Çdo person, gjatë zgjidhjes së problemeve në matematikë, shpesh ndeshet me probleme që përfshijnë thyesa. Ka shumë prej tyre, kështu që ne do të shikojmë opsione të ndryshme për zgjidhjen e këtyre problemeve themelore.
Çfarë janë thyesat
Numri i sipërm i çdo thyese quhet numërues, dhe numri i poshtëm është emëruesi. Një thyesë e zakonshme është herësi i dy numrave, njëri nga këta numra është në numëruesin e thyesës, i dyti është në emëruesin e thyesës. Llojet e këtyre thyesave të zakonshme do të përcaktohen duke krahasuar emëruesin dhe numëruesin e thyesës.
Nëse emëruesi i një thyese (numri natyror) është më i madh se numëruesi i thyesës (numri natyror), atëherë thyesa quhet e duhur. Këtu janë disa shembuj: 7/19; 9/13; 31/152; 5/17.
Nëse emëruesi i një thyese (numri natyror) është më i vogël ose i barabartë me numëruesin e thyesës (numër natyror), atëherë thyesa quhet e pahijshme. Këtu janë disa shembuj: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.
Si të konvertohet fraksioni i papërshtatshëm
Për të kthyer një fraksion të përzier në një fraksion të papërshtatshëm, duhet të shumëzoni të gjithë pjesën e thyesës me emëruesin në pjesën thyesore dhe të shtoni numëruesin në këtë produkt. Pastaj merrni shumën si numërues, duke shkruar të njëjtin emërues si më parë. Ketu jane disa shembuj:
- 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
- 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.
Për të kthyer një thyesë të papërshtatshme në një thyesë të duhur, duhet të ndani numëruesin e thyesës së papërshtatshme me emëruesin e saj. Merreni numrin e plotë që rezulton si pjesën e plotë të thyesës dhe merrni pjesën e mbetur (natyrisht, nëse ka një të tillë) si numërues të pjesës thyesore të thyesës së duhur, duke shkruar të njëjtin emërues si më parë. Ketu jane disa shembuj:
- 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
- 156/12 = (13x12)/12 = 13.
Për të kthyer një thyesë të pasaktë në një dhjetore, është e nevojshme të zbulohet nëse ekziston një faktor i tillë që do të lejojë që emëruesi i pjesës thyesore të thyesës së pasaktë të reduktohet në një numër që është i barabartë me dhjetë (ose një dhjetë që është ngritur në çdo fuqi (10, 100, 1000 dhe më shumë, nëse një faktor i tillë është, atëherë duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e fraksionit të pahijshëm me këtë faktor për ta kontrolluar atë me presje, në pjesën e plotë të thyesës së papërshtatshme Këtu janë shembuj:
- Shumëzuesi "5" - 8/20 = (8x5)/(20x5) = 40/100 = 0,4.
- Shumëzuesi "4" - 14/25 = (14x4)/(25x4) = 56/100 = 0,56.
- Shumëzuesi "25" - 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0,075.
Nëse një faktor i tillë nuk ekziston, kjo do të thotë se kjo thyesë e gabuar në formë dhjetore nuk ka një ekuivalent të qartë. Kjo do të thotë, jo çdo fraksion i papërshtatshëm mund të shndërrohet në një dhjetore. Në këtë rast, duhet të gjeni vlerën e përafërt të fraksionit me shkallën e saktësisë që kërkoni. Ju mund të llogaritni një fraksion të tillë në një kalkulator, në kokën tuaj ose në një kolonë. Këtu janë shembuj: 41/7 = 5(6/7) = 5,9 (rrumbullakosur në të dhjetat), = 5,86 (rrumbullakosur në të qindtat), = 5,857 (rrumbullakosur në të dhjetat); 3/7, 7/6, 1/3 dhe të tjera. Ato gjithashtu nuk janë të përkthyera qartë dhe llogariten në një makinë llogaritëse, në kokë ose në një kolonë.
Tani ju e dini se si të shndërroni një thyesë të papërshtatshme në një thyesë të duhur ose dhjetore!
Në këtë artikull do të flasim për numra të përzier. Së pari, le të përcaktojmë numrat e përzier dhe të japim shembuj. Më tej, le të shohim lidhjen midis numrave të përzier dhe thyesave jo të duhura. Pas kësaj, ne do t'ju tregojmë se si të konvertoni një numër të përzier në një thyesë të papërshtatshme. Së fundi, le të studiojmë procesin e kundërt, i cili quhet ndarja e të gjithë pjesës nga një fraksion i papërshtatshëm.
Navigimi i faqes.
Numrat e përzier, përkufizimi, shembuj
Matematikanët ranë dakord që shuma n+a/b, ku n është një numër natyror, a/b është një thyesë e duhur, mund të shkruhet pa shenjën e mbledhjes në formë. Për shembull, shuma 28+5/7 mund të shkruhet shkurtimisht si . Një rekord i tillë quhej i përzier, dhe numri që i përgjigjet këtij rekord të përzier quhej numër i përzier.
Kështu arrijmë te përkufizimi i një numri të përzier.
Përkufizimi.
Numër i përzierështë një numër i barabartë me shumën e numrit natyror n dhe thyesës së zakonshme të duhur a/b, dhe shkruhet në formën . Në këtë rast, thirret numri n pjesë e plotë e numrit, dhe thirret numri a/b pjesë thyesore e një numri.
Sipas përkufizimit, një numër i përzier është i barabartë me shumën e pjesëve të tij të plota dhe thyesore, domethënë, barazia është e vërtetë, e cila mund të shkruhet kështu: .
Le të japim shembuj të numrave të përzier. Një numër është një numër i përzier, numri natyror 5 është pjesa e plotë e numrit dhe pjesa thyesore e numrit. Shembuj të tjerë të numrave të përzier janë 
.
Ndonjëherë ju mund të gjeni numra në shënime të përziera, por duke pasur një thyesë të papërshtatshme si thyesë, për shembull, ose. Këta numra kuptohen si shuma e pjesëve të tyre të plota dhe thyesore, për shembull, 
Dhe 
. Por numra të tillë nuk i përshtaten përkufizimit të një numri të përzier, pasi pjesa thyesore e numrave të përzier duhet të jetë një thyesë e duhur.
Numri gjithashtu nuk është një numër i përzier, pasi 0 nuk është një numër natyror.
Marrëdhënia midis numrave të përzier dhe thyesave jo të duhura
Ndiqni lidhja midis numrave të përzier dhe thyesave të gabuara më së miri me shembuj.
Lëreni në tepsi një kek dhe 3/4 e të njëjtës tortë. Domethënë sipas kuptimit të shtimit në tepsi ka ëmbëlsira 1+3/4. Pasi e kemi shënuar shumën e fundit si numër të përzier, themi se në tepsi ka një kek. Tani e prisni të gjithë tortën në 4 pjesë të barabarta. Si rezultat, në tepsi do të ketë 7/4 e tortës. Është e qartë se "sasia" e tortës nuk ka ndryshuar, kështu që .
Nga shembulli i konsideruar, lidhja e mëposhtme është qartë e dukshme: Çdo numër i përzier mund të përfaqësohet si një thyesë e papërshtatshme.
Tani le të jenë 7/4 e tortës në tepsi. Pasi të keni palosur një tortë të tërë nga katër pjesë, do të ketë 1 + 3/4 në tepsi, domethënë një tortë. Nga kjo është e qartë se.
Nga ky shembull është e qartë se Një thyesë e papërshtatshme mund të përfaqësohet si një numër i përzier. (Në rastin e veçantë, kur numëruesi i një thyese të papërshtatshme ndahet në mënyrë të barabartë me emëruesin, thyesa e papërshtatshme mund të përfaqësohet si një numër natyror, për shembull, pasi 8:4 = 2).
Shndërrimi i një numri të përzier në një thyesë jo të duhur
Për të kryer veprime të ndryshme me numra të përzier, është e dobishme aftësia e paraqitjes së numrave të përzier si thyesa të pahijshme. Në paragrafin e mëparshëm, zbuluam se çdo numër i përzier mund të shndërrohet në një thyesë jo të duhur. Është koha për të kuptuar se si kryhet një përkthim i tillë.
Le të shkruajmë një algoritëm që tregon Si të shndërroni një numër të përzier në një thyesë të papërshtatshme:
Le të shohim një shembull të konvertimit të një numri të përzier në një thyesë të papërshtatshme.
Shembull.
Shprehni një numër të përzier si një thyesë e gabuar.
Zgjidhje.
Le të kryejmë të gjithë hapat e nevojshëm të algoritmit.
Një numër i përzier është i barabartë me shumën e pjesëve të tij të plota dhe thyesore: .
Pasi të keni shkruar numrin 5 si 5/1, shuma e fundit do të marrë formën .
Për të përfunduar konvertimin e numrit origjinal të përzier në një thyesë të papërshtatshme, mbetet vetëm të shtoni thyesa me emërues të ndryshëm: 
.
Një përmbledhje e shkurtër e të gjithë zgjidhjes është: 
.
Përgjigje:
Pra, për të kthyer një numër të përzier në një thyesë jo të duhur, duhet të kryeni zinxhirin e mëposhtëm të veprimeve: . Më në fund u mor 
, të cilin do ta përdorim më tej.
Shembull.
Shkruani numrin e përzier si thyesë jo të duhur.
Zgjidhje.
Le të përdorim formulën për të kthyer një numër të përzier në një thyesë të papërshtatshme. Në këtë shembull n=15, a=2, b=5. Kështu, 
.
Përgjigje:
Ndarja e të gjithë pjesës nga një fraksion i papërshtatshëm
Nuk është zakon të shkruhet një thyesë e gabuar në përgjigje. Thyesa e papërshtatshme fillimisht zëvendësohet ose me një numër natyror të barabartë (kur numëruesi pjesëtohet me emëruesin), ose kryhet e ashtuquajtura ndarja e të gjithë pjesës nga thyesa e papërshtatshme (kur numëruesi nuk pjesëtohet me emëruesin. ).
Përkufizimi.
Ndarja e të gjithë pjesës nga një fraksion i papërshtatshëm- Ky është zëvendësimi i një thyese me një numër të përzier të barabartë.
Mbetet për të zbuluar se si mund ta izoloni të gjithë pjesën nga një fraksion i pahijshëm.
Është shumë e thjeshtë: thyesa e papërshtatshme a/b është e barabartë me një numër të përzier të formës, ku q është herësi i pjesshëm dhe r është pjesa e mbetur e a-së me b. Kjo do të thotë, pjesa e plotë është e barabartë me herësin jo të plotë të pjesëtimit të a me b, dhe pjesa e mbetur është e barabartë me numëruesin e pjesës thyesore.
Le ta vërtetojmë këtë deklaratë.
Për ta bërë këtë, mjafton të tregohet se . Le ta shndërrojmë të përzierën në një thyesë të papërshtatshme siç bëmë në paragrafin e mëparshëm: . Meqenëse q është një herës jo i plotë dhe r është pjesa e mbetur e pjesëtimit të a me b, atëherë barazia a=b·q+r është e vërtetë (nëse është e nevojshme, shih
Rregullat dhe teknikat e thjeshta matematikore, nëse nuk përdoren vazhdimisht, harrohen më shpejt. Termat zhduken nga kujtesa edhe më shpejt.
Një nga këto veprime të thjeshta është shndërrimi i një thyese të papërshtatshme në një fraksion të duhur ose, me fjalë të tjera, në një fraksion të përzier.
Thyesë e papërshtatshme
Një thyesë e papërshtatshme është ajo në të cilën numëruesi (numri mbi vijë) është më i madh ose i barabartë me emëruesin (numri nën vijë). Kjo thyesë fitohet duke mbledhur thyesa ose duke shumëzuar një thyesë me një numër të plotë. Sipas rregullave të matematikës, një fraksion i tillë duhet të shndërrohet në një të duhur.
Pjesa e duhur
Është logjike të supozohet se të gjitha thyesat e tjera quhen të duhura. Një përkufizim i rreptë është që një thyesë numëruesi i së cilës është më i vogël se emëruesi i saj quhet i duhur. Një thyesë që ka një pjesë të plotë nganjëherë quhet thyesë e përzier.
Shndërrimi i një thyese të papërshtatshme në një thyesë të duhur
- Rasti i parë: numëruesi dhe emëruesi janë të barabartë me njëri-tjetrin. Rezultati i konvertimit të çdo fraksioni të tillë është një. Nuk ka rëndësi nëse janë tre të tretat apo njëqind e njëzet e pesë e njëqind e njëzet e pesta. Në thelb, një fraksion i tillë tregon veprimin e pjesëtimit të një numri në vetvete.
- Rasti i dytë: numëruesi është më i madh se emëruesi. Këtu duhet të mbani mend metodën e pjesëtimit të numrave me një mbetje.
Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni numrin më të afërt me vlerën e numëruesit, i cili është i pjesëtueshëm me emëruesin pa mbetje. Për shembull, ju keni thyesën nëntëmbëdhjetë të tretat. Numri më i afërt që mund të pjesëtohet me tre është tetëmbëdhjetë. Janë gjashtë. Tani zbritni numrin që rezulton nga numëruesi. Ne marrim një. Kjo është pjesa e mbetur. Shkruani rezultatin e shndërrimit: gjashtë të plota dhe një e treta.
Por, përpara se të zvogëloni një fraksion në formën e duhur, duhet të kontrolloni nëse mund të reduktohet.
Ju mund të zvogëloni një thyesë nëse numëruesi dhe emëruesi kanë një faktor të përbashkët. Domethënë një numër me të cilin të dy pjesëtohen pa mbetje. Nëse ka disa pjesëtues të tillë, duhet të gjeni më të madhin.
Për shembull, të gjithë numrat çift kanë një pjesëtues kaq të përbashkët - dy. Dhe thyesa e gjashtëmbëdhjetë e dymbëdhjetë ka një pjesëtues më të përbashkët - katër. Ky është pjesëtuesi më i madh. Ndani numëruesin dhe emëruesin me katër. Rezultati i zvogëlimit: katër të tretat. Tani, si praktikë, kthejeni këtë thyesë në një të duhur.
Ju mund ta shndërroni një thyesë të papërshtatshme në një thyesë të duhur duke pjesëtuar numëruesin e një thyese të tillë me emëruesin - në këtë mënyrë marrim një thyesë të duhur. Përndryshe, një thyesë e gabuar mund të shkruhet si një numër dhjetor i thjeshtë.
Një thyesë e papërshtatshme është një thyesë në të cilën numëruesi është më i madh se emëruesi. Një thyesë e duhur është ajo, numëruesi i së cilës është më i vogël se emëruesi i saj. Nuk ka asnjë mënyrë për të kthyer një thyesë të pahijshme në një thyesë të duhur, por mund të përfaqësohet si një numër i përzier i përbërë nga dy pjesë (një pjesë do të jetë një numër i plotë dhe tjetra do të jetë një thyesë e duhur).
për shembull 5/2=2+1/2 (vetëm thyesa zakonisht shkruhet menjëherë pas numrit të plotë pa shenjën plus)
Këtu ju duhet të ndani numëruesin e fraksionit të papërshtatshëm me emëruesin. Shkruajmë pjesën e plotë të pjesëtimit (në rastin tonë 2). pastaj pjesën e mbetur të pjesëtimit (pra 1) e shkruajmë si numërues të thyesës, të cilën e shkruajmë pranë të dyve.
Ne e dimë nga kursi i matematikës në shkollë. se një thyesë e papërshtatshme është një thyesë, numëruesi i së cilës është më i madh se emëruesi i saj. Për ta kthyer atë në një thyesë të duhur, duhet të ndani numëruesin e një thyese të tillë me emëruesin e saj. Gjithçka është shumë e thjeshtë, kështu që do të bëhet një fraksion i saktë ose dhjetor.
Një thyesë e papërshtatshme, për shembull: 9/5, le të zgjedhim të gjithë pjesën e saj, do të jetë: 1 4/5 tani duket pak si e sakta vetëm me gjithë pjesën një.
Mund ta ktheni në thyesë dhjetore në rastin tonë do të jetë 1.8
Për të zgjidhur problemin, së pari duhet të kuptoni qartë për veten tuaj se çfarë është një thyesë e duhur dhe çfarë është një thyesë e papërshtatshme.
Le të fillojmë me faktin se deklarata
Kjo nuk është e vërtetë për të gjithë numrat në vijën numerike.
numëruesi është (-10), emëruesi është (-4)
deklaratë e ngjashme
jo gjithmonë e vërtetë
numëruesi është 2, emëruesi është (-3)
Një thyesë e gabuar mund të shkruhet duke përdorur shumën e një numri të plotë dhe një thyese të duhur (thyesë e përzier) dhe për këtë ju nevojitet:
pjesëtoje numëruesin me emëruesin, shkruaje numrin e plotë që rezulton në pjesën e plotë, pjesën e mbetur në numërues, emëruesin e lë të pandryshuar
në numëruesin (-15), në emëruesin 2, merrni minusin jashtë thyesës - (15/2), ndani 15 me 2, vendosni numrin e plotë 7 në të gjithë pjesën e thyesës, shkruani pjesën e mbetur të pjesëtimit 1. në numërues dhe lëre emëruesin 2 pa ndryshime.
Për të kthyer një thyesë të papërshtatshme në një thyesë të duhur, së pari duhet të thoni:
Një thyesë e papërshtatshme ka një numërues (numrin e sipërm në thyesë) më të madh ose të barabartë me emëruesin;
Për një fraksion të duhur e kundërta është e vërtetë.
Le të analizojmë procesin e konvertimit duke përdorur shembullin e fraksionit 260/7:
1) Së pari, ndani 260 me 7, marrim numrin 37.14..
2) Numri 37 do të shfaqet para thyesës si numër i plotë
3) Tani 37 * 7 = 259
4) Nga numëruesi zbresim numrin që rezulton 260 - 259 = 1 - ky numër do të jetë në numëruesin e fraksionit tonë të duhur.
5) Kur shkruani një thyesë të re, emëruesi mbetet i pandryshuar. Në këtë rast është 7. Thyesa e duhur do të duket kështu:
Kontrollimi i thyesës së konvertuar:
Ne e shumëzojmë numrin e plotë me emëruesin dhe shtojmë numëruesin 37 * 7 + 1 = 260.
Një thyesë e duhur është një thyesë, emëruesi i së cilës është më i madh se numëruesi. Kjo sugjeron që kjo thyesë tregon një pjesë të së tërës. Për shembull, fraksioni 1/2 do të thotë se kemi për shembull gjysmën e një shalqiri, dhe thyesa 7/9 do të thotë se kemi mbetur shtatë copa shalqi, të prera në 9 pjesë. Dikush hëngri dy pjesë.
Nëse thyesa është e pahijshme, d.m.th., numëruesi është më i madh se emëruesi, atëherë është plotësisht e paqartë se çfarë pjese të shalqinit të tërësisë, por të prerë kemi dhe sa shalqinj të tjerë të plotë janë në dispozicion. Prandaj, ne duhet të shndërrojmë një thyesë të papërshtatshme në një të duhur. në këtë rast do të marrim një lloj numri të plotë dhe pjesa e mbetur - saktësisht një fraksion i duhur.
Për të kthyer, ndani numëruesin me emëruesin në një kolonë. Shembull: 7/4. Shtatë herë katër jep një dhe pjesa e mbetur është 3/4. Pra, ne e konvertuam thyesën në atë të saktë - përgjigjja është 1 dhe 3/4.
Thyesë e papërshtatshme thirrni një thyesë të tillë që numëruesi është më i madh se emëruesi. Kjo do të thotë se një thyesë e duhur është ajo, numëruesi i së cilës është më i vogël se emëruesi i saj. Për të kthyer një thyesë të pahijshme në një thyesë të duhur, mund ta përfaqësoni atë si një numër dhjetor. Për shembull, 17/8 mund të shkruhet kështu: 2.125. Ose shkruani kështu: 2 1/8.
Thyesë e duhur konsiderohet ajo në të cilën emëruesi është më i lartë se numëruesi. Për të kthyer një thyesë të pasaktë në një thyesë të duhur, duhet të ndani numëruesin e thyesës së papërshtatshme me emëruesin e saj, rezultati do të jetë një numër me një mbetje.
Për shembull, 4 të plota dhe tre të njëmbëdhjetat, shumëzojmë 4 me 11 dhe +3, pastaj pjesëtojmë me 11, marrim 44 +3 dhe pjesëtojmë me 11, dhe marrim thyesën 47/11. Një thyesë e pahijshme është kur ka një numër të plotë, për shembull 5.10, domethënë pesë numra të plotë dhe 10/100, pesë shumëzojmë 100 dhe +10, rezulton 10/500. Gjithashtu, nëse për shembull 6.6, këtu është më e lehtë, shumëzojmë 6 me 6 dhe +6 del 12/6, zvogëlojmë me dy, marrim gjashtë të tretat, zvogëlojmë gjashtë të tretat me tre, marrim dy të parat, ne ndajmë dy nga një, marrim dy. Kjo është, 6.6 = 2.
Një thyesë është një numër që përbëhet nga një ose më shumë njësi. Në matematikë, ekzistojnë tre lloje thyesash: të zakonshme, të përziera dhe dhjetore.
Thyesat e zakonshme
Një thyesë e zakonshme shkruhet si një raport në të cilin numëruesi pasqyron sa pjesë janë marrë nga numri, dhe emëruesi tregon në sa pjesë është ndarë njësia. Nëse numëruesi është më i vogël se emëruesi, atëherë kemi një thyesë të duhur për shembull: ½, 3/5, 8/9.
Nëse numëruesi është i barabartë ose më i madh se emëruesi, atëherë kemi të bëjmë me një thyesë jo të duhur. Për shembull: 5/5, 9/4, 5/2 Pjesëtimi i numëruesit mund të rezultojë në një numër të fundëm. Për shembull, 40/8 = 5. Prandaj, çdo numër i plotë mund të shkruhet si një thyesë e zakonshme e gabuar ose një seri thyesash të tilla. Le të shqyrtojmë hyrjet e të njëjtit numër në formën e një numri të ndryshëm.
- Fraksionet e përziera
Në përgjithësi, një fraksion i përzier mund të përfaqësohet me formulën: 
Kështu, një thyesë e përzier shkruhet si një numër i plotë dhe një thyesë e zakonshme e duhur, dhe një shënim i tillë kuptohet si shuma e së tërës dhe pjesës së saj thyesore.
- Dhjetoret
Dhjetorja është një lloj i veçantë thyese në të cilën emëruesi mund të paraqitet si fuqi 10. Ka dhjetore të pafundme dhe të fundme. Kur shkruani këtë lloj thyese, fillimisht tregohet e gjithë pjesa, pastaj pjesa thyesore regjistrohet përmes një ndarësi (pika ose presje).
Shënimi i një pjese të pjesshme përcaktohet gjithmonë nga dimensioni i saj. Shënimi dhjetor duket si ky: 
Rregullat për konvertimin midis llojeve të ndryshme të thyesave
- Shndërrimi i një thyese të përzier në një thyesë të përbashkët
Një fraksion i përzier mund të shndërrohet vetëm në një fraksion të papërshtatshëm. Për të përkthyer, është e nevojshme të sillni të gjithë pjesën në të njëjtin emërues si pjesa thyesore. Në përgjithësi do të duket kështu: 
Le të shohim përdorimin e këtij rregulli duke përdorur shembuj specifikë:
- Shndërrimi i një thyese të zakonshme në një thyesë të përzier
Një thyesë e papërshtatshme mund të shndërrohet në një thyesë të përzier me pjesëtim të thjeshtë, duke rezultuar në të gjithë pjesën dhe pjesën e mbetur (pjesën thyesore).
Për shembull, le ta kthejmë thyesën 439/31 në të përzier: 
- Shndërrimi i thyesave
Në disa raste, konvertimi i një fraksioni në një dhjetor është mjaft i thjeshtë. Në këtë rast, zbatohet vetia themelore e një thyese: numëruesi dhe emëruesi shumëzohen me të njëjtin numër për të sjellë pjesëtuesin në fuqinë 10.
Për shembull:
Në disa raste, mund t'ju duhet të gjeni herësin duke e ndarë me kënde ose duke përdorur një kalkulator. Dhe disa thyesa nuk mund të reduktohen në një dhjetore përfundimtare. Për shembull, thyesa 1/3 kur ndahet nuk do të japë kurrë rezultatin përfundimtar.
