Ndërtoni një grafik të funksionit 23 oge. Si të zgjidhim ekuacionet e modulit: rregullat themelore

Analiza e opsioneve tipike për detyrat nr. 23 OGE në matematikë

Versioni i parë i detyrës

Grafikoni funksionin

Algoritmi i zgjidhjes:

Ne e shkruajmë përgjigjen.

Zgjidhja:

1. Transformoni funksionin në varësi të shenjës së ndryshores x.

2. Grafiku i një funksioni të vlerave të dhëna të x - pjesë e një parabole, degët e së cilës janë të drejtuara poshtë.

Kulmi ndodhet në pikën me koordinata:

Të gjejmë zerot e funksionit: Grafiku kalon në origjinën dhe pikën (-2;-7).

Grafiku i funksionit të dytë është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara lart.

Maja e saj është në pikën:

Le të përcaktojmë zerot e parabolës

3. Paraqesim grafikun e funksionit në planin koordinativ:

4. Nga ndërtimi shihet lehtë se drejtëza y = m ka saktësisht dy pika me grafikun kur kalon në kulmin e njërës prej parabolave që formojnë grafikun e këtij funksioni.

Kjo do të thotë se funksioni dhe drejtëza kanë dy pika të përbashkëta në m = -2,25 ose m = 12,25.

Përgjigje: -2,25; 12.25.

Versioni i dytë i detyrës

Grafikoni funksionin

Përcaktoni për cilat vlera të m drejtëza y = m ka saktësisht dy pika të përbashkëta me grafikun.

Algoritmi i zgjidhjes:

Le të transformojmë formulën që përcakton funksionin.
Ne përcaktojmë llojin dhe pikat karakteristike të funksionit në çdo interval.
Ne e paraqesim grafikun në planin koordinativ.
Ne nxjerrim një përfundim në lidhje me numrin e pikave të kryqëzimit.
Ne e shkruajmë përgjigjen.

Zgjidhja:

1. Shndërroni formulën në varësi të shenjës së ndryshores x:

2. Grafiku i funksionit është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara poshtë.

Maja e saj është në pikën:

Të gjejmë zerot e funksionit: Grafiku kalon në origjinën dhe pikën (0;4).

Grafiku i funksionit të dytë është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara lart.

Maja e saj është në pikën:

Le të përcaktojmë zerot e parabolës

3. Ne përshkruajmë grafikun në planin koordinativ:

Nga imazhi shihet qartë se drejtëza y= m ka vetëm dy pika të përbashkëta me grafikun, kur m=-9 ose m=4. Në grafik, vija e drejtë përfaqësohet nga një vijë e kuqe në çdo vlerë prej m.

Përgjigje: -9; 4.

Versioni i tretë i detyrës

Grafikoni funksionin

Përcaktoni për cilat vlera të m drejtëza y = m ka saktësisht dy pika të përbashkëta me grafikun.

Algoritmi i zgjidhjes:

Le të transformojmë formulën që përcakton funksionin.
Ne përcaktojmë llojin dhe pikat karakteristike të funksionit në çdo interval.
Ne e paraqesim grafikun në planin koordinativ.
Ne nxjerrim një përfundim në lidhje me numrin e pikave të kryqëzimit.
Ne e shkruajmë përgjigjen.

Zgjidhja:

1. Shndërroni formulën e funksionit në varësi të shenjës së ndryshores

2. Përcaktoni llojin e funksionit dhe gjeni pika shtesë për çdo seksion të grafikut.

Grafiku në është pjesë e një parabole, degët e së cilës janë të drejtuara poshtë. Sepse koeficienti A=-1 - negative.

Le të përcaktojmë kulmin e parabolës Dhe .

Maja është në pikën (-3; 9).

Parabola gjithashtu kalon nëpër pikat (0;0) dhe (0;6).

Nëse , degët e parabolës janë të drejtuara lart. Le të gjejmë majën:

, (2; -4).

Grafiku kalon edhe nëpër pikat (0;0) dhe (0;4).

3. Ne ndërtojmë grafikun e kërkuar:

Nga ndërtimi del qartë se drejtëza y=m ka vetëm 2 pika të përbashkëta me grafikun e funksionit në rastet kur m=-4 ose m=9. Në figurë, vijat e drejta tregohen me të kuqe.

Përgjigje: -4; 9.

Versioni i katërt i detyrës

Grafikoni funksionin

Përcaktoni në cilat vlera të k drejtëza y = kx nuk ka pika të përbashkëta me grafikun.

Algoritmi i zgjidhjes:

Ne po ndërtojmë një orar.
Ne e shkruajmë përgjigjen.

Zgjidhja:

1. Nëse x< 0, то

Pjesa që rezulton është përcaktuar . Grafiku është pjesë e një hiperbole.

Pikat për hartimin:

3. Le të ndërtojmë një grafik të funksionit të dhënë:

4. Drejtëza y=kx nuk ka pika të përbashkëta me grafikun, kur k=-1; 0 dhe 1, sepse atëherë drejtëza kalon nëpër pika që nuk përfshihen në domenin e përcaktimit të funksionit të dhënë.

Në grafik ka drejtëza për k=-1; 1 tregohen me të kuqe.

Përgjigje: -1; 0; 1.

Versioni i pestë i detyrës

Grafikoni funksionin

Përcaktoni në cilat vlera të k drejtëza y = kx nuk ka pika të përbashkëta me grafikun.

Algoritmi i zgjidhjes:

Hapim modulin dhe transformojmë formulat e funksionit.
Ne përcaktojmë llojin e funksionit në çdo interval dhe gjejmë pika shtesë në grafik.
Ne po ndërtojmë një orar.
Ne përcaktojmë vlerat e kërkuara të k.
Ne e shkruajmë përgjigjen.

Ne po përgatitemi për OGE në matematikë, duke zgjidhur detyrën 23 për vizatimin e një funksioni me një modul. Për këtë detyrë në provim mund të merrni maksimumi 2 pikë.

Paraqitni funksionin y= |x 2 + 4x + 3|. Cili është numri më i madh i pikave të përbashkëta që mund të ketë grafiku i këtij funksioni me një drejtëz paralele me boshtin x?

Për të vizatuar funksionin y= |x 2 + 4x + 3|, fillimisht duhet të vizatoni funksionin y= x 2 + 4x + 3. Ky është një funksion kuadratik, grafiku i të cilit është një parabolë me degë të drejtuara lart. Le të veçojmë katrorin e binomit për të gjetur kulmin e parabolës: x 2 + 4x + 3 = (x 2 + 4x + 4) - 1 = (x + 2) 2 -1. Kemi transformuar funksionin y = (x + 2) 2 - 1. Kulmi i parabolës ka koordinata (-2;-1) dhe një bosht simetrie x = -2. Le të ndërtojmë një parabolë nga pikat. Tabela tregon vlerat për degën e duhur. Dega e majtë është e ndërtuar në mënyrë simetrike.

	-2	-1	0	1
y	-1	0	3

Ka përfunduar pjesa e parë e detyrës 23 nga OGE në matematikë, d.m.th. paraqitet grafiku i një funksioni kuadratik nën modul. Mbetet për të përcaktuar se cili është numri më i madh i pikave të përbashkëta që grafiku i këtij funksioni mund të ketë me drejtëzën paralele OX:

nëse vizatojmë drejtëz y=0, fitojmë 2 pika të përbashkëta;
nëse vlerat y janë në intervalin (0;1), atëherë ka 4 pika të përbashkëta;
nëse vizatojmë drejtëz y =1, atëherë shohim 3 pika të përbashkëta;
nëse y>1, atëherë 2 pikë.

Përgjigje: numri më i madh i pikave të përbashkëta në grafikun e një funksioni me një drejtëz paralele me boshtin x 4.

Moduli është një nga ato gjëra që të gjithë duket se kanë dëgjuar, por në realitet askush nuk e kupton vërtet. Prandaj, sot do të ketë një mësim të madh kushtuar zgjidhjes së ekuacioneve me module.

Unë do të them menjëherë: mësimi nuk do të jetë i vështirë. Dhe në përgjithësi, modulet janë një temë relativisht e thjeshtë. “Po, sigurisht, nuk është e komplikuar! Më merr mendjen!” - do të thonë shumë studentë, por të gjitha këto prishje të trurit ndodhin për faktin se shumica e njerëzve nuk kanë njohuri në kokën e tyre, por një lloj katrahure. Dhe qëllimi i këtij mësimi është të kthejë katrahurën në njohuri.

Pak teori

Pra, le të shkojmë. Le të fillojmë me gjënë më të rëndësishme: çfarë është një modul? Më lejoni t'ju kujtoj se moduli i një numri është thjesht i njëjti numër, por merret pa shenjën minus. Kjo është, për shembull, $\left| -5 \djathtas|=5$. Ose $\majtas| -129,5 \djathtas|=129,5$.

A është kaq e thjeshtë? Po, e thjeshtë. Cila është atëherë vlera absolute e një numri pozitiv? Këtu është edhe më e thjeshtë: moduli i një numri pozitiv është i barabartë me vetë këtë numër: $\left| 5 \djathtas|=5$; $\majtas| 129,5 \djathtas|=129,5$, etj.

\[\majtas| -a \djathtas|=\majtas| a\drejtë|\]

Një tjetër fakt i rëndësishëm: moduli nuk është kurrë negativ. Çfarëdo numri që marrim - qoftë pozitiv apo negativ - moduli i tij gjithmonë rezulton pozitiv (ose, në raste ekstreme, zero). Kjo është arsyeja pse moduli shpesh quhet vlerë absolute e një numri.

Përveç kësaj, nëse kombinojmë përkufizimin e modulit për një numër pozitiv dhe negativ, marrim një përkufizim global të modulit për të gjithë numrat. Domethënë: moduli i një numri është i barabartë me vetë numrin nëse numri është pozitiv (ose zero), ose i barabartë me numrin e kundërt nëse numri është negativ. Ju mund ta shkruani këtë si formulë:

Ekziston edhe një modul zero, por ai është gjithmonë i barabartë me zero. Përveç kësaj, zero është i vetmi numër që nuk ka një të kundërt.

Kështu, nëse marrim parasysh funksionin $y=\left| x \right|$ dhe përpiquni të vizatoni grafikun e tij, do të merrni diçka të tillë:

Grafiku i modulit dhe shembulli i zgjidhjes së ekuacionit

Nga kjo foto është menjëherë e qartë se $\left| -m \djathtas|=\majtas| m \right|$, dhe grafiku i modulit nuk bie kurrë nën boshtin x. Por kjo nuk është e gjitha: vija e kuqe shënon vijën e drejtë $y=a$, e cila, për $a$ pozitive, na jep dy rrënjë njëherësh: $((x)_(1))$ dhe $((x) _(2)) $, por ne do të flasim për këtë më vonë.

Përveç përkufizimit thjesht algjebrik, ekziston edhe një përkufizim gjeometrik. Le të themi se ka dy pika në vijën numerike: $((x)_(1))$ dhe $((x)_(2))$. Në këtë rast, shprehja $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ është thjesht distanca ndërmjet pikave të specifikuara. Ose, nëse preferoni, gjatësia e segmentit që lidh këto pika:

Moduli është distanca midis pikave në një vijë numerike

Ky përkufizim gjithashtu nënkupton që moduli është gjithmonë jo negativ. Por mjaft përkufizime dhe teori - le të kalojmë në ekuacione reale.

Formula bazë

Mirë, ne e kemi rregulluar përkufizimin. Por kjo nuk e bëri më të lehtë. Si të zgjidhen ekuacionet që përmbajnë pikërisht këtë modul?

Qetë, vetëm qetë. Le të fillojmë me gjërat më të thjeshta. Konsideroni diçka si kjo:

\[\majtas| x\djathtas|=3\]

Pra, moduli i $x$ është 3. Me çfarë mund të jetë i barabartë $x$? Epo, duke gjykuar nga përkufizimi, ne jemi mjaft të kënaqur me $x=3$. Vërtet:

\[\majtas| 3\djathtas|=3\]

A ka numra të tjerë? Cap duket se është duke lënë të kuptohet se ka. Për shembull, $x=-3$ është gjithashtu $\left| -3 \djathtas|=3$, d.m.th. plotësohet barazia e kërkuar.

Pra, ndoshta nëse kërkojmë dhe mendojmë, do të gjejmë më shumë numra? Por le ta pranojmë: nuk ka më numra. Ekuacioni $\majtas| x \right|=3$ ka vetëm dy rrënjë: $x=3$ dhe $x=-3$.

Tani le ta komplikojmë pak detyrën. Lëreni funksionin $f\left(x \djathtas)$ të varet nën shenjën e modulit në vend të ndryshores $x$ dhe vendosni një numër arbitrar $a$ në vend të treshes në të djathtë. Ne marrim ekuacionin:

\[\majtas| f\majtas(x \djathtas) \djathtas|=a\]

Pra, si mund ta zgjidhim këtë? Më lejoni t'ju kujtoj: $f\left(x \right)$ është një funksion arbitrar, $a$ është çdo numër. Ato. Gjithçka fare! Për shembull:

\[\majtas| 2x+1 \djathtas|=5\]

\[\majtas| 10x-5 \djathtas|=-65\]

Le t'i kushtojmë vëmendje ekuacionit të dytë. Mund të thuash menjëherë për të: ai nuk ka rrënjë. Pse? Gjithçka është e saktë: sepse kërkon që moduli të jetë i barabartë me një numër negativ, gjë që nuk ndodh kurrë, pasi ne tashmë e dimë që moduli është gjithmonë një numër pozitiv ose, në raste ekstreme, zero.

Por me ekuacionin e parë gjithçka është më argëtuese. Ka dy opsione: ose ka një shprehje pozitive nën shenjën e modulit, dhe më pas $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, ose kjo shprehje është ende negative, dhe më pas $\left| 2x+1 \djathtas|=-\majtas(2x+1 \djathtas)=-2x-1$. Në rastin e parë, ekuacioni ynë do të rishkruhet si më poshtë:

\[\majtas| 2x+1 \djathtas|=5\Djathtas 2x+1=5\]

Dhe befas rezulton se shprehja submodulare $2x+1$ është vërtet pozitive - është e barabartë me numrin 5. Kjo është ne mund ta zgjidhim me siguri këtë ekuacion - rrënja që rezulton do të jetë një pjesë e përgjigjes:

Ata që janë veçanërisht mosbesues mund të përpiqen të zëvendësojnë rrënjën e gjetur në ekuacionin origjinal dhe të sigurohen që ka vërtet një numër pozitiv nën modul.

Tani le të shohim rastin e një shprehje negative submodulare:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& \majtas| 2x+1 \djathtas|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\Rightarrow -2x-1=5 \Shigjeta djathtas 2x+1=-5\]

Oops! Përsëri, gjithçka është e qartë: ne supozuam se $2x+1 \lt 0$, dhe si rezultat morëm atë $2x+1=-5$ - në të vërtetë, kjo shprehje është më pak se zero. Ne zgjidhim ekuacionin që rezulton, ndërsa tashmë e dimë me siguri se rrënja e gjetur do të na përshtatet:

Në total, përsëri morëm dy përgjigje: $x=2$ dhe $x=3$. Po, sasia e llogaritjeve doli të jetë pak më e madhe se në ekuacionin shumë të thjeshtë $\left| x \right|=3$, por asgjë në thelb nuk ka ndryshuar. Pra, ndoshta ekziston një lloj algoritmi universal?

Po, ekziston një algoritëm i tillë. Dhe tani do ta analizojmë.

Heqja e shenjës së modulit

Le të na jepet ekuacioni $\left| f\left(x \right) \right|=a$, dhe $a\ge 0$ (përndryshe, siç e dimë tashmë, nuk ka rrënjë). Pastaj mund të heqësh qafe shenjën e modulit duke përdorur rregullin e mëposhtëm:

\[\majtas| f\majtas(x \djathtas) \djathtas|=a\Shigjeta djathtas f\majtas(x \djathtas)=\pm a\]

Kështu, ekuacioni ynë me një modul ndahet në dy, por pa një modul. Kjo është e gjitha teknologjia! Le të përpiqemi të zgjidhim disa ekuacione. Le të fillojmë me këtë

\[\majtas| 5x+4 \djathtas|=10\Djathtas shigjetë 5x+4=\pm 10\]

Le të shqyrtojmë veçmas kur ka një dhjetë plus në të djathtë, dhe veçmas kur ka një minus. Ne kemi:

\[\fillim(rreshtoj)& 5x+4=10\Djathtas shigjetë 5x=6\Djathtas shigjetë x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Djathtas 5x=-14\Djathtas x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\fund (rreshtoj)\]

Kjo është ajo! Ne morëm dy rrënjë: $x=1.2$ dhe $x=-2.8$. E gjithë zgjidhja mori fjalë për fjalë dy rreshta.

Ok, pa dyshim, le të shohim diçka pak më serioze:

\[\majtas| 7-5x\djathtas|=13\]

Përsëri hapim modulin me plus dhe minus:

\[\fillim(rreshtoj)& 7-5x=13\Djathtas -5x=6\Djathtas x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\fund (rreshtoj)\]

Përsëri disa rreshta - dhe përgjigja është gati! Siç thashë, nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me modulet. Thjesht duhet të mbani mend disa rregulla. Prandaj, ne vazhdojmë dhe fillojmë me detyra vërtet më komplekse.

Rasti i një ndryshoreje në anën e djathtë

Tani merrni parasysh këtë ekuacion:

\[\majtas| 3x-2 \djathtas|=2x\]

Ky ekuacion është thelbësisht i ndryshëm nga të gjitha ato të mëparshme. Si? Dhe fakti që në të djathtë të shenjës së barazimit është shprehja $2x$ - dhe nuk mund ta dimë paraprakisht nëse është pozitive apo negative.

Çfarë duhet bërë në këtë rast? Së pari, duhet ta kuptojmë një herë e përgjithmonë nëse ana e djathtë e ekuacionit rezulton negative, atëherë ekuacioni nuk do të ketë rrënjë- ne tashmë e dimë se moduli nuk mund të jetë i barabartë me një numër negativ.

Dhe së dyti, nëse pjesa e djathtë është ende pozitive (ose e barabartë me zero), atëherë mund të veproni saktësisht në të njëjtën mënyrë si më parë: thjesht hapni modulin veçmas me një shenjë plus dhe veçmas me një shenjë minus.

Kështu, ne formulojmë një rregull për funksionet arbitrare $f\left(x \right)$ dhe $g\left(x \right)$:

\[\majtas| f\ majtas(x \djathtas) \djathtas|=g\majtas(x \djathtas)\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj)& f\majtë(x \djathtas)=\pm g\majtas (x \djathtas ), \\& g\majtas(x \djathtas)\ge 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Në lidhje me ekuacionin tonë marrim:

\[\majtas| 3x-2 \djathtas|=2x\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(radhis)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Epo, ne do të përballojmë disi kërkesën $2x\ge 0$. Në fund, ne mund të zëvendësojmë marrëzi rrënjët që marrim nga ekuacioni i parë dhe të kontrollojmë nëse pabarazia vlen apo jo.

Pra, le të zgjidhim vetë ekuacionin:

\[\fillim(lidh)& 3x-2=2\Djathtas shigjetë 3x=4\Djathtas x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Djathtas shigjetë 3x=0\Djathtas x=0. \\\fund (rreshtoj)\]

Epo, cila nga këto dy rrënjë plotëson kërkesën $2x\ge 0$? Po të dyja! Prandaj, përgjigja do të jetë dy numra: $x=(4)/(3)\;$ dhe $x=0$. Kjo është zgjidhja.

Dyshoj se disa nga studentët tashmë kanë filluar të mërziten? Epo, le të shohim një ekuacion edhe më kompleks:

\[\majtas| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \djathtas|=x-((x)^(3))\]

Edhe pse duket e keqe, në fakt është ende i njëjti ekuacion i formës "moduli është i barabartë me funksionin":

\[\majtas| f\majtas(x \djathtas) \djathtas|=g\majtas(x \djathtas)\]

Dhe zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë:

\[\majtas| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \djathtas|=x-((x)^(3))\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \majtas(x-((x)^(3)) \djathtas), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne do të merremi me pabarazinë më vonë - ajo është disi shumë e keqe (në fakt, është e thjeshtë, por ne nuk do ta zgjidhim atë). Tani për tani, është më mirë të merremi me ekuacionet që rezultojnë. Le të shqyrtojmë rastin e parë - kjo është kur moduli zgjerohet me një shenjë plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Epo, është e kotë që ju duhet të mbledhni gjithçka nga e majta, të sillni të ngjashme dhe të shihni se çfarë ndodh. Dhe kjo është ajo që ndodh:

\[\filloj(rreshtoj)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\fund (rreshtoj)\]

Ne nxjerrim faktorin e përbashkët $((x)^(2))$ nga kllapat dhe marrim një ekuacion shumë të thjeshtë:

\[((x)^(2))\majtas(2x-3 \djathtas)=0\Djathtas shigjeta \majtas[ \fillimi(rreshtoj)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[((x)_(1))=0;\katër ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Këtu kemi përfituar nga një veti e rëndësishme e produktit, për hir të së cilës kemi faktorizuar polinomin origjinal: produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero.

Tani le të merremi me ekuacionin e dytë në të njëjtën mënyrë, i cili përftohet duke zgjeruar modulin me një shenjë minus:

\[\filloj(rreshtoj)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\majtas(x-((x)^(3)) \djathtas); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\ majtas(-3x+2 \djathtas)=0. \\\fund (rreshtoj)\]

Përsëri e njëjta gjë: produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Ne kemi:

\[\majtas[ \fillimi(rreshtoj)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Epo, kemi marrë tre rrënjë: $x=0$, $x=1.5$ dhe $x=(2)/(3)\;$. Epo, cili nga ky grup do të hyjë në përgjigjen përfundimtare? Për ta bërë këtë, mbani mend se kemi një kufizim shtesë në formën e pabarazisë:

Si të merret parasysh kjo kërkesë? Le të zëvendësojmë vetëm rrënjët e gjetura dhe të kontrollojmë nëse pabarazia vlen për këto $x$ apo jo. Ne kemi:

\[\fillim(lidh)& x=0\Shigjeta djathtas x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Shigjeta djathtas x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Shigjeta djathtas x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\fund (rreshtoj)\]

Kështu, rrënja $x=1.5$ nuk na përshtatet. Dhe si përgjigje do të ketë vetëm dy rrënjë:

\[((x)_(1))=0;\katër ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Siç mund ta shihni, edhe në këtë rast nuk kishte asgjë të komplikuar - ekuacionet me module zgjidhen gjithmonë duke përdorur një algoritëm. Ju vetëm duhet të keni një kuptim të mirë të polinomeve dhe pabarazive. Prandaj, ne kalojmë në detyra më komplekse - tashmë nuk do të ketë një, por dy module.

Ekuacionet me dy module

Deri më tani, ne kemi studiuar vetëm ekuacionet më të thjeshta - kishte një modul dhe diçka tjetër. E dërguam këtë “diçka tjetër” në një pjesë tjetër të pabarazisë, larg modulit, në mënyrë që në fund gjithçka të reduktohej në një ekuacion të formës $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \djathtas)$ ose edhe më e thjeshtë $\left| f\left(x \djathtas) \djathtas|=a$.

Por kopshti i fëmijëve ka mbaruar - është koha të shqyrtojmë diçka më serioze. Le të fillojmë me ekuacione si kjo:

\[\majtas| f\left(x \djathtas) \djathtas|=\majtas| g\left(x \djathtas) \djathtas|\]

Ky është një ekuacion i formës "moduli është i barabartë me modulin". Pika thelbësisht e rëndësishme është mungesa e termave dhe faktorëve të tjerë: vetëm një modul në të majtë, një modul më shumë në të djathtë - dhe asgjë më shumë.

Dikush tani do të mendojë se ekuacione të tilla janë më të vështira për t'u zgjidhur sesa ato që kemi studiuar deri tani. Por jo: këto ekuacione janë edhe më të lehta për t'u zgjidhur. Këtu është formula:

\[\majtas| f\left(x \djathtas) \djathtas|=\majtas| g\majtas(x \djathtas) \djathtas|\Djathtas f\ majtas(x \djathtas)=\pm g\majtas(x \djathtas)\]

Të gjitha! Ne thjesht barazojmë shprehjet nënmodulare duke vendosur një shenjë plus ose minus përpara njërës prej tyre. Dhe pastaj ne zgjidhim dy ekuacionet që rezultojnë - dhe rrënjët janë gati! Asnjë kufizim shtesë, pa pabarazi, etj. Është shumë e thjeshtë.

Le të përpiqemi ta zgjidhim këtë problem:

\[\majtas| 2x+3 \djathtas|=\majtas| 2x-7 \djathtas|\]

Fillore, Watson! Zgjerimi i moduleve:

\[\majtas| 2x+3 \djathtas|=\majtas| 2x-7 \djathtas|\Djathtas 2x+3=\pm \majtas(2x-7 \djathtas)\]

Le të shqyrtojmë secilin rast veç e veç:

\[\fillim(lidh)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\majtas(2x-7 \djathtas)\Djathtas shigjetë 2x+3=-2x+7. \\\fund (rreshtoj)\]

Ekuacioni i parë nuk ka rrënjë. Sepse kur është $3=-7$? Në çfarë vlerash prej $x$? “Çfarë dreqin është $x$? Jeni të vrarë me gurë? Nuk ka fare $x$ atje, "thoni ju. Dhe do të kesh të drejtë. Ne kemi marrë një barazi që nuk varet nga ndryshorja $x$, dhe në të njëjtën kohë barazia në vetvete është e pasaktë. Kjo është arsyeja pse nuk ka rrënjë :)

Me ekuacionin e dytë, gjithçka është pak më interesante, por edhe shumë, shumë e thjeshtë:

Siç mund ta shihni, gjithçka u zgjidh fjalë për fjalë në disa rreshta - ne nuk prisnim asgjë tjetër nga një ekuacion linear.

Si rezultat, përgjigja përfundimtare është: $x=1$.

Pra, si? E veshtire? Sigurisht që jo. Le të provojmë diçka tjetër:

\[\majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| ((x)^(2))-3x+2 \djathtas|\]

Përsëri kemi një ekuacion të formës $\left| f\majtas(x \djathtas) \djathtas|=\majtas| g\left(x \djathtas) \djathtas|$. Prandaj, ne e rishkruajmë menjëherë, duke zbuluar shenjën e modulit:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \majtas(x-1 \djathtas)\]

Ndoshta dikush do të pyesë tani: “Hej, çfarë marrëzie? Pse shfaqet "plus-minus" në shprehjen e djathtë dhe jo në të majtë?" Qetësohu, do të shpjegoj gjithçka tani. Në të vërtetë, në një mënyrë të mirë duhet ta kishim rishkruar ekuacionin tonë si më poshtë:

Pastaj duhet të hapni kllapat, të zhvendosni të gjithë termat në njërën anë të shenjës së barabartë (pasi ekuacioni, padyshim, do të jetë katror në të dyja rastet) dhe më pas gjeni rrënjët. Por duhet ta pranoni: kur "plus-minus" shfaqet para tre termave (veçanërisht kur njëri prej këtyre termave është një shprehje kuadratike), duket disi më e ndërlikuar sesa situata kur "plus-minus" shfaqet vetëm para dy termave.

Por asgjë nuk na pengon të rishkruajmë ekuacionin origjinal si më poshtë:

Çfarë ndodhi? Asgjë e veçantë: ata thjesht këmbyen anën e majtë dhe të djathtë. Një gjë e vogël që përfundimisht do ta bëjë jetën tonë pak më të lehtë :)

Në përgjithësi, ne e zgjidhim këtë ekuacion, duke marrë parasysh opsionet me një plus dhe një minus:

\[\fillo(rreshtoj)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Shigjeta djathtas ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\majtas(x-1 \djathtas)\Shigjeta djathtas ((x)^(2))-2x+1=0. \\\fund (rreshtoj)\]

Ekuacioni i parë ka rrënjë $x=3$ dhe $x=1$. E dyta është përgjithësisht një katror i saktë:

\[((x)^(2))-2x+1=((\majtas(x-1 \djathtas))^(2))\]

Prandaj, ajo ka vetëm një rrënjë: $x=1$. Por ne e kemi marrë tashmë këtë rrënjë më herët. Kështu, vetëm dy numra do të hyjnë në përgjigjen përfundimtare:

\[((x)_(1))=3;\katër ((x)_(2))=1.\]

Misioni i kryer! Mund të merrni një byrek nga rafti dhe ta hani. Janë 2 prej tyre, e juaja është e mesme.

Shënim i rëndësishëm. Prania e rrënjëve identike për variante të ndryshme të zgjerimit të modulit do të thotë që polinomet origjinale janë të faktorizuar dhe midis këtyre faktorëve do të ketë patjetër një të përbashkët. Vërtet:

\[\filloj(rreshtoj)& \majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| ((x)^(2))-3x+2 \djathtas|; \\& \majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| \majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x-2 \djathtas) \djathtas|. \\\fund (rreshtoj)\]

Një nga vetitë e modulit: $\left| a\cdot b \djathtas|=\majtas| a \djathtas|\cdot \majtas| b \right|$ (d.m.th. moduli i produktit është i barabartë me produktin e modulit), kështu që ekuacioni origjinal mund të rishkruhet si më poshtë:

\[\majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| x-1 \djathtas|\cdot \majtas| x-2 \djathtas|\]

Siç mund ta shihni, ne kemi vërtet një faktor të përbashkët. Tani, nëse mblidhni të gjitha modulet në njërën anë, mund ta hiqni këtë faktor nga kllapa:

\[\filloj(rreshtoj)& \majtas| x-1 \djathtas|=\majtas| x-1 \djathtas|\cdot \majtas| x-2 \djathtas|; \\& \majtas| x-1 \djathtas|-\majtas| x-1 \djathtas|\cdot \majtas| x-2 \djathtas|=0; \\& \majtas| x-1 \djathtas|\cdot \majtas(1-\majtas| x-2 \djathtas| \djathtas)=0. \\\fund (rreshtoj)\]

Epo, tani mbani mend se produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero:

\[\majtas[ \filloj(rreshtoj)& \majtas| x-1 \djathtas|=0, \\& \majtas| x-2 \djathtas|=1. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Kështu, ekuacioni origjinal me dy module është reduktuar në dy ekuacionet më të thjeshta për të cilat folëm që në fillim të mësimit. Ekuacione të tilla mund të zgjidhen fjalë për fjalë në disa rreshta.

Kjo vërejtje mund të duket e panevojshme komplekse dhe e pazbatueshme në praktikë. Megjithatë, në realitet, mund të hasni probleme shumë më komplekse se ato që po shohim sot. Në to modulet mund të kombinohen me polinome, rrënjë aritmetike, logaritme etj. Dhe në situata të tilla, aftësia për të ulur shkallën e përgjithshme të ekuacionit duke hequr diçka nga kllapat mund të jetë shumë, shumë e dobishme.

Tani do të doja të analizoja një ekuacion tjetër, i cili në pamje të parë mund të duket i çmendur. Shumë studentë ngecin në të, edhe ata që mendojnë se i kuptojnë mirë modulet.

Sidoqoftë, ky ekuacion është edhe më i lehtë për t'u zgjidhur sesa ai që pamë më parë. Dhe nëse e kuptoni pse, do të merrni një truk tjetër për zgjidhjen e shpejtë të ekuacioneve me modul.

Pra, ekuacioni është:

\[\majtas| x-((x)^(3)) \djathtas|+\majtas| ((x)^(2))+x-2 \djathtas|=0\]

Jo, kjo nuk është një gabim shtypi: është një plus midis moduleve. Dhe ne duhet të gjejmë në çfarë $x$ shuma e dy moduleve është e barabartë me zero.

Cili është problemi gjithsesi? Por problemi është se çdo modul është një numër pozitiv, ose, në raste ekstreme, zero. Çfarë ndodh nëse shtoni dy numra pozitivë? Natyrisht një numër pozitiv përsëri:

\[\fillim(lidh)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\fund (rreshtoj)\]

Rreshti i fundit mund t'ju japë një ide: e vetmja herë kur shuma e moduleve është zero është nëse secili modul është zero:

Dhe kur moduli është i barabartë me zero? Vetëm në një rast - kur shprehja nënmodulare është e barabartë me zero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Djathtas shigjeta \majtas(x+2 \djathtas)\majtas(x-1 \djathtas)=0\Shigjeta djathtas \majtas[ \fillimi(radhis)& x=-2 \\& x=1 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Kështu, kemi tre pika në të cilat moduli i parë rivendoset në zero: 0, 1 dhe −1; si dhe dy pika në të cilat moduli i dytë rivendoset në zero: −2 dhe 1. Megjithatë, ne kemi nevojë që të dy modulet të rivendosen në zero në të njëjtën kohë, kështu që midis numrave të gjetur duhet të zgjedhim ata që përfshihen në të dy grupet. Natyrisht, ekziston vetëm një numër i tillë: $x=1$ - kjo do të jetë përgjigja përfundimtare.

Metoda e ndarjes

Epo, ne kemi mbuluar tashmë një mori problemesh dhe kemi mësuar shumë teknika. A mendoni se kjo është e gjitha? Por jo! Tani do të shikojmë teknikën përfundimtare - dhe në të njëjtën kohë më të rëndësishmen. Do të flasim për ndarjen e ekuacioneve me modul. Për çfarë do të flasim madje? Le të kthehemi pak prapa dhe të shohim një ekuacion të thjeshtë. Për shembull kjo:

\[\majtas| 3x-5 \djathtas|=5-3x\]

Në parim, ne tashmë dimë se si ta zgjidhim një ekuacion të tillë, sepse është një ndërtim standard i formës $\left| f\left(x \djathtas) \djathtas|=g\left(x \djathtas)$. Por le të përpiqemi ta shikojmë këtë ekuacion nga një kënd pak më ndryshe. Më saktësisht, merrni parasysh shprehjen nën shenjën e modulit. Më lejoni t'ju kujtoj se moduli i çdo numri mund të jetë i barabartë me vetë numrin, ose mund të jetë i kundërt me këtë numër:

\[\majtas| a \djathtas|=\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& a,\katër a\ge 0, \\& -a,\katër a \lt 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Në fakt, kjo paqartësi është i gjithë problemi: meqenëse numri nën modul ndryshon (kjo varet nga ndryshorja), nuk është e qartë për ne nëse është pozitiv apo negativ.

Por, çka nëse fillimisht kërkon që ky numër të jetë pozitiv? Për shembull, le të kërkojmë që $3x-5 \gt 0$ - në këtë rast ne jemi të garantuar të marrim një numër pozitiv nën shenjën e modulit, dhe ne mund ta heqim plotësisht këtë modul:

Kështu, ekuacioni ynë do të kthehet në një linear, i cili mund të zgjidhet lehtësisht:

Vërtetë, të gjitha këto mendime kanë kuptim vetëm nën kushtin $3x-5 \gt 0$ - ne vetë e prezantuam këtë kërkesë në mënyrë që të zbulojmë pa mëdyshje modulin. Prandaj, le të zëvendësojmë $x=\frac(5)(3)$ të gjetur në këtë gjendje dhe kontrollojmë:

Rezulton se për vlerën e specifikuar prej $x$ kërkesa jonë nuk është përmbushur, sepse shprehja doli të jetë e barabartë me zero, dhe ne kemi nevojë që ajo të jetë rreptësisht më e madhe se zero. E trishtueshme :(

Por është në rregull! Në fund të fundit, ekziston një opsion tjetër $3x-5 \lt 0$. Për më tepër: ekziston edhe rasti $3x-5=0$ - kjo gjithashtu duhet të merret parasysh, përndryshe zgjidhja do të jetë e paplotë. Pra, merrni parasysh rastin $3x-5 \lt 0$:

Natyrisht, moduli do të hapet me një shenjë minus. Por atëherë lind një situatë e çuditshme: si në të majtë ashtu edhe në të djathtë në ekuacionin origjinal do të dalë e njëjta shprehje:

Pyes veten se në çfarë $x$ shprehja $5-3x$ do të jetë e barabartë me shprehjen $5-3x$? Edhe kapiteni Obviousness do të mbytej në pështymën e tij nga ekuacione të tilla, por ne e dimë: ky ekuacion është një identitet, d.m.th. është e vërtetë për çdo vlerë të ndryshores!

Kjo do të thotë se çdo $x$ do të na përshtatet. Megjithatë, ne kemi një kufizim:

Me fjalë të tjera, përgjigja nuk do të jetë një numër i vetëm, por një interval i tërë:

Së fundi, ka mbetur edhe një rast për t'u marrë parasysh: $3x-5=0$. Gjithçka është e thjeshtë këtu: nën modulin do të ketë zero, dhe moduli i zeros është gjithashtu i barabartë me zero (kjo rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi):

Por pastaj ekuacioni origjinal $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ do të rishkruhet si më poshtë:

Ne e kemi marrë tashmë këtë rrënjë më lart kur kemi marrë parasysh rastin e $3x-5 \gt 0$. Për më tepër, kjo rrënjë është një zgjidhje për ekuacionin $3x-5=0$ - ky është kufizimi që ne vetë kemi prezantuar për të rivendosur modulin.

Kështu, përveç intervalit, do të jemi të kënaqur edhe me numrin që shtrihet në fund të këtij intervali:

Kombinimi i rrënjëve në ekuacionet e modulit

Përgjigja përfundimtare totale: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \djathtas]$ Nuk është shumë e zakonshme të shohësh një mut në përgjigjen e një ekuacioni mjaft të thjeshtë (në thelb linear) me modulin , Me të vërtetë, mësohu me të: vështirësia e modulit është se përgjigjet në ekuacione të tilla mund të jenë plotësisht të paparashikueshme.

Diçka tjetër është shumë më e rëndësishme: ne sapo kemi analizuar një algoritëm universal për zgjidhjen e një ekuacioni me një modul! Dhe ky algoritëm përbëhet nga hapat e mëposhtëm:

Barazoni çdo modul në ekuacion me zero. Marrim disa ekuacione;
Zgjidhini të gjitha këto ekuacione dhe shënoni rrënjët në vijën numerike. Si rezultat, vija e drejtë do të ndahet në disa intervale, në secilën prej të cilave të gjitha modulet zbulohen në mënyrë unike;
Zgjidheni ekuacionin origjinal për çdo interval dhe kombinoni përgjigjet tuaja.

Kjo është ajo! Mbetet vetëm një pyetje: çfarë të bëjmë me rrënjët e marra në hapin 1? Le të themi se kemi dy rrënjë: $x=1$ dhe $x=5$. Ata do ta ndajnë vijën numerike në 3 pjesë:

Ndarja e vijës numerike në intervale duke përdorur pika

Pra, cilat janë intervalet? Është e qartë se janë tre prej tyre:

E majta: $x \lt 1$ — vetë njësia nuk përfshihet në interval;
Qendrore: $1\le x \lt 5$ - këtu një përfshihet në interval, por pesë nuk përfshihen;
E drejta: $x\ge 5$ - pesë përfshihen vetëm këtu!

Unë mendoj se ju tashmë e kuptoni modelin. Çdo interval përfshin skajin e majtë dhe nuk përfshin të djathtën.

Në pamje të parë, një hyrje e tillë mund të duket e papërshtatshme, e palogjikshme dhe në përgjithësi një lloj e çmendur. Por më besoni: pas një praktike të vogël, do të zbuloni se kjo qasje është më e besueshme dhe nuk ndërhyn në hapjen e paqartë të moduleve. Është më mirë të përdorësh një skemë të tillë sesa të mendosh çdo herë: jepni fundin majtas/djathtas në intervalin aktual ose "hedhe" atë në tjetrin.

Ky artikull i kushtohet zgjidhjes së shembujve të detyrave 23 nga OGE në matematikë. Në këto detyra, nxënësve të shkollës zakonisht u kërkohet të ndërtojnë një grafik të një funksioni të caktuar, dhe më pas të tregojnë se në cilat vlera të parametrit ky grafik kryqëzohet me ndonjë grafik tjetër, e prek atë ose, për shembull, ka disa pika kryqëzimi me atë. Epo, dhe të ngjashme. Në këtë artikull do të gjeni një analizë të shembujve të zgjidhjes së detyrave 23 nga OGE në matematikë nga një mësues profesionist i cili ka përgatitur nxënës të shkollës për këtë provim për shumë vite.

Shembuj të zgjidhjes së detyrave 23 nga OGE në matematikë

Shembulli 1: Grafikoni funksionin

Përcaktoni se në cilat vlera vija e drejtë ka saktësisht një pikë të përbashkët me grafikun.

Kur ndërtoni një grafik të një funksioni, gjithmonë duhet të filloni duke treguar domenin e përkufizimit të këtij funksioni. Në këtë rast, kufizimet në këtë zonë vendosen nga fakti që nuk duhet të ketë zero në emërues, sepse pjesëtimi me zero nuk ka kuptim matematikor. Kjo do të thotë, domeni i përkufizimit të këtij funksioni janë të gjithë numrat përveç 1. Kjo mund të shkruhet si më poshtë:

Pasi të kemi treguar shtrirjen e funksionit origjinal, mund të përpiqemi ta thjeshtojmë atë. Për ta bërë këtë, le të nxjerrim minusin në emërues nga kllapa dhe ta zvogëlojmë. Si rezultat, marrim shprehjen e mëposhtme:

Grafiku i këtij funksioni merret nga grafiku i funksionit duke e pasqyruar atë në raport me boshtin OK dhe transferim paralel i të gjitha pikave 0.25 njësi segment poshtë. Në këtë rast, ne duhet të heqim pikën nga ky grafik , sepse nuk është brenda fushëveprimit të funksionit origjinal. Kjo do të thotë, grafiku i dëshiruar duket si ky:

Tani ne i përgjigjemi pyetjes kryesore të problemit. Grafiku i një funksioni është një vijë e drejtë që kalon nga origjina. Për më tepër, në varësi të koeficientit, kjo vijë e drejtë ka një prirje të ndryshme në lidhje me boshtin OK. Kur kjo vijë ka saktësisht një pikë të përbashkët me grafikun e treguar? Vetëm në dy raste. Le t'i shikojmë ato veç e veç.

Rasti i parë. Kur kjo linjë prek grafikun e treguar. Kjo situatë është paraqitur në figurë:

Vështirësia qëndron në përcaktimin e vlerave në të cilat ndodh kjo situatë. Për të zgjidhur këtë problem mund të përdoren disa qasje të ndryshme. Ne përdorim atë më tipiken.

Çështja është se në pikën e kontaktit, grafikët kalojnë nëpër të njëjtën pikë në planin koordinativ. Kjo do të thotë se në këtë pikë barazia vlen:

Diskriminuesi i ekuacionit të fundit kuadratik është i barabartë me , dhe në varësi të koeficientit mund të jetë:

negative, atëherë ky ekuacion nuk do të ketë rrënjë, ashtu siç nuk do të ketë pika të kryqëzimit të vijës përkatëse me grafikun e paraqitur;
pozitive, atëherë do të ketë dy rrënjë, që do të thotë se do të ketë dy pika kryqëzimi (ky rast gjithashtu nuk na përshtatet);
është e barabartë me zero, ky rast i veçantë korrespondon me tangjencën e drejtëzës me grafikun, pasi ekuacioni i shkruar në këtë rast do të ketë vetëm një zgjidhje.

Dmth. Vijat e drejta përkatëse janë treguar saktësisht në figurën e mësipërme.

Rasti i dytë. Mos harroni se pika me abshisë nuk i përket grafikut tonë. Kjo do të thotë që një mundësi tjetër hapet kur vija e drejtë ka saktësisht një pikë të përbashkët me grafikun. Këtu është ky rast:

Për të gjetur në këtë rast zëvendësojmë koordinatat e pikës në ekuacionin e një drejtëze. Si rezultat marrim.

Le të vërejmë menjëherë se fushëveprimi i këtij funksioni përfshin të gjithë numrat: . Detyra jonë tani, siç ndodh shpesh kur zgjidhim detyrat 23 nga OGE në matematikë, është të ndërtojmë një grafik të këtij funksioni. Për ata që nuk kanë hasur më parë detyra të ngjashme, kjo mund të duket e çuditshme, por grafiku i këtij funksioni mund të ndërtohet nga grafiku i funksionit. Ju vetëm duhet të zgjidhni katrorin e plotë në shprehjen nënmodulare. Për ta bërë këtë, ne do të kryejmë transformimet e mëposhtme:

Nga kjo e fundit, duke përdorur formulën "diferencë në katror", marrim:

Le të ndërtojmë fillimisht një grafik të funksionit . Ky grafik merret nga grafiku i funksionit duke e zhvendosur atë një segment njësi djathtas dhe një segment njësi poshtë:

Në këtë rast, zerot e funksionit janë 2 dhe -1. Çfarë ndodh me këtë parabolë nëse marrim modulin e të gjithë shprehjes në të djathtë? Të gjitha pikat poshtë boshtit OK(me ordinata negative), do të pasqyrohet lart në raport me boshtin OK. Rezultati do të jetë një grafik si ky:

Tani, duke parë këtë grafik, tashmë është e qartë se numri maksimal i pikave të kryqëzimit të këtij grafiku me një drejtëz paralele me boshtin x do të jetë i barabartë me 4. Si shembull, mund të marrim vijën e drejtë:

Kështu zgjidhet detyra 23 nga OGE në matematikë. Siç thashë tashmë, këto janë detyra mjaft interesante, të cilat gjithashtu mund të mësoni t'i zgjidhni duke përdorur një algoritëm të qartë dhe të paharrueshëm. Dhe sapo të zotëroni këtë aftësi, të gjitha problemet 23 nga OGE në matematikë do t'ju duken të thjeshta dhe madje të dukshme për ju. Ky do të bëhet një tjetër çelës i çmuar për ju që do t'ju ndihmojë të merrni rezultatin maksimal në provim. Kështu që ju uroj suksese në përgatitjen tuaj dhe fat të mirë në provim!

Sergej Valerieviç