Çdo sipërfaqe e njërës anë të saj mund të drejtohet drejt vëzhguesit dhe më pas kjo anë do të jetë e dukshme. Përndryshe, ana e sipërfaqes nuk do të jetë e dukshme nga pika e vëzhgimit. Mund të ndodhë që vetëm një pjesë e një ane të sipërfaqes të jetë e dukshme. Në këtë rast, një vijë mund të vizatohet në sipërfaqe që ndan sipërfaqet e dukshme dhe të padukshme. Një vijë skicimi është një vijë në një sipërfaqe që ndan pjesën e dukshme të një sipërfaqe ose fytyrë nga pjesa e saj e padukshme.

Oriz. 9.5.1. Projeksionet e linjave të konturit të sipërfaqes

Oriz. 9.5.2. Projeksionet e një rrjeti shumëkëndëshash dhe vijash skicuese

Në Fig. 9.5.1 tregon linjat konturore të sipërfaqes. Në Fig. 9.5.2 tregon linjat e skicimit së bashku me rrjetën e sipërfaqes.

Kur kalon nëpër vijën e skicimit, normalja e sipërfaqes ndryshon drejtimin në lidhje me vijën e shikimit. Në pikat e vijës së skicimit, sipërfaqja normale është ortogonale me vijën e shikimit. Në përgjithësi, mund të ketë disa vija konture në sipërfaqe. Çdo rresht i një skice është një kurbë hapësinore. Ai ose është i mbyllur ose përfundon në skajet e sipërfaqes. Drejtime të ndryshme shikimi kanë grupin e tyre të linjave konturore, kështu që kur sipërfaqja rrotullohet, linjat e skicës duhet të ndërtohen përsëri.

Projeksionet paralele.

Për disa sipërfaqe, për shembull, një sferë, cilindër, kon, linja konturore ndërtohen mjaft thjesht. Le të shqyrtojmë rastin e përgjithshëm të ndërtimit të linjave të konturit të sipërfaqes.

Le të jetë e nevojshme të gjenden linjat konturore të një sipërfaqeje të përshkruar nga një vektor i rrezes.

ku është normalja me sipërfaqen për të cilën është ndërtuar vija e skicimit. Për një sipërfaqe të përshkruar nga një vektor rreze, normalja është gjithashtu një funksion i parametrave dhe . Ekuacioni skalar (9.5.1) përmban dy parametra të dëshiruar u, v. Nëse vendosni njërin nga parametrat, atëherë tjetri mund të gjendet nga ekuacioni (9.5.1), d.m.th. njëri prej parametrave është funksion i tjetrit. Për të siguruar barazinë e parametrave, ato mund të përfaqësohen si funksione të disa parametrave të përbashkët

Rezultati i zgjidhjes së ekuacionit (9.5.1) është një vijë dydimensionale

në sipërfaqe Kjo vijë është vija konturore e sipërfaqes.

Do të ndërtojmë një vijë skicë nga një grup pikash të renditura që plotësojnë ekuacionin (9.5.1). Ne i quajmë pika një çift parametrash të sipërfaqes, të cilat janë koordinatat e pikave dydimensionale në një plan parametrik. Duke pasur pika individuale të vijës së skicimit, të vendosura sipas renditjes që ndjekin dhe në një distancë të caktuar nga njëra-tjetra, gjithmonë mund të gjeni çdo pikë tjetër në vijë. Për shembull, për të gjetur një pikë që shtrihet midis dy pikave të dhëna ngjitur të një vije skicë, ne vizatojmë një plan pingul me segmentin që lidh pikat ngjitur dhe gjejmë një pikë të përbashkët për sipërfaqen dhe rrafshin duke zgjidhur tre ekuacione të kryqëzimit skalar së bashku me ekuacionin (9.5.1). Pozicioni i planit në segment mund të specifikohet nga parametri i linjës. Në bazë të pikave ekstreme të segmentit, përcaktohet përafrimi zero për pikën e dëshiruar. Kështu, grupi i pikave individuale dy-dimensionale të vijës së konturit të sipërfaqes shërben si një lloj përafrimi zero i kësaj linje, nga e cila gjithmonë mund të gjendet pozicioni i saktë i pikës duke përdorur një nga metodat numerike. Algoritmi për ndërtimin e linjave të konturit të sipërfaqes mund të ndahet në dy faza.

Në fazën e parë, do të gjejmë të paktën një pikë në secilën rresht të skicës. Për ta bërë këtë, duke ecur përgjatë sipërfaqes dhe duke shqyrtuar shenjën e produktit skalar në pikat fqinje, do të gjejmë çifte pikash sipërfaqësore në të cilat shenja ndryshon. Duke marrë vlerat mesatare të parametrave të këtyre pikave si një përafrim zero, do të gjejmë parametrat e pikës së vijës së skicimit duke përdorur një nga metodat numerike. Le të, për shembull, kur lëvizni nga një pikë në një pikë afër saj, shenja ndryshon. Më pas, duke përdorur procesin iterativ të metodës së Njutonit

ose proces përsëritës

Le të gjejmë parametrat e njërës prej pikave të vijës së skicës. Normalet e prejardhura përcaktohen nga formula Weingarten (1.7.26), (1.7.28). Në këtë mënyrë marrim një sërë pikash të vijave konturore. Pikat nga grupi i marrë në fazën e parë nuk kanë asnjë lidhje me njëra-tjetrën dhe mund t'i përkasin linjave të ndryshme të skicës. Është e rëndësishme vetëm që nga çdo rresht i skicës të ketë të paktën një pikë në grup.

Në fazën e dytë, marrim çdo pikë nga grupi ekzistues dhe, duke lëvizur prej tij me një hap të caktuar, fillimisht në një drejtim dhe më pas në tjetrin, gjejmë pikë për pikë grupin e dëshiruar të pikave në vijën e skicimit. Drejtimi i lëvizjes jepet nga vektori

ku - derivatet e pjesshme të derivateve normale - të pjesshme të vektorit të rrezes së sipërfaqes në lidhje me parametrat .

Shenja përpara termit përkon me shenjën e produktit skalar Ne llogarisim hapin e lëvizjes në përputhje me lakimin e sipërfaqeve në pikën aktuale duke përdorur formulën (9.4.7) ose formulën (9.4.8). Nëse

pastaj duke përdorur formulën (9.4.7) do t'i japim një rritje parametrit u dhe duke përdorur formulën (9.5.4) do të gjejmë parametrin përkatës v të sipërfaqes. Përndryshe, duke përdorur formulën (9.4.8), do të rrisim parametrin dhe duke përdorur formulën (9.5.5) do të gjejmë parametrin dhe sipërfaqen përkatëse. Do të përfundojmë lëvizjen përgjatë kurbës kur të arrijmë buzën e njërës prej sipërfaqeve ose kur vija të mbyllet (pika e re do të jetë në distancën e hapit aktual nga pika e fillimit).

Gjatë lëvizjes, ne do të kontrollojmë nëse pikat nga grupi i marrë në fazën e parë shtrihen pranë rrugës. Për ta bërë këtë, përgjatë shtegut do të llogarisim distancën nga pika aktuale e kurbës së skicës në secilën pikë nga grupi i marrë në fazën e parë. Nëse distanca e llogaritur në çdo pikë në grup është në përpjesëtim me hapin aktual të lëvizjes, atëherë kjo pikë do të hiqet nga grupi pasi nuk është më e nevojshme. Në këtë mënyrë marrim një grup pikash individuale të një linje skicë. Në këtë rast, grupi i pikave të marra në fazën e parë nuk do të përmbajë një pikë të vetme të kësaj linje. Nëse ka ende pika të mbetura në grup, atëherë kjo sipërfaqe ka të paktën një vijë tjetër konturore.

Oriz. 9.5.3. Linjat e konturit të trupit

Oriz. 9.5.4. Trupi i revolucionit

Setin e pikave të tij do ta gjejmë duke marrë ndonjë pikë nga grupi dhe duke përsëritur fazën e dytë të ndërtimit. Ne do të përfundojmë ndërtimin e linjave kur nuk ka mbetur asnjë pikë e vetme në grup. Duke përdorur metodën e përshkruar, ne do të ndërtojmë linjat konturore të të gjitha fytyrave të modelit.

Linjat konturore të fytyrave janë linjat konturore të sipërfaqeve të tyre. Vija konturore e trupit do të jetë e dukshme nëse nuk mbulohet nga një fytyrë që shtrihet më afër pikës së vëzhgimit. Në Fig. 9.5.3 tregon skicën e trupit të rrotullimit të paraqitur në Fig. 9.5.4. Projeksioni i vijës së skicës mund të ketë thyerje dhe kupa, por vetë linja e skicës është e lëmuar.

Pikat e thyerjes në projeksion ndodhin aty ku vija tangjente e skicës është kolinear me vektorin

Për të ndërtuar projeksionin e vijës skicuese do të ndërtojmë shumëkëndëshin e saj, projeksionin e të cilit do ta marrim si projeksion të vijës skicuese.

Projeksionet qendrore.

Vijat e skicimit në projeksionet qendrore plotësojnë ekuacionin

(9.5.7)

ku - sipërfaqja normale - vektori i rrezes së pikës së vrojtimit. Vija e skicës për projeksionin qendror ndryshon nga vija e skicës për projeksionin paralel, megjithëse algoritmet për ndërtimin e tyre janë të ngjashëm. Në vend të një vektori konstant në (9.5.7), ekziston një vektor, drejtimi i të cilit varet nga pika e projektuar. Vija e skicimit për projeksionin qendror gjithashtu paraqet një kurbë të caktuar në sipërfaqe, të përshkruar nga varësitë (9.5.3) dhe është një kurbë hapësinore. Kjo linjë duhet të projektohet në rrafsh sipas rregullave për ndërtimin e projeksionit qendror të vijës hapësinore.

Në Fig. 9.5.5 tregon një projeksion paralel të linjave konturore të torusit, dhe në Fig. Për krahasim, Fig. 9.5.6 tregon projeksionin qendror të vijave konturore të torusit. Siç mund ta shihni, këto parashikime janë të ndryshme.

Oriz. 9.5.5. Projeksioni paralel i linjave konturore të torusit

Oriz. 9.5.6. Projeksioni qendror i linjave të konturit të torusit

Algoritmi për ndërtimin e linjave skicuese për projeksionin qendror të një sipërfaqeje të përshkruar nga një vektor i rrezes ndryshon nga algoritmi për ndërtimin e linjave skicuese për një projeksion paralel të kësaj sipërfaqeje në atë që në fazën e parë do të kërkojmë pika sipërfaqësore në të cilat produkti skalar ndryshon shenjën. Për të përcaktuar këto pika, në vend të formulave (9.5.4) dhe (9.5.5), duhet të përdoren formulat

dhe formulat

përkatësisht. Përndryshe, algoritmi për ndërtimin e vijave konturore për projeksionin qendror të një sipërfaqeje nuk ndryshon nga algoritmi për ndërtimin e vijave konturore për një projeksion paralel.

Ministria e Arsimit e Federatës Ruse

Universiteti Teknik Shtetëror i Saratovit

SIPËRFAQET

Udhëzime për përfundimin e detyrës 2

për studentët e specialiteteve
1706, 1705, 1201, 2503, 2506

Miratuar

këshilli redaktues dhe botues

Shteti i Saratovit

universiteti teknik

Saratov 2003

PREZANTIMI

Në praktikën e inxhinierisë mekanike janë të përhapura pjesët me sipërfaqe cilindrike, konike, sferike, torus dhe spirale. Format teknike të produkteve janë shpesh një kombinim i sipërfaqeve të revolucionit me akset që përputhen, kryqëzohen dhe kryqëzohen. Kur bëni vizatime të produkteve të tilla, bëhet e nevojshme të përshkruhen linjat e kryqëzimit të sipërfaqeve, të quajtura gjithashtu linja tranzicioni.

Një mënyrë e zakonshme për të ndërtuar linja kryqëzimi është gjetja e pikave të kësaj linje duke përdorur disa plane ose sipërfaqe ndihmëse prerëse, të quajtura ndonjëherë "ndërmjetëse".

Këto udhëzime diskutojnë rastet e përgjithshme dhe të veçanta të ndërtimit të linjave të kryqëzimit të dy sipërfaqeve dhe metodat për ndërtimin e zhvillimeve sipërfaqësore.

1. DISPOZITAT THEMELORE.

Në gjeometrinë përshkruese, një sipërfaqe konsiderohet si një grup pozicionesh të njëpasnjëshme të një linje që lëviz në hapësirë, të quajtur gjenerator.

Nëse si udhërrëfyes merret një nga vijat sipërfaqësore q dhe lëvizni gjeneratorin përgjatë tij sipas një ligji të caktuar l, marrim një familje gjeneratorësh sipërfaqësorë që përcaktojnë sipërfaqen (Fig. 1).

Për të specifikuar një sipërfaqe në një vizatim, është prezantuar koncepti i një përcaktuesi të sipërfaqes.

Një përcaktues është një grup kushtesh të nevojshme dhe të mjaftueshme për të përcaktuar në mënyrë unike një sipërfaqe.

Përcaktori përbëhet nga një pjesë gjeometrike që përmban figura gjeometrike dhe ligjin e formimit të sipërfaqes. Për shembull, pjesa gjeometrike e përcaktorit të figurës a(l,q) në figurën 1 janë gjeneratori l dhe udhëzues q, pozicioni i të cilit është specifikuar në vizatim. Ligji i Arsimit: Direkt l, duke lëvizur në hapësirë, gjithmonë prek q, duke mbetur paralel me drejtimin S. Këto kushte përcaktojnë në mënyrë unike një sipërfaqe cilindrike. Për çdo pikë në hapësirë, ju mund të zgjidhni pyetjen nëse sipërfaqja e saj i përket (AÎ a, nëÏ a).

Pjesa gjeometrike e përcaktorit të një sipërfaqeje konike b(q,S) përbëhet nga një udhëzues q dhe majat S(Fig. 2). Ligji i formimit të një sipërfaqe konike: vijë e drejtë gjeneratore l q, kalon gjithmonë nëpër kulm S, duke formuar një grup të vazhdueshëm vijash të drejta të sipërfaqes konike.

Sipërfaqet e fituara me lëvizje të vazhdueshme quhen kinematike. Sipërfaqe të tilla janë të sakta dhe të rregullta, në krahasim me të parregullta ose të rastësishme.

Sipërfaqet e formuara nga lëvizja e një vije të drejtë quhen të rregulluara, ndërsa sipërfaqet e formuara nga një vijë e lakuar quhen të padrejtuara.

Sipas ligjit të lëvizjes së gjeneratorit dallohen sipërfaqet me lëvizje translatore të gjeneratorit, me lëvizje rrotulluese të gjeneratrit - sipërfaqet e rrotullimit, me lëvizje spirale të gjeneratrit - sipërfaqet spirale.

Sipërfaqet mund të përcaktohen nga një kornizë. Një kornizë teli është një sipërfaqe që përcaktohet nga një numër i caktuar vijash që i përkasin një sipërfaqeje të tillë (Fig. 3).

Duke ditur koordinatat e pikave të kryqëzimit të linjave, mund të ndërtoni një vizatim të sipërfaqes së kornizës.

1.2. Sipërfaqet e rrotullimit.

Ndër sipërfaqet e lakuara, sipërfaqet e rrotullimit janë të përhapura. Sipërfaqja e rrotullimit është një sipërfaqe e marrë duke rrotulluar çdo gjenerator rreth një vije të drejtë fikse - boshti i sipërfaqes.

Sipërfaqja e rrotullimit mund të formohet nga rrotullimi i një vije të lakuar (sferë, torus, paraboloid, elipsoid, hiperboloid, etj.) dhe rrotullimi i një vije të drejtë (cilindri i rrotullimit, koni i rrotullimit, hiperboloidi i rrotullimit me një fletë ).

Nga përkufizimi i sipërfaqes së rrotullimit del se pjesa gjeometrike e përcaktorit a(unë,l) sipërfaqet e revolucionit a duhet të përbëhet nga një bosht rrotullimi i dhe duke formuar l. Ligji i formimit të sipërfaqes, rrotullimit l përreth I ju lejon të ndërtoni një grup të vazhdueshëm pozicionesh sekuenciale të gjeneratorit të sipërfaqes së rrotullimit.

Nga shumë linja që mund të vizatohen në sipërfaqet e rrotullimit, paralelet (ekuatori) dhe meridianët (meridiani kryesor) zënë një pozicion të veçantë. Përdorimi i këtyre linjave thjeshton shumë zgjidhjen e problemeve të pozicionit. Le të shohim këto rreshta.

Çdo pikë e gjeneratorit l(Fig. 4) përshkruan rreth boshtit i një rreth i shtrirë në një rrafsh pingul me boshtin e rrotullimit. Ky rreth mund të përfaqësohet si vijë e kryqëzimit të një sipërfaqeje me një rrafsh të caktuar (b), pingul me boshtin e sipërfaqes së rrotullimit. Rrathë të tillë quhen paralele (R). Më i madhi nga paralelet quhet ekuator, më i vogli - fyt.

Oriz. 5 Fig. 6

Në Fig. Paralelja e 5-të RA pikë A– ekuator, paralel RV pikë R-sipërfaqja e fytit.

Nëse boshti i sipërfaqes iështë pingul me rrafshin e projeksionit, atëherë paralelja projektohet në këtë rrafsh nga një rreth me vlerën e vërtetë (P1A), dhe në rrafshin e projeksionit paralel me boshtin - një vijë e drejtë (P2A), e barabartë me diametrin e paraleles. Në këtë rast, zgjidhja e problemeve të pozicionit thjeshtohet. Duke lidhur çdo pikë në sipërfaqe (për shembull ME) me një paralele, mund të gjeni lehtësisht pozicionin e projeksioneve të paraleles dhe pikën mbi të. Në Fig. 5 me projeksion C2 pikë ME, që i përket sipërfaqes a, duke përdorur paralele Rs u gjet projeksioni horizontal C1.

Rrafshi që kalon nëpër boshtin e rrotullimit quhet meridional. Në Fig. 4 është një aeroplan g. Vija e prerjes së sipërfaqes së rrotullimit me rrafshin meridional quhet meridian i sipërfaqes. Meridiani i shtrirë në një rrafsh paralel me rrafshin e projeksioneve quhet kryesor ( m0 në Fig. 4.5). Në këtë pozicion, meridiani projektohet në aeroplan P2 pa shtrembërim, por në P1– drejt paralel me boshtin X12. Për një cilindër dhe një kon, meridianët janë vija të drejta.

Ekuatori P2(Fig. 6) dhe meridianët kryesorë (m) Kufizoni sipërfaqen në pjesë të dukshme dhe të padukshme.

Në Fig. 6 ekuator sipërfaqësor a fitohet duke prerë sipërfaqen me rrafsh d(P=a∩d), dhe meridiani kryesor është një aeroplan g(m=a∩g).

1.3. Skica e sipërfaqes.

Sipërfaqja e projektuar që rrethon atë të dhënë kryqëzon rrafshin e projeksionit përgjatë një linje të quajtur skicë e projeksionit të sipërfaqes. Me fjalë të tjera, skica e sipërfaqes është vija që kufizon projeksionin e figurës nga pjesa tjetër e hapësirës së vizatimit. Për të ndërtuar një ese, është e nevojshme të ndërtohen gjeneratorët e skicës së kufirit ekstrem. Gjeneratorët e konturit shtrihen në një rrafsh paralel me planin e projektimit.

Çdo meridian i sipërfaqes së revolucionit mund të merret si gjenerator i tij. Ndërtimi i esesë do të thjeshtohet nëse marrim si gjenerator meridianin kryesor, pasi meridiani kryesor është një kurbë e sheshtë (vijë e drejtë) paralele me rrafshin e projeksionit dhe e projektuar mbi të pa shtrembërim.

Shembulli 1: Cilindri a a(unë,l). Ndërtoni një skicë të sipërfaqes (Fig. 7).

Me këtë rregullim boshti i skica horizontale paraqet një rreth me rreze R(R=i1l1). Le të vizatojmë përmes boshtit i avioni meridial b||P2. Për të ndërtuar një skicë ballore, gjejmë projeksione horizontale të skicave të gjeneratave që shtrihen në rrafshin e meridianit kryesor. (l1',l1") dhe prej tyre përcaktojmë projeksionet ballore l2' Dhe l2".

Projeksioni ballor i meridianit kryesor të skicave të cilindrit l2' Dhe l2". Një drejtkëndësh është skica ballore e një sipërfaqeje.

Shembulli 2. Koni a dhënë nga pjesa gjeometrike e përcaktorit a(unë,l). Ndërtoni një skicë të sipërfaqes (Fig. 8).

https://pandia.ru/text/78/241/images/image008_8.gif" width="612" height="400">

Nga pozicioni i figurave gjeometrike l, i në Fig. 9 është e qartë se sipërfaqja e dhënë është një hiperboloid me një fletë revolucioni. Çdo pikë e gjeneratorit (A, B, C etj. ) kur rrotullohet rreth një boshti i përshkruan një rreth (paralel). Në i ^ P1 tek avioni P1 paralelet projektohen si rrathë me rreze të barabartë me vlerën e vërtetë të rrezes paralele. Pika ME në gjenerator l përshkruan paralelen më të vogël - paralelen e fytit. Kjo është distanca më e shkurtër midis boshtit të rrotullimit dhe gjeneratorit l. Per te gjetur Rc vizatoni një pingul nga i te l1. i1C1=Rc– rrezja e fytit sipërfaqësor.

Projeksioni horizontal i një hiperboloidi do të përbëhet nga tre rrathë koncentrikë.

Skica ballore e sipërfaqes duhet të ketë skicën e meridianit të saj kryesor.

Le të vizatojmë përmes boshtit i plani kryesor meridional b dhe të ndërtojnë projeksione horizontale të paraleleve të pikave A, B, C. Paralelet kryqëzohen me një rrafsh b në pikat A′, B′, C′ që i përkasin meridianit kryesor të sipërfaqes. Një grup i vazhdueshëm i këtyre paraleleve formojnë kornizën e sipërfaqes dhe pikat e kryqëzimit me rrafshin b– meridiani kryesor m0 sipërfaqeve. Meridiani kryesor mund të ndërtohet si një skicë e pikave të kryqëzimit të paraleleve me një plan b. Figura tregon ndërtimin e një pike ME Dhe D.

Shembulli 4. Skiconi një cilindër të pjerrët a(l,m). Gjeneratori i cilindrit l, duke lëvizur përgjatë udhëzuesit m, mbetet paralel me vetveten. Skica e sipërfaqes është paraqitur në Fig. 10. Çdo pikë në sipërfaqen e një cilindri përcaktohet duke tërhequr një gjenerator përmes tij (“lidhja” e pikës me gjeneratorin). Në Fig. 10a sipas projeksionit ballor të pikës A2, që i përket sipërfaqes, gjendet projeksioni i saj horizontal A1.

1.4. Sipërfaqet e drejtuara me një rrafsh paralelizmi.

Sipërfaqet e drejtuara me një plan paralelizmi formohen duke lëvizur një gjenerator drejtvizor përgjatë dy udhëzuesve. Në këtë rast, gjenerata në të gjitha pozicionet e saj ruan paralelizmin me një rrafsh të caktuar të caktuar, të quajtur rrafshi i paralelizmit.

Pjesa gjeometrike e përcaktorit a(m,n,b) një sipërfaqe të tillë a përmban dy udhërrëfyes dhe një plan paralelizmi. Në varësi të formës së udhërrëfyesve, këto sipërfaqe ndahen në: cilindra - të dyja kthesat udhëzuese; konoidet - një udhëzues është i drejtë, një është i lakuar; plani i zhdrejtë - të dy udhëzuesit janë të drejtë.

Shembull: ndërtoni një kornizë sipërfaqësore a(m,n,b)(Fig. 10b).

Në këtë rast, rrafshi horizontal i projeksioneve merret si rrafsh i paralelizmit. Linja gjeneruese, prerja e kurbës m dhe të drejtpërdrejtë n, në çdo pozicion mbetet paralel me rrafshin P1.

Çdo rrafsh paralel me rrafshin e paralelizmit i pret këto sipërfaqe në një vijë të drejtë. Prandaj, nëse doni të ndërtoni ndonjë gjenerator të një sipërfaqeje, duhet të prisni sipërfaqen me një plan (për shembull b), paralel me rrafshin e paralelizmit, gjeni pikat e kryqëzimit të vijave udhëzuese të sipërfaqes me këtë rrafsh. (b∩n=1;b∩m=2; oriz. 10b) dhe vizatoni një vijë të drejtë nëpër këto pika.

Për të ndërtuar konoidin në Fig. 10b, ju mund të bëni pa plane prerëse ndihmëse, pasi projeksionet ballore të gjeneratorëve duhet të jenë paralele me boshtin X12. Dendësia e linjave të kornizës në projeksionin ballor vendoset në mënyrë arbitrare. Ne ndërtojmë projeksione horizontale të gjeneratorëve të dhënë përgjatë linjës së komunikimit duke përdorur vetinë e përkatësisë.

Nëse keni nevojë të gjeni projeksionin e një pike A, dhënë nga projeksioni A2, është e nevojshme të pritet sipërfaqja me një aeroplan g, duke kaluar nëpër pikë A dhe paralel me rrafshin e paralelizmit (në Fig. 10b g//P1), gjeni gjeneratorin si vijë e kryqëzimit të rrafshit g me sipërfaqe a(a∩g=3, 4), duke përdorur projeksionin ballor 32, 42, gjeni horizontalin 31, 41 dhe përcaktoni në të A1.

1.5. Ndërtimi i pikës së takimit të një drejtëze me një sipërfaqe.

Gjeni pikën e takimit të kurbës l me sipërfaqe a (P,S).

Zgjidhja 1. Përfundoni lakoren l(Fig. 11) në sipërfaqen e projektimit ndihmës b^P1. Projeksioni b1 përkon me projeksionin l1. 2. Ndërtimi i një linje kryqëzimi A sipërfaqeve α me sipërfaqe b′, (αÇ b=e). Projeksioni horizontal i kësaj linje a1 e njohur, përkon me b1. Projeksioni horizontal a1 ndërtoni një projeksion frontal a2(Fig. 1 Përcaktoni pikën e dëshiruar në kryqëzimin e kurbës l me sipërfaqe a.. K=lÇ a ka një pikë takimi l Dhe a. Nga njëra anë l Dhe A i përkasin b Dhe lÇ a=k. Me një tjetër AÌ a, prandaj teÌ α , kjo eshte te ka pika takimi l me sipërfaqe α .

https://pandia.ru/text/78/241/images/image011_6.gif" width="607" height="242">

1.6. Ndërtimi i vijës së kryqëzimit të sipërfaqeve.

Kur zgjidhet problemi i ndërtimit të një linje kryqëzimi të një sipërfaqeje me një tjetër, përdoret metoda e seksioneve - metoda kryesore për zgjidhjen e problemeve të pozicionit. Në këtë rast, sipërfaqet e dhëna shpërndahen nga plane ndihmëse ose sipërfaqe të lakuara (për shembull, sfera).

Sipërfaqet ndihmëse të prerjes ndonjëherë quhen "ndërmjetëse".

1.5.1. Rasti i përgjithshëm.

Në rastin e përgjithshëm, për të zgjidhur problemin e përcaktimit të vijës së kryqëzimit të dy sipërfaqeve, mund të specifikoni një familje gjeneratorësh në njërën nga sipërfaqet (Fig. 12), gjeni pikën e takimit të këtyre gjeneratorëve me sipërfaqen e dytë duke përdorur algoritmi për zgjidhjen e problemit në Fig. 11, dhe më pas gjurmoni pikat e takimit.

Duke përdorur këtë metodë për të ndërtuar linja kryqëzimi të dy sipërfaqeve të lakuara, ne mund të përdorim plane ndihmëse ose sipërfaqe të lakuara si "ndërmjetësues" sekantë.

Nëse është e mundur, duhet të zgjidhni sipërfaqe të tilla ndihmëse që, kur kryqëzohen me ato të dhëna, të japin linja që janë të lehta për t'u ndërtuar (vija të drejta ose rrathë).

1.5.2. Boshtet e sipërfaqeve të revolucionit përkojnë
(sipërfaqe koaksiale).

Në Fig. 13 sipërfaqe a Dhe b specifikuar nga një bosht i përbashkët i dhe meridianet kryesore m0m0'.

Meridianët kryesorë kryqëzohen në pikë A(B). Pika A(B) kryqëzimi i meridianëve kur rrotullohen rreth një boshti do të përshkruajë një paralele R, e cila do t'u përkasë të dy sipërfaqeve, prandaj, do të jetë vija e tyre e ndërprerjes.

Kështu, dy sipërfaqe koaksiale të rrotullimit kryqëzohen përgjatë paraleleve që përshkruajnë pikat e kryqëzimit të meridianëve të tyre. Në Fig. 13 akse sipërfaqësore janë paralele P2. Në rrafshin e projeksionit me të cilin boshtet e sipërfaqeve janë paralele, vija e kryqëzimit P2është projektuar një vijë e drejtë, pozicioni i së cilës përcaktohet nga pikat e kryqëzimit të meridianëve kryesorë A Dhe NË.

1.5.3. Metoda e rrafshit të prerjes.

Në rastin kur boshtet e sipërfaqeve të rrotullimit janë paralele, konstruksionet më të thjeshta fitohen duke përdorur plane prerëse si ndërmjetës. Në këtë rast, rrafshet ndihmëse të prerjes zgjidhen në mënyrë që ato të kryqëzojnë të dy sipërfaqet përgjatë rrathëve.

Në Fig. 14 janë dhënë nga skicat e projeksionit të dy sipërfaqeve të rrotullimit α Dhe b, sëpatat e tyre i Dhe j paralele. Në këtë rast, përdorimi i planeve prerëse pingul me boshtet e sipërfaqeve i jep një zgjidhje të thjeshtë problemit. Linjat rezultuese të kryqëzimit të sipërfaqeve do të jenë paralele, projeksionet ballore të të cilave janë vija të drejta të barabarta me diametrin e paraleles, dhe projeksionet horizontale janë rrathë me madhësi të plotë.

Kur ndërtoni pika të linjave të kryqëzimit, së pari duhet të gjeni pika referimi dhe karakteristike. Pikat e referencës janë ato që shtrihen në meridianin kryesor (3) dhe ekuatorin (4, 5). Gjetja e këtyre pikave nuk shoqërohet me ndërtime shtesë dhe bazohet në përdorimin e pronave të anëtarësimit.

E specifikuar në Fig. 14 sipërfaqe kanë një plan të përbashkët të meridianit kryesor, boshtet e tyre ^ P1, bazat shtrihen në aeroplan P1. Pikat e referencës së vijës së kryqëzimit janë pika 3 e kryqëzimit të meridianëve kryesorë dhe pikat 4 dhe 5 të kryqëzimit të paraleleve të bazave të sipërfaqeve. Duke përdorur vetitë e anëtarësimit, duke përdorur projeksionet e njohura 32, 41 dhe 51, gjejmë 31, 42 dhe 52.

Ne gjejmë pikat e mbetura të kryqëzimit duke përdorur plane prerëse ndihmëse. Le të presim sipërfaqet α Dhe b plan horizontal g. Sepse g^ sëpata i Dhe j, pastaj sipërfaqet α Dhe b kryqëzohen me një aeroplan g, sipas paraleleve Ra Dhe Rb. Dhe që nga sëpata i Dhe j^P1, atëherë këto paralele janë projektuar mbi P1 rrathët Ra, Rb për vlerën e vërtetë dhe për P2 drejt P2a, P2b e barabartë me diametrin e paraleles.

Pikat e kryqëzimit të paraleleve 1 dhe 2 janë ato të dëshiruara. Në të vërtetë, në njërën anë të paraleles Ra Dhe Rb i përkasin të njëjtit rrafsh g dhe kryqëzohen në pikat 2 dhe 1. Nga ana tjetër, Ra Dhe Rb i përkasin sipërfaqeve të ndryshme α Dhe b. Prandaj, pikat 2 dhe 1 i përkasin njëkohësisht sipërfaqeve A Dhe b, pra janë pikat e vijës së kryqëzimit të sipërfaqeve. Projeksionet horizontale 21 dhe 11 të këtyre pikave janë në kryqëzim P1a, P1b, dhe ne ndërtojmë ato të përparme duke përdorur vetinë e anëtarësimit.

Duke përsëritur këtë teknikë, marrim numrin e kërkuar të pikëve. Planet e prerjes shpërndahen në mënyrë të barabartë në intervalin nga pika e ngritjes më të lartë të kurbës 32 në figurën kryesore.

Numri i pikave të vijës së kryqëzimit, dhe për rrjedhojë edhe planeve të prerjes, përcaktohet nga saktësia e kërkuar e konstruksioneve grafike. Projeksionet e vijës së kryqëzimit ndërtohen si skica të projeksioneve të pikave të saj. Në Fig. Rreshti 14 në pikat 4, 1, 3, 2, 5.

Shembulli i konsideruar i zgjidhjes së problemeve quhet metoda e prerjes së planeve.

1.5.4. Metoda e sferave.

Kjo teknikë përdoret kur akset e sipërfaqeve të rrotullimit kryqëzohen. Ai bazohet në atë të diskutuar në Fig. 13 rasti i kryqëzimit të sipërfaqeve koaksiale.

Në Fig. 15 tregon një kon dhe një cilindër me boshte të kryqëzuara i Dhe j. Boshtet e tyre janë paralel me rrafshin P2. Rrafshi i meridianit kryesor është i përbashkët për të dyja sipërfaqet.

) . Ndërtimi është thjeshtuar për faktin se rrafshi i meridianit kryesor është i zakonshëm. Rrathët përgjatë të cilave një sferë kryqëzon dy sipërfaqe njëkohësisht ( Ra, Rb Pb"), është projektuar në aeroplan P2 në formën e vijave të drejta ( P2a, P2b, P2b") të barabartë me diametrat e paraleleve.

Kryqëzimi i këtyre rrathëve prodhon pika (5, 6, 7, 8), (52, 62, 72, 82), të përbashkëta për të dy sipërfaqet dhe, për rrjedhojë, që i përkasin vijës së kryqëzimit. Në të vërtetë paralele Ra, Rb, Pb", nga njëra anë, i përkasin një sipërfaqeje - sferës dhe kanë pika të përbashkëta (5, 6, 7, 8), nga ana tjetër, ato i përkasin sipërfaqeve të ndryshme A Dhe b. Domethënë, pikat 5, 6, 7, 8 i përkasin të dy sipërfaqeve ose vijës së kryqëzimit të sipërfaqeve.

Për të marrë pikë të mjaftueshme për të vizatuar vijën e dëshiruar të kryqëzimit, vizatohen disa sfera.

Rrezja e sferës më të madhe ( Rmax) është e barabartë me distancën nga qendra O2 në pikën më të largët të kryqëzimit të gjeneratorëve të konturit (në këtë rast, pikat 32 dhe 42, Rmax= 0232=0242. Në këtë rast, të dy linjat e kryqëzimit të sipërfaqeve me sferën ( Ra Dhe Rb) do të kryqëzohen me njëra-tjetrën në pikat 3 dhe 4 me një rreze më të madhe të sferës nuk do të ketë kryqëzim.

Rrezja e sferës më të vogël ( Rmin) është e barabartë me distancën nga qendra 02 te gjeneratori më i largët i konturit ( Rmin=02A2). Në këtë rast, sfera do të prekë konin përgjatë perimetrit, dhe cilindri do të kryqëzohet dy herë dhe do të japë pikat 5, 6, 7, 8. Me një rreze më të vogël të sferës, nuk do të ketë kryqëzim me kon.

Tani mbetet vetëm të vizatohen linjat e lakuara të kryqëzimit të sipërfaqeve përmes pikave 1, 5, 4, 6, 1 dhe 2, 7, 3, 8, 2.

Në Fig. 15 Të gjitha ndërtimet janë bërë në një projeksion. Numri i sferave sekante, me rreze që variojnë nga Rmax përpara Rmin, varet nga saktësia e kërkuar e ndërtimit. Projeksioni horizontal i vijës së kryqëzimit është ndërtuar përgjatë vijave ballore 1, 5, 4, 6, 1 dhe 2, 7, 3, 8, 2 duke përdorur veçorinë e anëtarësimit.

1.5.5. Zbatimi i metodës së planit të prerjes
në rastet e sipërfaqeve të drejtuara me rrafsh paralelizmi.

Dy sipërfaqe përcaktohen nga pjesa gjeometrike e përcaktorit: nje (l,i) Dhe b(m,n, P1). Është e nevojshme të ndërtohen konturet e sipërfaqeve dhe të gjendet linja e kryqëzimit të tyre (Fig. 16).

Zgjidhje: 1. Ndërtoni një skicë të sipërfaqes a, n e pjesës gjeometrike të përcaktorit duket qartë se sipërfaqja a- sferë. Skicat e saj horizontale dhe ballore janë rrathë me rreze R. 2. Ndërtojmë kornizën e sipërfaqes së sunduar. Meqenëse rrafshi është paralel P1, atëherë projeksionet ballore të gjeneratave janë paralele me boshtin X12. Pasi kemi përcaktuar kornizën e një rrafshi të caktuar vijash në projeksionin ballor (katër vija në Fig. 16), ndërtojmë projeksione horizontale të këtyre gjeneratorëve. 3. Për të ndërtuar një vijë të kryqëzimit të sipërfaqeve, ne përdorim plane prerëse si ndërmjetës. Pozicioni i rrafsheve të prerjes duhet të zgjidhet i tillë që ato të kryqëzojnë sipërfaqet e dhëna përgjatë vijave që janë të lehta për t'u ndërtuar (vija të drejta ose rrathë). Kjo gjendje plotësohet nga rrafshet horizontale. Planet horizontale janë paralele me rrafshin e paralelizmit të konoidit ( P1), kështu që ata do të kalojnë konoidin në vija të drejta. Plane të tilla kryqëzojnë sferën përgjatë paraleleve.

,A" sfera përgjatë paraleles Ra. Projeksioni ballor i paraleles ( P2a) është një vijë e drejtë e barabartë me diametrin e paraleles, dhe projeksioni horizontal ( P1a) – rreth. Në një projeksion horizontal në kryqëzimin e një paraleleje P1a dhe gjenerata 1, 11" përcaktohet nga projeksioni i dy pikave të vijës së kryqëzimit sipërfaqësor A Dhe b. Bazuar në projeksionet horizontale të pikave A1 Dhe NË 1 ndërtojmë projeksionet e tyre ballore. Duke përsëritur veprimin, marrim një sërë pikash të vijës së kryqëzimit, skica e të cilave do të japë vijën e kryqëzimit.

Ekuatori dhe meridiani kryesor i sferës kufizojnë vijën në pjesë të dukshme dhe të padukshme.

1.6.Ndërtimi i zhvillimeve.

Një zhvillim i një sipërfaqeje është një figurë e marrë duke kombinuar sipërfaqen që zhvillohet me një plan.

Sipërfaqet e zhvilluara janë ato që përputhen me rrafshin pa thyerje ose palosje.

Sipërfaqet e zhvilluara përfshijnë sipërfaqet me faseta, dhe sipërfaqet e lakuara përfshijnë vetëm sipërfaqet cilindrike, konike dhe të bustit.

Zhvillimet ndahen në të sakta (zhvillimi i sipërfaqeve me faqe), të përafërta (zhvillimi i një cilindri, koni, busti) dhe i kushtëzuar (zhvillimi i një sfere dhe sipërfaqe të tjera jo të zhvillueshme).

1.6.1. Zhvillimi i sipërfaqeve të fasuara.

Kryeni një zhvillim të piramidës të specifikuar nga projeksionet në Fig. 17.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image017_5.gif" width="588" height="370">

Metoda e rrotullimit është e zbatueshme nëse skajet e prizmit janë paralele me rrafshin e projeksionit dhe dihet madhësia e vërtetë e skajeve të njërës prej bazave (Fig. 18).

Rrotullimi i një figure përfaqëson procesin e kombinimit të faqeve të një prizmi me një rrafsh, në të cilin pamja e vërtetë e secilës faqe merret duke rrotulluar rreth skajit të saj.

Kur rrotullohen, pikat A, B, C lëvizin përgjatë harqeve rrethore, të cilat përshkruhen në rrafshin P2 si vija të drejta, pingul me projeksionet e skajeve të prizmit. Kulmet e zhvillimit ndërtohen si më poshtë: nga pika A2 me rreze R1=A1B1 (gjatësia e vërtetë AB), bëjmë një prerje në drejtëzën B2B0, pingul me B2B2¢. Nga pika e ndërtuar B0 me rreze R2=B1C1 bëhet një prerje në drejtëzën C2C0^C2C2¢. Pastaj një prerje nga pika C0 me rreze R3=A1C1 në drejtëzën A2A0^A2A2¢. Marrim pikën A0. Pikat A2B0C0A0 lidhen me vija të drejta. Nga pikat A0B0C0 vizatojmë vija paralele me skajet (A2 A2¢), duke paraqitur mbi to vlerat e vërteta të skajeve anësore A2A¢, B2B¢, C2C¢. Pikat A¢B¢C¢A¢ i lidhim me segmente vijash.

1.6.2. Zhvillimi i sipërfaqeve të lakuara.

Teorikisht, është e mundur të merret një zhvillim i saktë, domethënë një zhvillim që përsërit saktësisht dimensionet e sipërfaqes që zhvillohet. Në praktikë, kur bëni vizatime, duhet të vendosni një zgjidhje të përafërt të problemit, nëse supozoni se elementët individualë të sipërfaqes përafrohen me seksione të rrafshët. Në kushte të tilla, kryerja e zhvillimeve të përafërta të një cilindri dhe koni reduktohet në ndërtimin e zhvillimeve të prizmave dhe piramidave të gdhendura (ose të përshkruara) në to.

Figura 19 tregon një shembull të kryerjes së një spastrimi kon.

Ne vendosim një piramidë poliedrike në kon. Nga pika S vizatojmë një hark me rreze të barabartë me vlerën e vërtetë të gjeneratorit të konit (S212) dhe vizatojmë kordat 1121 në hark; 2, duke zëvendësuar harqet 1121;2

Për të gjetur ndonjë pikë në zhvillim, është e nevojshme të vizatoni një gjenerator përmes një pike të caktuar (A), të gjeni vendndodhjen e kësaj gjenerate në zhvillim (2B=21B1), të përcaktoni vlerën e vërtetë të segmentit SA ose AB dhe të vizatoni atë në gjeneratën mbi zhvillimin. Çdo vijë në një sipërfaqe përbëhet nga një grup i vazhdueshëm pikash. Pasi të kemi gjetur numrin e kërkuar të pikave në skanim duke përdorur metodën e përshkruar për pikën A dhe duke gjurmuar këto pika, do të marrim një vijë në skanim. Kur ndërtohen zhvillime të sipërfaqeve cilindrike të pjerrëta, zbatohen metodat e seksionit normal dhe rrotullimit.

Çdo sipërfaqe e pazhvillueshme gjithashtu mund të përafrohet me një sipërfaqe poliedrike me çdo saktësi të caktuar. Por zhvillimi i një sipërfaqeje të tillë nuk do të jetë një figurë e vazhdueshme e sheshtë, pasi këto sipërfaqe nuk zhvillohen pa thyerje dhe palosje.

1.6.3. Ndërtimi i një rrafshi tangjent
në sipërfaqe në një pikë të caktuar.

Për të ndërtuar një plan tangjent me sipërfaqen në një pikë të caktuar (pika A në figurën 20), është e nevojshme të vizatohen dy kthesa arbitrare a dhe b në sipërfaqe përmes pikës A, pastaj në pikën A të ndërtohen dy tangjente t dhe t¢ te kurbat a dhe b. Tangjentet do të përcaktojnë pozicionin e planit tangjent a në sipërfaqen b.

Në figurën 21 është ndërtuar sipërfaqja e rrotullimit a. Kërkohet të vizatohet një plan tangjent në pikën A, që i përket a.

Për të zgjidhur problemin, vizatoni një paralele a përmes pikës A dhe ndërtoni një tangjente t me të në pikën A (t1;t2).

Le të marrim meridianin si lakoren e dytë që kalon në pikën A. Nuk është paraqitur në Fig. 21. Zgjidhja do të thjeshtohet nëse meridiani, së bashku me pikën A, rrotullohen rreth boshtit derisa të përputhet me meridianin kryesor. Në këtë rast, pika A do të marrë pozicionin A¢. Më pas, përmes pikës A¢, vizatoni tangjenten t¢¢ në meridianin kryesor derisa të kryqëzohet me boshtin në pikën B. Pasi ta keni kthyer meridianin në pozicionin e tij të mëparshëm, vizatoni tangjenten t¢ në këtë meridian përmes pikës A dhe pikën B të fiksuar në boshti i rrotullimit (t1¢;t2 ¢). Tangjentet t dhe t¢ do të përcaktojnë rrafshin tangjente.

Kur vizatoni një rrafsh tangjente në një sipërfaqe të rregulluar, një nga tangjentet që përcakton planin tangjent mund të merret si gjenerator t i sipërfaqes (Fig. 22). Si e dyta, ju mund të merrni tangjenten t¢ në paralele (nëse është cilindër ose kon) ose tangjenten me çdo kurbë të tërhequr përmes një pike të caktuar të një plani konoid, cilindrroid ose të zhdrejtë. Një kurbë mund të ndërtohet lehtësisht duke prerë sipërfaqen me një plan projektues që kalon nëpër një pikë të caktuar.

2.1. Qëllimi i punës:

Përforconi materialin e programit në rubrikat "Sipërfaqja" dhe "Zhvillimet" dhe fitoni aftësi në zgjidhjen e problemeve të ndërtimit të skicave, linjave të kryqëzimit dhe zhvillimeve të sipërfaqeve.

2.2. Ushtrimi:

Vizatimi përmban dy sipërfaqe të kryqëzuara. Sipërfaqet përcaktohen me projeksione të koordinuara të pjesës gjeometrike të përcaktorit.

E nevojshme:

Duke përdorur koordinatat e pjesës gjeometrike të përcaktorit, vizatoni projeksionet e përcaktorit në vizatim, lidhni pikat e nevojshme për të marrë figurat gjeometrike të përcaktorit;

Të ndërtojë skica të sipërfaqeve të dhëna në bazë të projeksioneve të pjesës gjeometrike të përcaktorit;

Ndërtoni një vijë të kryqëzimit të sipërfaqeve;

Ndërtoni një zhvillim të njërës prej sipërfaqeve duke vizatuar një vijë kryqëzimi (siç udhëzohet nga mësuesi);

Vizatoni një plan tangjent në njërën nga sipërfaqet në pikën e treguar nga mësuesi;

Bëni një plan urbanistik të sipërfaqeve të kryqëzuara.

Puna kryhet fillimisht në letër grafik A2, pastaj në letër A2 Whatman. Vizatimi duhet të hartohet në përputhje me GOST ESKD. Mbishkrimi kryesor është bërë sipas formularit 1.

Gjatë kryerjes së punës përdoren ligjërata, materiale praktike dhe literaturë e rekomanduar.

Opsionet për detyra janë dhënë në shtojcë.

2.3. Rendi i detyrës.

Studenti merr një version të detyrës që korrespondon me numrin në listë në ditarin e grupit dhe punon në detyrë për katër javë.

Një javë pas marrjes së detyrës, nxënësi i paraqet mësuesit ndërtimet e pjesës gjeometrike të përcaktorëve dhe kontureve të sipërfaqeve të dhëna, të plotësuara në letër grafik në format A2.

Pas dy javësh, paraqitet një vizatim, i plotësuar nga ndërtimi i një linje të kryqëzimit të sipërfaqeve dhe një rrafshi tangjent.

Gjatë javës së tretë, puna në letër grafik A4 përfundon duke ndërtuar një zhvillim të njërës prej sipërfaqeve dhe duke vizatuar mbi të vijën e kryqëzimit të sipërfaqeve.

Gjatë javës së katërt, përfundon një plan urbanistik i sipërfaqeve të kryqëzuara.

Puna që do të kryhet i paraqitet mësuesit që zhvillon mësimin praktik. Në bazë të ndërtimit të përfunduar në letër grafik, kontrollohet asimilimi i materialit të studiuar nga studenti.

Kur zgjidhet problemi i pozicionit të ndërtimit të një linje të kryqëzimit të sipërfaqeve, përdoret metoda e seksionit. Planet ose sferat prerëse zgjidhen si "ndërmjetës". Duhet t'i kushtoni vëmendje rasteve të veçanta të diskutuara më sipër (metoda e prerjes së planeve dhe metoda e sferave), të cilat japin zgjidhjen më të thjeshtë të problemit. Nëse është e nevojshme, përdorni një kombinim të këtyre metodave.

Gjatë kryerjes së një zhvillimi sipërfaqësor, është e nevojshme të studiohen ndërtimet e kryera me metodën e prerjes normale dhe metodën e rrotullimit, si dhe metodat për ndërtimin e zhvillimeve të përafërta dhe të kushtëzuara dhe të përdoret metoda më racionale në punë.

Kur vizatoni një rrafsh tangjente në një sipërfaqe në një pikë të caktuar, mjafton të ndërtoni dy vija të lakuara në sipërfaqen që kalon përmes pikës dhe të vizatoni tangjente në këto vija në një pikë të caktuar, duke kujtuar se projektohet një tangjente në një vijë të lakuar të sheshtë. nga një tangjente me projeksionin e tij.

LITERATURA.

1. Gjeometria e Vinitsky. M.: Shkolla e lartë, 1975.

2. Gjeometria e Gordonit. M.: Nauka, 1975.

3. Sipërfaqet. Udhëzime metodike. /Përpiluar, / Saratov, SSTU, 1990.

OPSIONET E DETYRAVE

Konceptet dhe përkufizimet bazë

Sipërfaqja si objekt i kërkimit inxhinierik mund të specifikohet në këto mënyra kryesore: a) ekuacion; b) kornizë; c) përcaktoni me xhel; d) një ese.

Gjeometria analitike merret me përpilimin e ekuacioneve të sipërfaqes; ai e konsideron sipërfaqen si një grup pikash, koordinatat e të cilave plotësojnë një ekuacion të formës F (x, y, z) = 0.

Në gjeometrinë përshkruese, sipërfaqja në vizatim specifikohet nga një kornizë, një përcaktues, një skicë.

Me metodën e kornizës së telit, sipërfaqja përcaktohet nga një grup i një numri të caktuar vijash që i përkasin sipërfaqes. Si rregull, linjat që formojnë kornizën janë një familje vijash që rezultojnë nga kryqëzimi i një sipërfaqeje me një numër planesh paralele. Kjo metodë përdoret në projektimin e trupave të makinave, në ndërtimin e avionëve dhe anijeve, në topografi, etj.

Një sipërfaqe e formuar nga një vijë që lëviz në hapësirë ​​mund të specifikohet në një vizatim nga një përcaktues i sipërfaqes.

Përcaktori i një sipërfaqeje është një grup figurash gjeometrike dhe lidhje midis tyre. duke ju lejuar të formoni pa mëdyshje një sipërfaqe në hapësirë ​​dhe ta përcaktoni atë në vizatim.

Metoda e formimit të një sipërfaqeje nga një vijë që lëviz në sipërfaqe quhet kinematike.

Një vijë që formon një sipërfaqe të caktuar gjatë lëvizjes së saj në hapësirë ​​quhet gjenerator (gjeneruese).

Gjenerata, kur lëviz, mund të ndryshojë formën e saj ose të mbetet e pandryshuar. Ligji i lëvizjes së gjeneratorit, në veçanti, mund të specifikohet nga linja fikse mbi të cilat mbështetet gjeneratori gjatë lëvizjes së tij. Këto rreshta quhen udhërrëfyes.

Në vizatim, kur specifikohet një sipërfaqe me përcaktuesin e saj, ndërtohen projeksionet e vijave udhëzuese dhe tregohet se si janë vendosur projeksionet e linjës gjeneratorike. Duke ndërtuar një numër pozicionesh të linjës gjeneratorike, marrim një kornizë sipërfaqësore. Një shembull i formimit të sipërfaqes duke përdorur metodën kinematike është paraqitur në Fig. 96.

Si gjenerator i kësaj sipërfaqeje merret një kurbë e rrafshët. Ligji i lëvizjes së gjeneratorit jepet nga dy udhëzues m dhe n dhe aeroplan A. Formuese A rrëshqet përgjatë udhëzuesve, duke mbetur paralel me aeroplanin gjatë gjithë kohës a.

Ka pjesë gjeometrike dhe algoritmike të përcaktorit të sipërfaqes. Përcaktori ka shënimin e mëposhtëm: F(G) [A], Ku F- përcaktimi i sipërfaqes; (G)- pjesa gjeometrike e përcaktorit, rendit të gjitha figurat gjeometrike të përfshira në formimin e sipërfaqes dhe caktimin e saj në vizatim; [A] është pjesa algoritmike e përcaktorit - algoritmi i formimit të sipërfaqes është shkruar në të.

Përcaktori i një sipërfaqeje përcaktohet duke analizuar metodat e formimit të sipërfaqes ose vetitë themelore të saj. Në përgjithësi, e njëjta sipërfaqe mund të formohet në disa mënyra, dhe për këtë arsye mund të ketë disa përcaktues. Zakonisht, nga të gjitha metodat për formimin e një sipërfaqeje, zgjidhet më e thjeshta. Për shembull, sipërfaqja anësore e një cilindri rrethor të djathtë mund të formohet në katër mënyra (Fig. 97):

a) si gjurmë e lënë në hapësirën e një vije A kur rrotullohet rreth një boshti m(Fig. 97, a).

Përcaktuesi i sipërfaqes - Ф (а,m) [A 1 ]:

b) si gjurmë e lënë në hapësirë ​​nga një vijë e lakuar b kur rrotullohet rreth një boshti m(Fig. 97.6).

Përcaktuesi i sipërfaqes - Ф (b,m) [A 2];

c) si një gjurmë e lënë në hapësirë ​​nga një rreth Me kur qendra e tij shkon përpara RRETH përgjatë boshtit m. në këtë rast, rrafshi i rrethit mbetet pingul me këtë bosht gjatë gjithë kohës (Fig. 97, c).

Përcaktuesi i sipërfaqes - Ф (а, m) [A 3 ]:

d) si një mbështjellës i të gjitha pozicioneve të një sipërfaqe sferike R rreze konstante, qendra e së cilës lëviz përgjatë boshtit m(Fig. 97, d).

Përcaktuesi i sipërfaqes - Ф (p,m) [A 4].

Më e thjeshta nga ato që konsiderohen është përcaktorja Ф (а,m) [A 1 ].

Përcaktimi i një sipërfaqeje në një vizatim me një kornizë ose një përcaktues nuk siguron gjithmonë qartësinë e imazhit të saj. Në disa raste, është më e përshtatshme të përcaktohet sipërfaqja si një kontur.

Skica e një sipërfaqeje është projeksioni i një sipërfaqe cilindrike të projektuar që mbështjell një sipërfaqe të caktuar.

Duke përdorur një ekuacion të njohur të një sipërfaqeje ose përcaktues të saj, ose skicë, është gjithmonë e mundur të ndërtohet një skelet i një sipërfaqeje.

Shumëllojshmëria e sipërfaqeve kërkon sistemimin e tyre. Për sipërfaqet e formuara me metodë kinematike, sistemimi bazohet në përcaktuesin e tyre.

Në varësi të llojit të gjeneratorit, sipërfaqet ndahen në dy klasa:

klasa 1 - sipërfaqe të parregulluara (gjenerator - vijë e lakuar);

klasa 2 - sipërfaqe të rregulluara (gjenerator - vijë e drejtë).

Sipërfaqe të parregulluara

Sipërfaqet e parregulluara ndahen në sipërfaqe me gjenerator të tipit të ndryshueshëm (duke ndryshuar formën e saj gjatë lëvizjes) dhe sipërfaqe me gjenerator të tipit konstant.

Sipërfaqe të parregulluara me gjenerator të ndryshueshëm

Sipërfaqet jolineare me një gjenerator të tipit të ndryshueshëm përfshijnë:

1. Sipërfaqja e përgjithshme . Një sipërfaqe e tillë formohet duke lëvizur një gjenerator të tipit të ndryshores a përgjatë një udhëzuesi të lakuar t (Fig. 98).

2. Sipërfaqja e kanalit . Kjo sipërfaqe formohet nga lëvizja e një vije të rrafshët të mbyllur, rrafshi i së cilës është i orientuar në një mënyrë të caktuar në hapësirë ​​(Fig. 99).

Zona e kufizuar nga gjeneratori ndryshon në mënyrë monotonike ndërsa lëviz përgjatë udhëzuesit. Për shembull, një sipërfaqe kanali ka një seksion tranzicioni që lidh dy tubacione me forma të ndryshme.

3. Sipërfaqja ciklike - një rast i veçantë i sipërfaqes së kanalit, kur gjeneratori është një rreth, rrezja e të cilit ndryshon në mënyrë monotonike (Fig. 100).

Një shembull i një sipërfaqe ciklike do të ishte trupi i një instrumenti muzikor frymor.

Sipërfaqe të parregulluara me një gjenerator konstant

Sipërfaqet jolineare me një gjenerator konstant përfshijnë:

1.Sipërfaqja e përgjithshme . Një sipërfaqe e tillë mund të formohet nga lëvizja e një linje të lakuar arbitrare A përgjatë udhërrëfyesit m(Fig. 101).

2. Sipërfaqja tubulare . Gjenerata e sipërfaqes tubulare është një rreth me rreze konstante. Rrafshi i rrethit gjatë lëvizjes së tij mbetet pingul me udhëzuesin (Fig. 102).

Një shembull i një sipërfaqeje tubulare do të ishte sipërfaqja e një teli rrethor.

Sipërfaqet e rregulluara

Sipërfaqet e drejtuara formohen nga lëvizja e një vije të drejtë (gjeneratori) sipas një ligji të caktuar. Në varësi të ligjit të lëvizjes së gjeneratorit, marrim sipërfaqe të ndryshme të rregulluara.

Sipërfaqe të rregulluara me tre udhërrëfyes

Sipërfaqet e rregulluara me tre udhëzues përfshijnë:

1. Sipërfaqja e një cilindri të zhdrejtë . Një sipërfaqe e tillë mund të formohet nga lëvizja e një gjeneratori drejtvizor përgjatë tre udhëzuesve të lakuar (Fig. 103).

2. Sipërfaqja e një cilindrike dyfish të zhdrejtë . Kjo sipërfaqe formohet kur dy kthesa udhëzuese dhe e treta është një vijë e drejtë (Fig. 104).

3. Sipërfaqja e një konoidi dyfish të zhdrejtë Rezulton kur njëri nga udhëzuesit është i lakuar, dhe dy të tjerët janë vija të drejta (Fig. 105).

4.Sipërfaqja e një hiperboloidi me një fletë formohet kur udhëzuesit janë tre vija të drejta të kryqëzuara paralele me një rrafsh. Shembull. Gjeni projeksionet e pikave që mungojnë A" Dhe NË" që i përket sipërfaqes së një hiperboloidi me një fletë (Fig. 106).

P e r e n t Për të përcaktuar projeksionin e munguar të një pike, përdorim shenjën se ajo i përket një sipërfaqeje: pika i përket sipërfaqes; nëse i përket ndonjë linje të kësaj sipërfaqeje.

Për një sipërfaqe të caktuar të rregulluar, gjatë ndërtimit të projeksioneve të gjeneratorit, fillimisht specifikohet projeksioni i saj horizontal dhe më pas gjendet ai ballor. Prandaj, përmes projeksionit të njohur horizontal të pikës A" realizojmë projeksionin e gjeneratrit a" 2, përcaktojmë projeksionin e saj ballor nje 2", në të cilën përgjatë vijës së komunikimit gjejmë projeksionin e dëshiruar ballor të pikës A".

Për të përcaktuar projeksionin horizontal që mungon të një pike NË" Le të kryejmë ndërtimet e mëposhtme:

1. Ndërtoni një seri gjeneratorësh të një sipërfaqeje të caktuar a 1,a 2,a 3,a 4.

2. Në rrafshin ballor të projeksioneve përmes një projeksioni të njohur të një pike NË" le të vizatojmë një projeksion të vijës ndihmëse b" që i përkasin një sipërfaqeje të caktuar dhe që kryqëzojnë gjeneratorët.

3. Bazuar në projeksionet ballore të njohura të pikave të kryqëzimit të projeksionit të vijës b" me gjeneratorë një 1", një 2", një 3", një 4" Le të gjejmë projeksionet horizontale të këtyre pikave. Duke i lidhur me një vijë të lëmuar, do të ndërtojmë një projeksion horizontal të vijës ndihmëse b" në të cilën, përgjatë vijës së komunikimit, gjejmë projeksionin e dëshiruar të pikës NË".

Sipërfaqet e rregulluara me tre udhërrëfyes përfshijnë, për shembull, sipërfaqet e helikave të anijeve dhe helikave të avionëve. Në arkitekturë dhe ndërtim, ato përdoren në ndërtimin e ndërtesave të brendshme për stadiume, tregje dhe stacione treni.

Sipërfaqe të rregulluara me dy udhërrëfyes dhe një rrafsh paralelizmi (sipërfaqet katalanase)

Sipërfaqet e rregulluara me dy udhërrëfyes të planit paralel përfshijnë:

1. Sipërfaqja e një cilindri të drejtë . Një sipërfaqe e tillë mund të formohet nga lëvizja e një gjeneratori drejtvizor përgjatë dy udhëzuesve m Dhe n në rastin kur ato janë vija të lakuara të lëmuara dhe njëra prej tyre është një kurbë e sheshtë, rrafshi i së cilës β pingul me rrafshin e paralelizmit a (n ⊂ β, β ⊥ a)(Fig. 107).

2. Sipërfaqja e një konoidi të drejtë . Kjo sipërfaqe fitohet kur një udhëzues është një vijë e lakuar, dhe e dyta është një vijë e drejtë dhe është pingul me rrafshin e paralelizmit.

a (n ⊥ a)(Fig. 108). Sipërfaqja e një konoidi të drejtë përdoret në inxhinierinë hidraulike për të formuar sipërfaqen e mbështetësve të shtyllave të urës.

3. . Një sipërfaqe e tillë formohet kur dy udhërrëfyes kalojnë vija të drejta (Fig. 109). Sipërfaqja e një rrafshi të zhdrejtë përdoret në praktikën inxhinierike dhe ndërtimore për të formuar sipërfaqet e shpateve, argjinaturave, hekurudhave dhe autostradave, argjinaturave, strukturave hidraulike në kryqëzime me kënde të ndryshme pjerrësie.

Sipërfaqe të rregulluara me një udhëzues (torsi)

Torsos janë sipërfaqe të zhvillueshme - ato mund të kombinohen me një aeroplan pa palosje ose grisje. Sipërfaqet e torzës përfshijnë:

1. Sipërfaqja e brinjëve të kthimit . Kjo sipërfaqe formohet nga lëvizja e një gjeneratori drejtvizor, në të gjitha pozicionet e saj tangente me lakoren hapësinore, të quajtur buza e kthimit.

2. Sipërfaqja cilindrike . Kjo sipërfaqe formohet nga lëvizja e një gjeneratori drejtvizor, që rrëshqet përgjatë një udhëzuesi të lakuar dhe mbetet paralel me gjendjen e tij origjinale (Fig. 110).

3. Sipërfaqe konike . Kjo sipërfaqe formohet nga lëvizja e një gjenerate drejtvizore, e cila rrëshqet përgjatë një udhëzuesi të lakuar dhe kalon në të gjitha pozicionet e saj në të njëjtën pikë fikse. S(Fig. 111).

Sipërfaqet e revolucionit

Sipërfaqja e rrotullimit është një sipërfaqe e përftuar duke rrotulluar çdo gjenerator rreth një vije të drejtë fikse - boshti i rrotullimit të sipërfaqes.

Planet pingul me boshtin e rrotullimit kryqëzojnë sipërfaqen përgjatë rrathëve - paralele. Paralelja më e vogël quhet grykë, më e madhja - ekuatori.

Pa Fig. 112 tregon sipërfaqen e rrotullimit. Këtu gjeneratori është një kurbë e sheshtë ABCD, boshti i rrotullimit i ndodhet në të njëjtin rrafsh me këtë kurbë.

Vijat përgjatë të cilave aeroplanët që kalojnë nëpër boshtin e rrotullimit e kryqëzojnë sipërfaqen quhen meridianë. Çdo meridian ndahet në dy vija simetrike në lidhje me boshtin e rrotullimit, të quajtura gjysmëmeridiane. Meridiani i vendosur në një rrafsh paralel me rrafshin ballor të projeksioneve quhet meridian kryesor.

Karakteristikat themelore të sipërfaqes së revolucionit:

1. Një segment meridian midis dy pikave në një sipërfaqe është distanca më e shkurtër midis këtyre pikave.

2. Të gjithë meridianët janë të barabartë me njëri-tjetrin.

3. Secila nga paralelet e sipërfaqes së rrotullimit pret meridianët në kënde të drejta.

4. Secila nga normalet në sipërfaqen e rrotullimit pret boshtin e rrotullimit të sipërfaqes.

Është i përshtatshëm për të përcaktuar sipërfaqet e rrotullimit në një vizatim me skica dhe projeksione të linjave dhe pikave të tij karakteristike. Skica ballore e sipërfaqes së rrotullimit është projeksioni ballor i meridianit kryesor, dhe skica horizontale është projeksioni horizontal i ekuatorit.

Le të shqyrtojmë llojet kryesore të sipërfaqeve të revolucionit:

1. Cilindri i rrotullimit . Kjo sipërfaqe mund të merret duke rrotulluar një vijë të drejtë paralele me boshtin e rrotullimit i(Fig. 113).

2. Koni i rrotullimit . Sipërfaqja e një koni rrotullues mund të merret duke rrotulluar një vijë të drejtë që kryqëzon boshtin e rrotullimit i(Fig. 114).

3. Sferë . Gjenerata e një sfere është një rreth qendra e të cilit RRETH të vendosura në boshtin e rrotullimit i(Fig. 115).

4. Top. Gjenerata e një torusi është një rreth ose harku i tij. Boshti i rrotullimit i shtrihet në rrafshin e këtij rrethi, por nuk kalon nga qendra e tij (Fig. 116, 117).

Ka torus të hapur (unazë rrethore) (Fig. 116, 117, a), të mbyllura (Fig. 117, b), vetë-ndërprerë (Fig. 117, c, d).

Gjenerata për një torus të hapur (Fig. 116,117,a) dhe të mbyllur (Fig. 117,6) është një rreth, për një torus vetë-ndërprerës (Fig. 117, c, d) - një hark rrethi.

5. Paraboloid i rrotullimit . Një sipërfaqe e tillë formohet duke rrotulluar një parabolë rreth boshtit të saj (Fig. 118). Sipërfaqja e paraboloidit përdoret në antenat parabolike dhe pasqyrat reflektore.

6. Hiperboloidi i rrotullimit . Kjo sipërfaqe formohet duke rrotulluar një hiperbolë rreth një boshti. Të dallojë me zgavër të dyfishtë Dhe hiperboloid i revolucionit me një fletë. Për një hiperboloid me dy fletë të rrotullimit, boshti i rrotullimit është boshti real i hiperbolës (Fig. 119),

për një hiperboloid me një fletë (Fig. 120) - boshti imagjinar i tij. Një hiperboloid i rrotullimit me një fletë mund të formohet gjithashtu duke rrotulluar një vijë të drejtë nëse gjeneratori dhe boshti i rrotullimit janë vija të drejta të kryqëzuara.

Pozicioni i një pike në sipërfaqen e rrotullimit përcaktohet duke përdorur një rreth që kalon nëpër këtë pikë në sipërfaqen e rrotullimit (shih Fig. 114-116). Në rastin e sipërfaqeve të rregulluara të rrotullimit (cilindër, kon), është e mundur të përdoren gjeneratorë drejtvizor për këtë qëllim (shih Fig. 113,114).

Sipërfaqe të rregulluara spirale

Një sipërfaqe e rregulluar spirale quhet sipërfaqe. formuar nga lëvizja e vidhave të një vije të drejtë.

Lëvizja spirale e gjeneratorit AB karakterizohet nga rrotullimi i tij rreth një boshti i dhe lëvizje të njëkohshme përkthimore paralele me këtë bosht (Fig. 121). Ligji i lëvizjes së gjeneratorit përcaktohet nga lloji i spirales (drejtimi, diametri dhe hapi i tij) dhe natyra e lëvizjes së gjeneratorit përgjatë udhëzuesit.

Në praktikë, më së shpeshti hasen sipërfaqe të rregulluara spirale me hapje konstante të vijës udhëzuese. Sipërfaqe të tilla spirale quhen helikoidë.

Nëse këndi i prirjes së gjeneratorit ndaj boshtit të rrotullimit është 90°, atëherë helikoidi quhet i drejtë nëse ky kënd është arbitrar, i ndryshëm nga 0 dhe 90°, atëherë helikoidi quhet i zhdrejtë; Helikoidet e drejta dhe të zhdrejta mund të jenë të hapura ose të mbyllura. Për një helikoid të hapur, gjenerata dhe boshti i rrotullimit janë vija të drejta kryqëzuese, ndërsa për një helikoid të mbyllur, vija të drejta kryqëzuese. Në Fig. 121 u ndërtua një kornizë e një helikoidi të mbyllur drejt.

Sipërfaqet spirale përdoren gjerësisht në teknologji. Vida, susta, shpuese, traversa për lëvizjen e materialeve me shumicë, shkallët spirale - të gjitha kanë sipërfaqe spirale.

Oriz. 3.15

Sipërfaqet e rrotullimit kanë një aplikim shumë të gjerë në të gjitha fushat e teknologjisë. Sipërfaqja e rrotullimit është një sipërfaqe që rezulton nga rrotullimi i një linje të caktuar gjeneruese. 1 rreth një linje fikse i- boshti i rrotullimit të sipërfaqes (Fig. 3.15). Në vizatim, sipërfaqja e rrotullimit specifikohet nga skica e saj. Skica e një sipërfaqeje janë linjat që kufizojnë zonat e projeksioneve të saj. Gjatë rrotullimit, çdo pikë e gjeneratorit përshkruan një rreth, rrafshi i të cilit është pingul me boshtin. Prandaj, vija e kryqëzimit të sipërfaqes së rrotullimit me një plan pingul me boshtin është një rreth. Rrathë të tillë quhen paralele (Fig. 3.15). Paralelja e rrezes më të madhe quhet ekuator, më e vogla - fyt. Plani që kalon nëpër boshtin e sipërfaqes së rrotullimit quhet meridional, vija e kryqëzimit të tij me sipërfaqen e rrotullimit quhet meridian. Meridiani i shtrirë në një rrafsh paralel me rrafshin e projeksioneve quhet meridian kryesor. Në praktikën e bërjes së vizatimeve më së shpeshti hasen këto sipërfaqe të revolucionit: cilindrike, konike, sferike, torus.

Oriz. 3.16

Sipërfaqja cilindrike e revolucionit. Si udhërrëfyes A duhet të marrë një rreth, dhe si një vijë të drejtë b- boshti i(Fig. 3.16). Pastaj gjejmë se gjeneratori l, paralel me boshtin i, rrotullohet rreth kësaj të fundit. Nëse boshti i rrotullimit është pingul me rrafshin horizontal të projeksioneve, atëherë në P 1 sipërfaqe cilindrike është projektuar në një rreth dhe mbi P 3 - në një drejtkëndësh. Meridiani kryesor i një sipërfaqe cilindrike janë dy vija paralele.

Figura 3.17

Sipërfaqja konike e rrotullimit fitojmë duke rrotulluar gjeneratën drejtvizore l rreth aksit i. Në këtë rast, gjenerata l kalon boshtin i në pikën S, i quajtur maja e konit (Fig. 3.17). Meridiani kryesor i një sipërfaqeje konike janë dy vija të drejta të kryqëzuara. Nëse marrim një segment të drejtëz si gjenerator dhe boshti i konit është pingul P 1, pastaj në P 1 sipërfaqe konike është projektuar në një rreth dhe mbi P 2 - në një trekëndësh.

Sipërfaqja sferikeështë formuar për shkak të rrotullimit të rrethit rreth një boshti që kalon nga qendra e rrethit dhe shtrihet në rrafshin e tij (Fig. 3.18). Ekuatori dhe meridianët e një sipërfaqeje sferike janë rrathë të barabartë. Prandaj, kur projektohet në mënyrë ortogonale në çdo rrafsh, sipërfaqja sferike projektohet në rrathë.

Oriz. 3.18 Kur një rreth rrotullohet rreth një boshti që shtrihet në rrafshin e këtij rrethi, por nuk kalon nga qendra e tij, formohet një sipërfaqe e quajtur torus (Fig. 3.19).

Oriz. 3.19

11. PROBLEMET POZICIONALE TË PËRKATËSISË TË NJË PIKE, VJESHTA E NJË SIPËRFAQJE. Nën pozicion i referohet problemeve, zgjidhja e të cilave na lejon të marrim një përgjigje nëse një element (pikë) ose nëngrup (vijë) i përket një grupi (sipërfaqeje). Detyrat e pozicionit përfshijnë gjithashtu detyra për identifikimin e elementeve të përbashkëta që u përkasin figurave të ndryshme gjeometrike. Grupi i parë i problemeve mund të kombinohet nën emrin e përgjithshëm të problemit të anëtarësimit. Këto, në veçanti, përfshijnë detyra për të përcaktuar: 1) nëse një pikë i përket një sipërfaqeje; Ky grup përmban edhe tre lloje problemash: 1) në kryqëzimin e një linje me një vijë; Përkatësia e një pike në një sipërfaqe . Pika kryesore kur zgjidhni problemet për këtë opsion aksesor është si më poshtë: : një pikë i përket një sipërfaqeje nëse i përket ndonjë linje të asaj sipërfaqeje. Në këtë rast, linjat duhet të zgjidhen sa më të thjeshta që të jetë e mundur për ta bërë më të lehtë ndërtimin e projeksioneve të një vije të tillë, pastaj përdorni faktin që projeksionet e një pike të shtrirë në sipërfaqe duhet t'i përkasin të njëjtave projeksione të vijës së kësaj. sipërfaqe . Një shembull i zgjidhjes së këtij problemi është paraqitur në figurë.. Këtu ka dy zgjidhje, pasi mund të vizatohen dy vija të thjeshta që i përkasin sipërfaqes konike. Në rastin e parë, vizatohet një vijë e drejtë - gjenerata e sipërfaqes konike S1 në mënyrë që të kalojë nëpër çdo projeksion të caktuar të pikës C. Në këtë mënyrë supozojmë se pika C i përket gjeneratës së sipërfaqes konike S1, dhe për rrjedhojë vetë sipërfaqja konike. Në këtë rast, projeksionet me të njëjtin emër të pikës C duhet të shtrihen në projeksionet përkatëse të kësaj gjenerate. te gjenerata e përvijimit). Ky fakt është i njohur nga një kurs i gjeometrisë shkollore: kur një kon rrethor kryqëzohet me një rrafsh paralel me bazën e tij, ose pingul me boshtin e tij, do të fitohet një rreth në prerje tërthore. Metoda e dytë e zgjidhjes ju lejon të gjeni projeksionin e munguar të pikës C, të specifikuar nga projeksioni i saj ballor, që i përket sipërfaqes së konit dhe që përkon në vizatim me boshtin e rrotullimit të konit, pa ndërtuar një projeksion të tretë. Gjithmonë duhet të keni parasysh nëse një pikë e shtrirë në sipërfaqen e një koni është e dukshme apo e padukshme (nëse nuk është e dukshme, projeksioni përkatës i pikës do të mbyllet në kllapa). Është e qartë se në problemin tonë pika C i përket sipërfaqes, pasi projeksionet e pikës i përkasin projeksioneve të vijave me të njëjtin emër të përdorur për zgjidhjen si në metodën e parë ashtu edhe në atë të dytë të zgjidhjes. Që i përkasin një linje sipërfaqësore. Pika kryesore: një vijë i përket një sipërfaqeje nëse të gjitha pikat e vijës i përkasin një sipërfaqeje të caktuar. Kjo do të thotë që në këtë rast të anëtarësimit, problemi nëse një pikë i përket një sipërfaqeje duhet të zgjidhet disa herë. Torema Monge: nëse dy sipërfaqe të rendit të dytë përshkruhen rreth një e treta ose brendashkruhen në të, atëherë vija e kryqëzimit të tyre ndahet në dy kthesa të rendit të dytë, rrafshet e të cilave kalojnë nëpër vijën e drejtë që lidh pikat e kryqëzimit të rrethit tangjentë.

12. SEKSIONET E KONIT TË Rrotullimit SIPAS RROFVE ​​TË PROJEKTIMIT . Gjatë kryqëzimit të sipërfaqeve trupa sipas planeve projektuese, një projeksion i seksionit përkon me projeksionin e rrafshit projektues. Një kon mund të ketë pesë forma të ndryshme të prerjes kryq. Trekëndëshi- nëse rrafshi i prerjes e pret konin përmes kulmit përgjatë dy gjeneratorëve. Rretho- nëse rrafshi e pret konin paralel me bazën (pingul me boshtin). Elipsa- nëse rrafshi i pret të gjitha gjeneratat në një kënd të caktuar. Parabola- nëse rrafshi është paralel me një nga gjeneratat e konit. Hiperbola- nëse rrafshi është paralel me boshtin ose dy gjeneratorë të konit. Seksion i një sipërfaqe nga një aeroplanështë një figurë e sheshtë e kufizuar nga një vijë e mbyllur, të gjitha pikat e së cilës i përkasin si rrafshit të prerjes ashtu edhe sipërfaqes. Kur një plan kryqëzon një shumëkëndësh në seksion, fitohet një shumëkëndësh me kulme të vendosura në skajet e shumëkëndëshit. Shembull. Ndërtoni projeksione të drejtëzës L të prerjes së sipërfaqes së një koni rrethor të drejtë ω me rrafshin β. Zgjidhje. Seksioni prodhon një parabolë, kulmi i së cilës është projektuar në pikën A (A′, A′′). Pikat A, D, E të vijës së kryqëzimit janë ekstreme. Në Fig. ndërtimi i vijës së dëshiruar të kryqëzimit kryhet duke përdorur plane horizontale të nivelit αi, të cilat kryqëzojnë sipërfaqen e konit ω përgjatë paraleleve pi, dhe rrafshin β - përgjatë segmenteve të linjave të drejta të projektuara ballore. Linja e kryqëzimit L është plotësisht e dukshme në aeroplanë.

№13.Sipërfaqet koaksiale. Metoda e sferave koncentrike.

Kur ndërtohet një linjë e kryqëzimit të sipërfaqeve, veçoritë e kryqëzimit të sipërfaqeve koaksiale të rrotullimit lejojnë përdorimin e sferave koaksiale me këto sipërfaqe si sipërfaqe ndihmëse ndërmjetëse. Sipërfaqet koaksiale të rrotullimit përfshijnë sipërfaqet që kanë një bosht të përbashkët rrotullimi. Në Fig. 134 tregon një cilindër dhe sferë koaksiale (Fig. 134, a), një kon dhe sferë koaksiale (Fig. 134, b) dhe një cilindër dhe kon koaksial (Fig. 134, c)

Sipërfaqet koaksiale të rrotullimit gjithmonë kryqëzohen përgjatë rrathëve, rrafshet e të cilëve janë pingul me boshtin e rrotullimit. Ka aq shumë prej këtyre rrathëve të përbashkët për të dyja sipërfaqet, sa ka edhe pikat e kryqëzimit të vijave konturore të sipërfaqeve. Sipërfaqet në Fig. 134 kryqëzohen përgjatë rrathëve të krijuar nga pikat 1 dhe 2 të kryqëzimit të meridianëve të tyre kryesorë. Një sferë ndërmjetëse ndihmëse e pret secilën nga sipërfaqet e dhëna përgjatë një rrethi, në kryqëzimin e të cilit fitohen pika që i përkasin sipërfaqes tjetër, pra edhe vijës së kryqëzimit. Nëse akset e sipërfaqeve kryqëzohen, atëherë sferat ndihmëse tërhiqen nga një qendër - pika e kryqëzimit të boshteve. Në këtë rast, vija e kryqëzimit të sipërfaqeve ndërtohet duke përdorur metodën e sferave koncentrike ndihmëse. Kur ndërtohet një linjë e kryqëzimit të sipërfaqeve për të përdorur metodën e sferave koncentrike ndihmëse, duhet të plotësohen kushtet e mëposhtme: 1) kryqëzimi i sipërfaqeve të rrotullimit 2) boshtet e sipërfaqeve - vijat e kryqëzuara - janë paralele me njërën prej tyre plane projeksioni, d.m.th. ekziston një plan i përbashkët simetrie. Në mënyrë tipike, metoda e sferës ndihmëse përdoret në kombinim me metodën e planit të prerjes ndihmëse. Në Fig. 135, u ndërtua një vijë kryqëzimi i dy sipërfaqeve konike të rrotullimit me akset e rrotullimit që kryqëzohen në rrafshin ballor të nivelit Ф (Ф1). Kjo do të thotë se meridianët kryesorë të këtyre sipërfaqeve kryqëzohen dhe në kryqëzimin e tyre japin pikën e dukshmërisë së vijës së kryqëzimit në raport me rrafshin P2 ose pikat më të larta A dhe më të ulëta B. Në kryqëzimin e meridianit horizontal h dhe paralelit h", i shtrirë në një plan prerës ndihmës Г(Г2), përcaktohen pikat e dukshmërisë C dhe D të vijës së kryqëzimit në lidhje me planin P1. Është e papërshtatshme përdorimi i prerjes ndihmëse. aeroplanët për të ndërtuar pika shtesë të vijës së kryqëzimit, meqë rrafshet paralele Ф, do të kryqëzojnë të dyja sipërfaqet përgjatë hiperbolave, dhe rrafshet paralele me Г do të prodhojnë rrathë dhe hiperbola në kryqëzimin e sipërfaqeve ndihmëse horizontale ose ballore të tërhequra përmes kulmit të njërës e sipërfaqeve do t'i presë ato përgjatë gjeneratave dhe kushteve duke lejuar përdorimin e sferave ndihmëse për të ndërtuar pikat e vijës së kryqëzimit. sfera, rrezja e sferës ndryshon brenda Rmin.< R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22 ^ h32 = E2(F2); E2E1 || A2A1; E2E1 ^ h21 =E1; F2F ^ h1 = F1 Një sferë e ndërmjetme me rreze R kryqëzon sipërfaqet përgjatë rrathëve h4 dhe h5, në kryqëzimin e të cilave janë pikat Mie N: h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 || A2A1, M2M1 ^ h41 = M1; N2N1 ^ h41 = N1 Duke lidhur projeksionet e pikave të ndërtuara me të njëjtin emër, duke pasur parasysh dukshmërinë e tyre, fitojmë projeksionet e vijës së kryqëzimit të sipërfaqeve.

nr 14. duke ndërtuar një vijë kryqëzimi të sipërfaqeve nëse të paktën njëra prej tyre është projektuar. Pikat karakteristike të vijës së kryqëzimit.

Para fillimit të ndërtimit të vijës së kryqëzimit të sipërfaqeve, është e nevojshme të studiohen me kujdes kushtet e problemit, d.m.th. cilat sipërfaqe kryqëzohen. Nëse njëra nga sipërfaqet projekton, atëherë zgjidhja e problemit thjeshtohet, sepse në një nga projeksionet vija e kryqëzimit përkon me projeksionin e sipërfaqes. Dhe detyra zbret në gjetjen e vijës së dytë të projeksionit. Kur zgjidhni një problem, së pari duhet të vini re pikat "karakteristike" ose pikat "të veçanta". Kjo:

· Pikat mbi gjeneratorët ekstremë

Pikat që ndajnë një vijë në pjesë të dukshme dhe të padukshme

· Pikat e sipërme dhe të poshtme, etj. Më pas, duhet të zgjidhni me mençuri metodën që do të përdorim kur ndërtojmë vijën e kryqëzimit të sipërfaqeve. Do të përdorim dy metoda: 1. plane prerëse ndihmëse. 2. sfera sekante ndihmëse. Sipërfaqet e projektimit përfshijnë: 1) cilindër, nëse boshti i tij është pingul me planin e projektimit; 2) prizmi, nëse skajet e prizmit janë pingul me rrafshin e projeksionit. Sipërfaqja e projeksionit është projektuar në një vijë në rrafshin e projektimit. Të gjitha pikat dhe linjat që i përkasin sipërfaqes anësore të cilindrit të projektuar ose prizmit të projektuar janë projektuar në një vijë në rrafshin në të cilin boshti i cilindrit ose skaji i prizmit është pingul. Vija e kryqëzimit të sipërfaqeve u përket të dyja sipërfaqeve njëkohësisht dhe, nëse njëra nga këto sipërfaqe është projektuar, atëherë rregulli i mëposhtëm mund të përdoret për të ndërtuar vijën e kryqëzimit: nëse njëra nga sipërfaqet kryqëzuese është duke u projektuar, atëherë një projeksion i vijës së kryqëzimit është në vizatim në formë të përfunduar dhe përkon me projeksionin e sipërfaqes së projektuar (rrethi në të cilin është projektuar cilindri ose shumëkëndëshi në të cilin projektohet prizmi). Projeksioni i dytë i vijës së kryqëzimit është ndërtuar në bazë të kushtit që pikat e kësaj vije t'i përkasin një sipërfaqe tjetër joprojektuese.

Karakteristikat e konsideruara të pikave karakteristike e bëjnë të lehtë kontrollimin e korrektësisë së ndërtimit të vijës së kryqëzimit të sipërfaqeve nëse është ndërtuar duke përdorur pika të zgjedhura në mënyrë arbitrare. Në këtë rast, dhjetë pika janë të mjaftueshme për të nxjerrë projeksione të lëmuara të vijës së kryqëzimit. Nëse është e nevojshme, mund të ndërtohet çdo numër pikash të ndërmjetme. Pikat e ndërtuara lidhen me një vijë të lëmuar, duke marrë parasysh karakteristikat e pozicionit dhe dukshmërisë së tyre. Le të formulojmë një rregull të përgjithshëm për ndërtimin e vijës së kryqëzimit të sipërfaqeve: zgjidhni llojin e sipërfaqeve ndihmëse; të ndërtojë vija të kryqëzimit të sipërfaqeve ndihmëse me sipërfaqet e dhëna; gjeni pikat e kryqëzimit të vijave të ndërtuara dhe lidhni ato me njëra-tjetrën. Ne zgjedhim rrafshet ndihmëse të prerjes në atë mënyrë që në kryqëzimin me sipërfaqet e dhëna të fitohen vija të thjeshta gjeometrikisht (vija të drejta ose rrathë). Zgjedhja e planeve ndihmëse të prerjes. Më shpesh, aeroplanët e projektimit, në veçanti ato të nivelit, zgjidhen si plane prerëse ndihmëse. Në këtë rast, është e nevojshme të merren parasysh linjat e kryqëzimit të marra në sipërfaqe si rezultat i kryqëzimit të sipërfaqes me një aeroplan. Pra, koni është sipërfaqja më komplekse për sa i përket numrit të vijave të marra në të. Vetëm aeroplanët që kalojnë nëpër kulmin e konit ose pingul me boshtin e konit e kryqëzojnë atë, përkatësisht, në një vijë të drejtë dhe një rreth (gjeometrikisht vijat më të thjeshta). Një rrafsh që shkon paralel me një gjenerator e pret atë përgjatë një parabole, një rrafsh paralel me boshtin e konit e kryqëzon atë përgjatë një hiperbole dhe një plan që kryqëzon të gjitha gjeneratat dhe i prirur ndaj boshtit të konit e kryqëzon atë përgjatë një elipsi. Në një sferë, kur e kryqëzon atë me një rrafsh, gjithmonë fitohet një rreth, dhe nëse e kryqëzon atë me një rrafsh të nivelit, atëherë ky rreth projektohet në rrafshin e projeksionit në një vijë të drejtë dhe një rreth, përkatësisht. Pra, si rrafshe ndihmëse zgjedhim plane të nivelit horizontal që kryqëzojnë si konin ashtu edhe sferën në rrathë (vijat më të thjeshta). Disa raste të veçanta të kryqëzimeve sipërfaqësore Në disa raste, vendndodhja, forma ose raportet dimensionale të sipërfaqeve të lakuara janë të tilla që nuk kërkohen ndërtime komplekse për të përshkruar vijën e kryqëzimit të tyre. Këto përfshijnë kryqëzimin e cilindrave me gjeneratorë paralelë, kone me një kulm të përbashkët, sipërfaqet koaksiale të rrotullimit, sipërfaqet e rrotullimit të përshkruara rreth një sfere.

Ese

Kur specifikoni për të projektuar një objekt me skaje të lakuara, përveç përcaktimit të një grupi pikash, skajesh dhe faqesh të objektit të projektimit, është e nevojshme të përcaktohen një grup skicash për skajet e tij të lakuara.

Skicat e një sipërfaqeje të lakuar janë vija në atë sipërfaqe të lakuar që e ndajnë atë sipërfaqe në pjesë që nuk janë të dukshme dhe pjesë që janë të dukshme në rrafshin e projeksionit. Në këtë rast, bëhet fjalë për projeksionin e vetëm të sipërfaqes së lakuar në shqyrtim dhe nuk merret parasysh hijezimi i mundshëm i kësaj sipërfaqeje nga sipërfaqe të tjera në plan të parë.

Pjesët në të cilat një sipërfaqe e lakuar ndahet në kontur quhen ndarjet.

Pozicioni i skicave të faqeve të lakuar përcaktohet nga parametrat e projeksionit, kështu që skicat duhet të përcaktohen pasi të ketë përfunduar kalimi në sistemin koordinativ të pamjes.

Përcaktimi i konturit të një sipërfaqeje të lakuar, në rastin e përgjithshëm, është një detyrë relativisht e vështirë. Prandaj, si rregull, një sipërfaqe e caktuar e lakuar përafrohet duke përdorur një nga sipërfaqet tipike të lakuar, të cilat përfshijnë:

Sipërfaqja cilindrike;

Sipërfaqja sferike;

Sipërfaqe konike.

Le të shqyrtojmë gjetjen e skicave për këto lloj sipërfaqesh të lakuara.

Gjetja skica të një sipërfaqe sferike ilustruar në Fig. 6,6-7.

Emërtimet e mëposhtme përdoren në figurë:

O - qendra e sferës;

O p – projeksioni i qendrës së sferës;

GM - meridiani kryesor i një sfere të caktuar;

Pl1 është një rrafsh që kalon përmes qendrës së sferës, paralel me rrafshin e projeksionit;

X në , Y në , Z në – boshtet e koordinatave të sistemit koordinativ të pamjes;

X p , Y p – boshtet koordinative në planin e projeksionit.

Për të gjetur një veçori në sipërfaqen e një sfere, është e nevojshme të vizatoni një plan përmes qendrës së sferës (pl1 në Fig. 6.6-7), paralel me rrafshin e projeksionit. Vija e kryqëzimit të kësaj sipërfaqeje dhe sferës, e cila ka formën e një rrethi, quhet meridiani kryesor (PM) i sipërfaqes sferike. Ky meridian kryesor është skica e dëshiruar.

Projeksioni i kësaj eseje do të jetë një rreth me të njëjtën rreze. Qendra e këtij rrethi është projeksioni i qendrës së sferës origjinale në rrafshin e projeksionit (O p në Fig. 6.7-1).

Oriz.6.7 ‑ 1

Për përcaktimin skica e një sipërfaqe cilindrike, nëpër boshtin e një cilindri të caktuar o 1 o 2 (Fig. 6.7-2) vizatohet një plan Pl1, pingul me rrafshin e projeksionit. Më pas, rrafshi Pl2 tërhiqet përmes boshtit të cilindrit, pingul me rrafshin Pl1. Kryqëzimet e tij me sipërfaqen cilindrike formojnë dy vija të drejta o ch 1 o ch 2 dhe o ch 3 o ch 4, të cilat janë konturet e sipërfaqes cilindrike. Projeksioni i këtyre skicave janë vija të drejta o h 1p och 2p dhe o h 3p o h 4p të paraqitura në Fig. 6,7-2.

Ndërtimi i eseve sipërfaqe konike ilustruar në Fig. 6,7-3.

Emërtimet e mëposhtme janë përdorur në figurë:

O - maja e konit;

OO 1 - boshti i konit;

X në , Y në , Z në – sistemi koordinativ i specieve;

PP – plani i projektimit;

X p , Y p , – sistemi koordinativ i planit të projeksionit;

Lp – linja projeksioni;

O 1 - qendra e një sfere të gdhendur në një kon;

O 2 – rrethi tangjent i sferës së brendashkruar, me qendër në pikën O 1 dhe sipërfaqen konike origjinale;

O ch 1, O ch 1 – pikat që shtrihen në konturet e sipërfaqes konike;

O ch 1p, O ch 1p - pika nëpër të cilat kalojnë vijat, që korrespondojnë me projeksionet e kontureve të sipërfaqes konike.

Sipërfaqja konike ka dy konture në formë vijash të drejta. Është e qartë se këto vija kalojnë nëpër kulmet e konit - pika O. Për të përcaktuar qartë skicën, është e nevojshme të gjendet një pikë për çdo skicë.

Për të ndërtuar konturet e një sipërfaqeje konike, kryeni hapat e mëposhtëm.

Një sferë është e gdhendur në një sipërfaqe të caktuar konike (për shembull, me një qendër në pikën O 1) dhe përcaktohet tangjentja e kësaj sfere në sipërfaqen konike. Në rastin e konsideruar në figurë, vija e tangjences do të ketë formën e një rrethi me qendrën në pikën O 2 të shtrirë në boshtin e konit.

Natyrisht, nga të gjitha pikat e sipërfaqes sferike, pikat që i përkasin skicave mund të jenë vetëm pika që i përkasin rrethit tangjent. Nga ana tjetër, këto pika duhet të vendosen në perimetrin e meridianit kryesor të sferës së brendashkruar.

Prandaj, pikat e kërkuara do të jenë pikat e kryqëzimit të rrethit të meridianit kryesor të sferës së brendashkruar dhe rrethit tangjent. Këto pika mund të përkufizohen si pikat e kryqëzimit të rrethit tangjent dhe rrafshit që kalon nëpër qendrën e sferës së brendashkruar O 1, paralel me rrafshin e projeksionit. Pika të tilla në figurën e dhënë janë O ch 1 dhe O ch 2.

Për të ndërtuar projeksione skicash, mjafton të gjenden pikat O ch 1p dhe O ch 2p, të cilat janë projeksione të pikave të gjetura O ch 1 dhe O ch 2. në rrafshin e projeksionit, dhe, duke përdorur këto pika dhe pikën O p të projeksionit të kulmit të konit, ndërtoni dy vija të drejta që korrespondojnë me projeksionet e skicave të një sipërfaqeje të caktuar konike (shih Fig. 6.7-3).