Një trapez është një lloj i veçantë katërkëndëshi në të cilin dy anët e kundërta janë paralele me njëra-tjetrën, por dy të tjerat jo. Objekte të ndryshme reale kanë një formë trapezoidale, kështu që mund t'ju duhet të llogaritni perimetrin e një figure të tillë gjeometrike për të zgjidhur problemet e përditshme ose të shkollës.
Gjeometria e trapezit
Një trapezoid (nga greqishtja "trapezion" - tabela) është një figurë në një plan të kufizuar nga katër segmente, dy prej të cilave janë paralele dhe dy jo. Segmentet paralele quhen bazat e trapezit, dhe segmentet joparalele quhen anët e figurës. Anët dhe këndet e tyre të pjerrësisë përcaktojnë llojin e trapezit, i cili mund të jetë i shkallëzuar, dykëndësh ose drejtkëndor. Përveç bazave dhe anëve, trapezi ka dy elementë të tjerë:
- lartësia - distanca midis bazave paralele të figurës;
- vija e mesme - një segment që lidh mesin e anëve.
Kjo figurë gjeometrike është e përhapur në jetën reale.
Trapezoid në realitet
Në jetën e përditshme, shumë objekte reale marrin një formë trapezoidale. Ju mund të gjeni lehtësisht trapezoide në fushat e mëposhtme të veprimtarisë njerëzore:
- dizajn i brendshëm dhe dekor - divane, tavolina, mure, qilima, tavane të varura;
- dizajni i peizazhit - kufijtë e lëndinave dhe rezervuarëve artificialë, format e elementeve dekorative;
- moda - forma e veshjeve, këpucëve dhe aksesorëve;
- arkitekturë - dritare, mure, themele ndërtesash;
- prodhim - produkte dhe pjesë të ndryshme.
Me një përdorim kaq të gjerë të trapezoidëve, specialistët shpesh duhet të llogarisin perimetrin e një figure gjeometrike.
Perimetri i trapezit
Perimetri i një figure është një karakteristikë numerike që llogaritet si shuma e gjatësive të të gjitha anëve të n-këndores. Një trapez është një katërkëndësh dhe në përgjithësi të gjitha anët e tij kanë gjatësi të ndryshme, kështu që perimetri llogaritet duke përdorur formulën:
P = a + b + c + d,
ku a dhe c janë bazat e figurës, b dhe d janë anët e saj.
Edhe pse nuk kemi nevojë të dimë lartësinë kur llogaritim perimetrin e një trapezi, kodi i kalkulatorit kërkon futjen e kësaj ndryshore. Meqenëse lartësia nuk ndikon në llogaritjet, kur përdorni kalkulatorin tonë në internet, mund të vendosni çdo vlerë lartësie që është më e madhe se zero. Le të shohim disa shembuj.
Shembuj të jetës reale
shami
Le të themi se keni një shall në formë trapezi dhe dëshironi ta shkurtoni me thekë. Do t'ju duhet të dini perimetrin e shallit në mënyrë që të mos blini materiale shtesë ose të shkoni dy herë në dyqan. Lejo që shalli juaj izoscelor të ketë parametrat e mëposhtëm: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm Ne i vendosim këto të dhëna në formularin online dhe marrim përgjigjen në formular.
Kështu, perimetri i shallit është 340 cm, dhe pikërisht kjo është gjatësia e gërshetit të thekës për ta përfunduar atë.
Shpatet
Për shembull, keni vendosur të bëni shpate për dritare metalike-plastike jo standarde që kanë një formë trapezoidale. Dritare të tilla përdoren gjerësisht në projektimin e ndërtesave, duke krijuar një përbërje prej disa brezash. Më shpesh, dritare të tilla bëhen në formën e një trapezi drejtkëndor. Le të zbulojmë se sa material nevojitet për të bërë shpatet e një dritareje të tillë. Një dritare standarde ka parametrat e mëposhtëm a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm Ne i përdorim këto të dhëna dhe marrim rezultatin në formë
Prandaj, perimetri i dritares trapezoidale është 390 cm, dhe kjo është pikërisht sa panele plastike do t'ju duhet të blini për të formuar shpatet.
konkluzioni
Trapezi është një figurë popullore në jetën e përditshme, përcaktimi i parametrave të të cilit mund të jetë i nevojshëm në situatat më të papritura. Llogaritja e perimetrave trapezoidale është e nevojshme për shumë profesionistë: nga inxhinierët dhe arkitektët tek projektuesit dhe mekanikët. Katalogu ynë i kalkulatorëve në internet do t'ju lejojë të kryeni llogaritjet për çdo formë dhe trup gjeometrik.
Ka shumë mënyra për të gjetur zonën e një trapezi. Zakonisht një mësues matematike njeh disa metoda për ta llogaritur atë, le t'i shikojmë ato në më shumë detaje:
1) 
, ku AD dhe BC janë bazat, dhe BH është lartësia e trapezit. Vërtetim: vizatoni diagonalen BD dhe shprehni sipërfaqet e trekëndëshave ABD dhe CDB përmes gjysmës së prodhimit të bazave dhe lartësive të tyre:
, ku DP është lartësia e jashtme në
Le t'i shtojmë këto barazi terma për term dhe duke marrë parasysh që lartësitë BH dhe DP janë të barabarta, marrim:
Le ta vendosim jashtë kllapave
Q.E.D.
Përfundim i formulës për sipërfaqen e një trapezi:
Meqenëse gjysma e bazave është e barabartë me MN - vija e mesme e trapezit, atëherë
2) Zbatimi i formulës së përgjithshme për sipërfaqen e një katërkëndëshi.
Sipërfaqja e një katërkëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të diagonaleve të shumëzuar me sinusin e këndit ndërmjet tyre
Për ta vërtetuar atë, mjafton të ndani trapezin në 4 trekëndësha, të shprehni sipërfaqen e secilit në termat e "gjysmës së produktit të diagonaleve dhe sinusit të këndit midis tyre" (marrë si kënd, shtoni atë që rezulton shprehjet, hiqni ato nga kllapa dhe faktorizoni këtë kllapa duke përdorur metodën e grupimit për të marrë barazinë e saj me shprehjen
3) Metoda e zhvendosjes diagonale
Ky është emri im. Një mësues matematike nuk do të hasë një titull të tillë në tekstet shkollore. Një përshkrim i teknikës mund të gjendet vetëm në tekste shtesë si një shembull i zgjidhjes së një problemi. Dëshiroj të vërej se shumica e fakteve interesante dhe të dobishme rreth planimetrisë u zbulohen studentëve nga mësuesit e matematikës në procesin e kryerjes së punës praktike. Kjo është jashtëzakonisht jooptimale, sepse studenti duhet t'i izolojë ato në teorema të veçanta dhe t'i quajë "emra të mëdhenj". Një nga këto është "zhvendosja diagonale". Për çfarë bëhet fjalë? 
Le të vizatojmë një drejtëz paralele me AC përmes kulmit B derisa ajo të kryqëzohet me bazën e poshtme në pikën E. Në këtë rast, katërkëndëshi EBCA do të jetë një paralelogram (sipas përkufizimit) dhe për rrjedhojë BC=EA dhe EB=AC. Barazia e parë është e rëndësishme për ne tani. Ne kemi:
Vini re se trekëndëshi BED, zona e të cilit është e barabartë me sipërfaqen e trapezit, ka disa veti më të jashtëzakonshme:
1) Sipërfaqja e saj është e barabartë me sipërfaqen e trapezit
2) Isosceles i tij ndodh njëkohësisht me isosceles të vetë trapezoidit
3) Këndi i sipërm i tij në kulmin B është i barabartë me këndin midis diagonaleve të trapezit (i cili përdoret shumë shpesh në problema) 
4) BK mediana e tij është e barabartë me distancën QS midis pikave të mesit të bazave të trapezit. Kohët e fundit kam hasur në përdorimin e kësaj prone gjatë përgatitjes së një studenti për Mekanikë dhe Matematikë në Universitetin Shtetëror të Moskës duke përdorur tekstin shkollor të Tkachuk, versioni i vitit 1973 (problemi është dhënë në fund të faqes).
Teknika të veçanta për një mësues matematike.
Ndonjëherë unë propozoj probleme duke përdorur një mënyrë shumë të ndërlikuar për të gjetur zonën e një trapezi. E klasifikoj si një teknikë të veçantë sepse në praktikë mësuesi i përdor jashtëzakonisht rrallë. Nëse keni nevojë për përgatitje për Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë vetëm në Pjesën B, nuk keni pse të lexoni rreth tyre. Për të tjerat, do t'ju tregoj më tej. Rezulton se zona e një trapezi është dyfishi i sipërfaqes së një trekëndëshi me kulme në skajet e njërës anë dhe në mes të tjetrës, domethënë trekëndëshi ABS në figurë: 
Vërtetim: vizatoni lartësitë SM dhe SN në trekëndëshat BCS dhe ADS dhe shprehni shumën e sipërfaqeve të këtyre trekëndëshave:
Meqenëse pika S është mesi i CD-së, atëherë (vërtetojeni vetë shumën e sipërfaqeve të trekëndëshave).
Meqenëse kjo shumë doli të jetë e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së trapezit, atëherë gjysma e dytë e tij. etj.
Unë do të përfshija në koleksionin e teknikave të veçanta të mësuesit formën e llogaritjes së sipërfaqes së një trapezi izoscelular përgjatë anëve të tij: ku p është gjysmëperimetri i trapezit. Unë nuk do të jap prova. Përndryshe, mësuesi juaj i matematikës do të mbetet pa punë :). Ejani në klasë!
Problemet në zonën e një trapezi:
Shënim i mësuesit të matematikës: Lista e mëposhtme nuk është një shoqërim metodologjik i temës, është vetëm një përzgjedhje e vogël e detyrave interesante bazuar në teknikat e diskutuara më sipër.
1) Baza e poshtme e një trapezi izoscelular është 13, dhe e sipërme është 5. Gjeni zonën e trapezit nëse diagonalja e tij është pingul me anën.
2) Gjeni sipërfaqen e një trapezi nëse bazat e tij janë 2 cm dhe 5 cm, dhe anët e tij janë 2 cm dhe 3 cm.
3) Në një trapezoid izoscelular, baza më e madhe është 11, ana është 5 dhe diagonalja është Gjeni zonën e trapezit.
4) Diagonalja e një trapezi dykëndor është 5 dhe vija e mesme është 4. Gjeni sipërfaqen.
5) Në një trapezoid izoscelular, bazat janë 12 dhe 20, dhe diagonalet janë reciproke pingul. Llogaritni sipërfaqen e një trapezi
6) Diagonalja e një trapezi izoscelular bën një kënd me bazën e tij të poshtme. Gjeni sipërfaqen e trapezit nëse lartësia e tij është 6 cm.
7) Sipërfaqja e trapezit është 20, dhe njëra nga anët e saj është 4 cm. Gjeni distancën me të nga mesi i anës së kundërt.
8) Diagonalja e një trapezi dykëndësh e ndan atë në trekëndësha me sipërfaqe 6 dhe 14. Gjeni lartësinë nëse brinja anësore është 4.
9) Në një trapezoid, diagonalet janë të barabarta me 3 dhe 5, dhe segmenti që lidh mesin e bazave është i barabartë me 2. Gjeni zonën e trapezit (Mekhmat MSU, 1970).
Zgjodha jo problemet më të vështira (mos kini frikë nga inxhinieria mekanike!) me shpresën se do të mund t'i zgjidhja në mënyrë të pavarur. Vendosni për shëndetin tuaj! Nëse keni nevojë për përgatitje për Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë, atëherë pa pjesëmarrjen e formulës për sipërfaqen e një trapezi në këtë proces, mund të shfaqen probleme serioze edhe me problemin B6 dhe aq më tepër me C4. Mos e filloni temën dhe në rast vështirësie kërkoni ndihmë. Një mësues matematike është gjithmonë i lumtur t'ju ndihmojë.
Kolpakov A.N.
Mësues i matematikës në Moskë, përgatitje për Provimin e Unifikuar të Shtetit në Strogino.
Në matematikë njihen disa lloje katërkëndëshash: katror, drejtkëndësh, romb, paralelogram. Midis tyre është një trapezoid - një lloj katërkëndëshi konveks në të cilin dy anët janë paralele dhe dy të tjerat jo. Anët e kundërta paralele quhen baza, dhe dy të tjerat quhen anët anësore të trapezit. Segmenti që lidh mesin e anëve quhet vijë e mesme. Ekzistojnë disa lloje të trapezoideve: izosceles, drejtkëndëshe, curvilinear. Për çdo lloj trapezi ka formula për gjetjen e sipërfaqes.
Zona e trapezit
Për të gjetur zonën e një trapezi, duhet të dini gjatësinë e bazave dhe lartësinë e tij. Lartësia e një trapezi është një segment pingul me bazat. Le të jetë baza e sipërme a, baza e poshtme të jetë b dhe lartësia të jetë h. Pastaj mund të llogarisni zonën S duke përdorur formulën:
S = ½ * (a+b) * h
ato. merrni gjysmën e shumës së bazave të shumëzuar me lartësinë.
Do të jetë gjithashtu e mundur të llogaritet zona e trapezit nëse dihet lartësia dhe vija qendrore. Le të shënojmë vijën e mesme - m. Pastaj
Le të zgjidhim një problem më të ndërlikuar: dihen gjatësitë e katër anëve të trapezit - a, b, c, d. Pastaj zona do të gjendet duke përdorur formulën:
Nëse dihen gjatësitë e diagonaleve dhe këndi ndërmjet tyre, atëherë zona kërkohet si më poshtë:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
ku d me indekset 1 dhe 2 janë diagonale. Në këtë formulë, sinusi i këndit është dhënë në llogaritje.
Duke pasur parasysh gjatësitë e njohura të bazave a dhe b dhe dy këndet në bazën e poshtme, sipërfaqja llogaritet si më poshtë:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))
Zona e një trapezoidi izoscelular
Një trapezoid isosceles është një rast i veçantë i një trapezi. Dallimi i tij është se një trapez i tillë është një katërkëndësh konveks me një bosht simetrie që kalon përmes mesit të dy anëve të kundërta. Anët e saj janë të barabarta.
Ka disa mënyra për të gjetur zonën e një trapezi izosceles.
- Përmes gjatësive të tre anëve. Në këtë rast, gjatësitë e anëve do të përkojnë, prandaj ato përcaktohen me një vlerë - c, dhe a dhe b - gjatësitë e bazave:
- Nëse dihet gjatësia e bazës së sipërme, anës anësore dhe këndi në bazën e poshtme, atëherë sipërfaqja llogaritet si më poshtë:
S = c * sin α * (a + c * cos α)
ku a është baza e sipërme, c është ana.
- Nëse në vend të bazës së sipërme dihet gjatësia e asaj të poshtme - b, sipërfaqja llogaritet duke përdorur formulën:
S = c * sin α * (b – c * cos α)
- Nëse, kur dihen dy baza dhe këndi në bazën e poshtme, sipërfaqja llogaritet përmes tangjentës së këndit:
S = ½ * (b2 – a2) * tan α
- Sipërfaqja llogaritet edhe nëpërmjet diagonaleve dhe këndit ndërmjet tyre. Në këtë rast, diagonalet janë të barabarta në gjatësi, kështu që ne e shënojmë secilën me shkronjën d pa nënshkrime:
S = ½ * d2 * sin α
- Le të llogarisim sipërfaqen e trapezit, duke ditur gjatësinë e anës, vijën qendrore dhe këndin në bazën e poshtme.
Le të jetë ana anësore c, vija e mesme m dhe këndi të jetë a, atëherë:
S = m * c * sin α
Ndonjëherë mund të futni një rreth në një trapez barabrinjës, rrezja e të cilit do të jetë r.
Dihet se një rreth mund të futet në çdo trapez nëse shuma e gjatësive të bazave është e barabartë me shumën e gjatësive të brinjëve të tij. Pastaj zona mund të gjendet përmes rrezes së rrethit të brendashkruar dhe këndit në bazën e poshtme:
S = 4r2 / sin α
E njëjta llogaritje bëhet duke përdorur diametrin D të rrethit të gdhendur (nga rruga, përkon me lartësinë e trapezoidit):
Duke ditur bazën dhe këndin, sipërfaqja e një trapezi izoscelular llogaritet si më poshtë:
S = a * b / sin α
(kjo dhe formulat pasuese janë të vlefshme vetëm për trapezoidët me një rreth të brendashkruar).
Duke përdorur bazat dhe rrezen e rrethit, zona gjendet si më poshtë:
Nëse dihen vetëm bazat, atëherë sipërfaqja llogaritet duke përdorur formulën:
Përmes bazave dhe vijës anësore, sipërfaqja e trapezit me rrethin e brendashkruar dhe përmes bazave dhe vijës së mesme - m llogaritet si më poshtë:
Zona e një trapezi drejtkëndor
Një trapezoid quhet drejtkëndor nëse njëra nga anët e tij është pingul me bazën. Në këtë rast, gjatësia e anës përkon me lartësinë e trapezit.
Një trapez drejtkëndor përbëhet nga një katror dhe një trekëndësh. Pasi të keni gjetur sipërfaqen e secilës prej figurave, shtoni rezultatet dhe merrni sipërfaqen totale të figurës.
Gjithashtu, formulat e përgjithshme për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi janë të përshtatshme për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi drejtkëndor.
- Nëse dihen gjatësitë e bazave dhe lartësia (ose ana pingule), atëherë sipërfaqja llogaritet duke përdorur formulën:
S = (a + b) * h / 2
Ana anësore c mund të veprojë si h (lartësi). Atëherë formula duket si kjo:
S = (a + b) * c / 2
- Një mënyrë tjetër për të llogaritur sipërfaqen është të shumëzoni gjatësinë e vijës qendrore me lartësinë:
ose nga gjatësia e anës pingule anësore:
- Mënyra tjetër për të llogaritur është përmes gjysmës së prodhimit të diagonaleve dhe sinusit të këndit midis tyre:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Nëse diagonalet janë pingule, atëherë formula thjeshtohet në:
S = ½ * d1 * d2
- Një mënyrë tjetër për të llogaritur është përmes gjysmëperimetrit (shuma e gjatësive të dy anëve të kundërta) dhe rrezes së rrethit të brendashkruar.
Kjo formulë është e vlefshme për bazat. Nëse marrim gjatësitë e anëve, atëherë njëra prej tyre do të jetë e barabartë me dyfishin e rrezes. Formula do të duket si kjo:
S = (2r + c) * r
- Nëse një rreth është i gdhendur në një trapez, atëherë zona llogaritet në të njëjtën mënyrë:
ku m është gjatësia e vijës qendrore.
Zona e një trapezi të lakuar
Një trapez lakor është një figurë e sheshtë e kufizuar nga grafiku i një funksioni të vazhdueshëm jo-negativ y = f(x), i përcaktuar në segmentin, boshtin e abshisës dhe drejtëzat x = a, x = b. Në thelb, dy nga anët e tij janë paralele me njëra-tjetrën (bazat), ana e tretë është pingul me bazat dhe e katërta është një kurbë që korrespondon me grafikun e funksionit.
Zona e një trapezi lakor kërkohet përmes integralit duke përdorur formulën Newton-Leibniz:
Kështu llogariten sipërfaqet e llojeve të ndryshme të trapezoidëve. Por, përveç vetive të brinjëve, trapezoidët kanë të njëjtat veti të këndeve. Si të gjithë katërkëndëshat ekzistues, shuma e këndeve të brendshme të një trapezi është 360 gradë. Dhe shuma e këndeve ngjitur me anën është 180 gradë.
DHE . Tani mund të fillojmë të shqyrtojmë pyetjen se si të gjejmë zonën e një trapezi. Kjo detyrë lind shumë rrallë në jetën e përditshme, por ndonjëherë rezulton të jetë e nevojshme, për shembull, të gjesh sipërfaqen e një dhome në formën e një trapezi, e cila përdoret gjithnjë e më shumë në ndërtimin e apartamenteve moderne, ose në projektimi i projekteve të rinovimit.
Një trapez është një figurë gjeometrike e formuar nga katër segmente të kryqëzuara, dy prej të cilave janë paralele me njëri-tjetrin dhe quhen bazat e trapezit. Dy segmentet e tjera quhen anët e trapezit. Përveç kësaj, do të na duhet një përkufizim tjetër më vonë. Kjo është vija e mesme e trapezit, e cila është një segment që lidh mesin e anëve dhe lartësinë e trapezit, e cila është e barabartë me distancën midis bazave.
Ashtu si trekëndëshat, edhe trapezët kanë lloje të veçanta në formën e një trapezi izoscelor (të barabartë), në të cilin gjatësitë e brinjëve janë të njëjta dhe një trapezoidi drejtkëndor, në të cilin njëra nga anët formon një kënd të drejtë me bazat.
Trapezët kanë disa veti interesante:
- Vija e mesme e trapezit është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave dhe është paralele me to.
- Trapezoidët izoscelorë kanë brinjë të barabarta dhe këndet që formojnë me bazat.
- Pikat e mesit të diagonaleve të një trapezi dhe pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij janë në të njëjtën drejtëz.
- Nëse shuma e anëve të një trapezi është e barabartë me shumën e bazave, atëherë në të mund të futet një rreth.
- Nëse shuma e këndeve të formuara nga anët e një trapezi në cilëndo nga bazat e tij është 90, atëherë gjatësia e segmentit që lidh mesin e bazave është e barabartë me gjysmëdiferencën e tyre.
- Një trapezoid isosceles mund të përshkruhet nga një rreth. Dhe anasjelltas. Nëse një trapezoid përshtatet në një rreth, atëherë ai është izosceles.
- Segmenti që kalon nga mesi i bazave të një trapezi izoscelular do të jetë pingul me bazat e tij dhe përfaqëson boshtin e simetrisë.
Si të gjeni zonën e një trapezi.
Sipërfaqja e trapezit do të jetë e barabartë me gjysmën e shumës së bazave të tij shumëzuar me lartësinë e tij. Në formën e formulës, kjo shkruhet si shprehje:
ku S është sipërfaqja e trapezit, a, b është gjatësia e secilës prej bazave të trapezit, h është lartësia e trapezit.
Ju mund ta kuptoni dhe mbani mend këtë formulë si më poshtë. Siç vijon nga figura më poshtë, duke përdorur vijën qendrore, një trapez mund të shndërrohet në një drejtkëndësh, gjatësia e të cilit do të jetë e barabartë me gjysmën e shumës së bazave.
Ju gjithashtu mund të zbërtheni çdo trapezoid në figura më të thjeshta: një drejtkëndësh dhe një ose dy trekëndësha, dhe nëse është më e lehtë për ju, atëherë gjeni sipërfaqen e trapezit si shumën e sipërfaqeve të figurave përbërëse të tij.
Ekziston një formulë tjetër e thjeshtë për llogaritjen e sipërfaqes së saj. Sipas tij, sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me prodhimin e vijës së mesit të tij nga lartësia e trapezit dhe shkruhet në formën: S = m*h, ku S është sipërfaqja, m është gjatësia e vija e mesme, h është lartësia e trapezit. Kjo formulë është më e përshtatshme për problemet e matematikës sesa për problemet e përditshme, pasi në kushte reale nuk do të dini gjatësinë e vijës qendrore pa llogaritjet paraprake. Dhe ju do të dini vetëm gjatësinë e bazave dhe anëve.
Në këtë rast, zona e trapezit mund të gjendet duke përdorur formulën:
S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2
ku S është sipërfaqja, a, b janë bazat, c, d janë anët e trapezit.
Ka disa mënyra të tjera për të gjetur zonën e një trapezi. Por, ato janë po aq të papërshtatshme sa formula e fundit, që do të thotë se nuk ka kuptim të ndalemi në to. Prandaj, ju rekomandojmë të përdorni formulën e parë nga artikulli dhe dëshirojmë që gjithmonë të merrni rezultate të sakta.
Praktika e Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe Provimit të Shtetit të vitit të kaluar tregon se problemet e gjeometrisë shkaktojnë vështirësi për shumë nxënës. Mund t'i përballoni lehtësisht nëse mësoni përmendësh të gjitha formulat e nevojshme dhe praktikoni zgjidhjen e problemeve.
Në këtë artikull do të shihni formula për gjetjen e zonës së një trapezi, si dhe shembuj të problemeve me zgjidhje. Mund të hasni të njëjtat në KIM gjatë provimeve të certifikimit ose në olimpiada. Prandaj, trajtojini ato me kujdes.
Çfarë duhet të dini për trapezin?
Për të filluar, le të kujtojmë atë trapezoid quhet katërkëndësh në të cilin dy brinjët e kundërta, të quajtura edhe baza, janë paralele dhe dy të tjerat jo.
Në një trapez, lartësia (pingule me bazën) gjithashtu mund të ulet. Vizatohet vija e mesme - kjo është një vijë e drejtë që është paralele me bazat dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre. Si dhe diagonalet që mund të kryqëzohen, duke formuar kënde akute dhe të mpirë. Ose, në disa raste, në një kënd të drejtë. Për më tepër, nëse trapezi është izosceles, mund të gdhendet një rreth në të. Dhe përshkruani një rreth rreth tij.
Formulat e zonës së trapezit
Së pari, le të shohim formulat standarde për gjetjen e sipërfaqes së një trapezi. Më poshtë do të shqyrtojmë mënyrat për të llogaritur sipërfaqen e trapezoideve izosceles dhe curvilinear.
Pra, imagjinoni se keni një trapez me baza a dhe b, në të cilin lartësia h ulet në bazën më të madhe. Llogaritja e sipërfaqes së një figure në këtë rast është po aq e lehtë sa lëmimi i dardhave. Thjesht duhet të ndani shumën e gjatësive të bazave me dy dhe të shumëzoni rezultatin me lartësinë: S = 1/2(a + b)*h.
Le të marrim një rast tjetër: supozojmë se në një trapezoid, përveç lartësisë, ekziston një vijë e mesme m. Ne e dimë formulën për gjetjen e gjatësisë së vijës së mesme: m = 1/2(a + b). Prandaj, me të drejtë mund të thjeshtojmë formulën për sipërfaqen e një trapezi në formën e mëposhtme: S = m* h. Me fjalë të tjera, për të gjetur zonën e një trapezi, duhet të shumëzoni vijën qendrore me lartësinë.
Le të shqyrtojmë një opsion tjetër: trapezi përmban diagonale d 1 dhe d 2, të cilat nuk kryqëzohen në kënde të drejta α. Për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi të tillë, duhet të ndani produktin e diagonaleve me dy dhe të shumëzoni rezultatin me mëkatin e këndit midis tyre: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Tani merrni parasysh formulën për gjetjen e sipërfaqes së një trapezi nëse nuk dihet asgjë për të, përveç gjatësive të të gjitha anëve të tij: a, b, c dhe d. Kjo është një formulë e rëndë dhe komplekse, por do të jetë e dobishme për ju ta mbani mend atë për çdo rast: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Nga rruga, shembujt e mësipërm janë gjithashtu të vërtetë për rastin kur keni nevojë për formulën për zonën e një trapezi drejtkëndor. Ky është një trapezoid, ana e të cilit ngjitet me bazat në një kënd të drejtë.
Trapezoid isosceles
Një trapezoid anët e të cilit janë të barabarta quhet izosceles. Ne do të shqyrtojmë disa opsione për formulën për sipërfaqen e një trapezi izosceles.
Opsioni i parë: për rastin kur një rreth me rreze r është i gdhendur brenda një trapezi izoscelular, dhe baza anësore dhe më e madhe formojnë një kënd akut α. Një rreth mund të futet në një trapez me kusht që shuma e gjatësive të bazave të tij të jetë e barabartë me shumën e gjatësive të brinjëve.
Sipërfaqja e një trapezi izoscelular llogaritet si më poshtë: shumëzoni katrorin e rrezes së rrethit të gdhendur me katër dhe ndani të gjitha me sinα: S = 4r 2 /sinα. Një formulë tjetër e zonës është një rast i veçantë për opsionin kur këndi midis bazës së madhe dhe anës është 30 0: S = 8r2.
Opsioni i dytë: këtë herë marrim një trapezoid izoscelular, në të cilin përveç kësaj vizatohen diagonalet d 1 dhe d 2, si dhe lartësia h. Nëse diagonalet e një trapezi janë reciproke pingule, lartësia është gjysma e shumës së bazave: h = 1/2(a + b). Duke e ditur këtë, është e lehtë të shndërroni formulën për zonën e një trapezi që tashmë është e njohur për ju në këtë formë: S = h2.
Formula për zonën e një trapezi të lakuar
Le të fillojmë duke kuptuar se çfarë është një trapezoid i lakuar. Imagjinoni një bosht koordinativ dhe një grafik të një funksioni të vazhdueshëm dhe jo negativ f që nuk ndryshon shenjë brenda një segmenti të caktuar në boshtin x. Një trapez lakor formohet nga grafiku i funksionit y = f(x) - në krye, boshti x është në fund (segment), dhe në anët - vijat e drejta të tërhequra midis pikave a dhe b dhe grafiku i funksionin.
Është e pamundur të llogaritet zona e një figure të tillë jo standarde duke përdorur metodat e mësipërme. Këtu ju duhet të aplikoni analizën matematikore dhe të përdorni integralin. Përkatësisht: formula e Njuton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Në këtë formulë, F është antiderivati i funksionit tonë në segmentin e zgjedhur. Dhe zona e një trapezi lakor korrespondon me rritjen e antiderivativit në një segment të caktuar.
Shembuj të problemeve
Për t'i bërë të gjitha këto formula më të lehta për t'u kuptuar në kokën tuaj, këtu janë disa shembuj të problemeve për gjetjen e zonës së një trapezi. Më së miri do të ishte që fillimisht të përpiqeni t'i zgjidhni vetë problemet dhe vetëm më pas të krahasoni përgjigjen që merrni me zgjidhjen e gatshme.
Detyra numër 1: Jepet një trapez. Baza e saj më e madhe është 11 cm, më e vogla është 4 cm. Trapezi ka diagonale, njëra 12 cm e gjatë, e dyta 9 cm.
Zgjidhja: Ndërtoni një AMRS trapez. Vizatoni një drejtëz РХ përmes kulmit P në mënyrë që ajo të jetë paralele me diagonalen MC dhe të presë drejtëzën AC në pikën X. Do të merrni një trekëndësh APХ.
Ne do të shqyrtojmë dy figura të marra si rezultat i këtyre manipulimeve: trekëndëshi APX dhe paralelogrami CMRX.
Falë paralelogramit, mësojmë se PX = MC = 12 cm dhe CX = MR = 4 cm. Nga ku mund të llogarisim brinjën AX të trekëndëshit ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Mund të vërtetojmë gjithashtu se trekëndëshi APX është kënddrejtë (për ta bërë këtë, aplikoni teoremën e Pitagorës - AX 2 = AP 2 + PX 2). Dhe llogaritni sipërfaqen e saj: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
Më pas do t'ju duhet të vërtetoni se trekëndëshat AMP dhe PCX janë të barabartë në sipërfaqe. Baza do të jetë barazia e palëve MR dhe CX (të vërtetuar tashmë më lart). Dhe gjithashtu lartësitë që ulni në këto anë - ato janë të barabarta me lartësinë e trapezoidit AMRS.
E gjithë kjo do t'ju lejojë të thoni se S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Detyra numër 2:Është dhënë trapezi KRMS. Në anët e saj anësore janë pikat O dhe E, ndërsa OE dhe KS janë paralele. Dihet gjithashtu se sipërfaqet e trapezeve ORME dhe OKSE janë në raportin 1:5. RM = a dhe KS = b. Ju duhet të gjeni OE.
Zgjidhje: Vizatoni një drejtëz paralele me RK përmes pikës M dhe caktoni pikën e kryqëzimit të saj me OE si T. A është pika e kryqëzimit të një drejtëze të tërhequr përmes pikës E paralele me RK me bazën KS.
Le të prezantojmë një shënim tjetër - OE = x. Dhe gjithashtu lartësia h 1 për trekëndëshin TME dhe lartësia h 2 për trekëndëshin AEC (ju mund të vërtetoni në mënyrë të pavarur ngjashmërinë e këtyre trekëndëshave).
Do të supozojmë se b > a. Sipërfaqet e trapezeve ORME dhe OKSE janë në raportin 1:5, gjë që na jep të drejtën të krijojmë ekuacionin e mëposhtëm: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Le të transformojmë dhe të marrim: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Meqenëse trekëndëshat TME dhe AEC janë të ngjashëm, kemi h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Le të kombinojmë të dy hyrjet dhe marrim: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Kështu, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
konkluzioni
Gjeometria nuk është shkenca më e lehtë, por sigurisht që mund të përballeni me pyetjet e provimit. Mjafton të tregosh pak këmbëngulje në përgatitje. Dhe, sigurisht, mbani mend të gjitha formulat e nevojshme.
Ne u përpoqëm të mbledhim të gjitha formulat për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi në një vend, në mënyrë që t'i përdorni ato kur përgatiteni për provime dhe rishikoni materialin.
Sigurohuni që t'u tregoni shokëve të klasës dhe miqve tuaj në rrjetet sociale për këtë artikull. Le të ketë më shumë nota të mira për Provimin e Bashkuar të Shtetit dhe Provimet e Shtetit!
faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.
