1. Seksioni boshtor cilindër është një pjesë e cilindrit nga një aeroplan që kalon nëpër boshtin e tij. Seksioni kryq aksial i cilindrit është drejtkëndësh.
2. Seksioni i një cilindri me një plan paralel me bazën.
Në këtë rast, seksioni kryq është një rreth i barabartë dhe paralel me bazën.
Koni
Një kon është një trup gjeometrik që përbëhet nga një rreth - bazat kon, një pikë që nuk shtrihet në rrafshin e këtij rrethi, − majat kon dhe të gjitha segmentet që lidhin majën e konit me pikat e bazës.
Quhen segmentet që lidhin kulmin e konit me pikat e rrethit bazë duke formuar kon
Koni quhet e drejtpërdrejtë, nëse vija e drejtë që lidh majën e konit me qendrën e bazës është pingul me rrafshin e bazës.
Aktiv oriz. A) kon i drejtë, b) kon i prirur.
Në vijim do të shqyrtojmë vetëm një kon të drejtë!
S- maja e konit.
Rrethi me qendra RRETH– baza e konit.
S.A.,C.B., SC– duke formuar kone.
Lartësia e një koni quhet pinguli i zbritur nga maja e tij në rrafshin e bazës.
Boshti e një koni është një vijë e drejtë që përmban lartësinë e saj ( KËSHTU QË).
Karakteristikat e konit:
Gjeneratorët e konit janë të barabartë.
Një kon mund të konsiderohet si një trup i marrë duke rrotulluar një trekëndësh kënddrejtë rreth anës së tij.
Seksionet më të thjeshta të një koni.
1. Seksioni boshtor koni është një pjesë e një koni nga një rrafsh që kalon nëpër boshtin e tij. Seksioni boshtor i konit është trekëndëshi.
2. Seksion i një koni me një rrafsh paralel me bazën.
Në këtë rast, seksioni kryq është një rreth i ngjashëm dhe paralel me bazën.
Një top është një trup gjeometrik që përbëhet nga të gjitha pikat në hapësirë të vendosura në një distancë jo më të madhe se një e dhënë nga një pikë e caktuar.
Kjo pikë ( RRETH) quhet qendër top, dhe kjo distancë është rreze top.
Kufiri i topit quhet sipërfaqe sferike ose sferë.
Çdo segment që lidh qendrën e një topi me një pikë në sipërfaqen sferike quhet rreze top ( O.D., OB, OA).
Diametri i topitështë një segment që lidh dy pika në një sipërfaqe sferike dhe kalon nëpër qendrën e topit ( AB).
Karakteristikat e topit:
Rrezet e topit janë të barabarta;
Diametrat e topit janë të barabartë.
Një top mund të konsiderohet si një trup i marrë duke rrotulluar një gjysmërreth rreth diametrit të tij.
Seksionet më të thjeshta të një topi
1. Seksion i një topi nga një aeroplan që kalon nga qendra e tij. Në këtë rast, seksioni është rreth i madh.
2. Seksioni i një topi nga një aeroplan Jo duke kaluar nëpër qendrën e saj. Në këtë rast, seksioni është rrethi.
Cilindri (cilindër rrethor i drejtë)është një trup i përbërë nga dy rrathë (bazat e një cilindri), të kombinuara nga përkthimi paralel, dhe të gjitha segmentet që lidhin pikat përkatëse të këtyre rrathëve gjatë përkthimit paralel. Segmentet që lidhin pikat përkatëse të rrathëve bazë quhen gjeneratorë të cilindrit.
Këtu është një përkufizim tjetër:
Cilindri- një trup që kufizohet nga një sipërfaqe cilindrike me një udhëzues të mbyllur dhe dy plane paralele që kryqëzojnë gjeneratat e kësaj sipërfaqeje.
Sipërfaqja cilindrike- një sipërfaqe që formohet nga lëvizja e një vije të drejtë përgjatë një kthese të caktuar. Vija e drejtë quhet gjenerata e sipërfaqes cilindrike, dhe vija e lakuar quhet drejtuese e sipërfaqes cilindrike.
Sipërfaqja anësore e cilindrit- pjesë e një sipërfaqe cilindrike që kufizohet me plane paralele.
Bazat e cilindrave- pjesë të planeve paralele të prera nga sipërfaqja anësore e cilindrit.
Fig.1 mini
Cilindri quhet e drejtpërdrejtë(Cm. Fig.1), nëse gjeneratorët e tij janë pingul me rrafshet e bazave. Ndryshe quhet cilindri të prirur.
Cilindri rrethor- një cilindër bazat e të cilit janë rrathë.
Cilindri rrethor i djathtë (vetëm një cilindër)është një trup që përftohet duke rrotulluar një drejtkëndësh rreth njërës anë të tij. Cm. Fig.1.
Rrezja e cilindritështë rrezja e bazës së saj.
Gjeneratori i cilindrit- gjeneratori i një sipërfaqe cilindrike.
Lartësia e cilindrit quhet largësia ndërmjet rrafsheve të bazave. Boshti i cilindrit quhet një vijë e drejtë që kalon nëpër qendrat e bazave. Prerja e një cilindri nga një plan që kalon nëpër boshtin e cilindrit quhet seksioni boshtor.
Boshti i cilindrit është paralel me gjeneratorin e tij dhe është boshti i simetrisë së cilindrit.
Një plan që kalon nëpër gjeneratën e një cilindri të drejtë dhe pingul me seksionin boshtor të tërhequr përmes kësaj gjenerate quhet rrafshi tangjent i cilindrit. Cm. Fig.2.
Zhvillimi i sipërfaqes anësore të cilindrit- një drejtkëndësh me anët e barabarta me lartësinë e cilindrit dhe perimetrin e bazës.
Sipërfaqja anësore e cilindrit- zona e zhvillimit të sipërfaqes anësore. $$S_(ana)=2\pi\cdot rh$$ , ku hështë lartësia e cilindrit, dhe r– rrezja e bazës.
Sipërfaqja totale e një cilindri- sipërfaqe, e cila është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të dy bazave të cilindrit dhe sipërfaqes anësore të tij, d.m.th. shprehet me formulën: $$S_(plot)=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , ku hështë lartësia e cilindrit, dhe r– rrezja e bazës.
Vëllimi i çdo cilindri e barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë: $$V = S\cdot h$$ Vëllimi i një cilindri të rrumbullakët: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , ku ( r- rrezja e bazës).
Një prizëm është një lloj cilindri i veçantë (gjeneratat janë paralele me brinjët anësore; udhëzuesi është një shumëkëndësh i shtrirë në bazë). Nga ana tjetër, një cilindër arbitrar mund të konsiderohet si një prizëm i degjeneruar (“i lëmuar”) me një numër shumë të madh faqesh shumë të ngushta. Në praktikë, një cilindër nuk dallohet nga një prizëm i tillë. Të gjitha vetitë e prizmit ruhen në cilindër.
Sipërfaqja cilindrike m Disa vijë të drejtë m, që lëviz përgjatë një kurbë, përshkruan një sipërfaqe cilindrike. Nëse kjo kurbë është e mbyllur, atëherë përshkruhet një sipërfaqe cilindrike e mbyllur. Nëse një kurbë e mbyllur ka formën e një rrethi, atëherë përshkruhet një cilindër rrethor. Nëse drejtëza m është pingul me rrafshin e lakores, atëherë përshkruhet një cilindër rrethor i djathtë LLOJET E CILINDRAVE Cilindër eliptik LLOJET CILINDRAVE Cilindër hiperbolik LLOJET E CILINDRAVE Cilindri parabolik 07/26/2014 Definimi i një. Cilindri është një trup që përbëhet nga dy rrathë që nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe janë të kombinuara me përkthim paralel, dhe të gjitha segmentet që lidhin pikat përkatëse të këtyre rrathëve. Cilindri mund të merret duke rrotulluar një drejtkëndësh rreth një vije të drejtë që përmban ndonjë nga anët e një cilindri. Rrezja e një cilindri është rrezja e bazës së tij. Lartësia e një cilindri është distanca midis rrafsheve të bazave të tij. Boshti i një cilindri është një vijë e drejtë që kalon nëpër qendrat e bazave. Vetitë e cilindrit. 1) Bazat janë të barabarta dhe paralele. 2) Të gjitha gjeneratat e cilindrit janë paralele dhe të barabarta me njëra-tjetrën Zhvillimi i cilindrit Sipërfaqja anësore e cilindrit zhvillohet në një drejtkëndësh, njëra anë e të cilit është lartësia e cilindrit dhe tjetra është gjatësia e bazës. perimetri Një cilindër barabrinjës është një cilindër seksioni boshtor i të cilit është seksioni katror i cilindrit. Seksioni kryq i një cilindri me një plan paralel me boshtin e tij është një drejtkëndësh. Dy anët e tij janë gjenerata të cilindrit, dhe dy të tjerat janë korda paralele të bazave. Seksioni i cilindrit që kalon nëpër boshtin e cilindrit quhet seksion boshtor dhe është gjithashtu një drejtkëndësh. Një plan paralel me rrafshin e bazës së cilindrit kryqëzon sipërfaqen e tij anësore përgjatë një rrethi të barabartë me perimetrin e bazës. Plani tangjent Nëse një rrafsh ka një drejtëz të përbashkët me sipërfaqen anësore, atëherë ky rrafsh quhet rrafsh tangjent. Vija e tangencës është gjenerata e cilindrit. Cila është rrezja, lartësia, gjenerata dhe boshti i cilindrit?
Stereometria është një degë e gjeometrisë në të cilën studiohen figurat në hapësirë. Shifrat kryesore në hapësirë janë një pikë, një vijë e drejtë dhe një plan. Në stereometri, shfaqet një lloj i ri i renditjes relative të vijave: vijat e kryqëzimit. Ky është një nga dallimet e pakta domethënëse midis stereometrisë dhe planimetrisë, pasi në shumë raste problemet në stereometri zgjidhen duke marrë parasysh plane të ndryshme në të cilat plotësohen ligjet planimetrike.
Në natyrën që na rrethon, ka shumë objekte që janë modele fizike të kësaj figure. Për shembull, shumë pjesë makinerish kanë formën e një cilindri ose janë një kombinim i tyre, dhe kolonat madhështore të tempujve dhe katedraleve, të bëra në formën e cilindrave, theksojnë harmoninë dhe bukurinë e tyre.
greke − kylindros. Një term i lashtë. Në jetën e përditshme - një rrotull papirusi, një rul, një rul (folje - për të përdredhur, rrokulliset).
Për Euklidin, një cilindër fitohet duke rrotulluar një drejtkëndësh. Në Cavalieri - me lëvizjen e gjeneratorit (me një udhëzues arbitrar - një "cilindër").
Qëllimi i kësaj eseje është të shqyrtojë një trup gjeometrik - një cilindër.
Për të arritur këtë qëllim, është e nevojshme të merren parasysh detyrat e mëposhtme:
− japin përkufizimet e një cilindri;
− konsideroni elementet e cilindrit;
− të studiojë vetitë e cilindrit;
− konsideroni llojet e seksioneve të cilindrave;
- nxjerr formulën për sipërfaqen e një cilindri;
− nxjerr formulën për vëllimin e një cilindri;
− zgjidh problema duke përdorur një cilindër.
1.1. Përkufizimi i një cilindri
Le të shqyrtojmë një vijë (lakore, të thyer ose të përzier) l që shtrihet në një rrafsh α, dhe një vijë të drejtë S që e prenë këtë rrafsh. Nëpër të gjitha pikat e një drejtëze të caktuar l vizatojmë drejtëza paralele me drejtëzën S; sipërfaqja α e formuar nga këto vija të drejta quhet sipërfaqe cilindrike. Drejtëza l quhet drejtuese e kësaj sipërfaqeje, vijat s 1, s 2, s 3,... janë gjeneruesit e saj.
Nëse udhëzuesi është i prishur, atëherë një sipërfaqe e tillë cilindrike përbëhet nga një numër shiritash të sheshtë të mbyllur midis çifteve të vijave të drejta paralele dhe quhet sipërfaqe prizmatike. Gjeneratat që kalojnë nëpër kulmet e vijës së thyer udhëzuese quhen skajet e sipërfaqes prizmatike, shiritat e sheshtë midis tyre janë faqet e saj.
Nëse zbërthejmë ndonjë sipërfaqe cilindrike me një rrafsh arbitrar që nuk është paralel me gjeneratorët e saj, do të përftojmë një vijë që mund të merret edhe si udhërrëfyes për këtë sipërfaqe. Ndër udhëzuesit, ai që bie në sy është ai që përftohet duke prerë sipërfaqen me një rrafsh pingul me gjeneratat e sipërfaqes. Një seksion i tillë quhet seksion normal, dhe udhëzuesi përkatës quhet udhëzues normal.
Nëse udhëzuesi është një vijë e mbyllur (konvekse) (e thyer ose e lakuar), atëherë sipërfaqja përkatëse quhet sipërfaqe e mbyllur (konvekse) prizmatike ose cilindrike. Sipërfaqet më të thjeshta cilindrike kanë një rreth si udhërrëfyes normal. Le të zbërthejmë një sipërfaqe të mbyllur konvekse prizmatike me dy plane paralele me njëri-tjetrin, por jo paralel me gjeneratorët.
Në seksione marrim shumëkëndësha konveks. Tani pjesa e sipërfaqes prizmatike e mbyllur midis rrafsheve α dhe α" dhe dy pllakat poligonale të formuara në këto plane kufizojnë një trup të quajtur trup prizmatik - një prizëm.
Trupi cilindrik - një cilindër përcaktohet në mënyrë të ngjashme me një prizëm:
Cilindri është një trup i kufizuar nga anët me një sipërfaqe cilindrike të mbyllur (konveks) dhe në skajet me dy baza të sheshta paralele. Të dy bazat e cilindrit janë të barabarta, dhe të gjithë përbërësit e cilindrit janë gjithashtu të barabartë, d.m.th. segmente të gjeneratave të një sipërfaqe cilindrike ndërmjet rrafsheve të bazave.
Një cilindër (më saktë, një cilindër rrethor) është një trup gjeometrik që përbëhet nga dy rrathë që nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe janë të kombinuara nga përkthimi paralel, dhe të gjitha segmentet që lidhin pikat përkatëse të këtyre rrathëve (Fig. 1). .
Rrathët quhen bazat e cilindrit, dhe segmentet që lidhin pikat përkatëse të perimetrit të rrathëve quhen gjeneratorë të cilindrit.
Meqenëse përkthimi paralel është lëvizje, bazat e cilindrit janë të barabarta.
Meqenëse gjatë përkthimit paralel rrafshi shndërrohet në rrafsh paralel (ose në vetvete), atëherë bazat e cilindrit shtrihen në rrafshe paralele.
Meqenëse gjatë përkthimit paralel pikat zhvendosen përgjatë vijave paralele (ose që përputhen) me të njëjtën distancë, atëherë gjeneratorët e cilindrit janë paralelë dhe të barabartë.
Sipërfaqja e cilindrit përbëhet nga baza dhe sipërfaqja anësore. Sipërfaqja anësore është e përbërë nga gjeneratorë.
Cilindri quhet i drejtë nëse gjeneratorët e tij janë pingul me rrafshet e bazave.
Një cilindër i drejtë mund të imagjinohet vizualisht si një trup gjeometrik që përshkruan një drejtkëndësh kur e rrotullon atë rreth anës së tij si një bosht (Fig. 2).
Oriz. 2 − Cilindri i drejtë
Në vijim, ne do të shqyrtojmë vetëm cilindrin e drejtë, duke e quajtur atë thjesht një cilindër për shkurtësi.
Rrezja e një cilindri është rrezja e bazës së tij. Lartësia e një cilindri është distanca midis rrafsheve të bazave të tij. Boshti i një cilindri është një vijë e drejtë që kalon nëpër qendrat e bazave. Është paralel me gjeneratorët.
Cilindri quhet barabrinjës nëse lartësia e tij është e barabartë me diametrin e bazës.
Nëse bazat e cilindrit janë të sheshta (dhe, për rrjedhojë, rrafshet që i përmbajnë ato janë paralele), atëherë cilindri thuhet se qëndron në një rrafsh. Nëse bazat e një cilindri që qëndron në një rrafsh janë pingul me gjeneratorin, atëherë cilindri quhet i drejtë.
Në veçanti, nëse baza e një cilindri që qëndron në një plan është një rreth, atëherë flasim për një cilindër rrethor (rrethor); nëse është një elips, atëherë është eliptike.
1. 3. Seksionet e cilindrit
Seksioni kryq i një cilindri me një plan paralel me boshtin e tij është një drejtkëndësh (Fig. 3, a). Dy anët e tij janë gjeneratorët e cilindrit, dhe dy të tjerat janë korda paralele të bazave.
A) 
b)
V) G)
Oriz. 3 – Seksionet e cilindrit
Në veçanti, drejtkëndëshi është seksioni boshtor. Ky është një seksion i një cilindri me një aeroplan që kalon nëpër boshtin e tij (Fig. 3, b).
Seksioni kryq i një cilindri me një plan paralel me bazën është një rreth (Figura 3, c).
Seksioni kryq i një cilindri me një rrafsh jo paralel me bazën dhe boshtin e tij është ovale (Fig. 3d).
Teorema 1. Një rrafsh paralel me rrafshin e bazës së cilindrit pret sipërfaqen e tij anësore përgjatë një rrethi të barabartë me perimetrin e bazës.
Dëshmi. Le të jetë β një rrafsh paralel me rrafshin e bazës së cilindrit. Përkthimi paralel në drejtim të boshtit të cilindrit, duke kombinuar rrafshin β me rrafshin e bazës së cilindrit, kombinon seksionin e sipërfaqes anësore sipas planit β me perimetrin e bazës. Teorema është vërtetuar.
Sipërfaqja anësore e cilindrit.
Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të cilindrit merret si kufiri në të cilin sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një prizmi të rregullt të gdhendur në cilindër priret kur numri i anëve të bazës së këtij prizmi rritet pafundësisht.
Teorema 2. Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një cilindri është e barabartë me produktin e perimetrit të bazës së tij dhe lartësisë së tij (anën S.c = 2πRH, ku R është rrezja e bazës së cilindrit, H është lartësia e cilindrit).
A) 
b) 
Oriz. 4 − Sipërfaqja anësore e cilindrit
Dëshmi.
Le të jenë P n dhe H perimetri i bazës dhe lartësia e një prizmi të rregullt n-gonal të gdhendur në cilindër, përkatësisht (Fig. 4, a). Atëherë zona e sipërfaqes anësore të këtij prizmi është ana S.c − P n H. Le të supozojmë se numri i anëve të poligonit të gdhendur në bazë rritet pa kufi (Fig. 4, b). Atëherë perimetri P n tenton në perimetrin C = 2πR, ku R është rrezja e bazës së cilindrit dhe lartësia H nuk ndryshon. Kështu, zona e sipërfaqes anësore të prizmit tenton në kufirin e 2πRH, d.m.th., sipërfaqja e sipërfaqes anësore të cilindrit është e barabartë me anën S.c = 2πRH. Teorema është vërtetuar.
Sipërfaqja e përgjithshme e cilindrit.
Sipërfaqja totale e një cilindri është shuma e sipërfaqeve të sipërfaqes anësore dhe dy bazave. Sipërfaqja e secilës bazë të cilindrit është e barabartë me πR 2, prandaj, sipërfaqja e sipërfaqes totale të totalit të cilindrit S llogaritet me formulën S side.c = 2πRH+ 2πR 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
Oriz. 5 − Sipërfaqja totale e cilindrit
Nëse sipërfaqja anësore e cilindrit pritet përgjatë gjeneratorit FT (Fig. 5, a) dhe shpaloset në mënyrë që të gjithë gjeneratorët të jenë në të njëjtin rrafsh, atëherë si rezultat marrim një drejtkëndësh FTT1F1, i cili quhet zhvillimi i sipërfaqja anësore e cilindrit. Ana FF1 e drejtkëndëshit është zhvillimi i rrethit të bazës së cilindrit, pra, FF1 = 2πR, dhe ana e tij FT është e barabartë me gjeneratorin e cilindrit, d.m.th. FT = H (Fig. 5, b). Kështu, sipërfaqja FT∙FF1=2πRH e zhvillimit të cilindrit është e barabartë me sipërfaqen e sipërfaqes anësore të tij.
1.5. Vëllimi i cilindrit
Nëse një trup gjeometrik është i thjeshtë, domethënë mund të ndahet në një numër të kufizuar piramidash trekëndore, atëherë vëllimi i tij është i barabartë me shumën e vëllimeve të këtyre piramidave. Për një trup arbitrar, vëllimi përcaktohet si më poshtë.
Një trup i caktuar ka një vëllim V nëse ka trupa të thjeshtë që e përmbajnë atë dhe trupa të thjeshtë që përmbahen në të me vëllime që janë aq pak të ndryshëm nga V-ja sa të dëshirohet.
Le ta zbatojmë këtë përkufizim për të gjetur vëllimin e një cilindri me rreze bazë R dhe lartësi H.
Gjatë nxjerrjes së formulës për sipërfaqen e një rrethi, u ndërtuan dy n-gona (njëra përmban rrethin, tjetra e përmbajtur në rreth) në mënyrë që zonat e tyre, me një rritje të pakufizuar në n, iu afruan sipërfaqes prej rrethi pa kufi. Le të ndërtojmë shumëkëndësha të tillë për rrethin në bazën e cilindrit. Le të jetë P një shumëkëndësh që përmban një rreth dhe P" të jetë një shumëkëndësh i përfshirë në një rreth (Fig. 6).
Oriz. 7 − Cilindër me një prizëm të përshkruar dhe të gdhendur në të
Le të ndërtojmë dy prizma të drejtë me baza P dhe P" dhe një lartësi H të barabartë me lartësinë e cilindrit. Prizmi i parë përmban një cilindër dhe prizma e dytë gjendet në një cilindër. Meqenëse me një rritje të pakufizuar në n, zonat e bazave të prizmave i afrohen në mënyrë të pakufizuar sipërfaqes së bazës së cilindrit S, atëherë vëllimet e tyre i afrohen SH në mënyrë të pacaktuar, sipas përkufizimit, vëllimit të cilindrit
V = SH = πR 2 H.
Pra, vëllimi i një cilindri është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë.
Detyra 1.
Seksioni boshtor i cilindrit është një katror me sipërfaqe Q.
Gjeni zonën e bazës së cilindrit.
Jepet: cilindër, katror - seksion boshtor i cilindrit, katrori S = Q.
Gjeni: cilindri kryesor S
Ana e sheshit është . Është e barabartë me diametrin e bazës. Prandaj zona e bazës është 
.
Përgjigje: Cilindri kryesor S.
=
Detyra 2.
Një prizëm i rregullt gjashtëkëndor është i gdhendur në një cilindër. Gjeni këndin midis diagonales së faqes së saj anësore dhe boshtit të cilindrit nëse rrezja e bazës është e barabartë me lartësinë e cilindrit.
Jepet: cilindër, prizëm i rregullt gjashtëkëndor i brendashkruar në cilindër, rrezja e bazës = lartësia e cilindrit.
Gjeni: këndin ndërmjet diagonales së faqes anësore të saj dhe boshtit të cilindrit.
Zgjidhje: Faqet anësore të prizmit janë katrore, meqë brinja e një gjashtëkëndëshi të rregullt e brendashkruar në rreth është e barabartë me rrezen.
Skajet e prizmit janë paralele me boshtin e cilindrit, prandaj këndi ndërmjet diagonales së faqes dhe boshtit të cilindrit është i barabartë me këndin midis diagonales dhe skajit anësor. Dhe ky kënd është 45°, pasi fytyrat janë katrore.
Përgjigje: këndi ndërmjet diagonales së faqes anësore të saj dhe boshtit të cilindrit = 45°.
Detyra 3.
Lartësia e cilindrit është 6 cm, rrezja e bazës është 5 cm.
Gjeni sipërfaqen e një seksioni të tërhequr paralel me boshtin e cilindrit në një distancë prej 4 cm prej tij.
Jepet: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.
Gjeni: S sek.
S sek. = KM×KS,
OE = 4 cm, KS = 6 cm.
Trekëndëshi OKM - dykëndësh (OK = OM = R = 5 cm),
trekëndëshi OEK është një trekëndësh kënddrejtë.
Nga trekëndëshi OEK, sipas teoremës së Pitagorës:
KM = 2EK = 2×3 = 6,
S sek. = 6×6 = 36 cm 2.
Qëllimi i kësaj eseje është përmbushur;
Detyrat e mëposhtme konsiderohen:
− jepet përkufizimi i cilindrit;
− merren parasysh elementet e cilindrit;
− merren parasysh llojet e seksioneve të cilindrave;
- nxirret formula për sipërfaqen e një cilindri;
− nxirret formula për vëllimin e cilindrit;
− problema të zgjidhura duke përdorur një cilindër.
1. Pogorelov A.V. Gjeometria: Libër mësuesi për klasat 10 - 11 të institucioneve arsimore, 1995.
2. Beskin L.N. Stereometria. Manual për mësuesit e shkollave të mesme, 1999.
3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Gjeometria: Libër mësuesi për klasat 10 - 11 të institucioneve arsimore, 2000.
4. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Gjeometria: tekst shkollor për klasat 10-11 në institucionet e arsimit të përgjithshëm, 1998.
5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Gjeometria: Stereometria: klasat 10 - 11: Libër shkollor dhe libri me probleme, 2000.
Cilindri është një figurë hapësinore simetrike, vetitë e së cilës merren parasysh në shkollën e mesme në kursin e stereometrisë. Për ta përshkruar atë, përdoren karakteristika lineare si lartësia dhe rrezja e bazës. Në këtë artikull do të shqyrtojmë pyetjet në lidhje me atë se çfarë është seksioni boshtor i një cilindri dhe si të llogariten parametrat e tij përmes karakteristikave themelore lineare të figurës.
Figura gjeometrike
Së pari, le të përcaktojmë figurën që do të diskutohet në artikull. Një cilindër është një sipërfaqe e formuar nga lëvizja paralele e një segmenti me një gjatësi të caktuar përgjatë një kurbë të caktuar. Kushti kryesor për këtë lëvizje është që segmenti të mos i përkasë rrafshit të kurbës.
Figura më poshtë tregon një cilindër kurba (udhëzues) e të cilit është një elips.
Këtu një segment me gjatësi h është gjeneratori dhe lartësia e tij.
Shihet se cilindri përbëhet nga dy baza identike (elipset në këtë rast), të cilat shtrihen në plane paralele, dhe një sipërfaqe anësore. Kjo e fundit i përket të gjitha pikave të linjave formuese.
Para se të kalojmë në shqyrtimin e seksionit boshtor të cilindrave, ne do t'ju tregojmë se cilat lloje të këtyre figurave ekzistojnë.
Nëse vija gjeneruese është pingul me bazat e figurës, atëherë flasim për një cilindër të drejtë. Përndryshe, cilindri do të jetë i prirur. Nëse lidhni pikat qendrore të dy bazave, vija e drejtë që rezulton quhet boshti i figurës. Figura më poshtë tregon ndryshimin midis cilindrave të drejtë dhe të pjerrët.
Mund të shihet se për një figurë të drejtë, gjatësia e segmentit gjenerues përkon me vlerën e lartësisë h. Për një cilindër të pjerrët, lartësia, domethënë distanca midis bazave, është gjithmonë më e vogël se gjatësia e linjës gjeneruese.
Seksioni boshtor i një cilindri të drejtë
Boshtor është çdo seksion i cilindrit që përmban boshtin e tij. Ky përkufizim do të thotë që seksioni boshtor do të jetë gjithmonë paralel me gjeneratorin.
Në një cilindër të drejtë, boshti kalon përmes qendrës së rrethit dhe është pingul me planin e tij. Kjo do të thotë që rrethi në shqyrtim do të kryqëzohet përgjatë diametrit të tij. Figura tregon gjysmë cilindri, i cili është rezultat i kryqëzimit të figurës me një rrafsh që kalon nëpër bosht.
Nuk është e vështirë të kuptohet se pjesa boshtore e një cilindri të drejtë rrethore është një drejtkëndësh. Anët e saj janë diametri d i bazës dhe lartësia h e figurës.
Le të shkruajmë formulat për zonën e prerjes boshtore të cilindrit dhe gjatësinë h d të diagonales së tij:
Një drejtkëndësh ka dy diagonale, por të dyja janë të barabarta me njëra-tjetrën. Nëse dihet rrezja e bazës, atëherë nuk është e vështirë të rishkruash këto formula përmes saj, duke qenë se është gjysma e diametrit.
Seksioni boshtor i një cilindri të pjerrët
Fotografia e mësipërme tregon një cilindër të pjerrët të bërë prej letre. Nëse bëni seksionin e tij boshtor, nuk do të merrni më një drejtkëndësh, por një paralelogram. Anët e tij janë sasi të njohura. Njëra prej tyre, si në rastin e prerjes tërthore të një cilindri të drejtë, është e barabartë me diametrin d të bazës, tjetra është gjatësia e segmentit formues. Le ta shënojmë b.
Për të përcaktuar në mënyrë të qartë parametrat e një paralelogrami, nuk mjafton të dimë gjatësitë e anës së tij. Një kënd tjetër midis tyre nevojitet. Le të supozojmë se këndi akut ndërmjet udhëzuesit dhe bazës është α. Ky do të jetë gjithashtu këndi midis anëve të paralelogramit. Pastaj formula për zonën e prerjes boshtore të një cilindri të pjerrët mund të shkruhet si më poshtë:
Diagonalet e seksionit boshtor të një cilindri të pjerrët janë disi më të vështira për t'u llogaritur. Një paralelogram ka dy diagonale me gjatësi të ndryshme. Ne paraqesim shprehje pa derivim që na lejojnë të llogarisim diagonalet e një paralelogrami duke përdorur brinjët e njohura dhe këndin akut midis tyre:
l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));
l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))
Këtu l 1 dhe l 2 janë gjatësitë e diagonaleve të vogla dhe të mëdha, përkatësisht. Këto formula mund të merren në mënyrë të pavarur nëse çdo diagonale e konsiderojmë si një vektor duke futur një sistem koordinativ drejtkëndor në rrafsh.
Problemi i cilindrit të drejtë
Ne do t'ju tregojmë se si të përdorni njohuritë e marra për të zgjidhur problemin e mëposhtëm. Le të na jepet një cilindër i rrumbullakët i drejtë. Dihet që seksioni kryq boshtor i një cilindri është katror. Sa është sipërfaqja e këtij seksioni nëse e gjithë figura është 100 cm 2?
Për të llogaritur zonën e kërkuar, duhet të gjeni ose rrezen ose diametrin e bazës së cilindrit. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën për sipërfaqen totale S f të figurës:
Meqenëse seksioni boshtor është katror, kjo do të thotë se rrezja r e bazës është gjysma e lartësisë h. Duke marrë parasysh këtë, ne mund ta rishkruajmë barazinë e mësipërme si:
S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2
Tani mund të shprehim rrezen r, kemi:
Meqenëse ana e një seksioni katror është e barabartë me diametrin e bazës së figurës, formula e mëposhtme do të jetë e vlefshme për të llogaritur sipërfaqen e saj S:
S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)
Shohim që zona e kërkuar përcaktohet në mënyrë unike nga sipërfaqja e cilindrit. Duke zëvendësuar të dhënat në barazi, vijmë në përgjigjen: S = 21,23 cm 2.
