Niveli i hyrjes

Marrëdhënie e anasjelltë.

Niveli i hyrjes.

Tani do të flasim për varësinë e kundërt, ose me fjalë të tjera - proporcionalitetin e kundërt, si funksion. A ju kujtohet se një funksion është një lloj i caktuar varësie? Nëse nuk e keni lexuar ende temën, ju rekomandoj fuqimisht që të hiqni gjithçka dhe ta lexoni, sepse nuk mund të studioni asnjë funksion specifik pa kuptuar se çfarë është - një funksion.

Është gjithashtu shumë e dobishme të zotëroni dy funksione më të thjeshta përpara se të filloni këtë temë: dhe . Aty do të përforconi konceptin e një funksioni dhe do të mësoni të punoni me koeficientë dhe grafikë.
Pra, a ju kujtohet se çfarë është një funksion? Le të përsërisim: një funksion është një rregull sipas të cilit çdo element i një grupi (argumenti) shoqërohet me një ( i vetmi! ) element i një grupi tjetër (bashkësia e vlerave të funksionit). Kjo do të thotë, nëse keni një funksion, kjo do të thotë që për çdo vlerë të vlefshme të një ndryshoreje (e quajtur "argument") ekziston një vlerë korresponduese e një ndryshoreje (e quajtur "funksion"). Çfarë do të thotë "e pranueshme"? Nëse nuk mund t'i përgjigjeni kësaj pyetjeje, kthehuni përsëri në temën ""! Është e gjitha në koncept"fusha e përkufizimit"

: Për disa funksione, jo të gjithë argumentet janë njësoj të dobishëm dhe mund të zëvendësohen në varësi. Për shembull, për një funksion, vlerat e argumenteve negative nuk lejohen.

Funksioni që përshkruan marrëdhënien e anasjelltë

Ky është një funksion i formës ku.
Në një mënyrë tjetër, quhet proporcionalitet i kundërt: një rritje në argument shkakton një ulje proporcionale të funksionit.

Le të përcaktojmë domenin e përkufizimit. Me çfarë mund të jetë e barabartë? Ose, me fjalë të tjera, me çfarë nuk mund të jetë e barabartë?

Prandaj, numri i vetëm që nuk mund të pjesëtohet me është:

ose, çfarë është e njëjta,

(ky shënim do të thotë që mund të jetë çdo numër, përveç: shenja " " tregon grupin e numrave realë, domethënë të gjithë numrat e mundshëm; shenja " " tregon përjashtimin e diçkaje nga ky grup (analoge me "minus" shenjë), dhe një numër në kllapa kaçurrelë nënkupton vetëm një numër, rezulton se ne përjashtojmë nga të gjithë numrat e mundshëm).

Disa variacione të formulës janë gjithashtu të mundshme. Për shembull, ky është gjithashtu një funksion që përshkruan një marrëdhënie të anasjelltë.
Përcaktoni vetë domenin e përkufizimit dhe gamën e vlerave të këtij funksioni. Duhet të duket kështu:

Le të shohim këtë funksion: . A ka lidhje të kundërt?

Në pamje të parë, është e vështirë të thuhet: në fund të fundit, me një rritje, si emëruesi i thyesës ashtu edhe numëruesi rriten, kështu që nuk është e qartë nëse funksioni do të ulet, dhe nëse po, a do të ulet proporcionalisht? Për ta kuptuar këtë, duhet të transformojmë shprehjen në mënyrë që të mos ketë ndryshore në numërues:

Në të vërtetë, ne morëm një marrëdhënie të kundërt, por me një paralajmërim: .

Ja një shembull tjetër: .

Këtu është më e ndërlikuar: në fund të fundit, numëruesi dhe emëruesi tani me siguri nuk anulohen. Por ne ende mund të provojmë:

E kuptoni se çfarë bëra? Në numërues kam shtuar dhe zbritur të njëjtin numër (), kështu që nuk kam ndryshuar asgjë, por tani ka një pjesë në numërues që është e barabartë me emëruesin. Tani do ta ndaj termin me term, domethënë do ta ndaj këtë thyesë në shumën e dy thyesave:

(në të vërtetë, nëse e sjellim atë që kam marrë në një emërues të përbashkët, do të marrim thyesën tonë fillestare):

Uau! Ajo funksionon përsëri marrëdhënie e anasjelltë, vetëm tani atij i është shtuar një numër.
Kjo metodë do të jetë shumë e dobishme për ne më vonë kur të ndërtojmë grafikët.

Tani transformojini vetë shprehjet në një marrëdhënie të kundërt:

Përgjigjet:

2. Këtu duhet të mbani mend se si faktorizohet një trinom katror (kjo përshkruhet në detaje në temën ""). Më lejoni t'ju kujtoj se për këtë ju duhet të gjeni rrënjët e ekuacionit kuadratik përkatës: . Do t'i gjej verbalisht duke përdorur teoremën e Vietës: , . Si bëhet kjo? Ju mund ta mësoni këtë duke lexuar temën.
Pra, marrim: , pra:

3. A jeni përpjekur ta zgjidhni vetë? Çfarë është kapja? Me siguri fakti është se ne kemi në numërues dhe në emërues - është e thjeshtë. Nuk ka problem. Do të duhet të zvogëlojmë me, kështu që në numërues duhet ta vendosim jashtë kllapave (në mënyrë që në kllapa ta marrim pa koeficientin):

Grafiku i marrëdhënieve të anasjellta

Si gjithmonë, le të fillojmë me rastin më të thjeshtë: .
Le të bëjmë një tabelë:

Le të vizatojmë pika në planin koordinativ:

Tani ata duhet të lidhen pa probleme, por si? Mund të shihet se pikat në anën e djathtë dhe të majtë formojnë vija të lakuara në dukje të palidhura. Kështu është. Grafiku do të duket si ky:

Ky grafik quhet "hiperbola"(ka diçka si një "parabolë" në atë emër, apo jo?). Ashtu si një parabolë, një hiperbolë ka dy degë, vetëm se ato nuk janë të lidhura me njëra-tjetrën. Secili prej tyre përpiqet me skajet e tij t'u afrohet sëpatave dhe, por nuk i arrin kurrë. Nëse shikoni të njëjtën hiperbolë nga larg, merrni foton e mëposhtme:

Kjo është e kuptueshme: meqenëse grafiku nuk mund të kalojë boshtin. Por gjithashtu, kështu që grafiku nuk do të prekë kurrë boshtin.

Epo, tani le të shohim se çfarë ndikojnë koeficientët. Konsideroni këto funksione:
:

Wow, çfarë bukurie!
Të gjithë grafikët vizatohen me ngjyra të ndryshme për ta bërë më të lehtë dallimin e tyre nga njëri-tjetri.

Pra, çfarë duhet t'i kushtojmë vëmendje fillimisht? Për shembull, nëse një funksion ka një minus përpara fraksionit, atëherë grafiku kthehet, domethënë shfaqet në mënyrë simetrike në lidhje me boshtin.

Së dyti: sa më i madh të jetë numri në emërues, aq më tej grafiku "ik" nga origjina.

Po sikur funksioni të duket më kompleks, si ?

Në këtë rast, hiperbola do të jetë saktësisht e njëjtë me atë të zakonshme, vetëm se do të zhvendoset pak. Le të mendojmë, ku?

Me çfarë nuk mund të jetë e barabartë tani? E drejta,. Kjo do të thotë që grafiku nuk do të arrijë kurrë një vijë të drejtë. Me çfarë nuk mund të jetë e barabartë? Tani. Kjo do të thotë që tani grafiku do të priret drejt vijës së drejtë, por kurrë nuk do ta kalojë atë. Pra, tani vijat e drejta luajnë të njëjtin rol si boshtet koordinative për funksionin. Linja të tilla quhen asimptota(linjat që grafiku priret por nuk i arrin):

Ne do të mësojmë më shumë se si janë ndërtuar grafikë të tillë në temë.

Tani përpiquni të zgjidhni disa shembuj për t'i konsoliduar:

1. Figura tregon një grafik të një funksioni. Përcaktoni.

2. Figura tregon grafikun e funksionit. Përcaktoni

3. Figura tregon grafikun e funksionit. Përcaktoni.

4. Figura tregon grafikun e funksionit. Përcaktoni.

5. Figura tregon grafikët e funksioneve dhe.

Zgjidhni raportin e duhur:

Përgjigjet:

Varësia e kundërt në jetë

Ku e gjejmë një funksion të tillë në praktikë? Ka shumë shembuj. Më e zakonshme është lëvizja: sa më e madhe të jetë shpejtësia me të cilën lëvizim, aq më pak kohë do të na duhet për të kaluar të njëjtën distancë. Në të vërtetë, le të kujtojmë formulën e shpejtësisë: , ku është shpejtësia, është koha e udhëtimit, është distanca (shtegu).

Nga këtu mund të shprehim kohën:

Shembull:

Një person shkon në punë me një shpejtësi mesatare prej km/h dhe arrin atje brenda një ore. Sa minuta do të kalojë në të njëjtën rrugë nëse vozit me shpejtësi km/orë?

Zgjidhja:

Në përgjithësi, ju keni zgjidhur tashmë probleme të tilla në klasën e 5-të dhe të 6-të. Ju keni bërë proporcionin:

Kjo do të thotë, koncepti i proporcionalitetit të kundërt është tashmë i njohur për ju. Kështu u kujtuam. Dhe tani e njëjta gjë, vetëm në një mënyrë të rritur: përmes një funksioni.

Funksioni (d.m.th., varësia) e kohës në minuta nga shpejtësia:

Dihet se atëherë:

Duhet gjetur:

Tani dilni me disa shembuj nga jeta në të cilat proporcionaliteti i kundërt është i pranishëm.
A keni ardhur me të? Bravo nëse e bën. fat të mirë!

VARËSIA E KTHYSHME. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

1. Përkufizimi

Funksioni që përshkruan marrëdhënien e anasjelltëështë funksion i formës ku.

Në një mënyrë tjetër, ky funksion quhet proporcionalitet i anasjelltë, pasi një rritje në argument shkakton një ulje proporcionale të funksionit.

Prandaj, numri i vetëm që nuk mund të pjesëtohet me është:

Grafiku i marrëdhënieve të anasjellta është një hiperbolë.

2. Koeficientët, dhe.

Përgjegjës për “rrafshësia” dhe drejtimi i grafikut: sa më i madh të jetë ky koeficient, aq më larg hiperbola ndodhet nga origjina dhe, për rrjedhojë, "kthehet" më pak (shih figurën). Shenja e koeficientit ndikon në cilin tremujor ndodhet grafiku:

• nëse, atëherë degët e hiperbolës janë të vendosura në dhe katërshe;
• nëse, atëherë në dhe.

x=a është asimptotë vertikale, pra vertikale drejt së cilës priret grafiku.

Numri është përgjegjës për zhvendosjen e grafikut të funksionit lart me një shumë if , dhe zhvendosjen e tij poshtë nëse .

Prandaj, kjo është asimptotë horizontale.

Le të përsërisim teorinë për funksionet. Një funksion është një rregull sipas të cilit çdo element i një grupi (argumenti) shoqërohet me një ( Le të përsërisim: një funksion është një rregull sipas të cilit çdo element i një grupi (argumenti) shoqërohet me një () element i një grupi tjetër (bashkësia e vlerave të funksionit). Kjo është, nëse ka një funksion \(y = f(x)\), kjo do të thotë se për çdo vlerë të vlefshme të ndryshores \(x\)(i cili quhet "argument") korrespondon me një vlerë të ndryshores \(y\)(i quajtur "funksion").

Funksioni që përshkruan marrëdhënien e anasjelltë

Ky është një funksion i formës \(y = \frac(k)(x)\), ku \(k\ne 0.\)

Ky është një funksion i formës ku.
Le të përcaktojmë domenin e përkufizimit. Me çfarë mund të jetë e barabartë \(x\)? Ose, me fjalë të tjera, me çfarë nuk mund të jetë e barabartë?

I vetmi numër që nuk mund të pjesëtohet me është 0, pra \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \ filxhan (0; + \infty)\)

ose, e cila është e njëjtë:

\(D(y) = R\pjesë e prapme \( 0\).\)

Ky shënim do të thotë se \(x\) mund të jetë çdo numër përveç 0: shenja "R" tregon grupin e numrave realë, domethënë të gjithë numrat e mundshëm; shenja "\" tregon përjashtimin e diçkaje nga ky grup (analog me shenjën "minus"), dhe numri 0 në kllapat kaçurrelë thjesht nënkupton numrin 0; Rezulton se nga të gjithë numrat e mundshëm përjashtojmë 0.

Grupi i vlerave të funksionit, rezulton, është saktësisht i njëjtë: në fund të fundit, nëse \(k \ne 0.\) , atëherë pavarësisht se me çfarë e ndajmë, 0 nuk do të funksionojë:

\(E(y) = (- \infty ;0) \ filxhan (0; + \infty)\)

ose \(E(y) = R\pjesë e prapme \( 0\).\)

Disa variacione të formulës janë gjithashtu të mundshme \(y = \frac(k)(x)\). Për shembull, \(y = \frac(k)((x + a))\)është gjithashtu një funksion që përshkruan një marrëdhënie të kundërt. Shtrirja dhe diapazoni i vlerave të këtij funksioni janë si më poshtë:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \ filxhan (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \ filxhan (0; + \infty).\)

Le të shqyrtojmë shembull, le ta reduktojmë shprehjen në formën e një marrëdhënieje të kundërt:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3 ) + 5))((x - 3)).\)

Ne futëm artificialisht vlerën 3 në numërues, dhe tani e ndajmë numëruesin me emëruesin termi sipas termit, marrim:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

Ne morëm marrëdhënien e anasjelltë plus numrin 1.

Grafiku i marrëdhënieve të anasjellta

Le të fillojmë me një rast të thjeshtë \(y = \frac(1)(x).\)

Le të krijojmë një tabelë vlerash:

Le të vizatojmë pika në planin koordinativ:

Lidhni pikat, grafiku do të duket si ky:

Ky grafik quhet "hiperbola". Ashtu si një parabolë, një hiperbolë ka dy degë, vetëm se ato nuk janë të lidhura me njëra-tjetrën. Secila prej tyre tenton të lëvizë skajet e saj më afër boshteve kau Dhe Oy, por nuk i arrin kurrë.

Le të shënojmë disa veçori të funksionit:

1. Nëse një funksion ka një minus para fraksionit, atëherë grafiku kthehet, domethënë ai shfaqet në mënyrë simetrike në lidhje me boshtin kau.
2. Sa më i madh të jetë numri në emërues, aq më tej grafiku "ik" nga origjina.

Varësia e kundërt në jetë

Ku e gjejmë një funksion të tillë në praktikë? Ka shumë shembuj. Më e zakonshme është lëvizja: sa më e madhe të jetë shpejtësia me të cilën lëvizim, aq më pak kohë do të na duhet për të kaluar të njëjtën distancë. Le të kujtojmë formulën e shpejtësisë:

\(v = \frac(S)(t),\)

ku v është shpejtësia, t është koha e udhëtimit, S është distanca (shtegu).

Nga këtu mund të shprehim kohën: \(t = \frac(S)(v).\)

Sot do të shohim se cilat sasi quhen në përpjesëtim të zhdrejtë, si duket një grafik i përpjesëtimit të anasjelltë dhe se si e gjithë kjo mund të jetë e dobishme për ju jo vetëm në mësimet e matematikës, por edhe jashtë shkollës.

Përmasa kaq të ndryshme

proporcionaliteti emërtoni dy sasi që varen reciprokisht nga njëra-tjetra.

Varësia mund të jetë e drejtpërdrejtë dhe e kundërt. Rrjedhimisht, marrëdhëniet midis sasive përshkruhen nga proporcionaliteti i drejtpërdrejtë dhe i anasjelltë.

Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë– kjo është një marrëdhënie e tillë ndërmjet dy sasive në të cilën rritja ose zvogëlimi i njërës prej tyre çon në një rritje ose ulje të tjetrës. Ato. qëndrimi i tyre nuk ndryshon.

Për shembull, sa më shumë përpjekje të bëni për të studiuar për provime, aq më të larta janë notat tuaja. Ose sa më shumë gjëra të merrni me vete në një shëtitje, aq më e rëndë do të jetë për të mbajtur çanta e shpinës. Ato. Sasia e përpjekjeve të shpenzuara për përgatitjen e provimeve është drejtpërdrejt proporcionale me notat e marra. Dhe numri i gjërave të paketuara në një çantë shpine është drejtpërdrejt proporcional me peshën e tij.

Proporcionaliteti i anasjelltë- kjo është një varësi funksionale në të cilën një ulje ose rritje me disa herë në një vlerë të pavarur (quhet argument) shkakton një rritje ose ulje proporcionale (d.m.th., të njëjtin numër herë) në një vlerë të varur (quhet një funksion).

Le ta ilustrojmë me një shembull të thjeshtë. Ju dëshironi të blini mollë në treg. Mollët në banak dhe sasia e parave në portofolin tuaj janë në përpjesëtim të zhdrejtë. Ato. Sa më shumë mollë të blini, aq më pak para do t'ju mbeten.

Funksioni dhe grafiku i tij

Funksioni i proporcionalitetit të anasjelltë mund të përshkruhet si y = k/x. Në të cilën x≠ 0 dhe k≠ 0.

Ky funksion ka karakteristikat e mëposhtme:

1. Domeni i tij i përkufizimit është bashkësia e të gjithë numrave realë përveç x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Diapazoni është të gjithë numrat realë përveç y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nuk ka vlera maksimale ose minimale.
4. Është tek dhe grafiku i tij është simetrik në lidhje me origjinën.
5. Jo periodike.
6. Grafiku i tij nuk i pret boshtet e koordinatave.
7. Nuk ka zero.
8. Nëse k> 0 (d.m.th. argumenti rritet), funksioni zvogëlohet proporcionalisht në secilin nga intervalet e tij. Nëse k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Ndërsa argumenti rritet ( k> 0) vlerat negative të funksionit janë në intervalin (-∞; 0), dhe vlerat pozitive janë në intervalin (0; +∞). Kur argumenti ulet ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Grafiku i funksionit të proporcionalitetit të anasjelltë quhet hiperbolë. Tregohet si më poshtë:

Problemet e proporcionalitetit të anasjelltë

Për ta bërë më të qartë, le të shohim disa detyra. Ato nuk janë shumë të komplikuara dhe zgjidhja e tyre do t'ju ndihmojë të vizualizoni se çfarë është proporcionaliteti i kundërt dhe se si kjo njohuri mund të jetë e dobishme në jetën tuaj të përditshme.

Detyra nr. 1. Një makinë lëviz me një shpejtësi prej 60 km/h. Atij iu deshën 6 orë për të arritur në destinacionin e tij. Sa kohë do t'i duhet për të kaluar të njëjtën distancë nëse lëviz me dyfishin e shpejtësisë?

Mund të fillojmë duke shkruar një formulë që përshkruan marrëdhënien midis kohës, distancës dhe shpejtësisë: t = S/V. Dakord, na kujton shumë funksionin e proporcionalitetit të anasjelltë. Dhe tregon se koha që kalon një makinë në rrugë dhe shpejtësia me të cilën ajo lëviz janë në përpjesëtim të zhdrejtë.

Për ta verifikuar këtë gjejmë V 2, i cili sipas kushtit është 2 herë më i lartë: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Pastaj ne llogarisim distancën duke përdorur formulën S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Tani nuk është e vështirë të zbulosh kohën t 2 që kërkohet nga ne sipas kushteve të problemit: t 2 = 360/120 = 3 orë.

Siç mund ta shihni, koha dhe shpejtësia e udhëtimit janë me të vërtetë në përpjesëtim të zhdrejtë: me një shpejtësi 2 herë më të lartë se shpejtësia origjinale, makina do të kalojë 2 herë më pak kohë në rrugë.

Zgjidhja e këtij problemi mund të shkruhet edhe si proporcion. Pra, le të krijojmë së pari këtë diagram:

↓ 60 km/h – 6 orë

↓120 km/h – x h

Shigjetat tregojnë një marrëdhënie të kundërt proporcionale. Ata gjithashtu sugjerojnë që kur hartoni një proporcion, ana e djathtë e rekordit duhet të kthehet: 60/120 = x/6. Ku marrim x = 60 * 6/120 = 3 orë.

Detyra nr. 2. Punëtoria punëson 6 punëtorë të cilët mund të kryejnë një sasi të caktuar pune në 4 orë. Nëse numri i punëtorëve përgjysmohet, sa kohë do t'u duhet punëtorëve të mbetur për të kryer të njëjtën sasi pune?

Le të shkruajmë kushtet e problemit në formën e një diagrami vizual:

↓ 6 punëtorë – 4 orë

↓ 3 punëtorë – x h

Le ta shkruajmë këtë si proporcion: 6/3 = x/4. Dhe marrim x = 6 * 4/3 = 8 orë Nëse ka 2 herë më pak punëtorë, ata që mbeten do të kalojnë 2 herë më shumë kohë duke bërë të gjithë punën.

Detyra nr. 3. Ka dy tuba që të çojnë në pishinë. Nëpërmjet një tubi uji rrjedh me shpejtësi 2 l/s dhe mbush pishinën në 45 minuta. Nëpërmjet një tubi tjetër, pishina do të mbushet për 75 minuta. Me çfarë shpejtësie hyn uji në pishinë përmes këtij tubi?

Për të filluar, le të reduktojmë të gjitha sasitë që na janë dhënë sipas kushteve të problemit në të njëjtat njësi matëse. Për ta bërë këtë, ne shprehim shpejtësinë e mbushjes së pishinës në litra në minutë: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Meqenëse kushti nënkupton që pishina mbushet më ngadalë përmes tubit të dytë, kjo do të thotë që shkalla e rrjedhjes së ujit është më e ulët. Proporcionaliteti është i anasjelltë. Le të shprehim shpejtësinë e panjohur përmes x dhe të hartojmë diagramin e mëposhtëm:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Dhe më pas bëjmë proporcionin: 120/x = 75/45, nga ku x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

Në problem, shpejtësia e mbushjes së pishinës shprehet në litra për sekondë, le ta zvogëlojmë përgjigjen që morëm në të njëjtën formë: 72/60 = 1,2 l/s.

Detyra nr 4. Një shtypshkronjë e vogël private printon karta biznesi. Një punonjës i shtypshkronjës punon me një shpejtësi prej 42 karta biznesi në orë dhe punon një ditë të plotë - 8 orë. Nëse ai punonte më shpejt dhe printonte 48 karta biznesi në një orë, sa më herët mund të shkonte në shtëpi?

Ne ndjekim rrugën e provuar dhe hartojmë një diagram sipas kushteve të problemit, duke përcaktuar vlerën e dëshiruar si x:

↓ 42 kartëvizita/orë – 8 orë

↓ 48 kartëvizita/h – x h

Kemi një marrëdhënie në përpjesëtim të zhdrejtë: sa herë më shumë karta biznesi printon një punonjës i një shtypshkronjeje në orë, po aq herë më pak kohë që do t'i duhet për të kryer të njëjtën punë. Duke e ditur këtë, le të krijojmë një proporcion:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 orë.

Kështu, pasi kishte përfunduar punën për 7 orë, punonjësi i shtypshkronjës mund të shkonte në shtëpi një orë më parë.

konkluzioni

Na duket se këto probleme të proporcionalitetit të anasjelltë janë vërtet të thjeshta. Shpresojmë që tani edhe ju t'i mendoni kështu. Dhe gjëja kryesore është se njohuritë për varësinë në përpjesëtim të kundërt të sasive mund të jenë vërtet të dobishme për ju më shumë se një herë.

Jo vetëm në mësimet dhe provimet e matematikës. Por edhe atëherë, kur të bëheni gati për të shkuar në një udhëtim, bëni pazar, vendosni të fitoni pak para gjatë pushimeve, etj.

Na tregoni në komente se cilat shembuj të marrëdhënieve të anasjellta dhe proporcionale të drejtpërdrejta vëreni rreth jush. Le të jetë një lojë e tillë. Do të shihni sa emocionuese është. Mos harroni ta shpërndani këtë artikull në rrjetet sociale në mënyrë që të luajnë edhe miqtë dhe shokët tuaj të klasës.

në faqen e internetit, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

1 mësim me temën

E përfunduar:

Telegina L.B.

Objektivi i mësimit:

1. përsëritni të gjithë materialin e studiuar mbi funksionet.
2. prezantoni përkufizimin e proporcionalitetit të anasjelltë dhe mësoni se si të ndërtoni grafikun e tij.
3. zhvillojnë të menduarit logjik.
4. kultivoni vëmendjen, saktësinë, saktësinë.

Plani i mësimit:

1. Përsëritje.
2. Shpjegimi i materialit të ri.
3. Minuta e edukimit fizik.
4. Konsolidimi.

Pajisjet: postera.

Ecuria e mësimit:

1. Mësimi fillon me përsëritje. U kërkohet nxënësve të zgjidhin një fjalëkryq (e cila është përgatitur paraprakisht në një fletë të madhe letre).

Pyetje me fjalëkryq:

1. Varësia ndërmjet variablave, në të cilën çdo vlerë e ndryshores së pavarur i korrespondon një vlere të vetme të ndryshores së varur. [Funksioni].

2. Ndryshore e pavarur. [Argument].

3. Bashkësia e pikave të planit koordinativ të abshisave, të cilat janë të barabarta me vlerat e argumentit dhe ordinatat janë të barabarta me vlerat e funksionit. [Orari].

4. Funksioni i dhënë me formulën y=kx+b. [Linear].

5. Çfarë koeficienti quhet një numër? k në formulën y=kx+b? [Këndi].

6. Çfarë është grafiku i një funksioni linear? [Drejt].

7. Nëse k≠0, atëherë grafiku y=kx+b e pret këtë bosht, dhe nëse k=0, atëherë ai është paralel me të. Me cilën shkronjë është caktuar ky bosht? [X].

8. Fjala në emër të funksionit y=kx? [Proporcionaliteti].

9. Funksioni i dhënë me formulën y=x 2. [Kuadratik].

10. Emri i grafikut të një funksioni kuadratik. [Parabola].

11. Një shkronjë e alfabetit latin, e cila shpesh tregon një funksion. [Igrek].

12. Një nga mënyrat për të specifikuar një funksion. [Formula].

Mësues : Cilat janë mënyrat kryesore të specifikimit të një funksioni që njohim?

(Një student merr një detyrë në tabelë: plotësoni një tabelë vlerash të funksionit 12/x duke përdorur vlerat e dhëna të argumentit të tij dhe më pas vizatoni pikat përkatëse në planin koordinativ).

Pjesa tjetër u përgjigjet pyetjeve të mësuesit: (të cilat janë shkruar paraprakisht në tabelë)

1. Si quhen funksionet e mëposhtme të dhëna me formula: y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x 3 ?

2. Përcaktoni domenin e përcaktimit të funksioneve të mëposhtme: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3, y=-10/x.

Më pas nxënësit punojnë sipas tabelës, duke iu përgjigjur pyetjeve të parashtruara nga mësuesi/ja:

1. Cila figurë nga tabela tregon grafikët:

a) funksion linear;

b) proporcionaliteti i drejtpërdrejtë;

c) funksioni kuadratik;

d) funksionet e trajtës y=kx 3 ?

2. Çfarë shenje ka koeficienti k në formulat e formës y=kx+b, që i përgjigjen grafikëve në figurat 1, 2, 4, 5 të tabelës?

3. Gjeni në tabelë grafikët e funksioneve lineare, pjerrësitë e të cilëve janë:

a) të barabartë;

b) të barabartë në madhësi dhe të kundërt në shenjë.

(Më pas e gjithë klasa kontrollon nëse nxënësi i thirrur në tabelë ka plotësuar saktë tabelën dhe ka vendosur pikat në planin koordinativ).

2. Shpjegimi fillon me motivimin.

Mësues: Siç e dini, çdo funksion përshkruan disa procese që ndodhin në botën përreth nesh.

Konsideroni, për shembull, një drejtkëndësh me brinjë x dhe y dhe sipërfaqja 12 cm 2 . Dihet se x*y=12, por çfarë ndodh nëse filloni të ndryshoni njërën nga brinjët e drejtkëndëshit, le të themi një brinjë me gjatësi x?

Gjatësia e anës y mund të gjendet nga formula y=12/x. Nëse x rritet me 2 herë, do të ketë y=12/2x, d.m.th. anësor y do të ulet me 2 herë. Nëse vlera x rritet me 3, 4, 5... herë, pastaj vlera y do të ulet me të njëjtën sasi. Përkundrazi, nëse x pastaj ulet disa herë y do të rritet me të njëjtën sasi. (Punoni sipas tabelës).

Prandaj, një funksion i formës y=12/x quhet proporcionalitet i anasjelltë. Në përgjithësi, shkruhet si y=k/x, ku k është konstante dhe k≠0.

Kjo është tema e mësimit të sotëm, e kemi shkruar në fletoret tona. Unë jap një përkufizim të rreptë. Për funksionin y=12/x, i cili është një lloj i veçantë i proporcionalitetit të anasjelltë, ne kemi shkruar tashmë një numër argumentesh dhe vlerash funksioni në tabelë dhe do të përshkruajmë pikat përkatëse në planin koordinativ. Si duket grafiku i këtij funksioni? Është e vështirë të gjykosh të gjithë grafikun bazuar në pikat e ndërtuara, sepse pikat mund të lidhen në çdo mënyrë që ju pëlqen. Le të përpiqemi së bashku të nxjerrim përfundime në lidhje me grafikun e një funksioni që rrjedh nga shqyrtimi i tabelës dhe formulës.

Pyetje për klasën:

1. Cila është fusha e përcaktimit të funksionit y=12/x?
2. A janë vlerat y pozitive apo negative nëse

a) x

b) x>0?

3. Si ndryshon vlera e një ndryshoreje y me vlerë në ndryshim x?

Pra,

1. pika (0,0) nuk i përket grafikut, d.m.th. nuk e kryqëzon as boshtin OX as OY;
2. grafiku është në tremujorët e koordinatave Ι dhe ΙΙΙ;
3. i afrohet pa probleme boshteve të koordinatave si në tremujorin e koordinatave Ι ashtu edhe në IΙΙ, dhe u afrohet akseve sa më afër që dëshiron.

Duke pasur këtë informacion, tashmë mund të lidhim pikat në figurë (mësuesi e bën vetë këtë në tabelë) dhe të shohim të gjithë grafikun e funksionit y=12/x. Kurba që rezulton quhet hiperbolë, që në greqisht do të thotë "kalim nëpër diçka". Kjo kurbë u zbulua nga matematikanët e shkollës antike greke rreth shekullit të IV para Krishtit. Termi hiperbolë u prezantua nga Apollonius nga qyteti i Pergamit (Azia e Vogël), i cili jetoi në shekujt 6-8. para Krishtit

Tani, pranë grafikut të funksionit y=12/x, do të ndërtojmë një grafik të funksionit y=-12/x. (Nxënësit e kryejnë këtë detyrë në fletore dhe një nxënës në dërrasën e zezë).

Duke krahasuar të dy grafikët, nxënësit vërejnë se i dyti zë 2 dhe 4 tremujorë koordinativë. Përveç kësaj, nëse grafiku i funksionit y=12/x shfaqet në mënyrë simetrike në raport me boshtin op-amp, atëherë do të fitohet grafiku i funksionit y=-12/x.

Pyetje: Si varet vendndodhja e grafikut të hiperbolës y=k/x nga shenja dhe vlera e koeficientit k?

Nxënësit janë të bindur se nëse k>0, atëherë grafiku ndodhet në Ι Dhe ΙΙΙ tremujorët e koordinatave, dhe nëse k

1. Mësimi i edukimit fizik zhvillohet nga mësuesi.

1. Konsolidimi i asaj që studiohet bëhet me plotësimin e nr. 180, 185 nga teksti shkollor.

1. Mësimi është i përmbledhur, notat, detyrat e shtëpisë: f.8 Nr.179, 184.

Mësimi 2 mbi temën

"Funksioni i proporcionalitetit të anasjelltë dhe grafiku i tij."

E përfunduar:

Telegina L.B.

Objektivi i mësimit:

1. të konsolidojë aftësinë e vizatimit të një funksioni me proporcionalitet të zhdrejtë;
2. zhvilloni interes për temën, të menduarit logjik;
3. kultivoni pavarësinë dhe vëmendjen.

Plani i mësimit:

1. Kontrollimi i përfundimit të detyrave të shtëpisë.
2. Punë gojore.
3. Zgjidhja e problemeve.
4. Minuta e edukimit fizik.
5. Punë e pavarur me shumë nivele.
6. Përmbledhje, vlerësime, detyra shtëpie.

Pajisjet: karta.

Ecuria e mësimit:

1. Mësuesi/ja shpall temën e mësimit, objektivat dhe planin e mësimit.

Më pas dy studentë plotësojnë numrat e caktuar të shtëpisë 179, 184 në tabelë.

1. Pjesa tjetër e nxënësve punojnë frontalisht, duke iu përgjigjur pyetjeve të mësuesit.

Pyetje:

• Përcaktoni funksionin e proporcionalitetit të anasjelltë.
• Cili është grafiku i funksionit të përpjesëtueshmërisë së anasjelltë.
• Si varet vendndodhja e grafikut të hiperbolës y=k/x nga vlera e koeficientit k?

Kërkimet:

1. Ndër funksionet e specifikuara nga formulat janë funksionet e proporcionalitetit të kundërt:

a) y=x 2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. Për funksionet e proporcionalitetit të anasjelltë, emërtoni koeficientin dhe tregoni se në cilat tremujorë shtrihet grafiku.

3. Gjeni domenin e përkufizimit për funksionet me përpjesëtim të zhdrejtë.

(Më pas nxënësit kontrollojnë me laps detyrat e njëri-tjetrit bazuar në zgjidhjet e kontrolluara nga mësuesi për numrat në tabelë dhe japin një notë).

Punë ballore sipas tekstit mësimor nr 190, 191, 192, 193 (me gojë).

1. Ekzekutimi në fletore dhe në tabelë nga teksti shkollor Nr. 186(b), 187(b), 182.

4. Një mësim i edukimit fizik zhvillohet nga mësuesi.

5. Puna e pavarur jepet në tre opsione me kompleksitet të ndryshëm (të shpërndara në karta).

I c. (i lehtë).

Paraqitni një grafik të funksionit të përpjesëtimit të anasjelltë y=-6/x duke përdorur tabelën:

Duke përdorur grafikun, gjeni:

a) vlera e y nëse x = - 1,5; 2;

b) vlera e x në të cilën y = - 1; 4.

Shekulli II (vështirësi mesatare)

Paraqitni një grafik të funksionit të përpjesëtimit të anasjelltë y=16/x, pasi të keni plotësuar fillimisht tabelën.

Duke përdorur grafikun, gjeni në çfarë vlerash x y >0.

shekulli III (vështirësi e shtuar)

Paraqitni një grafik të funksionit të përpjesëtimit të anasjelltë y=10/x-2, pasi të keni plotësuar fillimisht tabelën.

Gjeni domenin e përkufizimit të këtij funksioni.

(Nxënësit dorëzojnë fletë me grafikët e ndërtuar për testim).

6. Përmbledh mësimin, notat, detyrat e shtëpisë: Nr.186 (a), 187 (a).