- Përkthimi
Vetitë e numrave të thjeshtë u studiuan fillimisht nga matematikanët e Greqisë antike. Matematikanët e shkollës së Pitagorës (500 - 300 pes) ishin të interesuar kryesisht për vetitë mistike dhe numerologjike të numrave të thjeshtë. Ata ishin të parët që dolën me ide për numra të përsosur dhe miqësorë.
Një numër i përsosur ka një shumë të pjesëtuesve të tij të barabartë me vetveten. Për shembull, pjesëtuesit e duhur të numrit 6 janë 1, 2 dhe 3. 1 + 2 + 3 = 6. Pjesëtuesit e numrit 28 janë 1, 2, 4, 7 dhe 14. Për më tepër, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Numrat quhen miqësorë nëse shuma e pjesëtuesve të duhur të një numri është e barabartë me një tjetër, dhe anasjelltas - për shembull, 220 dhe 284. Mund të themi se një numër i përsosur është miqësor me vetveten.
Në kohën e Elementeve të Euklidit në vitin 300 p.e.s. Tashmë janë vërtetuar disa fakte të rëndësishme për numrat e thjeshtë. Në Librin IX të Elementeve, Euklidi vërtetoi se ka një numër të pafund të numrave të thjeshtë. Ky, meqë ra fjala, është një nga shembujt e parë të përdorimit të provës me kontradiktë. Ai vërteton gjithashtu Teoremën Themelore të Aritmetikës - çdo numër i plotë mund të përfaqësohet në mënyrë unike si produkt i numrave të thjeshtë.
Ai gjithashtu tregoi se nëse numri 2n-1 është i thjeshtë, atëherë numri 2n-1 * (2n-1) do të jetë i përsosur. Një tjetër matematikan, Euler, ishte në gjendje të tregonte në 1747 se të gjithë numrat madje të përsosur mund të shkruhen në këtë formë. Deri më sot nuk dihet nëse ekzistojnë numra të përsosur tek.
Në vitin 200 p.e.s. Eratosthenes grek doli me një algoritëm për gjetjen e numrave të thjeshtë të quajtur Sita e Eratosthenes.
Dhe pastaj pati një ndërprerje të madhe në historinë e studimit të numrave të thjeshtë, të lidhur me Mesjetën.
Zbulimet e mëposhtme u bënë tashmë në fillim të shekullit të 17-të nga matematikani Fermat. Ai vërtetoi hamendjen e Albert Girard se çdo numër i thjeshtë i formës 4n+1 mund të shkruhet në mënyrë unike si shuma e dy katrorëve, dhe gjithashtu formuloi teoremën se çdo numër mund të shkruhet si shuma e katër katrorëve.
Ai zhvilloi një metodë të re për faktorizimin e numrave të mëdhenj dhe e demonstroi atë në numrin 2027651281 = 44021 × 46061. Ai gjithashtu vërtetoi Teoremën e vogël të Fermatit: nëse p është një numër i thjeshtë, atëherë për çdo numër të plotë a do të jetë e vërtetë se a p = një modul fq.
Ky pohim vërteton gjysmën e asaj që njihej si "hamendja kineze" dhe daton 2000 vjet më parë: një numër i plotë n është i thjeshtë nëse dhe vetëm nëse 2 n -2 pjesëtohet me n. Pjesa e dytë e hipotezës doli të jetë e rreme - për shembull, 2,341 - 2 është i ndashëm me 341, megjithëse numri 341 është i përbërë: 341 = 31 × 11.
Teorema e vogël e Fermatit shërbeu si bazë për shumë rezultate të tjera në teorinë e numrave dhe metodat për të testuar nëse numrat janë të thjeshtë - shumë prej të cilave përdoren ende sot.
Fermat korrespondonte shumë me bashkëkohësit e tij, veçanërisht me një murg të quajtur Maren Mersenne. Në një nga letrat e tij, ai hipotezoi se numrat e formës 2 n +1 do të jenë gjithmonë të thjeshtë nëse n është një fuqi e dy. Ai e testoi këtë për n = 1, 2, 4, 8 dhe 16 dhe ishte i bindur se në rastin kur n nuk ishte një fuqi e dy, numri nuk ishte domosdoshmërisht i thjeshtë. Këta numra quhen numrat e Fermatit, dhe vetëm 100 vjet më vonë Euler tregoi se numri tjetër, 2 32 + 1 = 4294967297, është i pjesëtueshëm me 641, dhe për këtë arsye nuk është i thjeshtë.
Numrat e formës 2 n - 1 kanë qenë gjithashtu objekt studimi, pasi është e lehtë të tregohet se nëse n është i përbërë, atëherë edhe vetë numri është i përbërë. Këta numra quhen numra Mersenne sepse ai i studioi ato gjerësisht.
Por jo të gjithë numrat e formës 2 n - 1, ku n është i thjeshtë, janë të thjeshtë. Për shembull, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Kjo u zbulua për herë të parë në 1536.
Për shumë vite, numrat e këtij lloji u dhanë matematikanëve numrat kryesorë më të mëdhenj të njohur. Se M 19 u vërtetua nga Cataldi në 1588, dhe për 200 vjet ishte numri më i madh i njohur, derisa Euler vërtetoi se M 31 ishte gjithashtu i thjeshtë. Ky rekord qëndroi për njëqind vjet të tjera, dhe më pas Lucas tregoi se M 127 është kryeministër (dhe ky është tashmë një numër prej 39 shifrash), dhe pas kësaj kërkimi vazhdoi me ardhjen e kompjuterëve.
Në vitin 1952 u vërtetua parësia e numrave M 521, M 607, M 1279, M 2203 dhe M 2281.
Deri në vitin 2005, ishin gjetur 42 primare Mersenne. Më i madhi prej tyre, M 25964951, përbëhet nga 7816230 shifra.
Puna e Euler pati një ndikim të madh në teorinë e numrave, duke përfshirë numrat e thjeshtë. Ai zgjeroi Teoremën e Vogël të Fermatit dhe prezantoi funksionin φ. Faktorizoi numrin e 5-të të Fermatit 2 32 +1, gjeti 60 çifte numrash miqësorë dhe formuloi (por nuk mundi të provonte) ligjin e reciprocitetit kuadratik.
Ai ishte i pari që prezantoi metodat e analizës matematikore dhe zhvilloi teorinë analitike të numrave. Ai vërtetoi se jo vetëm seria harmonike ∑ (1/n), por edhe një seri e formës
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
Rezultati i përftuar nga shuma e reciprocaleve të numrave të thjeshtë gjithashtu ndryshon. Shuma e n termave të serisë harmonike rritet përafërsisht si log(n), dhe seria e dytë divergon më ngadalë si log[ log(n) ]. Kjo do të thotë që, për shembull, shuma e reciprokeve të të gjithë numrave të thjeshtë të gjetur deri më sot do të japë vetëm 4, megjithëse seria ende ndryshon.
Në pamje të parë, duket se numrat e thjeshtë shpërndahen në mënyrë krejt rastësore midis numrave të plotë. Për shembull, në mesin e 100 numrave menjëherë para 10000000 ka 9 numra të thjeshtë, dhe midis 100 numrave menjëherë pas kësaj vlere ka vetëm 2. Por në segmente të mëdha numrat e thjeshtë shpërndahen mjaft të barabartë. Lezhandri dhe Gausi u morën me çështjet e shpërndarjes së tyre. Gauss i tha një herë një shoku se në çdo 15 minuta të lirë ai numëron gjithmonë numrin e numrave të thjeshtë në 1000 numrat e ardhshëm. Deri në fund të jetës së tij, ai kishte numëruar të gjithë numrat e thjeshtë deri në 3 milionë. Lezhandri dhe Gauss llogaritën në mënyrë të barabartë se për n të mëdha densiteti kryesor është 1/log(n). Lezhandri vlerësoi numrin e numrave të thjeshtë në rangun nga 1 në n si
π(n) = n/(log(n) - 1,08366)
Dhe Gausi është si një integral logaritmik
π(n) = ∫ 1/log(t) dt
Me një interval integrimi nga 2 në n.
Deklarata për densitetin e numrave të thjeshtë 1/log(n) njihet si Teorema e Shpërndarjes së Parë. Ata u përpoqën ta provonin gjatë gjithë shekullit të 19-të dhe përparimi u arrit nga Chebyshev dhe Riemann. Ata e lidhën atë me hipotezën e Riemann-it, një hipotezë ende e paprovuar rreth shpërndarjes së zerave të funksionit zeta të Riemann-it. Dendësia e numrave të thjeshtë u vërtetua njëkohësisht nga Hadamard dhe Vallée-Poussin në 1896.
Ka ende shumë pyetje të pazgjidhura në teorinë e numrave të thjeshtë, disa prej të cilave janë qindra vjet të vjetra:
- Hipoteza e thjeshtë binjake ka të bëjë me një numër të pafund të çifteve të numrave të thjeshtë që ndryshojnë nga njëri-tjetri me 2
- Hamendja e Goldbach: çdo numër çift, duke filluar me 4, mund të përfaqësohet si shuma e dy numrave të thjeshtë
- A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n 2 + 1?
- A është gjithmonë e mundur të gjesh një numër të thjeshtë midis n 2 dhe (n + 1) 2? (fakti që ka gjithmonë një numër të thjeshtë midis n dhe 2n u vërtetua nga Chebyshev)
- A është i pafund numri i numrave të thjeshtë të Fermatit? A ka numra të thjeshtë të Fermat pas 4?
- a ka një progresion aritmetik të numrave të thjeshtë të njëpasnjëshëm për çdo gjatësi të caktuar? për shembull, për gjatësinë 4: 251, 257, 263, 269. Gjatësia maksimale e gjetur është 26.
- A ka një numër të pafund grupesh me tre numra të thjeshtë të njëpasnjëshëm në një progresion aritmetik?
- n 2 - n + 41 është një numër i thjeshtë për 0 ≤ n ≤ 40. A ka një numër të pafund të numrave të tillë të thjeshtë? E njëjta pyetje për formulën n 2 - 79 n + 1601. Këta numra janë të thjeshtë për 0 ≤ n ≤ 79.
- A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n# + 1? (n# është rezultat i shumëzimit të të gjithë numrave të thjeshtë më të vegjël se n)
- A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n# -1?
- A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n? + 1?
- A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n? - 1?
- nëse p është i thjeshtë, a nuk përmban gjithmonë 2 p -1 katrorë të thjeshtë midis faktorëve të tij?
- a përmban sekuenca Fibonacci një numër të pafund numrash të thjeshtë?
Numrat kryesorë binjakë më të mëdhenj janë 2003663613 × 2 195000 ± 1. Ata përbëhen nga 58711 shifra dhe u zbuluan në vitin 2007.
Numri më i madh faktorial (i tipit n! ± 1) është 147855! - 1. Përbëhet nga 142891 shifra dhe është gjetur në vitin 2002.
Numri më i madh primorial (një numër i formës n# ± 1) është 1098133# + 1.
Numrat e thjeshtë janë një nga fenomenet matematikore më interesante, që kanë tërhequr vëmendjen e shkencëtarëve dhe qytetarëve të thjeshtë për më shumë se dy mijëvjeçarë. Përkundër faktit se tani jetojmë në epokën e kompjuterëve dhe programeve më moderne të informacionit, shumë gjëegjëza të numrave të thjeshtë nuk janë zgjidhur ende.
Numrat e thjeshtë janë, siç dihet nga kursi i aritmetikës elementare, ata që janë të pjesëtueshëm pa mbetje vetëm me një dhe me vetveten. Nga rruga, nëse një numër natyror është i pjesëtueshëm, përveç atyre të listuara më sipër, me ndonjë numër tjetër, atëherë ai quhet i përbërë. Një nga teoremat më të famshme thotë se çdo numër i përbërë mund të përfaqësohet si një produkt unik i mundshëm i numrave të thjeshtë.
Disa fakte interesante. Së pari, njësia është unike në kuptimin që, në fakt, nuk i përket as numrave të thjeshtë dhe as të përbërë. Në të njëjtën kohë, në komunitetin shkencor është ende zakon ta klasifikojmë atë në mënyrë specifike në grupin e parë, pasi formalisht i plotëson plotësisht kërkesat e tij.
Së dyti, i vetmi numër çift i shtrydhur në grupin "numrat kryesorë" është, natyrisht, dy. Çdo numër tjetër çift thjesht nuk mund të arrijë këtu, pasi sipas përkufizimit, përveç vetes dhe një, ai është gjithashtu i pjesëtueshëm me dy.
Numrat e thjeshtë, lista e të cilëve, siç u tha më sipër, mund të fillojë me një, përfaqësojnë një seri të pafundme, aq të pafundme sa edhe seria e numrave natyrorë. Bazuar në teoremën themelore të aritmetikës, mund të arrijmë në përfundimin se numrat e thjeshtë nuk ndërpriten asnjëherë dhe nuk mbarojnë, pasi përndryshe seria e numrave natyrorë do të ndërpritet në mënyrë të pashmangshme.
Numrat kryesorë nuk shfaqen rastësisht në seritë natyrore, siç mund të duken në shikim të parë. Pasi i keni analizuar me kujdes, mund të vini re menjëherë disa veçori, më interesantet prej të cilave lidhen me të ashtuquajturit numra "binjakë". Ata quhen kështu sepse në një mënyrë të pakuptueshme përfunduan pranë njëri-tjetrit, të ndara vetëm nga një kufizues çift (pesë dhe shtatë, shtatëmbëdhjetë dhe nëntëmbëdhjetë).
Nëse i shikoni me vëmendje, do të vini re se shuma e këtyre numrave është gjithmonë shumëfish i treshit. Për më tepër, kur ndahet e majta një me tre, pjesa e mbetur mbetet gjithmonë dy, dhe e djathta mbetet gjithmonë një. Për më tepër, vetë shpërndarja e këtyre numrave përgjatë serisë natyrore mund të parashikohet nëse e imagjinojmë të gjithë këtë seri në formën e sinusoideve oshiluese, pikat kryesore të të cilave formohen kur numrat ndahen me tre dhe dy.
Numrat e thjeshtë nuk janë vetëm objekt i shqyrtimit të ngushtë nga matematikanët në të gjithë botën, por prej kohësh janë përdorur me sukses në përpilimin e serive të ndryshme të numrave, që është baza, ndër të tjera, për kriptografinë. Duhet pranuar se një numër i madh misteresh që lidhen me këto elementë të mrekullueshëm janë ende në pritje për t'u zgjidhur, shumë pyetje nuk kanë vetëm rëndësi filozofike, por edhe praktike.
Numri kryesorështë një numër natyror (i plotë pozitiv) që pjesëtohet pa mbetje vetëm me dy numra natyrorë: nga dhe nga vetvetja. Me fjalë të tjera, një numër i thjeshtë ka saktësisht dy pjesëtues natyrorë: dhe vetë numrin.
Sipas përkufizimit, bashkësia e të gjithë pjesëtuesve të një numri të thjeshtë është dy elementësh, d.m.th. përfaqëson një grup.
Bashkësia e të gjithë numrave të thjeshtë shënohet me simbolin. Kështu, për shkak të përcaktimit të bashkësisë së numrave të thjeshtë, mund të shkruajmë: .
Sekuenca e numrave të thjeshtë duket si kjo:
Teorema Themelore e Aritmetikës
Teorema Themelore e Aritmetikës thotë se çdo numër natyror më i madh se një mund të përfaqësohet si produkt i numrave të thjeshtë dhe në mënyrë unike, deri në rendin e faktorëve. Kështu, numrat e thjeshtë janë "blloqet ndërtuese" elementare të grupit të numrave natyrorë.
Zgjerimi i numrit natyror title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonike:
ku është një numër i thjeshtë dhe . Për shembull, zgjerimi kanonik i një numri natyror duket kështu: .
Paraqitja e një numri natyror si prodhim i numrave të thjeshtë quhet gjithashtu faktorizimi i një numri.
Vetitë e numrave të thjeshtë
Sita e Eratosthenes
Një nga algoritmet më të famshme për kërkimin dhe njohjen e numrave të thjeshtë është sita e Eratosthenes. Pra, ky algoritëm u emërua sipas matematikanit grek Eratosthenes nga Kirena, i cili konsiderohet autori i algoritmit.
Për të gjetur të gjithë numrat e thjeshtë më të vegjël se një numër i caktuar, duke ndjekur metodën e Eratosthenes, ndiqni këto hapa:
Hapi 1. Shkruani të gjithë numrat natyrorë nga dy në , d.m.th. .
Hapi 2. Cakto ndryshores vlerën , domethënë vlerën e barabartë me numrin më të vogël të thjeshtë.
Hapi 3. Kryqëzojini në listë të gjithë numrat nga deri tek ata janë shumëfish të , pra numrat: .
Hapi 4. Gjeni numrin e parë të pakryqëzuar në listë më të madh se , dhe caktojeni vlerën e këtij numri në një ndryshore.
Hapi 5. Përsëritni hapat 3 dhe 4 derisa të arrihet numri.
Procesi i aplikimit të algoritmit do të duket si ky:
Të gjithë numrat e mbetur të pakryqëzuar në listë në fund të procesit të aplikimit të algoritmit do të jenë grupi i numrave të thjeshtë nga deri në .
hamendësimi i Goldbach
Kopertina e librit "Xha Petros dhe hipoteza e Goldbach"
Përkundër faktit se numrat e thjeshtë janë studiuar nga matematikanët për një kohë të gjatë, shumë probleme të lidhura mbeten të pazgjidhura sot. Një nga problemet më të famshme të pazgjidhura është Hipoteza e Goldbach, e cila është formuluar si më poshtë:
- A është e vërtetë që çdo numër çift më i madh se dy mund të përfaqësohet si shuma e dy numrave të thjeshtë (hipoteza binar e Goldbach-ut)?
- A është e vërtetë që çdo numër tek më i madh se 5 mund të përfaqësohet si shuma e tre numrave të thjeshtë (hipoteza treshe e Goldbach-ut)?
Duhet thënë se hipoteza trenare e Goldbach është një rast i veçantë i hipotezës binare të Goldbach, ose siç thonë matematikanët, hipoteza treshe e Goldbach është më e dobët se hipoteza binare e Goldbach.
Hamendësimi i Goldbach u bë i njohur gjerësisht jashtë komunitetit matematikor në vitin 2000 falë një marifeti promovues të marketingut nga kompanitë botuese Bloomsbury USA (SHBA) dhe Faber dhe Faber (MB). Këto shtëpi botuese, pasi kishin nxjerrë librin "Hupozimet e Xha Petros dhe Goldbach", premtuan se do t'i paguanin një çmim prej 1 milion dollarësh për këdo që vërteton hipotezën e Goldbach brenda 2 vjetësh nga data e botimit të librit. Ndonjëherë çmimi i përmendur nga botuesit ngatërrohet me çmimet për zgjidhjen e problemeve të Çmimit të Mijëvjeçarit. Mos bëni gabim, hipoteza e Goldbach nuk klasifikohet nga Instituti Clay si një "sfidë e mijëvjeçarit", megjithëse është e lidhur ngushtë me Hipoteza e Riemann- një nga “sfidat e mijëvjeçarit”.
Libri “Numrat e thjeshtë. Rruga e gjatë drejt pafundësisë"
Kopertina e librit “Bota e matematikës. Numrat e thjeshtë. Rruga e gjatë drejt pafundësisë"
Për më tepër, unë rekomandoj leximin e një libri magjepsës të shkencës popullore, shënimi i të cilit thotë: "Kërkimi i numrave të thjeshtë është një nga problemet më paradoksale në matematikë. Shkencëtarët janë përpjekur ta zgjidhin atë për disa mijëvjeçarë, por, duke u rritur me versione dhe hipoteza të reja, ky mister mbetet ende i pazgjidhur. Shfaqja e numrave të thjeshtë nuk i nënshtrohet asnjë sistemi: ata shfaqen spontanisht në serinë e numrave natyrorë, duke injoruar të gjitha përpjekjet e matematikanëve për të identifikuar modelet në sekuencën e tyre. Ky libër do t'i lejojë lexuesit të gjurmojë evolucionin e koncepteve shkencore nga kohët e lashta deri në ditët e sotme dhe të prezantojë teoritë më interesante të kërkimit të numrave të thjeshtë.
Për më tepër, do të citoj fillimin e kapitullit të dytë të këtij libri: “Numrat e thjeshtë janë një nga temat e rëndësishme që na kthejnë në vetë origjinën e matematikës dhe më pas, përgjatë një rruge me kompleksitet në rritje, na çojnë në ballë të shkenca moderne. Kështu, do të ishte shumë e dobishme të gjurmohej historia magjepsëse dhe komplekse e teorisë së numrave të thjeshtë: saktësisht se si u zhvillua, saktësisht se si u mblodhën faktet dhe të vërtetat që tani janë pranuar përgjithësisht. Në këtë kapitull do të shohim se si brezat e matematikanëve studiuan me kujdes numrat natyrorë në kërkim të një rregulli që parashikonte shfaqjen e numrave të thjeshtë - një rregull që bëhej gjithnjë e më i pakapshëm ndërsa kërkimi përparonte. Gjithashtu do të shikojmë në detaje kontekstin historik: kushtet në të cilat punonin matematikanët dhe shkallën në të cilën puna e tyre përfshinte praktika mistike dhe gjysmë-fetare, të cilat janë krejt të ndryshme nga metodat shkencore të përdorura në kohën tonë. Megjithatë, ngadalë dhe me vështirësi, terreni u përgatit për pamje të reja që frymëzuan Fermatin dhe Eulerin në shekujt e 17-të dhe të 18-të.
Të gjithë numrat e tjerë natyrorë quhen të përbërë. Numri natyror 1 nuk është as i thjeshtë as i përbërë.
Shembull
Ushtrimi. Cilët nga numrat natyrorë të shkruar më poshtë janë të thjeshtë:
Përgjigju.
Faktorimi i një numri
Paraqitja e një numri natyror si produkt i numrave natyrorë quhet faktorizimi. Nëse në faktorizimin e një numri natyror të gjithë faktorët janë numra të thjeshtë, atëherë një faktorizim i tillë quhet faktorizimi kryesor.
Teorema
(Teorema Themelore e Aritmetikës)
Çdo numër natyror përveç 1 mund të faktorizohet në faktorë të thjeshtë, dhe në një mënyrë unike (nëse identifikojmë faktorizimet dhe , ku dhe janë numra të thjeshtë).
Duke kombinuar faktorë të thjeshtë identikë në zbërthimin e një numri, marrim të ashtuquajturin zbërthim kanonik të një numri:
ku , janë numra të ndryshëm të thjeshtë dhe janë numra natyrorë.
Shembull
Ushtrimi. Gjeni zgjerimin kanonik të numrave:
Zgjidhje. Për të gjetur zbërthimin kanonik të numrave, së pari duhet t'i faktorizoni në faktorë të thjeshtë dhe më pas të kombinoni të njëjtët faktorë dhe të shkruani produktin e tyre si një fuqi me një eksponent natyror:
Përgjigju.
Referencë historike
Si të përcaktohet se cili numër është i thjeshtë dhe cili jo? Metoda më e zakonshme për gjetjen e të gjithë numrave të thjeshtë në çdo varg numrash u propozua në shekullin III. para Krishtit e. Eratosthenes (metoda quhet "sitë e Eratosthenes"). Supozoni se duhet të përcaktojmë se cilët numra janë të thjeshtë. Le t'i shkruajmë ato me radhë dhe të kryqëzojmë çdo numër të dytë nga ata që ndjekin numrin 2 - të gjithë janë të përbërë, pasi janë shumëfish të numrit 2. I pari nga numrat e mbetur të paprerë - 3 - është i thjeshtë. Le të kalojmë çdo numër të tretë nga ata që ndjekin numrin 3; tjetri nga numrat e pakryqëzuar - 5 - do të jetë gjithashtu i thjeshtë. Duke përdorur të njëjtin parim, ne do të kalojmë çdo numër të pestë nga ata që ndjekin numrin 5 dhe, në përgjithësi, secilin nga ata që ndjekin numrin . Të gjithë numrat e mbetur të pakryqëzuar do të jenë të thjeshtë.
Ndërsa numrat e thjeshtë rriten, ata gradualisht bëhen gjithnjë e më pak të zakonshëm. Sidoqoftë, të lashtët tashmë e dinin mirë faktin se ka pafundësisht shumë prej tyre. Prova e tij është dhënë në Elementet e Euklidit.
Artikulli diskuton konceptet e numrave të thjeshtë dhe të përbërë. Përkufizimet e numrave të tillë jepen me shembuj. Ne paraqesim një provë që numri i numrave të thjeshtë është i pakufizuar dhe do ta regjistrojmë në tabelën e numrave të thjeshtë duke përdorur metodën e Eratosthenes. Do të jepen dëshmi për të përcaktuar nëse një numër është i thjeshtë apo i përbërë.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Numrat e thjeshtë dhe të përbërë - Përkufizime dhe shembuj
Numrat e thjeshtë dhe të përbërë klasifikohen si numra të plotë pozitiv. Ato duhet të jenë më të mëdha se një. Pjesëtuesit ndahen gjithashtu në të thjeshtë dhe të përbërë. Për të kuptuar konceptin e numrave të përbërë, së pari duhet të studioni konceptet e pjesëtuesve dhe shumëfishave.
Përkufizimi 1
Numrat e thjeshtë janë numra të plotë që janë më të mëdhenj se një dhe kanë dy pjesëtues pozitivë, domethënë veten dhe 1.
Përkufizimi 2
Numrat e përbërë janë numra të plotë që janë më të mëdhenj se një dhe kanë të paktën tre pjesëtues pozitivë.
Njëri nuk është as numër i thjeshtë dhe as i përbërë. Ai ka vetëm një pjesëtues pozitiv, kështu që është i ndryshëm nga të gjithë numrat e tjerë pozitivë. Të gjithë numrat e plotë pozitiv quhen numra natyrorë, domethënë përdoren në numërim.
Përkufizimi 3
Numrat e thjeshtë janë numra natyrorë që kanë vetëm dy pjesëtues pozitivë.
Përkufizimi 4
Numri i përbërëështë një numër natyror që ka më shumë se dy pjesëtues pozitivë.
Çdo numër që është më i madh se 1 është ose i thjeshtë ose i përbërë. Nga vetia e pjesëtueshmërisë kemi që 1 dhe numri a do të jenë gjithmonë pjesëtues për çdo numër a, pra do të jetë i pjesëtueshëm me vetveten dhe me 1. Le të japim një përkufizim të numrave të plotë.
Përkufizimi 5
Numrat natyrorë që nuk janë të thjeshtë quhen numra të përbërë.
Numrat kryesorë: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Ata janë të ndashëm vetëm nga vetvetja dhe 1. Numrat e përbërë: 6, 63, 121, 6697. Kjo do të thotë, numri 6 mund të zbërthehet në 2 dhe 3, dhe 63 në 1, 3, 7, 9, 21, 63 dhe 121 në 11, 11, domethënë pjesëtuesit e tij do të jenë 1, 11, 121. Numri 6697 zbërthehet në 37 dhe 181. Vini re se konceptet e numrave të thjeshtë dhe numrave të përbashkët janë koncepte të ndryshme.
Për ta bërë më të lehtë përdorimin e numrave të thjeshtë, duhet të përdorni një tabelë:
Një tabelë për të gjithë numrat natyrorë ekzistues është joreale, pasi ka një numër të pafund të tyre. Kur numrat arrijnë madhësinë 10000 ose 1000000000, atëherë duhet të mendoni të përdorni Sitën e Eratosthenes.
Le të shqyrtojmë teoremën që shpjegon pohimin e fundit.
Teorema 1
Pjesëtuesi më i vogël pozitiv përveç 1 i një numri natyror më të madh se një është një numër i thjeshtë.
Dëshmia 1
Le të supozojmë se a është një numër natyror që është më i madh se 1, b është pjesëtuesi më i vogël jo një i a. Është e nevojshme të vërtetohet se b është një numër i thjeshtë duke përdorur metodën e kundërthënies.
Le të supozojmë se b është një numër i përbërë. Nga kjo kemi se ka një pjesëtues për b, i cili është i ndryshëm nga 1 si dhe nga b. Një pjesëtues i tillë shënohet si b 1. Është e nevojshme që kushti 1< b 1 < b ishte kompletuar.
Nga kushti del qartë se a pjesëtohet me b, b pjesëtohet me b 1, që do të thotë se koncepti i pjesëtueshmërisë shprehet si më poshtë: a = b q dhe b = b 1 · q 1 , nga ku a = b 1 · (q 1 · q) , ku q dhe q 1 janë numra të plotë. Sipas rregullit të shumëzimit të numrave të plotë kemi që prodhimi i numrave të plotë është një numër i plotë me barazi të formës a = b 1 · (q 1 · q) . Mund të shihet se b 1 është pjesëtuesi i numrit a. Pabarazia 1< b 1 < b Jo korrespondon, sepse gjejmë se b është pjesëtuesi më i vogël pozitiv dhe jo-1 i a.
Teorema 2
Ka një numër të pafund numrash të thjeshtë.
Dëshmia 2
Me sa duket marrim një numër të kufizuar numrash natyrorë n dhe i shënojmë si p 1, p 2, ..., p n. Le të shqyrtojmë mundësinë e gjetjes së një numri të thjeshtë të ndryshëm nga ata të treguar.
Le të marrim në konsideratë numrin p, i cili është i barabartë me p 1, p 2, ..., p n + 1. Nuk është e barabartë me secilin nga numrat që u korrespondojnë numrave të thjeshtë të formës p 1, p 2, ..., p n. Numri p është i thjeshtë. Atëherë teorema konsiderohet e vërtetuar. Nëse është i përbërë, atëherë duhet të merrni shënimin p n + 1 dhe tregoni se pjesëtuesi nuk përkon me asnjë nga p 1, p 2, ..., p n.
Nëse kjo nuk do të ishte kështu, atëherë, bazuar në vetinë e pjesëtueshmërisë së produktit p 1, p 2, ..., p n , gjejmë se do të pjesëtohej me pn + 1. Vini re se shprehja p n + 1 pjesëtimi i numrit p është i barabartë me shumën p 1, p 2, ..., p n + 1. Marrim se shprehja p n + 1 Termi i dytë i kësaj shume, që është i barabartë me 1, duhet të ndahet, por kjo është e pamundur.
Mund të shihet se çdo numër i thjeshtë mund të gjendet midis çdo numri numrash të thjeshtë të dhënë. Nga kjo rezulton se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë.
Meqenëse ka shumë numra të thjeshtë, tabelat janë të kufizuara në numrat 100, 1000, 10000, e kështu me radhë.
Kur përpiloni një tabelë të numrave të thjeshtë, duhet të keni parasysh se një detyrë e tillë kërkon kontroll të vazhdueshëm të numrave, duke filluar nga 2 në 100. Nëse nuk ka pjesëtues, ai regjistrohet në tabelë, nëse është i përbërë, atëherë nuk futet në tabelë.
Le ta shohim hap pas hapi.
Nëse filloni me numrin 2, atëherë ai ka vetëm 2 pjesëtues: 2 dhe 1, që do të thotë se mund të futet në tabelë. E njëjta gjë me numrin 3. Numri 4 është i përbërë, ai duhet të zbërthehet në 2 dhe 2. Numri 5 është i thjeshtë, që do të thotë se mund të regjistrohet në tabelë. Bëni këtë deri në numrin 100.
Kjo metodë është e papërshtatshme dhe kërkon shumë kohë. Është e mundur të krijoni një tryezë, por do t'ju duhet të shpenzoni shumë kohë. Është e nevojshme të përdoren kriteret e pjesëtueshmërisë, të cilat do të përshpejtojnë procesin e gjetjes së pjesëtuesve.
Metoda e përdorimit të sitës së Eratosthenes konsiderohet më e përshtatshme. Le të shohim shembujt e tabelave më poshtë. Për të filluar, numrat 2, 3, 4, ..., 50 janë shkruar.
Tani duhet të kryqëzoni të gjithë numrat që janë shumëfish të 2. Kryeni goditje të njëpasnjëshme. Ne marrim një tabelë si:
Ne kalojmë në kryqëzimin e numrave që janë shumëfish të 5. Ne marrim:
Kryqëzoni numrat që janë shumëfish të 7, 11. Në fund të fundit, tabela duket
Le të kalojmë në formulimin e teoremës.
Teorema 3
Pjesëtuesi më i vogël pozitiv dhe jo-1 i numrit bazë a nuk e kalon a, ku a është rrënja aritmetike e numrit të dhënë.
Dëshmia 3
Është e nevojshme të shënojmë b pjesëtuesin më të vogël të një numri të përbërë a. Ekziston një numër i plotë q, ku a = b · q, dhe kemi se b ≤ q. Pabarazitë e formës janë të papranueshme b > q, sepse cenohet kushti. Të dyja anët e pabarazisë b ≤ q duhet të shumëzohen me çdo numër pozitiv b jo të barabartë me 1. Marrim se b · b ≤ b · q, ku b 2 ≤ a dhe b ≤ a.
Nga teorema e provuar është e qartë se kryqëzimi i numrave në tabelë çon në faktin se është e nevojshme të fillohet me një numër që është i barabartë me b 2 dhe plotëson pabarazinë b 2 ≤ a. Kjo do të thotë, nëse kaloni numrat që janë shumëfish të 2, atëherë procesi fillon me 4, dhe shumëfishat e 3 me 9, dhe kështu me radhë deri në 100.
Përpilimi i një tabele të tillë duke përdorur teoremën e Eratosthenes sugjeron që kur të gjithë numrat e përbërë të kryqëzohen, numrat e thjeshtë që nuk e kalojnë n-në do të mbeten. Në shembullin ku n = 50, kemi se n = 50. Nga këtu marrim se sita e Eratosthenes shoshit të gjithë numrat e përbërë, vlera e të cilëve nuk është më e madhe se vlera e rrënjës 50. Kërkimi i numrave bëhet duke kryqëzuar.
Para se të zgjidhni, duhet të zbuloni nëse numri është i thjeshtë apo i përbërë. Shpesh përdoren kriteret e pjesëtueshmërisë. Le ta shohim këtë në shembullin e mëposhtëm.
Shembulli 1
Vërtetoni se numri 898989898989898989 është i përbërë.
Zgjidhje
Shuma e shifrave të një numri të caktuar është 9 8 + 9 9 = 9 17. Kjo do të thotë se numri 9 · 17 është i pjesëtueshëm me 9, bazuar në testin e pjesëtueshmërisë me 9. Nga kjo rezulton se është e përbërë.
Shenja të tilla nuk janë në gjendje të vërtetojnë parësinë e një numri. Nëse nevojitet verifikim, duhet të ndërmerren veprime të tjera. Mënyra më e përshtatshme është numërimi i numrave. Gjatë procesit, mund të gjeni numra të thjeshtë dhe të përbërë. Kjo do të thotë, numrat nuk duhet të kalojnë një vlerë. Kjo do të thotë, numri a duhet të faktorizohet në faktorë kryesorë. nëse kjo plotësohet, atëherë numri a mund të konsiderohet i thjeshtë.
Shembulli 2
Përcaktoni numrin e përbërë ose të thjeshtë 11723.
Zgjidhje
Tani ju duhet të gjeni të gjithë pjesëtuesit për numrin 11723. Nevoja për të vlerësuar 11723 .
Nga këtu shohim se 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , dhe 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .
Për një vlerësim më të saktë të numrit 11723, duhet të shkruani shprehjen 108 2 = 11 664, dhe 109 2 = 11 881 , Kjo 108 2 < 11 723 < 109 2 . Nga kjo rrjedh se 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
Kur zgjerojmë, gjejmë se 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 janë të gjithë numra të thjeshtë. I gjithë ky proces mund të përshkruhet si ndarje me një kolonë. Kjo do të thotë, ndani 11723 me 19. Numri 19 është një nga faktorët e tij, pasi marrim pjesëtimin pa mbetje. Le të paraqesim ndarjen si një kolonë:
Nga kjo rezulton se 11723 është një numër i përbërë, sepse përveç vetes dhe 1 ka një pjesëtues prej 19.
Përgjigje: 11723 është një numër i përbërë.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
