga relacioni : x = y/a .

Merrni parasysh ekuacionin kuadratik sëpatë ² + bx + c = 0 , ku a ≠ 0. Duke shumëzuar të dyja anët me A , marrim ekuacionin a²х² + abх + ac = 0. Le ah = y , ku X = y/a; atëherë vijmë te ekuacioni y² + nga + ac = 0 , ekuivalente me këtë. Rrënjët e saj në 1 Dhe në 2 gjejmë duke përdorur teoremën e Vietës. Më në fund arrijmë X 1 = y 1 /a Dhe X 2 = y 2 /a .

Zgjidhe ekuacionin: 2x 2 - 11x +15 = 0.

Le të hedhim koeficientin 2 në termin e lirë

në 2 - 11у +30= 0. D0, sipas teoremës së kundërt me teoremën e Vietës, marrim rrënjët: 5;6, pastaj kthehemi në rrënjët e ekuacionit origjinal: 2.5; 3.

Metoda e zgjedhjes së katrorit të plotë

X 2 + 6x – 7 = 0

Zgjidhni një katror të plotë në anën e majtë. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë shprehjen X 2 + 6x në formën e mëposhtme:

X 2 + 6x = x 2 + 2 x 3

Në shprehjen që rezulton, termi i parë është katrori i numrit X, dhe e dyta është dyfishi i produktit X në 3 , kështu që për të marrë një katror të plotë duhet të shtoni 3 2 , sepse

X 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2

Tani le të transformojmë anën e majtë të ekuacionit X 2 + 6x – 7 = 0, duke i shtuar dhe zbritur 3 2 , ne kemi:

X 2 + 6x – 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 – 3 2 – 7 =

= (x + 3) 2 – 9 – 7 = (x + 3) 2 – 16

Kështu, ky ekuacion mund të shkruhet si më poshtë:

(x + 3) 2 –16 = 0 , d.m.th. (x + 3) 2 = 16 .

Prandaj, x + 3 - 4 = 0 ose x + 3 + 4 = 0

X 1 = 1 X 2 = -7

Përgjigje: -7; 1.

Metoda grafike për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik

Pa përdorur formula, një ekuacion kuadratik mund të zgjidhet grafikisht

mënyrë. Le të zgjidhim ekuacionin

Për ta bërë këtë, ne do të ndërtojmë dy grafikë:

Abshisat e pikave të kryqëzimit të grafikëve do të jenë rrënjët e ekuacionit.

Nëse grafikët kryqëzohen në dy pika, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

Nëse grafikët kryqëzohen në një pikë, atëherë ekuacioni ka një rrënjë.

Nëse grafikët nuk kryqëzohen, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.

Përgjigje:

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur

busull dhe sundimtar

1. Zgjidhni një sistem koordinativ.

2. Le të vizatojmë pikat S(-b/ 2 A; a+c/ 2 A) – qendra e rrethit dhe A( 0; 1 ) .

3. Le të vizatojmë një rreth me rreze S.A. .

Abshisat pikat e prerjes së rrethit me boshtin Ox janë rrënjët të këtij ekuacioni kuadratik.

x 1

x 2

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një nomogram

Kjo është një metodë e vjetër dhe e pamerituar e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, e vendosur në fq.

Për ekuacionin

nomogrami jep rrënjë

Tabela XXII. Nomogram për zgjidhjen e ekuacionit

Ky nomogram lejon që, pa zgjidhur një ekuacion kuadratik, të përcaktohen rrënjët e ekuacionit nga koeficientët e tij.

Metoda gjeometrike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Një shembull që është bërë i famshëm është nga "Algjebra" e al-Khorezmi: X 2 + 10x = 39. Në origjinal, ky problem është formuluar si më poshtë: "Katrori dhe dhjetë rrënjët janë të barabarta me 39".

S = x 2 + 10 x+ 25 (X 2 + 10 x = 39 )

S= 39 + 25 = 64 , prej nga vijon,

cila është ana e katrorit ABCD ,

ato. segmenti i linjës AB = 8 .

x = 8 - 2,5 - 2,5 = 3

Në bazë të sondazhit, u konstatua se:

• Metodat e mëposhtme doli të ishin më të vështirat:

Duke faktorizuar anën e majtë të ekuacionit,

Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë.

• Metodat racionale të zgjidhjes:

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulën;

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Vietës

• Nuk ka aplikim praktik

Metoda gjeometrike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

• Nuk kam dëgjuar më parë për këto metoda:

Zbatimi i vetive të koeficientëve të një ekuacioni kuadratik;

Përdorimi i një nomogrami;

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur busull dhe vizore;

Metoda e “transferimit” (kjo metodë zgjoi interesimin e studentëve).

konkluzioni

• këto metoda zgjidhjeje meritojnë vëmendje, pasi jo të gjitha pasqyrohen në tekstet shkollore të matematikës;

• zotërimi i këtyre teknikave do t'i ndihmojë studentët të kursejnë kohë dhe të zgjidhin ekuacionet në mënyrë efektive;

• nevoja për një zgjidhje të shpejtë është për shkak të përdorimit të një sistemi testimi për provimet pranuese;

FALEMINDERIT MBRAPA KUJDES!

Teksti i veprës është postuar pa imazhe dhe formula.
Versioni i plotë i veprës gjendet në skedën "Work Files" në format PDF

Prezantimi

Edukimi matematikor i marrë në shkollë është një komponent thelbësor i arsimit të përgjithshëm dhe kulturës së përgjithshme të njeriut modern. Pothuajse gjithçka që rrethon njeriun modern është e gjitha e lidhur disi me matematikën. Dhe përparimet e fundit në fizikë, inxhinieri dhe teknologjinë e informacionit nuk lënë asnjë dyshim se në të ardhmen gjendja e punëve do të mbetet e njëjtë. Prandaj, zgjidhja e shumë problemeve praktike zbret në zgjidhjen e llojeve të ndryshme të ekuacioneve.

Ekuacionet zënë një vend kryesor në kursin e algjebrës shkollore. Më shumë kohë i kushtohet studimit të tyre sesa çdo teme tjetër në kursin e matematikës shkollore. Fuqia e teorisë së ekuacioneve është se ajo jo vetëm që ka rëndësi teorike për njohjen e ligjeve natyrore, por shërben edhe për qëllime praktike specifike.

Rëndësia e temësështë se në mësimet e algjebrës, gjeometrisë dhe fizikës hasim shumë shpesh zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Shumica e problemeve në lidhje me format hapësinore dhe marrëdhëniet sasiore në botën reale vijnë në zgjidhjen e llojeve të ndryshme të ekuacioneve. Duke përvetësuar mënyrat për t'i zgjidhur ato, njerëzit gjejnë përgjigje për pyetje të ndryshme nga shkenca dhe teknologjia (transport, bujqësi, industri, komunikim, etj.). Prandaj, çdo student duhet të jetë në gjendje të zgjidhë saktë dhe racionalisht ekuacionet kuadratike, kjo mund të jetë gjithashtu e dobishme për mua kur zgjidh probleme më komplekse, përfshirë në klasën 9, si dhe në klasat 10 dhe 11, dhe kur jep provime.

Synimi: Eksploroni mënyra standarde dhe jo standarde për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Detyrat

1. Shpjegoni metodat më të njohura për zgjidhjen e ekuacioneve
2. Shpjegoni mënyra jo standarde për zgjidhjen e ekuacioneve
3. Nxirrni një përfundim

Objekti i studimit: ekuacionet kuadratike

Lënda e studimit: mënyra për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Metodat e hulumtimit:

• Teorik: studimi i literaturës për temën kërkimore;
• Analiza: informacioni i marrë nga studimi i literaturës; rezultatet e fituara duke zgjidhur ekuacionet kuadratike në mënyra të ndryshme.
• Krahasimi i metodave për racionalitetin e përdorimit të tyre në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Kapitulli 1. Ekuacionet kuadratike dhe zgjidhjet standarde

1.1.Përkufizimi i një ekuacioni kuadratik

Ekuacioni kuadratik quhet ekuacion i formës sëpatë 2 + bx + c= 0, ku X- variabël , a, b Dhe Me- disa numra dhe A≠ 0.

Numrat a, b Dhe Me - koeficientët e një ekuacioni kuadratik. Numri A quhet koeficienti i parë, numri b- koeficienti dhe numri i dytë c- një anëtar i lirë.

Ekuacioni i plotë kuadratikështë një ekuacion kuadratik në të cilin janë të pranishëm të tre termat, d.m.th. koeficientët në dhe с janë të ndryshëm nga zero.

Ekuacion kuadratik jo i plotëështë një ekuacion në të cilin të paktën një nga koeficientët në ose, c është i barabartë me zero.

Përkufizimi 3. Rrënja e një ekuacioni kuadratik Oh 2 + bX + Me= 0 është çdo vlerë e ndryshores x për të cilën trinomi kuadratik Oh 2 + bX+ Me shkon në zero.

Përkufizimi 4. Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik do të thotë të gjesh të gjithë atë

rrënjët ose të vërtetojë se nuk ka rrënjë.

Shembull: - 7 x+ 3 =0

Në secilin nga ekuacionet e formës a + bx + c= 0, ku A≠ 0, shkalla më e lartë e ndryshores x- katror. Prandaj emri: ekuacion kuadratik.

Një ekuacion kuadratik në të cilin koeficienti në X 2 është 1, i quajtur dhënë ekuacionin kuadratik.

Shembull

X 2 - 11x+ 30=0, X 2 -8x= 0.

1.2.Metodat standarde për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke e katrorizuar binomin

Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik në të cilin koeficientët e të panjohurave dhe termi i lirë janë jozero. Kjo metodë e zgjidhjes së një ekuacioni kuadratik quhet katrore e binomit.

Faktorizimi i anës së majtë të ekuacionit.

Le të zgjidhim ekuacionin x 2 + 10x - 24 = 0. Le të faktorizojmë anën e majtë:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Prandaj, ekuacioni mund të rishkruhet si më poshtë: (x + 12) (x - 2) = 0

Një produkt i faktorëve është zero nëse të paktën një nga faktorët e tij është zero.

Përgjigje: -12; 2.

Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik duke përdorur formulën.

Diskriminues i një ekuacioni kuadratiksëpatë 2 + bx + c= 0 shprehje b 2 - 4ac = D - me shenjën e së cilës gjykohet nëse ky ekuacion ka rrënjë reale.

Rastet e mundshme në varësi të vlerës së D:

1. Nëse D>0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.
2. Nëse D= 0, atëherë ekuacioni ka një rrënjë: x =
3. Nëse D< 0, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Vietës.

Teorema: Shuma e rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë.

Ekuacioni kuadratik i dhënë është:

x 2 + bx + c= 0.

Le të shënojmë koeficientin e dytë me shkronjën p, dhe termin e lirë me shkronjën q:

x 2 + px + q= 0, atëherë

x 1 + x 2 = - p; x 1 x 2 = q

Kapitulli 2. Metodat jo standarde për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

2.1 Zgjidhja duke përdorur vetitë e koeficientëve të një ekuacioni kuadratik

Vetitë e koeficientëve të një ekuacioni kuadratik është një mënyrë për të zgjidhur ekuacionet kuadratike që do t'ju ndihmojë të gjeni shpejt dhe verbalisht rrënjët e ekuacionit:

sëpatë 2 + bx + c= 0

1. Nësea+ b+c= 0, atëherëx 1 = 1, x 2 =

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin x 2 + 3x - 4 = 0.

a+ b + c = 0, pastaj x 1 = 1, x 2 =

1+3+(-4) = 0, pastaj x 1 = 1, x 2 = = - 4

Le të kontrollojmë rrënjët e marra duke gjetur diskriminuesin:

D= b 2- 4ac= 3 2 - 4·1·(-4) = 9+16= 25

x 1 = = = = = - 4

Prandaj, nëse +b +c= 0, pastaj x 1 = 1, x 2 =

1. Nëseb = a + c , Kjox 1 = -1, x 2 =

x 2 + 4X+1 = 0, a=3, b=4, c=1

Nëse b=a + c, pastaj x 1 = -1, x 2 = , pastaj 4 = 3 + 1

Rrënjët e ekuacionit: x 1 = -1, x 2 =

Pra, rrënjët e këtij ekuacioni janë -1 dhe. Le ta kontrollojmë këtë duke gjetur diskriminuesin:

D= b 2- 4ac= 4 2 - 4 3 1 = 16 - 12 = 4

x 1 = = = = = - 1

Prandaj, b=a + c, pastaj x 1 = -1, x 2 =

2.2. Metoda e "transferimit"

Me këtë metodë koeficienti A shumëzuar me termin e lirë, sikur të "hedhur" në të, prandaj quhet mënyra e transferimit. Kjo metodë përdoret kur rrënjët e ekuacionit mund të gjenden lehtësisht duke përdorur teoremën e Vieta-s dhe, më e rëndësishmja, kur diskriminuesi është një katror i saktë.

Nëse A± b+c≠0, atëherë përdoret teknika e transferimit:

3x 2 +4x+ 1=0; 3+4+1 ≠ 0

Duke përdorur metodën e "transferimit" marrim:

X 2 + 4x+3= 0

Kështu, duke përdorur teoremën e Vieta, marrim rrënjët e ekuacionit:

x 1 = - 3, x 2 = -1.

Sidoqoftë, rrënjët e ekuacionit duhet të ndahen me 3 (numri që "u hodh"):

Kjo do të thotë se marrim rrënjët: x 1 = -1, x 2 = .

Përgjigje: ; - 1

2.3 Zgjidhje duke përdorur rregullsinë e koeficientëve

1. Nëse ekuacionisëpatë 2 + bx + c= 0, koeficientib= (a 2 +1), dhe koeficientic = a, atëherë rrënjët e tij janë x 1 = - a, x 2 =

sëpatë 2 +(një 2 + 1)∙ x + a= 0

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 3 x 2 +10x+3 = 0.

Kështu, rrënjët e ekuacionit janë: x 1 = -3 , x 2 =

D= b 2- 4ac= 10 2 - 4 3 3 = 100 - 36 = 64

x 1 = = = = = - 3

x 2 = = = = = ; Prandaj x 1 = - a, x 2 =

1. Nëse ekuacionisëpatë 2 - bx + c= 0, koeficientib= (a 2 +1), dhe koeficientic = a, atëherë rrënjët e tij janë x 1 = a, x 2 =

Kështu, ekuacioni që do të zgjidhet duhet të ketë formën

sëpatë 2 -(një 2 + 1)∙ x+ a= 0

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 3 x 2 - 10x+3 = 0.

, x 2 =

Le ta kontrollojmë këtë zgjidhje duke përdorur diskriminuesin:

D= b 2- 4ac= 10 2 - 4 3 3 = 100 - 36 = 64

a, x 2 =

1. Nëse ekuacionisëpatë 2 + bx - c= 0, koeficientib= (a 2 -1), dhe koeficientic = a, atëherë rrënjët e tij janë x 1 = - a, x 2 =

Kështu, ekuacioni që do të zgjidhet duhet të ketë formën

sëpatë 2 +(dhe 2 - 1)∙ x - a= 0

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 3 x 2 + 8x - 3 = 0..

Kështu, rrënjët e ekuacionit janë: x 1 = - 3, x 2 =

Le ta kontrollojmë këtë zgjidhje duke përdorur diskriminuesin:

D= b 2- 4ac= 8 2 + 4 3 3 = 64 + 36 = 100

x 1 = = = = = - 3

x 2 = = = = = ; Prandaj, x 1 = - a, x 2 =

1. Nëse ekuacionisëpatë 2 - bx - c= 0, koeficientib= (a 2 -1), dhe koeficientic = a, atëherë rrënjët e tij janë x 1 = a, x 2 =

Kështu, ekuacioni që do të zgjidhet duhet të ketë formën

sëpatë 2 -(dhe 2 - 1)∙ x - a= 0

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 3 x 2 - 8x - 3 = 0..

Kështu, rrënjët e ekuacionit janë: x 1 = 3 , x 2 = -

Le ta kontrollojmë këtë zgjidhje duke përdorur diskriminuesin:

D= b 2- 4ac= 8 2 + 4 3 3 = 64 + 36 = 100

x 2 = = = = = 3; Prandaj x 1 = a, x 2 = -

2.4 Zgjidhje duke përdorur një busull dhe vizore

Unë propozoj metodën e mëposhtme për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik ah 2 +bx + c = 0 duke përdorur një busull dhe vizore (Fig. 6).

Le të supozojmë se rrethi i dëshiruar e pret boshtin

abshisa në pika B(x 1; 0) Dhe D(x 2 ; 0), Ku x 1 Dhe x 2- rrënjët e ekuacionit ah 2 +bx + c = 0, dhe kalon nëpër pika

A(0; 1) Dhe C(0;c/ a) në boshtin e ordinatave. Pastaj, nga teorema sekante, kemi O.B. . O.D. = O.A. . O.C., ku O.C. = = =

Qendra e rrethit është në pikën e prerjes së pinguleve SF Dhe S.K., restauruar në mes të kordave A.C. Dhe BD, Kjo është arsyeja pse

1) ndërto pika S (qendra e rrethit) dhe A(0; 1) ;

2) vizatoni një rreth me rreze S.A.;

3) abshisa e pikave të kryqëzimit të këtij rrethi me boshtin Oh janë rrënjët e ekuacionit kuadratik origjinal.

Në këtë rast, tre raste janë të mundshme.

1) Rrezja e rrethit është më e madhe se ordinata e qendrës (AS > S.K., oseR > a + c/2 a) , rrethi pret boshtin Ox në dy pika (Fig. 7a) B(x 1; 0) Dhe D(x 2; 0), Ku x 1 Dhe x 2- rrënjët e ekuacionit kuadratik ah 2 +bx + c = 0.

2) Rrezja e rrethit është e barabartë me ordinatën e qendrës (AS = S.B., oseR = a + c/2 a) , rrethi prek boshtin Ox (Fig. 8b) në pikë B(x 1; 0), ku x 1 është rrënja e ekuacionit kuadratik.

3) Rrezja e rrethit është më e vogël se ordinata e qendrës AS< S, R<

rrethi nuk ka pika të përbashkëta me boshtin e abshisave (Fig. 7c), në këtë rast ekuacioni nuk ka zgjidhje.

A)AS>SB, R> b) AS=SB, R= V) AS