Shumëkëndëshat e rregullt quhen shumëkëndësha konveks, të gjitha fytyrat e të cilave janë shumëkëndësha të rregullt identikë dhe i njëjti numër fytyrash konvergojnë në secilën kulm. Të tilla poliedra quhen edhe trupa të ngurtë platonike.
Ekzistojnë vetëm pesë poliedra të rregullta:
|
Imazhi |
Lloji i poliedrit të rregullt |
Numri i anëve në një fytyrë |
Numri i skajeve ngjitur me një kulm |
Numri total i kulmeve |
Numri total i skajeve |
Numri total i fytyrave |
|
Tetrahedron |
||||||
|
Heksahedron ose kub |
||||||
|
Dodekahedron |
||||||
|
Ikozaedri |
Emri i çdo poliedri vjen nga emri grek për numrin e fytyrave të tij dhe fjalën "fytyrë".
Tetrahedron
Një katërkëndor (greqisht fefsbedspn - tetrahedron) është një shumëfaqësh me katër faqe trekëndore, në secilën nga kulmet e të cilave takohen 3 faqe. Një katërkëndor ka 4 faqe, 4 kulme dhe 6 skaje.
Vetitë e katërkëndëshit
Planet paralele që kalojnë nëpër çifte skajesh të kryqëzuara të tetraedrit përcaktojnë paralelipipedin e përshkruar rreth tetraedrit.
Segmenti që lidh kulmin e një tetraedri me pikën e kryqëzimit të medianeve të faqes së kundërt quhet mediana e tij, e lënë jashtë nga kjo kulm.
Segmenti që lidh mesin e skajeve të kryqëzuara të një katërkëndëshi quhet bimedian i tij që lidh këto skaje.
Një segment që lidh një kulm me një pikë në faqen e kundërt dhe pingul me këtë faqe quhet lartësia e tij, e hequr nga kulmi i dhënë.
Teorema. Të gjitha medianat dhe bimedianet e një tetraedri kryqëzohen në një pikë. Kjo pikë i ndan medianat në një raport 3:1, duke llogaritur nga maja. Kjo pikë i ndan bimediat në gjysmë.
Theksoj:
- · një katërkëndësh izohedral, në të cilin të gjitha faqet janë trekëndësha të barabartë;
- · një tetraedron ortocentrik në të cilin të gjitha lartësitë që zbresin nga kulmet në faqet e kundërta kryqëzohen në një pikë;
- · një katërkëndësh drejtkëndëshe në të cilin të gjitha skajet ngjitur me njërën nga kulmet janë pingul me njëra-tjetrën;
- · katërkëndësh i rregullt, të gjitha faqet e të cilit janë trekëndësha barabrinjës;
- · Tetrahedron i kornizës - një katërkëndor që plotëson cilindo nga kushtet:
- · Ka një sferë që prek të gjitha skajet.
- · Shumat e gjatësive të skajeve të kryqëzuara janë të barabarta.
- · Shumat e këndeve dihedrale në skajet e kundërta janë të barabarta.
- · Rrathët e gdhendur në fytyra preken në çift.
- · Janë përshkruar të gjithë katërkëndëshat që rezultojnë nga zhvillimi i një katërkëndëshi.
- · Perpendikularët, të rikthyer në faqet nga qendrat e rrathëve të gdhendur në to, kryqëzohen në një pikë.
- · një tetraedron proporcional, të gjitha dylartësitë e të cilit janë të barabarta;
- · një tetraedron incentric, në të cilin segmentet që lidhin kulmet e katërkëndëshit me qendrat e rrathëve të gdhendura në faqe të kundërta kryqëzohen në një pikë.
Një kub ose gjashtëkëndor i rregullt është një shumëfaqësh i rregullt, secila faqe e të cilit është një katror. Një rast i veçantë i një paralelipipedi dhe një prizmi.
Vetitë e kubit
- · Katër seksionet e kubit janë gjashtëkëndësha të rregullt - këto seksione kalojnë përmes qendrës së kubit pingul me katër diagonalet e tij kryesore.
- · Ju mund të vendosni një tetraedron në një kub në dy mënyra. Në të dyja rastet, katër kulmet e katërkëndëshit do të përputhen me katër kulmet e kubit dhe të gjashtë skajet e tetraedrit do t'i përkasin faqeve të kubit. Në rastin e parë, të gjitha kulmet e tetraedrit i përkasin faqeve të një këndi trekëndor, kulmi i të cilit përkon me një nga kulmet e kubit. Në rastin e dytë, skajet e kryqëzimit në çift të tetraedrit i përkasin fytyrave të kundërta në çift të kubit. Ky katërkëndor është i rregullt.
- · Ju mund të vendosni një tetëkëndësh në një kub dhe të gjashtë kulmet e tetëkëndëshit do të përputhen me qendrat e gjashtë faqeve të kubit.
- · Një kub mund të futet në një tetëedron dhe të tetë kulmet e kubit do të vendosen në qendrat e tetë faqeve të tetëkëndëshit.
- · Një ikozaedron mund të futet në një kub, ndërsa gjashtë skajet paralele reciproke të ikozaedrit do të vendosen përkatësisht në gjashtë faqet e kubit, 24 skajet e mbetura do të vendosen brenda kubit. Të dymbëdhjetë kulmet e ikozaedrit do të shtrihen në gjashtë faqet e kubit.
Diagonalja e një kubi është një segment që lidh dy kulme që janë simetrike rreth qendrës së kubit. Diagonalja e një kubi gjendet me formulë
shumëkëndësh ikozaedron oktaedron dodekaedron
ku d është diagonalja dhe është skaji i kubit.
Tetëkëndësh
Oktaedri (greqisht pkfedspn, nga greqishtja pkfyu, "tetë" dhe greqishtja Edsb - "bazë") është një nga pesë poliedrat e rregullt konveks, të ashtuquajturat trupa të ngurtë platonike.
Oktaedri ka 8 faqe trekëndore, 12 skaje, 6 kulme dhe 4 skaje konvergojnë në secilën kulm.
Nëse gjatësia e një skaji tetëedroni është e barabartë me a, atëherë sipërfaqja e sipërfaqes totale të saj (S) dhe vëllimi i tetëkëndëshit (V) llogariten duke përdorur formulat:
Rrezja e një sfere të rrethuar rreth një oktaedri është e barabartë me:
Rrezja e një sfere të gdhendur në një oktaedron mund të llogaritet duke përdorur formulën:
Një oktaedron i rregullt ka simetri Oh, e cila përkon me simetrinë e një kubi.
Oktaedri ka një formë të vetme ylli. Oktaedri u zbulua nga Leonardo da Vinci, më pas u rizbulua pothuajse 100 vjet më vonë nga Johannes Kepler, dhe ai e quajti Stella octangula - një yll tetëkëndor. Prandaj kjo formë ka emrin e dytë "Stella octangula e Keplerit".
Në thelb, është një kombinim i dy tetraedroneve
Dodekahedron
Dodekahedron (nga greqishtja dudekb - dymbëdhjetë dhe edspn - faqe), dodekahedron - një shumëkëndësh i rregullt i përbërë nga dymbëdhjetë pesëkëndësha të rregullt. Çdo kulm i dodekaedrit është kulmi i tre pesëkëndëshave të rregullt.
Kështu, dodekahedroni ka 12 faqe (pentagonale), 30 skaje dhe 20 kulme (3 skaje konvergojnë në secilën). Shuma e këndeve të rrafshët në secilën nga 20 kulmet është 324°.
Dodekaedri ka 3 forma yjore: dodekaedri i vogël yjor, dodekaedri i madh, dodekaedri i madh yjor (dodekaedri yjor, forma përfundimtare). Dy të parat prej tyre u zbuluan nga Kepleri (1619), i treti nga Poinsot (1809). Ndryshe nga oktaedri, ndonjë nga format yjore të dodekaedrit nuk është një kombinim i trupave të ngurtë platonike, por formon një shumëfaqësh të ri.
Të 3 format yjore të dodekaedrit, së bashku me ikozaedrin e madh, formojnë familjen e trupave të ngurtë Kepler-Poinsot, domethënë shumëkëndëshat e rregullt jo-konveks (yjor).
Fytyrat e dodekaedronit të madh janë pesëkëndësha, të cilët takohen pesë në çdo kulm. Dodekaedronët e vegjël yjor dhe të mëdhenj me yje kanë fytyra yjesh me pesë cepa (pentagramë), të cilët në rastin e parë konvergojnë në 5, dhe në të dytin në 3. Kulmet e dodekaedronit të madh yjor përkojnë me kulmet e dodekaedrit të përshkruar. Çdo kulm ka tre fytyra të lidhura.
Formulat bazë:
Nëse marrim a të jetë gjatësia e skajit, atëherë sipërfaqja e dodekaedrit është:
Vëllimi i dodekaedrit:
Rrezja e sferës së përshkruar:
Rrezja e sferës së brendashkruar:
Elementet e simetrisë së dodekaedrit:
· Dodekahedroni ka një qendër simetrie dhe 15 boshte simetrie.
Secili prej boshteve kalon nëpër mes pikave të skajeve paralele të kundërta.
· Dodekahedroni ka 15 rrafshe simetrie. Secili prej rrafsheve të simetrisë kalon në secilën faqe përmes majës dhe mesit të skajit të kundërt.
Ikozaedri
Ikozaedri (nga greqishtja ekpubt - njëzet; -edspn - fytyra, fytyra, baza) është një shumëfaqësh i rregullt konveks, njëzet-hedron, një nga trupat e ngurtë platonike. Secila nga 20 faqet është një trekëndësh barabrinjës. Numri i skajeve është 30, numri i kulmeve është 12.
Sipërfaqja S, vëllimi V i një ikozaedri me gjatësi buzë a, si dhe rrezet e sferave të brendashkruara dhe të rrethuara llogariten duke përdorur formulat:
rrezja e sferës së brendashkruar:
rrezja e sferës së kufizuar:
Vetitë
- · Ikozaedroni mund të futet në një kub, në këtë rast, gjashtë skajet reciproke pingule të ikozaedrit do të vendosen përkatësisht në gjashtë faqet e kubit, 24 skajet e mbetura brenda kubit, të dymbëdhjetë kulmet e ikozaedronit do të shtrihen në gjashtë fytyrat e kubit.
- · Një katërkëndor mund të futet në një ikozaedron, për më tepër, katër kulmet e tetraedrit do të kombinohen me katër kulmet e ikozaedrit.
- · Një ikozaedron mund të futet në një dodekaedron, me kulmet e ikozaedrit të lidhura me qendrat e faqeve të dodekaedronit.
- · Një dodekaedron mund të futet në një ikozaedron duke kombinuar kulmet e dodekaedrit dhe qendrat e faqeve të ikozaedrit.
- · Një ikozaedron i cunguar mund të merret duke prerë 12 kulme për të formuar faqe në formën e pesëkëndëshave të rregullt. Në këtë rast, numri i kulmeve të poliedrit të ri rritet 5 herë (12?5=60), 20 faqe trekëndore kthehen në gjashtëkëndësha të rregullt (numri i përgjithshëm i faqeve bëhet 20+12=32), dhe numri i skajeve rritet. në 30+12?5=90.
Ikozaedri ka 59 forma yjore, nga të cilat 32 kanë simetri ikozaedrale të plotë dhe 27 jo të plota. Një nga këto yje (e 20-ta, Wenninger mod. 41), e quajtur ikozaedroni i madh, është një nga katër yjet e rregullta Kepler-Poinsot. Fytyrat e tij janë trekëndësha të rregullt, të cilët takohen në çdo kulm në pesë; Kjo veti është e përbashkët për ikozaedrin e madh me ikozaedrin.
Ndër format yjore dallohen edhe: një lidhje e pesë tetraedronëve, një lidhje e pesë katërkëndëshave, një lidhje e dhjetë tetraedrave.
Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com
Titrat e rrëshqitjes:
Polyedra. Kulmet, skajet, faqet e një poliedri. TEOREMA E EULERIT. Klasa e 10-të Përfundoi: Kaygorodova S.V.
Një shumëkëndësh quhet i rregullt nëse të gjitha faqet e tij janë shumëkëndësha të rregullt dhe të gjitha këndet shumëkëndëshe në kulmet e tij janë të barabarta.
Pesë poliedra të mahnitshme kanë qenë të njohura për njeriun që nga kohërat e lashta.
Në bazë të numrit të fytyrave ato quhen katërkëndësh të rregullt.
gjashtëkëndësh (gjashtëkëndësh) ose kub
oktaedrin (oktaedrin)
dodekahedron (dodekahedron)
ikozaedron (njëzet e njëzet)
Zhvillimet e poliedrave të rregullt
Sfondi historik Katër esenca të natyrës ishin të njohura për njerëzimin: zjarri, uji, toka dhe ajri. Sipas Platonit, atomet e tyre kishin formën e poliedrave të rregullta, filozofi i madh i lashtë grek, Platoni, i cili jetoi në shekujt IV-V. BC, besonte se këto trupa personifikojnë thelbin e natyrës.
atomi i zjarrit kishte formën e një katërkëndëshi, toka - një gjashtëkëndor (kub) ajri - një tetëkëndor uji - një ikozaedron
Por mbeti një dodekahedron, i cili nuk kishte asnjë korrespondencë, sugjeroi se ekzistonte një entitet tjetër (i pestë). Ai e quajti atë botë eter. Atomet e kësaj esence të pestë kishin formën e një dodekaedri. Platoni dhe studentët e tij i kushtuan vëmendje të madhe poliedrave të listuara në veprat e tyre. Prandaj, këto poliedra quhen edhe trupa të ngurtë platonike.
Për çdo shumëkëndësh konveks është i vërtetë relacioni: Г+В-Р=2, ku Г është numri i faqeve, В është numri i kulmeve, Р është numri i skajeve të shumëfaqëshit të dhënë. Fytyrat + Kulmet - Skajet = 2. Teorema e Euler-it
Karakteristikat e poliedrit të rregullt Numri i anëve të një faqeje Numri i fytyrave që takohen në secilën kulm Numri i faqeve (G) Numri i skajeve (P) Numri i kulmeve (V) Tetraedri 3 3 4 6 4 Gjashtëkëndor 4 3 6 12 8 Tetëkëndësh 4 8 12 6 Ikozaedron 3 5 20 30 12 Dodekaedron 5 3 12 30 20
Dualiteti i poliedrit të rregullt Gjashtëkëndëshi (kubi) dhe tetëkëndëshi formojnë një çift të dyfishtë poliedrash. Numri i faqeve të një poliedri është i barabartë me numrin e kulmeve të një tjetri dhe anasjelltas.
Le të marrim çdo kub dhe të shqyrtojmë një shumëkëndësh me kulme në qendrat e faqeve të tij. Siç mund ta shihni lehtësisht, ne kemi një tetëkëndësh.
Qendrat e faqeve të oktaedrit shërbejnë si kulme të kubit.
Sulfati i natriumit të antimonit është një tetraedron. Polyedra në natyrë, kimi dhe biologji Kristalet e disa substancave të njohura për ne kanë formën e poliedrave të rregullt. Kristali i piritit është një model natyral dodekaedron. Kristalet e kripës së tryezës japin formën e një kubi. Kristali i vetëm i aluminit alumin-kalium ka formën e një tetëedri. Kristal (prizëm) Ikozaedri është bërë fokusi i vëmendjes së biologëve në mosmarrëveshjet e tyre në lidhje me formën e viruseve. Virusi nuk mund të jetë krejtësisht i rrumbullakët, siç mendohej më parë. Për të vendosur formën e tij, ata morën poliedra të ndryshëm dhe drejtuan dritën drejt tyre në të njëjtat kënde si rrjedha e atomeve në virus. Doli se vetëm një poliedron jep saktësisht të njëjtën hije - ikozaedroni. Gjatë procesit të ndarjes së vezëve, fillimisht formohet një tetraedron me katër qeliza, më pas një oktaedron, një kub dhe, në fund, një strukturë gastrole dodekaedra-ikozaedrale. Dhe së fundi, ndoshta më e rëndësishmja, struktura e ADN-së e kodit gjenetik të jetës është një zhvillim katërdimensional (përgjatë boshtit kohor) i një dodekaedri rrotullues! Molekula e metanit ka formën e një tetraedri të rregullt.
Polyhedra në artin "Portreti i Monna Lizës" Përbërja e figurës bazohet në trekëndësha të artë, të cilët janë pjesë e një pesëkëndëshi të rregullt në formë ylli. gdhendje “Melankolia” Në plan të parë të tablosë është një dodekahedron. "Darka e Fundit" Krishti dhe dishepujt e tij përshkruhen në sfondin e një dodekaedri të madh transparent.
Polyhedra në arkitekturë Muzeu i frutave Yamanashi u krijua duke përdorur modelimin 3D. Kulla Spasskaya me katër nivele me Kishën e Shpëtimtarit që nuk është bërë nga duart është hyrja kryesore në Kremlinin Kazan. Ajo u ngrit në shekullin e 16-të nga arkitektët Pskov Ivan Shiryai dhe Postnik Yakovlev, me nofkën "Barma". Katër nivelet e kullës janë një kub, poliedra dhe një piramidë. Kulla Spasskaya e Kremlinit. Piramidat e Farave të Aleksandrisë Muzetë e frutave
Fatkeqësisht, gjeometria sferike dhe gjeometria Lobachevsky nuk studiohen në kurrikulën shkollore. Ndërkohë, studimi i tyre së bashku me gjeometrinë Euklidiane na lejon të kuptojmë më mirë se çfarë po ndodh me objektet. Për shembull, kuptoni lidhjen e poliedrave të rregullt me ndarjet e sferës, ndarjet e rrafshit Euklidian dhe ndarjet e rrafshit Lobachevsky.
Njohja e gjeometrisë së hapësirave me lakim konstante ndihmon për t'u ngritur mbi tre dimensione dhe për të identifikuar poliedrat në hapësirat e dimensionit 4 dhe më të lartë. Çështjet e gjetjes së shumëkëndëshave, gjetja e ndarjeve të hapësirave me lakim konstante, nxjerrja e formulës për këndin dihedral të një poliedri të rregullt në hapësirën n-dimensionale janë aq të ndërthurura sa që doli të ishte problematike përfshirja e gjithë kësaj në titullin e artikull. Le të jetë fokusi në poliedra të rregullta, të kuptueshme për të gjithë, megjithëse ato nuk janë vetëm rezultat i të gjitha përfundimeve, por edhe, në të njëjtën kohë, një mjet për të kuptuar hapësirat me përmasa më të larta dhe hapësira të lakuara në mënyrë uniforme.
Për ata që nuk e dinë (harruan), informoj (kujtoj) se në hapësirën tredimensionale Euklidiane me të cilën jemi mësuar, ekzistojnë vetëm pesë poliedra të rregullta:
| 1. Tetrahedron: | 2. Kubi: | 3. Tetëkëndësh: | 4. Dodekahedron: | 5. Ikozaedroni: |
 |
 |
 |
 |
Në hapësirën tredimensionale, një shumëfaqësh i rregullt është një shumëfaqësh konveks në të cilin të gjitha kulmet janë të barabarta me njëra-tjetrën, të gjitha skajet janë të barabarta me njëra-tjetrën, të gjitha faqet janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe faqet janë shumëkëndësha të rregullt.
Një shumëkëndësh i rregullt është një shumëkëndësh konveks në të cilin të gjitha anët janë të barabarta dhe të gjitha këndet janë të barabarta.
Kulmet janë të barabarta me njëra-tjetrën do të thotë se numri i skajeve dhe numri i faqeve që i afrohen çdo kulmi janë të njëjta dhe afrohen në të njëjtat kënde në secilën kulm.
Në këtë shënim, poliedra jonë do të marrë përcaktimet e mëposhtme:
1. Tetrahedron (3, 3),
2. Kub (4, 3),
3. Tetëkëndësh (3, 4),
4. Dodekahedron (5, 3),
5. Ikozaedroni (3, 5)
Për shembull, (4, 3) - një kub ka 4 faqe qoshe, dhe 3 fytyra të tilla takohen në secilën kulm.
Oktaedri (3, 4), përkundrazi, ka 3 faqe karboni, 4 prej të cilave konvergojnë në kulm.
Kështu, simboli Schläfli përcakton plotësisht strukturën kombinuese të poliedrit.
Pse ka vetëm 5 poliedra të rregullta? Ndoshta ka më shumë prej tyre?
Për t'iu përgjigjur plotësisht kësaj pyetjeje, së pari duhet të merrni një kuptim intuitiv të gjeometrisë në sferë dhe në rrafshin Lobachevsky. Për ata që nuk e kanë ende një ide të tillë, do të përpiqem të jap shpjegimet e nevojshme.
Sferë
1. Çfarë është një pikë në një sferë? Unë mendoj se është intuitivisht e qartë për të gjithë. Nuk është e vështirë të imagjinohet mendërisht një pikë në një sferë.
2. Çfarë është një segment në një sferë? Marrim dy pika dhe i lidhim me distancën më të shkurtër në sferë, marrim një hark nëse e shikojmë sferën nga ana;
3. Nëse vazhdoni këtë segment në të dy drejtimet, ai do të mbyllet dhe do të merrni një rreth. Në këtë rast, rrafshi i rrethit përmban qendrën e sferës, kjo rrjedh nga fakti se ne i lidhëm dy pikat e fillimit me distancën më të shkurtër dhe jo arbitrare. Nga ana duket si një rreth, por për nga gjeometria sferike është një vijë e drejtë, pasi është marrë nga një segment, i shtrirë në pafundësi në të dy drejtimet.
4. Dhe së fundi, çfarë është një trekëndësh në një sferë? Marrim tre pika në sferë dhe i lidhim me segmente.
Për analogji me një trekëndësh, mund të vizatoni një shumëkëndësh arbitrar në një sferë. Për ne, vetia e një trekëndëshi sferik është thelbësisht e rëndësishme, domethënë që shuma e këndeve të një trekëndëshi të tillë është më e madhe se 180 gradë, gjë që jemi mësuar në trekëndëshin Euklidian. Për më tepër, shuma e këndeve të dy trekëndëshave të ndryshëm sferikë është e ndryshme. Sa më i madh të jetë trekëndëshi, aq më e LARTË është shuma e këndeve të tij.
Prandaj, shenja e 4-të e barazisë së trekëndëshave në një sferë shfaqet - në tre kënde: dy trekëndësha sferikë janë të barabartë me njëri-tjetrin nëse këndet e tyre përkatëse janë të barabarta.
Për thjeshtësi, është më e lehtë të mos vizatoni vetë sferën, atëherë trekëndëshi do të duket pak i fryrë:
Një sferë quhet gjithashtu një hapësirë e lakimit pozitiv konstant. Lakimi i hapësirës çon saktësisht në faktin se distanca më e shkurtër është një hark, dhe jo segmenti i drejtëz me të cilin jemi mësuar. Segmenti duket se është i përkulur.
Lobachevsky
Tani që jemi njohur me gjeometrinë e sferës, nuk do të jetë e vështirë të kuptojmë gjeometrinë në rrafshin hiperbolik, të zbuluar nga shkencëtari i madh rus Nikolai Ivanovich Lobachevsky, pasi gjithçka ndodh këtu në mënyrë të ngjashme me sferën, vetëm "brenda jashtë". ”, “në të kundërt”. Nëse vizatuam harqe në një sferë në rrathë me një qendër brenda sferës, tani harqet duhet të vizatohen në rrathë me një qendër jashtë sferës.Le të fillojmë. Ne do të përfaqësojmë rrafshin Lobachevsky në interpretimin e Poincare II (Jules Henri Poincaré, shkencëtari i madh francez), ky interpretim i gjeometrisë Lobachevsky quhet edhe disku Poincare.
1. Pika në aeroplanin Lobachevsky. Periudha - është një pikë edhe në Afrikë.
2. Një segment në aeroplanin Lobachevsky. Ne lidhim dy pika me një vijë përgjatë distancës më të shkurtër në kuptimin e aeroplanit Lobachevsky.
Distanca më e shkurtër është ndërtuar si më poshtë:
Është e nevojshme të vizatoni një rreth ortogonal në diskun Poincare përmes dy pikave të dhëna (Z dhe V në figurë). Qendra e këtij rrethi do të jetë gjithmonë jashtë diskut. Harku që lidh dy pikat origjinale do të jetë distanca më e shkurtër në kuptimin e aeroplanit Lobachevsky.
3. Duke hequr harqet ndihmëse, marrim vijën e drejtë E1 - H1 në rrafshin Lobachevsky.
Pikat E1, H1 "shtrihen" në pafundësinë e rrafshit Lobachevsky në përgjithësi, skaji i diskut të Poincare është të gjitha pikat pafundësisht të largëta të rrafshit Lobachevsky;
4. Dhe së fundi, çfarë është një trekëndësh në rrafshin Lobachevsky? Marrim tre pika dhe i lidhim me segmente.
Për analogji me një trekëndësh, mund të vizatoni një shumëkëndësh arbitrar në rrafshin Lobachevsky. Për ne, vetia e një trekëndëshi hiperbolik është thelbësisht e rëndësishme, domethënë që shuma e këndeve të një trekëndëshi të tillë është gjithmonë më pak se 180 gradë, gjë që jemi mësuar në trekëndëshin Euklidian. Për më tepër, shuma e këndeve të dy trekëndëshave të ndryshëm hiperbolikë është e ndryshme. Sa më i madh të jetë trekëndëshi në sipërfaqe, aq më e vogël është shuma e këndeve të tij.
Prandaj, shenja e 4-të e barazisë së trekëndëshave hiperbolikë gjithashtu ndodh këtu - nga tre kënde: dy trekëndësha hiperbolikë janë të barabartë me njëri-tjetrin nëse këndet e tyre përkatëse janë të barabarta.
Për thjeshtësi, vetë disku Poincaré ndonjëherë nuk mund të vizatohet, atëherë trekëndëshi do të duket pak "i tkurrur", "i shfryrë":
Rrafshi Lobachevsky (dhe në përgjithësi hapësira Lobachevsky e çdo dimensioni) quhet edhe hapësira e lakimit NEGATIVE konstante. Lakimi i hapësirës çon saktësisht në faktin se distanca më e shkurtër është një hark, dhe jo segmenti i drejtëz me të cilin jemi mësuar. Segmenti duket se është i përkulur.
Ndarje të rregullta të një sfere dy-dimensionale dhe poliedra të rregullta tre-dimensionale
Gjithçka që thuhet për sferën dhe rrafshin Lobachevsky i referohet dydimensionalitetit, d.m.th. Sipërfaqja e një sfere është dydimensionale. Çfarë lidhje ka kjo me tredimensionalitetin e treguar në titullin e artikullit? Rezulton se çdo poliedri i rregullt tredimensional Euklidian ka një korrespondencë një-për-një me ndarjen e tij të sferës dydimensionale. Kjo shihet më së miri në figurë:
Për të marrë një ndarje të një sfere nga një shumëfaqësh i rregullt, duhet të përshkruani një sferë rreth poliedrit. Kulmet e poliedronit do të shfaqen në sipërfaqen e sferës, duke i lidhur këto pika me segmente në sferë (harqe), marrim një ndarje të sferës dy-dimensionale në shumëkëndësha të rregullt sferikë. Si shembull, u bë një demonstrim video se si ikozaedroni korrespondon me ndarjen e një sfere në trekëndësha sferikë dhe anasjelltas, se si ndarja e një sfere në trekëndësha sferikë që konvergojnë në pesë në kulm korrespondon me ikozaedrin.
Për të ndërtuar një shumëfaqësh nga një ndarje e një sfere, kulmet e ndarjes që korrespondojnë me harqet duhet të lidhen me segmente të zakonshme, drejtvizore, Euklidiane.
Prandaj, simboli Schläfli i ikozaedrit (3, 5) - trekëndëshat që konvergojnë pesë në një kulm - specifikon jo vetëm strukturën e këtij poliedri, por edhe strukturën e ndarjes së një sfere dydimensionale. Ngjashëm me politopet e tjerë, simbolet e tyre Schläfli përcaktojnë gjithashtu strukturën e ndarjeve përkatëse. Për më tepër, ndarjet e rrafshit Euklidian dhe rrafshit Lobachevsky në shumëkëndësha të rregullt mund të specifikohen gjithashtu nga simboli Schläfli. Për shembull, (4, 4) - katërkëndëshat që konvergojnë në katërshe - kjo është fletorja në katror me të cilën të gjithë jemi njohur, d.m.th. Kjo është një ndarje e rrafshit Euklidian në katrorë. A ka ndarje të tjera të rrafshit Euklidian? Do të shohim më tej.
Ndërtimi i ndarjeve të një sfere dydimensionale, rrafshi Euklidian dhe rrafshi Lobachevsky
Për të ndërtuar ndarje të hapësirave dydimensionale me lakim konstante (ky është emri i përgjithshëm i këtyre tre hapësirave), na duhet gjeometria e shkollës fillore dhe njohuri që shuma e këndeve të një trekëndëshi sferik është më e madhe se 180 gradë (më e madhe se Pi) , që shuma e këndeve të një trekëndëshi hiperbolik është më e vogël se 180 gradë (më pak se Pi) dhe Cili është simboli Schläfli? E gjithë kjo tashmë është thënë më lart.Pra, le të marrim një simbol arbitrar Schläfli (p1, p2), ai specifikon një ndarje të një prej tre hapësirave me lakim konstante (për një plan kjo është e vërtetë, për hapësirat me dimensione më të larta situata është më e ndërlikuar, por asgjë nuk na pengon duke eksploruar të gjitha kombinimet e simbolit).
Le të shqyrtojmë një katror të rregullt p1 dhe të vizatojmë segmente që lidhin qendrën dhe kulmet e tij. Marrim pjesë p1 të trekëndëshave izosceles (vetëm një trekëndësh i tillë është paraqitur në figurë). Ne e shënojmë shumën e këndeve të secilit prej këtyre trekëndëshave si t dhe shprehim t në terma pi dhe koeficientin lambda.
Atëherë nëse lambda = 1, atëherë trekëndëshi Euklidian, d.m.th. është në rrafshin Euklidian, nëse lambda është në intervalin (1, 3), atëherë kjo do të thotë se shuma e këndeve është më e madhe se pi dhe kjo do të thotë se ky trekëndësh është sferik (nuk është e vështirë të imagjinohet se kur rritet një trekëndëshi sferik në kufi, fitohet një rreth me tre pika në të, në secilën pikë këndi i trekëndëshit është i barabartë me pi, dhe totali është 3*pi Kjo shpjegon kufirin e sipërm të intervalit = 3. Nëse lambda është në intervalin (0, 1), atëherë trekëndëshi është hiperbolik, pasi shuma e këndeve të tij është më e vogël se pi (d.m.th. më pak se 180 gradë). Shkurtimisht mund të shkruhet kështu:
Nga ana tjetër, për konvergjencën në kulmin e pjesëve p2 (d.m.th., një numër i plotë) të shumëkëndëshave të njëjtë, është e nevojshme që
Barazimi i shprehjeve për 2*betta të gjetura nga kushti i konvergjencës dhe nga shumëkëndëshi:
Ne kemi marrë një ekuacion që tregon se cila nga tre hapësirat ndahet me figurën e dhënë nga simboli i tij Schläfli (p1, p2). Për të zgjidhur këtë ekuacion, duhet të kujtojmë gjithashtu se p1, p2 janë numra të plotë më të mëdhenj ose të barabartë me 3. Kjo, si të thuash, rrjedh nga kuptimi i tyre fizik, pasi këto janë kënde p1 (të paktën 3 kënde) që konvergojnë përgjatë pjesëve p2 në kulmin (gjithashtu jo më pak se 3, përndryshe nuk do të jetë kulm).
Zgjidhja e këtij ekuacioni është të numërohen të gjitha vlerat e mundshme për p1, p2 më të mëdha se ose të barabarta me 3 dhe të llogaritet vlera lambda. Nëse rezulton të jetë e barabartë me 1, atëherë (p1, p2) ndan rrafshin Euklidian, nëse është më i madh se 1 por më i vogël se 3, atëherë kjo është një ndarje e Sferës, nëse nga 0 në 1, atëherë kjo është një ndarje e aeroplanit Lobachevsky. Është e përshtatshme për të përmbledhur të gjitha këto llogaritje në një tabelë.
Nga ku shihet se:
1. Sfera korrespondon me vetëm 5 zgjidhje kur lamda është më e madhe se 1 dhe më e vogël se 3, ato theksohen me ngjyrë të gjelbër në tabelë. Këto janë: (3, 3) - katërkëndësh, (3, 4) - tetëedron, (3, 5) - ikozaedron, (4, 3) - kub, (5, 3) - dodekaedron. Fotografitë e tyre u prezantuan në fillim të artikullit.
2. Ndarjet e rrafshit Euklidian korrespondojnë me vetëm tre zgjidhje, kur lambda = 1, ato theksohen me blu në tabelë. Kështu duken këto ndarje.
3. Dhe së fundi, të gjitha kombinimet e tjera (p1, p2) korrespondojnë me ndarjet e rrafshit Lobachevsky, në përputhje me rrethanat, ekziston një numër i pafund (i numërueshëm) i ndarjeve të tilla; Mbetet vetëm për të ilustruar disa prej tyre, për shembull.
Rezultatet
Kështu, ka vetëm 5 poliedra të rregullta, ato korrespondojnë me pesë ndarje të sferës dy-dimensionale, ka vetëm 3 ndarje të rrafshit Euklidian dhe ka një numër të numërueshëm ndarjesh të rrafshit Lobachevsky.Cili është zbatimi i kësaj njohurie?
Ka njerëz që janë të interesuar drejtpërdrejt për ndarjet e një sfere.
Polyedron i rregullt Një shumëkëndësh quhet i tillë që të gjitha faqet e tij janë të barabarta dhe janë shumëkëndësha të rregullt të barabartë, të gjitha skajet dhe të gjitha kulmet janë gjithashtu të barabarta me njëra-tjetrën. Ndërsa ka ndonjë numër të shumëkëndëshave të rregullt, ka një numër të kufizuar poliedrash të rregullt.
Ashtu si shumëkëndëshat e rregullt fillojnë me një trekëndësh, ashtu edhe shumëkëndëshat e rregullt fillojnë me analogun e tij - katërkëndësh (d.m.th., në greqisht, tetrahedron). Ai ka numrin minimal të mundshëm të kulmeve dhe fytyrave - katër nga secila dhe gjashtë skaje (tre kulme qëndrojnë gjithmonë në të njëjtin plan; për një trup vëllimor, prandaj, nevojiten të paktën katër kulme; një vëllim i kufizuar në hapësirë nuk mund të kufizohet nga tre fytyra të sheshta). Në çdo kulm, tre faqe trekëndore dhe, në përputhje me rrethanat, tre skajet konvergojnë. Një tetraedron është një piramidë, dhe më i thjeshti është trekëndor (çdo piramidë përbëhet nga një bazë dhe faqe anësore; një piramidë quhet n-facete nëse ka n faqe anësore; është e lehtë të shihet se për një piramidë me n baza duhet të ketë në mënyrë të pashmangshme formën e një n-gon). Gjithçka që kemi thënë deri më tani për katërkëndëshin vlen për çdo katërkëndor, jo domosdoshmërisht atë të rregullt; faqet e një katërkëndëshi të rregullt janë trekëndësha të rregullt.
Ju jeni shumë të njohur me poliedrin e rregullt të mëposhtëm - ky është kubik. Nëse një tetraedron është në një kuptim të caktuar i ngjashëm me një trekëndësh, atëherë një kub është i ngjashëm me një katror. Një kub është një paralelipiped drejtkëndor me të gjitha faqet e tij katrore. Përpiquni, pa shikuar figurën, të kuptoni se sa faqe ka një kub (dhe, në fakt, çdo paralelipiped drejtkëndor), sa kulme, sa skaje dhe sa faqe dhe skaje konvergojnë në secilën kulm.
Një tjetër poliedron i rregullt ka tetëkëndësh (d.m.th. tetëkëndësh) - nuk ka analoge në botën e sheshtë, sepse duket pak si një trekëndësh dhe pak si një katror. Një oktaedron mund të bëhet nga dy piramida tetraedrale duke ngjitur bazat e tyre. Fytyrat e një oktaedri të rregullt janë trekëndësha të rregullt. Në secilën nga kulmet e tij, nuk takohen tre, si një katërkëndor dhe një kub, por katër fytyra. Për shembull, kristalet natyrale të diamantit kanë një formë oktaedri.
Oktaedri është i lidhur ngushtë me të ashtuquajturin kub pronë e reciprocitetit : qendrat e faqeve të një kubi janë kulmet e një tetëkëndëshi të rregullt, dhe qendrat e faqeve të një tetëkëndëshi të rregullt janë kulmet e një kubi. Nëse lidhni qendrat e faqeve ngjitur të një kubi me segmente, atëherë këto segmente do të bëhen skajet e oktaedrit; nëse bëni të njëjtin veprim me një tetëkëndësh, ju merrni një kub. Nga rruga, bazuar në këtë, është e qartë se numri i kulmeve të oktaedrit është i barabartë me numrin e faqeve të kubit, dhe anasjelltas; Për më tepër, numri i skajeve të tyre përputhet.
Tetrahedroni lidhet me vetveten nga vetia e reciprocitetit
A është e mundur të formulohet ndonjë analog i vetive të reciprocitetit për shumëkëndëshat e rregullt?
Nga rruga, tetrahedron është gjithashtu i lidhur me kubin. Domethënë, nëse zgjidhni katër kulme të një kubi, nga të cilat asnjë nuk është ngjitur, dhe i lidhni ato me segmente, atëherë këto segmente formojnë një katërkëndor!
 |
|
Oriz. 3. Kubi dhe tetraedri |
Vetia më e rëndësishme e poliedrave të rregullt që tërheq menjëherë vëmendjen është shkalla e tyre e lartë e simetrisë. Një numër i caktuar reflektimesh rreth planeve të ndryshme, si dhe një numër rrotullimesh rreth boshteve të ndryshme, transformojnë secilën prej poliedrave në vetvete. Secila prej tyre ka një qendër nëpër të cilën kalojnë të gjitha këto rrafshe simetrie dhe boshtesh; kulmet janë të barabarta nga kjo qendër, e njëjta gjë vlen edhe për faqet dhe skajet. Prandaj, një sferë mund të futet në çdo shumëfaqësh të rregullt dhe një sferë mund të përshkruhet rreth secilit prej tyre. (Megjithatë, në këtë drejtim, ato janë mjaft të ngjashme me shumëkëndëshat e rregullt, në secilin prej të cilëve mund të futet një rreth dhe rreth secilit prej të cilëve mund të përshkruhet edhe një rreth).
Sa plane simetrie ka një kub, katërkëndor ose tetëedron? Sa boshte rrotullimi ka secila prej tyre që e shndërrojnë poliedrin në vetvete?
