Sipërfaqja e një trekëndëshi. Teorema të dobishme, përfundime dhe probleme

Teorema. Sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të anës së tij dhe lartësisë së tij:

Prova është shumë e thjeshtë. Ky trekëndësh ABC(Fig. 1.15) le ta ndërtojmë deri në një paralelogram ABDC. Trekëndëshat ABC Dhe DCB janë të barabarta në tre anët, pra sipërfaqet e tyre janë të barabarta. Pra, zona e trekëndëshit ABC e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së paralelogramit ABDC, d.m.th.

Por këtu lind pyetja e mëposhtme: pse tre gjysmëproduktet e mundshme të bazës dhe lartësisë për çdo trekëndësh janë të njëjta? Sidoqoftë, kjo është e lehtë të vërtetohet nga ngjashmëria e drejtkëndëshave me një kënd të përbashkët akut. Konsideroni një trekëndësh ABC(Fig. 1.16):

Dhe prandaj

Megjithatë, kjo nuk bëhet në tekstet shkollore. Përkundrazi, barazia e tre gjysmëprodukteve përcaktohet në bazë të faktit se të gjithë këta gjysmëprodukte shprehin sipërfaqen e trekëndëshit. Kështu, ekzistenca e një funksioni të vetëm shfrytëzohet në mënyrë implicite. Por këtu vjen një mundësi e përshtatshme dhe udhëzuese për të demonstruar një shembull të modelimit matematik. Në të vërtetë, ekziston një realitet fizik pas konceptit të zonës, por verifikimi i drejtpërdrejtë i barazisë së tre gjysmëprodukteve tregon cilësinë e përkthimit të këtij koncepti në gjuhën e matematikës.

Duke përdorur teoremën e mësipërme të zonës së trekëndëshit, shpesh është e përshtatshme të krahasohen zonat e dy trekëndëshave. Më poshtë po paraqesim disa pasoja të dukshme por të rëndësishme të teoremës.

Përfundimi 1. Nëse kulmi i një trekëndëshi zhvendoset përgjatë një vije të drejtë paralele me bazën e tij, atëherë sipërfaqja e tij nuk ndryshon.

Në Fig. 1.17 trekëndësha ABC Dhe ABD kanë një bazë të përbashkët AB dhe lartësi të barabarta ulen në këtë bazë, pasi një vijë e drejtë A, e cila përmban kulmet ME Dhe D paralel me bazën AB, dhe për këtë arsye sipërfaqet e këtyre trekëndëshave janë të barabarta.

Përfundimi 1 mund të riformulohet si më poshtë.

Përfundimi 1?. Le të jepet një segment AB. Shumë pikë M të tillë që sipërfaqja e trekëndëshit AMV e barabartë me vlerën e specifikuar S, ka dy drejtëza paralele me segmentin AB dhe ato që ndodhen në një distancë prej saj (Fig. 1. 18)

Përfundimi 2. Nëse njëra nga brinjët e një trekëndëshi ngjitur me një kënd të caktuar rritet me k herë, atëherë edhe sipërfaqja e saj do të rritet me k një herë.

Në Fig. 1.19 trekëndësha ABC Dhe ABD kanë një lartësi të përbashkët BH, pra raporti i sipërfaqeve të tyre është i barabartë me raportin e bazave

Raste të veçanta të rëndësishme rrjedhin nga Konkluzioni 2:

1. Mediana e ndan trekëndëshin në dy pjesë të vogla.

2. Përgjysmues i një këndi të një trekëndëshi, i mbyllur midis brinjëve të tij A Dhe b, e ndan në dy trekëndësha, sipërfaqet e të cilëve lidhen si a : b.

Përfundimi 3. Nëse dy trekëndësha kanë një kënd të përbashkët, atëherë sipërfaqet e tyre janë proporcionale me produktin e brinjëve që e mbyllin këtë kënd.

Kjo rrjedh nga fakti se (Fig. 1.19)

Në veçanti, deklarata e mëposhtme qëndron:

Nëse dy trekëndësha janë të ngjashëm dhe brinja e njërit prej tyre është k herë më e madhe se anët përkatëse të tjetrës, atëherë sipërfaqja e saj është k 2 herë sipërfaqja e së dytës.

Ne nxjerrim formulën e Heronit për sipërfaqen e një trekëndëshi në dy mënyrat e mëposhtme. Në të parën përdorim teoremën e kosinusit:

ku a, b, c janë gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit, r është këndi i kundërt me brinjën c.

Nga (1.3) gjejmë.

Duke vënë re atë

ku është gjysmëperimetri i trekëndëshit, marrim.

Ky video mësim për gjeometrinë e klasës së 8-të do t'i ndihmojë studentët të mësojnë temën e gjetjes së sipërfaqes së një trekëndëshi. Tema diskuton se çfarë metode ekziston për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi, jep dy përfundime dhe një teoremë mbi raportin e sipërfaqeve të trekëndëshave.

Në fillim të mësimit do të përvijojmë disa dispozita për të thjeshtuar diskutimin e temës. Merrni si shembull trekëndëshin ABC. Shpesh, për lehtësi, një nga anët në një trekëndësh merret si bazë. Atëherë lartësia në fjalë do të jetë lartësia e tërhequr në bazë.

Le të shohim teoremën: sipërfaqja e një trekëndëshi mund të llogaritet si produkt i bazës dhe lartësisë së tij, të ndarë në gjysmë. Deklarata kërkon prova. Supozojmë se na është dhënë një trekëndësh ACB, ku sipërfaqja e tij shprehet me vlerën S. Do të supozojmë se brinja AB është baza e trekëndëshit. Le të vizatojmë një pingul me CH. Duhet të vërtetojmë se S = 0,5 x AB x CH.

Do të përdorim metodën e mëposhtme: bazuar në trekëndëshin ACB, vizatoni një paralelogram ABCD siç tregohet në figurë. Konsideroni trekëndëshat ACB dhe CBD. CB është ana e tyre e përbashkët, ana BA është e barabartë me DC, ana CA është e barabartë me DB, pasi këto janë anët e kundërta të paralelogramit. Trekëndëshat ACB dhe CBD janë kongruentë sepse tre brinjët janë të barabarta. Nga barazia e trekëndëshave del se sipërfaqet e tyre janë të barabarta. Prandaj, zona e trekëndëshit ACB është e barabartë me sipërfaqen e paralelogramit ABCD të ndarë në gjysmë. Ne e dimë se sipërfaqja e një paralelogrami mund të llogaritet duke shumëzuar bazën me lartësinë: S ABCD = AB x CH. Kjo do të thotë se sipërfaqja e trekëndëshit është S = 0,5 x AB x CH, që është ajo që duhet të vërtetohet.

Nga teorema rrjedhin disa pohime.

Pasoja e parë. Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë gjendet si produkt i këmbëve të ndarë me 2.

Pasoja e dytë. Nëse dy trekëndësha kanë lartësi të barabarta, atëherë raporti i sipërfaqeve të trekëndëshave është i barabartë me raportin e bazave të tyre.

Pasoja e dytë mund të zbatohet kur vërtetohet teorema mbi raportin e sipërfaqeve të trekëndëshave në rastin kur njëri prej këndeve të tyre është i barabartë.

Kjo teoremë thotë se nëse njëri nga këndet është i barabartë në dy trekëndësha, atëherë raporti i sipërfaqeve të këtyre trekëndëshave do të jetë i barabartë me vlerën e raportit të produktit të brinjëve që mbyllin kënde të barabarta.

Le të shohim provën. Le të jepen dy trekëndësha ABC dhe A 1 B 1 C 1, sipërfaqet e të cilëve janë përkatësisht të barabarta me S dhe S 1. Dihet se këndi A është i barabartë me këndin A 1. Le të vërtetojmë se shprehja S / S 1 = (AB x AC) / A 1 B 1 x A 1 C 1 është e vërtetë, d.m.th. Zonat e këtyre trekëndëshave lidhen me njëra-tjetrën si prodhim i brinjëve që mbyllin kënde të barabarta.

Më pas, kombinoni dy trekëndësha në mënyrë që kulmi A të përkojë me kulmin A 1, dhe brinjët A 1 B 1 dhe A 1 C 1 të përkojnë me rrezet AB dhe AC Trekëndëshat ABC dhe AB 1 C (të theksuara me ngjyra në figurë). lartësia CH. Le të shkruajmë sipërfaqet e këtyre trekëndëshave. Sipërfaqja e trekëndëshit ABC është 0,5 x AB x CH. Sipërfaqja e trekëndëshit AB 1 C është 0,5 x AB 1 x CH. Pastaj zonat lidhen me njëra-tjetrën si (0,5 x AB x CH) / (0,5 x AB 1 x CH) ose AB / AB 1. Për analogji, trekëndëshat AB 1 C dhe AB 1 C 1 gjithashtu kanë një lartësi të përbashkët B 1 H 1 (shënuar në figurë). Sipërfaqja e trekëndëshit AB 1 C 1 është 0,5 x A 1 C 1 x BH 1 , dhe sipërfaqja e trekëndëshit AB 1 C mund të shkruhet ndryshe si 0,5 x AC x BH 1 .

Pastaj zonat e trekëndëshave AB 1 C dhe AB 1 C 1 lidhen me njëra-tjetrën si (0,5 x AC x BH 1) / (0,5 x A 1 C 1 x BH 1) ose AC / AC 1. Duke shumëzuar barazitë që rezultojnë, gjejmë se zonat e trekëndëshave ABC dhe AB 1 C 1 janë të lidhura me njëra-tjetrën si (AB x AC) / (AB 1 x AC 1). Ato. S / S 1 = (AB x AC) / A 1 B 1 x A 1 C 1 . Ne kemi vërtetuar teoremën.

Le të kujtojmë përgjigjet e pyetjeve 1. Formuloni konceptin e sipërfaqes së një figure gjeometrike 2. Formuloni vetitë themelore të sipërfaqeve të figurave gjeometrike 3. Si mund të llogarisni sipërfaqen e një drejtkëndëshi dhe paralelogrami?

Sipërfaqja e një figure gjeometrike Sipërfaqja e një figure gjeometrike është një sasi që karakterizon madhësinë e një figure të caktuar.

Vetitë themelore të sipërfaqeve të figurave gjeometrike 1. Çdo figurë gjeometrike e sheshtë ka një sipërfaqe. 2. Kjo zonë është e vetmja. 3. Sipërfaqja e çdo figure gjeometrike shprehet si numër pozitiv. 4. Sipërfaqja e një katrori me brinjë të barabartë me një është e barabartë me një. 5. Sipërfaqja e një figure është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të pjesëve në të cilat është ndarë.

Sipërfaqja e një drejtkëndëshi Sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e barabartë me produktin e dy brinjëve të tij ngjitur a në S = a · in

Sipërfaqja e një paralelogrami 1. Sipërfaqja e një paralelogrami është e barabartë me produktin e anës së tij dhe lartësinë e ulur në këtë anë a S = a · h h

Sipërfaqja e një paralelogrami 2. Sipërfaqja e një paralelogrami është e barabartë me prodhimin e dy brinjëve të tij ngjitur dhe me sinusin e këndit ndërmjet tyre a në A B C D S= a · b · sin A

Sipërfaqja e një trekëndëshi Teorema Sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të brinjës së tij dhe lartësisë së ulur në këtë anë A B C D S= ½ AC · VD

Vërtetimi i teoremës A B D C K S(ABC)= ½ S(ABDS)=1/2 AD · VC

Pasojat nga teorema Përpiquni të vërtetoni vetë pasojat e mëposhtme nga teorema:

Përfundimi 1 Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me gjysmën e produktit të këmbëve të tij A B C S= ½ BC AC

Përfundim 2 Sipërfaqja e një trekëndëshi të mpirë është e barabartë me prodhimin e cilësdo anë të tij dhe lartësia e rënë në këtë anë A B CD

Përfundimi 3 Sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e prodhimit të çdo dy brinjësh të tij dhe me sinusin e këndit ndërmjet tyre A B C S= ½ AB · AC · sin A

Përfundimi 4 Sipërfaqja e një trekëndëshi barabrinjës llogaritet me formulën: ku a është brinja e trekëndëshit

Së pari, zgjidhni problemet e thjeshta: 1. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi, baza e të cilit është 16 cm dhe lartësia e tij është 2. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës me brinjë 6 cm të një trekëndëshi kënddrejtë brinjët e të cilit janë 9 cm dhe 12 cm.

Vizatime shpjeguese për këto enigma të lehta

Tani zgjidh problemet më të vështira 1. Në një trekëndësh dykëndësh, brinja është 13 cm dhe baza është 10 cm. 2. Jepet një trekëndësh barabrinjës me brinjë a. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi të përbërë nga mesin e një trekëndëshi të caktuar 3. Hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë është 10 cm dhe njëra nga këmbët e tij është 8 cm

Tani zgjidhni problemet më të vështira 1. Ana anësore e një trekëndëshi dykëndësh është e barabartë me a dhe këndi në bazë është i barabartë. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit. 2. Lartësia e trekëndëshit barabrinjës është h. Llogaritni sipërfaqen e saj. 3. Në një trekëndësh kënddrejtë, hipotenuza është e barabartë me c, dhe një nga këndet akute është e barabartë me. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit.

Përgjigjet e problemeve të lehta cm cm cm 2

Përgjigjet e problemeve më të vështira cm cm 2

Përgjigjet për problemet më të vështira Përgjigjet e problemeve: 1. ½ a 2 mëkat

Kjo është interesante! Përcaktimi i sipërfaqeve të figurave gjeometrike është një nga problemet më të vjetra praktike. Qasja e duhur për zgjidhjen e tyre nuk u gjet menjëherë. Një nga mënyrat më të thjeshta dhe më të arritshme për të llogaritur sipërfaqet u zbulua nga Euklidi. Gjatë llogaritjes së zonave, ai përdori një teknikë të thjeshtë të quajtur metoda e ndarjes.

Për shembull, ne tashmë dimë se si të llogarisim sipërfaqen e një katrori, drejtkëndëshi dhe paralelogrami, por duhet të llogarisim sipërfaqen e një trekëndëshi arbitrar. Le të zbatojmë algoritmin e mëposhtëm:

Le të shënojmë një pikë në njërën nga anët e trekëndëshit, e cila është mesi i kësaj brinjë. 2. Vizatoni një vijë të drejtë përmes kësaj pike paralele me njërën nga brinjët e këtij trekëndëshi. 3. Një vijë e drejtë e ndan këtë trekëndësh në një trekëndësh të vogël dhe një trapez. 4. Riorganizoni trekëndëshin më të vogël në trapez në mënyrë që të marrim një paralelogram.

Trekëndëshi origjinal dhe paralelogrami që rezulton janë figura me përbërje të barabartë, dhe për këtë arsye të barabarta në sipërfaqe. Kjo do të thotë që zona e trekëndëshit origjinal është e barabartë me sipërfaqen e paralelogramit që rezulton.

Sipërfaqja e një paralelogrami është e barabartë me produktin e bazës dhe lartësisë së tij, dhe lartësia e trekëndëshit origjinal, sipas konstruksionit, është 2 herë lartësia e paralelogramit. Kjo do të thotë që sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të bazës dhe lartësisë së tij!

Dhe si përfundim... Shpresoj se ky informacion do t'ju ndihmojë të kuptoni mirë këtë temë, dhe për këtë arsye të merrni vetëm një "A" në test! Faleminderit për vëmendjen tuaj!

- Çdo figurë gjeometrike e sheshtë ka një sipërfaqe. - Çdo figurë gjeometrike e sheshtë ka një sipërfaqe. - Ky shesh është i vetmi. - Sipërfaqja e çdo figure gjeometrike shprehet si një numër pozitiv. - Sipërfaqja e një katrori me një anë të barabartë me një është e barabartë me një. - Sipërfaqja e një figure është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të pjesëve në të cilat është ndarë.

1. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi, baza e të cilit është 16 cm, 1. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi, baza e të cilit është 16 cm, dhe lartësia e kësaj baze është 20 cm një trekëndësh barabrinjës me brinjë 6 cm 3. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë, këmbët e të cilit janë 9 cm dhe 12 cm.

1. Në një trekëndësh dykëndësh, brinja është 13 cm dhe baza është 10 cm. 1. Në një trekëndësh dykëndësh, brinja është 13 cm dhe baza është 10 cm. 2. Jepet një trekëndësh barabrinjës me brinjë a. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi të përbërë nga mesin e një trekëndëshi të caktuar. 3. Hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë është 10 cm dhe njëra nga këmbët e tij është 8 cm

1. Ana anësore e një trekëndëshi dykëndësh është e barabartë me a dhe këndi në bazë është i barabartë me . Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit. 1. Brinja anësore e një trekëndëshi dykëndësh është e barabartë me a dhe këndi në bazë është i barabartë me . Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit. 2. Lartësia e trekëndëshit barabrinjës është h. Llogaritni sipërfaqen e saj. 3. Në një trekëndësh kënddrejtë, hipotenuza është e barabartë me c, dhe një nga këndet akute është e barabartë me . Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit.

Përcaktimi i sipërfaqeve të figurave gjeometrike është një nga problemet më të vjetra praktike.

-Le të shënojmë një pikë në njërën nga brinjët e trekëndëshit, që është mesi i kësaj brinjë. -Le të shënojmë një pikë në njërën nga brinjët e trekëndëshit, që është mesi i kësaj brinjë. -Vizatoni një vijë përmes kësaj pike paralele me njërën nga brinjët e këtij trekëndëshi. -Një vijë e drejtë e ndan këtë trekëndësh në një trekëndësh të vogël dhe një trapez. -Rregullojeni trekëndëshin më të vogël në trapez në mënyrë që të marrim një paralelogram.

Shpresoj që ky informacion t'ju ndihmojë të kuptoni mirë këtë temë, dhe për këtë arsye të merrni vetëm një "5" në test! Shpresoj që ky informacion t'ju ndihmojë të kuptoni mirë këtë temë, dhe për këtë arsye të merrni vetëm një "5" në test! Faleminderit për vëmendjen tuaj!

"Forma e flokeve të dëborës" - Gjeometria qiellore. Një top molekulash pluhuri dhe uji rritet, duke marrë formën e një prizmi gjashtëkëndor. Madhësia, forma dhe modeli i borës varen nga temperatura dhe lagështia. Qëllimet dhe objektivat. Struktura e brendshme e një kristali bore përcakton pamjen e tij. Varësia e formave të flokeve të dëborës nga kushtet e jashtme. Ekzistojnë 48 lloje kristalesh bore, të ndara në 9 klasa.

"Teoria Pi" - Rrezja e fazës së universit. Cilat fakte eksperimentale mund të hedhin poshtë Teorinë. Shigjeta e kohës ka vetëm një drejtim. Vëllimet e fazave. Shkelja e parimit të shkakësisë. Shpejtësia e pafundme e përhapjes së ndërveprimeve. Zbatimi i parimit K (rast i veçantë). Vëllimet fazore dhe metrike të trupit.

"Sipërfaqja e një trekëndëshi" - Teorema. Sipërfaqja e një trekëndëshi. AC është baza. Sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të bazës dhe lartësisë së tij. BC është baza. Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me gjysmën e produktit të këmbëve të tij. AN1 - lartësia. Nëse lartësitë e dy trekëndëshave janë të barabarta, atëherë sipërfaqet e tyre lidhen si baza.

"Gjeometria në muzikë" - Muzika është aritmetika misterioze e shpirtit. Muzika llogarit pa e kuptuar. Gottfird Leibniz. Commonwealth i Matematikës dhe Muzikës. Maurice Cornelis Escher. Muzika është një disiplinë e kuadriviumit. Gjeometria në muzikë. Reflektime të Pitagorës. Monokord. Johann Bach. Një instrument me një varg që mund të shkulej në vende të ndryshme.

Janë gjithsej 42 prezantime në temë