Përshëndetje, të dashur studentë të Universitetit të Argemonës!

Sot do të vazhdojmë të mësojmë se si të materializojmë objektet. Herën e fundit ne rrotulluam figura të sheshta dhe morëm trupa vëllimorë. Disa prej tyre janë shumë joshëse dhe të dobishme. Unë mendoj se shumë nga ajo që shpik një magjistar mund të përdoret në të ardhmen.

Sot do të rrotullojmë kthesat. Është e qartë se në këtë mënyrë mund të marrim një objekt me skaje shumë të holla (një kon ose shishe për pije, një vazo me lule, një gotë për pije etj.), sepse një kurbë rrotulluese mund të krijojë pikërisht këtë lloj objektesh. Me fjalë të tjera, duke rrotulluar lakoren mund të marrim një lloj sipërfaqeje - të mbyllur nga të gjitha anët ose jo. Pse pikërisht tani m'u kujtua filxhani që pikon nga e cila pinte gjithmonë Sir Shurf Lonley-Lokley.

Kështu do të krijojmë një tas me vrima dhe një tas pa vrima dhe do të llogarisim sipërfaqen e sipërfaqes së krijuar. Unë mendoj se ajo (sipërfaqja në përgjithësi) do të jetë e nevojshme për diçka - mirë, të paktën për aplikimin e bojës magjike speciale. Nga ana tjetër, zonat e objekteve magjike mund të kërkohen për të llogaritur forcat magjike të aplikuara ndaj tyre ose diçka tjetër. Do të mësojmë ta gjejmë dhe do të gjejmë ku ta zbatojmë.

Pra, një pjesë e një parabole mund të na japë formën e një tasi. Le të marrim y=x 2 më të thjeshtë në interval. Mund të shihet se kur e rrotulloni rreth boshtit OY, ju merrni vetëm një tas. Pa fund.

Magjia për llogaritjen e sipërfaqes së rrotullimit është si më poshtë:

Këtu |y| është distanca nga boshti i rrotullimit në çdo pikë të kurbës që rrotullohet. Siç e dini, distanca është pingul.
Pak më e vështirë me elementin e dytë të magjisë: ds është diferenciali i harkut. Këto fjalë nuk na japin asgjë, ndaj të mos shqetësohemi, por le të kalojmë në gjuhën e formulave, ku ky diferencim paraqitet qartë për të gjitha rastet e njohura prej nesh:
- Sistemi i koordinatave karteziane;
- regjistrimi i kurbës në formë parametrike;
- sistemi i koordinatave polar.

Për rastin tonë, distanca nga boshti i rrotullimit në çdo pikë të lakores është x. Ne llogarisim sipërfaqen e tasit të vrimës që rezulton:

Për të bërë një tas me fund, duhet të merrni një pjesë tjetër, por me një kurbë tjetër: në interval kjo është vija y=1.

Është e qartë se kur rrotullohet rreth boshtit OY, fundi i tasit do të jetë në formën e një rrethi me rreze njësi. Dhe ne e dimë se si llogaritet sipërfaqja e një rrethi (duke përdorur formulën pi*r^2. Për rastin tonë, zona e rrethit do të jetë e barabartë me pi), por le ta llogarisim duke përdorur një formulë të re - për të kontrolluar.
Distanca nga boshti i rrotullimit në çdo pikë të kësaj pjese të kurbës është gjithashtu e barabartë me x.

Epo, llogaritjet tona janë të sakta, që është një lajm i mirë.

Dhe tani detyrat e shtëpisë.

1. Gjeni sipërfaqen e fituar nga rrotullimi i vijës së thyer ABC, ku A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), rreth boshtit OX.
Këshilla. Shkruani të gjitha segmentet në formë parametrike.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Nga rruga, si duket artikulli që rezulton?

2. Epo, tani dilni me diçka vetë. Unë mendoj se tre artikuj do të jenë të mjaftueshëm.

Nëse kurba jepet me ekuacione parametrike, atëherë sipërfaqja e fituar nga rrotullimi i kësaj kurbë rreth boshtit llogaritet me formulën . Në këtë rast, "drejtimi i vizatimit" i linjës, për të cilin u thyen kaq shumë kopje në artikull, është indiferent. Por, si në paragrafin e mëparshëm, është e rëndësishme që kurba të jetë e vendosur më të larta boshti abscissa - përndryshe funksioni "përgjegjës për lojërat" do të marrë vlera negative dhe do të duhet të vendosni një shenjë "minus" përpara integralit.

Shembulli 3

Llogaritni sipërfaqen e një sfere të përftuar duke rrotulluar një rreth rreth boshtit.

Zgjidhje: nga artikulli rreth sipërfaqes dhe vëllimit për një vijë të përcaktuar parametrikisht ju e dini se ekuacionet përcaktojnë një rreth me qendër në origjinën e rrezes 3.

Epo sferë , për ata që kanë harruar, kjo është sipërfaqja top(ose sipërfaqe sferike).

Ne i përmbahemi skemës së vendosur të zgjidhjes. Le të gjejmë derivatet:

Le të kompozojmë dhe thjeshtojmë rrënjën "formula":

Eshtë e panevojshme të thuhet se doli të ishte karamele. Shihni për krahasim se si Fichtenholtz i goditi kokat me zonën elipsoid i revolucionit.

Sipas vërejtjes teorike, konsiderojmë gjysmërrethin e sipërm. Ai "vizatohet" kur vlera e parametrit ndryshon brenda kufijve (është e lehtë të shihet në këtë interval), pra:

Përgjigju:

Nëse e zgjidhni problemin në formë të përgjithshme, do të merrni saktësisht formulën e shkollës për sipërfaqen e një sfere, ku është rrezja e saj.

Ishte një detyrë kaq e thjeshtë e dhimbshme, madje ndjeva turp... Unë ju sugjeroj ta rregulloni këtë gabim =)

Shembulli 4

Llogaritni sipërfaqen e përftuar duke rrotulluar harkun e parë të cikloidit rreth boshtit.

Detyra është krijuese. Përpiquni të nxirrni ose të merrni me mend në mënyrë intuitive formulën për llogaritjen e sipërfaqes së marrë duke rrotulluar një kurbë rreth boshtit të ordinatave. Dhe, natyrisht, përparësia e ekuacioneve parametrike duhet të theksohet përsëri - ato nuk kanë nevojë të modifikohen në asnjë mënyrë; nuk ka nevojë të shqetësohemi me gjetjen e kufijve të tjerë të integrimit.

Grafiku cikloide mund të shihet në faqe Sipërfaqja dhe vëllimi, nëse vija është e specifikuar në mënyrë parametrike. Sipërfaqja e rrotullimit do t'i ngjajë ... as nuk e di se me çfarë ta krahasoj ... diçka të çuditshme - në formë të rrumbullakët me një depresion të theksuar në mes. Për rastin e rrotullimit të një cikloidi rreth një boshti, në çast erdhi në mendje një lidhje - një top i zgjatur regbi.

Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit.

Ne e përfundojmë rishikimin tonë magjepsës me rastin koordinatat polare. Po, vetëm një përmbledhje, nëse shikoni tekstet shkollore për analizën matematikore (Fichtenholtz, Bokhan, Piskunov, autorë të tjerë), mund të merrni një duzinë të mirë (ose edhe shumë më tepër) shembuj standardë, ndër të cilët mund të gjeni fare mirë problemin që ju nevojitet .

Si të llogarisni sipërfaqen e revolucionit,
nëse vija jepet në një sistem koordinativ polar?

Nëse kurba është dhënë në koordinatat polare ekuacioni, dhe funksioni ka një derivat të vazhdueshëm në një interval të caktuar, atëherë sipërfaqja e fituar nga rrotullimi i kësaj kurbë rreth boshtit polar llogaritet me formulën , ku janë vlerat këndore që korrespondojnë me skajet e kurbës.

Në përputhje me kuptimin gjeometrik të problemit, funksioni i integrandit , dhe kjo arrihet vetëm me kusht (dhe janë padyshim jo negative). Prandaj, është e nevojshme të merren parasysh vlerat e këndit nga diapazoni, me fjalë të tjera, kurba duhet të vendoset më të larta boshti polar dhe vazhdimi i tij. Siç mund ta shihni, e njëjta histori si në dy paragrafët e mëparshëm.

Shembulli 5

Llogaritni sipërfaqen e formuar duke rrotulluar kardiodin rreth boshtit polar.

Zgjidhje: grafiku i kësaj kurbe mund të shihet në shembullin 6 të mësimit rreth sistemi i koordinatave polar. Kardioidi është simetrik në lidhje me boshtin polar, kështu që ne e konsiderojmë gjysmën e sipërme të tij në interval (që, në fakt, është për shkak të vërejtjes së mësipërme).

Sipërfaqja e rrotullimit do t'i ngjajë një bullseye.

Teknika e zgjidhjes është standarde. Le të gjejmë derivatin në lidhje me "phi":

Le të kompozojmë dhe thjeshtojmë rrënjën:

Shpresoj me rregullisht formulat trigonometrike askush nuk kishte ndonjë vështirësi.

Ne përdorim formulën:

Në mes , pra: (Unë fola në detaje se si të shpëtoj siç duhet rrënjën në artikull Gjatësia e harkut të kurbës).

Përgjigju:

Një detyrë interesante dhe e shkurtër që ju ta zgjidhni vetë:

Shembulli 6

Llogaritni sipërfaqen e rripit sferik,

Çfarë është një rrip topi? Vendosni një portokall të rrumbullakët, të paqëruar në tryezë dhe merrni një thikë. Bëni dy paralele prerë, duke e ndarë frutat në 3 pjesë të madhësive arbitrare. Tani merrni qendrën, e cila ka mish të lëngshëm të ekspozuar nga të dyja anët. Ky trup quhet shtresë sferike, dhe sipërfaqja që e kufizon atë (lëkurë portokalli) - rrip topi.

Lexuesit e njohur me koordinatat polare, paraqiti lehtësisht një vizatim të problemit: ekuacioni specifikon një rreth me qendër në polin e rrezes, nga i cili rrezet prerë më pak hark. Ky hark rrotullohet rreth boshtit polar dhe kështu prodhon një rrip sferik.

Tani mund të hani një portokall me një ndërgjegje të pastër dhe një zemër të lehtë, dhe me këtë shënim të shijshëm do ta mbyllim mësimin, mos e prishni oreksin tuaj me shembuj të tjerë =)

Zgjidhje dhe përgjigje:

Shembulli 2:Zgjidhje : llogaritet sipërfaqja e formuar nga rrotullimi i degës së sipërme rreth boshtit të abshisë. Ne përdorim formulën .
Në këtë rast: ;

Kështu:


Përgjigju:

Shembulli 4:Zgjidhje : përdorni formulën . Harku i parë i cikloidit përcaktohet në segment .
Le të gjejmë derivatet:

Le të kompozojmë dhe thjeshtojmë rrënjën:

Kështu, sipërfaqja e rrotullimit është:

Në mes , Kjo është arsyeja pse

Integrali i parëintegrohen sipas pjesëve :

Në integralin e dytë përdorimformula trigonometrike .


Përgjigju:

Shembulli 6:Zgjidhje : përdorni formulën:


Përgjigju:

Matematikë e lartë për studentët me korrespondencë dhe më shumë >>>

(Shko në faqen kryesore)

Si të llogarisim një integral të caktuar
duke përdorur formulën trapezoidale dhe metodën e Simpsonit?

Metodat numerike janë një pjesë mjaft e madhe e matematikës së lartë dhe tekstet shkollore serioze për këtë temë përmbajnë qindra faqe. Në praktikë, testet tradicionalisht propozojnë zgjidhjen e disa problemeve duke përdorur metoda numerike, dhe një nga problemet e zakonshme është llogaritja e përafërt. integrale të përcaktuara. Në këtë artikull do të shikoj dy metoda për llogaritjen e përafërt të integralit të caktuar - Metoda e trapezit Dhe Metoda Simpson.

Çfarë duhet të dini për të zotëruar këto metoda? Mund të tingëllojë qesharake, por mund të mos jeni në gjendje të merrni fare integrale. Dhe ju as nuk e kuptoni se çfarë janë integralet. Nga mjetet teknike do t'ju duhet një mikrollogaritës. Po, po, na presin llogaritjet rutinë të shkollës. Më mirë akoma, shkarkoni timen kalkulator gjysmë automatik për metodën trapezoidale dhe metodën Simpson. Llogaritësi është i shkruar në Excel dhe do të zvogëlojë kohën e nevojshme për zgjidhjen dhe plotësimin e problemeve me dhjetëra herë. Për dummies Excel, është përfshirë një manual video! Nga rruga, regjistrimi i parë video me zërin tim.

Së pari, le të pyesim veten: pse na duhen fare llogaritjet e përafërta? Duket se mund të gjeni antiderivativin e funksionit dhe të përdorni formulën Njuton-Leibniz, duke llogaritur vlerën e saktë të integralit të caktuar. Për t'iu përgjigjur pyetjes, le të shohim menjëherë një shembull demo me një foto.

Njehsoni integralin e caktuar

Gjithçka do të ishte mirë, por në këtë shembull integrali nuk merret - para jush është një i pamarrë, i ashtuquajturi logaritmi integral. A ekziston ky integral? Le të përshkruajmë në vizatim grafikun e funksionit të integrandit:

Gjithçka është në rregull. Integrand të vazhdueshme në segment dhe integrali i caktuar numerikisht është i barabartë me zonën e hijezuar. Ka vetëm një kapje: integrali nuk mund të merret. Dhe në raste të tilla, metodat numerike vijnë në shpëtim. Në këtë rast, problemi shfaqet në dy formulime:

1) Njehsoni përafërsisht integralin e caktuar , duke rrumbullakosur rezultatin në një numër dhjetor të caktuar. Për shembull, deri në dy shifra dhjetore, deri në tre shifra dhjetore, etj. Le të supozojmë se përgjigja e përafërt është 5.347. Në fakt, mund të mos jetë plotësisht e saktë (në realitet, të themi, përgjigja më e saktë është 5.343). Detyra jonë është vetem kaq për të rrumbullakosur rezultatin në tre shifra dhjetore.

2) Llogaritni përafërsisht integralin e caktuar, me një saktësi të caktuar. Për shembull, llogaritni një integral të caktuar afërsisht me një saktësi prej 0,001. Çfarë do të thotë? Kjo do të thotë se nëse përgjigja e përafërt është 5.347, atëherë Të gjitha numrat duhet të jenë betonarme korrekte. Më saktësisht, përgjigjja 5.347 duhet të ndryshojë nga e vërteta në vlerë absolute (në një drejtim ose në një tjetër) jo më shumë se 0.001.

Ekzistojnë disa metoda themelore për llogaritjen e përafërt të integralit të caktuar që shfaqet në problema:

Metoda drejtkëndëshe. Segmenti i integrimit ndahet në disa pjesë dhe ndërtohet një figurë hapi ( histogrami), e cila është afër zonës me zonën e dëshiruar:

Mos gjykoni rreptësisht nga vizatimet, saktësia nuk është ideale - ato ndihmojnë vetëm për të kuptuar thelbin e metodave.

Në këtë shembull, segmenti i integrimit është i ndarë në tre segmente:
. Natyrisht, sa më e shpeshtë të jetë ndarja (segmente më të vogla të ndërmjetme), aq më e lartë është saktësia. Metoda drejtkëndësh jep një përafrim të përafërt të zonës, e cila me sa duket është arsyeja pse ajo gjendet shumë rrallë në praktikë (më kujtohet vetëm një shembull praktik). Në këtë drejtim, unë nuk do ta konsideroj metodën e drejtkëndëshit dhe nuk do të jap as një formulë të thjeshtë. Jo sepse jam dembel, por për shkak të parimit të librit tim të punës: ajo që është jashtëzakonisht e rrallë në problemet praktike nuk merret parasysh.

Metoda e trapezit. Ideja është e ngjashme. Segmenti i integrimit ndahet në disa segmente të ndërmjetme dhe afrohet grafiku i funksionit integrand vijë e thyer linjë:

Kështu, zona jonë (hije blu) përafrohet me shumën e sipërfaqeve të trapezoideve (e kuqe). Prandaj emri i metodës. Është e lehtë të shihet se metoda e trapezit jep një përafrim shumë më të mirë se metoda e drejtkëndëshit (me të njëjtin numër të segmenteve të ndarjes). Dhe, natyrisht, sa më të vogla segmente të ndërmjetme të konsiderojmë, aq më e lartë do të jetë saktësia. Metoda e trapezit gjendet herë pas here në detyra praktike, dhe disa shembuj do të diskutohen në këtë artikull.

Metoda e Simpsonit (metoda e parabolës). Kjo është një metodë më e avancuar - grafiku i integrandit përafrohet jo me një vijë të thyer, por me parabola të vogla. Ka aq shumë parabola të vogla sa ka segmente të ndërmjetme. Nëse marrim të njëjtat tre segmente, atëherë metoda e Simpsonit do të japë një përafrim edhe më të saktë se metoda e drejtkëndëshit ose metoda e trapezit.

Unë nuk e shoh pikën në ndërtimin e një vizatimi, pasi përafrimi vizual do të mbivendoset në grafikun e funksionit (vija e thyer e paragrafit të mëparshëm - dhe madje edhe atëherë pothuajse përkoi).

Problemi i llogaritjes së një integrali të caktuar duke përdorur formulën e Simpson është detyra më e njohur në praktikë. Dhe metodës së parabolës do t'i kushtohet vëmendje e konsiderueshme.

Sipërfaqja e revolucionit- një sipërfaqe e formuar nga rrotullimi rreth një vije të drejtë (bosht sipërfaqësor) të një vije arbitrare (lakore e drejtë, e sheshtë ose hapësinore). Për shembull, nëse një vijë e drejtë e pret boshtin e rrotullimit, atëherë kur ajo rrotullohet, do të fitohet një sipërfaqe konike nëse është paralele me boshtin, ajo do të jetë cilindrike nëse e pret boshtin, një hiperboloid me një fletë; do të arrihet revolucioni. E njëjta sipërfaqe mund të merret duke rrotulluar një shumëllojshmëri të gjerë kthesash. Sipërfaqja e sipërfaqes së rrotullimit e formuar nga rrotullimi i një lakore të rrafshët me gjatësi të fundme rreth një boshti që shtrihet në rrafshin e kurbës, por që nuk e kryqëzon atë, është e barabartë me produktin e gjatësisë së kurbës dhe gjatësisë së një rreth me rreze të barabartë me distancën nga boshti në qendrën e masës së kurbës. Ky pohim quhet teorema e dytë e Gylden, ose teorema qendrore e Pappus.

Zona e sipërfaqes së rrotullimit të formuar nga rrotullimi i një kurbë rreth një boshti mund të llogaritet duke përdorur formulën

Për rastin kur kurba është e specifikuar në sistemin e koordinatave polar, formula është e vlefshme

Zbatimet mekanike të integralit të caktuar (puna e forcave, momentet statike, qendra e gravitetit).

Llogaritja e punës së forcave

Një pikë materiale lëviz përgjatë një lakore vazhdimisht të diferencueshme, ndërsa mbi të vepron një forcë e drejtuar në mënyrë tangjenciale në trajektoren në drejtim të lëvizjes. Puna totale e bërë me forcën F(s):

Nëse pozicioni i një pike në trajektoren e lëvizjes përshkruhet nga një parametër tjetër, atëherë formula merr formën:

Llogaritja e momenteve statike dhe qendra e gravitetit
Le të shpërndahet në planin koordinativ Oxy një masë M me densitet p = p(y) në një grup të caktuar pikash S (kjo mund të jetë një hark i një lakore ose një figurë e sheshtë e kufizuar). Le të shënojmë s(y) - masën e grupit të specifikuar (gjatësia ose zona e harkut).

Përkufizimi 2. Numri quhet momenti k i masës M në raport me boshtin Ox.
Në k = 0 M 0 = M - masë,
k = 1 M 1 - moment statik,
k = 2 M 2 - momenti i inercisë.

Momentet rreth boshtit Oy prezantohen në mënyrë të ngjashme. Në hapësirë, konceptet e momenteve të masës në lidhje me planet koordinative prezantohen në mënyrë të ngjashme.
Nëse p = 1, atëherë momentet përkatëse quhen gjeometrike. Koordinatat e qendrës së gravitetit të një figure të sheshtë homogjene (p - konst) përcaktohen nga formula:

ku M 1 y, M 1 x janë momentet statike gjeometrike të figurës në lidhje me boshtet Oy dhe Ox; S është zona e figurës.

Kjo formulë quhet formula për vëllimin e një trupi nga sipërfaqja e seksioneve paralele.

Shembull. Gjeni vëllimin e elipsoidit x 2 + y 2 + z 2 = 1. a 2b 2c 2

Duke e prerë elipsoidin me një rrafsh paralel me rrafshin Oyz dhe në largësi prej tij (-а ≤х ≤а), marrim një elips (shih Fig. 15):

Zona e kësaj elipse është

Prandaj, sipas formulës (16), kemi

Llogaritja e sipërfaqes së revolucionit

Le të jetë kurba AB një grafik i funksionit y = f (x) ≥ 0, ku x [a,b], një funksion y = f (x) dhe derivati ​​i tij y" = f" (x) janë të vazhdueshëm në këtë segment.

Pastaj sipërfaqja S e sipërfaqes e formuar nga rrotullimi i kurbës AB rreth boshtit Ox llogaritet me formulën

Nëse kurba AB jepet nga ekuacionet parametrike х = x (t), у = у (t), t 1 ≤t ≤t 2, atëherë formula për sipërfaqen e rrotullimit merr formën

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

Shembull Gjeni sipërfaqen e një topi me rreze R. Zgjidhje:

Mund të supozojmë se sipërfaqja e topit është formuar nga rrotullimi i gjysmërrethit y = R 2 − x 2, - R ≤x ≤R, rreth boshtit Ox. Duke përdorur formulën (19) gjejmë

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

−R

Shembull. Jepet një cikloid x = a (t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π. y = a (1− kosto) ,

Gjeni sipërfaqen e formuar duke e rrotulluar rreth boshtit Ox. Zgjidhja:

Kur gjysma e harkut cikloid rrotullohet rreth boshtit Ox, sipërfaqja e rrotullimit është e barabartë me

Llogaritja e gjatësisë së harkut të një lakore të rrafshët

Koordinatat drejtkëndore

Le të jetë një hark, kur numri i lidhjeve të vijës së thyer rritet pafundësisht, dhe gjatësia e koordinatave më të mëdha drejtkëndore jepet një kurbë e sheshtë AB, ekuacioni i së cilës është y = f(x), ku a ≤ x≤ b .

Gjatësia e harkut AB kuptohet si kufiri në të cilin gjatësia e vijës së thyer të gdhendur në këtë lidhje tenton në zero. Le të tregojmë se nëse funksioni y = f(x) dhe derivati ​​i tij y′ = f′ (x) janë të vazhdueshëm në segmentin [a ,b ], atëherë kurba AB ka një gjatësi të barabartë me

Nëse ekuacioni i lakores AB jepet në formë parametrike

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t) ,

ku x (t) dhe y (t) janë funksione të vazhdueshme me derivate të vazhdueshme dhe x (α) = a, x (β) = b, atëherë gjatësia l e kurbës AB gjendet me formulën

Kjo do të thotë l ​​= 2π R. Nëse ekuacioni i një rrethi shkruhet në formën parametrike = R kosto, y = R sint (0 ≤t ≤ 2π ), atëherë

Koordinatat polare

Le të jepet kurba AB nga ekuacioni në koordinatat polare r =r (ϕ),α ≤ ϕ ≤ β. Le të supozojmë se r (φ ) dhe r" (ϕ ) janë të vazhdueshme në intervalin [α , β ].

Nëse në barazitë x = r cosϕ, y = r sinϕ, që lidh koordinatat polare dhe karteziane,

këndi ϕ konsiderohet një parametër, atëherë kurba AB mund të vendoset parametrikishtx = r (ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) sinϕ.

Duke zbatuar formulën (15), marrim l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ .

Shembull Gjeni gjatësinë e kardioidit r =a (1 + cosϕ ). Zgjidhja:

Kardioidi r =a (1 + cosϕ) ka formën e treguar në figurën 14. Është simetrik në lidhje me boshtin polar. Le të gjejmë gjysmën e gjatësisë së kardioidit:

Kështu, 1 2 l = 4 a. Kjo do të thotë l ​​= 8a.