Shumë probleme na bëjnë të kërkojmë një grup vlerash funksioni në një segment të caktuar ose në të gjithë domenin e përkufizimit. Detyra të tilla përfshijnë vlerësime të ndryshme të shprehjeve dhe zgjidhjen e pabarazive.
Në këtë artikull, ne do të përcaktojmë gamën e vlerave të një funksioni, do të shqyrtojmë metodat për gjetjen e tij dhe do të analizojmë në detaje zgjidhjen e shembujve nga e thjeshtë në më komplekse. I gjithë materiali do të pajiset me ilustrime grafike për qartësi. Pra, ky artikull është një përgjigje e detajuar për pyetjen se si të gjeni gamën e një funksioni.
Përkufizimi.
Bashkësia e vlerave të funksionit y = f(x) në intervalin Xështë bashkësia e të gjitha vlerave të një funksioni që merr kur përsëritet mbi të gjitha.
Përkufizimi.
Gama e funksionit y = f(x)është bashkësia e të gjitha vlerave të një funksioni që merr kur përsëritet mbi të gjitha x nga domeni i përkufizimit.
Gama e funksionit shënohet si E(f).
Gama e një funksioni dhe grupi i vlerave të një funksioni nuk janë e njëjta gjë. Ne do t'i konsiderojmë këto koncepte ekuivalente nëse intervali X kur gjejmë grupin e vlerave të funksionit y = f(x) përputhet me domenin e përkufizimit të funksionit.
Gjithashtu, mos e ngatërroni diapazonin e funksionit me ndryshoren x për shprehjen në anën e djathtë të ekuacionit y=f(x) . Gama e vlerave të lejuara të ndryshores x për shprehjen f(x) është domeni i përcaktimit të funksionit y=f(x).
Figura tregon disa shembuj.
Grafikët e funksioneve tregohen me vija të trasha blu, vijat e holla të kuqe janë asimptota, pikat e kuqe dhe vijat në boshtin Oy tregojnë gamën e vlerave të funksionit përkatës.
Siç mund ta shihni, diapazoni i vlerave të një funksioni merret duke projektuar grafikun e funksionit në boshtin y. Mund të jetë një numër i vetëm (rasti i parë), një grup numrash (rasti i dytë), një segment (rasti i tretë), një interval (rasti i katërt), një rreze e hapur (rasti i pestë), një bashkim (rasti i gjashtë), etj. .
Pra, çfarë duhet të bëni për të gjetur gamën e vlerave të një funksioni?
Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë: do të tregojmë se si të përcaktojmë grupin e vlerave të një funksioni të vazhdueshëm y = f(x) në segment.
Dihet që një funksion i vazhdueshëm në një interval arrin vlerat e tij maksimale dhe minimale në të. Kështu, grupi i vlerave të funksionit origjinal në segment do të jetë segmenti 
. Rrjedhimisht, detyra jonë zbret në gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në segment.
Për shembull, le të gjejmë gamën e vlerave të funksionit të harkut.
Shembull.
Specifikoni gamën e funksionit y = arcsinx.
Zgjidhje.
Zona e përcaktimit të arksinës është segmenti [-1; 1] . Le të gjejmë vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit në këtë segment. 
Derivati është pozitiv për të gjitha x nga intervali (-1; 1), domethënë, funksioni i harkut rritet në të gjithë domenin e përkufizimit. Rrjedhimisht, ajo merr vlerën më të vogël në x = -1, dhe më të madhen në x = 1. 
Ne kemi marrë diapazonin e funksionit të arksinës 
.
Shembull.
Gjeni bashkësinë e vlerave të funksionit 
në segment.
Zgjidhje.
Le të gjejmë vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit në një segment të caktuar.
Le të përcaktojmë pikat ekstreme që i përkasin segmentit: 
Ne llogarisim vlerat e funksionit origjinal në skajet e segmentit dhe në pika 
:
Prandaj, grupi i vlerave të një funksioni në një interval është intervali 
.
Tani do të tregojmë se si të gjejmë grupin e vlerave të një funksioni të vazhdueshëm y = f(x) në intervalet (a; b) , .
Së pari, ne përcaktojmë pikat ekstreme, ekstremet e funksionit, intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit në një interval të caktuar. Tjetra, ne llogarisim në skajet e intervalit dhe (ose) kufijtë në pafundësi (d.m.th., ne studiojmë sjelljen e funksionit në kufijtë e intervalit ose në pafundësi). Ky informacion është i mjaftueshëm për të gjetur grupin e vlerave të funksionit në intervale të tilla.
Shembull.
Përcaktoni grupin e vlerave të funksionit në intervalin (-2; 2).
Zgjidhje.
Le të gjejmë pikat ekstreme të funksionit që bien në intervalin (-2; 2): 
Pika x = 0 është një pikë maksimale, pasi derivati ndryshon shenjën nga plus në minus kur kalon nëpër të, dhe grafiku i funksionit shkon nga rritja në zvogëlim. 
ekziston një maksimum përkatës i funksionit.
Le të zbulojmë sjelljen e funksionit pasi x tenton në -2 në të djathtë dhe kur x tenton në 2 në të majtë, domethënë gjejmë kufij të njëanshëm: 
Çfarë morëm: kur argumenti ndryshon nga -2 në zero, vlerat e funksionit rriten nga minus pafundësi në minus një të katërtën (maksimumi i funksionit në x = 0), kur argumenti ndryshon nga zero në 2, vlerat e funksionit zvogëlohen në minus pafundësi. Kështu, grupi i vlerave të funksionit në intervalin (-2; 2) është .
Shembull.
Specifikoni grupin e vlerave të funksionit tangjent y = tgx në interval.
Zgjidhje.
Derivati i funksionit tangjent në interval është pozitiv 
, që tregon një rritje të funksionit. Le të studiojmë sjelljen e funksionit në kufijtë e intervalit: 
Kështu, kur argumenti ndryshon nga në, vlerat e funksionit rriten nga minus pafundësi në plus pafundësi, domethënë grupi i vlerave tangjente në këtë interval është grupi i të gjithë numrave realë.
Shembull.
Gjeni diapazonin e funksionit të logaritmit natyror y = lnx.
Zgjidhje.
Funksioni i logaritmit natyror përcaktohet për vlerat pozitive të argumentit 
. Në këtë interval derivati është pozitiv 
, kjo tregon një rritje të funksionit në të. Le të gjejmë kufirin e njëanshëm të funksionit pasi argumenti tenton në zero në të djathtë, dhe kufiri kur x tenton në plus pafundësi: 
Shohim që kur x ndryshon nga zero në plus pafundësi, vlerat e funksionit rriten nga minus pafundësi në plus pafundësi. Prandaj, diapazoni i funksionit të logaritmit natyror është i gjithë grupi i numrave realë.
Shembull.
Zgjidhje.
Ky funksion është përcaktuar për të gjitha vlerat reale të x. Le të përcaktojmë pikat ekstreme, si dhe intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit. 
Rrjedhimisht, funksioni zvogëlohet në , rritet në , x = 0 është pika maksimale, 
maksimumi përkatës i funksionit.
Le të shohim sjelljen e funksionit në pafundësi: 
Kështu, në pafundësi vlerat e funksionit në mënyrë asimptotike i afrohen zeros.
Ne zbuluam se kur argumenti ndryshon nga minus pafundësi në zero (pika maksimale), vlerat e funksionit rriten nga zero në nëntë (në maksimum të funksionit), dhe kur x ndryshon nga zero në plus pafundësi, vlerat e funksionit zvogëlohet nga nëntë në zero.
Shikoni vizatimin skematik.
Tani është qartë e dukshme se diapazoni i vlerave të funksionit është .
Gjetja e grupit të vlerave të funksionit y = f(x) në intervale kërkon kërkime të ngjashme. Tani nuk do të ndalemi në detaje në këto raste. Ne do t'i takojmë përsëri në shembujt e mëposhtëm.
Le të jetë domeni i përkufizimit të funksionit y = f(x) bashkimi i disa intervaleve. Kur gjen diapazonin e vlerave të një funksioni të tillë, përcaktohen grupet e vlerave në çdo interval dhe merret bashkimi i tyre.
Shembull.
Gjeni gamën e funksionit.
Zgjidhje.
Emëruesi i funksionit tonë nuk duhet të shkojë në zero, domethënë .
Së pari, le të gjejmë grupin e vlerave të funksionit në rrezen e hapur.
Derivat i një funksioni 
është negativ në këtë interval, domethënë funksioni zvogëlohet në të. 
Ne zbuluam se ndërsa argumenti tenton në minus pafundësi, vlerat e funksionit i afrohen në mënyrë asimptotike unitetit. Kur x ndryshon nga minus pafundësi në dy, vlerat e funksionit zvogëlohen nga një në minus pafundësi, domethënë, në intervalin në shqyrtim, funksioni merr një grup vlerash. Ne nuk e përfshijmë unitetin, pasi vlerat e funksionit nuk e arrijnë atë, por vetëm në mënyrë asimptotike priren tek ai në minus pafundësi.
Ne vazhdojmë në mënyrë të ngjashme për traun e hapur.
Në këtë interval funksioni gjithashtu zvogëlohet. 
Seti i vlerave të funksionit në këtë interval është grupi.
Kështu, diapazoni i dëshiruar i vlerave të funksionit është bashkimi i grupeve dhe .
Ilustrim grafik.
Vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet funksioneve periodike. Gama e vlerave të funksioneve periodike përkon me grupin e vlerave në intervalin që korrespondon me periudhën e këtij funksioni.
Shembull.
Gjeni diapazonin e funksionit sinus y = sinx.
Zgjidhje.
Ky funksion është periodik me një periudhë prej dy pi. Le të marrim një segment dhe të përcaktojmë grupin e vlerave në të. 
Segmenti përmban dy pika ekstreme dhe .
Ne llogarisim vlerat e funksionit në këto pika dhe në kufijtë e segmentit, zgjidhni vlerat më të vogla dhe më të mëdha: 
Prandaj, 
.
Shembull.
Gjeni gamën e një funksioni 
.
Zgjidhje.
Ne e dimë se diapazoni i kosinusit të harkut është segmenti nga zero në pi, d.m.th. 
ose në një postim tjetër. Funksioni 
mund të merret nga arccosx duke zhvendosur dhe shtrirë përgjatë boshtit të abshisë. Transformime të tilla nuk ndikojnë në gamën e vlerave, prandaj, 
. Funksioni 
të marra nga duke u shtrirë tre herë përgjatë boshtit Oy, d.m.th. 
. Dhe faza e fundit e transformimit është një zhvendosje prej katër njësive poshtë përgjatë ordinatës. Kjo na çon në pabarazi të dyfishtë 
Kështu, diapazoni i kërkuar i vlerave është 
.
Le t'i japim zgjidhjen një shembulli tjetër, por pa shpjegime (nuk kërkohen, pasi janë plotësisht të ngjashëm).
Shembull.
Përcaktoni diapazonin e funksionit 
.
Zgjidhje.
Le të shkruajmë funksionin origjinal në formë 
. Gama e vlerave të funksionit të fuqisë është intervali. Kjo eshte, . Pastaj 
Prandaj, 
.
Për të plotësuar figurën, duhet të flasim për gjetjen e gamës së vlerave të një funksioni që nuk është i vazhdueshëm në domenin e përkufizimit. Në këtë rast, ne e ndajmë domenin e përkufizimit në intervale sipas pikave të ndërprerjes dhe gjejmë grupe vlerash për secilën prej tyre. Duke kombinuar grupet e vlerave që rezultojnë, marrim gamën e vlerave të funksionit origjinal. Ne ju rekomandojmë të mbani mend
Varësia e një ndryshoreje nga një tjetër quhet varësia funksionale. Variabla e varësisë y nga ndryshorja x thirrur funksionin, nëse çdo vlerë x përputhet me një vlerë të vetme y.
Përcaktimi:
E ndryshueshme x quhet ndryshore e pavarur ose argument, dhe ndryshoren y- i varur. Ata thonë se yështë një funksion i x. Kuptimi y, që korrespondon me vlerën e specifikuar x, thirri vlera e funksionit.
Të gjitha vlerat që pranon x, formë domeni i një funksioni; të gjitha vlerat që merr y, formë grup vlerash funksioni.
Emërtimet: 
D(f)- vlerat e argumentit. E(f)- vlerat e funksionit. Nëse një funksion jepet nga një formulë, atëherë fusha e përkufizimit konsiderohet të përbëhet nga të gjitha vlerat e ndryshores për të cilën kjo formulë ka kuptim.
Grafiku i funksionitështë bashkësia e të gjitha pikave në planin koordinativ, abshisat e të cilave janë të barabarta me vlerat e argumentit dhe ordinatat e të cilave janë të barabarta me vlerat përkatëse të funksionit. Nëse ndonjë vlerë x=x 0 përputhet me vlera të shumta (jo vetëm një) y, atëherë një korrespondencë e tillë nuk është funksion. Në mënyrë që një grup pikash në një plan koordinativ të jetë grafik i një funksioni të caktuar, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që çdo drejtëz paralele me boshtin Oy të kryqëzohet me grafikun në jo më shumë se një pikë.
Metodat për përcaktimin e një funksioni
1) Funksioni mund të vendoset në mënyrë analitike në formën e një formule. Për shembull, 
2) Funksioni mund të specifikohet nga një tabelë me shumë çifte (x; y).
3) Funksioni mund të specifikohet grafikisht. Çiftet e vlerave (x; y) janë paraqitur në planin koordinativ.
Monotonia e funksionit
Funksioni f(x) thirrur në rritje në një interval të caktuar numerik, nëse një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit. Imagjinoni që një pikë e caktuar lëviz përgjatë grafikut nga e majta në të djathtë. Atëherë pika do të duket se "ngjitet" lart në grafik.
Funksioni f(x) thirrur në rënie në një interval të caktuar numerik, nëse një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit. Imagjinoni që një pikë e caktuar lëviz përgjatë grafikut nga e majta në të djathtë. Pastaj pika do të duket se "rrokulliset" poshtë grafikut.
Një funksion që rritet ose zvogëlohet vetëm në një interval të caktuar numerik quhet monotone në këtë interval.
Zerot e funksionit dhe intervalet e shenjës konstante
Vlerat X, në të cilën y=0, thirri funksioni zero. Këto janë abshisat e pikave të prerjes së grafikut të funksionit me boshtin Ox.
Gama të tilla vlerash x, në të cilin vlerat e funksionit y quhen vetëm pozitive ose vetëm negative intervalet e shenjës konstante të funksionit.
Funksionet çift dhe tek
Edhe funksionin
1) Fusha e përkufizimit është simetrik në lidhje me pikën (0; 0), domethënë nëse pika a i përket fushës së përkufizimit, pastaj pikës -a gjithashtu i përket fushës së përkufizimit.
2) Për çdo vlerë x f(-x)=f(x)
3) Grafiku i një funksioni çift është simetrik në lidhje me boshtin Oy.
Funksioni tek ka vetitë e mëposhtme:
1) Fusha e përkufizimit është simetrik në lidhje me pikën (0; 0).
2) për çdo vlerë x, që i përket fushës së përkufizimit, barazisë f(-x)=-f(x)
3) Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën (0; 0).
Jo çdo funksion është çift ose tek. Funksione pamje e përgjithshme nuk janë as çift e as tek.
Funksionet periodike
Funksioni f quhet periodik nëse ka një numër të tillë që për ndonjë x nga fusha e përkufizimit barazia f(x)=f(x-T)=f(x+T). Tështë periudha e funksionit.
Çdo funksion periodik ka një numër të pafund periodash. Në praktikë, zakonisht konsiderohet periudha më e vogël pozitive.
Vlerat e një funksioni periodik përsëriten pas një intervali të barabartë me periudhën. Kjo përdoret gjatë ndërtimit të grafikëve.
Le të shohim se si të ekzaminojmë një funksion duke përdorur një grafik. Rezulton se duke parë grafikun, ne mund të zbulojmë gjithçka që na intereson, përkatësisht:
- domeni i një funksioni
- diapazoni i funksionit
- funksioni zero
- intervalet e rritjes dhe zvogëlimit
- pikë maksimale dhe minimale
- vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni në një segment.
Le të sqarojmë terminologjinë:
Abshisaështë koordinata horizontale e pikës.
Ordinoni- koordinata vertikale.
Boshti i abshisave- boshti horizontal, më shpesh i quajtur bosht.
boshti Y- bosht vertikal, ose bosht.
Argumenti- një variabël i pavarur nga i cili varen vlerat e funksionit. Më shpesh tregohet.
Me fjalë të tjera, ne zgjedhim , zëvendësojmë funksionet në formulë dhe marrim .
Domeni funksionet - grupi i atyre (dhe vetëm atyre) vlerave të argumenteve për të cilat ekziston funksioni.
Tregohet nga: ose .
Në figurën tonë, fusha e përcaktimit të funksionit është segmenti. Pikërisht në këtë segment vizatohet grafiku i funksionit. Ky është i vetmi vend ku ekziston ky funksion.
Gama e funksionitështë grupi i vlerave që merr një ndryshore. Në figurën tonë, ky është një segment - nga vlera më e ulët në atë më të lartë.
Funksioni zero- pikat ku vlera e funksionit është zero, d.m.th. Në figurën tonë këto janë pika dhe .
Vlerat e funksionit janë pozitive ku . Në figurën tonë këto janë intervalet dhe .
Vlerat e funksionit janë negative ku . Për ne, ky është intervali (ose intervali) nga në .
Konceptet më të rëndësishme - funksion në rritje dhe në ulje në disa set. Si grup, mund të merrni një segment, një interval, një bashkim intervalesh ose të gjithë vijën numerike.
Funksioni rritet
Me fjalë të tjera, sa më shumë, aq më shumë, domethënë, grafiku shkon djathtas dhe lart.
Funksioni zvogëlohet në një grup nëse për ndonjë dhe që i përket grupit, pabarazia nënkupton pabarazinë .
Për një funksion në rënie, një vlerë më e madhe korrespondon me një vlerë më të vogël. Grafiku shkon djathtas dhe poshtë.
Në figurën tonë, funksioni rritet në interval dhe zvogëlohet në intervalet dhe .
Le të përcaktojmë se çfarë është pikët maksimale dhe minimale të funksionit.
Pika maksimale- kjo është një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit, e tillë që vlera e funksionit në të është më e madhe se në të gjitha pikat mjaft afër tij.
Me fjalë të tjera, një pikë maksimale është një pikë në të cilën vlera e funksionit më shumë sesa në ato fqinje. Kjo është një "kodër" lokale në tabelë.
Në figurën tonë ka një pikë maksimale.
Pika minimale- një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit, e tillë që vlera e funksionit në të është më e vogël se në të gjitha pikat mjaft afër tij.
Kjo do të thotë, pika minimale është e tillë që vlera e funksionit në të është më e vogël se në fqinjët e saj. Kjo është një "vrimë" lokale në grafik.
Në figurën tonë ka një pikë minimale.
Pika është kufiri. Nuk është një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit dhe për këtë arsye nuk i përshtatet përkufizimit të një pike maksimale. Në fund të fundit, ajo nuk ka fqinjë në të majtë. Në të njëjtën mënyrë, në grafikun tonë nuk mund të ketë një pikë minimale.
Pikat maksimale dhe minimale së bashku quhen pikat ekstreme të funksionit. Në rastin tonë kjo është dhe .
Çfarë duhet të bëni nëse duhet të gjeni, për shembull, funksioni minimal në segment? Në këtë rast përgjigja është: . Sepse funksioni minimalështë vlera e tij në pikën minimale.
Në mënyrë të ngjashme, maksimumi i funksionit tonë është . Është arritur në pikën.
Mund të themi se ekstremet e funksionit janë të barabarta me dhe .
Ndonjëherë problemet kërkojnë gjetje vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një segment të caktuar. Ato nuk përkojnë domosdoshmërisht me ekstremet.
Në rastin tonë vlera më e vogël e funksionit në segment është i barabartë dhe përkon me minimumin e funksionit. Por vlera e tij më e madhe në këtë segment është e barabartë me . Ajo arrihet në skajin e majtë të segmentit.
Në çdo rast, vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të vazhdueshëm në një segment arrihen ose në pikat ekstreme ose në skajet e segmentit.
MINISTRIA E ARSIMIT TË RAJONIT SAKHALIN
GBPOU "TEKNIKA E NDËRTIMIT"
Punë praktike
Në disiplinën "Matematikë"
Kapitulli: " Funksionet, vetitë dhe grafikët e tyre.”
Tema: Funksione. Domeni dhe grupi i vlerave të një funksioni. Funksionet çift dhe tek.
(material didaktik)
Përpiluar nga:
Mësues
Kazantseva N.A.
Yuzhno-Sakhalinsk-2017
Punë praktike në matematikësipas seksionit« dhe metodologjikeudhëzimet për zbatimin e tyre janë të destinuara për nxënësitGBPOU "Kolegji i Ndërtimit Sakhalin"
Përpiluar nga : Kazantseva N. A., mësuese matematike
Materiali përmban punë praktike në matematikë« Funksionet, vetitë dhe grafikët e tyre" Dhe udhëzimet për zbatimin e tyre. Udhëzimet janë përpiluar në përputhje me programin e punës në matematikë dhe janë të destinuara për studentët e Kolegjit të Ndërtimit Sakhalin, studentët që studiojnë programet e arsimit të përgjithshëm.
1) Mësimi praktik nr. 1. Funksione. Fusha e përkufizimit dhe grupi i vlerave të një funksioni.………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) Mësimi praktik nr. 2 . Funksionet çift dhe tek……………….6
Mësimi praktik nr. 1
Funksione. Domeni dhe grupi i vlerave të një funksioni.
Qëllimet: konsolidoni aftësitë dhe aftësitë për zgjidhjen e problemeve me temën: “Fusha e përkufizimit dhe grupi i vlerave të një funksioni.
Pajisjet:
Shënim. Së pari, duhet të përsërisni materialin teorik me temën: "Fusha e përkufizimit dhe grupi i vlerave të një funksioni", pas së cilës mund të filloni të kryeni pjesën praktike.
Udhëzime:
Përkufizimi: Funksioni Domain- ky është grupi i të gjitha vlerave të argumentit x në të cilin është specifikuar funksioni (ose bashkësia e x për të cilën funksioni ka kuptim).
Përcaktimi:D(y),D( f)- fusha e përkufizimit të një funksioni.
Rregulli: Për të gjetur oblastiPër të përcaktuar një funksion nga një grafik, është e nevojshme të dizajnohet grafiku në OX.
Përkufizimi:Gama e funksionitështë bashkësia e y-së për të cilën funksioni ka kuptim.
Përcaktimi: E(y), E(f)- diapazoni i funksionit.
Rregulli: Për të gjetur oblastivlerat e funksionit sipas grafikut, grafiku duhet të projektohet në op-amp.
№ 1. Gjeni vlerat e funksionit:
a) f(x) = 4 x+ në pikat 2;20 ;
b) f(x) = 2 · cos(x) në pika; 0;
V) f(x) = në pikat 1;0; 2;
G) f(x) = 6 mëkat 4 x në pika; 0;
e) f(x) = 2 9 x+ 10 në pikën 2; 0; 5.
№ 2. Gjeni domenin e funksionit:
a) f(x) = ; b ) f(x) = ; V ) f(x) = ;
G) f(x) = ; d) f(x) = ; e) f (x) = 6 x +1;
dhe) f(x) = ; h) f(x) = .
№3. Gjeni gamën e funksionit:
A) f(x) = 2+3 x; b) f(x) = 2 7 x + 3.
№ 4. Gjeni domenin e përkufizimit dhe domenin e vlerës së funksionit, grafiku i të cilit është paraqitur në figurë:
Mësimi praktik nr.2
Funksionet çift dhe tek.
Qëllimet: konsolidoni aftësitë dhe aftësitë për zgjidhjen e problemeve në temën: "Funksionet çift dhe tek".
Pajisjet: fletore për punë praktike, stilolaps, udhëzime për përfundimin e punës
Shënim. Së pari, duhet të përsërisni materialin teorik me temën: "Funksionet çift dhe tek", pas së cilës mund të filloni të kryeni pjesën praktike.
Mos harroni për formatimin e saktë të zgjidhjes.
Udhëzime:
Karakteristikat më të rëndësishme të funksioneve përfshijnë barazinë dhe çuditshmërinë.
Përkufizimi: Funksioni thirreti çuditshëm ndryshimet kuptimi i tij në të kundërtën e tij,
ato. f (x)= f (x).
Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën (0;0).
Shembuj : funksionet tek janë y=x, y=, y= mëkat x dhe të tjerët
Për shembull, grafiku y= është me të vërtetë simetrik në lidhje me origjinën (shih Fig. 1):
Fig.1. G grafiku y= (parabolë kubike)
Përkufizimi: Funksioni thirretmadje , nëse gjatë ndryshimit të shenjës së argumentit, ajonuk ndryshon kuptimi i saj, d.m.th. f (x)= f (x).
Grafiku i një funksioni çift është simetrik në lidhje me boshtin op-amp.
Shembuj : funksionet çift janë funksione y=, y= ,
y= cosx dhe etj.
Për shembull, le të tregojmë simetrinë e grafikut y= në lidhje me boshtin op-amp:
Fig.2. Grafiku =
Detyrat për punë praktike:
№1. Hulumtoni funksionin për çift ose tek në mënyrë analitike:
1) f (x) = 2 x 3 – 3; 2) f (x) = 5 x 2 + 3;
3) g (x) = – +; 4) g (x) = –2 x 3 + 3;
5) y(x)= 7xc tgx; 6) y(x)= + cosx;
7) t(x)= tgx 3; 8) t(x)= + mëkatx.
№2. Hulumtoni funksionin për çift ose tek në mënyrë analitike:
1) f (x) = ; 2) f (x) = 6 + · mëkat 2 x· cosx;
3) f (x) = ; 4) f (x) = 2 + · cos 2 x· mëkatx;
5) f (x) = ; 6) f (x) = 3 + · mëkat 4 x· cosx;
7) f (x) = ; 8) f (x) = 3 + · cos 4 x· mëkatx.
№3. Shqyrtoni funksionin për çift ose tek sipas grafikut:
№4. Kontrolloni nëse funksioni është çift apo tek?
Udhëzimet
Mos harroni se një funksion është një varësi e ndryshores Y nga ndryshorja X në mënyrë që çdo vlerë e ndryshores X t'i korrespondojë një vlere të vetme të ndryshores Y.
Variabla X është variabla ose argument i pavarur. Ndryshorja Y është ndryshorja e varur. Besohet gjithashtu se ndryshorja Y është një funksion i ndryshores X. Vlerat e funksionit janë të barabarta me vlerat e ndryshores së varur.
Për qartësi, shkruani shprehjet. Nëse varësia e ndryshores Y nga ndryshorja X është funksion, atëherë shkruhet kështu: y=f(x). (Lexoni: y është e barabartë me f të x.) Përdorni simbolin f(x) për të treguar vlerën e funksionit që korrespondon me vlerën e argumentit të barabartë me x.
Studimi i funksionit në barazi ose i çuditshëm- një nga hapat e algoritmit të përgjithshëm për studimin e një funksioni, i nevojshëm për ndërtimin e një grafiku të funksionit dhe studimin e vetive të tij. Në këtë hap, duhet të përcaktoni nëse funksioni është çift apo tek. Nëse një funksion nuk mund të thuhet se është çift ose tek, atëherë thuhet se është një funksion i formës së përgjithshme.
Udhëzimet
Zëvendësoni argumentin x (-x) dhe shikoni se çfarë merrni. Krahaso me funksionin origjinal y(x). Nëse y(-x)=y(x), kemi një funksion çift. Nëse y(-x)=-y(x), kemi një funksion tek. Nëse y(-x) nuk është e barabartë me y(x) dhe nuk është e barabartë me -y(x), kemi një funksion të formës së përgjithshme.
Të gjitha veprimet me një funksion mund të kryhen vetëm në grupin ku është përcaktuar. Prandaj, kur studiohet një funksion dhe ndërtohet grafiku i tij, rolin e parë e luan gjetja e fushës së përkufizimit.
Udhëzimet
Nëse funksioni është y=g(x)/f(x), zgjidhni f(x)≠0 sepse emëruesi i thyesës nuk mund të jetë zero. Për shembull, y=(x+2)/(x−4), x−4≠0. Kjo do të thotë, domeni i përkufizimit do të jetë bashkësia (-∞; 4)∪(4; +∞).
Kur një rrënjë çift është e pranishme në përkufizimin e një funksioni, zgjidhni pabarazinë ku vlera është më e madhe ose e barabartë me zero. Një rrënjë çift mund të merret vetëm nga një numër jo negativ. Për shembull, y=√(x−2), x−2≥0. Atëherë domeni i përkufizimit është bashkësia, domethënë nëse y=arcsin(f(x)) ose y=arccos(f(x)), ju duhet të zgjidhni pabarazinë e dyfishtë -1≤f(x)≤1. Për shembull, y=arccos(x+2), -1≤x+2≤1. Fusha e përkufizimit do të jetë segmenti [-3; -1].
Së fundi, nëse jepet një kombinim i funksioneve të ndryshme, atëherë fusha e përkufizimit është kryqëzimi i domeneve të përkufizimit të të gjitha këtyre funksioneve. Për shembull, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+log(x−6). Së pari, gjeni domenin e përkufizimit të të gjithë termave. Sin(2*x) përcaktohet në të gjithë vijën numerike. Për funksionin x/√(x+2), zgjidhni pabarazinë x+2>0 dhe domeni i përkufizimit do të jetë (-2; +∞). Domeni i përkufizimit të funksionit arcsin(x−6) jepet nga pabarazia e dyfishtë -1≤x-6≤1, pra, merret segmenti. Për logaritmin vlen pabarazia x−6>0, dhe ky është intervali (6; +∞). Kështu, domeni i përkufizimit të funksionit do të jetë bashkësia (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), pra (6; 7].
Video mbi temën
Burimet:
- domeni i një funksioni me logaritëm
Një funksion është një koncept që pasqyron marrëdhëniet midis elementeve të grupeve, ose me fjalë të tjera, është një "ligj" sipas të cilit çdo element i një grupi (i quajtur domeni i përkufizimit) shoqërohet me një element të një grupi tjetër (i quajtur fusha e vlerave).
