Përcaktimi i varësisë lineare. Varësia lineare dhe pavarësia lineare e një sistemi vektorësh

Në këtë artikull do të trajtojmë:

• çfarë janë vektorët kolinearë;
• cilat janë kushtet për kolinearitetin e vektorëve;
• cilat veti ekzistojnë të vektorëve kolinearë;
• sa është varësia lineare e vektorëve kolinearë.

Vektorët kolinearë janë vektorë që janë paralel me një drejtëz ose shtrihen në një vijë.

Shembulli 1

Kushtet për kolinearitetin e vektorëve

Dy vektorë janë kolinear nëse ndonjë nga kushtet e mëposhtme është i vërtetë:

• kushti 1 . Vektorët a dhe b janë kolinear nëse ka një numër λ i tillë që a = λ b;
• kushti 2 . Vektorët a dhe b janë kolinear me raporte koordinative të barabarta:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• kushti 3 . Vektorët a dhe b janë kolinearë me kusht që prodhimi kryq dhe vektori zero të jenë të barabartë:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Shënim 1

Kushti 2 nuk zbatohet nëse njëra nga koordinatat vektoriale është zero.

Shënim 2

Kushti 3 vlen vetëm për ata vektorë që janë të specifikuar në hapësirë.

Shembuj të problemeve për të studiuar kolinearitetin e vektorëve

Ne shqyrtojmë vektorët a = (1; 3) dhe b = (2; 1) për kolinearitet.

Si të zgjidhet?

Në këtë rast, është e nevojshme të përdoret kushti i dytë i kolinearitetit. Për vektorët e dhënë duket kështu:

Barazia është e rreme. Nga kjo mund të konkludojmë se vektorët a dhe b janë jokolinearë.

Përgjigju : a | | b

Shembulli 2

Cila vlerë m e vektorit a = (1; 2) dhe b = (- 1; m) është e nevojshme që vektorët të jenë kolinear?

Si të zgjidhet?

Duke përdorur kushtin e dytë të kolinearitetit, vektorët do të jenë kolinear nëse koordinatat e tyre janë proporcionale:

Kjo tregon se m = - 2.

Përgjigje: m = - 2 .

Kriteret për varësinë lineare dhe pavarësinë lineare të sistemeve vektoriale

Një sistem vektorësh në një hapësirë ​​vektoriale varet linearisht vetëm nëse njëri nga vektorët e sistemit mund të shprehet në terma të vektorëve të mbetur të këtij sistemi.

Dëshmi

Le të sistemit e 1 , e 2 , . . . , e n është e varur në mënyrë lineare. Le të shkruajmë një kombinim linear të këtij sistemi të barabartë me vektorin zero:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

në të cilin të paktën njëri nga koeficientët e kombinimit nuk është i barabartë me zero.

Le të jetë një k ≠ 0 k ∈ 1, 2, . . . , n.

Ne i ndajmë të dyja anët e barazisë me një koeficient jo zero:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Le të shënojmë:

A k - 1 a m , ku m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Në këtë rast:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

ose e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Nga kjo rezulton se njëri nga vektorët e sistemit shprehet përmes të gjithë vektorëve të tjerë të sistemit. Që është ajo që duhej vërtetuar (etj.).

Përshtatshmëria

Le të shprehet një nga vektorët në mënyrë lineare përmes të gjithë vektorëve të tjerë të sistemit:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

E zhvendosim vektorin e k në anën e djathtë të kësaj barazie:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Meqenëse koeficienti i vektorit e k është i barabartë me - 1 ≠ 0, marrim një paraqitje jo të parëndësishme të zeros nga një sistem vektorësh e 1, e 2, . . . , e n , dhe kjo, nga ana tjetër, do të thotë se ky sistem vektorësh është i varur në mënyrë lineare. Që është ajo që duhej vërtetuar (etj).

Pasoja:

• Një sistem vektorësh është linearisht i pavarur kur asnjë nga vektorët e tij nuk mund të shprehet në terma të të gjithë vektorëve të tjerë të sistemit.
• Një sistem vektorësh që përmban një vektor zero ose dy vektorë të barabartë është i varur në mënyrë lineare.

Vetitë e vektorëve të varur linearisht

1. Për vektorët 2- dhe 3-dimensionale, plotësohet kushti i mëposhtëm: dy vektorë të varur linearisht janë kolinearë. Dy vektorë kolinearë janë të varur në mënyrë lineare.
2. Për vektorët 3-dimensionale, plotësohet kushti i mëposhtëm: tre vektorë të varur linearisht janë koplanarë. (3 vektorë koplanarë janë të varur në mënyrë lineare).
3. Për vektorët n-dimensionale, plotësohet kushti i mëposhtëm: n + 1 vektorë janë gjithmonë të varur në mënyrë lineare.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve që përfshijnë varësinë lineare ose pavarësinë lineare të vektorëve

Le të kontrollojmë vektorët a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 për pavarësi lineare.

Zgjidhje. Vektorët janë të varur në mënyrë lineare sepse dimensioni i vektorëve është më i vogël se numri i vektorëve.

Shembulli 4

Le të kontrollojmë vektorët a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 për pavarësi lineare.

Zgjidhje. Ne gjejmë vlerat e koeficientëve në të cilët kombinimi linear do të jetë i barabartë me vektorin zero:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

E shkruajmë ekuacionin e vektorit në formë lineare:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ne e zgjidhim këtë sistem duke përdorur metodën e Gausit:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Nga rreshti i 2-të ne zbresim të parin, nga i 3-ti - i pari:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Nga rreshti i parë zbresim të dytin, tek i treti shtojmë të dytin:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Nga zgjidhja rezulton se sistemi ka shumë zgjidhje. Kjo do të thotë se ekziston një kombinim jo zero i vlerave të numrave të tillë x 1, x 2, x 3 për të cilët kombinimi linear i a, b, c është i barabartë me vektorin zero. Prandaj, vektorët a, b, c janë varur në mënyrë lineare.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Prezantuar nga ne veprime lineare në vektorë bëjnë të mundur krijimin e shprehjeve të ndryshme për sasive vektoriale dhe transformojini ato duke përdorur vetitë e vendosura për këto operacione.

Bazuar në një grup të caktuar vektorësh a 1, ..., a n, mund të krijoni një shprehje të formës

ku a 1, ..., dhe n janë numra realë arbitrarë. Kjo shprehje quhet kombinim linear i vektorëve a 1, ..., a n. Numrat α i, i = 1, n, përfaqësojnë koeficientët e kombinimit linear. Një grup vektorësh quhet gjithashtu sistemi vektorial.

Në lidhje me konceptin e paraqitur të një kombinimi linear vektorësh, lind problemi i përshkrimit të një grupi vektorësh që mund të shkruhet si një kombinim linear i një sistemi të caktuar vektorësh a 1, ..., a n. Për më tepër, ekzistojnë pyetje të natyrshme në lidhje me kushtet në të cilat ekziston një paraqitje e një vektori në formën e një kombinimi linear dhe për veçantinë e një paraqitjeje të tillë.

Përkufizimi 2.1. Quhen vektorët a 1, ..., dhe n varur në mënyrë lineare, nëse ekziston një grup koeficientësh α 1 , ... , α n të tillë që

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

dhe të paktën njëri prej këtyre koeficientëve është jo zero. Nëse grupi i specifikuar i koeficientëve nuk ekziston, atëherë thirren vektorët i pavarur në mënyrë lineare.

Nëse α 1 = ... = α n = 0, atëherë, padyshim, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Duke pasur parasysh këtë, mund të themi këtë: vektorët a 1, ..., dhe n janë linearisht të pavarur nëse nga barazia (2.2) rezulton se të gjithë koeficientët α 1 , ... , α n janë të barabartë me zero.

Teorema e mëposhtme shpjegon pse koncepti i ri quhet termi "varësi" (ose "pavarësi") dhe ofron një kriter të thjeshtë për varësinë lineare.

Teorema 2.1. Në mënyrë që vektorët a 1, ..., dhe n, n > 1, të jenë të varur linearisht, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që njëri prej tyre të jetë një kombinim linear i të tjerëve.

◄ Domosdoshmëri. Le të supozojmë se vektorët a 1, ..., dhe n janë të varur në mënyrë lineare. Sipas përkufizimit 2.1 të varësisë lineare, në barazinë (2.2) në të majtë ka të paktën një koeficient jozero, për shembull α 1. Duke e lënë termin e parë në anën e majtë të barazisë, ne zhvendosim pjesën tjetër në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjat e tyre, si zakonisht. Duke pjesëtuar barazinë që rezulton me α 1, marrim

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

ato. paraqitja e vektorit a 1 si një kombinim linear i vektorëve të mbetur a 2, ..., a n.

Përshtatshmëria. Le të, për shembull, vektori i parë a 1 mund të përfaqësohet si një kombinim linear i vektorëve të mbetur: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Duke transferuar të gjithë termat nga ana e djathtë në të majtë, marrim një 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, d.m.th. një kombinim linear i vektorëve a 1, ..., a n me koeficientë α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, e barabartë me vektor zero. Në këtë kombinim linear, jo të gjithë koeficientët janë zero. Sipas përkufizimit 2.1, vektorët a 1, ..., dhe n janë të varur në mënyrë lineare.

Përkufizimi dhe kriteri për varësinë lineare janë formuluar për të nënkuptuar praninë e dy ose më shumë vektorëve. Sidoqoftë, mund të flasim gjithashtu për një varësi lineare të një vektori. Për të realizuar këtë mundësi, në vend të "vektorët janë të varur në mënyrë lineare", duhet të thoni "sistemi i vektorëve është i varur në mënyrë lineare". Është e lehtë të shihet se shprehja "një sistem i një vektori është i varur në mënyrë lineare" do të thotë se ky vektor i vetëm është zero (në një kombinim linear ka vetëm një koeficient, dhe ai nuk duhet të jetë i barabartë me zero).

Koncepti i varësisë lineare ka një interpretim të thjeshtë gjeometrik. Tre deklaratat e mëposhtme sqarojnë këtë interpretim.

Teorema 2.2. Dy vektorë janë të varur linearisht nëse dhe vetëm nëse ata kolineare.

◄ Nëse vektorët a dhe b janë të varur në mënyrë lineare, atëherë njëri prej tyre, për shembull a, shprehet përmes tjetrit, d.m.th. a = λb për një numër real λ. Sipas përkufizimit 1.7 punon vektorët për numër, vektorët a dhe b janë kolinear.

Le të jenë tani vektorët a dhe b kolinear. Nëse të dyja janë zero, atëherë është e qartë se ato janë të varura në mënyrë lineare, pasi çdo kombinim linear i tyre është i barabartë me vektorin zero. Le të mos jetë një nga këta vektorë të barabartë me 0, për shembull vektori b. Le të shënojmë me λ raportin e gjatësive të vektorit: λ = |a|/|b|. Vektorët kolinearë mund të jenë njëdrejtimëshe ose drejtuar në të kundërt. Në rastin e fundit, ne ndryshojmë shenjën e λ. Pastaj, duke kontrolluar përkufizimin 1.7, jemi të bindur se a = λb. Sipas teoremës 2.1, vektorët a dhe b janë të varur në mënyrë lineare.

Vërejtje 2.1. Në rastin e dy vektorëve, duke marrë parasysh kriterin e varësisë lineare, teorema e provuar mund të riformulohet si më poshtë: dy vektorë janë kolinear nëse dhe vetëm nëse njëri prej tyre përfaqësohet si prodhim i tjetrit me një numër. Ky është një kriter i përshtatshëm për kolinearitetin e dy vektorëve.

Teorema 2.3. Tre vektorë janë të varur linearisht nëse dhe vetëm nëse ata koplanare.

◄ Nëse tre vektorë a, b, c janë të varur linearisht, atëherë, sipas teoremës 2.1, njëri prej tyre, për shembull a, është një kombinim linear i të tjerëve: a = βb + γc. Le të kombinojmë origjinën e vektorëve b dhe c në pikën A. Atëherë vektorët βb, γс do të kenë një origjinë të përbashkët në pikën A dhe përgjatë sipas rregullit të paralelogramit, shuma e tyre është ato. vektori a do të jetë një vektor me origjinë A dhe fund, e cila është kulmi i një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorët përbërës. Kështu, të gjithë vektorët shtrihen në të njëjtin rrafsh, d.m.th., koplanar.

Le të jenë koplanarë vektorët a, b, c. Nëse njëri prej këtyre vektorëve është zero, atëherë është e qartë se do të jetë një kombinim linear i të tjerëve. Mjafton të marrim të gjithë koeficientët e një kombinimi linear të barabartë me zero. Prandaj, mund të supozojmë se të tre vektorët nuk janë zero. E përputhshme filloi të këtyre vektorëve në një pikë të përbashkët O. Fundet e tyre le të jenë përkatësisht pikat A, B, C (Fig. 2.1). Nëpër pikën C vizatojmë drejtëza paralele me drejtëza që kalojnë nëpër çifte pikash O, A dhe O, B. Duke përcaktuar pikat e kryqëzimit si A" dhe B", marrim një paralelogram OA"CB", pra, OC" = OA" + OB". Vektori OA" dhe vektori jozero a = OA janë kolinear, dhe për këtë arsye i pari prej tyre mund të merret duke shumëzuar të dytin me një numër real α:OA" = αOA. Në mënyrë të ngjashme, OB" = βOB, β ∈ R. Si rezultat, marrim se OC" = α OA. + βOB, pra vektori c është një kombinim linear i vektorëve a dhe b. Sipas teoremës 2.1, vektorët a, b, c janë të varur linearisht.

Teorema 2.4.Çdo katër vektorë janë të varur në mënyrë lineare.

◄ Ne e kryejmë vërtetimin sipas të njëjtës skemë si në teoremën 2.3. Konsideroni katër vektorë arbitrarë a, b, c dhe d. Nëse njëri nga katër vektorët është zero, ose midis tyre ka dy vektorë kolinearë, ose tre nga katër vektorët janë koplanarë, atëherë këta katër vektorë janë të varur në mënyrë lineare. Për shembull, nëse vektorët a dhe b janë kolinearë, atëherë mund të bëjmë kombinimin e tyre linear αa + βb = 0 me koeficientë jo zero, dhe më pas të shtojmë dy vektorët e mbetur në këtë kombinim, duke marrë zero si koeficientë. Ne marrim një kombinim linear të katër vektorëve të barabartë me 0, në të cilët ka koeficientë jo zero.

Kështu, mund të supozojmë se midis katër vektorëve të zgjedhur, asnjë vektor nuk është zero, asnjë dy nuk është kolinear dhe asnjë tre nuk është koplanar. Le të zgjedhim pikën O si fillimin e tyre të përbashkët Pastaj skajet e vektorëve a, b, c, d do të jenë disa pika A, B, C, D (Fig. 2.2). Nëpër pikën D vizatojmë tre rrafshe paralel me rrafshet OBC, OCA, OAB dhe le të jenë A", B", C" pikat e prerjes së këtyre rrafsheve përkatësisht me drejtëzat OA, OB, OS. Përftojmë një paralelipiped OA" C "B" C" B"DA", dhe vektorët a, b, c shtrihen në skajet e tij që dalin nga kulmi O. Meqenëse katërkëndëshi OC"DC" është një paralelogram, atëherë OD = OC" + OC "Nga ana tjetër, segmenti OC" është një paralelogram OA"C"B", pra OC" = OA" + OB" dhe OD = OA" + OB" + OC".

Mbetet të theksohet se çiftet e vektorëve OA ≠ 0 dhe OA" , OB ≠ 0 dhe OB" , OC ≠ 0 dhe OC" janë kolinearë dhe, për rrjedhojë, është e mundur të zgjidhen koeficientët α, β, γ në mënyrë që OA" = αOA , OB" = βOB dhe OC" = γOC. Më në fund marrim OD = αOA + βOB + γOC. Rrjedhimisht, vektori OD shprehet përmes tre vektorëve të tjerë, dhe të katër vektorët, sipas Teoremës 2.1, janë të varur në mënyrë lineare.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Zgjidhje. Ne po kërkojmë një zgjidhje të përgjithshme për sistemin e ekuacioneve

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Metoda e Gausit. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë këtë sistem homogjen në koordinata:

Matrica e Sistemit

Sistemi i lejuar ka formën: (r A = 2, n= 3). Sistemi është bashkëpunues dhe i pasigurt. Zgjidhja e saj e përgjithshme ( x 2 – ndryshore e lirë): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Prania e një zgjidhjeje të veçantë jo zero, për shembull, tregon se vektorët a 1 , a 2 , a 3 varur në mënyrë lineare.

Shembulli 2.

Zbuloni nëse një sistem i caktuar vektorësh është i varur ose linearisht i pavarur:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Zgjidhje. Konsideroni një sistem homogjen ekuacionesh a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

ose në formë të zgjeruar (sipas koordinatave)

Sistemi është homogjen. Nëse nuk është i degjeneruar, atëherë ka një zgjidhje unike. Në rastin e një sistemi homogjen, ka një zgjidhje zero (të parëndësishme). Kjo do të thotë se në këtë rast sistemi i vektorëve është i pavarur. Nëse sistemi është i degjeneruar, atëherë ai ka zgjidhje jo zero dhe, për rrjedhojë, është i varur.

Ne kontrollojmë sistemin për degjenerim:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistemi është jo i degjeneruar dhe, si rrjedhim, vektorët a 1 , a 2 , a 3 i pavarur në mënyrë lineare.

Detyrat. Zbuloni nëse një sistem i caktuar vektorësh është i varur ose linearisht i pavarur:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Vërtetoni se një sistem vektorësh do të jetë i varur në mënyrë lineare nëse përmban:

a) dy vektorë të barabartë;

b) dy vektorë proporcionalë.

Detyra 1. Zbuloni nëse sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur. Sistemi i vektorëve do të specifikohet nga matrica e sistemit, kolonat e të cilit përbëhen nga koordinatat e vektorëve.

.

Zgjidhje. Lëreni kombinimin linear e barabartë me zero. Pasi e kemi shkruar këtë barazi në koordinata, marrim sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve:

.

Një sistem i tillë ekuacionesh quhet trekëndësh. Ajo ka vetëm një zgjidhje . Prandaj, vektorët i pavarur në mënyrë lineare.

Detyra 2. Zbuloni nëse sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur.

.

Zgjidhje. Vektorët janë linearisht të pavarur (shih problemin 1). Le të vërtetojmë se vektori është një kombinim linear i vektorëve . Koeficientët e zgjerimit të vektorit përcaktohen nga sistemi i ekuacioneve

.

Ky sistem, si një trekëndësh, ka një zgjidhje unike.

Prandaj, sistemi i vektorëve varur në mënyrë lineare.

Koment. Matricat e të njëjtit lloj si në problemin 1 thirren trekëndëshi , dhe në problemin 2 - trekëndësh i shkallëzuar . Çështja e varësisë lineare të një sistemi vektorësh zgjidhet lehtësisht nëse matrica e përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve është hap trekëndore. Nëse matrica nuk ka një formë të veçantë, atëherë përdorni konvertimet elementare të vargut , duke ruajtur marrëdhëniet lineare midis kolonave, mund të reduktohet në një formë trekëndore hapash.

Konvertimet elementare të vargut matricat (EPS) veprimet e mëposhtme në një matricë quhen:

1) rirregullimi i linjave;

2) shumëzimi i një vargu me një numër jo zero;

3) shtimi i një vargu tjetër në një varg, i shumëzuar me një numër arbitrar.

Detyra 3. Gjeni nënsistemin maksimal linear të pavarur dhe llogaritni rangun e sistemit të vektorëve

.

Zgjidhje. Le të reduktojmë matricën e sistemit duke përdorur EPS në një formë trekëndore hapash. Për të shpjeguar procedurën, shënojmë vijën me numrin e matricës që do të transformohet me simbolin . Kolona pas shigjetës tregon veprimet në rreshtat e matricës që konvertohet që duhet të kryhen për të marrë rreshtat e matricës së re.

.

Natyrisht, dy kolonat e para të matricës që rezulton janë linearisht të pavarura, kolona e tretë është kombinimi i tyre linear dhe e katërta nuk varet nga dy të parat. Vektorët quhen bazë. Ato formojnë një nënsistem maksimal linear të pavarur të sistemit , dhe rangu i sistemit është tre.

Baza, koordinatat

Detyra 4. Gjeni bazën dhe koordinatat e vektorëve në këtë bazë në bashkësinë e vektorëve gjeometrikë, koordinatat e të cilëve plotësojnë kushtin .

Zgjidhje. Kompleti është një aeroplan që kalon përmes origjinës. Një bazë arbitrare në një plan përbëhet nga dy vektorë jo-kolinearë. Koordinatat e vektorëve në bazën e zgjedhur përcaktohen duke zgjidhur sistemin përkatës të ekuacioneve lineare.

Ekziston një mënyrë tjetër për të zgjidhur këtë problem, kur mund të gjeni bazën duke përdorur koordinatat.

Koordinatat hapësirat nuk janë koordinata në rrafsh, pasi ato lidhen nga relacioni , pra nuk janë të pavarur. Variablat e pavarur dhe (ato quhen të lira) përcaktojnë në mënyrë unike një vektor në rrafsh dhe, për rrjedhojë, ato mund të zgjidhen si koordinata në . Pastaj baza përbëhet nga vektorë të shtrirë dhe që u korrespondojnë grupeve të ndryshoreve të lira Dhe , kjo eshte .

Detyra 5. Gjeni bazën dhe koordinatat e vektorëve në këtë bazë në bashkësinë e të gjithë vektorëve në hapësirë, koordinatat tek të cilat janë të barabarta me njëri-tjetrin.

Zgjidhje. Le të zgjedhim, si në problemin e mëparshëm, koordinatat në hapësirë.

Sepse , pastaj variablat e lira përcaktojnë në mënyrë unike vektorin nga dhe prandaj janë koordinata. Baza përkatëse përbëhet nga vektorë.

Detyra 6. Gjeni bazën dhe koordinatat e vektorëve në këtë bazë në bashkësinë e të gjitha matricave të formës , Ku – numra arbitrar.

Zgjidhje. Çdo matricë nga përfaqësohet në mënyrë unike në formën:

Kjo lidhje është zgjerimi i vektorit nga në lidhje me bazën
me koordinata .

Detyra 7. Gjeni dimensionin dhe bazën e trupit linear të një sistemi vektorësh

.

Zgjidhje. Duke përdorur EPS, ne e transformojmë matricën nga koordinatat e vektorëve të sistemit në një formë trekëndore hapash.

.

Kolonat matricat e fundit janë linearisht të pavarura dhe kolonat të shprehura në mënyrë lineare nëpërmjet tyre. Prandaj, vektorët formojnë një bazë , Dhe .

Koment. Baza në është zgjedhur në mënyrë të paqartë. Për shembull, vektorët gjithashtu përbëjnë një bazë .

Vektorët, vetitë e tyre dhe veprimet me ta

Vektorët, veprimet me vektorë, hapësira vektoriale lineare.

Vektorët janë një koleksion i renditur i një numri të kufizuar numrash realë.

Veprimet: 1.Shumëzimi i një vektori me një numër: lambda*vektor x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. Mbledhja e vektorëve (i përkasin të njëjtës hapësirë ​​vektoriale) vektor x + vektor y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektori 0=(0,0…0)---n E n – n-dimensionale (hapësirë ​​lineare) vektor x + vektor 0 = vektor x

Teorema. Në mënyrë që një sistem prej n vektorësh, një hapësirë ​​lineare n-dimensionale, të jetë i varur në mënyrë lineare, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që njëri prej vektorëve të jetë një kombinim linear i të tjerëve.

Teorema. Çdo grup vektorësh n+ 1 të hapësirës lineare n-dimensionale të dukurive. varur në mënyrë lineare.

Mbledhja e vektorëve, shumëzimi i vektorëve me numra. Zbritja e vektorëve.

Shuma e dy vektorëve është një vektor i drejtuar nga fillimi i vektorit deri në fund të vektorit, me kusht që fillimi të përkojë me fundin e vektorit. Nëse vektorët jepen nga zgjerimet e tyre në vektorët e njësive bazë, atëherë kur mblidhen vektorët, shtohen koordinatat e tyre përkatëse.

Le ta shqyrtojmë këtë duke përdorur shembullin e një sistemi koordinativ kartezian. Le

Le ta tregojmë atë

Nga Figura 3 është e qartë se

Shuma e çdo numri të fundëm vektorësh mund të gjendet duke përdorur rregullin e shumëkëndëshit (Fig. 4): për të ndërtuar shumën e një numri të kufizuar vektorësh, mjafton të kombinoni fillimin e çdo vektori pasues me fundin e atij të mëparshëm. dhe ndërtoni një vektor që lidh fillimin e vektorit të parë me fundin e të fundit.

Karakteristikat e veprimit të mbledhjes së vektorit:

Në këto shprehje m, n janë numra.

Dallimi midis vektorëve quhet vektor. Termi i dytë është një vektor i kundërt me vektorin në drejtim, por i barabartë me të në gjatësi.

Kështu, operacioni i zbritjes së vektorëve zëvendësohet nga një operacion mbledhjeje

Një vektor, fillimi i të cilit është në origjinë dhe mbarimi në pikën A (x1, y1, z1) quhet vektor i rrezes së pikës A dhe shënohet thjesht. Meqenëse koordinatat e saj përkojnë me koordinatat e pikës A, zgjerimi i saj në vektorë njësi ka formën

Një vektor që fillon në pikën A(x1, y1, z1) dhe përfundon në pikën B(x2, y2, z2) mund të shkruhet si

ku r 2 është vektori i rrezes së pikës B; r 1 - vektori i rrezes së pikës A.

Prandaj, zgjerimi i vektorit në vektorë njësi ka formën

Gjatësia e saj është e barabartë me distancën midis pikave A dhe B

SHUMËZIMI

Pra, në rastin e një problemi të rrafshët, prodhimi i një vektori me a = (ax; ay) me numrin b gjendet me formulën

a b = (ax b; ay b)

Shembulli 1. Gjeni prodhimin e vektorit a = (1; 2) me 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Pra, në rastin e një problemi hapësinor, prodhimi i vektorit a = (ax; ay; az) me numrin b gjendet me formulën

a b = (ax b; ay b; az b)

Shembulli 1. Gjeni prodhimin e vektorit a = (1; 2; -5) me 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Prodhimi pikash i vektorëve dhe ku është këndi ndërmjet vektorëve dhe ; nëse njëra, atëherë

Nga përkufizimi i produktit skalar del se

ku, për shembull, është madhësia e projeksionit të vektorit në drejtimin e vektorit.

Vektori skalar në katror:

Karakteristikat e produktit me pika:

Produkti me pika në koordinata

Nëse Se

Këndi ndërmjet vektorëve

Këndi ndërmjet vektorëve - këndi ndërmjet drejtimeve të këtyre vektorëve (këndi më i vogël).

Produkt i kryqëzuar (Produkt i kryqëzuar i dy vektorëve.) - ky është një pseudovektor pingul me një plan të ndërtuar nga dy faktorë, i cili është rezultat i operacionit binar "shumëzimi i vektorit" mbi vektorët në hapësirën Euklidiane tredimensionale. Produkti nuk është as komutativ dhe as asociativ (është antikomutativ) dhe është i ndryshëm nga produkti me pika i vektorëve. Në shumë probleme inxhinierike dhe fizike, ju duhet të jeni në gjendje të ndërtoni një vektor pingul me dy ekzistues - produkti vektor e ofron këtë mundësi. Produkti kryq është i dobishëm për "matjen" e pingulitetit të vektorëve - gjatësia e prodhimit kryq të dy vektorëve është e barabartë me produktin e gjatësive të tyre nëse janë pingul, dhe zvogëlohet në zero nëse vektorët janë paralelë ose antiparalelë.

Produkti kryq përcaktohet vetëm në hapësira tre-dimensionale dhe shtatë-dimensionale. Rezultati i një produkti vektorial, si një produkt skalar, varet nga metrika e hapësirës Euklidiane.

Ndryshe nga formula për llogaritjen e vektorëve të produktit skalar nga koordinatat në një sistem koordinativ drejtkëndor tredimensional, formula për produktin kryq varet nga orientimi i sistemit të koordinatave drejtkëndore ose, me fjalë të tjera, "kiraliteti" i tij.

Kolineariteti i vektorëve.

Dy vektorë jozero (jo të barabartë me 0) quhen kolinearë nëse shtrihen në drejtëza paralele ose në të njëjtën drejtëz. Një sinonim i pranueshëm, por jo i rekomanduar, është vektorët "paralel". Vektorët kolinearë mund të jenë të drejtuar në mënyrë identike ("bashkëdrejtues") ose të kundërt (në rastin e fundit ata nganjëherë quhen "antikolinearë" ose "antiparalelë").

Produkti i përzier i vektorëve ( a, b, c)- prodhimi skalar i vektorit a dhe produkti vektorial i vektorëve b dhe c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

nganjëherë quhet produkti i trefishtë i vektorëve, me sa duket sepse rezultati është një skalar (më saktë, një pseudoskalar).

Kuptimi gjeometrik: Moduli i produktit të përzier numerikisht është i barabartë me vëllimin e paralelopipedit të formuar nga vektorët (a,b,c) .

Vetitë

Një produkt i përzier është ankor-simetrik në lidhje me të gjitha argumentet e tij: d.m.th. e. Riorganizimi i dy faktorëve ndryshon shenjën e produktit. Nga kjo rrjedh se produkti i përzier në sistemin e duhur të koordinatave karteziane (në bazë ortonormale) është i barabartë me përcaktuesin e një matrice të përbërë nga vektorë dhe:

Produkti i përzier në sistemin e majtë të koordinatave karteziane (në bazë ortonormale) është i barabartë me përcaktuesin e matricës së përbërë nga vektorë dhe, marrë me shenjën minus:

Veçanërisht,

Nëse çdo dy vektorë janë paralelë, atëherë me çdo vektor të tretë ata formojnë një produkt të përzier të barabartë me zero.

Nëse tre vektorë janë të varur linearisht (d.m.th., koplanar, të shtrirë në të njëjtin plan), atëherë produkti i tyre i përzier është i barabartë me zero.

Kuptimi gjeometrik - Produkti i përzier është i barabartë në vlerë absolute me vëllimin e paralelopipedit (shih figurën) të formuar nga vektorët dhe; shenja varet nëse kjo treshe vektorësh është djathtas apo majtas.

Koplanariteti i vektorëve.

Tre vektorë (ose një numër më i madh) quhen koplanarë nëse ata, duke u reduktuar në një origjinë të përbashkët, shtrihen në të njëjtin rrafsh.

Vetitë e bashkëplanaritetit

Nëse të paktën njëri nga tre vektorët është zero, atëherë të tre vektorët konsiderohen gjithashtu koplanarë.

Një trefish i vektorëve që përmbajnë një palë vektorësh kolinearë është koplanar.

Produkt i përzier i vektorëve koplanarë. Ky është një kriter për bashkëplanaritetin e tre vektorëve.

Vektorët koplanarë janë të varur në mënyrë lineare. Ky është gjithashtu një kriter për koplanaritetin.

Në hapësirën 3-dimensionale, 3 vektorë jokoplanarë formojnë një bazë

Vektorë të varur dhe linearisht të pavarur.

Sisteme vektoriale të varura dhe të pavarura në mënyrë lineare.Përkufizimi. Sistemi vektorial quhet varur në mënyrë lineare, nëse ekziston të paktën një kombinim linear jo i parëndësishëm i këtyre vektorëve të barabartë me vektorin zero. Përndryshe, d.m.th. nëse vetëm një kombinim linear i parëndësishëm i vektorëve të dhënë është i barabartë me vektorin zero, vektorët quhen i pavarur në mënyrë lineare.

Teorema (kriteri i varësisë lineare). Në mënyrë që një sistem vektorësh në një hapësirë ​​lineare të jetë i varur në mënyrë lineare, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të paktën njëri prej këtyre vektorëve të jetë një kombinim linear i të tjerëve.

1) Nëse midis vektorëve ka të paktën një vektor zero, atëherë i gjithë sistemi i vektorëve është i varur në mënyrë lineare.

Në fakt, nëse, për shembull, , atëherë, duke supozuar , kemi një kombinim linear jo të parëndësishëm .▲

2) Nëse midis vektorëve disa formojnë një sistem të varur linearisht, atëherë i gjithë sistemi është i varur linearisht.

Në të vërtetë, le që vektorët , , të jenë të varur linearisht. Kjo do të thotë se ekziston një kombinim linear jo i parëndësishëm i barabartë me vektorin zero. Por pastaj, duke supozuar , marrim gjithashtu një kombinim linear jo të parëndësishëm të barabartë me vektorin zero.

2. Baza dhe dimensioni. Përkufizimi. Sistemi i vektorëve linearisht të pavarur quhet hapësira vektoriale bazë të kësaj hapësire nëse ndonjë vektor nga mund të paraqitet si kombinim linear i vektorëve të këtij sistemi, d.m.th. për çdo vektor ka numra realë të tillë që barazia vlen Kjo barazi quhet zbërthimi i vektorit sipas bazës dhe numrave quhen koordinatat e vektorit në lidhje me bazën(ose në bazë) .

Teorema (mbi veçantinë e zgjerimit në lidhje me bazën). Çdo vektor në hapësirë ​​mund të zgjerohet në një bazë në të vetmen mënyrë, d.m.th. koordinatat e secilit vektor në bazë përcaktohen pa mëdyshje.