Ky artikull: "Kufiri i dytë i shquar" i kushtohet zbulimit brenda kufijve të pasigurive të formës:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ dhe $ ^\infty $.
Gjithashtu, pasiguri të tilla mund të zbulohen duke përdorur logaritmin e funksionit eksponencial, por kjo është një metodë tjetër zgjidhjeje, e cila do të trajtohet në një artikull tjetër.
Formula dhe pasojat
Formula kufiri i dytë i shquar është shkruar si më poshtë: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( ku ) e \përafërsisht 2,718 $$
Nga formula rrjedh pasojat, të cilat janë shumë të përshtatshme për t'u përdorur për zgjidhjen e shembujve me kufij: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( ku ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \ deri në 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Vlen të përmendet se kufiri i dytë i shquar nuk mund të zbatohet gjithmonë për një funksion eksponencial, por vetëm në rastet kur baza priret drejt unitetit. Për ta bërë këtë, së pari llogarisni mendërisht kufirin e bazës dhe më pas nxirrni përfundime. E gjithë kjo do të diskutohet në zgjidhje shembull.
Shembuj zgjidhjesh
Le të shohim shembuj të zgjidhjeve duke përdorur formulën e drejtpërdrejtë dhe pasojat e saj. Ne gjithashtu do të analizojmë rastet në të cilat formula nuk është e nevojshme. Mjafton të shkruani vetëm një përgjigje të gatshme.
| Shembulli 1 |
| Gjeni kufirin $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Zgjidhje |
|
Le të zëvendësojmë pafundësinë në kufi dhe të shikojmë pasigurinë: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Le të gjejmë kufirin e bazës: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Ne kemi marrë një bazë të barabartë me një, që do të thotë se tashmë mund të zbatojmë kufirin e dytë të shquar. Për ta bërë këtë, le të rregullojmë bazën e funksionit me formulën duke zbritur dhe shtuar një: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ i madh(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Le të shohim përfundimin e dytë dhe të shkruajmë përgjigjen: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Nëse nuk mund ta zgjidhni problemin tuaj, atëherë na dërgoni atë. Ne do të ofrojmë zgjidhje të detajuar. Ju do të jeni në gjendje të shikoni ecurinë e llogaritjes dhe të merrni informacion. Kjo do t'ju ndihmojë të merrni notën tuaj nga mësuesi juaj në kohën e duhur! |
| Përgjigju |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Shembulli 4 |
| Zgjidh kufirin $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Zgjidhje |
|
Ne gjejmë kufirin e bazës dhe shohim se $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, që do të thotë se mund të aplikojmë kufirin e dytë të shquar. Sipas planit standard, ne shtojmë dhe zbresim një nga baza e shkallës: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Ne e rregullojmë thyesën me formulën e notës së dytë. limit: $$ = \lim_(x\në \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Tani le të rregullojmë shkallën. Fuqia duhet të përmbajë një fraksion të barabartë me emëruesin e bazës $ \frac(3x^2-2)(6) $. Për ta bërë këtë, shumëzoni dhe ndani shkallën me të dhe vazhdoni të zgjidhni: $$ = \lim_(x\në \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Kufiri i vendosur në fuqinë në $ e $ është i barabartë me: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Prandaj, duke vazhduar zgjidhjen kemi: |
| Përgjigju |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Le të shohim rastet kur problemi është i ngjashëm me kufirin e dytë të shquar, por mund të zgjidhet pa të.
Në artikullin: "Kufiri i dytë i shquar: shembuj zgjidhjesh" u analizua formula, pasojat e saj dhe u dhanë llojet e zakonshme të problemeve në këtë temë.
Gjeni kufij të mrekullueshëmËshtë e vështirë jo vetëm për shumë studentë të vitit të parë dhe të dytë që studiojnë teorinë e kufijve, por edhe për disa mësues.
Formula për kufirin e parë të shquar
Pasojat e kufirit të parë të shquar
le ta shkruajmë në formula
1. 2. 3. 4. Por vetë formulat e përgjithshme të kufijve të shquar nuk i ndihmojnë askujt në një provim apo test. Çështja është se detyrat reale janë ndërtuar në mënyrë që ju ende duhet të arrini në formulat e shkruara më sipër. Dhe shumica e studentëve që mungojnë në mësime, e studiojnë këtë lëndë në mungesë ose kanë mësues që vetë nuk e kuptojnë gjithmonë atë që po shpjegojnë, nuk mund të llogarisin shembujt më elementar në kufij të jashtëzakonshëm. Nga formulat e kufirit të parë të shquar shohim se me ndihmën e tyre është e mundur të studiohen pasiguritë e tipit zero pjesëtuar me zero për shprehjet me funksione trigonometrike. Le të shqyrtojmë së pari një numër shembujsh të kufirit të parë të shquar dhe më pas të studiojmë kufirin e dytë të shquar.
Shembulli 1. Gjeni kufirin e funksionit sin(7*x)/(5*x)
Zgjidhja: Siç mund ta shihni, funksioni nën kufi është afër kufirit të parë të shquar, por kufiri i vetë funksionit definitivisht nuk është i barabartë me një. Në këtë lloj detyrash për kufijtë, është e nevojshme të zgjidhni në emërues një ndryshore me të njëjtin koeficient që përmbahet në ndryshoren nën sinus. Në këtë rast, pjesëtojeni dhe shumëzoni me 7 
Për disa, një detaj i tillë do të duket i panevojshëm, por për shumicën e studentëve që kanë vështirësi me kufijtë, do t'i ndihmojë ata të kuptojnë më mirë rregullat dhe të zotërojnë materialin teorik.
Gjithashtu, nëse ka një formë të anasjelltë të një funksioni, ky është gjithashtu kufiri i parë i mrekullueshëm. Dhe të gjitha sepse kufiri i mrekullueshëm është i barabartë me një
I njëjti rregull zbatohet për pasojat e kufirit të parë të shquar. Prandaj, nëse pyeteni: "Cili është kufiri i parë i jashtëzakonshëm?" Duhet të përgjigjeni pa hezitim se është njësi.
Shembulli 2. Gjeni kufirin e funksionit sin(6x)/tan(11x)
Zgjidhja: Për të kuptuar rezultatin përfundimtar, le të shkruajmë funksionin në formë 
Për të zbatuar rregullat e kufirit të shquar, shumëzoni dhe pjesëtoni me faktorë
Më pas, ne shkruajmë kufirin e një produkti të funksioneve përmes produktit të kufijve 
Pa formula komplekse, gjetëm kufirin e funksioneve trigonometrike. Për të zotëruar formula të thjeshta, përpiquni të krijoni dhe gjeni kufirin në 2 dhe 4, formulën për përfundimin e 1 kufirit të mrekullueshëm. Ne do të shqyrtojmë probleme më komplekse.
Shembulli 3: Llogaritni kufirin (1-cos(x))/x^2
Zgjidhja: Kur kontrollojmë me zëvendësim, marrim një pasiguri prej 0/0. Shumë njerëz nuk dinë si ta reduktojnë një shembull të tillë në një kufi të jashtëzakonshëm. Këtu duhet të përdoret formula trigonometrike 
Në këtë rast, kufiri do të shndërrohet në një formë të qartë 
Ne arritëm të reduktojmë funksionin në katrorin e një kufiri të jashtëzakonshëm.
Shembulli 4. Gjeni kufirin
Zgjidhja: Kur zëvendësojmë, marrim veçorinë e njohur 0/0. Sidoqoftë, ndryshorja priret në Pi dhe jo në zero. Prandaj, për të aplikuar kufirin e parë të shquar, ne do të bëjmë një ndryshim të tillë në ndryshoren x në mënyrë që ndryshorja e re të shkojë në zero. Për ta bërë këtë, ne e shënojmë emëruesin si një ndryshore të re Pi-x=y 
Kështu, duke përdorur formulën trigonometrike të dhënë në detyrën e mëparshme, shembulli reduktohet në 1 kufi të shquar.
Shembulli 5: Llogaritni kufirin 
Zgjidhja: Në fillim nuk është e qartë se si të thjeshtohen kufijtë. Por meqenëse ka një shembull, atëherë duhet të ketë një përgjigje. Fakti që ndryshorja shkon në unitet jep, kur zëvendësohet, një tipar i formës zero të shumëzuar me pafundësinë, kështu që tangjenta duhet të zëvendësohet duke përdorur formulën 
Pas kësaj marrim pasigurinë e kërkuar 0/0. Më pas, ne kryejmë një ndryshim të ndryshoreve në kufi dhe përdorim periodicitetin e kotangjentës 
Zëvendësimet e fundit na lejojnë të përdorim përfundimin 1 të kufirit të jashtëzakonshëm.
Kufiri i dytë i shquar është i barabartë me eksponencialin
Ky është një klasik që nuk është gjithmonë i lehtë për t'u arritur në problemet reale të kufirit.
Në llogaritjet do t'ju nevojiten kufijtë janë pasoja të kufirit të dytë të shquar:
1. 
2. 
3. 
4.
Falë kufirit të dytë të jashtëzakonshëm dhe pasojave të tij, është e mundur të eksplorohen pasiguri të tilla si zero pjesëtuar me zero, një në fuqinë e pafundësisë dhe pafundësia pjesëtuar me pafundësinë, madje edhe në të njëjtën shkallë. 
Le të fillojmë me shembuj të thjeshtë.
Shembulli 6. Gjeni kufirin e një funksioni
Zgjidhja: Zbatimi i drejtpërdrejtë i kufirit të 2-të të shquar nuk do të funksionojë. Së pari, duhet ta transformoni eksponentin në mënyrë që të duket si anasjellta e termit në kllapa 
Kjo është teknika e reduktimit në kufirin e 2-të të shquar dhe, në thelb, nxjerrjes së formulës së dytë për rrjedhojën e kufirit.
Shembulli 7. Gjeni kufirin e një funksioni
Zgjidhje: Kemi detyra për formulën 3 të përfundimit 2 të një kufiri të mrekullueshëm. Zëvendësimi i zeros jep një singularitet të formës 0/0. Për të rritur kufirin në një rregull, kthejmë emëruesin në mënyrë që ndryshorja të ketë të njëjtin koeficient si në logaritëm 
Është gjithashtu e lehtë për t'u kuptuar dhe kryer në provim. Vështirësitë e nxënësve në llogaritjen e kufijve fillojnë me problemet e mëposhtme.
Shembulli 8. Llogaritni kufirin e një funksioni[(x+7)/(x-3)]^(x-2) 
Zgjidhja: Kemi një singularitet të tipit 1 me fuqinë e pafundësisë. Nëse nuk më besoni, mund të zëvendësoni pafundësinë me "X" kudo dhe të siguroheni për të. Për të ndërtuar një rregull, ne e ndajmë numëruesin me emëruesin në kllapa për ta bërë këtë, fillimisht kryejmë manipulimet; 
Le ta zëvendësojmë shprehjen në kufi dhe ta kthejmë në 2 kufi të mrekullueshëm 
Kufiri është i barabartë me fuqinë eksponenciale prej 10. Konstantet që janë terma me një ndryshore, si në kllapa ashtu edhe në një shkallë, nuk paraqesin ndonjë "mot" - kjo duhet mbajtur mend. Dhe nëse mësuesit tuaj ju pyesin: "Pse nuk e konvertoni treguesin?" (Për këtë shembull në x-3), atëherë thoni se "Kur një variabël priret në pafundësi, atëherë madje shtoni 100 ose zbrisni 1000, dhe kufiri do të mbetet i njëjtë siç ishte!"
Ekziston një mënyrë e dytë për të llogaritur kufijtë e këtij lloji. Ne do të flasim për këtë në detyrën tjetër.
Shembulli 9. Gjeni kufirin 
Zgjidhja: Tani le të nxjerrim variablin në numërues dhe emërues dhe ta kthejmë një veçori në një tjetër. Për të marrë vlerën përfundimtare, ne përdorim formulën e Konkluzionit 2 të kufirit të shquar 
Shembulli 10. Gjeni kufirin e një funksioni
Zgjidhja: Jo të gjithë mund ta gjejnë kufirin e dhënë. Për të rritur kufirin në 2, imagjinoni se sin (3x) është një ndryshore dhe ju duhet të ktheni eksponentin 
Më pas, ne e shkruajmë treguesin si një fuqi ndaj një fuqie 
Argumentet e ndërmjetme përshkruhen në kllapa. Si rezultat i përdorimit të kufijve të parë dhe të dytë të shquar, ne morëm eksponencialin në kub.
Shembulli 11. Llogaritni kufirin e një funksioni sin(2*x)/ln(3*x+1)
Zgjidhja: Kemi një pasiguri të formës 0/0. Përveç kësaj, ne shohim se funksioni duhet të konvertohet për të përdorur të dy kufijtë e mrekullueshëm. Le të kryejmë transformimet e mëparshme matematikore 
Më tej, pa vështirësi, kufiri do të marrë vlerën 
Kështu do të ndiheni të lirë në detyra, teste, module nëse mësoni të shkruani shpejt funksionet dhe t'i reduktoni ato në kufirin e parë ose të dytë të mrekullueshëm. Nëse është e vështirë për ju të mësoni përmendësh metodat e dhëna për gjetjen e kufijve, atëherë gjithmonë mund të porosisni një fletë testimi mbi kufijtë nga ne.
Për ta bërë këtë, plotësoni formularin, jepni të dhëna dhe bashkëngjitni një skedar me shembuj. Ne kemi ndihmuar shumë studentë - mund t'ju ndihmojmë edhe ju!
Kufiri i parë i shquar përdoret shpesh për të llogaritur kufijtë që përmbajnë sinus, hark, tangjentë, arktangjent dhe pasiguritë rezultuese të zeros të pjesëtuar me zero.
Formula
Formula për kufirin e parë të shquar është: $$ \lim_(\alfa\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
Vëmë re se për $ \alpha\to 0 $ marrim $ \sin\alpha \në 0 $, pra kemi zero në numërues dhe emërues. Kështu, formula e kufirit të parë të shquar nevojitet për të zbuluar pasiguritë $ \frac(0)(0) $.
Për të zbatuar formulën, duhet të plotësohen dy kushte:
- Shprehjet e përfshira në sinus dhe emëruesi i thyesës janë të njëjta
- Shprehjet në sinus dhe emërues të një thyese priren në zero
Kujdes! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Edhe pse shprehjet nën sinus dhe në emërues janë të njëjta, megjithatë $ 2x ^2+1 = 1 $, në $ x\ deri në 0 $. Kushti i dytë nuk plotësohet, kështu që ju NUK MUND të aplikoni formulën!
Pasojat
Shumë rrallë në detyra mund të shihni një kufi të pastër të parë të mrekullueshëm, në të cilin mund të shkruani menjëherë përgjigjen. Në praktikë, gjithçka duket pak më e ndërlikuar, por për raste të tilla do të jetë e dobishme të njihni pasojat e kufirit të parë të jashtëzakonshëm. Falë tyre, ju mund të llogaritni shpejt kufijtë e kërkuar.
$$ \lim_(\alfa\në 0) \frac(\alfa)(\sin\alfa) = 1 $$
$$ \lim_(\alfa\në 0) \frac(\sin(a\alfa))(\sin(b\alfa)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alfa\në 0) \frac(tg\alfa)(\alfa) = 1 $$
$$ \lim_(\alfa\në 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alfa) = 1 $$
$$ \lim_(\alfa\në 0) \frac(arctg\alfa)(\alfa) = 1 $$
Shembuj zgjidhjesh
Le të shqyrtojmë kufirin e parë të shquar, shembuj të zgjidhjes së tij për llogaritjen e kufijve që përmbajnë funksione trigonometrike dhe pasiguri $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $
| Shembulli 1 |
| Llogarit $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ |
| Zgjidhje |
|
Le të shohim kufirin dhe të vërejmë se ai përmban një sinus. Më pas, ne zëvendësojmë $ x = 0 $ në numëruesin dhe emëruesin dhe marrim pasigurinë zero të pjesëtuar me zero: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0 ) $$ Tashmë dy shenja që na duhet të aplikojmë një kufi të mrekullueshëm, por ka një nuancë të vogël: ne nuk mund ta zbatojmë menjëherë formulën, pasi shprehja nën shenjën e sinusit ndryshon nga shprehja në emërues. Dhe ne kemi nevojë që ata të jenë të barabartë. Prandaj, duke përdorur transformimet elementare të numëruesit, do ta kthejmë atë në $2x$. Për ta bërë këtë, ne do t'i heqim të dy nga emëruesi i thyesës si një faktor i veçantë. Duket kështu: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ Ju lutemi vini re, se në fund $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ është marrë sipas formulës. Nëse nuk mund ta zgjidhni problemin tuaj, atëherë na dërgoni atë. Ne do të ofrojmë zgjidhje të detajuar. Ju do të jeni në gjendje të shikoni ecurinë e llogaritjes dhe të merrni informacion. Kjo do t'ju ndihmojë të merrni notën tuaj nga mësuesi juaj në kohën e duhur! |
| Përgjigju |
| $$ \lim_(x\në 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| Shembulli 2 |
| Gjeni $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ |
| Zgjidhje |
|
Si gjithmonë, së pari duhet të dini llojin e pasigurisë. Nëse ndahet zero me zero, atëherë i kushtojmë vëmendje pranisë së një sinusi: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Kjo pasiguri na lejon të përdorim formulën e kufirit të parë të shquar, por shprehja nga emëruesi nuk është e barabartë me argumentin e sinusit? Prandaj, formula nuk mund të zbatohet "përballë". Është e nevojshme të shumëzohet dhe të pjesëtohet thyesa me argumentin e sinusit: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x -x^4)(x ^3+2x)) = $$ Tani shkruajmë vetitë e kufijve: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Kufiri i dytë i përshtatet formulës saktësisht dhe është i barabartë në një: $$ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x )(2x-x^4) = $$ Zëvendësojmë përsëri $ x = 0 $ në një thyesë dhe marrim pasigurinë $ \frac(0)(0) $. Për ta eliminuar, mjafton të hiqni $ x $ nga kllapat dhe ta zvogëloni me: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\ deri në 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$ |
| Përgjigju |
| $$ \lim_(x\në 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| Shembulli 4 |
| Llogarit $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ |
| Zgjidhje |
|
Le të fillojmë llogaritjen me zëvendësimin $ x=0 $. Si rezultat, marrim pasigurinë $ \frac(0)(0) $. Kufiri përmban një sinus dhe një tangjente, të cilat lë të kuptohet për një zhvillim të mundshëm të situatës duke përdorur formulën e kufirit të parë të shquar. Le të shndërrojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës në një formulë dhe pasojë: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Tani shohim se në numërues dhe emërues ka shprehje që i përshtaten formulës dhe pasojave. Argumenti sinus dhe argumenti tangjent janë të njëjtë për emëruesit përkatës $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| Përgjigju |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
Artikulli: "Kufiri i parë i shquar, shembuj zgjidhjesh" foli për rastet në të cilat këshillohet përdorimi i kësaj formule dhe pasojat e saj.
Formula për kufirin e dytë të shquar është lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Një formë tjetër e shkrimit duket kështu: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Kur flasim për kufirin e dytë të shquar, duhet të merremi me pasigurinë e formës 1 ∞, d.m.th. njësi në një shkallë të pafundme.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Le të shqyrtojmë problemet në të cilat aftësia për të llogaritur kufirin e dytë të shquar do të jetë e dobishme.
Shembulli 1
Gjeni kufirin lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Zgjidhje
Le të zëvendësojmë formulën e kërkuar dhe të kryejmë llogaritjet.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Përgjigja jonë doli të ishte një për fuqinë e pafundësisë. Për të përcaktuar metodën e zgjidhjes, ne përdorim tabelën e pasigurisë. Le të zgjedhim kufirin e dytë të shquar dhe të bëjmë një ndryshim të variablave.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Nëse x → ∞, atëherë t → - ∞.
Le të shohim se çfarë kemi marrë pas zëvendësimit:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Përgjigje: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Shembulli 2
Llogaritni kufirin lim x → ∞ x - 1 x + 1 x.
Zgjidhje
Le të zëvendësojmë pafundësinë dhe të marrim sa vijon.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Në përgjigje, ne përsëri morëm të njëjtën gjë si në problemin e mëparshëm, prandaj, mund të përdorim përsëri kufirin e dytë të shquar. Më pas, duhet të zgjedhim të gjithë pjesën në bazën e funksionit të fuqisë:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Pas kësaj, kufiri merr formën e mëposhtme:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Zëvendësoni variablat. Le të supozojmë se t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; nëse x → ∞, atëherë t → ∞.
Pas kësaj, ne shkruajmë atë që kemi marrë në kufirin origjinal:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Për të kryer këtë transformim, ne përdorëm vetitë themelore të kufijve dhe fuqive.
Përgjigje: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Shembulli 3
Llogaritni kufirin lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Zgjidhje
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Pas kësaj, ne duhet të transformojmë funksionin për të aplikuar kufirin e dytë të madh. Ne morëm sa vijon:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Meqenëse tani kemi të njëjtët eksponentë në numëruesin dhe emëruesin e thyesës (e barabartë me gjashtë), kufiri i thyesës në pafundësi do të jetë i barabartë me raportin e këtyre koeficientëve në fuqi më të larta.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Duke zëvendësuar t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 ne marrim një kufi të dytë të shquar. Kjo do të thotë se:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Përgjigje: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
konkluzione
Pasiguria 1 ∞, d.m.th. uniteti ndaj një fuqie të pafundme është një pasiguri fuqi-ligj, prandaj mund të zbulohet duke përdorur rregullat për gjetjen e kufijve të funksioneve të fuqisë eksponenciale.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Nga artikulli i mësipërm mund të zbuloni se cili është kufiri dhe me çfarë hahet - kjo është shumë e rëndësishme. Pse? Ju mund të mos kuptoni se çfarë janë përcaktuesit dhe t'i zgjidhni ato me sukses, mund të mos kuptoni fare se çfarë është një derivat dhe t'i gjeni ato me një "A". Por nëse nuk e kuptoni se çfarë është një kufi, atëherë zgjidhja e detyrave praktike do të jetë e vështirë. Do të ishte gjithashtu një ide e mirë të njiheni me zgjidhjet e mostrës dhe rekomandimet e mia të projektimit. Të gjitha informacionet paraqiten në një formë të thjeshtë dhe të arritshme.
Dhe për qëllimet e këtij mësimi do të na duhen materialet e mëposhtme mësimore: Kufij të mrekullueshëm Dhe Formulat trigonometrike. Ato mund të gjenden në faqe. Është më mirë të printoni manualet - është shumë më i përshtatshëm, dhe përveç kësaj, shpesh do t'ju duhet t'i referoheni atyre jashtë linje.
Çfarë është kaq e veçantë për kufijtë e jashtëzakonshëm? Gjëja e jashtëzakonshme në lidhje me këto kufij është se ato u vërtetuan nga mendjet më të mëdha të matematikanëve të famshëm dhe pasardhësit mirënjohës nuk duhet të vuajnë nga kufijtë e tmerrshëm me një grumbull funksionesh trigonometrike, logaritme, fuqi. Kjo do të thotë, kur të gjejmë kufijtë, ne do të përdorim rezultate të gatshme që janë vërtetuar teorikisht.
Ka disa kufij të mrekullueshëm, por në praktikë, në 95% të rasteve, studentët me kohë të pjesshme kanë dy kufij të mrekullueshëm: Kufiri i parë i mrekullueshëm, Kufiri i dytë i mrekullueshëm. Duhet të theksohet se këta janë emra të vendosur historikisht dhe kur, për shembull, flasin për "kufirin e parë të shquar", nënkuptojnë me këtë një gjë shumë specifike dhe jo ndonjë kufi të rastësishëm të marrë nga tavani.
Kufiri i parë i mrekullueshëm
Merrni parasysh kufirin e mëposhtëm: (në vend të shkronjës amtare "ai" do të përdor shkronjën greke "alfa", kjo është më e përshtatshme nga pikëpamja e paraqitjes së materialit).
Sipas rregullit tonë për gjetjen e kufijve (shih artikullin Limitet. Shembuj zgjidhjesh) ne përpiqemi të zëvendësojmë zeron në funksion: në numërues marrim zero (sinusi i zeros është zero), dhe në emërues, padyshim, ka edhe zero. Kështu, jemi përballur me një pasiguri të formës, e cila, për fat të mirë, nuk ka nevojë të zbulohet. Gjatë analizës matematikore vërtetohet se:
Ky fakt matematik quhet Kufiri i parë i mrekullueshëm. Unë nuk do të jap një provë analitike të kufirit, por do të shikojmë kuptimin e tij gjeometrik në mësimin rreth funksionet infiniteminale.
Shpesh në detyrat praktike funksionet mund të organizohen ndryshe, kjo nuk ndryshon asgjë:
- i njëjti kufi i parë i mrekullueshëm.
Por ju nuk mund të riorganizoni numëruesin dhe emëruesin vetë! Nëse një kufi jepet në formën , atëherë ai duhet të zgjidhet në të njëjtën formë, pa riorganizuar asgjë.
Në praktikë, jo vetëm një ndryshore, por edhe një funksion elementar ose një funksion kompleks mund të veprojë si një parametër. E vetmja gjë e rëndësishme është se ajo tenton në zero.
Shembuj:
, , 
, 
Këtu , , , 
, dhe gjithçka është mirë - kufiri i parë i mrekullueshëm është i zbatueshëm.
Por hyrja e mëposhtme është herezi:
Pse? Për shkak se polinomi nuk priret në zero, ai tenton në pesë.
Nga rruga, një pyetje e shpejtë: cili është kufiri? 
? Përgjigja mund të gjendet në fund të mësimit.
Në praktikë, jo gjithçka është aq e qetë, pothuajse kurrë një studenti nuk i ofrohet të zgjidhë një kufi falas dhe të marrë një kalim të lehtë. Hmmm... Po shkruaj këto rreshta dhe më erdhi në mendje një mendim shumë i rëndësishëm - në fund të fundit, është më mirë të mbani mend përkufizimet dhe formulat matematikore "falas" përmendësh, kjo mund të japë një ndihmë të paçmuar në test, kur pyetja do të vendoset midis "dy" dhe "tre", dhe mësuesi vendos t'i bëjë nxënësit një pyetje të thjeshtë ose t'i ofrojë për të zgjidhur një shembull të thjeshtë ("ndoshta ai (a) ende e di çfarë?!").
Le të vazhdojmë të shqyrtojmë shembuj praktikë:
Shembulli 1
Gjeni kufirin
Nëse vërejmë një sinus në kufi, atëherë kjo duhet të na shtyjë menjëherë të mendojmë për mundësinë e aplikimit të kufirit të parë të shquar.
Së pari, ne përpiqemi të zëvendësojmë 0 në shprehjen nën shenjën e kufirit (e bëjmë këtë mendërisht ose në një draft):
Pra kemi një pasiguri të formës sigurohuni që të tregoni në marrjen e një vendimi. Shprehja nën shenjën e kufirit është e ngjashme me kufirin e parë të mrekullueshëm, por nuk është pikërisht ai, është nën sinus, por në emërues.
Në raste të tilla, ne duhet të organizojmë vetë kufirin e parë të shquar, duke përdorur një teknikë artificiale. Linja e arsyetimit mund të jetë si vijon: "nën sinusin që kemi , që do të thotë se duhet të marrim edhe emëruesin".
Dhe kjo bëhet shumë thjesht:
Kjo do të thotë, emëruesi shumëzohet artificialisht në këtë rast me 7 dhe pjesëtohet me të njëjtën shtatë. Tani regjistrimi ynë ka marrë një formë të njohur.
Kur detyra është hartuar me dorë, këshillohet të shënoni kufirin e parë të shquar me një laps të thjeshtë:
Çfarë ndodhi? Në fakt, shprehja jonë e rrethuar u shndërrua në njësi dhe u zhduk në vepër: 
Tani gjithçka që mbetet është të heqim qafe fraksionin trekatësh: 
Kush e ka harruar thjeshtimin e thyesave me shumë nivele, ju lutemi rifreskoni materialin në librin e referencës Formula të nxehta për kursin e matematikës në shkollë .
Gati. Përgjigja përfundimtare:
Nëse nuk dëshironi të përdorni shenja lapsash, atëherë zgjidhja mund të shkruhet kështu:
“
Le të përdorim kufirin e parë të mrekullueshëm 
“
Shembulli 2
Gjeni kufirin
Përsëri ne shohim një fraksion dhe një sinus në kufi. Le të përpiqemi të zëvendësojmë zeron në numërues dhe emërues:
Në të vërtetë, ne kemi pasiguri dhe, për këtë arsye, duhet të përpiqemi të organizojmë kufirin e parë të mrekullueshëm. Në klasë Limitet. Shembuj zgjidhjesh kemi konsideruar rregullin që kur kemi pasiguri, duhet të faktorizojmë numëruesin dhe emëruesin. Këtu është e njëjta gjë, ne do t'i paraqesim shkallët si produkt (shumëzues):
Ngjashëm me shembullin e mëparshëm, ne vizatojmë një laps rreth kufijve të jashtëzakonshëm (këtu ka dy prej tyre) dhe tregojmë se ato priren drejt unitetit:
Në fakt, përgjigja është gati:
Në shembujt e mëposhtëm, unë nuk do të bëj art në Paint, mendoj se si të hartoj saktë një zgjidhje në një fletore - tashmë e kuptoni.
Shembulli 3
Gjeni kufirin
Ne e zëvendësojmë zeron në shprehjen nën shenjën kufi:
Është krijuar një pasiguri që duhet të zbulohet. Nëse ka një tangjente në kufi, atëherë ajo pothuajse gjithmonë shndërrohet në sinus dhe kosinus duke përdorur formulën e mirënjohur trigonometrike (nga rruga, ata bëjnë përafërsisht të njëjtën gjë me kotangjentën, shih materialin metodologjik Formulat e nxehta trigonometrike në faqe Formulat matematikore, tabelat dhe materialet referuese).
Në këtë rast:
Kosinusi zero është i barabartë me një, dhe është e lehtë ta heqësh qafe atë (mos harroni të shënoni se priret në një):
Kështu, nëse në kufi kosinusi është SHUMËZUES, atëherë, përafërsisht, ai duhet të kthehet në një njësi, e cila zhduket në produkt.
Këtu gjithçka doli më e thjeshtë, pa asnjë shumëzim dhe ndarje. Kufiri i parë i shquar gjithashtu shndërrohet në një dhe zhduket në produkt:
Si rezultat, fitohet pafundësia dhe kjo ndodh.
Shembulli 4
Gjeni kufirin
Le të përpiqemi të zëvendësojmë zeron në numërues dhe emërues:
Përftohet pasiguria (kosinusi i zeros, siç kujtojmë, është i barabartë me një)
Ne përdorim formulën trigonometrike. Merrni parasysh! Për disa arsye, kufizimet duke përdorur këtë formulë janë shumë të zakonshme.
Le të lëvizim faktorët konstant përtej ikonës së kufirit:
Le të organizojmë kufirin e parë të mrekullueshëm:
Këtu kemi vetëm një kufi të jashtëzakonshëm, i cili shndërrohet në një dhe zhduket në produkt:
Le të heqim qafe strukturën trekatëshe:
Kufiri është zgjidhur në të vërtetë, ne tregojmë se sinusi i mbetur tenton në zero:
Shembulli 5
Gjeni kufirin 
Ky shembull është më i ndërlikuar, përpiquni ta kuptoni vetë:
Disa kufij mund të reduktohen në kufirin e parë të shquar duke ndryshuar një ndryshore, mund të lexoni për këtë pak më vonë në artikull Metodat për zgjidhjen e kufijve.
Kufiri i dytë i mrekullueshëm
Në teorinë e analizës matematikore është vërtetuar se:
Ky fakt quhet kufiri i dytë i mrekullueshëm.
Referenca: 
është një numër irracional.
Parametri mund të jetë jo vetëm një variabël, por edhe një funksion kompleks. E vetmja gjë e rëndësishme është se ai përpiqet për pafundësi.
Shembulli 6
Gjeni kufirin
Kur shprehja nën shenjën e kufirit është në një shkallë, kjo është shenja e parë që duhet të përpiqeni të zbatoni kufirin e dytë të mrekullueshëm.
Por së pari, si gjithmonë, ne përpiqemi të zëvendësojmë një numër pafundësisht të madh në shprehje, parimi me të cilin bëhet kjo diskutohet në mësim Limitet. Shembuj zgjidhjesh.
Është e lehtë të vërehet se kur baza e shkallës është , dhe eksponenti është , domethënë ka pasiguri të formës:
Kjo pasiguri zbulohet pikërisht me ndihmën e kufirit të dytë të shquar. Por, siç ndodh shpesh, kufiri i dytë i mrekullueshëm nuk qëndron në një pjatë argjendi dhe duhet të organizohet artificialisht. Mund të arsyetoni si më poshtë: në këtë shembull parametri është , që do të thotë se duhet të organizohemi edhe në tregues. Për ta bërë këtë, ne e ngremë bazën në fuqi, dhe në mënyrë që shprehja të mos ndryshojë, ne e ngremë atë në fuqi:
Kur detyra të përfundojë me dorë, shënojmë me laps:
Pothuajse gjithçka është gati, shkalla e tmerrshme është kthyer në një letër të bukur:
Në këtë rast, ne e zhvendosim vetë ikonën e kufirit në tregues:
Shembulli 7
Gjeni kufirin
Kujdes! Ky lloj kufiri ndodh shumë shpesh, ju lutemi studioni këtë shembull me shumë kujdes.
Le të përpiqemi të zëvendësojmë një numër pafundësisht të madh në shprehjen nën shenjën e kufirit:
Rezultati është pasiguria. Por kufiri i dytë i shquar vlen për pasigurinë e formës. Çfarë duhet bërë? Duhet të konvertojmë bazën e shkallës. Ne arsyetojmë kështu: në emërues kemi , që do të thotë se edhe në numërues duhet të organizojmë .
