Shembuj të zonës së rombit. Katër formula që mund të përdoren për të llogaritur sipërfaqen e një rombi

Pavarësisht se matematika është mbretëresha e shkencave, dhe aritmetika është mbretëresha e matematikës, gjeometria është gjëja më e vështirë për t'u mësuar nga nxënësit e shkollës. Planimetria është një degë e gjeometrisë që studion figurat e rrafshët. Një nga këto forma është një romb. Shumica e problemeve në zgjidhjen e katërkëndëshave vijnë në gjetjen e zonave të tyre. Le të sistemojmë formula të njohura dhe metoda të ndryshme për llogaritjen e sipërfaqes së një rombi.

Një romb është një paralelogram me të katër anët e barabarta. Kujtoni se një paralelogram ka katër kënde dhe katër palë brinjë paralele të barabarta. Ashtu si çdo katërkëndësh, një romb ka një numër karakteristikash, të cilat përbëhen nga sa vijon: kur diagonalet kryqëzohen, ato formojnë një kënd të barabartë me 90 gradë (AC ⊥ BD), pika e kryqëzimit e ndan secilin në dy segmente të barabarta. Diagonalet e një rombi janë gjithashtu përgjysmuesit e këndeve të tij (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, etj.). Nga kjo rrjedh se ata e ndajnë rombin në katër trekëndësha kënddrejtë të barabartë. Shuma e gjatësive të diagonaleve të ngritura në fuqinë e dytë është e barabartë me gjatësinë e anës ndaj fuqisë së dytë shumëzuar me 4, d.m.th. BD 2 + AC 2 = 4AB 2.

Në planimetri përdoren shumë metoda për llogaritjen e sipërfaqes së rombit, aplikimi i të cilave varet nga të dhënat burimore. Nëse dihet gjatësia e anës dhe ndonjë kënd, mund të përdorni formulën e mëposhtme: sipërfaqja e një rombi është e barabartë me katrorin e anës shumëzuar me sinusin e këndit. Nga kursi i trigonometrisë ne e dimë se sin (π – α) = sin α, që do të thotë se në llogaritjet mund të përdorni sinusin e çdo këndi - të mprehtë dhe të mpirë. Një rast i veçantë është një romb, në të cilin të gjitha këndet janë të drejta. Ky është një shesh. Dihet se sinusi i një këndi të drejtë është i barabartë me një, kështu që sipërfaqja e një katrori është e barabartë me gjatësinë e anës së tij të ngritur në fuqinë e dytë.

Duke pasur parasysh gjatësinë e njohur të diagonaleve dhe madhësinë e çdo këndi, zona e një rombi përcaktohet në dy mënyra. Së pari: sipërfaqja është gjysma e katrorit të diagonales më të madhe, shumëzuar me tangjenten e gjysmës së masës së shkallës së këndit akut, d.m.th. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), ku D është diagonalja kryesore, α është këndi akut. Nëse e dini madhësinë e diagonales së vogël, do të përdorim formulën 1/2*d 2 *tg(β/2), ku d është diagonalja e vogël, β është një kënd i mpirë. Le të kujtojmë se masa e një këndi akut është më pak se 90 gradë (masa e një këndi të drejtë), dhe një kënd i mpirë, në përputhje me rrethanat, është më i madh se 90 0.

Sipërfaqja e një rombi mund të gjendet duke përdorur gjatësinë e anës (mos harroni, të gjitha anët e një rombi janë të barabarta) dhe lartësinë. Lartësia është një pingul i ulur në anën përballë këndit ose në shtrirjen e tij. Në mënyrë që baza e lartësisë të vendoset brenda rombit, ajo duhet të ulet nga një kënd i mpirë.

Ndonjëherë një problem kërkon gjetjen e zonës së një rombi bazuar në të dhënat që lidhen me rrethin e gdhendur. Në këtë rast, duhet të dini rrezen e saj. Ekzistojnë dy formula që mund të përdoren për llogaritjen. Pra, për t'iu përgjigjur pyetjes, mund të dyfishoni produktin e anës së rombit dhe rrezes së rrethit të brendashkruar. Me fjalë të tjera, ju duhet të shumëzoni diametrin e rrethit të gdhendur nga ana e rombit. Nëse madhësia e këndit paraqitet në deklaratën e problemit, atëherë sipërfaqja gjendet përmes herësit ndërmjet katrorit të rrezes të shumëzuar me katër dhe sinusit të këndit.

Siç mund ta shihni, ka shumë mënyra për të gjetur zonën e një rombi. Sigurisht, për të kujtuar secilën prej tyre do të kërkojë durim, vëmendje dhe, natyrisht, kohë. Por në të ardhmen, ju mund të zgjidhni lehtësisht metodën e përshtatshme për detyrën tuaj dhe do të zbuloni se gjeometria nuk është e vështirë.

është një paralelogram në të cilin të gjitha anët janë të barabarta.

Rombi me kënde të drejta quhet katror dhe konsiderohet rast i veçantë i rombit. Ju mund ta gjeni zonën e një rombi në mënyra të ndryshme, duke përdorur të gjithë elementët e tij - anët, diagonalet, lartësinë. Formula klasike për sipërfaqen e një rombi është llogaritja e vlerës përmes lartësisë.

Një shembull i llogaritjes së sipërfaqes së një rombi duke përdorur këtë formulë është shumë i thjeshtë. Thjesht duhet të zëvendësoni të dhënat dhe të llogaritni sipërfaqen.

Zona e një rombi përmes diagonaleve

Diagonalet e një rombi kryqëzohen në kënde të drejta dhe ndahen në gjysmë në pikën e kryqëzimit.

Formula për sipërfaqen e një rombi përmes diagonaleve të tij është prodhimi i diagonaleve të tij të ndarë me 2.

Le të shohim një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së një rombi duke përdorur diagonale. Le të jepet një romb me diagonale
d1 =5 cm dhe d2 =4. Le të gjejmë zonën.

Formula për sipërfaqen e një rombi nëpër anët nënkupton gjithashtu përdorimin e elementeve të tjerë. Nëse një rreth është i gdhendur në një romb, atëherë zona e figurës mund të llogaritet nga anët dhe rrezja e saj:

Një shembull i llogaritjes së sipërfaqes së një rombi nëpër anët është gjithashtu shumë i thjeshtë. Ju duhet vetëm të llogaritni rrezen e rrethit të brendashkruar. Mund të nxirret nga teorema e Pitagorës dhe duke përdorur formulën.

Zona e një rombi përmes anës dhe këndit

Formula për sipërfaqen e një rombi për sa i përket anës dhe këndit përdoret shumë shpesh.

Le të shohim një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së një rombi duke përdorur një anë dhe një kënd.

Detyra: Jepet një romb, diagonalet e të cilit janë d1 = 4 cm, d2 = 6 cm, këndi i mprehtë është α = 30°. Gjeni sipërfaqen e figurës duke përdorur anën dhe këndin.
Së pari, le të gjejmë anën e rombit. Ne përdorim teoremën e Pitagorës për këtë. Ne e dimë se në pikën e kryqëzimit diagonalet përgjysmohen dhe formojnë një kënd të drejtë. Prandaj:
Le të zëvendësojmë vlerat:
Tani e dimë anën dhe këndin. Le të gjejmë zonën:

Rombi është një figurë e veçantë në gjeometri. Falë vetive të tij të veçanta, nuk ka një, por disa formula që mund të përdoren për të llogaritur sipërfaqen e një rombi. Cilat janë këto veti dhe cilat janë formulat më të zakonshme për të gjetur sipërfaqen e kësaj figure? Le ta kuptojmë.

Cila figurë gjeometrike quhet romb?

Para se të zbuloni se cila është zona e një rombi, ia vlen të zbuloni se çfarë lloj figure është.

Nga koha e gjeometrisë Euklidiane, një romb është një katërkëndësh simetrik, të katër anët e të cilit janë të barabarta në gjatësi dhe paralele në çifte.

Origjina e termit

Emri i kësaj figure erdhi në shumicën e gjuhëve moderne nga greqishtja, me ndërmjetësimin e latinishtes. "Paraardhësi" i fjalës "romb" ishte emri grek ῥόμβος (dajre). Edhe pse është e vështirë për banorët e shekullit të njëzetë, të mësuar me dajre të rrumbullakëta, t'i imagjinojnë ato në ndonjë formë tjetër, ndër helenët këto instrumente muzikore tradicionalisht nuk ishin të rrumbullakëta, por në formë diamanti.

Në shumicën e gjuhëve moderne, ky term matematikor përdoret si në latinisht: rombus. Sidoqoftë, në anglisht, rombët nganjëherë quhen diamant (diamant ose diamant). Kjo figurë e mori këtë pseudonim për shkak të formës së saj të veçantë, që të kujton një gur të çmuar. Si rregull, një term i ngjashëm nuk përdoret për të gjitha rombet, por vetëm për ato në të cilat këndi i kryqëzimit të dy anëve të tij është i barabartë me gjashtëdhjetë ose dyzet e pesë gradë.

Kjo figurë u përmend për herë të parë në veprat e matematikanit grek që jetoi në shekullin e parë të epokës së re - Heron i Aleksandrisë.

Çfarë karakteristikash ka kjo figurë gjeometrike?

Për të gjetur zonën e një rombi, para së gjithash duhet të dini se çfarë karakteristikash ka kjo figurë gjeometrike.

Në cilat kushte një paralelogram është një romb?

Siç e dini, çdo romb është një paralelogram, por jo çdo paralelogram është një romb. Për të thënë me saktësi se figura e paraqitur është me të vërtetë një romb, dhe jo një paralelogram i thjeshtë, duhet të korrespondojë me një nga tre tiparet kryesore që dallojnë një romb. Ose të treja menjëherë.

Diagonalet e një paralelogrami priten në një kënd prej nëntëdhjetë gradë.
Diagonalet ndajnë këndet në dysh, duke vepruar si përgjysmues të tyre.
Jo vetëm anët paralele, por edhe anët ngjitur kanë të njëjtën gjatësi. Ky, nga rruga, është një nga ndryshimet kryesore midis një rombi dhe një paralelogrami, pasi figura e dytë ka vetëm anët paralele që janë të barabarta në gjatësi, por jo ato ngjitur.

Në çfarë kushtesh një romb është katror?

Sipas vetive të tij, në disa raste një romb mund të bëhet njëkohësisht katror. Për të konfirmuar qartë këtë deklaratë, thjesht rrotulloni katrorin në çdo drejtim me dyzet e pesë gradë. Shifra që rezulton do të jetë një romb, secili nga këndet e të cilit është i barabartë me nëntëdhjetë gradë.

Gjithashtu, për të konfirmuar që katrori është një romb, mund të krahasoni karakteristikat e këtyre figurave: në të dyja rastet, të gjitha anët janë të barabarta, dhe diagonalet janë përgjysmues dhe kryqëzohen në një kënd prej nëntëdhjetë gradë.

Si të zbuloni zonën e një rombi duke përdorur diagonalet e tij

Në botën moderne, ju mund të gjeni pothuajse të gjitha materialet për të kryer llogaritjet e nevojshme në internet. Kështu, ka shumë burime të pajisura me programe për llogaritjen automatike të sipërfaqes së një figure të veçantë. Për më tepër, nëse (si në rastin e një rombi) ka disa formula për këtë, atëherë është e mundur të zgjidhni se cila është më e përshtatshme për t'u përdorur. Sidoqoftë, para së gjithash, duhet të jeni në gjendje të llogaritni vetë zonën e një rombi pa ndihmën e një kompjuteri dhe të lundroni në formula. Ka shumë prej tyre për rombin, por më të famshmit prej tyre janë katër.

Një nga mënyrat më të thjeshta dhe më të zakonshme për të gjetur zonën e kësaj figure është nëse keni informacion për gjatësinë e diagonaleve të saj. Nëse problemi ka këto të dhëna, atëherë mund të aplikoni formulën e mëposhtme për të gjetur zonën: S = KM x LN/2 (KM dhe LN janë diagonalet e rombit KLMN).

Ju mund të kontrolloni besueshmërinë e kësaj formule në praktikë. Le të themi se një romb KLMN ka gjatësinë e njërës prej diagonaleve të tij KM - 10 cm, dhe LN-së së dytë - 8 cm. Më pas i zëvendësojmë këto të dhëna në formulën e mësipërme dhe marrim rezultatin e mëposhtëm: S = 10 x 8/ 2 =. 40 cm 2.

Formula për llogaritjen e sipërfaqes së një paralelogrami

Ka një formulë tjetër. Siç u tha më lart në përkufizimin e një rombi, ai nuk është vetëm një katërkëndësh, por edhe një paralelogram dhe ka të gjitha tiparet e kësaj figure. Në këtë rast, për të gjetur sipërfaqen e tij, është mjaft e këshillueshme të përdoret formula e përdorur për një paralelogram: S = KL x Z. Në këtë rast, KL është gjatësia e anës së paralelogramit (rombi), dhe Z është gjatësia e lartësisë së tërhequr në këtë anë.

Në disa probleme nuk sigurohet gjatësia e anës, por dihet perimetri i rombit. Meqenëse formula për gjetjen e saj u tregua më lart, mund ta përdorni për të zbuluar gjatësinë e anës. Pra, perimetri i figurës është 10 cm.

Tani ia vlen të përpiqeni ta zëvendësoni këtë numër në formulë, duke ditur se gjatësia e lartësisë së tërhequr në anën është gjithashtu e barabartë me 2.5 cm Tani le të përpiqemi t'i vendosim këto vlera në formulën e mësipërme për sipërfaqen e a paralelogrami. Rezulton se zona e rombit është S = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm 2.

Mënyra të tjera për të llogaritur sipërfaqen e një rombi

Ata që kanë zotëruar tashmë sinuset dhe kosinuset mund të përdorin formula që i përmbajnë ato për të gjetur sipërfaqen e një rombi. Një shembull klasik është formula e mëposhtme: S = KM 2 x Sin KLM. Në këtë rast, sipërfaqja e figurës është e barabartë me produktin e dy anëve të rombit të shumëzuar me sinusin e këndit ndërmjet tyre. Dhe meqenëse të gjitha anët në një romb janë të njëjta, është më e lehtë të shënoni menjëherë njërën anë, siç tregohet në formulë.

Ne e kontrollojmë këtë skemë në praktikë, dhe jo vetëm për një romb, por për një katror, i cili, siç e dini, ka të gjitha këndet e drejta, që do të thotë se ato janë të barabarta me nëntëdhjetë gradë. Le të themi se njëra nga anët është 15 cm Dihet gjithashtu se sinusi i një këndi prej 90° është i barabartë me një. Pastaj, sipas formulës, S = 15 x 15 x Sin 90° = 255x1 = 255 cm 2.

Përveç sa më sipër, në disa raste përdoret një formulë tjetër, duke përdorur sinusin për të përcaktuar sipërfaqen e një rombi: S = 4 x R 2 / Sin KLM. Në këtë mishërim, përdoret rrezja e një rrethi të gdhendur në një romb. Ai ngrihet në fuqinë e katrorit dhe shumëzohet me katër. Dhe i gjithë rezultati ndahet me sinusin e këndit më të afërt me figurën e gdhendur.

Si shembull, për thjeshtësi të llogaritjeve, le të marrim përsëri një katror (sinusi i këndit të tij do të jetë gjithmonë i barabartë me një). Rrezja e rrethit të gdhendur në të është 4,4 cm, atëherë sipërfaqja e rombit do të llogaritet si më poshtë: S = 4 x 4,4 2 / Sin 90 ° = 77,44 cm 2.

Formulat e mësipërme për gjetjen e rrezes së një rombi janë larg nga të vetmet në llojin e tyre, por ato janë më të lehta për t'u kuptuar dhe kryer llogaritjet.

Një romb është një rast i veçantë i një paralelogrami. Është një figurë e sheshtë katërkëndore në të cilën të gjitha anët janë të barabarta. Kjo veti përcakton që rombet kanë anët e kundërta paralele dhe kënde të kundërta të barabarta. Diagonalet e një rombi kryqëzohen në kënde të drejta, pika e prerjes së tyre është në mes të secilës diagonale dhe këndet nga të cilat dalin ndahen përgjysmë. Kjo do të thotë, diagonalet e një rombi janë përgjysmues të këndeve. Bazuar në përkufizimet e mësipërme dhe vetitë e listuara të rombit, zona e tyre mund të përcaktohet në mënyra të ndryshme.

1. Nëse dihen të dy diagonalet e një rombi AC dhe BD, atëherë sipërfaqja e rombit mund të përcaktohet si gjysma e produktit të diagonaleve.

S = ½ ∙ A.C. ∙ BD

ku AC, BD janë gjatësia e diagonaleve të rombit.

Për të kuptuar pse është kështu, ju mund të vendosni mendërisht një drejtkëndësh në një romb në mënyrë që anët e këtij të fundit të jenë pingul me diagonalet e rombit. Bëhet e qartë se zona e rombit do të jetë e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së drejtkëndëshit të gdhendur në këtë mënyrë në romb, gjatësia dhe gjerësia e të cilit do të korrespondojnë me madhësinë e diagonaleve të rombit.

2. Për analogji me një paralelipiped, sipërfaqja e një rombi mund të gjendet si prodhim i anës së tij dhe lartësia e pingulit nga ana e kundërt e ulur në një anë të caktuar.

S = a ∙ h

ku a është ana e rombit;
h është lartësia e pingulit të rënë në një anë të caktuar.

3. Sipërfaqja e një rombi është gjithashtu e barabartë me katrorin e anës së tij shumëzuar me sinusin e këndit α.

S = a 2 ∙ mëkat α

ku a është ana e rombit;
α është këndi ndërmjet anëve.

4. Gjithashtu, zona e një rombi mund të gjendet përmes anës së tij dhe rrezes së rrethit të gdhendur në të.

S=2 ∙ a ∙ r

ku a është ana e rombit;
r është rrezja e rrethit të gdhendur në romb.

Fakte interesante
Fjala romb vjen nga greqishtja e lashtë rombus, që do të thotë "dajre". Në ato ditë, dajre në fakt kishin një formë diamanti, dhe jo të rrumbullakët, siç jemi mësuar t'i shohim tani. Nga e njëjta kohë, erdhi emri i kostumit të kartave "diamantet". Diamantet e llojeve të ndryshme përdoren shumë gjerësisht në heraldikë.

Çfarë është Rombi? Një romb është një paralelogram me të gjitha anët të barabarta.

RHOMB, figurë në rrafsh, katërkëndësh me brinjë të barabarta. Rombi është një rast i veçantë i një PARALELOGRAM, në të cilin ose dy brinjët ngjitur janë të barabarta, ose diagonalet priten në kënde të drejta, ose diagonalja përgjysmon këndin. Rombi me kënde të drejta quhet katror.

Formula klasike për sipërfaqen e një rombi është llogaritja e vlerës përmes lartësisë. Sipërfaqja e një rombi është e barabartë me produktin e një ane dhe lartësinë e tërhequr në atë anë.

1. Sipërfaqja e një rombi është e barabartë me produktin e një ane dhe lartësinë e tërhequr në këtë anë:

\[ S = a \cdot h \]

2. Nëse dihet brinja e rombit (të gjitha anët e rombit janë të barabarta) dhe këndi ndërmjet anëve, atëherë zona mund të gjendet duke përdorur formulën e mëposhtme:

\[ S = a^(2) \cdot sin (\alfa) \]

3. Sipërfaqja e një rombi është gjithashtu e barabartë me gjysmën e produktit të diagonaleve, domethënë:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Nëse dihet rrezja r e një rrethi të gdhendur në një romb dhe ana e rombit a, atëherë sipërfaqja e tij llogaritet me formulën:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Vetitë e një rombi

Në figurën e mësipërme, \(ABCD\) është një romb, \(AC = DB = CD = AD\) . Meqenëse një romb është një paralelogram, ai ka të gjitha vetitë e një paralelogrami, por ka edhe veti të qenësishme vetëm për një romb.

Ju mund të vendosni një rreth në çdo romb. Qendra e një rrethi të gdhendur në një romb është pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij. Rrezja e rrethit e barabartë me gjysmën e lartësisë së rombit:

\[ r = \frac( AH )(2) \]