Teorema e vlerës mesatare. Nëse f(x) është i vazhdueshëm në interval, atëherë ekziston një pikë e tillë që 
. Doc. Një funksion i vazhdueshëm në një interval merr vlerat e tij më të vogla m dhe më të mëdha M në këtë segment. Pastaj 
. Numri 
përmbyllet midis vlerave minimale dhe maksimale të funksionit në segment. Një nga vetitë e një funksioni që është i vazhdueshëm në një interval është se ky funksion merr çdo vlerë të vendosur midis m dhe M. Kështu, ekziston një pikë e tillë që 
. Kjo veti ka një interpretim të thjeshtë gjeometrik: nëse është e vazhdueshme në segment, atëherë ekziston një pikë e tillë që sipërfaqja e trapezit lakor ABCD është e barabartë me sipërfaqen e drejtkëndëshit me bazën dhe lartësinë f(c) (e theksuar në figurë).
7. Integral me një kufi të sipërm të ndryshueshëm. Vazhdimësia dhe diferencimi i tij.
Le të shqyrtojmë një funksion f (x) që është i integrueshëm i Riemann-it në intervalin . Duke qenë se është i integrueshëm në , atëherë është i integrueshëm edhe në ∀x ∈ . Atëherë për çdo x ∈ shprehja ka kuptim, dhe për çdo x është e barabartë me një numër të caktuar.
Kështu, çdo x ∈ shoqërohet me një numër të caktuar,
ato. jepet funksioni:
(3.1)
Përkufizimi:
Funksioni F (x) i përcaktuar në (3.1), si dhe vetë shprehja, thirret
integrale me një kufi të sipërm të ndryshueshëm. Përcaktohet në të gjithë segmentin
integrueshmëria e funksionit f (x).
Kushti: f (t) është i vazhdueshëm në , dhe funksioni F (x) jepet me formulën (3.1).
Deklaratë: Funksioni F(x) është i diferencueshëm në , dhe F (x) = f (x).
(Në pikën a është djathtas i diferencueshëm dhe në pikën b lihet i diferencueshëm.)
Dëshmi:
Meqenëse për një funksion të një ndryshoreje F (x) diferencimi është i barabartë me ekzistencën e një derivati në të gjitha pikat (në pikën a në të djathtë dhe në pikën b në të majtë), do të gjejmë derivatin e F (x) . Le të shqyrtojmë ndryshimin
Kështu,
në këtë rast, pika ξ shtrihet në segment (ose nëse ∆x< 0).
Tani mbani mend se derivati i funksionit F(x) në një pikë të caktuar x ∈ është i barabartë me kufirin e raportit të diferencës: . Nga barazia kemi:
,
Tani duke drejtuar ∆x → 0, në anën e majtë të kësaj barazie marrim F'(x), dhe në anën e djathtë
Le të kujtojmë përkufizimin e vazhdimësisë së funksionit f (t) në pikën x:
Le të jetë x1 në këtë përkufizim me ξ. Meqë ξ ∈ (ξ ∈ ), dhe
∆x → 0, pastaj |x − ξ| → 0, dhe me përkufizimin e vazhdimësisë, f (ξ) → f (x). Nga këtu kemi:
F’(x) = f (x).
Pasoja:
Kushti: f (x) është i vazhdueshëm në .
Pohimi: Çdo antideriv i funksionit f (x) ka formën
ku C ∈ R është disa konstante.
Dëshmi. Nga teorema 3.1 funksioni është një antiderivativ për f(x). Supozoni se G(x) është një tjetër antideriv i f (x). Atëherë G’(x) = f(x) dhe për funksionin F(x) − G(x) kemi: (F (x) + G(x))' = F'(x)−G'(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Prandaj, derivati i funksionit F (x)−G (x)
është e barabartë me zero, prandaj ky funksion është konstant: F(x) − G(x) = konst.
8. Formula e Njuton-Leibnizit për një integral të caktuar.
Teorema:
Gjendja: f(t) është i vazhdueshëm në , dhe F(x) është çdo antiderivativ i tij.
Deklaratë:
Dëshmi: Shqyrtoni disa antiderivativë F (x) të funksionit f (x). Sipas konkluzionit nga teorema "Për diferencimin e një integrali me një kufi të sipërm të ndryshueshëm" (shih pyetjen e mëparshme), ai ka formën . Nga këtu
=>
c=
F(a)
, Dhe
Le të zhvendosim F(a) në barazinë e fundit në anën e majtë, të ripërcaktojmë variablin e integrimit përsëri si x dhe të marrim formulën Njuton-Leibniz:
Teorema. Nëse funksioni f(x) i integrueshëm në intervalin [ a, b], Ku a< b , dhe për të gjithë x ∈ pabarazia qëndron
Duke përdorur pabarazitë nga teorema, mund të vlerësohet integrali i caktuar, d.m.th. tregoni kufijtë ndërmjet të cilëve përmbahet kuptimi i tij. Këto pabarazi shprehin një vlerësim të integralit të caktuar.
Teorema [Teorema mesatare]. Nëse funksioni f(x) i integrueshëm në intervalin [ a, b] dhe për të gjithë x ∈ pabarazitë plotësohen m ≤ f(x) ≤ M, Kjo
Ku m ≤ μ ≤ M.
Komentoni. Në rast se funksioni f(x)është e vazhdueshme në intervalin [ a, b], barazia nga teorema merr formën
Ku c ∈. Numri μ=f(c), e përcaktuar me këtë formulë, quhet vlera mesatare funksione f(x) në segmentin [ a, b]. Kjo barazi ka si më poshtë kuptimi gjeometrik: zona e një trapezi të lakuar të kufizuar nga një vijë e vazhdueshme y=f(x) (f(x) ≤ 0), është e barabartë me sipërfaqen e një drejtkëndëshi me të njëjtën bazë dhe lartësi të barabartë me ordinatën e një pike në këtë vijë.
Ekzistenca e një antiderivati për një funksion të vazhdueshëm
Së pari, ne prezantojmë konceptin e një integrali me një kufi të sipërm të ndryshueshëm.
Lëreni funksionin f(x) i integrueshëm në intervalin [ a, b]. Atëherë cilido qoftë numri x nga [ a, b], funksion f(x) i integrueshëm në intervalin [ a, b]. Prandaj, në intervalin [ a, b] funksioni i përcaktuar
i cili quhet integral me kufi të sipërm të ndryshueshëm.
Teorema. Nëse integrani është i vazhdueshëm në intervalin [ a, b], atëherë derivati i një integrali të caktuar me një kufi të sipërm të ndryshueshëm ekziston dhe është i barabartë me vlerën e integrandit për këtë kufi, d.m.th.
Pasoja. Një integral i caktuar me një kufi të sipërm të ndryshueshëm është një nga antiderivativët për një integrand të vazhdueshëm. Me fjalë të tjera, për çdo funksion të vazhdueshëm në një interval ekziston një antiderivativ.
Shënim 1. Vini re se nëse funksioni f(x) i integrueshëm në intervalin [ a, b], atëherë integrali me një kufi të sipërm të ndryshueshëm është funksion i kufirit të sipërm, i vazhdueshëm në këtë segment. Në të vërtetë, nga St.2 dhe teorema e vlerës mesatare kemi
Shënim 2. Integrali me një kufi të sipërm të ndryshueshëm të integrimit përdoret në përcaktimin e shumë funksioneve të reja, për shembull, 
. Këto funksione nuk janë themelore; siç u përmend tashmë, antiderivativët e integrandeve të treguara nuk shprehen përmes funksioneve elementare.
Rregullat bazë të integrimit
Formula Njuton-Leibniz
Meqenëse çdo dy funksione antiderivative f(x) ndryshojnë me një konstante, atëherë sipas teoremës së mëparshme mund të argumentohet se çdo antiderivativ Φ(x) e vazhdueshme në segmentin [ a, b] funksione f(x) duket si
Ku C- disa konstante.
Duke supozuar në këtë formulë x=a Dhe x=b, duke përdorur integrale të përcaktuara St.1, gjejmë
Këto barazi nënkuptojnë relacionin
që quhet Formula Njuton-Leibniz.
Kështu vërtetuam teoremën e mëposhtme:
Teorema. Integrali i caktuar i një funksioni të vazhdueshëm është i barabartë me diferencën midis vlerave të cilitdo prej antiderivave të tij për kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të integrimit.
Formula Njuton-Leibniz mund të rishkruhet si
Ndryshimi i një ndryshoreje në një integral të caktuar
Teorema. Nëse
- funksionin f(x)është e vazhdueshme në intervalin [ a, b];
- segmenti i linjës [ a, b] është bashkësia e vlerave të funksionit φ(t), të përcaktuara në segment α ≤ t ≤ β dhe duke pasur një derivat të vazhdueshëm mbi të;
- φ(α)=a, φ(β)=b
atëherë formula është e saktë
Formula për integrimin sipas pjesëve
Teorema. Nëse funksionet u=u(x), v=v(x) kanë derivate të vazhdueshme në intervalin [ a, b], atëherë formula është e vlefshme
Vlera e aplikimit teoremat e vlerës mesatare
qëndron në mundësinë e marrjes së një vlerësimi cilësor të vlerës së një integrali të caktuar pa e llogaritur atë. Le të formulojmë
: nëse një funksion është i vazhdueshëm në një interval, atëherë brenda këtij intervali ka një pikë të tillë që 
.
Kjo formulë është mjaft e përshtatshme për të vlerësuar përafërsisht integralin e një funksioni kompleks ose të rëndë. E vetmja pikë që bën formulën të përafërta , është një domosdoshmëri zgjedhje e pavarur pika Nëse marrim rrugën më të thjeshtë - mesin e intervalit të integrimit (siç sugjerohet në një numër tekstesh shkollore), atëherë gabimi mund të jetë mjaft domethënës. Për të marrë një rezultat më të saktë ne rekomandojme kryeni llogaritjen në sekuencën e mëposhtme:
Ndërtoni një grafik të një funksioni në intervalin ;
Vizatoni kufirin e sipërm të drejtkëndëshit në mënyrë që pjesët e prera të grafikut të funksionit të jenë afërsisht e barabartë në sipërfaqe (kjo është pikërisht ajo që tregohet në figurën e mësipërme - dy trekëndësha lakuar janë pothuajse identikë);
Përcaktoni nga figura;
Përdorni teoremën e vlerës mesatare.
Si shembull, le të llogarisim një integral të thjeshtë:
Vlera e saktë;
Për mesin e intervalit 
marrim edhe një vlerë të përafërt, d.m.th. rezultat i qartë i pasaktë;
Duke ndërtuar një grafik me anën e sipërme të drejtkëndëshit të vizatuar në përputhje me rekomandimet, marrim , pra vlerën e përafërt . Një rezultat mjaft i kënaqshëm, gabimi është 0.75%.
Formula e trapezit
Saktësia e llogaritjeve duke përdorur teoremën e vlerës mesatare varet ndjeshëm, siç u tregua, nga qëllimi vizual sipas planit të pikëve. Në të vërtetë, duke zgjedhur, në të njëjtin shembull, pika ose , mund të merrni vlera të tjera të integralit dhe gabimi mund të rritet. Faktorët subjektivë, shkalla e grafikut dhe cilësia e vizatimit ndikojnë shumë në rezultat. Kjo e papranueshme në llogaritjet kritike, kështu që teorema e vlerës mesatare vlen vetëm për të shpejtë cilësisë vlerësime integrale.
Në këtë seksion do të shqyrtojmë një nga metodat më të njohura të integrimit të përafërt - formula trapezoidale . Ideja kryesore e ndërtimit të kësaj formule bazohet në faktin se kurba mund të zëvendësohet afërsisht nga një vijë e thyer, siç tregohet në figurë.
Le të supozojmë, për saktësi (dhe në përputhje me figurën), se intervali i integrimit ndahet në të barabartë (kjo është opsionale, por shumë e përshtatshme) pjesë. Gjatësia e secilës prej këtyre pjesëve llogaritet me formulë dhe quhet hap . Abshisat e pikave të ndarjes, nëse jepen, përcaktohen nga formula, ku . Duke përdorur abshisat e njohura është e lehtë të llogariten ordinatat. Kështu,
Kjo është formula trapezoidale për rastin. Vini re se termi i parë në kllapa është gjysma e ordinatave fillestare dhe fundore, të cilave u shtohen të gjitha ordinatat e ndërmjetme. Për një numër arbitrar të ndarjeve të intervalit të integrimit formula e përgjithshme për trapezoidët ka formën: formulat e kuadraturës: drejtkëndëshat, Simpson, Gaussian etj. Ato bazohen në të njëjtën ide të përfaqësimit të një trapezi lakor nga zona elementare të formave të ndryshme, prandaj, pas zotërimit të formulës së trapezit, të kuptuarit e formulave të ngjashme nuk do të jetë e vështirë. Shumë formula nuk janë aq të thjeshta sa formula trapezoidale, por ato ju lejojnë të merrni rezultate me saktësi të lartë me një numër të vogël ndarjesh.
Duke përdorur formulën trapezoidale (ose të ngjashme), është e mundur të llogariten, me saktësinë e kërkuar në praktikë, si integralet "të pafuqishëm" dhe integralet e funksioneve komplekse ose të rënda.
Me një integral të caktuar nga një funksion i vazhdueshëm f(x) në segmentin përfundimtar [ a, b] (ku ) është shtimi i disa prej antiderivave të tij në këtë segment. (Në përgjithësi, kuptimi do të jetë dukshëm më i lehtë nëse përsëritni temën e integralit të pacaktuar) Në këtë rast, përdoret shënimi
Siç mund të shihet në grafikët e mëposhtëm (rritja e funksionit antiderivativ tregohet nga ), një integral i caktuar mund të jetë ose një numër pozitiv ose negativ(Llogaritet si diferencë midis vlerës së antiderivativit në kufirin e sipërm dhe vlerës së tij në kufirin e poshtëm, d.m.th. F(b) - F(a)).
Numrat a Dhe b quhen përkatësisht kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të integrimit, dhe segmenti [ a, b] – segment i integrimit.
Kështu, nëse F(x) – disa funksione antiderivative për f(x), atëherë, sipas përkufizimit,
(38)
Barazia (38) quhet Formula Njuton-Leibniz . Diferenca F(b) – F(a) shkruhet shkurt si më poshtë:
Prandaj, ne do të shkruajmë formulën e Newton-Leibniz si kjo:
(39)
Le të vërtetojmë se integrali i caktuar nuk varet nga cili antideriv i integrandit merret gjatë njehsimit të tij. Le F(x) dhe F( X) janë antiderivate arbitrare të integrandit. Meqenëse këto janë antiderivate të të njëjtit funksion, ato ndryshojnë nga një term konstant: Ф( X) = F(x) + C. Kjo është arsyeja pse
Kjo vërteton se në segmentin [ a, b] rritja e të gjithë antiderivave të funksionit f(x) përputhen.
Kështu, për të llogaritur një integral të caktuar, është e nevojshme të gjendet ndonjë antiderivativ i integrandit, d.m.th. Së pari ju duhet të gjeni integralin e pacaktuar. Konstante ME përjashtuar nga llogaritjet e mëvonshme. Pastaj zbatohet formula e Njuton-Leibniz: vlera e kufirit të sipërm zëvendësohet në funksionin antiderivativ. b , më tej - vlera e kufirit të poshtëm a dhe diferenca llogaritet F(b) - F(a) . Numri që rezulton do të jetë një integral i caktuar..
Në a = b sipas definicionit pranohet
Shembulli 1.
Zgjidhje. Së pari, le të gjejmë integralin e pacaktuar:
Zbatimi i formulës Njuton-Leibniz në antiderivativin
(në ME= 0), marrim
Megjithatë, kur llogaritet një integral i caktuar, është më mirë të mos gjejmë veçmas antiderivatin, por ta shkruajmë menjëherë integralin në formën (39).
Shembulli 2. Njehsoni integralin e caktuar
Zgjidhje. Duke përdorur formulën
Vetitë e integralit të caktuar
Teorema 2.Vlera e integralit të caktuar nuk varet nga përcaktimi i ndryshores së integrimit, d.m.th.
(40)
Le F(x) – antideriv për f(x). Për f(t) antiderivati është i njëjti funksion F(t), në të cilën ndryshorja e pavarur caktohet vetëm ndryshe. Prandaj,
Bazuar në formulën (39), barazia e fundit nënkupton barazinë e integraleve
Teorema 3.Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e integralit të caktuar, d.m.th.
(41)
Teorema 4.Integrali i caktuar i një shume algjebrike të një numri të caktuar funksionesh është i barabartë me shumën algjebrike të integraleve të caktuar të këtyre funksioneve, d.m.th.
(42)
Teorema 5.Nëse një segment i integrimit ndahet në pjesë, atëherë integrali i caktuar mbi të gjithë segmentin është i barabartë me shumën e integraleve të caktuar mbi pjesët e tij, d.m.th. Nëse
(43)
Teorema 6.Kur rirregulloni kufijtë e integrimit, vlera absolute e integralit të caktuar nuk ndryshon, por ndryshon vetëm shenja e tij., d.m.th.
(44)
Teorema 7(teorema e vlerës mesatare). Një integral i caktuar është i barabartë me produktin e gjatësisë së segmentit të integrimit dhe vlerën e integrandit në një pikë brenda tij, d.m.th.
(45)
Teorema 8.Nëse kufiri i sipërm i integrimit është më i madh se ai i poshtëm dhe integrani është jonegativ (pozitiv), atëherë edhe integrali i caktuar është jonegativ (pozitiv), d.m.th. Nëse
Teorema 9.Nëse kufiri i sipërm i integrimit është më i madh se ai i poshtëm dhe funksionet dhe janë të vazhdueshme, atëherë pabarazia
mund të integrohet term pas termi, d.m.th.
(46)
Vetitë e integralit të caktuar bëjnë të mundur thjeshtimin e llogaritjes së drejtpërdrejtë të integraleve.
Shembulli 5. Njehsoni integralin e caktuar
Duke përdorur teoremat 4 dhe 3, dhe kur gjejmë antiderivativë - integralet e tabelës (7) dhe (6), marrim
Integral i caktuar me kufirin e sipërm të ndryshueshëm
Le f(x) – e vazhdueshme në segmentin [ a, b] funksion, dhe F(x) është antiderivativ i tij. Konsideroni integralin e caktuar
(47)
dhe përmes t ndryshorja e integrimit është caktuar në mënyrë që të mos ngatërrohet me kufirin e sipërm. Kur ndryshon X ndryshon edhe integrali i caktuar (47), d.m.th. është funksion i kufirit të sipërm të integrimit X, të cilin e shënojmë me F(X), d.m.th.
(48)
Le të vërtetojmë se funksioni F(X) është një antiderivativ për f(x) = f(t). Në të vërtetë, duke dalluar F(X), marrim
sepse F(x) – antideriv për f(x), A F(a) është një vlerë konstante.
Funksioni F(X) – një nga numri i pafund i antiderivativëve për f(x), përkatësisht ai që x = a shkon në zero. Ky pohim fitohet nëse në barazi (48) vendosim x = a dhe përdorni teoremën 1 të paragrafit të mëparshëm.
Llogaritja e integraleve të caktuar me metodën e integrimit sipas pjesëve dhe metodën e ndryshimit të ndryshores
ku, sipas përkufizimit, F(x) – antideriv për f(x). Nëse ndryshojmë variablin në integrand
atëherë, në përputhje me formulën (16), mund të shkruajmë
Në këtë shprehje
funksioni antiderivativ për
Në fakt, derivati i tij, sipas rregulli i diferencimit të funksioneve komplekse, është e barabartë
Le të jenë α dhe β vlerat e ndryshores t, për të cilin funksioni
merr vlerat në përputhje me rrethanat a Dhe b, d.m.th.
Por, sipas formulës Njuton-Leibniz, ndryshimi F(b) – F(a) Ka
Metoda e trapezit
Artikulli kryesor:Metoda e trapezit
Nëse funksioni në secilin nga segmentet e pjesshme përafrohet me një vijë të drejtë që kalon nëpër vlerat e fundme, atëherë marrim metodën trapezoidale.
Zona e trapezit në secilin segment:
Gabim i përafrimit në secilin segment:
Ku 
Formula e plotë për trapezoidët në rastin e ndarjes së të gjithë intervalit të integrimit në segmente me gjatësi të barabartë:
Ku
Gabim i formulës së trapezit:
Ku 
Metoda e Simpsonit.
Integrand f(x) zëvendësohet me një polinom interpolimi të shkallës së dytë P(x)- një parabolë që kalon nëpër tre nyje, për shembull, siç tregohet në figurën ((1) - funksioni, (2) - polinomi).
Le të shqyrtojmë dy hapa të integrimit ( h= konst = x i+1 – x i), domethënë tre nyje x 0, x 1, x 2, përmes së cilës vizatojmë një parabolë duke përdorur ekuacionin e Njutonit:
Le z = x - x 0,
Pastaj
Tani, duke përdorur relacionin e marrë, ne llogarisim integralin mbi këtë interval:
.
Për rrjetë uniforme Dhe numri çift i hapave n Formula e Simpson merr formën:
Këtu 
, A 
nën supozimin e vazhdimësisë së derivatit të katërt të integrandit.
[redakto] Saktësia e rritur
Përafrimi i një funksioni nga një polinom i vetëm gjatë gjithë intervalit të integrimit, si rregull, çon në një gabim të madh në vlerësimin e vlerës së integralit.
Për të zvogëluar gabimin, segmenti i integrimit ndahet në pjesë dhe përdoret një metodë numerike për të vlerësuar integralin në secilën prej tyre.
Ndërsa numri i ndarjeve tenton në pafundësi, vlerësimi i integralit tenton në vlerën e tij të vërtetë për funksionet analitike për çdo metodë numerike.
Metodat e mësipërme lejojnë një procedurë të thjeshtë të përgjysmimit të hapit, ku çdo hap kërkon që vlerat e funksionit të llogariten vetëm në nyjet e reja të shtuara. Për të vlerësuar gabimin e llogaritjes, përdoret rregulli i Runge.
Zbatimi i rregullit të Runge
edit]Vlerësimi i saktësisë së llogaritjes së një integrali të caktuar
Integrali llogaritet duke përdorur formulën e zgjedhur (drejtkëndëshat, trapezoidët, parabolat Simpson) me numrin e hapave të barabartë me n, dhe më pas me numrin e hapave të barabartë me 2n. Gabimi në llogaritjen e vlerës së integralit me një numër hapash të barabartë me 2n përcaktohet nga formula Runge:
, për formulat e drejtkëndëshave dhe trapezoidëve, dhe për formulën e Simpsonit.
Kështu, integrali llogaritet për vlerat e njëpasnjëshme të numrit të hapave, ku n 0 është numri fillestar i hapave. Procesi i llogaritjes përfundon kur plotësohet kushti për vlerën tjetër N, ku ε është saktësia e specifikuar.
Karakteristikat e sjelljes së gabuar.
Do të duket pse të analizojmë metoda të ndryshme integrimi nëse mund të arrijmë saktësi të lartë thjesht duke zvogëluar madhësinë e hapit të integrimit. Sidoqoftë, merrni parasysh grafikun e sjelljes së gabimit të pasëm R rezultatet e llogaritjes numerike në varësi të 
dhe nga numri n ndarjet e intervalit (domethënë në hapin . Në seksionin (1) gabimi zvogëlohet për shkak të zvogëlimit të hapit h. Por në seksionin (2) gabimi llogaritës fillon të dominojë, duke u grumbulluar si rezultat i operacioneve të shumta aritmetike. Kështu , për secilën metodë ka të sajën Rmin, e cila varet nga shumë faktorë, por në radhë të parë nga vlera apriori e gabimit të metodës R.
Formula sqaruese e Romberg.
Metoda e Romberg konsiston në rafinimin sekuencial të vlerës së integralit me një rritje të shumëfishtë të numrit të ndarjeve. Formula e trapezoideve me hapa uniforme mund të merret si bazë h.
Le ta shënojmë integralin me numrin e ndarjeve n= 1 si 
.
Duke ulur hapin përgjysmë, marrim 
.
Nëse e zvogëlojmë hapin me 2 n herë në mënyrë të njëpasnjëshme, marrim një lidhje të përsëritjes për llogaritjen.
