Vëllimi i një prizmi të prirur
Të gjitha prizmat ndahen në drejt Dhe të prirur .
Prizmë e drejtë, bazë
që i shërben të drejtës
quhet shumëkëndësh
e saktë prizëm.
Vetitë e një prizmi të rregullt:
1. Bazat e prizmit të rregullt janë shumëkëndësha të rregullt. 2. Faqet anësore të një prizmi të rregullt janë drejtkëndësha të barabartë. 3. Skajet anësore të një prizmi të rregullt janë të barabarta .
prerje tërthore PRISM.
Seksioni ortogonal i një prizmi është një seksion i formuar nga një plan pingul me skajin anësor.
Sipërfaqja anësore e prizmit është e barabartë me produktin e perimetrit të seksionit ortogonal dhe gjatësisë së skajit anësor.
S b =P orth.seksioni C
1. Distancat ndërmjet brinjëve të pjerrëta
prizmi trekëndor janë të barabartë me: 2cm, 3cm dhe 4cm
Sipërfaqja anësore e prizmit është 45 cm 2 .Gjeni buzën anësore të saj.
Zgjidhja:
Në seksionin pingul të prizmit ndodhet një trekëndësh perimetri i të cilit është 2+3+4=9
Kjo do të thotë se buza anësore është e barabartë me 45:9 = 5 (cm)
Gjeni elementë të panjohur
trekëndëshi i rregullt
Prizmat
sipas elementeve të përcaktuara në tabelë.
PËRGJIGJE.
Faleminderit për mësimin.
Detyre shtepie.
Vëllimi është një karakteristikë e çdo figure që ka dimensione jo zero në të tre dimensionet e hapësirës. Në këtë artikull, nga pikëpamja e stereometrisë (gjeometria e figurave hapësinore), ne do të shikojmë një prizëm dhe do të tregojmë se si të gjejmë vëllimet e llojeve të ndryshme të prizmave.
Stereometria ka një përgjigje të saktë për këtë pyetje. Në të, një prizëm kuptohet si një figurë e formuar nga dy faqe identike poligonale dhe disa paralelograme. Fotografia më poshtë tregon katër prizma të ndryshëm.
Secila prej tyre mund të merret si më poshtë: ju duhet të merrni një shumëkëndësh (trekëndësh, katërkëndësh, etj.) dhe një segment me një gjatësi të caktuar. Pastaj çdo kulm i poligonit duhet të transferohet duke përdorur segmente paralele në një plan tjetër. Në rrafshin e ri, i cili do të jetë paralel me atë origjinal, do të fitohet një shumëkëndësh i ri, i ngjashëm me atë të zgjedhur fillimisht.
Prizmat mund të jenë të llojeve të ndryshme. Pra, ato mund të jenë të drejta, të prirura dhe të rregullta. Nëse buza anësore e prizmit (segmenti që lidh kulmet e bazave) është pingul me bazat e figurës, atëherë kjo e fundit është e drejtë. Prandaj, nëse ky kusht nuk plotësohet, atëherë ne po flasim për një prizëm të prirur. Një figurë e rregullt është një prizëm i drejtë me një bazë barabrinjës dhe barabrinjës.
Vëllimi i prizmave të rregullt
Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë. Le të japim formulën për vëllimin e një prizmi të rregullt me bazë n-gonale. Formula e vëllimit V për çdo figurë të klasës në shqyrtim ka formën e mëposhtme:
Kjo do të thotë, për të përcaktuar vëllimin, mjafton të llogarisni sipërfaqen e njërës prej bazave S o dhe ta shumëzoni atë me lartësinë h të figurës.
Në rastin e një prizmi të rregullt, gjatësinë e anës së bazës së tij e shënojmë me shkronjën a dhe lartësinë, e cila është e barabartë me gjatësinë e skajit anësor, me shkronjën h. Nëse baza është një n-gon të rregullt, atëherë për të llogaritur zonën e saj është më e lehtë të përdorni formulën universale të mëposhtme:
S n = n/4*a2*ctg(pi/n).
Duke zëvendësuar numrin e anëve n dhe gjatësinë e njërës anë a në ekuacion, mund të llogarisni sipërfaqen e bazës n-gonale. Vini re se funksioni kotangjent këtu llogaritet për këndin pi/n, i cili shprehet në radianë.
Duke marrë parasysh barazinë e shkruar për S n, marrim formulën përfundimtare për vëllimin e një prizmi të rregullt:
V n = n/4*a2*h*ctg(pi/n).
Për çdo rast specifik, ju mund të shkruani formulat përkatëse për V, por të gjitha ato rrjedhin pa mëdyshje nga shprehja e përgjithshme e shkruar. Për shembull, për një prizëm të rregullt katërkëndor, i cili në rastin e përgjithshëm është një paralelipiped drejtkëndor, marrim:
V 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.
Nëse marrim h=a në këtë shprehje, atëherë marrim formulën për vëllimin e kubit.
Vëllimi i prizmave të drejtë
Le të vërejmë menjëherë se për figurat e drejta nuk ka një formulë të përgjithshme për llogaritjen e vëllimit, e cila u dha më lart për prizmat e rregullt. Kur gjeni vlerën në shqyrtim, duhet të përdoret shprehja origjinale:
Këtu h është gjatësia e skajit anësor, si në rastin e mëparshëm. Sa i përket zonës bazë S o, ajo mund të marrë një sërë vlerash. Problemi i llogaritjes së vëllimit të një prizmi të drejtë zbret në gjetjen e zonës së bazës së tij.
Llogaritja e vlerës së S o duhet të bëhet në bazë të karakteristikave të vetë bazës. Për shembull, nëse është një trekëndësh, atëherë zona mund të llogaritet si kjo:
Këtu h a është apotema e trekëndëshit, domethënë, lartësia e tij ulet në bazën a.
Nëse baza është katërkëndësh, atëherë mund të jetë një trapez, një paralelogram, një drejtkëndësh ose i një lloji krejtësisht arbitrar. Për të gjitha këto raste, duhet të përdorni formulën e duhur të planimetrisë për të përcaktuar zonën. Për shembull, për një trapezoid kjo formulë duket si kjo:
S o4 = 1/2*(a 1 + a 2)*h a .
Ku h a është lartësia e trapezit, a 1 dhe a 2 janë gjatësitë e brinjëve të tij paralele.
Për të përcaktuar sipërfaqen për shumëkëndëshat e rendit më të lartë, duhet t'i ndani ato në figura të thjeshta (trekëndësha, katërkëndësha) dhe të llogaritni shumën e sipërfaqeve të këtyre të fundit.
Vëllimi i prizmave të prirur
Ky është rasti më i vështirë i llogaritjes së vëllimit të një prizmi. Formula e përgjithshme për shifra të tilla zbatohet gjithashtu:
Megjithatë, vështirësisë për të gjetur sipërfaqen e bazës që përfaqëson një shumëkëndësh të çdo lloji i shtohet problemi i përcaktimit të lartësisë së figurës. Në një prizëm të prirur është gjithmonë më pak se gjatësia e skajit anësor.
Mënyra më e lehtë për të gjetur këtë lartësi është nëse dihet ndonjë kënd i figurës (i sheshtë ose dihedral). Nëse jepet një kënd i tillë, atëherë duhet ta përdorni për të ndërtuar një trekëndësh kënddrejtë brenda prizmit, i cili do të përmbajë lartësinë h si një nga brinjët dhe, duke përdorur funksionet trigonometrike dhe teoremën e Pitagorës, të gjeni vlerën e h.
Probleme gjeometrike për të përcaktuar vëllimin
Jepet një prizëm i rregullt me bazë trekëndore, me lartësi 14 cm dhe gjatësi anësore 5 cm.
Meqenëse po flasim për figurën e saktë, ne kemi të drejtë të përdorim formulën e njohur. Ne kemi:
V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 cm3.
Një prizëm trekëndor është një figurë mjaft simetrike, forma e së cilës përdoret shpesh në struktura të ndryshme arkitekturore. Ky prizëm xhami përdoret në optikë.
Koncepti i një prizmi. Formulat për vëllimin e prizmave të llojeve të ndryshme: të rregullta, të drejta dhe të zhdrejta. Zgjidhja e problemit - gjithçka rreth udhëtimit në sit
Dy faqet e të cilave janë shumëkëndësha kongruentë të shtrirë brenda plane paralele, dhe faqet e mbetura janë paralelograme që kanë brinjë të përbashkëta me këta shumëkëndësha. Këto paralelograme quhen faqe anësore të prizmit, dhe dy shumëkëndëshat e mbetur quhen bazat e tij.
Një prizëm është një rast i veçantë i një cilindri. Një paralelipiped është një rast i veçantë i një prizmi.
Një prizëm ka këto karakteristika:
Çdo seksion i një prizmi nga një rrafsh paralel me bazën e tij e ndan këtë prizëm në dy prizma në mënyrë që raporti i sipërfaqeve anësore dhe raporti i vëllimeve të këtyre prizmave të jetë i barabartë me raportin e gjatësive të skajeve të tyre anësore. Çdo seksion i një prizmi nga një rrafsh paralel me skajin e tij anësor e ndan këtë prizëm në dy prizma në mënyrë që raporti i vëllimeve të këtyre prizmave të jetë i barabartë me raportin e gjatësive të skajeve të tyre anësore. Çdo seksion i një prizmi nga një rrafsh paralel me skajin e tij anësor e ndan këtë prizëm në dy prizma në mënyrë që raporti i vëllimeve të këtyre prizmave të jetë i barabartë me raportin e sipërfaqeve të bazës së tyre.
Llojet e prizmave
Prizma e drejtë. Brinjët anësore të një prizmi të drejtë pingul me rrafshin bazat.
Prizma e zhdrejtë. Skajet anësore të prizmit të pjerrët janë të vendosura në lidhje me planin bazë në një kënd të ndryshëm nga $90^\circ$.
Prizma e saktë. Baza e një prizmi të drejtë është një shumëkëndësh i rregullt. Faqet e saj anësore janë drejtkëndësha të barabarta.
Një shumëfaqësh gjysmë i rregullt është një prizëm i rregullt, faqet anësore të të cilit janë katrore.
Vëllimi i një prizmi të drejtë
Për të nxjerrë një formulë për llogaritjen e vëllimit të një prizmi të rregullt, le të marrim një prizëm me një trekëndësh në bazën e tij. Le ta ndërtojmë atë në një paralelipiped drejtkëndor (Figura 1).
Figura 1. Tetraedri i shtrirë në një paralelipiped
Nga kapitulli i mëparshëm dimë se vëllimi i një paralelipipedi drejtkëndor është i barabartë me:
Sepse paralelepipedi që rezulton përbëhet nga prizmi origjinal dhe një prizëm i barabartë në vëllim, atëherë vëllimi i prizmit origjinal do të jetë i barabartë me
ku $a$, $b$, $c$ janë gjatësitë e brinjëve $AB$, $BC$, $AC$, përkatësisht, dhe produkti i tyre është i barabartë me sipërfaqen e bazës së prizmit origjinal, atëherë shkruajmë në formë të përgjithshme formulën për gjetjen e vëllimit të një prizmi të drejtë:
ku $S_(kryesore)$ është zona e bazës së prizmit, $H$ është lartësia e tërhequr në bazën e prizmit.
Kjo formulë është e vërtetë për një prizëm të drejtë me çdo shumëkëndësh në bazën e tij.
Vëllimi i një prizmi të prirur
Për të nxjerrë formulën për gjetjen e vëllimit të një prizmi të pjerrët, merrni parasysh një prizëm trekëndor të prirur $ABCDFE$. Le të vizatojmë një plan $\alpha $ përmes buzës $DC$, pingul me bazën $ABCD$ të prizmit origjinal dhe të ndërtojmë një prizëm të cunguar trekëndësh (Figura 2).
Figura 2. Prizma e pjerrët, plani $\alfa $
Tani përmes skajit $AB$ vizatojmë një plan $\beta $ paralel me rrafshin $\alpha $ (Figura 3).
Figura 3. Prizma e pjerrët, plane $\alpha $ dhe $\beta $
Nëse e zbatojmë përsëri këtë transformim në faqet e pjerrëta, do të marrim një prizëm në të cilin të gjitha faqet anësore janë pingul me bazën. Edhe një herë rezultati është një prizëm i drejtë.
Nëse i nënshtrohet një transformimi të ngjashëm (së pari plotësohet me prizmin e parë të cunguar, pastaj pritet prizmi i dytë i cunguar), atëherë prizmat e përfunduar dhe të prerë kombinohen me transferim paralel në segmenti i linjës$AB$. Nga kjo rezulton se figurat kanë të njëjtin vëllim.
Rrjedhimisht, vëllimi i prizmit të drejtë të ndërtuar është i barabartë me vëllimin e prizmit të prirur origjinal.
Vëllimi i një prizmi të prirur është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë:
konkluzioni
Vëllimi i çdo prizmi (i zhdrejtë dhe i drejtë) gjendet me formulën:
ku $a\cdot b$ është sipërfaqja e bazës, $c$ është lartësia e prizmit.
Përkufizimi i Prizmës:
А1А2…АnВ1В2Вn– prizëm
Shumëkëndëshat A1A2…An dhe B1B2…Bn – baza e prizmit
Paralelogramet А1А2В2В1, А1А2В2В1,… АnА1В1Вn – fytyrat anësore
Seksionet A1B1, A2B2…АnBn – brinjët anësore të prizmit
Llojet e prizmave
Gjashtëkëndor Trekëndësh Prizma e prizmit katërkëndor
Prizma e zhdrejtë dhe e drejtë
Nëse skajet anësore të një prizmi janë pingul me bazat, atëherë prizma quhet drejt , ndryshe - të prirur .
Prizma e saktë
Prizma quhet e saktë , nëse është i drejtë dhe bazat e tij janë shumëkëndësha të rregullt.
Sipërfaqja totale e prizmit
Sipërfaqja anësore e prizmit
Teorema
Sipërfaqja anësore e një prizmi të drejtë është e barabartë me gjysmën e produktit të perimetrit të bazës dhe lartësisë së prizmit.
Vëllimi i një prizmi të prirur
Teorema
Vëllimi i një prizmi të prirur është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë.
Dëshmi
Dëshmi
Le të provojmë fillimisht teoremën për një prizëm trekëndor, dhe më pas për një prizëm arbitrar.
1. Konsideroni një prizëm trekëndësh me vëllim V, sipërfaqe bazë S dhe lartësi h. Le të shënojmë pikën O në njërën nga bazat e prizmit dhe ta drejtojmë boshtin Ox pingul me bazat. Le të shqyrtojmë seksionin kryq të një prizmi nga një rrafsh pingul me boshtin Ox dhe, rrjedhimisht, paralel me rrafshin e bazës. Le të shënojmë me shkronjën x abshisën e pikës së kryqëzimit të këtij plani me boshtin Ox, dhe me S (x) zonën e seksionit që rezulton.
Le të vërtetojmë se sipërfaqja S (x) është e barabartë me sipërfaqen S të bazës së prizmit. Për ta bërë këtë, vini re se trekëndëshat ABC (baza e prizmit) dhe A1B1C1 (seksioni kryq i prizmit sipas planit në shqyrtim) janë të barabartë. Në fakt, katërkëndëshi AA1BB1 është një paralelogram (segmentet AA1 dhe BB1 janë të barabarta dhe paralele), prandaj A1B1 = AB. Në mënyrë të ngjashme, vërtetohet se B1C1 = BC dhe A1C1 = AC. Pra, trekëndëshat A1B1C1 dhe ABC janë të barabartë në tre anët. Prandaj, S(x)=S. Tani duke aplikuar formulën bazë për llogaritjen e vëllimeve të trupave në a=0 dhe b=h, marrim
2. h h h, S S*h. Teorema është vërtetuar.
2. Le të provojmë tani teoremën për një prizëm arbitrar me lartësi h dhe sipërfaqen e bazës S. Një prizëm i tillë mund të ndahet në prizma trekëndore me lartësi totale h. Le të shprehim vëllimin e çdo prizmi trekëndor duke përdorur formulën që kemi vërtetuar dhe të shtojmë këto vëllime. Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave h, marrim në kllapa shumën e sipërfaqeve të bazave të prizmave trekëndësh, d.m.th. S bazat e prizmit origjinal. Kështu, vëllimi i prizmit origjinal është i barabartë me S*h. Teorema është vërtetuar.
