Numrat dhjetorë si 0.2; 1.05; 3.017, etj. ashtu siç dëgjohen, ashtu janë shkruar. Zero pikë dy, marrim një thyesë. Një pikë e pesëqindta, marrim një thyesë. Tre pikë shtatëmbëdhjetë mijëshe, marrim thyesën. Numrat para presjes dhjetore janë pjesa e plotë e thyesës. Numri pas presjes dhjetore është numëruesi i thyesës së ardhshme. Nëse pas presjes dhjetore ka një numër njëshifror, emëruesi do të jetë 10, nëse ka një numër dyshifror - 100, një numër treshifror - 1000, etj. Disa fraksione që rezultojnë mund të reduktohen. Në shembujt tanë

Shndërrimi i një thyese në një dhjetore

Kjo është e kundërta e transformimit të mëparshëm. Cila është karakteristika e një thyese dhjetore? Emëruesi i tij është gjithmonë 10, ose 100, ose 1000, ose 10000, e kështu me radhë. Nëse thyesa juaj e përbashkët ka këtë emërues, nuk ka asnjë problem. Për shembull, ose

Nëse thyesa është, për shembull. Në këtë rast, është e nevojshme të përdoret vetia bazë e një thyese dhe të shndërrohet emëruesi në 10 ose 100, ose 1000... Në shembullin tonë, nëse shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin me 4, marrim një thyesë që mund të jetë shkruhet si numër dhjetor 0.12.

Disa thyesa janë më të lehta për t'u pjesëtuar sesa për të kthyer emëruesin. Për shembull,

Disa thyesa nuk mund të shndërrohen në dhjetore!
Për shembull,

Shndërrimi i një thyese të përzier në një thyesë të papërshtatshme

Një fraksion i përzier, për shembull, mund të shndërrohet lehtësisht në një fraksion të papërshtatshëm. Për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni të gjithë pjesën me emëruesin (poshtë) dhe ta shtoni atë me numëruesin (lart), duke e lënë emëruesin (poshtë) të pandryshuar. Kjo eshte

Kur konvertoni një fraksion të përzier në një fraksion të papërshtatshëm, mund të mbani mend se mund të përdorni mbledhjen e thyesave

Shndërrimi i një thyese të papërshtatshme në një fraksion të përzier (duke theksuar të gjithë pjesën)

Një fraksion i papërshtatshëm mund të shndërrohet në një fraksion të përzier duke theksuar të gjithë pjesën. Le të shohim një shembull. Ne përcaktojmë sa herë numër të plotë "3" përshtatet në "23". Ose ndani 23 me 3 në një kalkulator, numri i plotë në pikën dhjetore është ai i dëshiruar. Kjo është "7". Tjetra, ne përcaktojmë numëruesin e fraksionit të ardhshëm: shumëzojmë "7" që rezulton me emëruesin "3" dhe zbresim rezultatin nga numëruesi "23". Është sikur gjejmë shtesën që mbetet nga numëruesi "23" nëse heqim shumën maksimale "3". Emëruesin e lëmë të pandryshuar. Gjithçka është bërë, shkruani rezultatin

Nga kursi i algjebrës shkollore kalojmë në specifikat. Në këtë artikull do të studiojmë në detaje një lloj të veçantë të shprehjeve racionale - thyesat racionale, dhe gjithashtu konsideroni se çfarë karakteristike është identike shndërrimet e thyesave racionale zhvillohen.

Le të vërejmë menjëherë se thyesat racionale në kuptimin që i përkufizojmë më poshtë quhen thyesa algjebrike në disa tekste algjebër. Kjo do të thotë, në këtë artikull ne do t'i kuptojmë thyesat racionale dhe algjebrike si e njëjta gjë.

Si zakonisht, le të fillojmë me një përkufizim dhe shembuj. Më pas do të flasim për sjelljen e një thyese racionale në një emërues të ri dhe ndryshimin e shenjave të anëtarëve të thyesës. Pas kësaj, ne do të shikojmë se si të zvogëlojmë fraksionet. Së fundi, le të shohim paraqitjen e një thyese racionale si një shumë e disa thyesave. Ne do të ofrojmë të gjithë informacionin me shembuj dhe përshkrime të hollësishme të zgjidhjeve.

Navigimi i faqes.

Përkufizimi dhe shembuj të thyesave racionale

Thyesat racionale studiohen në mësimet e algjebrës së klasës së 8-të. Ne do të përdorim përkufizimin e një thyese racionale, e cila është dhënë në librin shkollor të algjebrës për klasën e 8-të nga Yu N. Makarychev et al.

Ky përkufizim nuk specifikon nëse polinomet në numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale duhet të jenë polinome të formës standarde apo jo. Prandaj, do të supozojmë se shënimet për thyesat racionale mund të përmbajnë polinome standarde dhe jo standarde.

Këtu janë disa shembuj të thyesave racionale. Pra, x/8 dhe - thyesat racionale. Dhe thyesat dhe nuk i përshtaten përkufizimit të dhënë të një thyese racionale, pasi në të parën prej tyre numëruesi nuk përmban polinom, dhe në të dytin, edhe numëruesi edhe emëruesi përmbajnë shprehje që nuk janë polinome.

Shndërrimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese racionale

Numëruesi dhe emëruesi i çdo thyese janë shprehje matematikore të vetë-mjaftueshme, në rastin e thyesave racionale, në një rast të caktuar, monomë dhe numra; Prandaj, transformimet identike mund të kryhen me numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale, si me çdo shprehje. Me fjalë të tjera, shprehja në numëruesin e një thyese racionale mund të zëvendësohet nga një shprehje identike e barabartë, ashtu si emëruesi.

Mund të kryeni transformime identike në numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale. Për shembull, në numërues mund të gruponi dhe zvogëloni terma të ngjashëm, dhe në emërues mund të zëvendësoni prodhimin e disa numrave me vlerën e tij. Dhe meqenëse numëruesi dhe emëruesi i një fraksioni racional janë polinome, është e mundur të kryhen transformime karakteristike të polinomeve me to, për shembull, reduktimi në një formë standarde ose përfaqësimi në formën e një produkti.

Për qartësi, le të shqyrtojmë zgjidhjet për disa shembuj.

Shembull.

Shndërroni thyesën racionale kështu që numëruesi përmban një polinom të formës standarde, dhe emëruesi përmban prodhimin e polinomeve.

Zgjidhje.

Reduktimi i thyesave racionale në një emërues të ri përdoret kryesisht në mbledhjen dhe zbritjen e thyesave racionale.

Ndryshimi i shenjave para një thyese, si dhe në numëruesin dhe emëruesin e saj

Vetia kryesore e një thyese mund të përdoret për të ndryshuar shenjat e anëtarëve të një thyese. Në të vërtetë, shumëzimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese racionale me -1 është ekuivalent me ndryshimin e shenjave të tyre, dhe rezultati është një thyesë identike e barabartë me atë të dhënë. Ky transformim duhet të përdoret mjaft shpesh kur punohet me thyesa racionale.

Kështu, nëse ndryshoni njëkohësisht shenjat e numëruesit dhe emëruesit të një thyese, do të merrni një thyesë të barabartë me atë origjinale. Kësaj deklarate i përgjigjet barazia.

Le të japim një shembull. Një thyesë racionale mund të zëvendësohet nga një thyesë identike e barabartë me shenja të ndryshuara të numëruesit dhe emëruesit të formës.

Me thyesa, mund të kryeni një transformim tjetër identik, në të cilin ndryshon shenja e numëruesit ose e emëruesit. Le të themi rregullin përkatës. Nëse zëvendësoni shenjën e një thyese së bashku me shenjën e numëruesit ose të emëruesit, ju merrni një thyesë që është identike e barabartë me atë origjinale. Deklarata e shkruar korrespondon me barazitë dhe .

Të vërtetosh këto barazi nuk është e vështirë. Vërtetimi bazohet në vetitë e shumëzimit të numrave. Le të vërtetojmë të parën prej tyre: . Duke përdorur transformime të ngjashme, vërtetohet barazia.

Për shembull, një fraksion mund të zëvendësohet me shprehjen ose.

Për të përfunduar këtë pikë, ne paraqesim dy barazi të tjera të dobishme dhe . Kjo do të thotë, nëse ndryshoni shenjën vetëm të numëruesit ose vetëm të emëruesit, thyesa do të ndryshojë shenjën e saj. Për shembull, Dhe .

Shndërrimet e konsideruara, të cilat lejojnë ndryshimin e shenjës së termave të një thyese, përdoren shpesh gjatë transformimit të shprehjeve racionale të pjesshme.

Reduktimi i thyesave racionale

Shndërrimi i mëposhtëm i thyesave racionale, i quajtur reduktim i thyesave racionale, bazohet në të njëjtën veti bazë të një thyese. Ky transformim korrespondon me barazinë , ku a, b dhe c janë disa polinome, dhe b dhe c janë jo zero.

Nga barazia e mësipërme bëhet e qartë se zvogëlimi i një thyese racionale nënkupton heqjen e faktorit të përbashkët në numëruesin dhe emëruesin e tij.

Shembull.

Anuloni një thyesë racionale.

Zgjidhje.

Faktori i përbashkët 2 është menjëherë i dukshëm, le të bëjmë një reduktim prej tij (kur shkruajmë, është e përshtatshme të kalosh faktorët e zakonshëm që zvogëlohen). Ne kemi . Meqenëse x 2 =x x dhe y 7 =y 3 y 4 (shiko nëse është e nevojshme), është e qartë se x është një faktor i përbashkët i numëruesit dhe emëruesit të thyesës që rezulton, siç është y 3. Le të reduktojmë me këta faktorë: . Kjo plotëson reduktimin.

Më sipër kemi kryer reduktimin e thyesave racionale në mënyrë sekuenciale. Ose ishte e mundur të kryhej zvogëlimi në një hap, duke zvogëluar menjëherë fraksionin me 2 x y 3. Në këtë rast, zgjidhja do të duket si kjo: .

Përgjigje:

Kur zvogëloni thyesat racionale, problemi kryesor është se faktori i përbashkët i numëruesit dhe emëruesit nuk është gjithmonë i dukshëm. Për më tepër, nuk ekziston gjithmonë. Për të gjetur një faktor të përbashkët ose për të verifikuar mungesën e tij, duhet të faktorizoni numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale. Nëse nuk ka faktor të përbashkët, atëherë fraksioni racional origjinal nuk ka nevojë të zvogëlohet, përndryshe, kryhet reduktimi.

Në procesin e zvogëlimit të fraksioneve racionale mund të lindin nuanca të ndryshme. Hollësitë kryesore diskutohen në artikullin për reduktimin e fraksioneve algjebrike duke përdorur shembuj dhe në detaje.

Duke përfunduar bisedën për reduktimin e thyesave racionale, vërejmë se ky transformim është identik dhe vështirësia kryesore në zbatimin e tij qëndron në faktorizimin e polinomeve në numërues dhe emërues.

Paraqitja e një thyese racionale si një shumë e thyesave

Mjaft specifik, por në disa raste shumë i dobishëm, është shndërrimi i një thyese racionale, e cila konsiston në paraqitjen e saj si shumë e disa thyesave, ose shumë e një shprehjeje të tërë dhe një thyese.

Një thyesë racionale, numëruesi i së cilës përmban një polinom që përfaqëson shumën e disa monomëve, mund të shkruhet gjithmonë si një shumë e thyesave me emërues të njëjtë, numëruesit e të cilëve përmbajnë monomët përkatës. Për shembull, . Ky paraqitje shpjegohet me rregullin për mbledhjen dhe zbritjen e thyesave algjebrike me emërues të ngjashëm.

Në përgjithësi, çdo thyesë racionale mund të shprehet si një shumë e thyesave në mënyra të ndryshme. Për shembull, thyesa a/b mund të përfaqësohet si shuma e dy thyesave - një fraksion arbitrar c/d dhe një fraksion i barabartë me diferencën midis thyesave a/b dhe c/d. Kjo deklaratë është e vërtetë, pasi barazia vlen . Për shembull, një thyesë racionale mund të përfaqësohet si një shumë e thyesave në mënyra të ndryshme: Le të imagjinojmë thyesën origjinale si shumën e një shprehjeje me numër të plotë dhe një thyese. Duke pjesëtuar numëruesin me emërues me një kolonë, marrim barazinë . Vlera e shprehjes n 3 +4 për çdo numër të plotë n është një numër i plotë. Dhe vlera e një thyese është një numër i plotë nëse dhe vetëm nëse emëruesi i saj është 1, −1, 3, ose −3. Këto vlera korrespondojnë me vlerat n=3, n=1, n=5 dhe n=−1, respektivisht.

Përgjigje:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografi.

Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 7-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich. - Botimi i 13-të, rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 f.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
Mordkovich A.G. Algjebër. klasën e 8-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për ata që hyjnë në shkollat teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.

Operacioni aritmetik që kryhet i fundit kur llogaritet vlera e një shprehjeje është operacioni "master".

Kjo do të thotë, nëse zëvendësoni disa (ndonjë) numra në vend të shkronjave dhe përpiqeni të llogaritni vlerën e shprehjes, atëherë nëse veprimi i fundit është shumëzimi, atëherë kemi një produkt (shprehja është e faktorizuar).

Nëse veprimi i fundit është mbledhja ose zbritja, kjo do të thotë që shprehja nuk faktorizohet (dhe për rrjedhojë nuk mund të reduktohet).

Për ta përforcuar këtë, zgjidhni vetë disa shembuj:

Shembuj:

Zgjidhjet:

1. Shpresoj se nuk keni nxituar menjëherë për të prerë dhe? Ende nuk ishte e mjaftueshme për të "reduktuar" njësi si kjo:

Hapi i parë duhet të jetë faktorizimi:

4. Mbledhja dhe zbritja e thyesave. Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët.

Mbledhja dhe zbritja e thyesave të zakonshme është një veprim i njohur: ne kërkojmë një emërues të përbashkët, shumëzojmë çdo thyesë me faktorin që mungon dhe mbledhim/zbresim numëruesit.

Le të kujtojmë:

Përgjigjet:

1. Emëruesit dhe janë relativisht të thjeshtë, pra nuk kanë faktorë të përbashkët. Prandaj, LCM e këtyre numrave është e barabartë me produktin e tyre. Ky do të jetë emëruesi i përbashkët:

2. Këtu emëruesi i përbashkët është:

3. Këtu, para së gjithash, ne i kthejmë fraksionet e përziera në ato të pahijshme, dhe më pas sipas skemës së zakonshme:

Është një çështje krejtësisht e ndryshme nëse thyesat përmbajnë shkronja, për shembull:

Le të fillojmë me diçka të thjeshtë:

a) Emëruesit nuk përmbajnë shkronja

Këtu gjithçka është e njëjtë si me thyesat e zakonshme numerike: gjejmë emëruesin e përbashkët, shumëzojmë çdo thyesë me faktorin që mungon dhe mbledhim/zbresim numëruesit:

Tani në numërues mund të jepni të ngjashme, nëse ka, dhe t'i faktorizoni ato:

Provojeni vetë:

Përgjigjet:

b) Emëruesit përmbajnë shkronja

Le të kujtojmë parimin e gjetjes së një emëruesi të përbashkët pa shkronja:

· para së gjithash përcaktojmë faktorët e përbashkët;

· më pas shkruajmë të gjithë faktorët e përbashkët një nga një;

· dhe t'i shumëzoni me të gjithë faktorët e tjerë jo të përbashkët.

Për të përcaktuar faktorët e përbashkët të emëruesve, së pari i faktorizojmë në faktorët kryesorë:

Le të theksojmë faktorët e përbashkët:

Tani le të shkruajmë faktorët e përbashkët një nga një dhe t'u shtojmë të gjithë faktorët jo të zakonshëm (të pa nënvizuar):

Ky është emëruesi i përbashkët.

Le të kthehemi te letrat. Emëruesit janë dhënë saktësisht në të njëjtën mënyrë:

· faktorizoni emëruesit;

· të përcaktojë faktorët e përbashkët (identikë);

· shkruani një herë të gjithë faktorët e përbashkët;

· t'i shumëzojë me të gjithë faktorët e tjerë jo të zakonshëm.

Pra, me radhë:

1) faktorizoni emëruesit:

2) përcaktoni faktorët e përbashkët (identikë):

3) shkruani të gjithë faktorët e përbashkët një herë dhe shumëzojini me të gjithë faktorët e tjerë (të patheksuar):

Pra, këtu ka një emërues të përbashkët. Pjesa e parë duhet të shumëzohet me, e dyta - me:

Nga rruga, ekziston një mashtrim:

Për shembull: .

Ne shohim të njëjtët faktorë në emërues, vetëm të gjithë me tregues të ndryshëm. Emëruesi i përbashkët do të jetë:

deri në një shkallë

deri në një shkallë.

Le ta komplikojmë detyrën:

Si të bëjmë thyesat të kenë emërues të njëjtë?

Le të kujtojmë vetinë bazë të një thyese:

Askund nuk thotë se i njëjti numër mund të zbritet (ose shtohet) nga numëruesi dhe emëruesi i një thyese. Sepse nuk është e vërtetë!

Shihni vetë: merrni ndonjë thyesë, për shembull, dhe shtoni një numër në numëruesin dhe emëruesin, për shembull, . Çfarë mësuat?

Pra, një rregull tjetër i palëkundshëm:

Kur reduktoni thyesat në një emërues të përbashkët, përdorni vetëm veprimin e shumëzimit!

Por me çfarë ju duhet të shumëzoni për të marrë?

Pra shumëzojeni me. Dhe shumëzojeni me:

Shprehjet që nuk mund të faktorizohen do t'i quajmë "faktorë elementar".

Për shembull, - ky është një faktor elementar. - Njësoj. Por jo: mund të faktorizohet.

Po shprehja? Është elementare?

Jo, sepse mund të faktorizohet:

(ju tashmë keni lexuar për faktorizimin në temën "").

Pra, faktorët elementar në të cilët zbërthehet një shprehje me shkronja janë një analog i faktorëve të thjeshtë në të cilët zbërthehen numrat. Dhe ne do të merremi me ta në të njëjtën mënyrë.

Shohim që të dy emëruesit kanë një shumëzues. Do të shkojë në emëruesin e përbashkët deri në shkallë (kujtoni pse?).

Faktori është elementar, dhe ata nuk kanë një faktor të përbashkët, që do të thotë se thyesa e parë thjesht do të duhet të shumëzohet me të:

Një shembull tjetër:

Zgjidhja:

Para se t'i shumëzoni këta emërues në panik, duhet të mendoni se si t'i faktorizoni ato? Ata të dy përfaqësojnë:

E shkëlqyeshme! Pastaj:

Një shembull tjetër:

Zgjidhja:

Si zakonisht, le të faktorizojmë emëruesit. Në emëruesin e parë thjesht e vendosim jashtë kllapave; në të dytën - ndryshimi i katrorëve:

Duket se nuk ka faktorë të përbashkët. Por po t'i shikoni me vëmendje, ato janë të ngjashme... Dhe është e vërtetë:

Pra, le të shkruajmë:

Kjo do të thotë, doli kështu: brenda kllapës ne këmbyem termat, dhe në të njëjtën kohë shenja përpara fraksionit ndryshoi në të kundërtën. Kini parasysh, do t'ju duhet ta bëni këtë shpesh.

Tani le ta sjellim atë në një emërues të përbashkët:

E kuptova? Le ta kontrollojmë tani.

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Përgjigjet:

Këtu duhet të kujtojmë edhe një gjë - ndryshimin e kubeve:

Ju lutemi vini re se emëruesi i thyesës së dytë nuk përmban formulën "katrori i shumës"! Katrori i shumës do të duket kështu: .

A është i ashtuquajturi katrori jo i plotë i shumës: termi i dytë në të është prodhimi i të parit dhe të fundit, dhe jo produkti i dyfishtë i tyre. Katrori i pjesshëm i shumës është një nga faktorët në zgjerimin e diferencës së kubeve:

Çfarë duhet të bëni nëse tashmë ka tre fraksione?

Po, e njëjta gjë! Para së gjithash, le të sigurohemi që numri maksimal i faktorëve në emërues është i njëjtë:

Ju lutemi vini re: nëse ndryshoni shenjat brenda një kllapa, shenja përpara fraksionit ndryshon në të kundërtën. Kur ndryshojmë shenjat në kllapa e dytë, shenja përpara thyesës ndryshon përsëri në të kundërtën. Si rezultat, ajo (shenja përballë thyesës) nuk ka ndryshuar.

Ne e shkruajmë të gjithë emëruesin e parë në emëruesin e përbashkët, dhe më pas i shtojmë të gjithë faktorët që nuk janë shkruar ende, nga i dyti, dhe më pas nga i treti (e kështu me radhë, nëse ka më shumë thyesa). Kjo do të thotë, rezulton kështu:

Hmm... Është e qartë se çfarë duhet bërë me thyesat. Por çfarë ndodh me të dy?

Është e thjeshtë: ju dini si të shtoni thyesa, apo jo? Pra, ne duhet të bëjmë dy të bëhen një thyesë! Le të kujtojmë: një thyesë është një veprim pjesëtimi (numëruesi pjesëtohet me emëruesin, në rast se keni harruar). Dhe nuk ka asgjë më të lehtë sesa pjesëtimi i një numri me. Në këtë rast, vetë numri nuk do të ndryshojë, por do të kthehet në një fraksion:

Pikërisht ajo që nevojitet!

5. Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave.

Epo, pjesa më e vështirë ka mbaruar tani. Dhe përpara nesh është më e thjeshta, por në të njëjtën kohë më e rëndësishmja:

Procedura

Cila është procedura për llogaritjen e një shprehjeje numerike? Mbani mend duke llogaritur kuptimin e kësaj shprehjeje:

A keni numëruar?

Duhet të funksionojë.

Pra, më lejoni t'ju kujtoj.

Hapi i parë është llogaritja e shkallës.

E dyta është shumëzimi dhe pjesëtimi. Nëse ka disa shumëzime dhe pjesëtime në të njëjtën kohë, ato mund të bëhen në çdo rend.

Dhe së fundi, ne kryejmë mbledhje dhe zbritje. Përsëri, në çdo mënyrë.

Por: shprehja në kllapa vlerësohet jashtë radhe!

Nëse disa kllapa shumëzohen ose pjesëtohen me njëra-tjetrën, fillimisht llogarisim shprehjen në secilën prej kllapave dhe më pas shumëzojmë ose pjesëtojmë ato.

Po sikur të ketë më shumë kllapa brenda kllapave? Epo, le të mendojmë: një shprehje është shkruar brenda kllapave. Kur llogaritni një shprehje, çfarë duhet të bëni së pari? Kjo është e drejtë, llogaritni kllapat. Epo, ne e kuptuam: së pari llogarisim kllapat e brendshme, pastaj gjithçka tjetër.

Pra, procedura për shprehjen e mësipërme është si më poshtë (veprimi aktual është theksuar me të kuqe, domethënë veprimi që po kryej tani):

Mirë, gjithçka është e thjeshtë.

Por kjo nuk është njësoj si një shprehje me shkronja?

Jo, është e njëjta gjë! Vetëm në vend të operacioneve aritmetike, duhet të bëni ato algjebrike, domethënë veprimet e përshkruara në pjesën e mëparshme: duke sjellë të ngjashme, duke shtuar thyesat, duke reduktuar thyesat, e kështu me radhë. Dallimi i vetëm do të jetë veprimi i faktorizimit të polinomeve (shpesh e përdorim këtë kur punojmë me thyesa). Më shpesh, për të faktorizuar, duhet të përdorni I ose thjesht të vendosni faktorin e përbashkët jashtë kllapave.

Zakonisht qëllimi ynë është të përfaqësojmë një shprehje si produkt ose koeficient.

Për shembull:

Le të thjeshtojmë shprehjen.

1) Së pari, ne thjeshtojmë shprehjen në kllapa. Aty kemi një diferencë thyesash dhe synimi ynë është ta paraqesim atë si produkt ose koeficient. Pra, i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët dhe shtojmë:

Është e pamundur të thjeshtohet më tej kjo shprehje, të gjithë faktorët këtu janë elementar (e mbani mend akoma se çfarë do të thotë kjo?).

2) Ne marrim:

Shumëzimi i thyesave: çfarë mund të jetë më e thjeshtë.

3) Tani mund të shkurtoni:

OK tani ka mbaruar. Asgjë e komplikuar, apo jo?

Një shembull tjetër:

Thjeshtoni shprehjen.

Së pari, përpiquni ta zgjidhni vetë dhe vetëm atëherë shikoni zgjidhjen.

Zgjidhja:

Para së gjithash, le të përcaktojmë rendin e veprimeve.

Së pari, le të mbledhim thyesat në kllapa, kështu që në vend të dy thyesave marrim një.

Më pas do të bëjmë ndarjen e thyesave. Epo, le të shtojmë rezultatin me fraksionin e fundit.

Unë do t'i numëroj hapat në mënyrë skematike:

Tani do t'ju tregoj procesin, duke e ngjyrosur veprimin aktual me të kuqe:

1. Nëse ka të ngjashme, duhet të sillen menjëherë. Në çdo moment që shfaqen të ngjashme në vendin tonë, këshillohet që ato të ngrihen menjëherë.

2. E njëjta gjë vlen edhe për thyesat reduktuese: sapo të shfaqet mundësia për të reduktuar, duhet të përfitohet. Përjashtim është për thyesat që shtoni ose zbritni: nëse tani kanë të njëjtët emërues, atëherë zvogëlimi duhet të lihet për më vonë.

Këtu janë disa detyra që duhet t'i zgjidhni vetë:

Dhe çfarë u premtua në fillim:

Përgjigjet:

Zgjidhjet (e shkurtër):

Nëse keni përballuar të paktën tre shembujt e parë, atëherë konsideroni veten se e keni zotëruar temën.

Tani për të mësuar!

KONVERTIMI I SHPREHJEVE. PËRMBLEDHJE DHE FORMULA BAZË

Operacionet themelore të thjeshtimit:

Duke sjellë të ngjashme: për të shtuar (zvogëluar) terma të ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe të caktoni pjesën e shkronjës.
Faktorizimi: nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave, zbatimi i tij etj.
Reduktimi i një fraksioni: Numëruesi dhe emëruesi i një thyese mund të shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, i cili nuk e ndryshon vlerën e thyesës.
1) numëruesi dhe emëruesi faktorizoj
2) nëse numëruesi dhe emëruesi kanë faktorë të përbashkët, ata mund të kryqëzohen.
E RËNDËSISHME: vetëm shumëzuesit mund të reduktohen!
Mbledhja dhe zbritja e thyesave:
;
Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave:
;

Thjeshtimi i shprehjeve algjebrike është një nga çelësat për të mësuar algjebër dhe është një aftësi jashtëzakonisht e dobishme për të gjithë matematikanët. Thjeshtimi ju lejon të reduktoni një shprehje komplekse ose të gjatë në një shprehje të thjeshtë me të cilën është e lehtë të punohet. Aftësitë bazë të thjeshtimit janë të mira edhe për ata që nuk janë entuziastë për matematikën. Duke ndjekur disa rregulla të thjeshta, ju mund të thjeshtoni shumë nga llojet më të zakonshme të shprehjeve algjebrike pa ndonjë njohuri të veçantë matematikore.

Hapat

Përkufizime të rëndësishme

Anëtarë të ngjashëm . Këta janë anëtarë me një variabël të të njëjtit rend, anëtarë me të njëjtat variabla ose anëtarë të lirë (anëtarë që nuk përmbajnë një ndryshore). Me fjalë të tjera, termat e ngjashëm përfshijnë të njëjtën ndryshore në të njëjtën shkallë, përfshijnë disa nga të njëjtat variabla ose nuk përfshijnë fare një variabël. Rendi i termave në shprehje nuk ka rëndësi.
- Për shembull, 3x 2 dhe 4x 2 janë terma të ngjashëm sepse përmbajnë një ndryshore të rendit të dytë (në fuqinë e dytë) "x". Megjithatë, x dhe x2 nuk janë terma të ngjashëm, pasi përmbajnë variablin "x" të rendit të ndryshëm (i pari dhe i dyti). Po kështu, -3yx dhe 5xz nuk janë terma të ngjashëm sepse përmbajnë variabla të ndryshëm.
Faktorizimi . Ky është gjetja e numrave, produkti i të cilëve çon në numrin origjinal. Çdo numër origjinal mund të ketë disa faktorë. Për shembull, numri 12 mund të faktorizohet në seritë e mëposhtme të faktorëve: 1 × 12, 2 × 6 dhe 3 × 4, kështu që mund të themi se numrat 1, 2, 3, 4, 6 dhe 12 janë faktorë të numri 12. Faktorët janë të njëjtë me faktorët, pra numrat me të cilët ndahet numri origjinal.
- Për shembull, nëse dëshironi të faktorizoni numrin 20, shkruajeni kështu: 4×5.
- Vini re se gjatë faktorizimit, ndryshorja merret parasysh. Për shembull, 20x = 4 (5x).
- Numrat e thjeshtë nuk mund të faktorizohen sepse ata janë të pjesëtueshëm vetëm me veten dhe 1.
Mbani mend dhe ndiqni rendin e veprimeve për të shmangur gabimet.
- Kllapa
- Diplomë
- Shumëzimi
- Divizioni
- Shtim
- Zbritja
Sjellja e anëtarëve të ngjashëm
1. Shkruani shprehjen. Shprehjet e thjeshta algjebrike (ato që nuk përmbajnë thyesa, rrënjë, etj.) mund të zgjidhen (thjeshtohen) në vetëm disa hapa.
  - Për shembull, thjeshtoni shprehjen 1 + 2x - 3 + 4x.
2. Përcaktoni terma të ngjashëm ( terma me një ndryshore të të njëjtit rend, terma me të njëjtat variabla ose terma të lirë).
  - Gjeni terma të ngjashëm në këtë shprehje. Termat 2x dhe 4x përmbajnë një variabël të të njëjtit rend (i pari). Gjithashtu, 1 dhe -3 janë terma të lirë (nuk përmbajnë një ndryshore). Kështu, në këtë shprehje termat 2x dhe 4x janë të ngjashëm, dhe anëtarët 1 dhe -3 janë gjithashtu të ngjashme.
3. Jepni anëtarë të ngjashëm. Kjo do të thotë shtimi ose zbritja e tyre dhe thjeshtimi i shprehjes.
  - 2x + 4x = 6x
  - 1 - 3 = -2
4. Rishkruaj shprehjen duke marrë parasysh termat e dhëna. Do të merrni një shprehje të thjeshtë me më pak terma. Shprehja e re është e barabartë me atë origjinale.
  - Në shembullin tonë: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, domethënë shprehja origjinale është e thjeshtuar dhe më e lehtë për t'u punuar.
5. Ndiqni rendin e veprimeve kur sillni anëtarë të ngjashëm. Në shembullin tonë ishte e lehtë të jepeshin terma të ngjashëm. Megjithatë, në rastin e shprehjeve komplekse në të cilat termat janë të mbyllur në kllapa dhe janë të pranishme thyesat dhe rrënjët, nuk është aq e lehtë të sjellësh terma të tillë. Në këto raste, ndiqni rendin e veprimeve.
  - Për shembull, merrni parasysh shprehjen 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Këtu do të ishte gabim të përcaktohen menjëherë 3x dhe 2x si terma të ngjashëm dhe t'i jepen, sepse është e nevojshme të hapen kllapat së pari. Prandaj, kryeni veprimet sipas rendit të tyre.
    - 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Tani, kur shprehja përmban vetëm veprime të mbledhjes dhe zbritjes, mund të sillni terma të ngjashëm.
    - x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
    - x 2 + 12x + 3
Nxjerrja e shumëzuesit nga kllapat
1. Gjej pjesëtuesi më i madh i përbashkët(GCD) e të gjithë koeficientëve të shprehjes. GCD është numri më i madh me të cilin ndahen të gjithë koeficientët e shprehjes.
  - Për shembull, merrni parasysh ekuacionin 9x 2 + 27x - 3. Në këtë rast, GCD = 3, pasi çdo koeficient i kësaj shprehjeje është i pjesëtueshëm me 3.
2. Ndani çdo term të shprehjes me gcd. Termat që rezultojnë do të përmbajnë koeficientë më të vegjël se në shprehjen origjinale.
  - Në shembullin tonë, ndani çdo term në shprehje me 3.
    - 9x 2/3 = 3x 2
    - 27x/3 = 9x
    - -3/3 = -1
    - Rezultati ishte një shprehje 3x 2 + 9x - 1. Nuk është e barabartë me shprehjen origjinale.
3. Shkruani shprehjen origjinale si të barabartë me produktin e gcd dhe shprehjen që rezulton. Kjo do të thotë, mbyllni shprehjen që rezulton në kllapa dhe hiqni gcd nga kllapat.
  - Në shembullin tonë: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)
4. Thjeshtimi i shprehjeve thyesore duke vendosur faktorin jashtë kllapave. Pse thjesht ta vendosni shumëzuesin jashtë kllapave, siç u bë më parë? Më pas, për të mësuar se si të thjeshtohen shprehjet komplekse, siç janë shprehjet thyesore. Në këtë rast, vendosja e faktorit jashtë kllapave mund të ndihmojë në heqjen e thyesës (nga emëruesi).
  - Për shembull, merrni parasysh shprehjen thyesore (9x 2 + 27x - 3)/3. Përdorni faktorizimin jashtë kllapave për të thjeshtuar këtë shprehje.
    - Vendos faktorin 3 jashtë kllapave (siç bëtë më parë): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
    - Vini re se tani ka një 3 si në numërues ashtu edhe në emërues Kjo mund të reduktohet për të dhënë shprehjen: (3x 2 + 9x - 1)/1
    - Meqenëse çdo thyesë që ka numrin 1 në emërues është thjesht e barabartë me numëruesin, shprehja origjinale thyesore thjeshtohet në: 3x 2 + 9x - 1.
Metoda shtesë të thjeshtimit
1. Thjeshtimi i shprehjeve thyesore. Siç u përmend më lart, nëse si numëruesi ashtu edhe emëruesi përmbajnë të njëjtat terma (ose edhe të njëjtat shprehje), atëherë ato mund të reduktohen. Për ta bërë këtë, ju duhet të hiqni nga kllapat faktorin e përbashkët të numëruesit ose emëruesit, ose edhe numëruesin dhe emëruesin. Ose mund ta ndani çdo term në numërues me emëruesin dhe kështu të thjeshtoni shprehjen.
  - Për shembull, merrni parasysh shprehjen thyesore (5x 2 + 10x + 20)/10. Këtu, thjesht ndani çdo term numërues me emëruesin (10). Por vini re se termi 5x 2 nuk është i pjesëtueshëm në mënyrë të barabartë me 10 (pasi 5 është më pak se 10).
    - Pra, shkruani një shprehje të thjeshtuar si kjo: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.
2. Thjeshtimi i shprehjeve radikale. Shprehjet nën shenjën e rrënjës quhen shprehje radikale. Ato mund të thjeshtohen përmes zbërthimit të tyre në faktorë të përshtatshëm dhe heqjes së mëvonshme të një faktori nga poshtë rrënjës.
  - Le të shohim një shembull të thjeshtë: √(90). Numri 90 mund të faktorizohet në faktorët e mëposhtëm: 9 dhe 10, dhe nga 9 mund të marrim rrënjën katrore (3) dhe të nxjerrim 3 nga poshtë rrënjës.
    - √(90)
    - √(9×10)
    - √(9)×√(10)
    - 3×√(10)
    - 3√(10)
3. Thjeshtimi i shprehjeve me fuqi. Disa shprehje përmbajnë veprime të shumëzimit ose pjesëtimit të termave me fuqi. Në rastin e shumëzimit të termave me të njëjtën bazë, fuqitë e tyre shtohen; në rastin e pjesëtimit të termave me të njëjtën bazë, fuqitë e tyre zbriten.
  - Për shembull, merrni parasysh shprehjen 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Në rastin e shumëzimit, mblidhni fuqitë dhe në rastin e pjesëtimit, zbritni ato.
    - 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
    - (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
    - 48x 7 + x 2
  - Më poshtë jepet një shpjegim i rregullave për shumëzimin dhe pjesëtimin e termave të eksponentëve.
    - Shumëzimi i termave me fuqi është i barabartë me shumëzimin e termave në vetvete. Për shembull, meqenëse x 3 = x × x × x dhe x 5 = x × x × x × x × x, atëherë x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ose x 8 .
    - Po kështu, pjesëtimi i termave me gradë është ekuivalent me ndarjen e termave nga vetvetja. x 5 /x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x x x). Meqenëse termat e ngjashëm që gjenden si në numërues ashtu edhe në emërues mund të reduktohen, prodhimi i dy "x", ose x 2, mbetet në numërues.

Thyesat

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Fraksionet nuk janë shumë telash në shkollën e mesme. Për momentin. Derisa të hasni fuqi me eksponentë racionalë dhe logaritme. Dhe aty... Ju shtypni dhe shtypni kalkulatorin dhe ai tregon një shfaqje të plotë të disa numrave. Duhet të mendosh me kokë si në klasën e tretë.

Më në fund le të kuptojmë thyesat! Epo, sa mund të ngatërrohesh në to!? Për më tepër, gjithçka është e thjeshtë dhe logjike. Kështu që, cilat janë llojet e thyesave?

Llojet e thyesave. Transformimet.

Ekzistojnë tre lloje të thyesave.

1. Thyesat e zakonshme , Për shembull:

Ndonjëherë në vend të një vije horizontale ata vendosin një prerje: 1/2, 3/4, 19/5, mirë, e kështu me radhë. Këtu do ta përdorim shpesh këtë drejtshkrim. Telefonohet numri më i lartë numërues, më e ulët - emërues. Nëse vazhdimisht i ngatërroni këta emra (ndodh...), thuani vetes frazën: " Zzzzz mbaj mend! Zzzzz emërues - shiko zzzzz Uh!" Shikoni, gjithçka do të mbahet mend.)

Viza, qoftë horizontale apo e pjerrët, do të thotë ndarje numri i lartë (numëruesi) deri në fund (emëruesi). Kjo eshte e gjitha! Në vend të një vize, është mjaft e mundur të vendosni një shenjë ndarjeje - dy pika.

Kur është e mundur ndarja e plotë, kjo duhet të bëhet. Pra, në vend të fraksionit "32/8" është shumë më e këndshme të shkruhet numri "4". Ato. 32 thjesht ndahet me 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Nuk po flas as për thyesën “4/1”. Që është gjithashtu vetëm "4". Dhe nëse nuk është plotësisht i ndashëm, e lëmë si thyesë. Ndonjëherë ju duhet të bëni operacionin e kundërt. Shndërroni një numër të plotë në një thyesë. Por më shumë për këtë më vonë.

2. Dhjetoret , Për shembull:

Është në këtë formë që do t'ju duhet të shkruani përgjigjet për detyrat "B".

3. Numra të përzier , Për shembull:

Numrat e përzier praktikisht nuk përdoren në shkollën e mesme. Për të punuar me ta, ato duhet të shndërrohen në fraksione të zakonshme. Por ju patjetër duhet të jeni në gjendje ta bëni këtë! Përndryshe do të hasni një numër të tillë në një problem dhe do të ngrini... Nga askund. Por ne do ta kujtojmë këtë procedurë! Pak më poshtë.

Më i gjithanshëm thyesat e zakonshme. Le të fillojmë me ta. Nga rruga, nëse një fraksion përmban të gjitha llojet e logaritmeve, sinuseve dhe shkronjave të tjera, kjo nuk ndryshon asgjë. Në kuptimin që gjithçka veprimet me shprehje thyesore nuk ndryshojnë nga veprimet me thyesat e zakonshme!

Vetia kryesore e një thyese.

Pra, le të shkojmë! Për të filluar, unë do t'ju befasoj. E gjithë shumëllojshmëria e transformimeve të fraksioneve sigurohet nga një veti e vetme! Kështu quhet vetia kryesore e një thyese. Mbani mend: Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen (pjestohen) me të njëjtin numër, thyesa nuk ndryshon. Ato:

Është e qartë se mund të vazhdoni të shkruani derisa të jeni blu në fytyrë. Mos lejoni që sinuset dhe logaritmet t'ju ngatërrojnë, ne do të merremi me to më tej. Gjëja kryesore është të kuptojmë se të gjitha këto shprehje të ndryshme janë e njëjta fraksion . 2/3.

A kemi nevojë për të, gjithë këto transformime? Dhe si! Tani do ta shihni vetë. Për të filluar, le të përdorim vetinë bazë të një thyese për duke reduktuar thyesat. Do të dukej si një gjë elementare. Ndani numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër dhe kaq! Është e pamundur të bësh një gabim! Por... njeriu është një qenie krijuese. Ju mund të bëni një gabim kudo! Sidomos nëse duhet të zvogëloni jo një fraksion si 5/10, por një shprehje thyesore me të gjitha llojet e shkronjave.

Si të zvogëlohen saktë dhe shpejt thyesat pa bërë punë shtesë, mund të lexohet në seksionin special 555.

Një student normal nuk shqetësohet të pjesëtojë numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër (ose shprehje)! Ai thjesht kryqëzon gjithçka që është e njëjtë lart dhe poshtë! Këtu fshihet një gabim tipik, një gabim, nëse doni.

Për shembull, ju duhet të thjeshtoni shprehjen:

Nuk ka asgjë për të menduar këtu, kaloni shkronjën "a" sipër dhe dy në fund! Ne marrim:

Gjithçka është e saktë. Por me të vërtetë jeni ndarë të gjitha numërues dhe të gjitha emëruesi është "a". Nëse jeni mësuar të kaloni vetëm jashtë, atëherë me nxitim mund të kaloni "a" në shprehje

dhe merrni përsëri

Gjë që do të ishte kategorikisht e pavërtetë. Sepse këtu të gjitha numëruesi në "a" është tashmë nuk ndan! Ky fraksion nuk mund të reduktohet. Meqë ra fjala, një ulje e tillë është, um... një sfidë serioze për mësuesin. Kjo nuk falet! Të kujtohet? Kur zvogëloni, duhet të ndani të gjitha numërues dhe të gjitha emërues!

Reduktimi i thyesave e bën jetën shumë më të lehtë. Ju do të merrni një fraksion diku, për shembull 375/1000. Si mund të vazhdoj të punoj me të tani? Pa një kalkulator? Shumëzo, thuaj, shto, katror!? Dhe nëse nuk jeni shumë dembel, shkurtojeni me kujdes me pesë, dhe me pesë të tjera, madje edhe ... ndërsa po shkurtohet, me pak fjalë. Le të marrim 3/8! Shumë më bukur, apo jo?

Vetia kryesore e një fraksioni ju lejon të konvertoni thyesat e zakonshme në dhjetore dhe anasjelltas pa një kalkulator! Kjo është e rëndësishme për Provimin e Unifikuar të Shtetit, apo jo?

Si të konvertoni thyesat nga një lloj në tjetrin.

Me thyesat dhjetore gjithçka është e thjeshtë. Siç dëgjohet, ashtu shkruhet! Le të themi 0.25. Kjo është pikë zero njëzet e pesë të qindtat. Kështu shkruajmë: 25/100. Zvogëlojmë (pjestojmë numëruesin dhe emëruesin me 25), marrim thyesën e zakonshme: 1/4. Të gjitha. Kjo ndodh dhe asgjë nuk zvogëlohet. Si 0.3. Kjo është tre të dhjetat, d.m.th. 3/10.

Po nëse numrat e plotë nuk janë zero? Është në rregull. Shkruajmë të gjithë thyesën pa asnjë presje në numërues, dhe në emërues - ajo që dëgjohet. Për shembull: 3.17. Kjo është tre pikë e shtatëmbëdhjetë e qindta. Ne shkruajmë 317 në numërues dhe 100 në emërues Marrim 317/100. Asgjë nuk zvogëlohet, kjo do të thotë gjithçka. Kjo është përgjigja. Elementare Watson! Nga gjithçka që u tha, një përfundim i dobishëm: çdo thyesë dhjetore mund të shndërrohet në një thyesë të zakonshme .

Por disa njerëz nuk mund të bëjnë konvertimin e kundërt nga i zakonshëm në dhjetor pa një kalkulator. Dhe është e nevojshme! Si do ta shkruani përgjigjen në Provimin e Bashkuar të Shtetit!? Lexoni me kujdes dhe zotëroni këtë proces.

Cila është karakteristika e një thyese dhjetore? Emëruesi i saj është Gjithmonë kushton 10, ose 100, ose 1000, ose 10000 e kështu me radhë. Nëse thyesa juaj e përbashkët ka këtë emërues, nuk ka asnjë problem. Për shembull, 4/10 = 0.4. Ose 7/100 = 0,07. Ose 12/10 = 1.2. Po sikur përgjigjja e detyrës në seksionin "B" të ishte 1/2? Çfarë do të shkruajmë si përgjigje? Kërkohen numrat dhjetorë...

Le të kujtojmë vetia kryesore e një thyese ! Matematika në mënyrë të favorshme ju lejon të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër. Gjithçka, meqë ra fjala! Përveç zeros, natyrisht. Pra, le ta përdorim këtë pronë në avantazhin tonë! Me çfarë mund të shumëzohet emëruesi, d.m.th. 2 në mënyrë që të bëhet 10, ose 100, ose 1000 (më e vogël është më mirë, sigurisht...)? Në 5, natyrisht. Mos ngurroni të shumëzoni emëruesin (kjo është ne e nevojshme) me 5. Por atëherë edhe numëruesi duhet të shumëzohet me 5. Kjo tashmë është matematikë kerkon! Marrim 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Kjo eshte e gjitha.

Sidoqoftë, ndeshen të gjitha llojet e emëruesve. Do të hasni, për shembull, thyesën 3/16. Provoni dhe kuptoni se me çfarë të shumëzoni 16 për të bërë 100 ose 1000... A nuk funksionon? Pastaj thjesht mund të ndani 3 me 16. Në mungesë të makinës llogaritëse, do të duhet të ndani me një cep, në një copë letre, siç mësonin në shkollën fillore. Ne marrim 0.1875.

Dhe ka edhe emërues shumë të këqij. Për shembull, nuk ka asnjë mënyrë për ta kthyer thyesën 1/3 në një dhjetore të mirë. Si në makinë llogaritëse ashtu edhe në një copë letër, marrim 0.3333333... Kjo do të thotë që 1/3 është një thyesë e saktë dhjetore. nuk përkthehet. Njësoj si 1/7, 5/6 e kështu me radhë. Ka shumë prej tyre, të papërkthyeshme. Kjo na sjell në një përfundim tjetër të dobishëm. Jo çdo thyesë mund të shndërrohet në dhjetore !

Nga rruga, ky është informacion i dobishëm për vetë-testim. Në pjesën "B" duhet të shkruani një thyesë dhjetore në përgjigjen tuaj. Dhe ju merrni, për shembull, 4/3. Kjo thyesë nuk shndërrohet në dhjetore. Kjo do të thotë se keni bërë një gabim diku gjatë rrugës! Kthehuni dhe kontrolloni zgjidhjen.

Pra, ne kuptuam thyesat e zakonshme dhe dhjetore. Mbetet të merremi me numra të përzier. Për të punuar me ta, ato duhet të shndërrohen në fraksione të zakonshme. Si ta bëjmë atë? Mund të kapni një nxënës të klasës së gjashtë dhe ta pyesni. Por një nxënës i klasës së gjashtë nuk do të jetë gjithmonë pranë... Do të duhet ta bëni vetë. Nuk është e vështirë. Duhet të shumëzoni emëruesin e pjesës thyesore me të gjithë pjesën dhe të shtoni numëruesin e pjesës thyesore. Ky do të jetë numëruesi i thyesës së përbashkët. Po emëruesi? Emëruesi do të mbetet i njëjtë. Duket e ndërlikuar, por në realitet gjithçka është e thjeshtë. Le të shohim një shembull.

Supozoni se u tmerruat kur shihni numrin në problem:

Me qetësi, pa panik, mendojmë. E gjithë pjesa është 1. Njësi. Pjesa thyesore është 3/7. Prandaj, emëruesi i pjesës thyesore është 7. Ky emërues do të jetë emëruesi i thyesës së zakonshme. Ne numërojmë numëruesin. Shumëzojmë 7 me 1 (pjesën e plotë) dhe shtojmë 3 (numëruesin e pjesës thyesore). Marrim 10. Ky do të jetë numëruesi i thyesës së përbashkët. Kjo eshte e gjitha. Duket edhe më e thjeshtë në shënimin matematikor:

Është e qartë? Atëherë sigurojeni suksesin tuaj! Shndërroni në thyesa të zakonshme. Ju duhet të merrni 10/7, 7/2, 23/10 dhe 21/4.

Operacioni i kundërt - konvertimi i një thyese të papërshtatshme në një numër të përzier - kërkohet rrallë në shkollën e mesme. Epo, nëse po... Dhe nëse nuk jeni në shkollë të mesme, mund të shikoni seksionin special 555. Nga rruga, do të mësoni edhe për fraksionet e pahijshme atje.

Epo, kjo është praktikisht e gjitha. I kujtove llojet e thyesave dhe kuptove Si transferimi i tyre nga një lloj në tjetrin. Pyetja mbetet: Per cfare beje? Ku dhe kur të zbatohet kjo njohuri e thellë?

Une pergjigjem. Çdo shembull në vetvete sugjeron veprimet e nevojshme. Nëse në shembull përzihen së bashku thyesat e zakonshme, dhjetoret, madje edhe numrat e përzier, çdo gjë e shndërrojmë në thyesa të zakonshme. Mund të bëhet gjithmonë. Epo, nëse thotë diçka si 0.8 + 0.3, atëherë e numërojmë në atë mënyrë, pa asnjë përkthim. Pse kemi nevojë për punë shtesë? Ne zgjedhim zgjidhjen që është e përshtatshme ne !

Nëse detyra është e gjitha thyesat dhjetore, por um... disa të këqija, shkoni te ato të zakonshmet dhe provojeni! Shikoni, gjithçka do të funksionojë. Për shembull, do t'ju duhet të vendosni në katror numrin 0,125. Nuk është aq e lehtë nëse nuk jeni mësuar të përdorni një kalkulator! Jo vetëm që duhet të shumëzoni numrat në një kolonë, duhet të mendoni gjithashtu se ku të vendosni presjen! Sigurisht që nuk do të funksionojë në kokën tuaj! Po sikur të kalojmë në një fraksion të zakonshëm?

0,125 = 125/1000. E zvogëlojmë me 5 (kjo është për fillim). Ne marrim 25/200. Edhe një herë nga 5. Marrim 5/40. Oh, është ende duke u tkurrur! Kthehu tek 5! Ne marrim 1/8. Mund ta sheshojmë lehtësisht (në mendjen tonë!) dhe të marrim 1/64. Të gjitha!

Le ta përmbledhim këtë mësim.

1. Ekzistojnë tre lloje thyesash. Numrat e përbashkët, dhjetorë dhe të përzier.

2. Numrat dhjetorë dhe të përzier Gjithmonë mund të shndërrohet në thyesa të zakonshme. Transferimi i kundërt jo gjithmone në dispozicion.

3. Zgjedhja e llojit të thyesave për të punuar me një detyrë varet nga vetë detyra. Nëse ka lloje të ndryshme fraksionesh në një detyrë, gjëja më e besueshme është kalimi në fraksione të zakonshme.

Tani mund të praktikoni. Së pari, konvertoni këto thyesa dhjetore në thyesa të zakonshme:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Ju duhet të merrni përgjigje si kjo (në një rrëmujë!):

Le të përfundojmë këtu. Në këtë mësim ne rifreskuam kujtesën tonë për pikat kryesore rreth thyesave. Ndodh, megjithatë, që nuk ka asgjë të veçantë për të rifreskuar...) Nëse dikush e ka harruar plotësisht, ose nuk e ka zotëruar ende atë... Atëherë mund të shkoni te një Seksion i veçantë 555. Të gjitha bazat mbulohen në detaje atje. Shumë papritur kuptoj gjithçka janë duke filluar. Dhe ata zgjidhin thyesat në fluturim).