Të forcojë aftësinë për të shumëzuar numrat natyrorë, thyesat e zakonshme dhe dhjetore;
Mësoni të shumëzoni numrat pozitivë dhe negativë;
Të zhvillojë aftësinë për të punuar në grup,
Zhvilloni kuriozitetin dhe interesin për matematikën; aftësia për të menduar dhe folur për një temë.
Pajisjet: modele termometrash dhe shtëpish, karta për llogaritje mendore dhe punë testuese, një poster me rregullat e shenjave për shumëzim.
Gjatë orëve të mësimit
Motivimi
Mësues . Sot po fillojmë të studiojmë një temë të re. Është sikur do të ndërtojmë një shtëpi të re. Më thuaj, nga varet forca e një shtëpie?
[Nga themeli.]
Tani le të kontrollojmë se cili është themeli ynë, domethënë forca e njohurive tona. Nuk ju thashë temën e mësimit. Është i koduar, domethënë i fshehur në detyrën për llogaritjen mendore. Jini të kujdesshëm dhe të vëmendshëm. Këtu janë kartat me shembuj. Duke i zgjidhur ato dhe duke e përputhur përgjigjen me një shkronjë, do të zbuloni emrin e temës së mësimit.
[SHUMËZIMI]
Mësues. Pra, kjo fjalë është "shumohet". Por ne tashmë jemi njohur me shumëzimin. Pse tjetër duhet ta studiojmë? Me cilët numra jeni njohur kohët e fundit?
[Me pozitive dhe negative.]
A dimë si t'i shumëzojmë ato? Prandaj, tema e mësimit do të jetë "Shumëzimi i numrave pozitivë dhe negativë".
I keni zgjidhur shembujt shpejt dhe saktë. Është hedhur një themel i mirë. ( Mësues në një shtëpi model« shtrihet» themeli.) Unë mendoj se shtëpia do të jetë e fortë.
Mësimi i një teme të re
Mësues . Tani do të ndërtojmë mure. Lidhin dyshemenë dhe çatinë, pra temën e vjetër me të renë. Tani do të punoni në grupe. Secilit grup do t'i jepet një problem për ta zgjidhur së bashku dhe më pas do t'ia shpjegojnë klasës zgjidhjen.
Grupi 1
Temperatura e ajrit bie me 2° çdo orë. Tani termometri tregon zero gradë. Çfarë temperature do të tregojë pas 3 orësh?
Vendimi në grup. Duke qenë se tani temperatura është 0 dhe çdo orë temperatura bie me 2°, është e qartë se për 3 orë temperatura do të jetë -6°. Le të shënojmë rënien e temperaturës -2°, dhe kohën +3 orë. Atëherë mund të supozojmë se (–2)·3 = –6.
Mësues . Çfarë ndodh nëse i riorganizoj faktorët, pra 3·(–2)?
Studentët. Përgjigja është e njëjtë: –6, pasi përdoret vetia komutative e shumëzimit.
Grupi i 2-të
Temperatura e ajrit bie me 2° çdo orë. Tani termometri tregon zero gradë. Çfarë temperature të ajrit tregoi termometri 3 orë më parë?
Vendimi në grup. Duke qenë se temperatura binte me 2° çdo orë, dhe tani është 0, është e qartë se 3 orë më parë ishte +6°. Le ta shënojmë rënien e temperaturës si -2° dhe kohën e kaluar si -3 orë. Atëherë mund të supozojmë se (–2)·(–3) = 6.
Mësues . Ju ende nuk dini si të shumëzoni numrat pozitivë dhe negativë. Por ata zgjidhën probleme aty ku ishte e nevojshme të shumëzoheshin numra të tillë. Përpiquni të nxirrni vetë rregullat për shumëzimin e numrave pozitivë dhe negativë ose dy numrave negativë. ( Nxënësit përpiqen të nxjerrin një rregull.) Mirë. Tani le të hapim tekstet tona dhe të lexojmë rregullat për shumëzimin e numrave pozitivë dhe negativë. Krahasoni rregullin tuaj me atë që shkruhet në tekstin shkollor.
Mësues. Siç e patë kur ndërtoni themelin, nuk keni probleme me shumëzimin e numrave natyrorë dhe thyesorë. Problemet mund të shfaqen kur shumëzohen numrat pozitivë dhe negativë. Pse?
Mbani mend! Kur shumëzoni numrat pozitivë dhe negativë:
1) përcaktoni shenjën;
2) gjeni produktin e modulit.
Mësues . Shenjat e shumëzimit kanë rregullat e tyre mnemonike që janë shumë të lehta për t'u mbajtur mend. Ato janë formuluar shkurtimisht si më poshtë:
(Në fletoret e tyre nxënësit shkruajnë rregullën e shenjave.)
Mësues . Nëse e konsiderojmë veten dhe miqtë tanë pozitivë, dhe armiqtë tanë negativë, atëherë mund të themi këtë:
Shoku i mikut tim është miku im.
Armiku i mikut tim është armiku im.
Miku i armikut tim është armiku im.
Armiku i armikut tim është miku im.
Kuptimi dhe zbatimi parësor i asaj që është mësuar
Në tabelë janë shembuj për zgjidhje gojore. Nxënësit lexojnë rregullin:
–5·6;
–8·(–7);
9·(–3);
–45·0;
6·8.
Mësues . Gjithçka e qartë? Nuk ka pyetje? Kështu ndërtohen muret. ( Mësuesi vendos mure.) Tani çfarë po ndërtojmë?
Konsolidimi.
(Katër studentë thirren në tabelë.)
Mësues. A është gati çatia?
(Mësuesi vendos një çati në një shtëpi model.)
Puna verifikuese
Nxënësit plotësojnë punën në një version.
Pas përfundimit të punës, ata shkëmbejnë fletoret me fqinjin e tyre. Mësuesi/ja raporton përgjigjet e sakta dhe nxënësit shënojnë njëri-tjetrin.
Përmbledhja e mësimit. Reflektimi
Mësues. Çfarë synimi vendosëm në fillim të mësimit? A keni mësuar si të shumëzoni numrat pozitivë dhe negativë? ( Përsëritni rregullat.) Siç e patë në këtë mësim, çdo temë e re është një shtëpi që duhet të ndërtohet tërësisht, me vite. Përndryshe, të gjitha ndërtesat tuaja do të shemben në një kohë të shkurtër. Prandaj, gjithçka varet nga ju. Ju uroj djema fat dhe suksese në marrjen e njohurive.
Kthehu përpara
Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha tiparet e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.
Objektivat e mësimit.
Tema:
- formuloni një rregull për shumëzimin e numrave negativë dhe numrave me shenja të ndryshme,
- mësojini nxënësit se si ta zbatojnë këtë rregull.
Metasubjekt:
- zhvilloni aftësinë për të punuar në përputhje me algoritmin e propozuar, hartoni një plan për veprimet tuaja,
- zhvillojnë aftësitë e vetëkontrollit.
Personal:
- zhvillojnë aftësitë e komunikimit,
- për të formuar interesin njohës të nxënësve.
Pajisjet: kompjuter, ekran, projektor multimedial, prezantim PowerPoint, fletushkë: tabela për rregullat e regjistrimit, teste.
(Libër mësuesi nga N.Ya. Vilenkin "Matematika. Klasa e 6-të", M: "Mnemosyne", 2013.)
Gjatë orëve të mësimit
I. Momenti organizativ.
Komunikimi i temës së mësimit dhe regjistrimi i temës në fletore nga nxënësit.
II. Motivimi.
Slide Nr. 2. (Qëllimi i mësimit. Plani i mësimit).
Sot do të vazhdojmë të studiojmë një veti të rëndësishme aritmetike - shumëzimin.
Ju tashmë dini se si të shumëzoni numrat natyrorë - verbalisht dhe në mënyrë kolone,
Mësoi si të shumëzojë numrat dhjetorë dhe thyesat e zakonshme. Sot do t'ju duhet të formuloni rregullin e shumëzimit për numrat negativë dhe numrat me shenja të ndryshme. Dhe jo vetëm formuloni atë, por edhe mësoni ta zbatoni atë.
III. Përditësimi i njohurive.
1) Slide numër 3.
Zgjidh barazimet: a) x: 1,8 = 0,15; b) y: = . (Studenti në dërrasën e zezë)
Përfundim: për të zgjidhur ekuacione të tilla duhet të jeni në gjendje të shumëzoni numra të ndryshëm.
2) Kontrollimi i detyrave të shtëpisë në mënyrë të pavarur. Rishikoni rregullat për shumëzimin e dhjetoreve, thyesave dhe numrave të përzier. (Slides Nr. 4 dhe Nr. 5).
IV. Formulimi i rregullit.
Merrni parasysh detyrën 1 (rrëshqitje numër 6).
Merrni parasysh detyrën 2 (rrëshqitje numër 7).
Në procesin e zgjidhjes së problemeve, ne duhej të shumëzonim numrat me shenja të ndryshme dhe numra negativë. Le të hedhim një vështrim më të afërt në këtë shumëzim dhe rezultatet e tij.
Duke shumëzuar numrat me shenja të ndryshme, marrim një numër negativ.
Le të shohim një shembull tjetër. Gjeni prodhimin (–2) * 3, duke zëvendësuar shumëzimin me shumën e termave identikë. Në mënyrë të ngjashme, gjeni produktin 3 * (–2). (Kontrollo - rrëshqitje nr. 8).
Pyetje:
1) Cila është shenja e rezultatit kur shumëzohen numrat me shenja të ndryshme?
2) Si fitohet moduli i rezultatit? Ne formulojmë një rregull për shumëzimin e numrave me shenja të ndryshme dhe shkruajmë rregullin në kolonën e majtë të tabelës. (Sllajdi Nr. 9 dhe Shtojca 1).
Rregulla për shumëzimin e numrave negativë dhe numrave me shenja të ndryshme.
Le të kthehemi te problema e dytë, në të cilën kemi shumëzuar dy numra negativë. Është mjaft e vështirë të shpjegohet një shumëzim i tillë në një mënyrë tjetër.
Le të përdorim shpjegimin që u dha në shekullin e 18-të nga shkencëtari i madh rus (i lindur në Zvicër), matematikani dhe mekaniku Leonhard Euler. (Leonard Euler la pas jo vetëm vepra shkencore, por shkroi edhe një sërë tekstesh për matematikën të destinuara për studentët e gjimnazit akademik).
Kështu që Euler shpjegoi rezultatin përafërsisht si më poshtë. (Sllajdi numër 10).
Është e qartë se –2 · 3 = – 6. Prandaj, prodhimi (–2) · (–3) nuk mund të jetë i barabartë me –6. Megjithatë, ai duhet të lidhet disi me numrin 6. Mbetet një mundësi: (–2) · (–3) = 6. .
Pyetje:
1) Cila është shenja e produktit?
2) Si u përftua moduli i produktit?
Ne formulojmë rregullën për shumëzimin e numrave negativë dhe plotësojmë kolonën e djathtë të tabelës. (Sllajdi nr. 11).
Për ta bërë më të lehtë të mbani mend rregullin e shenjave gjatë shumëzimit, mund të përdorni formulimin e tij në vargje. (Sllajdi nr. 12).
Plus me minus, duke shumëzuar,
Ne vendosim një minus pa u mërzitur.
Shumëzoni minus me minus
Ne do t'ju japim një plus si përgjigje!
V. Formimi i aftësive.
Le të mësojmë se si ta zbatojmë këtë rregull për llogaritjet. Sot në mësim do të kryejmë llogaritjet vetëm me numra të plotë dhe thyesa dhjetore.
1) Hartimi i një plani veprimi.
Është hartuar një skemë për zbatimin e rregullit. Shënimet bëhen në tabelë. Diagrami i përafërt në rrëshqitjen nr. 13.
2) Kryerja e veprimeve sipas skemës.
Zgjidhim nga teksti mësimor nr 1121 (b, c, i, j, p, p). Ne e kryejmë zgjidhjen në përputhje me diagramin e hartuar. Çdo shembull shpjegohet nga njëri prej nxënësve. Në të njëjtën kohë, zgjidhja tregohet në rrëshqitjen nr. 14.
3) Punoni në dyshe.
Detyra në rrëshqitjen numër 15.
Nxënësit punojnë me opsionet. Fillimisht, nxënësi i opsionit 1 zgjidh dhe shpjegon zgjidhjen e opsionit 2, nxënësi i opsionit 2 dëgjon me vëmendje, ndihmon dhe korrigjon nëse është e nevojshme dhe më pas nxënësit ndryshojnë rolet.
Detyrë shtesë për ato dyshe që mbarojnë punën më herët: Nr.1125.
Në fund të punës, verifikimi kryhet duke përdorur një zgjidhje të gatshme të vendosur në rrëshqitjen nr. 15 (përdoret animacioni).
Nëse shumë njerëz kanë arritur të zgjidhin numrin 1125, atëherë arrihet në përfundimin se shenja e numrit ndryshon kur shumëzohet me (?1).
4) Lehtësim psikologjik.
5) Punë e pavarur.
Punë e pavarur - teksti në rrëshqitjen nr. 17. Pas përfundimit të punës - vetëprovim duke përdorur një zgjidhje të gatshme (sllajdi nr. 17 - animacion, hiperlidhja me rrëshqitjen nr. 18).
VI. Kontrollimi i nivelit të asimilimit të materialit të studiuar. Reflektimi.
Nxënësit i nënshtrohen testit. Në të njëjtën fletë, vlerësoni punën tuaj në klasë duke plotësuar tabelën.
Testi "Rregulla e shumëzimit". Opsioni 1.
1) –13 * 5
A. –75. B. – 65. V. 65. D. 650.
2) –5 * (–33)
A. 165. B. –165. V. 350 G. –265.
3) –18 * (–9)
A. –162. B. 180. C. 162. D. 172.
4) –7 * (–11) * (–1)
A. 77. B. 0. C.–77. G. 72.
Testi "Rregulla e shumëzimit". Opsioni 2.
A. 84. B. 74. C. –84. G. 90.
2) –15 * (–6)
A. 80. B. –90. V. 60. D. 90.
A. 115. B. –165. V. 165. G. 0.
4) –6 * (–12) * (–1)
A. 60. B. –72. V. 72. G. 54.
VII. Detyre shtepie.
Klauzola 35, rregullore, nr 1143 (a – h), nr 1145 (c).
Letërsia.
1) Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. “Matematika 6. Libër mësuesi për institucionet e arsimit të përgjithshëm”, - M: “Mnemosyne”, 2013.
2) Chesnokov A.S., Neshkov K.I. “Materiale didaktike në matematikë për klasën 6”, M: “Prosveshchenie”, 2013.
3) Nikolsky S.M. dhe të tjera “Aritmetika 6”: libër shkollor për institucionet arsimore, M: “Prosveshchenie”, 2010.
4) Ershova A.P., Goloborodko V.V. “Punë e pavarur dhe testuese në matematikë për klasën e 6-të”. M: “Ilexa”, 2010.
5) “365 detyra për zgjuarsi”, përpiluar nga G. Golubkova, M: “AST-PRESS”, 2006.
6) “Enciklopedia e madhe e Kirilit dhe Metodit 2010”, 3 CD.
Në këtë artikull do të merremi me duke shumëzuar numrat me shenja të ndryshme. Këtu fillimisht do të formulojmë rregullën e shumëzimit të numrave pozitivë dhe negativë, do ta arsyetojmë atë dhe më pas do të shqyrtojmë zbatimin e këtij rregulli gjatë zgjidhjes së shembujve.
Navigimi i faqes.
Rregulla për shumëzimin e numrave me shenja të ndryshme
Shumëzimi i një numri pozitiv me një numër negativ, si dhe i një numri negativ me një numër pozitiv, kryhet si më poshtë: rregulli i shumëzimit të numrave me shenja të ndryshme: për të shumëzuar numrat me shenja të ndryshme, duhet të shumëzoni dhe të vendosni një shenjë minus përpara produktit që rezulton.
Le ta shkruajmë këtë rregull në formë letre. Për çdo numër real pozitiv a dhe çdo numër real negativ −b, barazia a·(−b)=−(|a|·|b|) , dhe gjithashtu për një numër negativ −a dhe një numër pozitiv b barazinë (−a)·b=−(|a|·|b|) .
Rregulli për shumëzimin e numrave me shenja të ndryshme është plotësisht në përputhje me vetitë e veprimeve me numra realë. Në të vërtetë, mbi bazën e tyre është e lehtë të tregohet se për numrat realë dhe pozitivë a dhe b një zinxhir barazish të formës a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, që vërteton se a·(−b) dhe a·b janë numra të kundërt, që nënkupton barazinë a·(−b)=−(a·b) . Dhe prej saj rrjedh vlefshmëria e rregullit të shumëzimit në fjalë.
Duhet të theksohet se rregulli i deklaruar për shumëzimin e numrave me shenja të ndryshme është i vlefshëm si për numrat realë ashtu edhe për numrat racionalë dhe për numrat e plotë. Kjo rrjedh nga fakti se veprimet me numra racional dhe numër të plotë kanë të njëjtat veti që u përdorën në vërtetimin e mësipërm.
Është e qartë se shumëzimi i numrave me shenja të ndryshme sipas rregullit që rezulton zbret në shumëzimin e numrave pozitivë.
Mbetet vetëm të shqyrtojmë shembuj të zbatimit të rregullit të shumëzimit të çmontuar kur shumëzojmë numra me shenja të ndryshme.
Shembuj të shumëzimit të numrave me shenja të ndryshme
Le të shohim disa zgjidhje shembuj të shumëzimit të numrave me shenja të ndryshme. Le të fillojmë me një rast të thjeshtë për t'u fokusuar në hapat e rregullit dhe jo në kompleksitetin llogaritës.
Shumëzoni numrin negativ −4 me numrin pozitiv 5.
Sipas rregullit për shumëzimin e numrave me shenja të ndryshme, së pari duhet të shumëzojmë vlerat absolute të faktorëve origjinalë. Moduli i -4 është 4, dhe moduli i 5 është 5, dhe duke shumëzuar numrat natyrorë 4 dhe 5 jepet 20. Më në fund, mbetet të vendosim një shenjë minus përpara numrit që rezulton, kemi -20. Kjo përfundon shumëzimin.
Shkurtimisht, zgjidhja mund të shkruhet si më poshtë: (−4)·5=−(4·5)=−20.
(−4)·5=−20.
Kur shumëzoni thyesat me shenja të ndryshme, duhet të jeni në gjendje të shumëzoni thyesat e zakonshme, të shumëzoni numrat dhjetorë dhe kombinimet e tyre me numra natyrorë dhe të përzier.
Shumëzoni numrat me shenja të ndryshme 0, (2) dhe.
Pasi të kemi bërë shndërrimin e një thyese dhjetore periodike në një thyesë të zakonshme, dhe gjithashtu pasi kemi kryer kalimin nga një numër i përzier në një thyesë jo të duhur, nga produkti origjinal do të vijmë te produkti i thyesave të zakonshme me shenja të ndryshme të formës. . Ky produkt është i barabartë me rregullin e shumëzimit të numrave me shenja të ndryshme. Mbetet vetëm të shumëzojmë thyesat e zakonshme në kllapa, kemi 
.
.
Më vete, vlen të përmendet shumëzimi i numrave me shenja të ndryshme, kur janë një ose të dy faktorët
Tani le të merremi me shumëzimi dhe pjesëtimi.
Le të themi se duhet të shumëzojmë +3 me -4. Si ta bëjmë atë?
Le të shqyrtojmë një rast të tillë. Tre persona janë në borxh dhe secili ka 4 dollarë borxh. Sa është borxhi total? Për ta gjetur atë, duhet të shtoni të tre borxhet: 4 dollarë + 4 dollarë + 4 dollarë = 12 dollarë. Ne vendosëm që mbledhja e tre numrave 4 të shënohet si 3x4. Meqenëse në këtë rast po flasim për borxhin, ekziston një shenjë "-" para 4. Ne e dimë se borxhi total është 12 dollarë, kështu që problemi ynë tani bëhet 3x(-4)=-12.
Do të marrim të njëjtin rezultat nëse, sipas problemit, secili nga katër personat ka një borxh prej 3 dollarë. Me fjalë të tjera, (+4)x(-3)=-12. Dhe meqenëse rendi i faktorëve nuk ka rëndësi, marrim (-4)x(+3)=-12 dhe (+4)x(-3)=-12.
Le të përmbledhim rezultatet. Kur shumëzoni një numër pozitiv dhe një numër negativ, rezultati do të jetë gjithmonë një numër negativ. Vlera numerike e përgjigjes do të jetë e njëjtë si në rastin e numrave pozitivë. Produkti (+4)x(+3)=+12. Prania e shenjës "-" ndikon vetëm në shenjë, por nuk ndikon në vlerën numerike.
Si të shumëzoni dy numra negativë?
Fatkeqësisht, është shumë e vështirë të dalësh me një shembull të përshtatshëm nga jeta reale për këtë temë. Është e lehtë të imagjinohet një borxh prej 3 ose 4 dollarësh, por është absolutisht e pamundur të imagjinohet -4 ose -3 persona që kanë hyrë në borxh.
Ndoshta do të shkojmë në një rrugë tjetër. Në shumëzim, kur ndryshon shenja e njërit prej faktorëve, shenja e prodhimit ndryshon. Nëse ndryshojmë shenjat e të dy faktorëve, duhet të ndryshojmë dy herë shenjë pune, fillimisht nga pozitive në negative, dhe pastaj anasjelltas, nga negative në pozitive, domethënë produkti do të ketë një shenjë fillestare.
Prandaj, është mjaft logjike, megjithëse pak e çuditshme, që (-3) x (-4) = +12.
Pozicioni i shenjës kur shumëzohet ndryshon si kjo:
- numër pozitiv x numër pozitiv = numër pozitiv;
- numër negativ x numër pozitiv = numër negativ;
- numër pozitiv x numër negativ = numër negativ;
- numër negativ x numër negativ = numër pozitiv.
Me fjale te tjera, duke shumëzuar dy numra me të njëjtat shenja, marrim një numër pozitiv. Duke shumëzuar dy numra me shenja të ndryshme, marrim një numër negativ.
I njëjti rregull është i vërtetë për veprimin e kundërt me shumëzimin - për.
Ju mund ta verifikoni këtë lehtësisht duke ekzekutuar veprimet e shumëzimit të anasjelltë. Në secilin nga shembujt e mësipërm, nëse shumëzoni herësin me pjesëtuesin, do të merrni dividentin dhe sigurohuni që të ketë të njëjtën shenjë, për shembull (-3)x(-4)=(+12).
Meqenëse dimri po vjen, është koha të mendoni se si t'i ndërroni këpucët e kalit tuaj të hekurt në mënyrë që të mos rrëshqasni në akull dhe të ndiheni të sigurt në rrugët e dimrit. Ju, për shembull, mund të blini goma Yokohama në faqen e internetit: mvo.ru ose disa të tjera, gjëja kryesore është se ato janë të cilësisë së lartë, mund të gjeni më shumë informacione dhe çmime në faqen e internetit Mvo.ru.
Ky artikull ofron një përmbledhje të detajuar pjesëtimi i numrave me shenja të ndryshme. Së pari jepet rregulli i pjesëtimit të numrave me shenja të ndryshme. Më poshtë janë shembuj të pjesëtimit të numrave pozitivë me numra negativë dhe negativë me pozitivë.
Navigimi i faqes.
Rregulla për pjesëtimin e numrave me shenja të ndryshme
Në ndarjen e artikujve të numrave të plotë, u mor një rregull për ndarjen e numrave të plotë me shenja të ndryshme. Mund të shtrihet si në numra racionalë ashtu edhe në numra realë duke përsëritur të gjithë arsyetimin nga artikulli i mësipërm.
Kështu që, rregull për pjesëtimin e numrave me shenja të ndryshme ka formulimin e mëposhtëm: për të pjesëtuar një numër pozitiv me një numër negativ ose një numër negativ me një pozitiv, duhet të ndani dividentin me modulin e pjesëtuesit dhe të vendosni një shenjë minus përpara numrit që rezulton.
Le ta shkruajmë këtë rregull të ndarjes duke përdorur shkronja. Nëse numrat a dhe b kanë shenja të ndryshme, atëherë formula është e vlefshme a:b=−|a|:|b| .
Nga rregulli i deklaruar është e qartë se rezultati i pjesëtimit të numrave me shenja të ndryshme është një numër negativ. Në të vërtetë, meqenëse moduli i dividentit dhe moduli i pjesëtuesit janë numra pozitivë, herësi i tyre është një numër pozitiv, dhe shenja minus e bën këtë numër negativ.
Vini re se rregulli i konsideruar redukton pjesëtimin e numrave me shenja të ndryshme në pjesëtimin e numrave pozitivë.
Ju mund të jepni një formulim tjetër të rregullit për pjesëtimin e numrave me shenja të ndryshme: për të ndarë numrin a me numrin b, duhet të shumëzoni numrin a me numrin b -1, inversin e numrit b. Kjo eshte, a:b=a b −1 .
Ky rregull mund të përdoret kur është e mundur të shkohet përtej grupit të numrave të plotë (pasi jo çdo numër i plotë ka një invers). Me fjalë të tjera, ai zbatohet për bashkësinë e numrave racionalë, si dhe për bashkësinë e numrave realë.
Është e qartë se ky rregull për ndarjen e numrave me shenja të ndryshme ju lejon të kaloni nga ndarja në shumëzim.
I njëjti rregull përdoret kur pjesëtohen numrat negativë.
Mbetet të merret parasysh se si zbatohet ky rregull për pjesëtimin e numrave me shenja të ndryshme gjatë zgjidhjes së shembujve.
Shembuj të pjesëtimit të numrave me shenja të ndryshme
Le të shqyrtojmë zgjidhjet për disa karakteristika shembuj të pjesëtimit të numrave me shenja të ndryshme për të kuptuar parimin e zbatimit të rregullave nga paragrafi paraprak.
Pjestojeni numrin negativ −35 me numrin pozitiv 7.
Rregulli për pjesëtimin e numrave me shenja të ndryshme parashikon gjetjen së pari të moduleve të dividendit dhe pjesëtuesit. Moduli i -35 është 35, dhe moduli i 7 është 7. Tani duhet të ndajmë modulin e dividentit me modulin e pjesëtuesit, domethënë duhet të ndajmë 35 me 7. Duke kujtuar se si kryhet pjesëtimi i numrave natyrorë, marrim 35:7=5. Hapi i fundit i mbetur në rregullin për pjesëtimin e numrave me shenja të ndryshme është vendosja e një minus para numrit që rezulton, kemi −5.
Ja e gjithë zgjidhja: .
Ishte e mundur të vazhdohej nga një formulim i ndryshëm i rregullit për ndarjen e numrave me shenja të ndryshme. Në këtë rast, së pari gjejmë inversin e pjesëtuesit 7. Ky numër është thyesa e përbashkët 1/7. Kështu,. Mbetet të shumëzohen numrat me shenja të ndryshme: . Natyrisht, arritëm në të njëjtin rezultat.
(−35):7=−5 .
Llogaritni herësin 8:(−60) .
Sipas rregullit të pjesëtimit të numrave me shenja të ndryshme kemi 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60)
. Shprehja që rezulton korrespondon me një fraksion të zakonshëm negativ (shiko shenjën e ndarjes si një shirit fraksioni), ju mund ta zvogëloni thyesën me 4, marrim 
.
Le ta shkruajmë shkurtimisht të gjithë zgjidhjen: .
.
Kur pjesëtohen numrat racionalë thyesorë me shenja të ndryshme, dividenti dhe pjesëtuesi i tyre zakonisht paraqiten si thyesa të zakonshme. Kjo për faktin se nuk është gjithmonë e përshtatshme për të kryer ndarjen me numra në shënime të tjera (për shembull, në dhjetor).
Moduli i dividendit është i barabartë, dhe moduli i pjesëtuesit është 0,(23) . Për të pjesëtuar modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit, le të kalojmë te thyesat e zakonshme.
Detyra 1. Një pikë lëviz në një vijë të drejtë nga e majta në të djathtë me një shpejtësi prej 4 dm. për sekondë dhe aktualisht po kalon në pikën A. Ku do të jetë pika lëvizëse pas 5 sekondash?
Nuk është e vështirë të kuptosh se pika do të jetë në 20 dm. në të djathtë të A. Le të shkruajmë zgjidhjen e këtij problemi duke përdorur numrat relativë. Për ta bërë këtë, ne biem dakord për simbolet e mëposhtme:
1) shpejtësia në të djathtë do të shënohet me shenjën +, dhe në të majtë me shenjën -, 2) distanca e pikës lëvizëse nga A në të djathtë do të shënohet me shenjën + dhe në të majtë me shenjën shenjë –, 3) periudha kohore pas momentit aktual me shenjën + dhe para momentit të tanishëm nga shenja –. Në problemën tonë jepen numrat e mëposhtëm: shpejtësia = + 4 dm. për sekondë, koha = + 5 sekonda dhe doli, siç e kuptuam në mënyrë aritmetike, numri + 20 dm., duke shprehur distancën e pikës lëvizëse nga A pas 5 sekondash. Bazuar në kuptimin e problemit, shohim se ai lidhet me shumëzimin. Prandaj, është e përshtatshme të shkruani zgjidhjen e problemit:
(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.
Detyra 2. Një pikë lëviz në një vijë të drejtë nga e majta në të djathtë me një shpejtësi prej 4 dm. për sekondë dhe aktualisht po kalon në pikën A. Ku ishte kjo pikë 5 sekonda më parë?
Përgjigja është e qartë: pika ishte në të majtë të A në një distancë prej 20 dm.
Zgjidhja është e përshtatshme, sipas kushteve në lidhje me shenjat dhe, duke pasur parasysh se kuptimi i problemit nuk ka ndryshuar, shkruani kështu:
(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.
Detyra 3. Një pikë lëviz në vijë të drejtë nga e djathta në të majtë me një shpejtësi prej 4 dm. për sekondë dhe aktualisht po kalon në pikën A. Ku do të jetë pika lëvizëse pas 5 sekondash?
Përgjigja është e qartë: 20 dm. në të majtë të A. Prandaj, sipas kushteve të njëjta në lidhje me shenjat, zgjidhjen e këtij problemi mund ta shkruajmë si më poshtë:
(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.
Detyra 4. Pika lëviz në vijë të drejtë nga e djathta në të majtë me një shpejtësi prej 4 dm. për sekondë dhe aktualisht po kalon në pikën A. Ku ishte pika lëvizëse 5 sekonda më parë?
Përgjigja është e qartë: në një distancë prej 20 dm. në të djathtë të A. Prandaj, zgjidhja e këtij problemi duhet të shkruhet si më poshtë:
(– 4) ∙ (– 5) = + 20.
Problemet e shqyrtuara tregojnë se si veprimi i shumëzimit duhet të shtrihet në numra relativë. Në problemat kemi 4 raste të shumëzimit të numrave me të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave:
1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.
Në të katër rastet, vlerat absolute të këtyre numrave duhet të shumëzohen, produkti duhet të ketë një shenjë + kur faktorët kanë të njëjtat shenja (rasti i parë dhe i katërt); dhe shenjë –, kur faktorët kanë shenja të ndryshme(rastet 2 dhe 3).
Nga këtu shohim se prodhimi nuk ndryshon nga rirregullimi i shumëzuesit dhe shumëzuesit.
Ushtrime.
Le të bëjmë një shembull të një llogaritjeje që përfshin mbledhjen, zbritjen dhe shumëzimin.
Për të mos ngatërruar rendin e veprimeve, le t'i kushtojmë vëmendje formulës
Këtu shkruhet shuma e prodhimeve të dy çifteve të numrave: prandaj, së pari duhet të shumëzoni numrin a me numrin b, pastaj të shumëzoni numrin c me numrin d dhe më pas të shtoni prodhimet që rezultojnë. Gjithashtu në barazimin.
Së pari duhet të shumëzoni numrin b me c dhe më pas të zbritni produktin që rezulton nga a.
Nëse do të ishte e nevojshme të mblidhej prodhimi i numrave a dhe b me c dhe shuma që rezulton të shumëzohej me d, atëherë duhet të shkruhet: (ab + c) d (krahaso me formulën ab + cd).
Nëse do të duhej të shumëzonim ndryshimin midis numrave a dhe b me c, do të shkruanim (a – b)c (krahasojeni me formulën a – bc).
Prandaj, le të përcaktojmë në përgjithësi se nëse rendi i veprimeve nuk tregohet me kllapa, atëherë së pari duhet të kryejmë shumëzim, dhe më pas të mbledhim ose zbresim.
Le të fillojmë të llogarisim shprehjen tonë: le të kryejmë fillimisht shtesat e shkruara brenda të gjitha kllapave të vogla, marrim:
Tani duhet të kryejmë shumëzimin brenda kllapave katrore dhe më pas të zbresim produktin që rezulton nga:
Tani le të kryejmë veprimet brenda kllapave të përdredhura: fillimisht shumëzimi dhe më pas zbritja:
Tani gjithçka që mbetet është të kryejmë shumëzimin dhe zbritjen:
16. Produkt i disa faktorëve. Le të kërkohet për të gjetur
(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).
Këtu ju duhet të shumëzoni numrin e parë me të dytin, produktin që rezulton me të 3-tin, etj. Nuk është e vështirë të përcaktohet në bazë të atij të mëparshmi që vlerat absolute të të gjithë numrave duhet të shumëzohen ndërmjet tyre.
Nëse të gjithë faktorët ishin pozitivë, atëherë bazuar në atë të mëparshëm do të zbulojmë se produkti duhet të ketë gjithashtu një shenjë +. Nëse ndonjë faktor do të ishte negativ
p.sh., (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),
atëherë prodhimi i të gjithë faktorëve që e paraprinë do të jepte një shenjë + (në shembullin tonë (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, nga shumëzimi i prodhimit që rezulton me një numër negativ (në shembullin tonë + 24 shumëzuar me –1) do të merrte një shenjë për produktin e ri duke e shumëzuar atë me faktorin tjetër pozitiv (në shembullin tonë –24 me +5), ne përsëri marrim një numër negativ, pasi të gjithë faktorët e tjerë supozohen të jenë pozitiv; shenja e produktit nuk mund të ndryshojë më.
Nëse do të kishte dy faktorë negativë, atëherë, duke arsyetuar si më sipër, do të zbulonim se në fillim, derisa të arrinim faktorin e parë negativ, produkti do të ishte pozitiv duke e shumëzuar atë me faktorin e parë negativ, produkti i ri do të rezultonte të jetë negativ, dhe kështu do të mbetej derisa të arrijmë faktorin e dytë negativ; Pastaj, duke shumëzuar një numër negativ me një negativ, produkti i ri do të ishte pozitiv, i cili do të mbetet i tillë në të ardhmen nëse faktorët e mbetur janë pozitiv.
Nëse do të kishte një faktor të tretë negativ, atëherë produkti pozitiv që rezulton nga shumëzimi i tij me këtë faktor të tretë negativ do të bëhej negativ; kështu do të mbetej nëse faktorët e tjerë do të ishin të gjithë pozitivë. Por nëse ka një faktor të katërt negativ, atëherë shumëzimi me të do ta bëjë produktin pozitiv. Duke arsyetuar në të njëjtën mënyrë, gjejmë se në përgjithësi:
Për të zbuluar shenjën e prodhimit të disa faktorëve, duhet të shikoni se sa nga këta faktorë janë negativë: nëse nuk ka fare, ose nëse ka një numër çift, atëherë produkti është pozitiv nëse ka një; numër tek i faktorëve negativë, atëherë produkti është negativ.
Kështu që tani mund ta zbulojmë lehtësisht
(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.
(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.
Tani është e lehtë të shihet se shenja e produktit, si dhe vlera e tij absolute, nuk varen nga renditja e faktorëve.
Është e përshtatshme, kur kemi të bëjmë me numra thyesorë, të gjejmë menjëherë produktin:
Kjo është e përshtatshme sepse nuk keni nevojë të bëni shumëzime të padobishme, pasi shprehja thyesore e marrë më parë zvogëlohet sa më shumë që të jetë e mundur.
Në këtë artikull do të formulojmë rregullin e shumëzimit të numrave negativë dhe do të japim një shpjegim për të. Procesi i shumëzimit të numrave negativë do të diskutohet në detaje. Shembujt tregojnë të gjitha rastet e mundshme.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Shumëzimi i numrave negativë
Përkufizimi 1Rregulla për shumëzimin e numrave negativëështë se për të shumëzuar dy numra negativë, është e nevojshme të shumëzohen modulet e tyre. Ky rregull shkruhet si më poshtë: për çdo numër negativ – a, - b, kjo barazi konsiderohet e vërtetë.
(- a) · (- b) = a · b.
Më sipër është rregulli për shumëzimin e dy numrave negativë. Në bazë të tij vërtetojmë shprehjen: (- a) · (- b) = a · b. Artikulli që shumëzon numrat me shenja të ndryshme thotë se barazitë a · (- b) = - a · b janë të vlefshme, siç është (- a) · b = - a · b. Kjo rrjedh nga vetia e numrave të kundërt, për shkak të së cilës barazitë do të shkruhen si më poshtë:
(- a) · (- b) = (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b.
Këtu mund të shihni qartë provën e rregullit për shumëzimin e numrave negativë. Bazuar në shembujt, është e qartë se prodhimi i dy numrave negativë është një numër pozitiv. Kur shumëzoni modulin e numrave, rezultati është gjithmonë një numër pozitiv.
Ky rregull është i zbatueshëm për shumëzimin e numrave realë, racionalë dhe numrave të plotë.
Tani le të shohim shembuj të shumëzimit të dy numrave negativë në detaje. Kur llogaritni, duhet të përdorni rregullin e shkruar më sipër.
Shembulli 1
Shumëzoni numrat - 3 dhe - 5.
Zgjidhje.
Vlera absolute e dy numrave që shumëzohen është e barabartë me numrat pozitivë 3 dhe 5. Produkti i tyre rezulton në 15. Nga kjo rezulton se prodhimi i numrave të dhënë është 15
Le të shkruajmë shkurtimisht vetë shumëzimin e numrave negativë:
(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15
Përgjigje: (- 3) · (- 5) = 15.
Kur shumëzoni numra racionalë negativë, duke përdorur rregullin e diskutuar, mund të mobilizoheni për të shumëzuar thyesat, për të shumëzuar numra të përzier, për të shumëzuar dhjetore.
Shembulli 2
Llogaritni prodhimin (- 0 , 125) · (- 6) .
Zgjidhje.
Duke përdorur rregullin për shumëzimin e numrave negativë, marrim se (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6. Për të marrë rezultatin, duhet të shumëzoni thyesën dhjetore me numrin natyror të kolonave. Duket kështu:
Ne zbuluam se shprehja do të marrë formën (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.
Përgjigje: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.
Në rastin kur faktorët janë numra irracionalë, atëherë prodhimi i tyre mund të shkruhet si shprehje numerike. Vlera llogaritet vetëm kur është e nevojshme.
Shembulli 3
Është e nevojshme të shumëzohet negativi - 2 me regjistrin jo negativ 5 1 3.
Zgjidhje
Gjetja e moduleve të numrave të dhënë:
2 = 2 dhe log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .
Duke ndjekur rregullat për shumëzimin e numrave negativ, marrim rezultatin - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Kjo shprehje është përgjigja.
Përgjigje: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .
Për të vazhduar studimin e temës, duhet të përsërisni seksionin mbi shumëzimin e numrave realë.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
