Drejtëza që kalon nëpër pikën K(x 0 ; y 0) dhe paralele me drejtëzën y ​​= kx + a gjendet me formulën:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Ku k është pjerrësia e vijës.

Formula alternative:
Drejtëza që kalon nëpër pikën M 1 (x 1 ; y 1) dhe paralele me drejtëzën Ax+By+C=0 përfaqësohet nga ekuacioni

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Shembulli nr. 2. Shkruani ekuacionin e një drejtëze paralele me drejtëzën 2x + 5y = 0 dhe duke formuar, së bashku me boshtet e koordinatave, një trekëndësh, sipërfaqja e të cilit është 5.
Zgjidhje . Meqenëse vijat janë paralele, ekuacioni i vijës së dëshiruar është 2x + 5y + C = 0. Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë, ku a dhe b janë këmbët e tij. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të vijës së dëshiruar me boshtet e koordinatave:
;
.
Pra, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Le ta zëvendësojmë atë në formulën për zonën: . Marrim dy zgjidhje: 2x + 5y + 10 = 0 dhe 2x + 5y – 10 = 0.

Shembulli nr. 3. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon në pikën (-2; 5) dhe paralel me drejtëzën 5x-7y-4=0.
Zgjidhje. Kjo vijë e drejtë mund të përfaqësohet nga ekuacioni y = 5 / 7 x – 4 / 7 (këtu a = 5 / 7). Ekuacioni i vijës së dëshiruar është y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), d.m.th. 7(y-5)=5(x+2) ose 5x-7y+45=0 .

Shembulli nr. 4. Pasi kemi zgjidhur shembullin 3 (A=5, B=-7) duke përdorur formulën (2), gjejmë 5(x+2)-7(y-5)=0.

Shembulli nr. 5. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon në pikën (-2;5) dhe paralel me drejtëzën 7x+10=0.
Zgjidhje. Këtu A=7, B=0. Formula (2) jep 7(x+2)=0, d.m.th. x+2=0. Formula (1) nuk është e zbatueshme, pasi ky ekuacion nuk mund të zgjidhet në lidhje me y (kjo drejtëz është paralele me boshtin e ordinatave).

Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze:

Raste të veçanta të ekuacionit të përgjithshëm të një drejtëze:

dhe nëse C= 0, ekuacioni (2) do të ketë formën

Sëpatë + Nga = 0,

dhe drejtëza e përcaktuar nga ky ekuacion kalon përmes origjinës, pasi koordinatat e origjinës janë x = 0, y= 0 e plotëson këtë ekuacion.

b) Nëse në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës (2) B= 0, atëherë ekuacioni merr formën

Sëpatë + ME= 0, ose .

Ekuacioni nuk përmban një ndryshore y, dhe drejtëza e përcaktuar nga ky ekuacion është paralele me boshtin Oy.

c) Nëse në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës (2) A= 0, atëherë ky ekuacion do të marrë formën

Nga + ME= 0, ose ;

ekuacioni nuk përmban një ndryshore x, dhe drejtëza që ajo përcakton është paralele me boshtin kau.

Duhet mbajtur mend: nëse një vijë e drejtë është paralele me një bosht koordinativ, atëherë në ekuacionin e saj nuk ka asnjë term që përmban një koordinatë me të njëjtin emër si ky bosht.

d) Kur C= 0 dhe A= 0 ekuacioni (2) merr formën Nga= 0, ose y = 0.

Ky është ekuacioni i boshtit kau.

d) Kur C= 0 dhe B= 0 ekuacioni (2) do të shkruhet në formë Sëpatë= 0 ose x = 0.

Ky është ekuacioni i boshtit Oy.

Pozicioni relativ i vijave në një plan. Këndi ndërmjet vijave të drejta në një plan. Kushti për drejtëza paralele. Kushti i pingulitetit të drejtëzave.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektorët S 1 dhe S 2 quhen udhërrëfyes për vijat e tyre.

Këndi ndërmjet vijave të drejta l 1 dhe l 2 përcaktohet nga këndi midis vektorëve të drejtimit.
Teorema 1: cos i këndit ndërmjet l 1 dhe l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Teorema 2: Që 2 rreshta të jenë të barabarta është e nevojshme dhe e mjaftueshme:

Teorema 3: Që 2 vija të drejta të jenë pingule është e nevojshme dhe e mjaftueshme:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Ekuacioni i planit të përgjithshëm dhe rastet e veçanta të tij. Ekuacioni i një rrafshi në segmente.

Ekuacioni i planit të përgjithshëm:

Ax + By + Cz + D = 0

Raste të veçanta:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – rrafshi kalon nëpër origjinë

2. С=0 Ax+By+D = 0 – rrafsh || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – plani || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – plani || OK

5. A=0 dhe D=0 By+Cz = 0 – rrafshi kalon nëpër OX

6. B=0 dhe D=0 Ax+Cz = 0 – rrafshi kalon nëpër OY

7. C=0 dhe D=0 Ax+By = 0 – rrafshi kalon nëpër OZ

Pozicioni relativ i planeve dhe vijave të drejta në hapësirë:

1. Këndi ndërmjet drejtëzave në hapësirë ​​është këndi ndërmjet vektorëve të drejtimit të tyre.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Këndi ndërmjet rrafsheve përcaktohet përmes këndit ndërmjet vektorëve normalë të tyre.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Kosinusi i këndit ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit mund të gjendet përmes sinonit të këndit ndërmjet vektorit të drejtimit të drejtëzës dhe vektorit normal të rrafshit.

4. 2 drejt || në hapësirë ​​kur e tyre || udhëzues vektorial

5. 2 avionë || kur || vektorë normalë

6. Ngjashëm paraqiten konceptet e pingulitetit të drejtëzave dhe rrafsheve.

Pyetja nr. 14

Lloje të ndryshme të ekuacioneve të një vije të drejtë në një plan (ekuacioni i një drejtëze në segmente, me një koeficient këndi, etj.)

Ekuacioni i një drejtëze në segmente:
Le të supozojmë se në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – drejtëza kalon nëpër origjinë.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Ekuacioni i një vije të drejtë me një pjerrësi:

Çdo vijë e drejtë që nuk është e barabartë me boshtin op-amp (B jo = 0) mund të shkruhet në rreshtin tjetër. forma:

k = tanα α – këndi ndërmjet drejtëzës dhe vijës së drejtuar pozitivisht OX

b – pika e prerjes së drejtëzës me boshtin e op-amp

Dokumenti:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Ekuacioni i një drejtëze të bazuar në dy pika:

Pyetja nr. 16

Kufiri i fundëm i një funksioni në një pikë dhe për x→∞

Kufiri i fundit në x0:

Numri A quhet kufi i funksionit y = f(x) për x→x 0 nëse për çdo E > 0 ekziston b > 0 i tillë që për x ≠x 0 që plotëson pabarazinë |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Kufiri tregohet nga: = A

Kufiri i fundit në pikën +∞:

Numri A quhet kufi i funksionit y = f(x) në x → + ∞ , nëse për çdo E > 0 ekziston C > 0 i tillë që për x > C pabarazia |f(x) - A|< Е

Kufiri tregohet nga: = A

Kufiri i fundit në pikën -∞:

Numri A quhet kufiri i funksionit y = f(x) për x→-∞, nëse për ndonjë E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Ekuacionet kanonike të një drejtëze në hapësirë ​​janë ekuacione që përcaktojnë një vijë që kalon nëpër një pikë të caktuar kolinear me vektorin e drejtimit.

Le të jepet një pikë dhe një vektor i drejtimit. Një pikë arbitrare shtrihet në një vijë l vetëm nëse vektorët dhe janë kolinear, d.m.th., kushti është i plotësuar për ta:

.

Ekuacionet e mësipërme janë ekuacionet kanonike të drejtëzës.

Numrat m , n Dhe fq janë projeksione të vektorit të drejtimit mbi boshtet koordinative. Meqenëse vektori është jo zero, atëherë të gjithë numrat m , n Dhe fq nuk mund të jetë njëkohësisht e barabartë me zero. Por një ose dy prej tyre mund të rezultojnë të jenë zero. Në gjeometrinë analitike, për shembull, hyrja e mëposhtme lejohet:

,

që do të thotë se projeksionet e vektorit në bosht Oy Dhe Oz janë të barabarta me zero. Prandaj, si vektori ashtu edhe vija e drejtë e përcaktuar nga ekuacionet kanonike janë pingul me boshtet Oy Dhe Oz, pra avionë yOz .

Shembulli 1. Shkruani ekuacionet për një drejtëz në hapësirë ​​pingul me një plan dhe duke kaluar nëpër pikën e kryqëzimit të këtij rrafshi me boshtin Oz .

Zgjidhje. Le të gjejmë pikën e kryqëzimit të këtij rrafshi me boshtin Oz. Që nga çdo pikë e shtrirë në bosht Oz, ka koordinata , atëherë, duke supozuar në ekuacionin e dhënë të planit x = y = 0, marrim 4 z- 8 = 0 ose z= 2. Prandaj, pika e kryqëzimit të këtij rrafshi me boshtin Oz ka koordinata (0; 0; 2) . Meqenëse vija e dëshiruar është pingul me rrafshin, ajo është paralele me vektorin e saj normal. Prandaj, vektori drejtues i drejtëzës mund të jetë vektori normal aeroplan i dhënë.

Tani le të shkruajmë ekuacionet e kërkuara për një drejtëz që kalon nëpër një pikë A= (0; 0; 2) në drejtim të vektorit:

Ekuacionet e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna

Një vijë e drejtë mund të përcaktohet nga dy pika që shtrihen mbi të Dhe Në këtë rast, vektori drejtues i vijës së drejtë mund të jetë vektori . Pastaj ekuacionet kanonike të drejtëzës marrin formën

.

Ekuacionet e mësipërme përcaktojnë një vijë që kalon nëpër dy pika të dhëna.

Shembulli 2. Shkruani një ekuacion për një drejtëz në hapësirë ​​që kalon nëpër pikat dhe .

Zgjidhje. Le të shkruajmë ekuacionet e kërkuara të vijës së drejtë në formën e dhënë më sipër në referencën teorike:

.

Meqenëse , atëherë vija e drejtë e dëshiruar është pingul me boshtin Oy .

Drejt si vija e kryqëzimit të planeve

Një vijë e drejtë në hapësirë ​​mund të përkufizohet si vija e kryqëzimit të dy planeve jo paralele dhe, d.m.th., si një grup pikash që plotësojnë një sistem me dy ekuacione lineare

Ekuacionet e sistemit quhen edhe ekuacionet e përgjithshme të një vije të drejtë në hapësirë.

Shembulli 3. Të hartojnë ekuacione kanonike të një drejtëze në hapësirë ​​të dhëna nga ekuacione të përgjithshme

Zgjidhje. Për të shkruar ekuacionet kanonike të një drejtëze ose, çfarë është e njëjta gjë, ekuacionet e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna, duhet të gjeni koordinatat e çdo dy pikash në vijë. Ato mund të jenë pikat e kryqëzimit të një vije të drejtë me dy plane koordinative, për shembull yOz Dhe xOz .

Pika e kryqëzimit të vijës dhe rrafshit yOz ka një abshisë x= 0. Prandaj, duke supozuar në këtë sistem ekuacionesh x= 0, marrim një sistem me dy ndryshore:

Vendimi i saj y = 2 , z= 6 së bashku me x= 0 përcakton një pikë A(0; 2; 6) rreshti i dëshiruar. Pastaj duke supozuar në sistemin e dhënë të ekuacioneve y= 0, marrim sistemin

Vendimi i saj x = -2 , z= 0 së bashku me y= 0 përcakton një pikë B(-2; 0; 0) kryqëzimi i një drejtëze me një plan xOz .

Tani le të shkruajmë ekuacionet e drejtëzës që kalon nëpër pika A(0; 2; 6) dhe B (-2; 0; 0) :

,

ose pas pjesëtimit të emërtuesve me -2:

,

Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan.
Vektori i drejtimit është i drejtë. Vektor normal

Një vijë e drejtë në një aeroplan është një nga figurat më të thjeshta gjeometrike, të njohura për ju që nga shkolla fillore, dhe sot do të mësojmë se si ta trajtojmë atë duke përdorur metodat e gjeometrisë analitike. Për të zotëruar materialin, duhet të jeni në gjendje të ndërtoni një vijë të drejtë; e di se çfarë ekuacioni përcakton një drejtëz, në veçanti, një drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave dhe drejtëza paralele me boshtet e koordinatave. Ky informacion mund të gjendet në manual Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare, e krijova për Mathan, por seksioni për funksionin linear doli të ishte shumë i suksesshëm dhe i detajuar. Prandaj, të dashur çajnik, ngrohuni aty më parë. Përveç kësaj, ju duhet të keni njohuri bazë për vektorët, përndryshe kuptimi i materialit do të jetë jo i plotë.

Në këtë mësim do të shikojmë mënyrat në të cilat mund të krijoni një ekuacion të një vije të drejtë në një plan. Unë rekomandoj që të mos neglizhoni shembujt praktikë (edhe nëse duket shumë i thjeshtë), pasi do t'u jap atyre fakte elementare dhe të rëndësishme, teknika teknike që do të kërkohen në të ardhmen, përfshirë në seksione të tjera të matematikës së lartë.

• Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze me një koeficient këndi?
• Si ?
• Si të gjeni një vektor drejtimi duke përdorur ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze?
• Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze nga një pikë dhe një vektor normal?

dhe fillojmë:

Ekuacioni i një drejtëze me pjerrësi

Forma e njohur "shkollë" e ekuacionit të drejtë quhet ekuacioni i një vije të drejtë me pjerrësinë. Për shembull, nëse një drejtëz jepet nga ekuacioni, atëherë pjerrësia e saj është: . Le të shqyrtojmë kuptimin gjeometrik të këtij koeficienti dhe si ndikon vlera e tij në vendndodhjen e vijës:

Në lëndën e gjeometrisë vërtetohet se pjerrësia e drejtëzës është e barabartë me tangjente e këndit ndërmjet drejtimit të boshtit pozitivdhe kjo linjë: , dhe këndi "zhvidhos" në drejtim të kundërt të akrepave të orës.

Për të mos rrëmuar vizatimin, vizatova kënde vetëm për dy vija të drejta. Le të shqyrtojmë vijën "e kuqe" dhe pjerrësinë e saj. Sipas sa më sipër: (këndi "alfa" tregohet nga një hark i gjelbër). Për vijën e drejtë "blu" me koeficientin e këndit, barazia është e vërtetë (këndi "beta" tregohet me një hark kafe). Dhe nëse dihet tangjentja e këndit, atëherë nëse është e nevojshme është e lehtë të gjendet dhe vetë këndi duke përdorur funksionin e anasjelltë - arktangjent. Siç thonë ata, një tabelë trigonometrike ose një mikrollogaritës në duart tuaja. Kështu, koeficienti këndor karakterizon shkallën e pjerrësisë së vijës së drejtë ndaj boshtit të abshisës.

Rastet e mëposhtme janë të mundshme:

1) Nëse pjerrësia është negative: atëherë vija, përafërsisht, shkon nga lart poshtë. Shembuj janë linjat e drejta "blu" dhe "mjedër" në vizatim.

2) Nëse pjerrësia është pozitive: atëherë vija shkon nga poshtë lart. Shembuj - vija të drejta "të zeza" dhe "të kuqe" në vizatim.

3) Nëse pjerrësia është zero: , atëherë ekuacioni merr formën , dhe drejtëza përkatëse është paralele me boshtin. Një shembull është vija e drejtë "e verdhë".

4) Për një familje vijash paralele me një bosht (nuk ka asnjë shembull në vizatim, përveç vetë boshtit), koeficienti këndor nuk ekziston (tangjentja prej 90 gradë nuk është e përcaktuar).

Sa më i madh të jetë koeficienti i pjerrësisë në vlerë absolute, aq më i pjerrët shkon grafiku i vijës së drejtë..

Për shembull, merrni parasysh dy vija të drejta. Këtu, pra, vija e drejtë ka një pjerrësi më të madhe. Më lejoni t'ju kujtoj se moduli ju lejon të injoroni shenjën, ne jemi të interesuar vetëm vlerat absolute koeficientët këndorë.

Nga ana tjetër, një vijë e drejtë është më e pjerrët se linjat e drejta .

Anasjelltas: sa më i vogël të jetë koeficienti i pjerrësisë në vlerë absolute, aq më e sheshtë është vija e drejtë.

Për linjat e drejta pabarazia është e vërtetë, pra vija e drejtë është më e sheshtë. Rrëshqitje për fëmijë, për të mos i dhënë vetes mavijosje dhe gunga.

Pse është e nevojshme kjo?

Zgjatni mundimin tuaj Njohja e fakteve të mësipërme ju lejon të shihni menjëherë gabimet tuaja, në veçanti, gabimet kur ndërtoni grafikët - nëse vizatimi rezulton të jetë "qartësisht diçka e gabuar". Është e këshillueshme që ju menjëherë ishte e qartë se, për shembull, vija e drejtë është shumë e pjerrët dhe shkon nga poshtë lart, dhe vija e drejtë është shumë e sheshtë, e shtypur afër boshtit dhe shkon nga lart poshtë.

Në problemet gjeometrike, shpesh shfaqen disa linja të drejta, kështu që është e përshtatshme t'i caktoni ato disi.

Emërtimet: vijat e drejta shënohen me shkronja të vogla latine: . Një opsion popullor është përcaktimi i tyre duke përdorur të njëjtën shkronjë me nënshkrime natyrore. Për shembull, pesë rreshtat që sapo shikuam mund të shënohen me .

Meqenëse çdo vijë e drejtë përcaktohet në mënyrë unike nga dy pika, ajo mund të shënohet me këto pika: etj. Emërtimi nënkupton qartë se pikat i përkasin vijës.

Është koha për t'u ngrohur pak:

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze me një koeficient këndi?

Nëse dihet një pikë që i përket një drejtëze të caktuar dhe koeficienti këndor i kësaj drejtëze, atëherë ekuacioni i kësaj drejtëze shprehet me formulën:

Shembulli 1

Shkruani një ekuacion të drejtëzës me koeficient këndor nëse dihet se pika i përket kësaj drejtëze.

Zgjidhje: Le të hartojmë ekuacionin e drejtëzës duke përdorur formulën . Në këtë rast:

Përgjigju:

Ekzaminimi bëhet thjesht. Së pari, ne shikojmë ekuacionin që rezulton dhe sigurohemi që pjerrësia jonë është në vend. Së dyti, koordinatat e pikës duhet të plotësojnë këtë ekuacion. Le t'i lidhim ato në ekuacionin:

Përftohet barazia e saktë, që do të thotë se pika plotëson ekuacionin që rezulton.

konkluzioni: Ekuacioni u gjet saktë.

Një shembull më i ndërlikuar për t'u zgjidhur vetë:

Shembulli 2

Shkruani një ekuacion për një drejtëz nëse dihet se këndi i saj i prirjes ndaj drejtimit pozitiv të boshtit është , dhe pika i përket kësaj drejtëze.

Nëse keni ndonjë vështirësi, rilexoni materialin teorik. Më saktë, më praktike, i anashkaloj shumë prova.

Ka rënë zilja e fundit, ka përfunduar ceremonia e diplomimit dhe jashtë portave të shkollës sonë të lindjes na pret vetë gjeometria analitike. Shakatë kanë mbaruar... Ose ndoshta ata sapo kanë filluar =)

Me nostalgji tundim stilolapsin drejt të njohurit dhe njihemi me ekuacionin e përgjithshëm të një vije të drejtë. Sepse në gjeometrinë analitike kjo është pikërisht ajo që përdoret:

Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze ka formën: , ku janë disa numra. Në të njëjtën kohë, koeficientët njëkohësisht nuk janë të barabarta me zero, pasi ekuacioni humbet kuptimin e tij.

Le të vishemi me kostum dhe ta lidhim ekuacionin me koeficientin e pjerrësisë. Së pari, le t'i zhvendosim të gjitha termat në anën e majtë:

Termi me "X" duhet të vihet në radhë të parë:

Në parim, ekuacioni tashmë ka formën , por sipas rregullave të mirësjelljes matematikore, koeficienti i termit të parë (në këtë rast) duhet të jetë pozitiv. Shenjat e ndryshimit:

Mos harroni këtë veçori teknike! Koeficientin e parë (më shpesh) e bëjmë pozitiv!

Në gjeometrinë analitike, ekuacioni i një drejtëze pothuajse gjithmonë do të jepet në formë të përgjithshme. Epo, nëse është e nevojshme, mund të reduktohet lehtësisht në formën "shkollë" me një koeficient këndor (me përjashtim të vijave të drejta paralele me boshtin e ordinatave).

Le të pyesim veten se çfarë mjaft dini të ndërtoni një vijë të drejtë? Dy pikë. Por më shumë për këtë incident të fëmijërisë, tani shkopinj me rregullin e shigjetave. Çdo vijë e drejtë ka një pjerrësi shumë specifike, e cila është e lehtë për t'u "përshtatur". vektoriale.

Një vektor që është paralel me një drejtëz quhet vektor i drejtimit të asaj drejtëze. Është e qartë se çdo vijë e drejtë ka një numër të pafund të vektorëve të drejtimit, dhe të gjithë do të jenë kolinear (bashkëdrejtues ose jo - nuk ka rëndësi).

Vektorin e drejtimit do ta shënoj si më poshtë: .

Por një vektor nuk mjafton për të ndërtuar një vijë të drejtë, vektori është i lirë dhe nuk është i lidhur me asnjë pikë në rrafsh. Prandaj, është gjithashtu e nevojshme të dihet një pikë që i përket linjës.

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi?

Nëse dihet një pikë e caktuar që i përket një linje dhe vektori i drejtimit të kësaj linje, atëherë ekuacioni i kësaj rreshti mund të përpilohet duke përdorur formulën:

Ndonjëherë quhet ekuacioni kanonik i drejtëzës .

Çfarë duhet bërë kur një nga koordinatatështë e barabartë me zero, do ta kuptojmë në shembujt praktikë më poshtë. Nga rruga, ju lutem vini re - të dyja përnjëherë koordinatat nuk mund të jenë të barabarta me zero, pasi vektori zero nuk specifikon një drejtim specifik.

Shembulli 3

Shkruani një ekuacion për një vijë të drejtë duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi

Zgjidhje: Le të hartojmë ekuacionin e një drejtëze duke përdorur formulën. Në këtë rast:

Duke përdorur vetitë e proporcionit shpëtojmë nga thyesat:

Dhe ne e sjellim ekuacionin në formën e tij të përgjithshme:

Përgjigju:

Si rregull, nuk ka nevojë të bëni një vizatim në shembuj të tillë, por për hir të të kuptuarit:

Në vizatim shohim pikën e fillimit, vektorin e drejtimit origjinal (mund të vizatohet nga çdo pikë në rrafsh) dhe vijën e drejtë të ndërtuar. Nga rruga, në shumë raste është më e përshtatshme për të ndërtuar një vijë të drejtë duke përdorur një ekuacion me një koeficient këndor. Është e lehtë të transformojmë ekuacionin tonë në formë dhe të zgjedhim lehtësisht një pikë tjetër për të ndërtuar një vijë të drejtë.

Siç u përmend në fillim të paragrafit, një vijë e drejtë ka pafundësisht shumë vektorë drejtimi, dhe të gjithë ata janë kolinear. Për shembull, unë vizatova tre vektorë të tillë: . Cilido qoftë vektori i drejtimit që zgjedhim, rezultati do të jetë gjithmonë i njëjti ekuacion drejtvizor.

Le të krijojmë një ekuacion të një vije të drejtë duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi:

Zgjidhja e proporcionit:

Ndani të dyja anët me –2 dhe merrni ekuacionin e njohur:

Të interesuarit mund të testojnë vektorët në të njëjtën mënyrë ose ndonjë vektor tjetër kolinear.

Tani le të zgjidhim problemin e anasjelltë:

Si të gjeni një vektor drejtimi duke përdorur ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze?

Shume e thjeshte:

Nëse një drejtëz jepet nga një ekuacion i përgjithshëm në një sistem koordinativ drejtkëndor, atëherë vektori është vektori i drejtimit të kësaj drejtëze.

Shembuj të gjetjes së vektorëve të drejtimit të drejtëzave:

Deklarata na lejon të gjejmë vetëm një vektor drejtimi nga një numër i pafund, por nuk kemi nevojë për më shumë. Edhe pse në disa raste këshillohet të zvogëlohen koordinatat e vektorëve të drejtimit:

Kështu, ekuacioni specifikon një vijë të drejtë që është paralele me boshtin dhe koordinatat e vektorit të drejtimit që rezulton ndahen në mënyrë të përshtatshme me –2, duke marrë saktësisht vektorin bazë si vektorin e drejtimit. Logjike.

Në mënyrë të ngjashme, ekuacioni specifikon një vijë të drejtë paralele me boshtin, dhe duke pjesëtuar koordinatat e vektorit me 5, marrim vektorin njësi si vektor të drejtimit.

Tani le ta bëjmë duke kontrolluar shembullin 3. Shembulli u ngrit, kështu që ju kujtoj se në të kemi përpiluar ekuacionin e një drejtëze duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi

Së pari, duke përdorur ekuacionin e drejtëzës rindërtojmë vektorin e drejtimit të saj: – çdo gjë është në rregull, ne kemi marrë vektorin origjinal (në disa raste rezultati mund të jetë një vektor kolinear me atë origjinal, dhe kjo zakonisht vërehet lehtë nga proporcionaliteti i koordinatave përkatëse).

Së dyti, koordinatat e pikës duhet të plotësojnë ekuacionin. Ne i zëvendësojmë ato në ekuacionin:

Është marrë barazia e saktë, për të cilën jemi shumë të lumtur.

konkluzioni: Detyra u krye saktë.

Shembulli 4

Shkruani një ekuacion për një vijë të drejtë duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit. Është shumë e këshillueshme që të kontrolloni duke përdorur algoritmin e sapo diskutuar. Mundohuni të kontrolloni gjithmonë (nëse është e mundur) një draft. Është marrëzi të bësh gabime ku mund të shmangen 100%.

Në rast se njëra nga koordinatat e vektorit të drejtimit është zero, vazhdoni shumë thjesht:

Shembulli 5

Zgjidhje: Formula nuk është e përshtatshme pasi emëruesi në anën e djathtë është zero. Ka një dalje! Duke përdorur vetitë e proporcionit, ne e rishkruajmë formulën në formë, dhe pjesa tjetër rrotullohet përgjatë një rutine të thellë:

Përgjigju:

Ekzaminimi:

1) Rivendos vektorin drejtues të vijës së drejtë:
– vektori që rezulton është kolinear me vektorin e drejtimit origjinal.

2) Zëvendësoni koordinatat e pikës në ekuacionin:

Merret barazia e saktë

konkluzioni: detyra e përfunduar saktë

Shtrohet pyetja, pse të shqetësoheni me formulën nëse ekziston një version universal që do të funksionojë në çdo rast? Ka dy arsye. Së pari, formula është në formën e një fraksioni kujtohet shumë më mirë. Dhe së dyti, disavantazhi i formulës universale është se rreziku për t'u ngatërruar rritet ndjeshëm kur zëvendësohen koordinatat.

Shembulli 6

Shkruani një ekuacion për një vijë të drejtë duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Le të kthehemi te dy pikat e kudogjendura:

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze duke përdorur dy pika?

Nëse njihen dy pika, atëherë ekuacioni i një vije të drejtë që kalon nëpër këto pika mund të përpilohet duke përdorur formulën:

Në fakt, ky është një lloj formule dhe ja pse: nëse njihen dy pika, atëherë vektori do të jetë vektori i drejtimit të vijës së dhënë. Në mësim Vektorë për dummies ne shqyrtuam problemin më të thjeshtë - si të gjejmë koordinatat e një vektori nga dy pika. Sipas këtij problemi, koordinatat e vektorit të drejtimit janë:

shënim : pikat mund të "këmbehen" dhe formula mund të përdoret . Një zgjidhje e tillë do të jetë e barabartë.

Shembulli 7

Shkruani një ekuacion të drejtëzit duke përdorur dy pika .

Zgjidhje: Ne përdorim formulën:

Krehja e emëruesve:

Dhe përzieni kuvertën:

Tani është koha për të hequr qafe numrat thyesorë. Në këtë rast, duhet të shumëzoni të dy anët me 6:

Hapni kllapat dhe sillni në mendje ekuacionin:

Përgjigju:

Ekzaminimiështë e qartë - koordinatat e pikave fillestare duhet të plotësojnë ekuacionin që rezulton:

1) Zëvendësoni koordinatat e pikës:

Barazi e vërtetë.

2) Zëvendësoni koordinatat e pikës:

Barazi e vërtetë.

konkluzioni: Ekuacioni i drejtëzës është shkruar saktë.

Nëse të paktën një e pikëve nuk e plotëson ekuacionin, kërkoni një gabim.

Vlen të përmendet se verifikimi grafik në këtë rast është i vështirë, pasi ndërtoni një vijë të drejtë dhe shikoni nëse pikat i përkasin asaj , jo aq e thjeshtë.

Do të shënoj disa aspekte të tjera teknike të zgjidhjes. Ndoshta në këtë problem është më fitimprurëse të përdoret formula e pasqyrës dhe në të njëjtat pika bëni një ekuacion:

Më pak fraksione. Nëse dëshironi, mund ta kryeni zgjidhjen deri në fund, rezultati duhet të jetë i njëjti ekuacion.

Pika e dytë është të shikojmë përgjigjen përfundimtare dhe të kuptojmë nëse mund të thjeshtohet më tej? Për shembull, nëse merrni ekuacionin , atëherë këshillohet ta zvogëloni atë me dy: - ekuacioni do të përcaktojë të njëjtën vijë të drejtë. Megjithatë, kjo tashmë është një temë bisede pozicioni relativ i vijave.

Pasi ka marrë përgjigjen në shembullin 7, për çdo rast, kontrollova nëse TË GJITHA koeficientët e ekuacionit janë të pjesëtueshëm me 2, 3 ose 7. Edhe pse, më së shpeshti reduktime të tilla bëhen gjatë zgjidhjes.

Shembulli 8

Shkruani një ekuacion për një vijë që kalon nëpër pika .

Ky është një shembull për një zgjidhje të pavarur, e cila do t'ju lejojë të kuptoni dhe praktikoni më mirë teknikat e llogaritjes.

Ngjashëm me paragrafin e mëparshëm: nëse në formulë njëri prej emërtuesve (koordinata e vektorit të drejtimit) bëhet zero, pastaj e rishkruajmë në formën . Përsëri, vini re se sa e vështirë dhe e hutuar duket ajo. Unë nuk shoh shumë kuptim në dhënien e shembujve praktikë, pasi ne e kemi zgjidhur tashmë këtë problem (shih nr. 5, 6).

Vektor normal i drejtpërdrejtë (vektor normal)

Çfarë është normale? Me fjalë të thjeshta, një normale është një pingul. Domethënë, vektori normal i një drejtëze është pingul me një drejtëz të caktuar. Natyrisht, çdo vijë e drejtë ka një numër të pafund të tyre (si dhe vektorët e drejtimit), dhe të gjithë vektorët normalë të vijës së drejtë do të jenë kolinearë (bashkëdrejtues ose jo, nuk bën dallim).

Ballafaqimi me ta do të jetë edhe më i lehtë sesa me vektorët udhëzues:

Nëse një drejtëz jepet nga një ekuacion i përgjithshëm në një sistem koordinativ drejtkëndor, atëherë vektori është vektori normal i kësaj drejtëze.

Nëse koordinatat e vektorit të drejtimit duhet të "tërhiqen" me kujdes nga ekuacioni, atëherë koordinatat e vektorit normal thjesht mund të "hiqen".

Vektori normal është gjithmonë ortogonal me vektorin e drejtimit të drejtëzës. Le të verifikojmë ortogonalitetin e këtyre vektorëve duke përdorur produkt me pika:

Do të jap shembuj me të njëjtat ekuacione si për vektorin e drejtimit:

A është e mundur të ndërtohet një ekuacion i një drejtëze me një pikë dhe një vektor normal? E ndjej në zorrët e mia, është e mundur. Nëse dihet vektori normal, atëherë drejtimi i vetë vijës së drejtë përcaktohet qartë - kjo është një "strukturë e ngurtë" me një kënd prej 90 gradë.

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze nga një pikë dhe një vektor normal?

Nëse dihet një pikë e caktuar që i përket një drejtëze dhe vektori normal i kësaj linje, atëherë ekuacioni i kësaj drejtëze shprehet me formulën:

Këtu gjithçka funksionoi pa fraksione dhe surpriza të tjera. Ky është vektori ynë normal. Duaje atë. Dhe respekt =)

Shembulli 9

Shkruani një ekuacion të një drejtëze të dhënë një pikë dhe një vektor normal. Gjeni vektorin e drejtimit të drejtëzës.

Zgjidhje: Ne përdorim formulën:

Ekuacioni i përgjithshëm i vijës së drejtë është marrë, le të kontrollojmë:

1) "Hiqni" koordinatat e vektorit normal nga ekuacioni: – po, me të vërtetë, vektori origjinal është marrë nga kushti (ose duhet të merret një vektor kolinear).

2) Le të kontrollojmë nëse pika e plotëson ekuacionin:

Barazi e vërtetë.

Pasi të jemi të bindur se ekuacioni është hartuar saktë, do të përfundojmë pjesën e dytë, më të lehtë të detyrës. Ne nxjerrim vektorin drejtues të vijës së drejtë:

Përgjigju:

Në vizatim situata duket si kjo:

Për qëllime trajnimi, një detyrë e ngjashme për zgjidhjen e pavarur:

Shembulli 10

Shkruani një ekuacion të një drejtëze të dhënë një pikë dhe një vektor normal. Gjeni vektorin e drejtimit të drejtëzës.

Pjesa e fundit e mësimit do t'i kushtohet llojeve më pak të zakonshme, por edhe të rëndësishme të ekuacioneve të një linje në një plan

Ekuacioni i një drejtëze në segmente.
Ekuacioni i drejtëzës në formë parametrike

Ekuacioni i një drejtëze në segmente ka formën , ku janë konstante jozero. Disa lloje ekuacionesh nuk mund të përfaqësohen në këtë formë, për shembull, proporcionaliteti i drejtpërdrejtë (pasi termi i lirë është i barabartë me zero dhe nuk ka asnjë mënyrë për të marrë një në anën e djathtë).

Ky është, në mënyrë figurative, një lloj ekuacioni "teknik". Një detyrë e zakonshme është të paraqesë ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze si një ekuacion të një drejtëze në segmente. Si është i përshtatshëm? Ekuacioni i një linje në segmente ju lejon të gjeni shpejt pikat e kryqëzimit të një drejtëze me boshtet koordinative, të cilat mund të jenë shumë të rëndësishme në disa probleme të matematikës më të lartë.

Le të gjejmë pikën e kryqëzimit të drejtëzës me boshtin. Ne rivendosim "y" në zero, dhe ekuacioni merr formën . Pika e dëshiruar fitohet automatikisht: .

E njëjta gjë me boshtin – pika në të cilën drejtëza pret boshtin e ordinatave.

Vetitë e një vije të drejtë në gjeometrinë Euklidiane.

Një numër i pafund i drejtëzave mund të vizatohen nëpër çdo pikë.

Përmes çdo dy pikash që nuk përputhen mund të vizatohet një vijë e vetme e drejtë.

Dy drejtëza divergjente në një rrafsh ose kryqëzohen në një pikë të vetme ose janë

paralele (rrjedh nga ajo e mëparshmja).

Në hapësirën tre-dimensionale, ekzistojnë tre opsione për pozicionin relativ të dy linjave:

• linjat kryqëzohen;

• vijat janë paralele;

• vijat e drejta kryqëzohen.

Drejt linjë— kurba algjebrike e rendit të parë: një vijë e drejtë në sistemin koordinativ kartezian

jepet në rrafsh me një ekuacion të shkallës së parë (ekuacion linear).

Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze.

Përkufizimi. Çdo vijë e drejtë në aeroplan mund të specifikohet nga një ekuacion i rendit të parë

Ax + Wu + C = 0,

dhe konstante A, B nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë. Ky ekuacion i rendit të parë quhet të përgjithshme

ekuacioni i një vije të drejtë. Në varësi të vlerave të konstanteve A, B Dhe ME Rastet e mëposhtme të veçanta janë të mundshme:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- një vijë e drejtë kalon nëpër origjinë

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Me + C = 0)- vijë e drejtë paralele me boshtin Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- vijë e drejtë paralele me boshtin OU

. B = C = 0, A ≠0- vija e drejtë përkon me boshtin OU

. A = C = 0, B ≠0- vija e drejtë përkon me boshtin Oh

Ekuacioni i një drejtëze mund të paraqitet në forma të ndryshme në varësi të çdo të dhënë

kushtet fillestare.

Ekuacioni i drejtëzës nga një pikë dhe vektor normal.

Përkufizimi. Në një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian, një vektor me komponentë (A, B)

pingul me drejtëzën e dhënë nga ekuacioni

Ax + Wu + C = 0.

Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon në një pikë A(1, 2) pingul me vektorin (3, -1).

Zgjidhje. Me A = 3 dhe B = -1, le të hartojmë ekuacionin e drejtëzës: 3x - y + C = 0. Për të gjetur koeficientin C

Le t'i zëvendësojmë koordinatat e pikës së dhënë A në shprehjen që rezulton: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Totali: ekuacioni i kërkuar: 3x - y - 1 = 0.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika.

Le të jepen dy pikë në hapësirë M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Dhe M2 (x 2, y 2, z 2), Pastaj ekuacioni i një linje,

duke kaluar nëpër këto pika:

Nëse ndonjë prej emërtuesve është zero, numëruesi përkatës duhet të vendoset i barabartë me zero. Aktiv

plani, ekuacioni i drejtëzës së shkruar më sipër është thjeshtuar:

Nëse x 1 ≠ x 2 Dhe x = x 1, Nëse x 1 = x 2 .

Fraksioni = k thirrur shpat drejt.

Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikat A(1, 2) dhe B(3, 4).

Zgjidhje. Duke zbatuar formulën e shkruar më sipër, marrim:

Ekuacioni i një drejtëze duke përdorur një pikë dhe pjerrësi.

Nëse ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës Ax + Wu + C = 0çojnë në:

dhe caktoni , atëherë thirret ekuacioni që rezulton

ekuacioni i drejtëzës me pjerrësi k.

Ekuacioni i një drejtëze nga një pikë dhe një vektor i drejtimit.

Për analogji me pikën duke marrë parasysh ekuacionin e një vije të drejtë përmes vektorit normal, mund të futni detyrën

një vijë e drejtë përmes një pike dhe një vektor drejtues i një drejtëze.

Përkufizimi. Çdo vektor jozero (α 1 , α 2), komponentët e të cilit plotësojnë kushtin

Aα 1 + Bα 2 = 0 thirrur vektori drejtues i një drejtëze.

Ax + Wu + C = 0.

Shembull. Gjeni ekuacionin e një drejtëze me vektor drejtimi (1, -1) dhe që kalon në pikën A(1, 2).

Zgjidhje. Ne do të kërkojmë ekuacionin e vijës së dëshiruar në formën: Ax + By + C = 0. Sipas përcaktimit,

koeficientët duhet të plotësojnë kushtet e mëposhtme:

1 * A + (-1) * B = 0, d.m.th. A = B.

Atëherë ekuacioni i drejtëzës ka formën: Ax + Ay + C = 0, ose x + y + C / A = 0.

në x = 1, y = 2 marrim C/A = -3, d.m.th. ekuacioni i kërkuar:

x + y - 3 = 0

Ekuacioni i një drejtëze në segmente.

Nëse në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës Ах + Ву + С = 0 С≠0, atëherë, duke e pjesëtuar me -С, marrim:

ose ku

Kuptimi gjeometrik i koeficientëve është se koeficienti a është koordinata e pikës së kryqëzimit

drejt me bosht Oh, A b- koordinata e pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin OU.

Shembull. Është dhënë ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës x - y + 1 = 0. Gjeni ekuacionin e kësaj drejtëze në segmente.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Ekuacioni normal i një drejtëze.

Nëse të dyja anët e ekuacionit Ax + Wu + C = 0 pjesëto me numër që quhet

faktori normalizues, atëherë marrim

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ekuacioni normal i një drejtëze.

Shenja ± e faktorit normalizues duhet zgjedhur në mënyrë që μ*C< 0.

R- gjatësia e pingulit të rënë nga origjina në vijën e drejtë,

A φ - këndi i formuar nga kjo pingul me drejtimin pozitiv të boshtit Oh.

Shembull. Është dhënë ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës 12x - 5y - 65 = 0. Kërkohet për të shkruar lloje të ndryshme ekuacionesh

këtë vijë të drejtë.

Ekuacioni i kësaj drejtëze në segmente:

Ekuacioni i kësaj linje me pjerrësinë: (pjestojeni me 5)

Ekuacioni i një drejtëze:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Duhet të theksohet se jo çdo vijë e drejtë mund të përfaqësohet nga një ekuacion në segmente, për shembull, drejtëza,

paralel me akset ose duke kaluar nga origjina.

Këndi ndërmjet vijave të drejta në një plan.

Përkufizimi. Nëse jepen dy rreshta y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, pastaj këndi akut ndërmjet këtyre vijave

do të përkufizohet si

Dy drejtëza janë paralele nëse k 1 = k 2. Dy drejtëza janë pingul

Nëse k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Direkt Ax + Wu + C = 0 Dhe A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralele kur koeficientët janë proporcional

A 1 = λA, B 1 = λB. Nëse gjithashtu С 1 = λС, atëherë rreshtat përkojnë. Koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave

gjenden si zgjidhje e sistemit të ekuacioneve të këtyre drejtëzave.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një drejtëz të caktuar.

Përkufizimi. Vija që kalon nëpër një pikë M 1 (x 1, y 1) dhe pingul me drejtëzën y = kx + b

përfaqësohet nga ekuacioni:

Largësia nga një pikë në një vijë.

Teorema. Nëse jepet një pikë M(x 0, y 0), pastaj distanca në vijën e drejtë Ax + Wu + C = 0 përcaktuar si:

Dëshmi. Lëreni pikën M 1 (x 1, y 1)- baza e një pingule të rënë nga një pikë M për një të dhënë

e drejtpërdrejtë. Pastaj distanca midis pikave M Dhe M 1:

(1)

Koordinatat x 1 Dhe në 1 mund të gjendet si zgjidhje për sistemin e ekuacioneve:

Ekuacioni i dytë i sistemit është ekuacioni i një drejtëze që kalon në një pikë të caktuar M 0 pingul

dhënë vijë të drejtë. Nëse e transformojmë ekuacionin e parë të sistemit në formën:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Nga 0 + C = 0,

atëherë, duke zgjidhur, marrim:

Duke i zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin (1), gjejmë:

Teorema është vërtetuar.