Përkufizimi i një katërkëndëshi është shuma e këndeve të brendshme të një katërkëndëshi. Katërkëndëshat

SHUMËKËNDËSH TË GJENDUR DHE RRETHOR,

§ 106. VETITË E KATERIKËNDËVE TË GJIDHUR DHE TË PËRSHKRUARA.

Teorema 1. Shuma e këndeve të kundërta të një katërkëndëshi ciklik është 180°.

Le të brendashkrohet një katërkëndësh ABCD në një rreth me qendër O (Fig. 412). Kërkohet të vërtetohet se / A+ / C = 180° dhe / B + / D = 180°.

/ A, siç është gdhendur në rrethin O, mat 1/2 BCD.
/ C, siç është gdhendur në të njëjtin rreth, mat 1/2 BAD.

Rrjedhimisht, shuma e këndeve A dhe C matet me gjysmën e shumës së harqeve BCD dhe BAD në shumë, këto harqe përbëjnë një rreth, pra kanë 360°;
Nga këtu / A+ / C = 360°: 2 = 180°.

Në mënyrë të ngjashme, vërtetohet se / B + / D = 180°. Megjithatë, kjo mund të konkludohet në një mënyrë tjetër. Ne e dimë se shuma e këndeve të brendshme të një katërkëndëshi konveks është 360°. Shuma e këndeve A dhe C është e barabartë me 180°, që do të thotë se edhe shuma e dy këndeve të tjera të katërkëndëshit mbetet 180°.

Teorema 2(e kundërt). Nëse në një katërkëndësh shuma e dy këndeve të kundërta është e barabartë 180° , atëherë rreth një katërkëndëshi të tillë mund të përshkruhet një rreth.

Le të jetë shuma e këndeve të kundërta të katërkëndëshit ABCD e barabartë me 180°, domethënë
/ A+ / C = 180° dhe / B + / D = 180° (vizatimi 412).

Le të vërtetojmë se një rreth mund të përshkruhet rreth një katërkëndëshi të tillë.

Dëshmi. Nëpër çdo 3 kulme të këtij katërkëndëshi mund të vizatoni një rreth, për shembull përmes pikave A, B dhe C. Ku do të vendoset pika D?

Pika D mund të marrë vetëm një nga tre pozicionet e mëposhtme: të jetë brenda rrethit, të jetë jashtë rrethit, të jetë në perimetrin e rrethit.

Le të supozojmë se kulmi është brenda rrethit dhe merr pozicionin D" (Fig. 413). Pastaj në katërkëndëshin ABCD" do të kemi:

/ B + / D" = 2 d.

Duke vazhduar anën AD" deri në kryqëzimin me rrethin në pikën E dhe pikat lidhëse E dhe C, marrim katërkëndëshin ciklik ABCE, në të cilin, me teoremën e drejtpërdrejtë

/ B+ / E = 2 d.

Nga këto dy barazi rrjedhin:

/ D" = 2 d - / B;
/ E=2 d - / B;

/ D" = / E,

por kjo nuk mund të jetë, sepse / D”, duke qenë i jashtëm në lidhje me trekëndëshin CD"E, duhet të jetë më i madh se këndi E. Prandaj, pika D nuk mund të jetë brenda rrethit.

Është vërtetuar gjithashtu se kulmi D nuk mund të marrë pozicionin D" jashtë rrethit (Fig. 414).

Mbetet të pranohet se kulmi D duhet të shtrihet në perimetrin e rrethit, d.m.th., të përputhet me pikën E, që do të thotë se një rreth mund të përshkruhet rreth katërkëndëshit ABCD.

Pasojat. 1. Një rreth mund të përshkruhet rreth çdo drejtkëndëshi.

2. Një rreth mund të përshkruhet rreth një trapezoidi izosceles.

Në të dyja rastet, shuma e këndeve të kundërta është 180°.

Teorema 3. Në një katërkëndësh të rrethuar, shumat e brinjëve të kundërta janë të barabarta. Le të përshkruhet katërkëndëshi ABCD rreth një rrethi (Fig. 415), d.m.th., anët e tij AB, BC, CD dhe DA janë tangjente me këtë rreth.

Kërkohet të vërtetohet se AB + CD = AD + BC. Le t'i shënojmë pikat e tangjences me shkronjat M, N, K, P. Bazuar në vetitë e tangjentave të tërhequra në një rreth nga një pikë (§ 75), kemi:

AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.

Le t'i shtojmë këto barazi term pas termi. Ne marrim:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,

dmth AB + CD = AD + BC, që është ajo që duhej vërtetuar.

Ushtrime.

1. Në një katërkëndësh ciklik, dy kënde të kundërta janë në raport 3:5,
dhe dy të tjerat janë në raport 4:5 Përcaktoni madhësinë e këtyre këndeve.

2. Në katërkëndëshin e përshkruar, shuma e dy brinjëve të kundërta është 45 cm. Dy brinjët e mbetura janë në raport 0,2: 0,3. Gjeni gjatësinë e këtyre anëve.

Koncepti i shumëkëndëshit

Përkufizimi 1

Shumëkëndëshiështë një figurë gjeometrike në një rrafsh, e cila përbëhet nga segmente të lidhura në çift, ato ngjitur nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz.

Në këtë rast, segmentet thirren anët e shumëkëndëshit, dhe skajet e tyre - kulmet e shumëkëndëshit.

Përkufizimi 2

Një $n$-gon është një shumëkëndësh me $n$ kulme.

Llojet e shumëkëndëshave

Përkufizimi 3

Nëse një shumëkëndësh qëndron gjithmonë në të njëjtën anë të cilësdo drejtëze që kalon nëpër brinjët e tij, atëherë thirret shumëkëndëshi konveks(Fig. 1).

Figura 1. Shumëkëndëshi konveks

Përkufizimi 4

Nëse një shumëkëndësh shtrihet në anët e kundërta të të paktën një drejtëze që kalon nëpër anët e tij, atëherë shumëkëndëshi quhet jo konveks (Fig. 2).

Figura 2. Shumëkëndëshi jo konveks

Shuma e këndeve të një shumëkëndëshi

Le të paraqesim një teoremë mbi shumën e këndeve të një trekëndëshi.

Teorema 1

Shuma e këndeve të një trekëndëshi konveks përcaktohet si më poshtë

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Dëshmi.

Le të na jepet një shumëkëndësh konveks $A_1A_2A_3A_4A_5\pikat A_n$. Le të lidhim kulmin e tij $A_1$ me të gjitha kulmet e tjera të këtij shumëkëndëshi (Fig. 3).

Figura 3.

Me këtë lidhje marrim trekëndëshat $n-2$. Duke mbledhur këndet e tyre marrim shumën e këndeve të një -gon të caktuar. Meqenëse shuma e këndeve të një trekëndëshi është e barabartë me $(180)^0,$ marrim se shuma e këndeve të një trekëndëshi konveks përcaktohet nga formula

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teorema është e vërtetuar.

Koncepti i një katërkëndëshi

Duke përdorur përkufizimin e $2$, është e lehtë të prezantohet përkufizimi i një katërkëndëshi.

Përkufizimi 5

Një katërkëndësh është një shumëkëndësh me kulme $4$ (Fig. 4).

Figura 4. Katërkëndësh

Për një katërkëndësh, konceptet e një katërkëndëshi konveks dhe një katërkëndëshi jokonveks përcaktohen në mënyrë të ngjashme. Shembuj klasikë të katërkëndëshave konveks janë katrori, drejtkëndëshi, trapezi, rombi, paralelogrami (Fig. 5).

Figura 5. Katërkëndëshat konveks

Teorema 2

Shuma e këndeve të një katërkëndëshi konveks është $(360)^0$

Dëshmi.

Nga teorema $1$, ne e dimë se shuma e këndeve të një gon konveks përcaktohet nga formula

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Prandaj, shuma e këndeve të një katërkëndëshi konveks është e barabartë me

\[\majtas(4-2\djathtas)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teorema është e vërtetuar.

Një nga temat më interesante në gjeometri nga kursi shkollor është “Katërkëndëshat” (klasa e 8-të). Çfarë lloje të figurave të tilla ekzistojnë, çfarë veti të veçanta kanë ato? Çfarë është unike për katërkëndëshat me kënde nëntëdhjetë gradë? Le t'i kuptojmë të gjitha.

Cila figurë gjeometrike quhet katërkëndësh?

Shumëkëndëshat që përbëhen nga katër brinjë dhe, në përputhje me rrethanat, nga katër kulme (kënde) quhen katërkëndësh në gjeometrinë Euklidiane.

Historia e emrit të këtij lloji të figurës është interesante. Në gjuhën ruse, emri "katërkëndësh" formohet nga fraza "katër qoshe" (ashtu si "trekëndësh" - tre qoshe, "pentagon" - pesë qoshe, etj.).

Sidoqoftë, në latinisht (nëpërmjet të cilave shumë terma gjeometrikë erdhën në shumicën e gjuhëve të botës) quhet katërkëndësh. Kjo fjalë është formuar nga numri quadri (katër) dhe emri latus (ana). Pra, mund të konkludojmë se të lashtët e quajtën këtë shumëkëndësh asgjë më shumë se një "katërkëndësh".

Nga rruga, ky emër (me theks në praninë e katër anëve, në vend të qosheve, në figurat e këtij lloji) është ruajtur në disa gjuhë moderne. Për shembull, në anglisht - katërkëndësh dhe në frëngjisht - quadrilatère.

Për më tepër, në shumicën e gjuhëve sllave, lloji i figurës në fjalë ende identifikohet nga numri i këndeve dhe jo nga brinjët. Për shembull, në sllovakisht (štvoruholník), në bullgarisht ("chetirigalnik"), në bjellorusisht ("chatyrokhkutnik"), në ukrainisht ("chotirikutnik"), në çekisht (čtyřúhelník), por në polonisht katërkëndëshi quhet me numrin e anët - czworoboczny.

Cilat lloje të katërkëndëshave studiohen në kurrikulën shkollore?

Në gjeometrinë moderne, ekzistojnë 4 lloje poligonesh me katër anë.

Megjithatë, për shkak të vetive tepër komplekse të disa prej tyre, nxënësve të shkollës njihen vetëm me dy lloje në mësimet e gjeometrisë.

• Paralelogrami. Anët e kundërta të një katërkëndëshi të tillë janë paralele me njëra-tjetrën në çifte dhe, në përputhje me rrethanat, janë gjithashtu të barabarta në çifte.
• Trapezium (trapez ose trapez). Ky katërkëndësh përbëhet nga dy brinjë të kundërta paralele me njëra-tjetrën. Megjithatë, palët e tjera të palëve nuk e kanë këtë veçori.

Llojet e katërkëndëshave të pa studiuara në lëndën e gjeometrisë shkollore

Përveç sa më sipër, ka edhe dy lloje të tjera katërkëndëshash me të cilët nxënësit e shkollës nuk njihen në mësimet e gjeometrisë për shkak të kompleksitetit të tyre të veçantë.

• Deltoid (qift)- një figurë në të cilën secila prej dy palëve të anëve ngjitur është e barabartë në gjatësi. Ky katërkëndësh mori emrin e tij për faktin se në pamje i ngjan mjaft shkronjës së alfabetit grek - "delta".
• Antiparalelogram- kjo shifër është po aq komplekse sa edhe emri i saj. Në të, dy anët e kundërta janë të barabarta, por në të njëjtën kohë ato nuk janë paralele me njëra-tjetrën. Veç kësaj, anët e gjata të kundërta të këtij katërkëndëshi kryqëzohen me njëra-tjetrën, si dhe zgjatimet e dy brinjëve të tjera, më të shkurtra.

Llojet e paralelogramit

Duke u marrë me llojet kryesore të katërkëndëshave, ia vlen t'i kushtohet vëmendje nënllojeve të tij. Pra, të gjithë paralelogramët, nga ana tjetër, ndahen gjithashtu në katër grupe.

• Paralelogrami klasik.
• Rombi- një figurë katërkëndore me brinjë të barabarta. Diagonalet e tij kryqëzohen në kënde të drejta, duke e ndarë rombin në katër trekëndësha të barabartë kënddrejtë.
• Drejtkëndësh. Emri flet vetë. Meqenëse është një katërkëndësh me kënde të drejta (secili prej tyre është i barabartë me nëntëdhjetë gradë). Anët e tij të kundërta nuk janë vetëm paralele me njëra-tjetrën, por edhe të barabarta.
• Sheshi. Ashtu si një drejtkëndësh, ai është një katërkëndësh me kënde të drejta, por të gjitha anët e tij janë të barabarta. Në këtë mënyrë, kjo figurë është afër një rombi. Pra, mund të themi se një katror është një kryqëzim midis një rombi dhe një drejtkëndëshi.

Karakteristikat e veçanta të një drejtkëndëshi

Kur merren parasysh figurat në të cilat secili nga këndet midis anëve është i barabartë me nëntëdhjetë gradë, ia vlen t'i hedhim një vështrim më të afërt drejtkëndëshit. Pra, çfarë veçori të veçanta ka ai që e dallojnë atë nga paralelogramët e tjerë?

Për të pretenduar se paralelogrami në fjalë është një drejtkëndësh, diagonalet e tij duhet të jenë të barabarta me njëra-tjetrën dhe secili nga këndet duhet të jetë i drejtë. Për më tepër, katrori i diagonaleve të tij duhet të korrespondojë me shumën e katrorëve të dy anëve ngjitur të kësaj figure. Me fjalë të tjera, një drejtkëndësh klasik përbëhet nga dy trekëndësha kënddrejtë, dhe në to, siç dihet, diagonalja e katërkëndëshit në fjalë vepron si hipotenuzë.

E fundit nga veçoritë e renditura të kësaj figure është edhe vetia e saj e veçantë. Përveç kësaj, ka edhe të tjera. Për shembull, fakti që të gjitha anët e katërkëndëshit që studiohet me kënde të drejta janë edhe lartësitë e tij.

Përveç kësaj, nëse një rreth vizatohet rreth çdo drejtkëndëshi, diametri i tij do të jetë i barabartë me diagonalen e figurës së brendashkruar.

Ndër vetitë e tjera të këtij katërkëndëshi është se ai është i sheshtë dhe nuk ekziston në gjeometrinë jo-Euklidiane. Kjo për faktin se në një sistem të tillë nuk ka figura katërkëndëshe, shuma e këndeve të të cilave është e barabartë me treqind e gjashtëdhjetë gradë.

Sheshi dhe veçoritë e tij

Duke kuptuar shenjat dhe vetitë e një drejtkëndëshi, ia vlen t'i kushtohet vëmendje katërkëndëshit të dytë të njohur për shkencën me kënde të drejta (ky është një katror).

Duke qenë në fakt i njëjti drejtkëndësh, por me brinjë të barabarta, kjo figurë ka të gjitha vetitë e saj. Por ndryshe nga ai, katrori është i pranishëm në gjeometrinë jo-Euklidiane.

Përveç kësaj, kjo figurë ka veçori të tjera dalluese të veta. Për shembull, fakti që diagonalet e një katrori jo vetëm që janë të barabarta me njëra-tjetrën, por edhe kryqëzohen në kënde të drejta. Kështu, si një romb, një katror përbëhet nga katër trekëndësha kënddrejtë në të cilët diagonalet e ndajnë atë.

Për më tepër, kjo shifër është më simetrikja nga të gjithë katërkëndëshat.

Sa është shuma e këndeve të një katërkëndëshi?

Kur merren parasysh tiparet e katërkëndëshave të gjeometrisë Euklidiane, ia vlen t'i kushtohet vëmendje këndeve të tyre.

Pra, në secilën nga figurat e mësipërme, pavarësisht nëse ka kënde të drejta apo jo, shuma totale e tyre është gjithmonë e njëjtë - treqind e gjashtëdhjetë gradë. Ky është një tipar unik dallues i këtij lloji të figurës.

Perimetri i katërkëndëshave

Pasi të keni kuptuar se me çfarë është e barabartë shuma e këndeve të një katërkëndëshi dhe vetitë e tjera të veçanta të figurave të këtij lloji, ia vlen të zbuloni se cilat formula përdoren më së miri për të llogaritur perimetrin dhe sipërfaqen e tyre.

Për të përcaktuar perimetrin e çdo katërkëndëshi, mjafton të shtoni gjatësitë e të gjitha anëve të tij së bashku.

Për shembull, në figurën KLMN, perimetri i tij mund të llogaritet duke përdorur formulën: P = KL + LM + MN + KN. Nëse zëvendësoni numrat këtu, merrni: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Në rastin kur figura në fjalë është romb ose katror, ​​për të gjetur perimetrin, mund ta thjeshtoni formulën duke shumëzuar gjatësinë e njërës anë me katër: P = KL x 4. Për shembull: 6 x 4 = 24 (cm).

Formulat për katërkëndëshat me sipërfaqe

Pasi të keni kuptuar se si të gjeni perimetrin e çdo figure me katër qoshe dhe anët, ia vlen të merren parasysh mënyrat më të njohura dhe më të thjeshta për të gjetur zonën e saj.

Veti të tjera të katërkëndëshave: rrethore dhe rrethore

Duke marrë parasysh tiparet dhe vetitë e një katërkëndëshi si një figurë e gjeometrisë Euklidiane, ia vlen t'i kushtohet vëmendje aftësisë për të përshkruar rrathët rreth ose brenda tij:

• Nëse shumat e këndeve të kundërta të një figure janë njëqind e tetëdhjetë gradë dhe janë të barabarta në çifte, atëherë një rreth mund të përshkruhet lirisht rreth një katërkëndëshi të tillë.
• Sipas teoremës së Ptolemeut, nëse një rreth është i rrethuar jashtë një shumëkëndëshi me katër brinjë, atëherë prodhimi i diagonaleve të tij është i barabartë me shumën e prodhimeve të anëve të kundërta të figurës së dhënë. Kështu, formula do të duket si kjo: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Nëse ndërtoni një katërkëndësh në të cilin shumat e anëve të kundërta janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë mund të futni një rreth në të.

Pasi të keni kuptuar se çfarë është një katërkëndësh, cilat lloje të tij ekzistojnë, cilat prej tyre kanë vetëm kënde të drejta midis anëve dhe cilat veti kanë, ia vlen të mbani mend gjithë këtë material. Në veçanti, merren parasysh formulat për gjetjen e perimetrit dhe sipërfaqes së poligoneve. Në fund të fundit, figurat e kësaj forme janë ndër më të zakonshmet, dhe kjo njohuri mund të jetë e dobishme për llogaritjet në jetën reale.

Sot do të shqyrtojmë një figurë gjeometrike - një katërkëndësh. Nga emri i kësaj figure tashmë bëhet e qartë se kjo figurë ka katër cepa. Por ne do të shqyrtojmë karakteristikat dhe vetitë e mbetura të kësaj figure më poshtë.

Çfarë është një katërkëndësh

Një katërkëndësh është një shumëkëndësh i përbërë nga katër pika (kulme) dhe katër segmente (anët) që lidhin këto pika në çifte. Sipërfaqja e një katërkëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të diagonaleve të tij dhe këndit ndërmjet tyre.

Një katërkëndësh është një shumëkëndësh me katër kulme, tre prej të cilave nuk shtrihen në një vijë të drejtë.

Llojet e katërkëndëshave

• Një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çift quhet paralelogram.
• Një katërkëndësh në të cilin dy anët e kundërta janë paralele dhe dy të tjerat jo, quhet trapez.
• Një katërkëndësh me të gjitha këndet e drejta është një drejtkëndësh.
• Një katërkëndësh me të gjitha anët e barabarta është një romb.
• Një katërkëndësh në të cilin të gjitha brinjët janë të barabarta dhe të gjitha këndet janë të drejta quhet katror.

Një katërkëndësh mund të jetë:

Vetë-ndërprerë

Jo konveks

Konveks

Katërkëndësh i vetëndërprerëështë një katërkëndësh në të cilin çdo anë e tij ka një pikë kryqëzimi (me ngjyrë blu në figurë).

Katërkëndësh jo konveksështë një katërkëndësh në të cilin një nga këndet e brendshme është më shumë se 180 gradë (tregohet në ngjyrë portokalli në figurë).

Shuma e këndeveçdo katërkëndësh që nuk ndërpritet në vetvete është gjithmonë i barabartë me 360 ​​gradë.

Llojet e veçanta të katërkëndëshave

Katërkëndëshat mund të kenë veti shtesë, duke formuar lloje të veçanta të formave gjeometrike:

• Paralelogrami
• Drejtkëndësh
• Sheshi
• Trapezoid
• Deltoid
• Kundërparalelogrami

Katërkëndësh dhe rreth

Një katërkëndësh i rrethuar rreth një rrethi (një rreth i gdhendur në një katërkëndësh).

Vetia kryesore e katërkëndëshit të përshkruar:

Një katërkëndësh mund të rrethohet rreth një rrethi nëse dhe vetëm nëse shumat e gjatësive të brinjëve të kundërta janë të barabarta.

Katërkëndëshi i gdhendur në një rreth (rrethi i rrethuar rreth një katërkëndëshi)

Vetia kryesore e një katërkëndëshi të brendashkruar:

Një katërkëndësh mund të futet në një rreth nëse dhe vetëm nëse shuma e këndeve të kundërta është e barabartë me 180 gradë.

Vetitë e gjatësive të brinjëve të një katërkëndëshi

Moduli i ndryshimit midis çdo dy anët e një katërkëndëshi nuk e kalon shumën e dy anëve të tjera të saj.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

E rëndësishme. Pabarazia është e vërtetë për çdo kombinim brinjësh të një katërkëndëshi. Vizatimi është dhënë vetëm për lehtësinë e perceptimit.

Në çdo katërkëndësh shuma e gjatësive të tri brinjëve të saj nuk është më e vogël se gjatësia e brinjës së katërt.

E rëndësishme. Kur zgjidhni probleme brenda kurrikulës shkollore, mund të përdorni pabarazi të rreptë (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Kursi video “Merr A” përfshin të gjitha temat e nevojshme për të kaluar me sukses Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë me 60-65 pikë. Plotësisht të gjitha detyrat 1-13 të Profilit të Provimit të Shtetit të Unifikuar në matematikë. I përshtatshëm edhe për kalimin e Provimit Bazë të Shtetit të Unifikuar në matematikë. Nëse dëshironi të kaloni Provimin e Unifikuar të Shtetit me 90-100 pikë, duhet ta zgjidhni pjesën 1 në 30 minuta dhe pa gabime!

Kurs përgatitor për Provimin e Unifikuar të Shtetit për klasat 10-11, si dhe për mësuesit. Gjithçka që ju nevojitet për të zgjidhur Pjesën 1 të Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë (12 detyrat e para) dhe problemin 13 (trigonometri). Dhe këto janë më shumë se 70 pikë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, dhe as një student 100 pikësh dhe as një student i shkencave humane nuk mund të bëjë pa to.

E gjithë teoria e nevojshme. Zgjidhje të shpejta, gracka dhe sekrete të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Të gjitha detyrat aktuale të pjesës 1 nga Banka e Detyrave FIPI janë analizuar. Kursi përputhet plotësisht me kërkesat e Provimit të Unifikuar të Shtetit 2018.

Kursi përmban 5 tema të mëdha, 2.5 orë secila. Çdo temë jepet nga e para, thjeshtë dhe qartë.

Qindra detyra të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Problemet e fjalëve dhe teoria e probabilitetit. Algoritme të thjeshta dhe të lehta për t'u mbajtur mend për zgjidhjen e problemeve. Gjeometria. Teori, material referues, analiza e të gjitha llojeve të detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Stereometria. Zgjidhje të ndërlikuara, fletë të dobishme mashtrimi, zhvillimi i imagjinatës hapësinore. Trigonometria nga e para te problemi 13. Kuptimi në vend të grumbullimit. Shpjegime të qarta të koncepteve komplekse. Algjebër. Rrënjët, fuqitë dhe logaritmet, funksioni dhe derivati. Një bazë për zgjidhjen e problemeve komplekse të Pjesës 2 të Provimit të Unifikuar të Shtetit.