Mësimi me video "Transformimi i shprehjeve që përmbajnë veprimin e nxjerrjes së rrënjës katrore" është një mjet pamor që e bën më të lehtë për një mësues të zhvillojë aftësitë në zgjidhjen e problemeve që përmbajnë shprehje me rrënjë katrore. Gjatë mësimit rikujtohen bazat teorike që shërbejnë si bazë për kryerjen e veprimeve mbi numrat dhe ndryshoret e pranishme në shprehjet radikale, zgjidhja e shumë llojeve të problemeve që mund të kërkojnë aftësinë për të përdorur formula për konvertimin e shprehjeve që përmbajnë një rrënjë katrore. përshkruhen dhe jepen metodat për të hequr qafe irracionalitetin në emëruesin e një thyese.
Mësimi me video fillon duke demonstruar titullin e temës. Vihet re se më herët në mësime u kryen transformime të shprehjeve racionale. Në këtë rast, u përdorën informacione teorike për monomët dhe polinomet, metodat e punës me polinomet, thyesat algjebrike, si dhe formulat e shkurtuara të shumëzimit. Ky video tutorial diskuton prezantimin e operacionit të rrënjës katrore për transformimin e shprehjeve. U kujtohen nxënësve vetitë e veprimit të rrënjës katrore. Ndër vetitë e tilla tregohet se pas marrjes së rrënjës katrore të katrorit të një numri, fitohet vetë numri, rrënja e prodhimit të dy numrave është e barabartë me produktin e dy rrënjëve të këtyre numrave, rrënja e herësit. i dy numrave është i barabartë me herësin e rrënjëve të termave të herësit. Vetia e fundit e diskutuar është marrja e rrënjës katrore të një numri të ngritur në një fuqi çift √a 2 n, që rezulton në një numër të ngritur në fuqinë a n. Karakteristikat e konsideruara janë të vlefshme për çdo numër jo negativ.
Janë konsideruar shembuj që kërkojnë transformime të shprehjeve që përmbajnë një rrënjë katrore. Thuhet se këta shembuj supozojnë se a dhe b janë numra jonegativë. Në shembullin e parë, është e nevojshme të thjeshtohen shprehjet √16a 4 /9b 4 dhe √a 2 b 4 . Në rastin e parë, zbatohet një veti që përcakton se rrënja katrore e prodhimit të dy numrave është e barabartë me prodhimin e rrënjëve të tyre. Si rezultat i transformimit fitohet shprehja ab 2. Shprehja e dytë përdor formulën për konvertimin e rrënjës katrore të një herësi në herës të rrënjëve. Rezultati i transformimit është shprehja 4a 2 / 3b 3.
Në shembullin e dytë, është e nevojshme të hiqni faktorin nën shenjën e rrënjës katrore. Shqyrtohet zgjidhja e shprehjeve √81а, √32а 2, √9а 7 b 5. Duke përdorur shembullin e transformimit të katër shprehjeve, ne tregojmë se si formula për transformimin e rrënjës së një produkti të disa numrave përdoret për të zgjidhur probleme të ngjashme. Në këtë rast, rastet shënohen veçmas kur shprehjet përmbajnë koeficientë dhe parametra numerikë në një shkallë çift ose tek. Si rezultat i transformimit fitohen shprehjet √81а=9√а, √32а 2 =4а√2, √9а 7 b 5 =3а 3 b 2 √ab.
Në shembullin e tretë, është e nevojshme të kryhet një operacion i kundërt me atë në problemin e mëparshëm. Për të futur një shumëzues nën shenjën e rrënjës katrore, duhet gjithashtu të jeni në gjendje të përdorni formulat që keni studiuar. Propozohet të futet një faktor përpara kllapave nën shenjën e rrënjës në shprehjet 2√2 dhe 3a√b/√3a. Duke përdorur formula të njohura, faktori përpara shenjës së rrënjës vihet në katror dhe vendoset si faktor në produkt nën shenjën e rrënjës. Në shprehjen e parë, transformimi rezulton në shprehjen √8. Shprehja e dytë fillimisht përdor formulën e prodhimit të kalit për të transformuar numëruesin, dhe më pas formulën e rrënjës së herësit për të transformuar të gjithë shprehjen. Pas zvogëlimit të numëruesit dhe emëruesit në shprehjen radikale, marrim √3ab.
Në shembullin 4, duhet të kryeni veprime në shprehjet (√a+√b)(√a-√b). Për të zgjidhur këtë shprehje, futen ndryshore të reja që zëvendësojnë monomët që përmbajnë shenjën e rrënjës √a=x dhe √b=y. Pas zëvendësimit të ndryshoreve të reja, është e dukshme mundësia e përdorimit të formulës së shkurtuar të shumëzimit, pas së cilës shprehja merr formën x 2 -y 2. Duke u kthyer në variablat origjinale, marrim a-b. Shprehja e dytë (√a+√b) 2 gjithashtu mund të konvertohet duke përdorur formulën e shumëzimit stenografi. Pas hapjes së kllapave, marrim rezultatin a+2√ab+b.
Në shembullin 5, shprehjet 4a-4√ab+b dhe x√x+1 janë faktorizuar. Për të zgjidhur këtë problem, është e nevojshme të kryhen transformime dhe të izolohen faktorët e përbashkët. Pas aplikimit të vetive të rrënjës katrore për zgjidhjen e shprehjes së parë, shuma shndërrohet në katrorin e diferencës (2√a-√b) 2. Për të zgjidhur shprehjen e dytë, duhet të futni faktorin para shenjës së rrënjës nën rrënjë, dhe më pas të aplikoni formulën për shumën e kubeve. Rezultati i transformimit është shprehja (√x+1)(x 2 -√x+1).
Shembulli 6 tregon zgjidhjen e një problemi ku duhet të thjeshtoni shprehjen (a√a+3√3)(√a-√3)/((√a-√3) 2 +√3a). Detyra zgjidhet në katër hapa. Në hapin e parë, numëruesi shndërrohet në produkt duke përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit - shuma e kubeve të dy numrave. Në veprimin e dytë shndërrohet emëruesi i shprehjes, i cili merr formën a-√3a+3. Pas konvertimit, bëhet e mundur zvogëlimi i fraksionit. Hapi i fundit aplikon gjithashtu formulën e shkurtuar të shumëzimit, e cila ndihmon për të marrë rezultatin përfundimtar a-3.
Në shembullin e shtatë, është e nevojshme të heqësh qafe rrënjën katrore në emëruesit e thyesave 1/√2 dhe 1/(√3-√2). Gjatë zgjidhjes së problemit përdoret vetia bazë e një thyese. Për të hequr qafe rrënjën në emërues, numëruesi dhe emëruesi shumëzohen me të njëjtin numër, me ndihmën e të cilit vihet në katror shprehja radikale. Si rezultat i llogaritjeve, marrim 1/√2=√2/2 dhe 1/(√3-√2)=√3+√2.
Tregohen veçoritë e gjuhës matematikore kur punoni me shprehje që përmbajnë rrënjë. Vihet re se përmbajtja e rrënjës katrore në emëruesin e thyesës nënkupton përmbajtjen e irracionalitetit. Dhe për të hequr qafe shenjën e rrënjës në një emërues të tillë, flitet si heqja e irracionalitetit në emërues. Përshkruhen metoda se si të shpëtojmë nga irracionaliteti - për të transformuar një emërues të formës √a, është e nevojshme të shumëzoni numëruesin njëkohësisht me emëruesin me numrin √a dhe të eliminoni irracionalitetin për një emërues të formës √a. -√b, numëruesi dhe emëruesi shumëzohen me shprehjen e konjuguar √a+√ b. Vihet re se heqja e irracionalitetit në një emërues të tillë thjeshton shumë zgjidhjen e problemit.
Në fund të video-mësimit diskutohet një thjeshtim i shprehjes 7/√7-2/(√7-√5)+4/(√5+√3). Për të thjeshtuar shprehjen, përdoren metodat e diskutuara më sipër për të hequr qafe irracionalitetin në emëruesin e thyesave. Shprehjet që rezultojnë shtohen, pas së cilës forma e thjeshtuar e shprehjes duket si √5-2√3.
Mësimi video "Transformimi i shprehjeve që përmbajnë veprimin e nxjerrjes së një rrënjë katrore" rekomandohet për përdorim në një orë mësimi tradicional të shkollës për të zhvilluar aftësi në zgjidhjen e problemeve që përmbajnë një rrënjë katrore. Për të njëjtin qëllim, videoja mund të përdoret nga mësuesi gjatë mësimit në distancë. Materiali gjithashtu mund t'u rekomandohet studentëve për punë të pavarur në shtëpi.
Materiali në këtë artikull duhet të konsiderohet si pjesë e transformimit të temës së shprehjeve irracionale. Këtu do të përdorim shembuj për të analizuar të gjitha hollësitë dhe nuancat (nga të cilat ka shumë) që lindin gjatë kryerjes së transformimeve bazuar në vetitë e rrënjëve.
Navigimi i faqes.
Le të kujtojmë vetitë e rrënjëve
Meqenëse do të merremi me transformimin e shprehjeve duke përdorur vetitë e rrënjëve, nuk do të jetë e dëmshme të kujtojmë ato kryesore, ose edhe më mirë, t'i shkruajmë në letër dhe t'i vendosim para jush.
Së pari, studiohen rrënjët katrore dhe vetitë e tyre të mëposhtme (a, b, a 1, a 2, ..., a k janë numra realë):
Dhe më vonë ideja e një rrënjë zgjerohet, futet përkufizimi i një rrënjë të shkallës së n-të dhe merren parasysh vetitë e mëposhtme (a, b, a 1, a 2, ..., a k janë numra realë, m, n, n 1, n 2, ... , n k - numra natyrorë):
Shndërrimi i shprehjeve me numra nën shenja radikale
Si zakonisht, ata fillimisht mësojnë të punojnë me shprehjet numerike dhe vetëm pas kësaj kalojnë te shprehjet me variabla. Ne do të bëjmë të njëjtën gjë dhe fillimisht do të merremi me transformimin e shprehjeve irracionale që përmbajnë vetëm shprehje numerike nën shenjat e rrënjëve, dhe më pas në paragrafin tjetër do të prezantojmë variablat nën shenjat e rrënjëve.
Si mund të përdoret kjo për të transformuar shprehjet? Është shumë e thjeshtë: për shembull, ne mund të zëvendësojmë një shprehje irracionale me një shprehje ose anasjelltas. Kjo do të thotë, nëse shprehja që konvertohet përmban një shprehje që përputhet në pamje me shprehjen nga pjesa e majtë (djathtas) e cilësdo prej vetive të listuara të rrënjëve, atëherë ajo mund të zëvendësohet me shprehjen përkatëse nga pjesa e djathtë (majtas). Ky është transformimi i shprehjeve duke përdorur vetitë e rrënjëve.
Le të japim disa shembuj të tjerë.
Le të thjeshtojmë shprehjen 
. Numrat 3, 5 dhe 7 janë pozitivë, kështu që ne mund të zbatojmë me siguri vetitë e rrënjëve. Këtu mund të veproni në mënyra të ndryshme. Për shembull, një rrënjë e bazuar në një veti mund të përfaqësohet si , dhe një rrënjë duke përdorur një veti me k=3 - si , me këtë qasje zgjidhja do të duket si kjo: 
Dikush mund ta bëjë atë ndryshe duke zëvendësuar me , dhe më pas me , në të cilin rast zgjidhja do të dukej kështu: 
Zgjidhje të tjera janë të mundshme, për shembull: 
Le të shohim zgjidhjen e një shembulli tjetër. Le të transformojmë shprehjen. Duke parë listën e vetive të rrënjëve, ne zgjedhim prej saj vetitë që na nevojiten për të zgjidhur shembullin, është e qartë se dy prej tyre janë të dobishme këtu dhe , të cilat janë të vlefshme për çdo a . Ne kemi: 
Përndryshe, së pari mund të transformohen shprehjet radikale duke përdorur 
dhe më pas zbatohen vetitë e rrënjëve 
Deri në këtë pikë, ne kemi konvertuar shprehje që përmbajnë vetëm rrënjë katrore. Është koha për të punuar me rrënjë që kanë tregues të ndryshëm.
Shembull.
Shndërroni shprehjen irracionale 
.
Zgjidhje.
Nga pasuria 
faktori i parë i një produkti të caktuar mund të zëvendësohet me numrin -2: 
Le të vazhdojmë. Faktori i dytë për shkak të pronës 
mund të përfaqësohet si , dhe nuk do të dëmtonte të zëvendësohej 81 me një fuqi të katërfishtë prej tre, pasi numri 3 shfaqet nën shenjat e rrënjëve në faktorët e mbetur: 
Këshillohet që të zëvendësohet rrënja e një fraksioni me një raport rrënjësh të formës , e cila mund të transformohet më tej: 
. ne kemi 
Shprehja që rezulton pas kryerjes së veprimeve me dyshe do të marrë formën 
, dhe mbetet për të transformuar produktin e rrënjëve.
Për të transformuar produktet e rrënjëve, ato zakonisht reduktohen në një tregues, për të cilin këshillohet të merren treguesit e të gjitha rrënjëve. Në rastin tonë, LCM(12, 6, 12) = 12, dhe vetëm rrënja do të duhet të reduktohet në këtë tregues, pasi dy rrënjët e tjera tashmë kanë një tregues të tillë. Barazia, e cila zbatohet nga e djathta në të majtë, na lejon të përballojmë këtë detyrë. Pra 
. Duke marrë parasysh këtë rezultat, ne kemi 
Tani produkti i rrënjëve mund të zëvendësohet nga rrënja e produktit dhe të kryejë transformimet e mbetura, tashmë të dukshme: 
Le të shkruajmë një version të shkurtër të zgjidhjes: 
Përgjigje:
.
Theksojmë veçmas se për të zbatuar vetitë e rrënjëve është e nevojshme të merren parasysh kufizimet e vendosura në numrat nën shenjat e rrënjëve (a≥0, etj.). Injorimi i tyre mund të shkaktojë rezultate të pasakta. Për shembull, ne e dimë se vetia vlen për a jo-negative. Bazuar në të, ne mund të lëvizim lehtësisht, për shembull, nga në, pasi 8 është një numër pozitiv. Por nëse marrim një rrënjë kuptimplote të një numri negativ, për shembull, dhe, bazuar në vetinë e treguar më sipër, e zëvendësojmë atë me , atëherë në fakt zëvendësojmë −2 me 2 . Në të vërtetë, ah. Kjo do të thotë, për negativin a, barazia mund të jetë e pasaktë, ashtu si vetitë e tjera të rrënjëve mund të jenë të pasakta pa marrë parasysh kushtet e përcaktuara për to.
Por ajo që u tha në paragrafin e mëparshëm nuk do të thotë aspak se shprehjet me numra negativë nën shenjat e rrënjëve nuk mund të shndërrohen duke përdorur vetitë e rrënjëve. Ata thjesht duhet të "përgatiten" së pari duke zbatuar rregullat e veprimeve me numra ose duke përdorur përkufizimin e një rrënjë tek të një numri negativ, që korrespondon me barazinë 
, ku −a është një numër negativ (ndërsa a është pozitiv). Për shembull, nuk mund të zëvendësohet menjëherë me , pasi −2 dhe −3 janë numra negativë, por na lejon të kalojmë nga rrënja në , dhe më pas të zbatojmë më tej vetinë e rrënjës së një produkti: 
. Dhe në një nga shembujt e mëparshëm, nuk ishte e nevojshme të kalonte nga rrënja në rrënjë e fuqisë së tetëmbëdhjetë 
, dhe kështu 
.
Pra, për të transformuar shprehjet duke përdorur vetitë e rrënjëve, ju duhet
- zgjidhni pronën e duhur nga lista,
- sigurohuni që numrat nën rrënjë të plotësojnë kushtet për pronën e zgjedhur (përndryshe ju duhet të kryeni transformime paraprake),
- dhe të kryejë transformimin e synuar.
Shndërrimi i shprehjeve me ndryshore nën shenja radikale
Për të transformuar shprehjet irracionale që përmbajnë jo vetëm numra, por edhe variabla nën shenjën e rrënjës, duhet të zbatohen me kujdes vetitë e rrënjëve të renditura në paragrafin e parë të këtij neni. Kjo është kryesisht për shkak të kushteve që duhet të plotësojnë numrat e përfshirë në formula. Për shembull, bazuar në formulën, shprehja mund të zëvendësohet me një shprehje vetëm për ato vlera të x që plotësojnë kushtet x≥0 dhe x+1≥0, pasi formula e specifikuar është specifikuar për a≥0 dhe b ≥0.
Cilat janë rreziqet e injorimit të këtyre kushteve? Përgjigja për këtë pyetje tregohet qartë nga shembulli i mëposhtëm. Le të themi se duhet të llogarisim vlerën e një shprehjeje në x=−2. Nëse zëvendësojmë menjëherë numrin −2 në vend të ndryshores x, do të marrim vlerën që na nevojitet 
. Tani le të imagjinojmë se, bazuar në disa konsiderata, ne e konvertuam shprehjen e dhënë në formën , dhe vetëm pas kësaj vendosëm të llogarisim vlerën. Zëvendësojmë numrin −2 me x dhe arrijmë te shprehja 
, e cila nuk ka kuptim.
Le të shohim se çfarë ndodh me gamën e vlerave të lejueshme (APV) të ndryshores x kur kalojmë nga shprehja në shprehje. Jo rastësisht përmendëm ODZ-në, pasi ky është një mjet serioz për monitorimin e pranueshmërisë së transformimeve të bëra, dhe një ndryshim në ODZ pas transformimit të një shprehjeje duhet, të paktën, të ngrejë flamuj të kuq. Gjetja e ODZ për këto shprehje nuk është e vështirë. Për shprehjen ODZ përcaktohet nga pabarazia x·(x+1)≥0, zgjidhja e saj jep bashkësinë numerike (−∞, −1]∪∪)
