Përkufizimi i një funksioni të qetë. Funksioni i qetë

Mbi të gjithë grupin e përkufizimeve. Shumë shpesh nën e lëmuar funksionet nënkuptojnë funksione që kanë derivate të vazhdueshme të të gjitha urdhrave.

Informata themelore[ | ]

Konsiderohen gjithashtu funksione të lëmuara të rendit më të lartë, përkatësisht, një funksion me renditja e butësisë r ⩾ 0 (\displaystyle r\geqslant 0) ka derivate të vazhdueshme të të gjitha urdhrave deri në r (\displaystyle r) përfshirëse (derivati i rendit zero është vetë funksioni). Funksione të tilla quhen r (\displaystyle r)-e lëmuar. Një tufë me r (\displaystyle r)-funksionet e lëmuara të përcaktuara në domen shënohen me C r (Ω) (\style ekrani C^(r)(\Omega)). Regjistro f ∈ C ∞ (Ω) (\displaystyle f\in C^(\infty )(\Omega)) do të thotë se f ∈ C r (Ω) (\style ekrani f\në C^(r)(\Omega)) për këdo r (\displaystyle r), funksione të tilla quhen pafundësisht-e lëmuar(nganjëherë nën funksionet e lëmuara nënkuptojnë pafundësisht të lëmuara). Ndonjëherë përdoret edhe shënimi f ∈ C ω (Ω) (\style ekrani f\in C^(\omega )(\Omega)) ose f ∈ C a (Ω) (\style ekrani f\në C^(a)(\Omega)), që do të thotë se f (\displaystyle f)- analitike.

Për shembull, C 0 (Ω) (\style ekrani C^(0)(\Omega))- grup i vazhdueshëm Ω (\displaystyle \Omega) funksionet, dhe C 1 (Ω) (\style ekrani C^(1)(\Omega))- një grup i vazhdueshëm i diferencueshëm në Ω (\displaystyle \Omega) funksione, pra funksione që kanë një derivat të vazhdueshëm në çdo pikë të këtij rajoni.

Nëse rendi i butësisë nuk specifikohet, atëherë zakonisht supozohet se është i mjaftueshëm që të gjitha veprimet e kryera mbi funksionin gjatë arsyetimit aktual të kenë kuptim.

Përafrimi me funksione analitike[ | ]

Lëreni zonën Ω (\displaystyle \Omega) hapur në R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) Dhe f ∈ C k (Ω) (\style ekrani f\në C^(k)(\Omega)), 0 ⩽ k ⩽ ∞ (\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty ). Le ( K p ) (\style ekrani $K_(p)$)- sekuenca e nëngrupeve kompakte Ω (\displaystyle \Omega) sikurse K 0 = ∅ (\displaystyle K_(0)=\varnothing), K p ⊂ K p + 1 (\shfaqja e stilit K_(p)\nëngrupi K_(p+1)) Dhe ⋃ K p = Ω (\displaystyle \bigcup K_(p)=\Omega ). Le ( n p ) (\displaystyle $n_(p)$)- një sekuencë arbitrare të numrave të plotë pozitivë dhe m p = min (k , n p) (\displaystyle m_(p)=\min(k,\;n_(p))). Së fundi, le ( ε p ) (\displaystyle $\varepsilon _(p)$)- sekuencë arbitrare numra pozitiv. Pastaj ka një funksion real-analitik g (\displaystyle g), të përcaktuara në Ω (\displaystyle \Omega) e tillë që për të gjithë p ⩾ 0 (\displaystyle p\geqslant 0) pabarazia plotësohet

‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p)< ε p , {\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},}

Ku ‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p) (\displaystyle \|f-g\|_(C^(m_(p))((K_(p+1)\backslash K_(p))) )) tregon maksimumin e normave (në kuptimin e konvergjencës uniforme, domethënë maksimumin e modulit në grup K p + 1 ∖ K p (\stil i shfaqjes (K_(p+1)\vija e pasme K_(p)))) derivatet e funksionit f − g (\displaystyle f-g) të gjitha porositë nga zero në m p (\shfaqja e stilit (m_(p))) përfshirëse.

Pikat e diferencimit të tij janë të dendura mbi të dhe kanë një vazhdimësi. Ka funksione të vazhdueshme që janë të lëmuara në vijën numerike dhe nuk janë të diferencueshme. G. f. ka një derivat në çdo pikë të ekstremumit lokal dhe, për shkak të kësaj, teoremat bazë të llogaritjes diferenciale mbeten të vlefshme për funksionet e vazhdueshme të qetë - teoremat e Rolle, Lagrange, Cauchy,

Darboux dhe të tjerët V. F. Emelyanov.

Enciklopedi matematikore. - M.: Enciklopedia Sovjetike. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Shihni se çfarë është "FUNKSIONI I SMOUTH" në fjalorë të tjerë:

Ose një funksion vazhdimisht i diferencueshëm është një funksion që ka një derivat të vazhdueshëm mbi të gjithë grupin e përkufizimit. Informacioni bazë Konsiderohen edhe funksionet e lëmuara të rendit më të lartë, domethënë, një funksion me një renditje të butësisë ka ... ... Wikipedia

Funksioni i qetë- një funksion të gjithë derivatet e pjesshëm të të cilit, deri në rendin r përfshirë, janë të vazhdueshëm. Kjo do të thotë "butësi e rendit r." ...

funksion të qetë- Një funksion derivatet e pjesshme të të cilit, deri në rendin r përfshirë, janë të vazhdueshme. Kjo do të thotë "butësi e rendit r". Temat: Ekonomia EN funksioni i qetë… Udhëzues teknik i përkthyesit

Një funksion i qetë pjesë-pjesë është një funksion i përcaktuar në grupin e numrave realë, i diferencueshëm në secilin nga intervalet që përbëjnë domenin e përkufizimit. Përkufizimi formal Le të jepen pikat e ndryshimit të formulave. Si çdo gjë pjesë-pjesë... ...Wikipedia

- është një funksion i qetë në një manifold që ka pika kritike jo të degjeneruara. Funksionet Morse e kanë origjinën dhe përdoren në teorinë Morse, një nga mjetet kryesore të topologjisë diferenciale. Përmbajtja 1 Përkufizimi 2 Vetitë ... Wikipedia

Një funksion i qetë që ka disa veti të veçanta. M. f. lindin dhe përdoren në teorinë Morse. Lëreni një Hilbert të qetë të plotësojë (në lidhje me disa metrikë Riemannian) manifold (për shembull, me dimensione të fundme) kufiri i të cilit është... ... Enciklopedia matematikore

Një funksion i dhënë pjesë-pjesë është një funksion i përcaktuar në grupin e numrave realë, i përcaktuar në secilin nga intervalet që përbëjnë domenin e përkufizimit me një formulë të veçantë. Përcaktimi dhe caktimi formal Le të jepen pikat e ndryshimit të formulave... Wikipedia

1) P. f. në teorinë e serive trigonometrike, një funksion i prezantuar nga B. Riemann (B. Riemann, 1851) (shih) për të studiuar çështjen mbi përfaqësueshmërinë e një funksioni trigonometrik. afër. Le të jepet një seri (*) me limit... ... Enciklopedia matematikore

Një përgjithësim i konceptit të një funksioni të qetë, duke përfshirë funksione lineare të lëmuara, konvekse, pjesë-pjesë. Përkufizim Një funksion quhet gjysmë i lëmuar nëse në çdo pikë ka një nëngrup operatorësh linearë të tillë që për çdo sekuencë ... Wikipedia

Funksioni spline- Funksioni i qetë pjesë-pjesë i përdorur për të lidhur seritë kohore. Aplikimi i S. f. në vend të funksioneve të zakonshme të tendencës, është efektive kur tendenca dhe drejtimi i serisë ndryshon brenda periudhës së analizuar. S. f. ndihmon...... Fjalor ekonomik dhe matematikor

Mbi të gjithë grupin e përkufizimeve.

Informata themelore

Konsiderohen gjithashtu funksione të lëmuara të rendit më të lartë, përkatësisht, një funksion me renditja e butësisë $r$ ka një derivat të vazhdueshëm të rendit $r$ . Shumë funksione të tilla janë përcaktuar në zonë $\Omega$ shënohet me $C^r(\Omega)$ . $f\në C^\infty(\Omega)$ do të thotë se $f\në C^r(\Omega)$ për këdo $r$ , A $f\në C^\omega(\Omega)=C^a(\Omega)$ do të thotë se $f$ - analitike.

Për shembull, $C^0 (\Omega)$ - grup i vazhdueshëm $\Omega$ funksionet, dhe $C^1 (\Omega)$ - një grup i vazhdueshëm i diferencueshëm në $\Omega$ funksionet, d.m.th. funksionet që kanë një derivat të vazhdueshëm në çdo pikë të këtij rajoni.

Nëse rendi i butësisë nuk specifikohet, atëherë zakonisht supozohet se është i mjaftueshëm që të gjitha veprimet e kryera mbi funksionin gjatë arsyetimit aktual të kenë kuptim.

Për një analizë delikate të klasave të funksioneve të diferencueshme, koncepti është prezantuar gjithashtu butësia e pjesshme në një pikë ose Eksponenti i Mbajtësit, i cili përgjithëson të gjitha konceptet e mësipërme të butësisë.

Funksioni $f$ i përket klasës $C^(r,\;\alfa)$ , Ku $r$ është një numër i plotë jo negativ dhe $0<\alpha\leqslant 1$ , nëse ka derivate sipas porosisë $r$ përfshirëse dhe $f^((r))$ është Mbajtës me eksponent $\alfa$ .

Në literaturën e përkthyer, së bashku me termin "eksponent mbajtës", përdoret termi "eksponent i Lipschitz".

Përafrimi i funksioneve vazhdimisht të diferencueshme nga ato analitike

Le $\Omega$ hap brenda $\R^n$ Dhe $f\në C^k(\Omega)$ , $0\leqslant k\leqslant\infty$ . Le $$K_p$$ - sekuenca e nëngrupeve kompakte $\Omega$ sikurse $K_0=\varnothing$ , $K_p\nëngrupi K_(p+1)$ Dhe $\bigcup K_p=\Omega$ . Le $$n_p$$ - një sekuencë arbitrare të numrave të plotë pozitivë dhe $m_p=\min(k,\;n_p)$ . Së fundi, le $$\varepsilon_p$$ - një sekuencë arbitrare të numrave pozitivë. Pastaj ka $\R$ -funksioni analitik $g$ V $\Omega$ e tillë që për të gjithë $p\geqslant 0$ :

$||f-g||^(K_(p+1)\slash mbrapsht K_p)_(m_p)<\varepsilon_p.$

Shiko gjithashtu

Shkruani një përmbledhje në lidhje me artikullin "Funksioni i qetë"

Një fragment që karakterizon funksionin e qetë

Kur Nikolushka u mor, Princesha Marya shkoi përsëri te vëllai i saj, e puthi dhe, duke mos mundur të rezistonte më, filloi të qante.
Ai e shikoi me vëmendje.
– E ke fjalën për Nikolushkën? - tha ai.
Princesha Marya, duke qarë, uli kokën në mënyrë pozitive.
"Marie, ti e njeh Evan..." por ai papritmas heshti.
- Cfare po thua?
- Asgjë. Nuk ka nevojë të qash këtu, - tha ai, duke e parë me të njëjtin shikim të ftohtë.

Kur Princesha Marya filloi të qante, ai kuptoi që ajo po qante që Nikolushka do të mbetej pa baba. Me shumë përpjekje u përpoq të kthehej në jetë dhe u transportua në këndvështrimin e tyre.
“Po, ata duhet ta shohin atë patetik! - mendoi ai. "Sa e thjeshtë është!"
"Zogjtë e qiellit as mbjellin, as korrin, por babai yt i ushqen", tha me vete dhe donte t'i thoshte të njëjtën gjë princeshës. “Por jo, ata do ta kuptojnë në mënyrën e tyre, nuk do ta kuptojnë! Ajo që ata nuk mund të kuptojnë është se të gjitha këto ndjenja që ata vlerësojnë janë të gjitha tonat, të gjitha këto mendime që na duken kaq të rëndësishme janë se ato nuk janë të nevojshme. Nuk mund ta kuptojmë njëri-tjetrin”. - Dhe ai heshti.

Djali i vogël i Princit Andrei ishte shtatë vjeç. Ai mezi lexonte, nuk dinte asgjë. Ai përjetoi shumë pas kësaj dite, duke marrë njohuri, vëzhgim dhe përvojë; por nëse do t'i kishte zotëruar atëherë të gjitha këto aftësi të fituara më vonë, ai nuk mund ta kuptonte më mirë, më thellë kuptimin e plotë të asaj skene që pa midis babait të tij, Princeshës Marya dhe Natasha sesa e kuptonte tani. Ai kuptoi gjithçka dhe, pa qarë, doli nga dhoma, iu afrua në heshtje Natasha, e cila e ndoqi jashtë dhe e pa me turp me sy të menduar e të bukur; buza e sipërme e ngritur dhe rozë u drodh, ai mbështeti kokën mbi të dhe filloi të qajë.
Që nga ajo ditë, ai shmangu Desalles, shmangu konteshën që e përkëdhelte dhe ose u ul vetëm ose iu afrua me ndrojtje Princeshës Marya dhe Natasha, të cilat dukej se i donte edhe më shumë se tezen e tij, dhe i përkëdhelte qetësisht dhe me turp.
Princesha Marya, duke lënë Princin Andrei, kuptoi plotësisht gjithçka që i tha fytyra e Natasha. Ajo nuk i foli më Natashës për shpresën për t'i shpëtuar jetën. Ajo alternohej me të në divanin e tij dhe nuk qante më, por lutej pandërprerë, duke e kthyer shpirtin e saj në atë të përjetshmen, të pakuptueshmen, prania e së cilës tani ishte kaq e dukshme mbi njeriun që po vdiste.

Princi Andrei jo vetëm që e dinte se do të vdiste, por ndjeu se po vdiste, se tashmë ishte gjysmë i vdekur. Ai përjetoi një vetëdije tjetërsimi nga gjithçka tokësore dhe një lehtësi të gëzueshme dhe të çuditshme të qenies. Ai, pa nxitim dhe pa merak, priste atë që i priste. Ajo e frikshme, e përjetshme, e panjohur dhe e largët, prania e së cilës ai nuk pushoi së ndjeri gjatë gjithë jetës së tij, tani ishte afër tij dhe - për shkak të lehtësisë së çuditshme të qenies që përjetoi - pothuajse e kuptueshme dhe e ndjente.