Artikulli flet për transformimin e shprehjeve racionale. Le të shqyrtojmë llojet e shprehjeve racionale, shndërrimet e tyre, grupimet dhe kllapat e faktorit të përbashkët. Le të mësojmë të paraqesim shprehjet racionale thyesore në formën e thyesave racionale.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Përkufizimi dhe shembuj të shprehjeve racionale
Përkufizimi 1Shprehjet që përbëhen nga numra, ndryshore, kllapa, fuqi me veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, pjesëtimit me praninë e një vije thyese quhen shprehjet racionale.
Për shembull, kemi që 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
Domethënë, këto janë shprehje që nuk ndahen në shprehje me variabla. Studimi i shprehjeve racionale fillon në klasën e 8-të, ku ato quhen shprehje racionale thyesore.
Kjo na lejon të vazhdojmë në transformimin e fraksioneve racionale të formës arbitrare. Një shprehje e tillë mund të konsiderohet si një shprehje me praninë e thyesave racionale dhe shprehjeve me numra të plotë me shenja veprimi.
Llojet kryesore të shndërrimeve të shprehjeve racionale
Shprehjet racionale përdoren për të kryer transformime identike, grupime, sjellje të ngjashme dhe kryerjen e veprimeve të tjera me numra. Qëllimi i shprehjeve të tilla është thjeshtimi.
Shembulli 1
Shndërroje shprehjen racionale 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .
Zgjidhje
Mund të shihet se një shprehje e tillë racionale është ndryshimi midis 3 x x y - 1 dhe 2 x x y - 1. Vëmë re se emëruesi i tyre është identik. Kjo do të thotë se reduktimi i termave të ngjashëm do të marrë formën
3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1
Përgjigje: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Shembulli 2
Konvertoni 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) .
Zgjidhje
Fillimisht kryejmë veprimet në kllapa 3 · x − x = 2 · x. Ne e paraqesim këtë shprehje në formën 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Arrijmë në një shprehje që përmban veprime me një hap, pra ka mbledhje dhe zbritje.
Ne i heqim kllapat duke përdorur vetinë e ndarjes. Pastaj marrim se 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x.
Faktorët numerikë i grupojmë me ndryshoren x, pas së cilës mund të kryejmë veprime me fuqi. Ne e kuptojmë atë
2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4
Përgjigje: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.
Shembulli 3
Shndërroni një shprehje të formës x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Zgjidhje
Së pari, ne transformojmë numëruesin dhe emëruesin. Pastaj marrim një shprehje të formës (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2 , dhe veprimet në kllapa kryhen së pari. Në numërues kryhen veprimet dhe grupohen faktorët. Pastaj marrim një shprehje të formës x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .
Ne e transformojmë formulën e diferencës së katrorëve në numërues, pastaj e marrim atë
x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2
Përgjigju: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Paraqitja racionale e thyesave
Thyesat algjebrike më shpesh thjeshtohen kur zgjidhen. Çdo racional është sjellë në këtë në mënyra të ndryshme. Është e nevojshme të kryhen të gjitha veprimet e nevojshme me polinome në mënyrë që shprehja racionale të mund të japë përfundimisht një fraksion racional.
Shembulli 4
Paraqisni si thyesë racionale a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.
Zgjidhje
Kjo shprehje mund të përfaqësohet si 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Shumëzimi kryhet kryesisht sipas rregullave.
Duhet të fillojmë me shumëzim, pastaj e marrim atë
a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a
Rezultatin e marrë e paraqesim me atë origjinal. Ne e kuptojmë atë
a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Tani le të bëjmë zbritjen:
a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9
Pas së cilës është e qartë se shprehja origjinale do të marrë formën 16 a 2 - 9.
Përgjigje: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Shembulli 5
Shprehni x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x si thyesë racionale.
Zgjidhje
Shprehja e dhënë shkruhet si thyesë, numëruesi i së cilës ka x x + 1 + 1, dhe emëruesin 2 x - 1 1 + x. Është e nevojshme të bëhen shndërrime x x + 1 + 1 . Për ta bërë këtë, duhet të shtoni një thyesë dhe një numër. Marrim se x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1
Nga kjo rrjedh se x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x
Pjesa që rezulton mund të shkruhet si 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.
Pas ndarjes arrijmë në një pjesë racionale të formës
2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1
Ju mund ta zgjidhni këtë ndryshe.
Në vend që të pjesëtojmë me 2 x - 1 1 + x, ne shumëzojmë me inversin e tij 1 + x 2 x - 1. Le të zbatojmë vetinë e shpërndarjes dhe ta gjejmë atë
x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1
Përgjigje: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Ky artikull i kushtohet transformimi i shprehjeve racionale, kryesisht fraksionalisht racionale, është një nga çështjet kryesore në lëndën e algjebrës së klasës së 8-të. Së pari, kujtojmë se çfarë lloj shprehjesh quhen racionale. Më pas do të fokusohemi në kryerjen e transformimeve standarde me shprehje racionale, si grupimi i termave, nxjerrja e faktorëve të përbashkët jashtë kllapave, sjellja e termave të ngjashëm etj. Së fundi, do të mësojmë të paraqesim shprehjet racionale thyesore si thyesa racionale.
Navigimi i faqes.
Përkufizimi dhe shembuj të shprehjeve racionale
Shprehjet racionale janë një nga llojet e shprehjeve të studiuara në mësimet e algjebrës në shkollë. Le të japim një përkufizim.
Përkufizimi.
Shprehjet e përbëra nga numra, ndryshore, kllapa, fuqi me eksponentë numër të plotë, të lidhura duke përdorur shenja aritmetike +, −, · dhe:, ku pjesëtimi mund të tregohet me një vijë thyese quhen. shprehjet racionale.
Ja disa shembuj të shprehjeve racionale: .
Shprehjet racionale fillojnë të studiohen me qëllim në klasën e 7-të. Për më tepër, në klasën e 7-të mësohen bazat e punës me të ashtuquajturat shprehje të tëra racionale, pra me shprehje racionale që nuk përmbajnë ndarje në shprehje me ndryshore. Për ta bërë këtë, monomët dhe polinomet studiohen në mënyrë sekuenciale, si dhe parimet e kryerjes së veprimeve me to. E gjithë kjo njohuri në fund të fundit ju lejon të kryeni transformime të shprehjeve të tëra.
Në klasën 8, ata kalojnë në studimin e shprehjeve racionale që përmbajnë pjesëtimin me një shprehje me ndryshore të quajtura shprehjet racionale thyesore. Në këtë rast, vëmendje e veçantë i kushtohet të ashtuquajturit thyesat racionale(quhen gjithashtu thyesat algjebrike), pra thyesa, numëruesi dhe emëruesi i të cilave përmbajnë polinome. Kjo përfundimisht bën të mundur konvertimin e thyesave racionale.
Aftësitë e fituara ju lejojnë të kaloni në transformimin e shprehjeve racionale të çdo forme. Kjo shpjegohet me faktin se çdo shprehje racionale mund të konsiderohet si një shprehje e përbërë nga thyesa racionale dhe shprehje numrash të plotë të lidhura me shenja të veprimeve aritmetike. Dhe ne tashmë dimë të punojmë me shprehje të plota dhe thyesa algjebrike.
Llojet kryesore të shndërrimeve të shprehjeve racionale
Me shprehje racionale, mund të kryeni cilindo nga transformimet bazë të identitetit, qofshin grupimi i termave apo faktorëve, sjellja e termave të ngjashëm, kryerja e veprimeve me numra, etj. Në mënyrë tipike qëllimi i kryerjes së këtyre transformimeve është thjeshtimi i shprehjes racionale.
Shembull.
.
Zgjidhje.
Është e qartë se kjo shprehje racionale është ndryshimi midis dy shprehjeve dhe , dhe këto shprehje janë të ngjashme, pasi kanë të njëjtën pjesë shkronjash. Kështu, ne mund të kryejmë një reduktim të termave të ngjashëm:
Përgjigje:
.
Është e qartë se kur kryeni transformime me shprehje racionale, si dhe me çdo shprehje tjetër, duhet të qëndroni brenda rendit të pranuar të kryerjes së veprimeve.
Shembull.
Kryeni një transformim racional të shprehjes.
Zgjidhje.
Ne e dimë se veprimet në kllapa ekzekutohen së pari. Prandaj, fillimisht e transformojmë shprehjen në kllapa: 3·x−x=2·x.
Tani mund ta zëvendësoni rezultatin e marrë në shprehjen racionale origjinale: . Pra, arritëm në një shprehje që përmban veprimet e një faze - mbledhje dhe shumëzim.
Le të heqim qafe kllapat në fund të shprehjes duke zbatuar vetinë e pjesëtimit me një produkt: .
Së fundi, ne mund të grupojmë faktorët dhe faktorët numerikë me ndryshoren x, pastaj të kryejmë veprimet përkatëse në numrat dhe të aplikojmë :.
Kjo përfundon transformimin e shprehjes racionale, dhe si rezultat marrim një monom.
Përgjigje:
Shembull.
Shndërroni shprehjen racionale 
.
Zgjidhje.
Fillimisht transformojmë numëruesin dhe emëruesin. Ky rend i transformimit të thyesave shpjegohet me faktin se vija e një thyese është në thelb një emërtim tjetër për ndarjen, dhe shprehja racionale origjinale është në thelb një herës i formës 
, dhe fillimisht kryhen veprimet në kllapa.
Pra, në numërues kryejmë veprime me polinome, fillimisht shumëzim, pastaj zbritje, dhe në emërues grupojmë faktorët numerikë dhe llogarisim produktin e tyre: 
.
Le të imagjinojmë gjithashtu numëruesin dhe emëruesin e thyesës që rezulton në formën e një produkti: papritmas është e mundur të zvogëlohet një thyesë algjebrike. Për ta bërë këtë, ne do të përdorim në numërues formula e dallimit të katrorëve, dhe në emërues nxjerrim të dy nga kllapa, kemi 
.
Përgjigje:
.
Pra, njohja fillestare me transformimin e shprehjeve racionale mund të konsiderohet e përfunduar. Le të kalojmë, si të thuash, në pjesën më të ëmbël.
Paraqitja racionale e thyesave
Më shpesh, qëllimi përfundimtar i transformimit të shprehjeve është thjeshtimi i pamjes së tyre. Në këtë këndvështrim, forma më e thjeshtë në të cilën mund të konvertohet një shprehje racionale thyesore është një thyesë racionale (algjebrike), dhe në rastin e veçantë një polinom, monom ose numër.
A është e mundur të përfaqësohet ndonjë shprehje racionale si një thyesë racionale? Përgjigja është po. Le të shpjegojmë pse është kështu.
Siç kemi thënë tashmë, çdo shprehje racionale mund të konsiderohet si polinome dhe thyesa racionale të lidhura me shenja plus, minus, shumëzojnë dhe pjesëtojnë. Të gjitha veprimet përkatëse me polinome japin një fraksion polinom ose racional. Nga ana tjetër, çdo polinom mund të shndërrohet në një thyesë algjebrike duke e shkruar atë me emëruesin 1. Dhe mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave racionale rezulton në një thyesë të re racionale. Prandaj, pasi të kemi kryer të gjitha veprimet me polinome dhe thyesa racionale në një shprehje racionale, marrim një thyesë racionale.
Shembull.
Shprehni si thyesë racionale shprehjen 
.
Zgjidhje.
Shprehja racionale origjinale është ndryshimi midis një fraksioni dhe produktit të thyesave të formës 
. Sipas rendit të veprimeve, së pari duhet të kryejmë shumëzim, dhe vetëm pastaj mbledhje.
Fillojmë me shumëzimin e thyesave algjebrike:
Rezultatin e fituar e zëvendësojmë me shprehjen racionale origjinale: .
Arritëm te zbritja e thyesave algjebrike me emërues të ndryshëm: 
Pra, pasi kemi kryer veprime me thyesat racionale që përbëjnë shprehjen racionale origjinale, e kemi paraqitur atë në formën e një thyese racionale.
Përgjigje:
.
Për të konsoliduar materialin, ne do të analizojmë zgjidhjen në një shembull tjetër.
Shembull.
Shprehni një shprehje racionale si thyesë racionale.
Siç do të shohim më poshtë, jo çdo funksion elementar ka një integral të shprehur në funksione elementare. Prandaj, është shumë e rëndësishme të identifikohen klasat e funksioneve integralet e të cilave shprehen në terma të funksioneve elementare. Më e thjeshta nga këto klasa është klasa e funksioneve racionale.
Çdo funksion racional mund të përfaqësohet si një fraksion racional, domethënë si një raport i dy polinomeve:
Pa kufizuar përgjithësinë e argumentit, do të supozojmë se polinomet nuk kanë rrënjë të përbashkëta.
Nëse shkalla e numëruesit është më e ulët se shkalla e emëruesit, atëherë thyesa quhet e duhur, përndryshe thyesa quhet e papërshtatshme.
Nëse thyesa është e pahijshme, atëherë duke e pjesëtuar numëruesin me emëruesin (sipas rregullit për pjesëtimin e polinomeve), mund ta përfaqësoni këtë thyesë si shumën e një polinomi dhe një fraksioni të duhur:
këtu është një polinom, dhe a është një thyesë e duhur.
Shembull t. Le të jepet një thyesë e gabuar racionale
Duke e pjesëtuar numëruesin me emëruesin (duke përdorur rregullën për pjesëtimin e polinomeve), marrim
Meqenëse integrimi i polinomeve nuk është i vështirë, vështirësia kryesore në integrimin e thyesave racionale është integrimi i thyesave të duhura racionale.
Përkufizimi. Thyesat e duhura racionale të formës
quhen thyesa të thjeshta të tipave I, II, III dhe IV.
Integrimi i fraksioneve më të thjeshta të llojeve I, II dhe III nuk është shumë i vështirë, kështu që ne do të kryejmë integrimin e tyre pa ndonjë shpjegim shtesë:
Llogaritjet më komplekse kërkojnë integrimin e fraksioneve të thjeshta të tipit IV. Le të na jepet një integral i këtij lloji:
Le të bëjmë transformimin:
Integrali i parë merret me zëvendësim
Integrali i dytë - e shënojmë duke e shkruar në formë
Sipas supozimit, rrënjët e emëruesit janë komplekse, dhe për këtë arsye, Më pas ne vazhdojmë si më poshtë:
Le të transformojmë integralin:
Integrimi sipas pjesëve, ne kemi
Duke e zëvendësuar këtë shprehje me barazinë (1), marrim
Ana e djathtë përmban një integral të të njëjtit lloj si, por eksponenti i emëruesit të integrandit është një më i ulët; kështu, ne e shprehëm atë përmes . Duke vazhduar në të njëjtën rrugë, arrijmë në integralin e njohur.
