Aeroplani në hapësirë ​​- informacion i nevojshëm. Plani a kalon nëpër këto pika

Tre rrafshe mund të mos kenë një pikë të vetme të përbashkët (nëse të paktën dy prej tyre janë paralele dhe gjithashtu nëse vijat e tyre të kryqëzimit janë paralele), mund të kenë një numër të pafund pikash të përbashkëta (nëse të gjitha kalojnë nëpër një vijë të drejtë), ose mund të kanë vetëm

një pikë e përbashkët. Në rastin e parë, sistemi i ekuacioneve

nuk ka zgjidhje, në të dytën ka zgjidhje të panumërta, në të tretën ka vetëm një zgjidhje. Për kërkime, është më e përshtatshme të përdoren përcaktuesit (§ 183, 190), por mund të merrni edhe duke përdorur mjetet e algjebrës elementare.

Shembull 1. Planet

nuk kanë pika të përbashkëta, pasi rrafshet (1) dhe (2) janë paralelë (§ 125). Sistemi i ekuacioneve është i paqëndrueshëm (ekuacionet (1) dhe (2) kundërshtojnë njëri-tjetrin).

Shembulli 2. Hulumtoni nëse tre plane kanë pika të përbashkëta

Ne po kërkojmë një zgjidhje për sistemin (4)-(6). Duke eleminuar 2 nga (4) dhe (5), marrim 2 nga (4) dhe (6), marrim këto dy ekuacione. Kjo do të thotë se të tre aeroplanët nuk kanë pika të përbashkëta. Meqenëse midis tyre nuk ka plane paralele, tre vijat e drejta përgjatë të cilave avionët kryqëzohen në çifte janë paralele.

Shembulli 3. Hulumtoni nëse aeroplanët kanë pika të përbashkëta

Duke vazhduar si në shembullin 2, marrim të dyja kohët, d.m.th., në fakt, jo dy, por një ekuacion. Ka zgjidhje të panumërta. Kjo do të thotë tre

I5 Cilatdo qofshin tri pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz, maksimumi një rrafsh kalon nëpër këto pika.

I6 Nëse dy pika A dhe B të një drejtëze shtrihen në rrafshin a, atëherë çdo pikë e drejtëzës a shtrihet në rrafshin a. (Në këtë rast do të themi se drejtëza a shtrihet në rrafshin a ose se plani a kalon nëpër drejtëzën a.

I7 Nëse dy plane a dhe b kanë një pikë të përbashkët A, atëherë ata kanë të paktën një pikë më të përbashkët B.

I8 Janë të paktën katër pika që nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh.

Tashmë nga këto 8 aksioma është e mundur të nxirren disa teorema të gjeometrive elementare, të cilat janë qartësisht të dukshme dhe, për rrjedhojë, nuk vërtetohen në një kurs të gjeometrisë shkollore dhe madje ndonjëherë, për arsye logjike, përfshihen në aksiomat e një shkolle. kursi

Për shembull:

1. Dy drejtëza kanë më së shumti një pikë të përbashkët.

2. Nëse dy plane kanë një pikë të përbashkët, atëherë ata kanë një vijë të përbashkët në të cilën shtrihen të gjitha pikat e përbashkëta të këtyre dy rrafsheve

Dëshmi: (për shfaqje):

Nga I 7 $ B, që gjithashtu i përket a dhe b, sepse A,B "a, pastaj sipas I 6 AB "b. Kjo do të thotë se drejtëza AB është e përbashkët për të dy rrafshet.

3. Nëpër një vijë dhe një pikë që nuk shtrihet mbi të, ashtu si nëpër dy drejtëza të kryqëzuara, kalon një dhe vetëm një rrafsh.

4. Në çdo rrafsh ka tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë.

KOMENT: Duke përdorur këto aksioma ju mund të vërtetoni disa teorema dhe shumica prej tyre janë kaq të thjeshta. Në veçanti, është e pamundur të vërtetohet nga këto aksioma se grupi i elementeve gjeometrike është i pafund.

GRUPI II Aksiomat e rendit.

Nëse tre pika janë dhënë në një vijë të drejtë, atëherë njëra prej tyre mund të lidhet me dy të tjerat në një relacion "shtrirë midis", që plotëson aksiomat e mëposhtme:

II1 Nëse B shtrihet midis A dhe C, atëherë A, B, C janë pika të ndryshme të së njëjtës drejtëz dhe B shtrihet midis C dhe A.

II2 Cilatdo qofshin dy pikat A dhe B, ka të paktën një pikë C në drejtëzën AB e tillë që B të shtrihet midis A dhe C.

II3 Midis çdo tre pikash në një vijë, maksimumi një pikë ndodhet midis dy të tjerave

Sipas Hilbertit, mbi segmentin AB(BA) nënkuptojmë një çift pikash A dhe B. Pikat A dhe B quhen skajet e segmentit, dhe çdo pikë që shtrihet midis pikave A dhe B quhet pika e brendshme e segmentit. AB(BA).

KOMENT: Por nga II 1-II 3 nuk del ende se çdo segment ka pika të brendshme, por nga II 2, Þ se segmenti ka pika të jashtme.

II4 (aksioma e Pasch-it) Le të jenë A, B, C tri pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz dhe le të jetë një drejtëz në rrafshin ABC që nuk kalon nëpër asnjë nga pikat A, B, C. Atëherë, nëse një drejtëz a kalon nëpër një pikë në një segment AB, atëherë ajo gjithashtu kalon nëpër një pikë në një segment AC ose BC.

Sl.1: Sido që të jenë pikat A dhe C, ka të paktën një pikë D në vijën AC që shtrihet midis A dhe C.

Dokumenti: I 3 Þ$ dmth jo i shtrirë në linjën AC

Tani mund të vërtetojmë dy pohime

DC3 Pohimi II 4 vlen gjithashtu nëse pikat A, B dhe C shtrihen në të njëjtën drejtëz.

Dhe gjëja më interesante.

Niveli 4 . Midis çdo dy pikash në një vijë ka një numër të pafund pikash të tjera (vetja).

Megjithatë, nuk mund të vërtetohet se grupi i pikave në një vijë është i panumërueshëm .

Aksiomat e grupeve I dhe II na lejojnë të prezantojmë koncepte të tilla të rëndësishme si gjysmë rrafshi, rreze, gjysmëhapësirë ​​dhe kënd. Së pari, le të vërtetojmë teoremën.

Th1. Drejtëza a e shtrirë në rrafshin a e ndan grupin e pikave të këtij rrafshi që nuk shtrihen në drejtëzën a në dy nënbashkësi jo boshe, kështu që nëse pikat A dhe B i përkasin të njëjtës nëngrup, atëherë segmenti AB nuk ka të përbashkët pika me drejtëzën a; nëse këto pika u përkasin nënbashkësive të ndryshme, atëherë segmenti AB ka një pikë të përbashkët me drejtëzën a.

Ideja: futet një relacion, përkatësisht, A dhe B Ï A janë në relacionin Δ nëse segmenti AB nuk ka pika të përbashkëta me drejtëzën A ose këto pika përkojnë. Më pas u morën parasysh grupet e klasave të ekuivalencës në lidhje me relacionin Δ. Është vërtetuar se ka vetëm dy prej tyre duke përdorur arsyetim të thjeshtë.

Odr1 Secila nga nëngrupet e pikave të përcaktuara nga teorema e mëparshme quhet gjysmëplan me kufi a.

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të prezantojmë konceptet e një rreze dhe një gjysmë hapësire.

Rreze- h, dhe vija e drejtë është .

Odr2 Një kënd është një çift rrezesh h dhe k që dalin nga e njëjta pikë O dhe nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz. kështu që O quhet kulm i këndit, kurse rrezet h dhe k janë brinjët e këndit. E shënojmë në mënyrën e zakonshme: Ðhk.

Pika M quhet pikë e brendshme e këndit hk nëse pika M dhe rrezja k shtrihen në të njëjtin gjysmërrafsh me kufirin dhe pika M dhe rrezja k shtrihen në të njëjtin gjysmërrafsh me kufirin. Bashkësia e të gjitha pikave të brendshme quhet rajoni i brendshëm i një këndi.

Zona e jashtme e këndit është një grup i pafund, sepse të gjitha pikat e një segmenti me skaje në anë të ndryshme të një këndi janë të brendshme. Vetia e mëposhtme shpesh përfshihet në aksioma për arsye metodologjike.

Prona: Nëse një rreze vjen nga kulmi i një këndi dhe kalon nëpër të paktën një pikë të brendshme të këtij këndi, atëherë ajo kryqëzon çdo segment me skajet në anët e ndryshme të këndit. (Vetë-ndërtim)

GRUPI III. Aksiomat e kongruencës (barazisë)

Në një grup segmentesh dhe këndesh, futet një lidhje kongruence ose barazie (e shënuar me "="), duke përmbushur aksiomat:

III 1 Nëse jepet një segment AB dhe një rreze që buron nga pika A /, atëherë $ t.B / që i përket kësaj rrezeje, në mënyrë që AB = A / B / .

III 2 Nëse A / B / =AB dhe A // B // =AB, atëherë A / B / =A // B // .

III 3 Le të A-B-C, A / -B / -C / , AB=A / B / dhe BC=B / C /, pastaj AC=A / C /

Odr3 Nëse O / është një pikë, h / është një rreze që buron nga kjo pikë, dhe l / është një gjysmë rrafsh me kufi , atëherë trefishi i objekteve O / ,h / dhe l / quhet flamur (O / ,h / ,l /).

III 4 Le të jepet Ðhk dhe flamuri (О / ,h / ,l /). Pastaj në gjysmëplanin l / ka një rreze unike k / që buron nga pika O / e tillë që Ðhk = Ðh / k / .

III 5 Le të jenë A, B dhe C tri pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz. Nëse në këtë rast AB = A / B / , AC = A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC, atëherë ÐABC = ÐA / B / C / .

1. Pika B/B III 1 është e vetmja në këtë rreze (vetë)

2. Lidhja e kongruencës së segmenteve është një lidhje ekuivalente në bashkësinë e segmenteve.

3. Në një trekëndësh dykëndësh, këndet në bazat janë të barabarta. (Sipas III 5).

4. Shenjat e barazisë së trekëndëshave.

5. Lidhja e kongruencës së këndit është një lidhje ekuivalente në bashkësinë e këndeve. (Raporti)

6. Këndi i jashtëm i trekëndëshit është më i madh se çdo kënd i trekëndëshit që nuk është ngjitur me të.

7. Në çdo trekëndësh, këndi më i madh shtrihet përballë anës më të madhe.

8. Çdo segment ka një dhe vetëm një mes

9. Çdo kënd ka një dhe vetëm një përgjysmues

Mund të prezantohen konceptet e mëposhtme:

Odr4 Një kënd i barabartë me këndin fqinj quhet kënd i drejtë.

Ju mund të përcaktoni kënde vertikale, pingul dhe të zhdrejtë, etj.

Është e mundur të vërtetohet veçantia e ^. Ju mund të prezantoni konceptet > dhe< для отрезков и углов:

Odr5 Nëse janë dhënë segmentet AB dhe A / B / dhe $ t.C, në mënyrë që A / -C-B / dhe A / C = AB, atëherë A / B / >AB.

Odr6 Nëse jepen dy kënde Ðhk dhe Ðh / k /, dhe nëse përmes rajonit të brendshëm Ðhk dhe kulmit të tij mund të vizatohet një rreze l e tillë që Ðh / k / = Ðhl, atëherë Ðhk > Ðh / k / .

Dhe gjëja më interesante është se me ndihmën e aksiomave të grupeve I-III mund të prezantohet koncepti i lëvizjes (superpozicioni).

Është bërë diçka si kjo:

Le të jepen dy grupe pikash p dhe p / Le të supozojmë se korrespondon një me një midis pikave të këtyre grupeve. Çdo çift pikash M dhe N të grupit p përcakton një segment MN. Le të jenë M / dhe N / pika të bashkësisë p / që u korrespondojnë pikave MN. Le të biem dakord të quajmë segmentin M / N / që korrespondon me segmentin MN.

Odr7 Nëse korrespondenca midis p dhe p / është e tillë që segmentet përkatëse rezultojnë gjithmonë të jenë kongruentë reciprokisht, atëherë grupe p dhe p / quhen kongruente . Për më tepër, ata gjithashtu thonë se secila nga grupet p dhe p / është marrë lëvizjes nga një tjetër ose që një nga këto grupe mund të mbivendoset mbi një tjetër. Pikat përkatëse të grupit p dhe p / quhen të mbivendosura.

Miratimi 1: Pikat e shtrira në një vijë të drejtë, kur lëvizin, shndërrohen në pika që shtrihen gjithashtu në një vijë të caktuar të drejtë.

Utv2 Këndi midis dy segmenteve që lidhin një pikë të një grupi me dy pikat e tjera të tij është kongruentë me këndin midis segmenteve përkatëse të një bashkësie kongruente.

Ju mund të prezantoni konceptin e rrotullimit, zhvendosjes, përbërjes së lëvizjeve, etj.

GRUPI IV. Vazhdimësia e aksiomave Dhe.

IV 1 (Aksioma e Arkimedit). Le të jenë AB dhe CD disa segmente. Pastaj në drejtëzën AB ka një grup të fundëm pikash A 1, A 2, ..., A n të tilla që të plotësohen kushtet e mëposhtme:

1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n

2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD

3. A-B-An

IV2 (Aksioma e Cantorit) Le të jepet një sekuencë e pafundme segmentesh A1B1, A2B2,... në një vijë arbitrare a, nga e cila secila pasardhëse ndodhet brenda asaj të mëparshme dhe, përveç kësaj, për çdo segment CD ka një numër natyror. n të tillë që AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.

Nga kushtet e aksiomës së Cantor-it rrjedh menjëherë se një m.M e tillë është unike, sepse nëse nuk është kështu, dhe emër. edhe një t.N, pastaj segmenti MN

Mund të vërtetohet se aksiomat I-III dhe IV 1 , IV 2 janë ekuivalente me propozimin e mëposhtëm të Dedekindit.

pikat që nuk shtrihen në të njëjtën linjë? a) Kryqëzohen; b) asgjë nuk mund të thuhet; c) të mos kryqëzohen; d) përkojnë; e) kanë tre pika të përbashkëta.

2. Cili nga pohimet e mëposhtme është i vërtetë? a) Nëse dy pika të një rrethi shtrihen në një rrafsh, atëherë i gjithë rrethi shtrihet në këtë rrafsh; b) një vijë e drejtë e shtrirë në rrafshin e trekëndëshit pret dy brinjët e tij; c) çdo dy rrafshe kanë vetëm një pikë të përbashkët; d) një aeroplan kalon nëpër dy pika, dhe vetëm një; e) një drejtëz shtrihet në rrafshin e një trekëndëshi të caktuar nëse prenë dy drejtëza që përmbajnë brinjët e trekëndëshit.

3. A mund të kenë dy plane të ndryshme vetëm dy pika të përbashkëta? a) Asnjëherë; b) Mund, por me kushte shtesë; c) të ketë gjithmonë; d) pyetjes nuk mund t'i përgjigjet; d) një përgjigje tjetër.

4. Pikat K, L, M shtrihen në të njëjtën drejtëz, pika N nuk shtrihet në të. Një aeroplan vizatohet në çdo tre pika. Në sa avionë të ndryshëm rezultoi kjo? a) 1; b) 2; në 3; d) 4; d) pafundësisht shumë.

5. Zgjidhni pohimin e saktë. a) Një aeroplan kalon nëpër çdo tre pikë, dhe vetëm një; b) nëse dy pika të drejtëzës shtrihen në një rrafsh, atëherë të gjitha pikat e drejtëzës shtrihen në këtë rrafsh; c) nëse dy rrafshe kanë një pikë të përbashkët, atëherë ato nuk kryqëzohen; d) një aeroplan, dhe vetëm një, kalon nëpër një vijë dhe një pikë që shtrihet mbi të; e) është e pamundur të vizatoni një rrafsh përmes dy drejtëzave të kryqëzuara.

6. Emërtoni drejtëzën e përbashkët të rrafsheve PBM dhe MAB. a) PM; b) AB; c) BP; d) BM; e) nuk mund të përcaktohet.

7. Drejtëzat a dhe b priten në pikën M. Drejtëza c, duke mos kaluar nga pika M, pret drejtëzat a dhe b. Çfarë mund të thuhet për pozicionet relative të drejtëzave a, b dhe c? a) Të gjitha drejtëzat shtrihen në plane të ndryshme; b) drejtëzat a dhe b shtrihen në të njëjtin rrafsh; c) të gjitha drejtëzat shtrihen në të njëjtin rrafsh; d) nuk mund të thuhet asgjë; e) drejtëza c përkon me një nga drejtëzat: a ose b.

8. Drejtëzat a dhe b priten në pikën O. A € a, B € b, Y € AB. Zgjidhni deklaratën e saktë. a) Pikat O dhe Y nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh; b) drejtëzat OY dhe a janë paralele; c) drejtëzat a, b dhe pika Y shtrihen në të njëjtin rrafsh; d) pikat O dhe Y përkojnë; e) pikat Y dhe A përkojnë.

1. Çfarë mund të thuhet për pozicionin relativ të dy rrafsheve që kanë tri pika të përbashkëta që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz?
a) Kryqëzohen; b) nuk mund të thuhet asgjë; c) të mos kryqëzohen; d) përkojnë; e) kanë tre pika të përbashkëta.

2. Cili nga pohimet e mëposhtme është i vërtetë?
a) Nëse dy pika të një rrethi shtrihen në një rrafsh, atëherë i gjithë rrethi shtrihet në këtë rrafsh; b) një vijë e drejtë e shtrirë në rrafshin e trekëndëshit pret dy brinjët e tij; c) çdo dy rrafshe kanë vetëm një pikë të përbashkët; d) një aeroplan kalon nëpër dy pika, dhe vetëm një; e) një drejtëz shtrihet në rrafshin e një trekëndëshi të caktuar nëse prenë dy drejtëza që përmbajnë brinjët e trekëndëshit.

3. A mund të kenë dy plane të ndryshme vetëm dy pika të përbashkëta?
a) Asnjëherë; b) Mund, por me kushte shtesë; c) të ketë gjithmonë; d) pyetjes nuk mund t'i përgjigjet; d) një përgjigje tjetër.

4. Pikat K, L, M shtrihen në të njëjtën drejtëz, pika N nuk shtrihet në të. Një aeroplan vizatohet në çdo tre pika. Në sa avionë të ndryshëm rezultoi kjo?
a) 1; b) 2; në 3; d) 4; d) pafundësisht shumë.

5. Zgjidhni pohimin e saktë.
a) Një aeroplan kalon nëpër çdo tre pikë, dhe vetëm një; b) nëse dy pika të drejtëzës shtrihen në një rrafsh, atëherë të gjitha pikat e drejtëzës shtrihen në këtë rrafsh; c) nëse dy rrafshe kanë një pikë të përbashkët, atëherë ato nuk kryqëzohen; d) një aeroplan, dhe vetëm një, kalon nëpër një vijë dhe një pikë që shtrihet mbi të; e) është e pamundur të vizatoni një rrafsh përmes dy drejtëzave të kryqëzuara.

6. Emërtoni drejtëzën e përbashkët të rrafsheve PBM dhe MAB.
a) PM; b) AB; c) BP; d) BM; e) nuk mund të përcaktohet.

7. Cilin nga rrafshet e renditura e pret drejtëza RM (Fig. 1)?
a) DD1C; b) D1PM; c) B1PM; d) ABC; e) CDA.
B1 C1

8.Dy plane kryqëzohen në drejtëz c. Pika M shtrihet vetëm në një nga rrafshet. Çfarë mund të thuhet për pozicionin relativ të pikës M dhe drejtëzës c?
a) Asnjë përfundim nuk mund të nxirret; b) drejtëza c kalon nëpër pikën M; c) pika M shtrihet në vijën c; d) drejtëza c nuk kalon në pikën M; d) një përgjigje tjetër.

9. Drejtëzat a dhe b priten në pikën M. Drejtëza c, duke mos kaluar nga pika M, pret drejtëzat a dhe b. Çfarë mund të thuhet për pozicionet relative të drejtëzave a, b dhe c?
a) Të gjitha drejtëzat shtrihen në plane të ndryshme; b) drejtëzat a dhe b shtrihen në të njëjtin rrafsh; c) të gjitha drejtëzat shtrihen në të njëjtin rrafsh; d) nuk mund të thuhet asgjë; e) drejtëza c përkon me një nga drejtëzat: a ose b.

10. Drejtëzat a dhe b priten në pikën O. A € a, B € b, Y € AB. Zgjidhni deklaratën e saktë.
a) Pikat O dhe Y nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh; b) drejtëzat OY dhe a janë paralele; c) drejtëzat a, b dhe pika Y shtrihen në të njëjtin rrafsh; d) pikat O dhe Y përkojnë; e) pikat Y dhe A përkojnë.

A janë rrezet AB dhe AC pingul me skajin e saj? 2. A është e vërtetë që këndi linear BAC është një kënd dykëndor nëse rrezet AB dhe AC shtrihen në faqet e këndit dihedral? 3. A është e vërtetë që këndi BAC është një kënd linear i një këndi dihedral nëse rrezet AB dhe AC janë pingul me skajin e tij, dhe pikat E dhe C shtrihen në faqet e këndit? 4. Këndi linear i një këndi dihedral është 80 gradë. A ka një vijë të drejtë në njërën nga faqet e këndit që është pingul me faqen tjetër? 5. Këndi ABC është një kënd linear i një këndi dykëndor me një skaj alfa. A është drejtëza alfa pingul me rrafshin ABC? A është e vërtetë që të gjitha drejtëzat pingul me një rrafsh të caktuar dhe që kryqëzojnë një drejtëz të caktuar shtrihen në të njëjtin rrafsh?

Në planimetri, rrafshi është një nga figurat kryesore, prandaj është shumë e rëndësishme që të kemi një kuptim të qartë të tij. Ky artikull u krijua për të mbuluar këtë temë. Së pari jepet koncepti i një rrafshi, paraqitja grafike e tij dhe tregohen emërtimet e planeve. Më pas, avioni konsiderohet së bashku me një pikë, një vijë të drejtë ose një plan tjetër, dhe opsionet lindin nga pozicioni relativ në hapësirë. Në paragrafin e dytë, të tretë dhe të katërt të artikullit analizohen të gjitha opsionet për pozicionin relativ të dy rrafsheve, drejtëz dhe rrafsh, si dhe pika e plane, jepen aksiomat bazë dhe ilustrimet grafike. Si përfundim, jepen metodat kryesore të përcaktimit të një rrafshi në hapësirë.

Navigimi i faqes.

Plani - konceptet themelore, simbolet dhe imazhet.

Shifrat gjeometrike më të thjeshta dhe më themelore në hapësirën tredimensionale janë një pikë, një vijë e drejtë dhe një plan. Tashmë kemi një ide për një pikë dhe një vijë në një aeroplan. Nëse vendosim një plan në të cilin pikat dhe vijat përshkruhen në hapësirën tredimensionale, atëherë marrim pika dhe vija në hapësirë. Ideja e një aeroplani në hapësirë ​​na lejon të marrim, për shembull, sipërfaqen e një tavoline ose muri. Megjithatë, një tavolinë ose mur ka përmasa të fundme, dhe rrafshi shtrihet përtej kufijve të tij deri në pafundësi.

Pikat dhe linjat në hapësirë ​​përcaktohen në të njëjtën mënyrë si në një aeroplan - përkatësisht me shkronja të mëdha dhe të vogla latine. Për shembull, pikat A dhe Q, drejtëzat a dhe d. Nëse jepen dy pika që shtrihen në një vijë, atëherë linja mund të shënohet me dy shkronja që korrespondojnë me këto pika. Për shembull, drejtëza AB ose BA kalon nëpër pikat A dhe B. Aeroplanët zakonisht shënohen me shkronja të vogla greke, për shembull, aeroplanë ose.

Kur zgjidhni probleme, bëhet e nevojshme të përshkruani aeroplanët në një vizatim. Një aeroplan zakonisht përshkruhet si një paralelogram ose një rajon i mbyllur arbitrar i thjeshtë.

Aeroplani zakonisht konsiderohet së bashku me pika, vija të drejta ose plane të tjera, dhe lindin opsione të ndryshme për pozicionet e tyre relative. Le të kalojmë në përshkrimin e tyre.

Pozicioni relativ i rrafshit dhe i pikës.

Le të fillojmë me aksiomën: ka pika në çdo plan. Prej tij rrjedh opsioni i parë për pozicionin relativ të planit dhe pikës - pika mund t'i përkasë rrafshit. Me fjalë të tjera, një aeroplan mund të kalojë nëpër një pikë. Për të treguar se një pikë i përket një rrafshi, përdoret simboli "". Për shembull, nëse aeroplani kalon nëpër pikën A, atëherë mund të shkruani shkurtimisht .

Duhet të kuptohet se në një plan të caktuar në hapësirë ​​ka pafundësisht shumë pika.

Aksioma e mëposhtme tregon se sa pika në hapësirë ​​duhet të shënohen në mënyrë që ato të përcaktojnë një plan specifik: përmes tre pikave që nuk shtrihen në të njëjtën vijë, kalon një rrafsh dhe vetëm një. Nëse njihen tre pika që shtrihen në një plan, atëherë rrafshi mund të shënohet me tre shkronja që korrespondojnë me këto pika. Për shembull, nëse një aeroplan kalon nëpër pikat A, B dhe C, atëherë ai mund të caktohet ABC.

Le të formulojmë një aksiomë tjetër, e cila jep versionin e dytë të pozicionit relativ të planit dhe pikës: ka të paktën katër pika që nuk shtrihen në të njëjtin plan. Pra, një pikë në hapësirë ​​mund të mos i përkasë aeroplanit. Në të vërtetë, në bazë të aksiomës së mëparshme, një aeroplan kalon nëpër tre pika në hapësirë, dhe pika e katërt mund ose nuk mund të shtrihet në këtë plan. Kur shkruani shkurt, përdorni simbolin "", i cili është i barabartë me shprehjen "nuk i përket".

Për shembull, nëse pika A nuk shtrihet në plan, atëherë përdorni një shënim të shkurtër.

Vija e drejtë dhe plani në hapësirë.

Së pari, një vijë e drejtë mund të shtrihet në një aeroplan. Në këtë rast, të paktën dy pika të kësaj linje shtrihen në aeroplan. Kjo përcaktohet nga aksioma: nëse dy pika të një drejtëze shtrihen në një rrafsh, atëherë të gjitha pikat e kësaj drejtëze shtrihen në rrafsh. Për të regjistruar shkurtimisht përkatësinë e një rreshti të caktuar në një plan të caktuar, përdorni simbolin "". Për shembull, shënimi do të thotë që vija e drejtë a shtrihet në rrafsh.

Së dyti, një vijë e drejtë mund të presë një plan. Në këtë rast, drejtëza dhe rrafshi kanë një pikë të vetme të përbashkët, e cila quhet pika e kryqëzimit të drejtëzës dhe rrafshit. Kur shkruaj shkurtimisht, unë shënoj kryqëzimin me simbolin "". Për shembull, shënimi do të thotë se drejtëza a e pret rrafshin në pikën M. Kur një plan kryqëzon një vijë të caktuar të drejtë, lind koncepti i një këndi midis vijës së drejtë dhe rrafshit.

Më vete, ia vlen të përqendrohemi në një vijë të drejtë që kryqëzon rrafshin dhe është pingul me çdo vijë të drejtë që shtrihet në këtë plan. Një vijë e tillë quhet pingul me rrafshin. Për të regjistruar shkurtimisht pingulësinë, përdorni simbolin "". Për një studim më të thelluar të materialit, mund t'i referoheni artikullit pinguliteti i një vije të drejtë dhe një plani.

Rëndësi të veçantë gjatë zgjidhjes së problemeve që lidhen me rrafshin ka i ashtuquajturi vektor normal i rrafshit. Një vektor normal i një rrafshi është çdo vektor jozero që shtrihet në një vijë pingul me këtë rrafsh.

Së treti, një vijë e drejtë mund të jetë paralele me rrafshin, domethënë mund të mos ketë pika të përbashkëta në të. Kur shkruani shkurtimisht konkurencën, përdorni simbolin "". Për shembull, nëse drejtëza a është paralele me rrafshin, atëherë mund të shkruajmë . Ju rekomandojmë që ta studioni këtë rast në mënyrë më të detajuar duke iu referuar artikullit paralelizmi i vijës dhe rrafshit.

Duhet thënë se një vijë e drejtë e shtrirë në një aeroplan e ndan këtë plan në dy gjysmërrafshe. Vija e drejtë në këtë rast quhet kufiri i gjysmërrafsheve. Çdo dy pika të të njëjtit gjysmërrafsh shtrihen në të njëjtën anë të një linje, dhe dy pika të gjysmërrafsheve të ndryshme shtrihen në anët e kundërta të vijës kufitare.

Rregullimi i ndërsjellë i avionëve.

Dy aeroplanë në hapësirë ​​mund të përkojnë. Në këtë rast ata kanë të paktën tre pika të përbashkëta.

Dy plane në hapësirë ​​mund të kryqëzohen. Prerja e dy rrafsheve është një vijë e drejtë, e cila përcaktohet nga aksioma: nëse dy rrafshe kanë një pikë të përbashkët, atëherë ata kanë një drejtëz të përbashkët në të cilën shtrihen të gjitha pikat e përbashkëta të këtyre rrafsheve.

Në këtë rast, lind koncepti i një këndi midis planeve të kryqëzuara. Me interes të veçantë është rasti kur këndi ndërmjet planeve është nëntëdhjetë gradë. Plane të tilla quhen pingul. Ne folëm për to në artikullin pinguliteti i avionëve.

Së fundi, dy plane në hapësirë ​​mund të jenë paralele, domethënë, nuk kanë pika të përbashkëta. Ne ju rekomandojmë të lexoni artikullin paralelizmi i avionëve për të kuptuar plotësisht këtë opsion për rregullimin relativ të avionëve.

Metodat për përcaktimin e një plani.

Tani do të rendisim mënyrat kryesore për të përcaktuar një plan specifik në hapësirë.

Së pari, një aeroplan mund të përcaktohet duke fiksuar tre pika në hapësirë ​​që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. Kjo metodë bazohet në aksiomën: përmes çdo tre pikash që nuk shtrihen në të njëjtën linjë, ekziston një plan i vetëm.

Nëse një plan është i fiksuar dhe specifikuar në hapësirën tredimensionale duke treguar koordinatat e tre pikave të tij të ndryshme që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz, atëherë mund të shkruajmë ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër tri pikat e dhëna.

Dy metodat e ardhshme të përcaktimit të një plani janë pasojë e asaj të mëparshme. Ato bazohen në përfundimet e aksiomës për një aeroplan që kalon nëpër tre pika:

• një aeroplan kalon nëpër një vijë dhe një pikë që nuk shtrihet mbi të, dhe vetëm një (shih gjithashtu ekuacionin e artikullit të një rrafshi që kalon nëpër një vijë dhe një pikë);
• Ka vetëm një rrafsh që kalon nëpër dy vija kryqëzuese (ju rekomandojmë të lexoni artikullin: ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër dy linja kryqëzuese).

Mënyra e katërt për të përcaktuar një plan në hapësirë ​​bazohet në përcaktimin e vijave paralele. Kujtojmë se dy drejtëza në hapësirë ​​quhen paralele nëse shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe nuk kryqëzohen. Kështu, duke treguar dy drejtëza paralele në hapësirë, do të përcaktojmë rrafshin e vetëm në të cilin shtrihen këto drejtëza.

Nëse në hapësirën tredimensionale në lidhje me një sistem koordinativ drejtkëndor një plan specifikohet në mënyrën e treguar, atëherë mund të krijojmë një ekuacion për një plan që kalon nëpër dy vija paralele.

Në mësimet e gjeometrisë së shkollës së mesme vërtetohet teorema e mëposhtme: përmes një pike fikse në hapësirë ​​kalon një rrafsh i vetëm pingul me një drejtëz të caktuar. Kështu, ne mund të përcaktojmë një rrafsh nëse specifikojmë pikën nëpër të cilën ai kalon dhe një vijë pingul me të.

Nëse një sistem koordinativ drejtkëndor është i fiksuar në hapësirën tre-dimensionale dhe një plan specifikohet në mënyrën e treguar, atëherë është e mundur të ndërtohet një ekuacion për një plan që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një drejtëz të caktuar.

Në vend të një vije pingul me rrafshin, mund të specifikoni një nga vektorët normalë të këtij plani. Në këtë rast, është e mundur të shkruhet