Kontrolloni që vektorët të formojnë një bazë. Vektorët

Përkufizimi standard: "Një vektor është një segment i drejtuar". Kjo është zakonisht shkalla e njohurive të një të diplomuari për vektorët. Kush ka nevojë për ndonjë "segment të drejtuar"?

Por në të vërtetë, çfarë janë vektorët dhe për çfarë shërbejnë?
Parashikimi i Motit. “Era veriperëndimore, shpejtësia 18 metra në sekondë.” Pajtohem, ka rëndësi si drejtimi i erës (nga ku fryn) ashtu edhe madhësia (d.m.th., vlera absolute) e shpejtësisë së saj.

Madhësitë që nuk kanë drejtim quhen skalar. Masa, puna, ngarkesa elektrike nuk drejtohen askund. Ato karakterizohen vetëm nga një vlerë numerike - "sa kilogramë" ose "sa xhaul".

Madhësitë fizike që kanë jo vetëm vlerë absolute, por edhe drejtim quhen madhësi vektoriale.

Shpejtësia, forca, nxitimi - vektorë. Për ta, "sa" është e rëndësishme dhe "ku" është e rëndësishme. Për shembull, nxitimi për shkak të gravitetit i drejtuar drejt sipërfaqes së Tokës dhe vlera e tij është 9,8 m/s 2. Impulsi, forca e fushës elektrike, induksioni i fushës magnetike janë gjithashtu sasi vektoriale.

Ju kujtohet se sasitë fizike shënohen me shkronja, latine ose greqisht. Shigjeta mbi shkronjën tregon se sasia është vektoriale:

Ja një shembull tjetër.
Një makinë lëviz nga A në B. Rezultati përfundimtar është lëvizja e tij nga pika A në pikën B, domethënë lëvizja sipas vektorit.

Tani është e qartë pse një vektor është një segment i drejtuar. Ju lutemi vini re se fundi i vektorit është aty ku është shigjeta. Gjatësia e vektorit quhet gjatësia e këtij segmenti. Tregohet nga: ose

Deri më tani kemi punuar me madhësi skalare, sipas rregullave të aritmetikës dhe algjebrës elementare. Vektorët janë një koncept i ri. Kjo është një tjetër klasë e objekteve matematikore. Ata kanë rregullat e tyre.

Njëherë e një kohë nuk dinim asgjë për numrat. Njohja ime me ta filloi që në shkollën fillore. Doli se numrat mund të krahasohen me njëri-tjetrin, të shtohen, të zbriten, të shumëzohen dhe të pjesëtohen. Mësuam se ka një numër një dhe një numër zero.
Tani jemi njohur me vektorët.

Konceptet e "më shumë" dhe "më pak" për vektorët nuk ekzistojnë - në fund të fundit, drejtimet e tyre mund të jenë të ndryshme. Mund të krahasohen vetëm gjatësitë vektoriale.

Por ekziston një koncept i barazisë për vektorët.
E barabartë quhen vektorët që kanë të njëjtën gjatësi dhe kah të njëjtë. Kjo do të thotë që vektori mund të bartet paralelisht me vetveten në çdo pikë të rrafshit.
Beqareështë një vektor gjatësia e të cilit është 1. Zero është një vektor gjatësia e të cilit është zero, domethënë fillimi i tij përkon me fundin.

Është më e përshtatshme të punosh me vektorë në një sistem koordinativ drejtkëndor - i njëjti në të cilin vizatojmë grafikët e funksioneve. Çdo pikë në sistemin koordinativ korrespondon me dy numra - koordinatat e saj x dhe y, abshisa dhe ordinata.
Vektori specifikohet gjithashtu nga dy koordinata:

Këtu koordinatat e vektorit shkruhen në kllapa - në x dhe y.
Ato gjenden thjesht: koordinata e fundit të vektorit minus koordinata e fillimit të tij.

Nëse jepen koordinatat e vektorit, gjatësia e tij gjendet me formulë

Shtimi i vektorit

Ka dy mënyra për të shtuar vektorë.

1 . Rregulli i paralelogramit. Për të shtuar vektorët dhe , vendosim origjinën e të dyve në të njëjtën pikë. Ndërtojmë deri në një paralelogram dhe nga e njëjta pikë vizatojmë një diagonale të paralelogramit. Kjo do të jetë shuma e vektorëve dhe .

Ju kujtohet fabula rreth mjellmës, karavidheve dhe pikut? U përpoqën shumë, por kurrë nuk e lëvizën karrocën nga vendi i saj. Në fund të fundit, shuma vektoriale e forcave që ata aplikuan në karrocë ishte e barabartë me zero.

2. Mënyra e dytë për të shtuar vektorë është rregulli i trekëndëshit. Le të marrim të njëjtët vektorë dhe . Ne do të shtojmë fillimin e të dytit në fund të vektorit të parë. Tani le të lidhim fillimin e së parës dhe fundin e të dytës. Kjo është shuma e vektorëve dhe .

Duke përdorur të njëjtin rregull, mund të shtoni disa vektorë. Ne i rregullojmë ato njëra pas tjetrës dhe më pas lidhim fillimin e të parit me fundin e të fundit.

Imagjinoni që po shkoni nga pika A në pikën B, nga B në C, nga C në D, pastaj në E dhe në F. Rezultati përfundimtar i këtyre veprimeve është lëvizja nga A në F.

Kur shtojmë vektorë dhe marrim:

Zbritja vektoriale

Vektori është i drejtuar përballë vektorit. Gjatësitë e vektorëve dhe janë të barabarta.

Tani është e qartë se çfarë është zbritja vektoriale. Diferenca vektoriale dhe është shuma e vektorit dhe vektorit .

Shumëzimi i një vektori me një numër

Kur një vektor shumëzohet me numrin k, fitohet një vektor, gjatësia e të cilit është k herë e ndryshme nga gjatësia . Është në bashkëdrejtim me vektorin nëse k është më i madh se zero, dhe i kundërt nëse k është më i vogël se zero.

Prodhimi pikash i vektorëve

Vektorët mund të shumëzohen jo vetëm me numra, por edhe me njëri-tjetrin.

Produkti skalar i vektorëve është prodhimi i gjatësisë së vektorëve dhe kosinusit të këndit ndërmjet tyre.

Ju lutemi vini re se ne shumëzuam dy vektorë dhe rezultati ishte një skalar, domethënë një numër. Për shembull, në fizikë, puna mekanike është e barabartë me produktin skalar të dy vektorëve - forcës dhe zhvendosjes:

Nëse vektorët janë pingul, produkti i tyre skalar është zero.
Dhe kështu shprehet produkti skalar përmes koordinatave të vektorëve dhe:

Nga formula për produktin skalar mund të gjeni këndin midis vektorëve:

Kjo formulë është veçanërisht e përshtatshme në stereometri. Për shembull, në problemin 14 të Profilit të Provimit të Shtetit të Unifikuar në Matematikë, ju duhet të gjeni këndin midis drejtëzave të kryqëzuara ose midis një drejtëze dhe një rrafshi. Problemi 14 shpesh zgjidhet disa herë më shpejt duke përdorur metodën vektoriale sesa duke përdorur metodën klasike.

Në kurrikulën e matematikës shkollore mësohet vetëm prodhimi skalar i vektorëve.
Rezulton se, përveç prodhimit skalar, ekziston edhe prodhimi vektorial, kur rezultati i shumëzimit të dy vektorëve është një vektor. Kushdo që jep provimin e shtetit të bashkuar në fizikë e di se çfarë është forca Lorentz dhe forca Ampere. Formulat për gjetjen e këtyre forcave përfshijnë produkte vektoriale.

Vektorët janë një mjet matematikor shumë i dobishëm. Këtë do ta shihni në vitin e parë.

Shembulli 8

Janë dhënë vektorët. Tregoni se vektorët formojnë një bazë në hapësirën tredimensionale dhe gjeni koordinatat e vektorit në këtë bazë.

Zgjidhja: Së pari, le të merremi me gjendjen. Sipas kushteve, jepen katër vektorë dhe, siç mund ta shihni, ata tashmë kanë koordinata në një farë mase. Se çfarë është kjo bazë nuk na intereson. Dhe gjëja e mëposhtme është me interes: tre vektorë mund të formojnë një bazë të re. Dhe faza e parë përkon plotësisht me zgjidhjen e Shembullit 6, është e nevojshme të kontrollohet nëse vektorët janë vërtet të pavarur:

Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale:

, që do të thotë se vektorët janë linearisht të pavarur dhe përbëjnë bazën e hapësirës tredimensionale.

! E rëndësishme: koordinatat vektoriale Domosdoshmërisht shkruani në kolona përcaktor, jo në vargje. Përndryshe, do të ketë konfuzion në algoritmin e mëtejshëm të zgjidhjes.

Tani le të kujtojmë pjesën teorike: nëse vektorët formojnë një bazë, atëherë çdo vektor mund të zgjerohet në një bazë të caktuar në një mënyrë unike: , ku janë koordinatat e vektorit në bazë.

Meqenëse vektorët tanë përbëjnë bazën e hapësirës tre-dimensionale (kjo tashmë është vërtetuar), vektori mund të zgjerohet në një mënyrë unike mbi këtë bazë:
, ku janë koordinatat e vektorit në bazë.

Sipas kushtit dhe kërkohet gjetja e koordinatave.

Për lehtësi shpjegimi, do t'i ndërroj pjesët: . Për ta gjetur atë, duhet të shkruani këtë koordinatë barazie-për-koordinata:

Mbi çfarë baze vendosen koeficientët? Të gjithë koeficientët në anën e majtë transferohen saktësisht nga përcaktori , në anën e djathtë shkruhen koordinatat e vektorit.

Rezultati është një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura. Zakonisht zgjidhet nga Formulat e Cramer-it, shpesh edhe në deklaratën e problemit ekziston një kërkesë e tillë.

Përcaktori kryesor i sistemit tashmë është gjetur:
, që do të thotë se sistemi ka një zgjidhje unike.

Ajo që vijon është çështje teknike:

Kështu:
– zgjerimi i vektorit sipas bazës.

Përgjigje:

Siç e kam theksuar tashmë, problemi është i natyrës algjebrike. Vektorët që u morën parasysh nuk janë domosdoshmërisht ata vektorë që mund të vizatohen në hapësirë, por, para së gjithash, vektorë abstraktë të kursit të algjebrës lineare. Për rastin e vektorëve dydimensionale, një problem i ngjashëm mund të formulohet dhe zgjidhet zgjidhja do të jetë shumë më e thjeshtë. Sidoqoftë, në praktikë nuk kam hasur kurrë në një detyrë të tillë, prandaj e kam anashkaluar atë në pjesën e mëparshme.

I njëjti problem me vektorët tredimensionale për zgjidhje të pavarur:

Shembulli 9

Janë dhënë vektorët. Tregoni se vektorët formojnë një bazë dhe gjeni koordinatat e vektorit në këtë bazë. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Cramer.

Një zgjidhje e plotë dhe një mostër e përafërt e dizajnit përfundimtar në fund të mësimit.

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të konsiderojmë katër-dimensionale, pesë-dimensionale, etj. hapësira vektoriale, ku vektorët kanë përkatësisht 4, 5 ose më shumë koordinata. Për këto hapësira vektoriale ekziston edhe koncepti i varësisë lineare, pavarësia lineare e vektorëve, ekziston një bazë, duke përfshirë një bazë ortonormale, një zgjerim të një vektori në lidhje me një bazë. Po, hapësira të tilla nuk mund të vizatohen gjeometrikisht, por në to funksionojnë të gjitha rregullat, vetitë dhe teoremat e rasteve dy dhe tre dimensionale - algjebër e pastër. Në fakt, unë tashmë u tundova të flisja për çështje filozofike në artikull Derivatet e pjesshëm të një funksioni me tre ndryshore, e cila u shfaq më herët se ky mësim.

Dashuroni vektorët, dhe vektorët do t'ju duan!

Zgjidhjet dhe përgjigjet:

Shembulli 2: Zgjidhje: le të bëjmë një proporcion nga koordinatat përkatëse të vektorëve:

Përgjigje: në

Shembulli 4: Dëshmi: Trapez Katërkëndësh quhet katërkëndësh në të cilin dy brinjë janë paralele dhe dy brinjët e tjera nuk janë paralele.
1) Le të kontrollojmë paralelizmin e anëve të kundërta dhe .
Le të gjejmë vektorët:


, që do të thotë se këta vektorë nuk janë kolinear dhe brinjët nuk janë paralele.
2) Kontrolloni paralelizmin e anëve të kundërta dhe .
Le të gjejmë vektorët:

Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale:
, që do të thotë se këta vektorë janë kolinearë, dhe .
konkluzioni: Dy anët e një katërkëndëshi janë paralele, por dy brinjët e tjera nuk janë paralele, që do të thotë se është një trapezoid sipas përkufizimit. Q.E.D.

Shembulli 5: Zgjidhje:
b) Le të kontrollojmë nëse ka një koeficient proporcionaliteti për koordinatat përkatëse të vektorëve:

Sistemi nuk ka zgjidhje, që do të thotë se vektorët nuk janë kolinearë.
Dizajn më i thjeshtë:
– koordinatat e dyta dhe të treta nuk janë proporcionale, që do të thotë se vektorët nuk janë kolinear.
Përgjigje: vektorët nuk janë kolinearë.
c) Shqyrtojmë vektorët për kolinearitet . Le të krijojmë një sistem:

Koordinatat përkatëse të vektorëve janë proporcionale, që do të thotë
Këtu dështon metoda e projektimit "foppish".
Përgjigje:

Shembulli 6: Zgjidhje: b) Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale (përcaktori zbulohet në rreshtin e parë):

, që do të thotë se vektorët janë të varur në mënyrë lineare dhe nuk përbëjnë bazën e hapësirës tredimensionale.
Përgjigju : këta vektorë nuk përbëjnë bazë

Shembulli 9: Zgjidhja: Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale:


Kështu, vektorët janë linearisht të pavarur dhe përbëjnë një bazë.
Le të paraqesim vektorin si një kombinim linear i vektorëve bazë:

Në mënyrë të koordinuar:

Le të zgjidhim sistemin duke përdorur formulat e Cramer:
, që do të thotë se sistemi ka një zgjidhje unike.

Përgjigje:Vektorët formojnë një bazë,

Matematikë e lartë për studentët me korrespondencë dhe më shumë >>>

(Shko në faqen kryesore)

Prodhimi i kryqëzuar i vektorëve.
Produkt i përzier i vektorëve

Në këtë mësim do të shikojmë dy operacione të tjera me vektorë: prodhim vektorial i vektorëve Dhe produkt i përzier i vektorëve. Është në rregull, ndonjëherë ndodh që për lumturi të plotë, përveç prodhim skalar i vektorëve, kërkohen gjithnjë e më shumë. Kjo është varësia ndaj vektorit. Mund të duket se po futemi në xhunglën e gjeometrisë analitike. Kjo eshte e gabuar. Në këtë pjesë të matematikës së lartë, përgjithësisht ka pak dru, përveç ndoshta mjaftueshëm për Pinokun. Në fakt, materiali është shumë i zakonshëm dhe i thjeshtë - vështirë se më i komplikuar se i njëjti produkt skalar, do të ketë edhe më pak detyra tipike. Gjëja kryesore në gjeometrinë analitike, siç do të jenë të bindur shumë ose tashmë janë bindur, është TË MOS BËNI GABIME NË LLOGARITJE. Përsëriteni si një magji dhe do të jeni të lumtur =)

Nëse vektorët shkëlqejnë diku larg, si rrufeja në horizont, nuk ka rëndësi, filloni me mësimin Vektorë për dummies për të rivendosur ose rifituar njohuritë bazë për vektorët. Lexuesit më të përgatitur mund të njihen me informacionin në mënyrë selektive

Çfarë do t'ju bëjë të lumtur menjëherë? Kur isha i vogël, mund të mashtroja me dy apo edhe tre topa. Doli mirë. Tani nuk do t'ju duhet të mashtroni fare, pasi ne do ta shqyrtojmë vetëm vektorët hapësinorë, dhe vektorët e sheshtë me dy koordinata do të lihen jashtë. Pse? Kështu kanë lindur këto veprime - vektori dhe produkti i përzier i vektorëve janë përcaktuar dhe punojnë në hapësirën tredimensionale. Tashmë është më e lehtë!

Në këtë artikull, ne do të fillojmë të diskutojmë një "shkop magjik" që do t'ju lejojë të reduktoni shumë probleme gjeometrike në aritmetikë të thjeshtë. Ky “shkop” mund ta bëjë jetën tuaj shumë më të lehtë, veçanërisht kur nuk jeni të sigurt për ndërtimin e figurave hapësinore, seksioneve, etj. E gjithë kjo kërkon një imagjinatë të caktuar dhe aftësi praktike. Metoda që do të fillojmë të shqyrtojmë këtu do t'ju lejojë të abstraktoni pothuajse plotësisht nga të gjitha llojet e ndërtimeve dhe arsyetimit gjeometrik. Metoda quhet "metoda e koordinimit". Në këtë artikull do të shqyrtojmë pyetjet e mëposhtme:

1. Aeroplani koordinativ
2. Pikat dhe vektorët në rrafsh
3. Ndërtimi i një vektori nga dy pika
4. Gjatësia e vektorit (distanca midis dy pikave).
5. Koordinatat e mesit të segmentit
6. Prodhimi pikash i vektorëve
7. Këndi ndërmjet dy vektorëve

Unë mendoj se ju tashmë e keni marrë me mend pse metoda e koordinatave quhet kështu? Ashtu është, e ka marrë këtë emër sepse nuk vepron me objekte gjeometrike, por me karakteristikat e tyre numerike (koordinatat). Dhe vetë transformimi, i cili na lejon të kalojmë nga gjeometria në algjebër, konsiston në futjen e një sistemi koordinativ. Nëse figura fillestare ishte e sheshtë, atëherë koordinatat janë dy-dimensionale, dhe nëse figura është tre-dimensionale, atëherë koordinatat janë tre-dimensionale. Në këtë artikull do të shqyrtojmë vetëm rastin dydimensional. Dhe qëllimi kryesor i artikullit është t'ju mësojë se si të përdorni disa teknika themelore të metodës së koordinatave (ato ndonjëherë rezultojnë të dobishme kur zgjidhni probleme në planimetrinë në Pjesën B të Provimit të Unifikuar të Shtetit). Dy seksionet e ardhshme mbi këtë temë i kushtohen një diskutimi të metodave për zgjidhjen e problemeve C2 (problemi i stereometrisë).

Ku do të ishte logjike të fillonim diskutimin e metodës së koordinatave? Ndoshta nga koncepti i një sistemi koordinativ. Mbani mend kur e keni takuar për herë të parë. Më duket se në klasën e 7-të, kur mësuat për ekzistencën e një funksioni linear, për shembull. Më lejoni t'ju kujtoj se e keni ndërtuar pikë për pikë. Të kujtohet? Ju zgjodhët një numër arbitrar, e zëvendësuat në formulë dhe e llogaritët në atë mënyrë. Për shembull, nëse, atëherë, nëse, atëherë, etj. Çfarë morët në fund? Dhe keni marrë pikë me koordinata: dhe. Më pas, vizatoni një "kryq" (sistemi i koordinatave), zgjodhët një shkallë në të (sa qeliza do të keni si segment njësi) dhe shënuat pikat që keni marrë në të, të cilat më pas i lidhët me një vijë të drejtë; vija është grafiku i funksionit.

Këtu janë disa pika që duhen shpjeguar pak më në detaje:

1. Ju zgjidhni një segment të vetëm për arsye komoditeti, në mënyrë që gjithçka të përshtatet bukur dhe kompakt në vizatim.

2. Pranohet që boshti shkon nga e majta në të djathtë, dhe boshti shkon nga poshtë lart.

3. Ata kryqëzohen në kënde të drejta dhe pika e prerjes së tyre quhet origjinë. Tregohet me një letër.

4. Në shkrimin e koordinatave të një pike, për shembull, në të majtë në kllapa është koordinata e pikës përgjatë boshtit, dhe në të djathtë, përgjatë boshtit. Në veçanti, kjo thjesht do të thotë se në pikën

5. Për të specifikuar ndonjë pikë në boshtin e koordinatave, duhet të tregoni koordinatat e saj (2 numra)

6. Për çdo pikë të shtrirë në bosht,

7. Për çdo pikë të shtrirë në bosht,

8. Boshti quhet bosht x

9. Boshti quhet bosht y

Tani le të bëjmë hapin tjetër: shënoni dy pika. Le t'i lidhim këto dy pika me një segment. Dhe ne do të vendosim shigjetën sikur të vizatojmë një segment nga pika në pikë: domethënë, ne do ta bëjmë segmentin tonë të drejtuar!

Mbani mend si quhet një segment tjetër i drejtimit? Ashtu është, quhet vektor!

Pra, nëse lidhim pikë me pikë, dhe fillimi do të jetë pika A, dhe fundi do të jetë pika B, atëherë marrim një vektor. Këtë ndërtim e keni bërë edhe në klasën e 8-të, ju kujtohet?

Rezulton se vektorët, si pikat, mund të shënohen me dy numra: këta numra quhen koordinata vektoriale. Pyetje: A mendoni se mjafton që ne të dimë koordinatat e fillimit dhe të fundit të një vektori për të gjetur koordinatat e tij? Rezulton se po! Dhe kjo bëhet shumë thjesht:

Kështu, duke qenë se në një vektor pika është fillimi dhe pika është fundi, vektori ka koordinatat e mëposhtme:

Për shembull, nëse, atëherë koordinatat e vektorit

Tani le të bëjmë të kundërtën, të gjejmë koordinatat e vektorit. Çfarë duhet të ndryshojmë për këtë? Po, ju duhet të ndërroni fillimin dhe fundin: tani fillimi i vektorit do të jetë në pikë, dhe fundi do të jetë në pikë. Pastaj:

Shikoni me kujdes, cili është ndryshimi midis vektorëve dhe? Dallimi i tyre i vetëm janë shenjat në koordinata. Ato janë të kundërta. Ky fakt zakonisht shkruhet kështu:

Ndonjëherë, nëse nuk përcaktohet në mënyrë specifike se cila pikë është fillimi i vektorit dhe cila është fundi, atëherë vektorët nuk shënohen me dy shkronja të mëdha, por me një shkronjë të vogël, për shembull: , etj.

Tani pak praktikë veten dhe gjeni koordinatat e vektorëve të mëposhtëm:

Ekzaminimi:

Tani zgjidhni një problem pak më të vështirë:

Një vektor me një pikë fillimi në një pikë ka një bashkë-or-di-na-you. Gjeni pikat abs-cis-su.

E njëjta gjë është mjaft prozaike: Le të jenë koordinatat e pikës. Pastaj

Unë e përpilova sistemin bazuar në përcaktimin se çfarë janë koordinatat vektoriale. Atëherë pika ka koordinata. Ne jemi të interesuar për abscissa. Pastaj

Përgjigje:

Çfarë tjetër mund të bëni me vektorët? Po, pothuajse gjithçka është njësoj si me numrat e zakonshëm (përveç që nuk mund të ndani, por mund të shumëzoni në dy mënyra, njërën prej të cilave do ta diskutojmë këtu pak më vonë)

1. Vektorët mund t'i shtohen njëri-tjetrit
2. Vektorët mund të zbriten nga njëri-tjetri
3. Vektorët mund të shumëzohen (ose pjesëtohen) me një numër arbitrar jo zero
4. Vektorët mund të shumëzohen me njëri-tjetrin

Të gjitha këto veprime kanë një paraqitje shumë të qartë gjeometrike. Për shembull, rregulli i trekëndëshit (ose paralelogramit) për mbledhjen dhe zbritjen:

Një vektor shtrihet ose tkurret ose ndryshon drejtimin kur shumëzohet ose pjesëtohet me një numër:

Sidoqoftë, këtu do të na interesojë pyetja se çfarë ndodh me koordinatat.

1. Kur mbledhim (zbresim) dy vektorë, i shtojmë (zbresim) koordinatat e tyre element për element. Kjo eshte:

2. Gjatë shumëzimit (pjestimit) të një vektori me një numër, të gjitha koordinatat e tij shumëzohen (pjestohen) me këtë numër:

Për shembull:

· Gjeni sasinë e co-or-di-nat shekull-në-ra.

Le të gjejmë fillimisht koordinatat e secilit prej vektorëve. Ata të dy kanë të njëjtën origjinë - pikën e origjinës. Fundet e tyre janë të ndryshme. Pastaj,. Tani le të llogarisim koordinatat e vektorit, atëherë shuma e koordinatave të vektorit që rezulton është e barabartë.

Përgjigje:

Tani zgjidhni vetë problemin e mëposhtëm:

· Gjeni shumën e koordinatave vektoriale

Ne kontrollojmë:

Le të shqyrtojmë tani problemin e mëposhtëm: kemi dy pika në planin koordinativ. Si të gjeni distancën midis tyre? Le të jetë pika e parë, dhe e dyta. Le të shënojmë distancën midis tyre me. Le të bëjmë vizatimin e mëposhtëm për qartësi:

Cfare kam bere? Së pari, lidha pikat dhe, gjithashtu, nga pika që vizatova një vijë paralele me boshtin dhe nga pika që vizatova një vijë paralele me boshtin. A u kryqëzuan në një pikë, duke formuar një figurë të jashtëzakonshme? Çfarë ka kaq të veçantë ajo? Po, ju dhe unë dimë pothuajse gjithçka për trekëndëshin kënddrejtë. Epo, me siguri teorema e Pitagorës. Segmenti i kërkuar është hipotenuza e këtij trekëndëshi, dhe segmentet janë këmbët. Cilat janë koordinatat e pikës? Po, ato janë të lehta për t'u gjetur nga fotografia: Meqenëse segmentet janë paralele me boshtet dhe, përkatësisht, gjatësitë e tyre janë të lehta për t'u gjetur: nëse shënojmë gjatësitë e segmenteve me, përkatësisht, atëherë

Tani le të përdorim teoremën e Pitagorës. Ne e dimë gjatësinë e këmbëve, do të gjejmë hipotenuzën:

Kështu, distanca midis dy pikave është rrënja e shumës së diferencave në katror nga koordinatat. Ose - distanca midis dy pikave është gjatësia e segmentit që i lidh ato. Është e lehtë të shihet se distanca midis pikave nuk varet nga drejtimi. Pastaj:

Nga këtu nxjerrim tre përfundime:

Le të praktikojmë pak për llogaritjen e distancës midis dy pikave:

Për shembull, nëse, atëherë distanca ndërmjet dhe është e barabartë me

Ose le të shkojmë në një mënyrë tjetër: gjeni koordinatat e vektorit

Dhe gjeni gjatësinë e vektorit:

Siç mund ta shihni, është e njëjta gjë!

Tani praktikoni pak vetë:

Detyrë: gjeni distancën midis pikave të treguara:

Ne kontrollojmë:

Këtu janë disa probleme të tjera duke përdorur të njëjtën formulë, megjithëse tingëllojnë pak më ndryshe:

1. Gjeni katrorin e gjatësisë së qepallës.

2. Gjeni katrorin e gjatësisë së qepallës

Mendoj se i keni përballuar pa vështirësi? Ne kontrollojmë:

1. Dhe kjo është për vëmendje) Më herët i kemi gjetur koordinatat e vektorëve: . Atëherë vektori ka koordinata. Katrori i gjatësisë së tij do të jetë i barabartë me:

2. Gjeni koordinatat e vektorit

Atëherë katrori i gjatësisë së tij është

Asgjë e komplikuar, apo jo? Aritmetikë e thjeshtë, asgjë më shumë.

Problemet e mëposhtme nuk mund të klasifikohen në mënyrë të qartë, ato kanë të bëjnë më shumë me erudicionin e përgjithshëm dhe aftësinë për të vizatuar piktura të thjeshta.

1. Gjeni sinusin e këndit nga prerja, që lidh pikën, me boshtin e abshisës.

Dhe

Si do të vazhdojmë këtu? Duhet të gjejmë sinusin e këndit ndërmjet dhe boshtit. Ku mund ta kërkojmë sinusin? Është e drejtë, në një trekëndësh kënddrejtë. Pra, çfarë duhet të bëjmë? Ndërtoni këtë trekëndësh!

Meqenëse koordinatat e pikës janë dhe, atëherë segmenti është i barabartë me, dhe segmenti. Duhet të gjejmë sinusin e këndit. Më lejoni t'ju kujtoj se sinusi është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën, atëherë

Çfarë na mbetet të bëjmë? Gjeni hipotenuzën. Ju mund ta bëni këtë në dy mënyra: duke përdorur teoremën e Pitagorës (këmbët dihen!) ose duke përdorur formulën për distancën midis dy pikave (në fakt, e njëjta gjë si metoda e parë!). Unë do të shkoj në rrugën e dytë:

Përgjigje:

Detyra tjetër do t'ju duket edhe më e lehtë. Ajo është në koordinatat e pikës.

Detyra 2. Nga pika per-pen-di-ku-lyar ulet në boshtin ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Le të bëjmë një vizatim:

Baza e një pingule është pika në të cilën ajo kryqëzon boshtin x (boshtin), për mua kjo është një pikë. Figura tregon se ka koordinata: . Ne jemi të interesuar për abscissa - domethënë komponentin "x". Ajo është e barabartë.

Përgjigje: .

Detyra 3. Në kushtet e problemit të mëparshëm, gjeni shumën e distancave nga pika në boshtet koordinative.

Detyra është përgjithësisht elementare nëse e dini se sa është distanca nga një pikë në boshtet. E dini? Shpresoj, por prapë do t'ju kujtoj:

Pra, në vizatimin tim sipër, a kam vizatuar tashmë një pingul të tillë? Në cilin aks është? Tek boshti. Dhe sa është gjatësia e saj atëherë? Ajo është e barabartë. Tani vizatoni vetë një pingul me boshtin dhe gjeni gjatësinë e tij. Do të jetë e barabartë, apo jo? Atëherë shuma e tyre është e barabartë.

Përgjigje: .

Detyra 4. Në kushtet e detyrës 2, gjeni ordinatën e një pike simetrike me pikën në lidhje me boshtin e abshisave.

Unë mendoj se është intuitivisht e qartë për ju se çfarë është simetria? Shumë objekte e kanë atë: shumë ndërtesa, tavolina, aeroplanë, shumë forma gjeometrike: top, cilindër, katror, ​​romb, etj. Përafërsisht, simetria mund të kuptohet si vijon: një figurë përbëhet nga dy (ose më shumë) gjysma identike. Kjo simetri quhet simetri boshtore. Çfarë është atëherë një bosht? Kjo është pikërisht linja përgjatë së cilës figura mund të "prehet" në gjysma të barabarta (në këtë foto boshti i simetrisë është i drejtë):

Tani le të kthehemi në detyrën tonë. Ne e dimë se ne jemi duke kërkuar për një pikë që është simetrike në lidhje me boshtin. Atëherë ky bosht është boshti i simetrisë. Kjo do të thotë që ne duhet të shënojmë një pikë të tillë që boshti të presë segmentin në dy pjesë të barabarta. Mundohuni ta shënoni vetë një pikë të tillë. Tani krahasojeni me zgjidhjen time:

A funksionoi në të njëjtën mënyrë për ju? Mirë! Na intereson ordinata e pikës së gjetur. Është e barabartë

Përgjigje:

Tani më thuaj, pasi të mendoj për disa sekonda, sa do të jetë abshisa e një pike simetrike me pikën A në lidhje me ordinatën? Cila është përgjigja juaj? Përgjigje e saktë: .

Në përgjithësi, rregulli mund të shkruhet kështu:

Një pikë simetrike me një pikë në lidhje me boshtin e abshisës ka koordinatat:

Një pikë simetrike me një pikë në lidhje me boshtin e ordinatave ka koordinata:

Epo, tani është krejtësisht e frikshme detyrë: gjeni koordinatat e një pike simetrike me pikën në lidhje me origjinën. Ju fillimisht mendoni për veten tuaj, dhe më pas shikoni vizatimin tim!

Përgjigje:

Tani problema e paralelogramit:

Detyra 5: Pikat shfaqen ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Gjeni ose-di-në-atë pikë.

Ju mund ta zgjidhni këtë problem në dy mënyra: logjika dhe metoda e koordinatave. Së pari do të përdor metodën e koordinatave dhe më pas do t'ju tregoj se si mund ta zgjidhni atë ndryshe.

Është mjaft e qartë se abshisa e pikës është e barabartë. (shtrihet në pingulën e tërhequr nga pika në boshtin e abshisës). Duhet të gjejmë ordinatorin. Le të përfitojmë nga fakti që figura jonë është një paralelogram, kjo do të thotë se. Le të gjejmë gjatësinë e segmentit duke përdorur formulën për distancën midis dy pikave:

Ne ulim pingulën që lidh pikën me boshtin. Unë do të shënoj pikën e kryqëzimit me një shkronjë.

Gjatësia e segmentit është e barabartë. (gjene problemin vetë ku diskutuam këtë pikë), atëherë do të gjejmë gjatësinë e segmentit duke përdorur teoremën e Pitagorës:

Gjatësia e një segmenti përkon saktësisht me ordinatat e tij.

Përgjigje: .

Një zgjidhje tjetër (do të jap vetëm një foto që e ilustron atë)

Përparimi i zgjidhjes:

1. Sjellja

2. Gjeni koordinatat e pikës dhe gjatësisë

3. Vërtetoni se.

Nje tjeter problemi i gjatësisë së segmentit:

Pikat shfaqen në krye të trekëndëshit. Gjeni gjatësinë e vijës së mesit të saj, paralele.

A ju kujtohet se cila është vija e mesme e një trekëndëshi? Atëherë kjo detyrë është elementare për ju. Nëse nuk e mbani mend, do t'ju kujtoj: vija e mesme e një trekëndëshi është vija që lidh mesin e anëve të kundërta. Është paralel me bazën dhe e barabartë me gjysmën e saj.

Baza është një segment. Duhet të kërkonim më herët gjatësinë e saj, është e barabartë. Atëherë gjatësia e vijës së mesme është gjysma e madhe dhe e barabartë.

Përgjigje: .

Koment: ky problem mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër, të cilës do t'i drejtohemi pak më vonë.

Ndërkohë, këtu janë disa probleme për ju, praktikoni në to, ato janë shumë të thjeshta, por ju ndihmojnë të përmirësoheni në përdorimin e metodës së koordinatave!

1. Pikat janë në krye të tra-pe-tioneve. Gjeni gjatësinë e vijës së mesit të saj.

2. Pikat dhe paraqitjet ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Gjeni ose-di-në-atë pikë.

3. Gjeni gjatësinë nga prerja, duke lidhur pikën dhe

4. Gjeni zonën prapa figurës me ngjyrë në planin bashkërendues.

5. Një rreth me qendër në na-cha-le ko-or-di-nat kalon nëpër pikë. Gjeni atë ra-di-ne.

6. Gjeni-di-te ra-di-ne rrethit, përshkruani-san-noy për kënd-drejt-jo-ka, majat e diçkaje kanë një bashkë-or -di-na-je kaq-përgjegjës.

Zgjidhjet:

1. Dihet se vija e mesme e një trapezi është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave të tij. Baza është e barabartë, dhe baza. Pastaj

Përgjigje:

2. Mënyra më e lehtë për të zgjidhur këtë problem është të shënohet se (rregulli paralelogram). Llogaritja e koordinatave të vektorëve nuk është e vështirë: . Kur shtohen vektorë, shtohen koordinatat. Pastaj ka koordinata. Këto koordinata i ka edhe pika, pasi origjina e vektorit është pika me koordinatat. Na intereson ordinata. Ajo është e barabartë.

Përgjigje:

3. Ne veprojmë menjëherë sipas formulës për distancën midis dy pikave:

Përgjigje:

4. Shikoni figurën dhe më tregoni se në cilat dy figura është “sandwiched” zona e hijezuar? Ai është i vendosur midis dy katrorëve. Atëherë sipërfaqja e figurës së dëshiruar është e barabartë me sipërfaqen e sheshit të madh minus sipërfaqen e atij të vogël. Ana e një katrori të vogël është një segment që lidh pikat dhe gjatësia e tij është

Atëherë sipërfaqja e sheshit të vogël është

Ne bëjmë të njëjtën gjë me një katror të madh: ana e tij është një segment që lidh pikat dhe gjatësia e tij është

Atëherë sipërfaqja e sheshit të madh është

Ne gjejmë zonën e figurës së dëshiruar duke përdorur formulën:

Përgjigje:

5. Nëse një rreth ka origjinën si qendër dhe kalon nëpër një pikë, atëherë rrezja e tij do të jetë saktësisht e barabartë me gjatësinë e segmentit (bëni një vizatim dhe do të kuptoni pse kjo është e qartë). Le të gjejmë gjatësinë e këtij segmenti:

Përgjigje:

6. Dihet se rrezja e një rrethi të rrethuar rreth një drejtkëndëshi është e barabartë me gjysmën e diagonales së tij. Le të gjejmë gjatësinë e cilësdo prej dy diagonaleve (në fund të fundit, në një drejtkëndësh ato janë të barabarta!)

Përgjigje:

Epo, a keni përballuar gjithçka? Nuk ishte shumë e vështirë për ta kuptuar, apo jo? Ekziston vetëm një rregull këtu - të jeni në gjendje të bëni një pamje vizuale dhe thjesht të "lexoni" të gjitha të dhënat prej saj.

Na ka mbetur shumë pak. Ka fjalë për fjalë edhe dy pika të tjera që unë do të doja të diskutoja.

Le të përpiqemi të zgjidhim këtë problem të thjeshtë. Lërini dy pikë dhe jepen. Gjeni koordinatat e mesit të segmentit. Zgjidhja e këtij problemi është si më poshtë: le të jetë pika mesi i dëshiruar, atëherë ajo ka koordinata:

Kjo eshte: koordinatat e mesit të segmentit = mesatarja aritmetike e koordinatave përkatëse të skajeve të segmentit.

Ky rregull është shumë i thjeshtë dhe zakonisht nuk shkakton vështirësi për studentët. Le të shohim në cilat probleme dhe si përdoret:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point dhe

2. Pikat duket se janë majat e botës. Gjej-di-te or-di-na-tu pikat per-re-se-che-niya e tij dia-go-na-ley.

3. Gjej-di-te abs-cis-su qendrën e rrethit, përshkruaj-san-noy rreth drejtkëndëshit-jo-ka, majat e diçkaje kanë bashkë-or-di-na-ju aq-përgjegjshëm-por.

Zgjidhjet:

1. Problemi i parë është thjesht një klasik. Ne vazhdojmë menjëherë me përcaktimin e mesit të segmentit. Ka koordinata. Ordinata është e barabartë.

Përgjigje:

2. Është e lehtë të shihet se ky katërkëndësh është një paralelogram (madje edhe një romb!). Këtë mund ta vërtetoni vetë duke llogaritur gjatësinë e anëve dhe duke i krahasuar ato me njëra-tjetrën. Çfarë di unë për paralelogramet? Diagonalet e saj ndahen përgjysmë nga pika e kryqëzimit! Po! Pra, cila është pika e kryqëzimit të diagonaleve? Kjo është mesi i ndonjë prej diagonaleve! Unë do të zgjedh, në veçanti, diagonalen. Atëherë pika ka koordinata Ordinata e pikës është e barabartë me.

Përgjigje:

3. Me çfarë përkon qendra e rrethit të rrethuar rreth drejtkëndëshit? Ajo përkon me pikën e kryqëzimit të diagonaleve të saj. Çfarë dini për diagonalet e një drejtkëndëshi? Ato janë të barabarta dhe pika e kryqëzimit i ndan në gjysmë. Detyra u reduktua në atë të mëparshme. Le të marrim, për shembull, diagonalen. Atëherë nëse është qendra e rrethit, atëherë është pika e mesit. Kërkoj koordinata: Abshisa është e barabartë.

Përgjigje:

Tani praktikoni pak vetë, unë thjesht do të jap përgjigjet për çdo problem në mënyrë që të mund të provoni veten.

1. Gjeni-di-te ra-di-ne rrethit, përshkruani-san-noy rreth trekëndëshit-jo-ka, majat e diçkaje kanë një bashkë-or-di -nuk ka mister.

2. Gjeni-di-te ose-di-në-atë qendër të rrethit, përshkruani-san-noy rreth trekëndëshit-no-ka, majat e të cilit kanë koordinata

3. Çfarë lloj ra-di-u-sa duhet të ketë një rreth me qendër në një pikë në mënyrë që të prekë boshtin ab-ciss?

4. Gjeni-di-ato ose-di-në-atë pikë të ri-ndarjes së boshtit dhe prej-prerjes, lidhni-pikën dhe

Përgjigjet:

A ishte gjithçka e suksesshme? Unë me të vërtetë shpresoj për të! Tani - shtytja e fundit. Tani jini veçanërisht të kujdesshëm. Materiali që do të shpjegoj tani lidhet drejtpërdrejt jo vetëm me probleme të thjeshta në metodën e koordinatave nga pjesa B, por gjendet gjithashtu kudo në problemin C2.

Cilin nga premtimet e mia nuk i kam mbajtur ende? Mbani mend se çfarë operacionesh mbi vektorët kam premtuar të prezantoj dhe cilët në fund kam prezantuar? Je i sigurt se nuk kam harruar asgjë? Harrove! Kam harruar të shpjegoj se çfarë do të thotë shumëzimi i vektorëve.

Ka dy mënyra për të shumëzuar një vektor me një vektor. Në varësi të metodës së zgjedhur, do të marrim objekte të natyrave të ndryshme:

Produkti kryq është bërë mjaft me zgjuarsi. Ne do të diskutojmë se si ta bëjmë atë dhe pse është e nevojshme në artikullin vijues. Dhe në këtë do të përqendrohemi në produktin skalar.

Ka dy mënyra që na lejojnë ta llogarisim atë:

Siç e keni menduar, rezultati duhet të jetë i njëjtë! Pra, le të shohim së pari metodën e parë:

Produkti me pika nëpërmjet koordinatave

Gjeni: - shënimin e pranuar përgjithësisht për produktin skalar

Formula për llogaritjen është si më poshtë:

Domethënë prodhimi skalar = shuma e prodhimeve të koordinatave vektoriale!

Shembull:

Gjej-di-te

Zgjidhja:

Le të gjejmë koordinatat e secilit prej vektorëve:

Ne llogarisim produktin skalar duke përdorur formulën:

Përgjigje:

Shihni, absolutisht asgjë e komplikuar!

Epo, tani provojeni vetë:

· Gjeni një pro-iz-ve-de-nie skalar të shekujve dhe

A ia dolët? Ndoshta keni vënë re një kapje të vogël? Le të kontrollojmë:

Koordinatat vektoriale, si në problemin e mëparshëm! Përgjigje:.

Përveç asaj koordinative, ekziston një mënyrë tjetër për të llogaritur produktin skalar, domethënë, përmes gjatësisë së vektorëve dhe kosinusit të këndit midis tyre:

Shënon këndin ndërmjet vektorëve dhe.

Kjo do të thotë, prodhimi skalar është i barabartë me prodhimin e gjatësive të vektorëve dhe kosinusit të këndit ndërmjet tyre.

Pse na duhet kjo formulë e dytë, nëse kemi të parën, e cila është shumë më e thjeshtë, të paktën nuk ka kosinus në të. Dhe është e nevojshme në mënyrë që nga formula e parë dhe e dytë, ju dhe unë të nxjerrim përfundimin se si të gjejmë këndin midis vektorëve!

Le të kujtojmë pastaj formulën për gjatësinë e vektorit!

Pastaj nëse i zëvendësoj këto të dhëna në formulën e produktit skalar, marr:

Por në një mënyrë tjetër:

Pra, çfarë morëm unë dhe ti? Tani kemi një formulë për të llogaritur këndin midis dy vektorëve! Ndonjëherë shkruhet edhe kështu për shkurtësi:

Kjo do të thotë, algoritmi për llogaritjen e këndit midis vektorëve është si më poshtë:

1. Llogaritni produktin skalar përmes koordinatave
2. Gjeni gjatësitë e vektorëve dhe shumëzojini ato
3. Pjestoni rezultatin e pikës 1 me rezultatin e pikës 2

Le të praktikojmë me shembuj:

1. Gjeni këndin midis qepallave dhe. Jepni përgjigjen në grad-du-sah.

2. Në kushtet e problemës së mëparshme, gjeni kosinusin ndërmjet vektorëve

Le të bëjmë këtë: Unë do t'ju ndihmoj të zgjidhni problemin e parë, dhe të dytin përpiquni ta bëni vetë! Dakord? Atëherë le të fillojmë!

1. Këta vektorë janë miqtë tanë të vjetër. Ne kemi llogaritur tashmë produktin e tyre skalar dhe ishte i barabartë. Koordinatat e tyre janë: , . Pastaj gjejmë gjatësinë e tyre:

Pastaj kërkojmë kosinusin midis vektorëve:

Sa është kosinusi i këndit? Ky është këndi.

Përgjigje:

Epo, tani zgjidhe vetë problemin e dytë, dhe pastaj krahaso! Unë do të jap vetëm një zgjidhje shumë të shkurtër:

2. ka koordinata, ka koordinata.

Le të jetë këndi ndërmjet vektorëve dhe, pastaj

Përgjigje:

Duhet të theksohet se problemet drejtpërdrejt në vektorët dhe metodën e koordinatave në pjesën B të fletës së provimit janë mjaft të rralla. Megjithatë, shumica dërrmuese e problemeve C2 mund të zgjidhen lehtësisht duke futur një sistem koordinativ. Kështu që mund ta konsideroni këtë artikull si themelin mbi bazën e të cilit do të bëjmë ndërtime mjaft të zgjuara që do të na duhen për të zgjidhur probleme komplekse.

KOORDINATA DHE VEKTORËT. NIVELI MESATAR

Ju dhe unë vazhdojmë të studiojmë metodën e koordinatave. Në pjesën e fundit, kemi nxjerrë një numër formulash të rëndësishme që ju lejojnë të:

1. Gjeni koordinatat vektoriale
2. Gjeni gjatësinë e një vektori (në mënyrë alternative: distancën midis dy pikave)
3. Shtoni dhe zbritni vektorë. Shumëzojini ato me një numër real
4. Gjeni pikën e mesit të një segmenti
5. Llogaritni produktin me pika të vektorëve
6. Gjeni këndin ndërmjet vektorëve

Sigurisht, e gjithë metoda e koordinatave nuk përshtatet në këto 6 pika. Ajo qëndron në themel të një shkence të tillë si gjeometria analitike, me të cilën do të njiheni në universitet. Unë thjesht dua të ndërtoj një themel që do t'ju lejojë të zgjidhni problemet në një shtet të vetëm. provim. Ne jemi marrë me detyrat e Pjesës B. Tani është koha për të kaluar në një nivel krejtësisht të ri! Ky artikull do t'i kushtohet një metode për zgjidhjen e atyre problemeve C2 në të cilat do të ishte e arsyeshme kalimi në metodën e koordinatave. Kjo arsyeshmëri përcaktohet nga ajo që kërkohet të gjendet në problem dhe cila shifër është dhënë. Pra, do të përdorja metodën e koordinatave nëse pyetjet janë:

1. Gjeni këndin midis dy rrafsheve
2. Gjeni këndin midis një drejtëze dhe një rrafshi
3. Gjeni këndin midis dy vijave të drejta
4. Gjeni distancën nga një pikë në një plan
5. Gjeni distancën nga një pikë në një vijë
6. Gjeni distancën nga një vijë e drejtë në një plan
7. Gjeni distancën midis dy rreshtave

Nëse figura e dhënë në deklaratën e problemit është një trup rrotullues (top, cilindër, kon...)

Shifrat e përshtatshme për metodën e koordinatave janë:

1. Paralelepiped drejtkëndëshe
2. Piramida (trekëndore, katërkëndore, gjashtëkëndore)

Gjithashtu nga përvoja ime është e papërshtatshme të përdoret metoda e koordinatave për:

1. Gjetja e zonave të prerjeve tërthore
2. Llogaritja e vëllimeve të trupave

Sidoqoftë, duhet të theksohet menjëherë se tre situatat "të pafavorshme" për metodën e koordinatave janë mjaft të rralla në praktikë. Në shumicën e detyrave, ai mund të bëhet shpëtimtari juaj, veçanërisht nëse nuk jeni shumë të mirë në ndërtimet tredimensionale (të cilat ndonjëherë mund të jenë mjaft të ndërlikuara).

Cilat janë të gjitha shifrat që rendita më sipër? Ata nuk janë më të sheshtë, si, për shembull, një katror, ​​një trekëndësh, një rreth, por voluminoze! Prandaj, ne duhet të marrim parasysh jo një sistem koordinativ dy-dimensional, por tredimensional. Është mjaft e lehtë për t'u ndërtuar: vetëm përveç boshtit të abshisës dhe të ordinatave, do të prezantojmë një bosht tjetër, boshtin aplikativ. Figura tregon në mënyrë skematike pozicionin e tyre relativ:

Të gjitha ato janë pingul dhe kryqëzohen në një pikë, të cilën do ta quajmë origjina e koordinatave. Si më parë, do të shënojmë boshtin e abshisave, boshtin e ordinatave - , dhe boshtin aplikativ të futur - .

Nëse më parë secila pikë në rrafsh karakterizohej nga dy numra - abshisa dhe ordinata, atëherë çdo pikë në hapësirë ​​përshkruhet tashmë nga tre numra - abshisa, ordinata dhe aplikanti. Për shembull:

Prandaj, abshisa e një pike është e barabartë, ordinata është , dhe aplikuesi është .

Ndonjëherë abshisa e një pike quhet edhe projeksioni i një pike në boshtin e abshisës, ordinata - projeksioni i një pike mbi boshtin e ordinatave dhe aplikativi - projeksioni i një pike në boshtin aplikativ. Prandaj, nëse jepet një pikë, atëherë një pikë me koordinata:

quhet projeksioni i një pike në një rrafsh

quhet projeksioni i një pike në një rrafsh

Shtrohet një pyetje e natyrshme: a janë të vlefshme në hapësirë ​​të gjitha formulat e nxjerra për rastin dydimensional? Përgjigja është po, ata janë të drejtë dhe kanë të njëjtën pamje. Për një detaj të vogël. Unë mendoj se ju tashmë e keni marrë me mend se cila është. Në të gjitha formulat do të duhet të shtojmë një term tjetër përgjegjës për boshtin aplikativ. Domethënë.

1. Nëse jepen dy pikë: , atëherë:

• Koordinatat e vektorit:
• Distanca midis dy pikave (ose gjatësia vektoriale)
• Mesi i segmentit ka koordinata

2. Nëse jepen dy vektorë: dhe, atëherë:

• Produkti i tyre skalar është i barabartë me:
• Kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve është i barabartë me:

Megjithatë, hapësira nuk është aq e thjeshtë. Siç e kuptoni, shtimi i një koordinate më shumë sjell diversitet të konsiderueshëm në spektrin e figurave që "jetojnë" në këtë hapësirë. Dhe për rrëfim të mëtejshëm do të më duhet të paraqes disa, përafërsisht, "përgjithësim" të vijës së drejtë. Ky "përgjithësim" do të jetë një plan. Çfarë dini për aeroplanin? Mundohuni t'i përgjigjeni pyetjes, çfarë është një aeroplan? Është shumë e vështirë të thuhet. Sidoqoftë, ne të gjithë intuitivisht imagjinojmë se si duket:

Përafërsisht, kjo është një lloj "fletë" e pafund e mbërthyer në hapësirë. "Pafundësia" duhet të kuptohet se avioni shtrihet në të gjitha drejtimet, domethënë zona e tij është e barabartë me pafundësinë. Megjithatë, ky shpjegim “praktik” nuk jep as idenë më të vogël për strukturën e aeroplanit. Dhe është ajo që do të interesohet për ne.

Le të kujtojmë një nga aksiomat themelore të gjeometrisë:

• një vijë e drejtë kalon nëpër dy pika të ndryshme në një plan, dhe vetëm një:

Ose analogu i tij në hapësirë:

Sigurisht, ju mbani mend se si të nxirrni ekuacionin e një linje nga dy pika të dhëna, nuk është aspak e vështirë: nëse pika e parë ka koordinata: dhe e dyta, atëherë ekuacioni i vijës do të jetë si më poshtë:

Ju e morët këtë në klasën e 7-të. Në hapësirë, ekuacioni i një drejtëze duket kështu: le të na jepen dy pika me koordinata: , atëherë ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër to ka formën:

Për shembull, një vijë kalon nëpër pika:

Si duhet kuptuar kjo? Kjo duhet kuptuar si më poshtë: një pikë shtrihet në një vijë nëse koordinatat e saj plotësojnë sistemin e mëposhtëm:

Ne nuk do të jemi shumë të interesuar për ekuacionin e një drejtëze, por duhet t'i kushtojmë vëmendje konceptit shumë të rëndësishëm të vektorit të drejtimit të një drejtëze. - çdo vektor jozero që shtrihet në një vijë të caktuar ose paralel me të.

Për shembull, të dy vektorët janë vektorë të drejtimit të një vije të drejtë. Le të jetë një pikë e shtrirë në një vijë dhe le të jetë vektori i drejtimit të saj. Atëherë ekuacioni i rreshtit mund të shkruhet në formën e mëposhtme:

Edhe një herë, nuk do të jem shumë i interesuar për ekuacionin e një vije të drejtë, por me të vërtetë kam nevojë që ju të mbani mend se çfarë është vektori i drejtimit! Përsëri: ky është NDONJE vektor jozero që shtrihet në një vijë ose paralel me të.

Të tërheqë ekuacioni i një rrafshi bazuar në tre pika të dhëna nuk është më aq e parëndësishme dhe çështja zakonisht nuk trajtohet në kurset e shkollave të mesme. Por më kot! Kjo teknikë është jetike kur ne i drejtohemi metodës së koordinatave për të zgjidhur probleme komplekse. Megjithatë, supozoj se jeni të etur për të mësuar diçka të re? Për më tepër, do të jeni në gjendje t'i bëni përshtypje mësuesit tuaj në universitet kur të rezulton se tashmë dini të përdorni një teknikë që zakonisht studiohet në një kurs gjeometrie analitike. Pra, le të fillojmë.

Ekuacioni i një rrafshi nuk është shumë i ndryshëm nga ekuacioni i një vije të drejtë në një aeroplan, domethënë, ai ka formën:

disa numra (jo të gjithë të barabartë me zero), por variabla, për shembull: etj. Siç mund ta shihni, ekuacioni i një rrafshi nuk është shumë i ndryshëm nga ekuacioni i një drejtëze (funksioni linear). Megjithatë, ju kujtohet se çfarë grindëm unë dhe ju? Thamë se nëse kemi tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz, atëherë ekuacioni i rrafshit mund të rindërtohet në mënyrë unike prej tyre. Por si? Do të përpiqem t'jua shpjegoj.

Meqenëse ekuacioni i aeroplanit është:

Dhe pikat i përkasin këtij rrafshi, atëherë kur zëvendësojmë koordinatat e secilës pikë në ekuacionin e rrafshit, duhet të marrim identitetin e saktë:

Kështu, lind nevoja për të zgjidhur tre ekuacione me të panjohura! Dilema! Sidoqoftë, gjithmonë mund të supozoni se (për ta bërë këtë ju duhet të ndani me). Kështu, marrim tre ekuacione me tre të panjohura:

Sidoqoftë, ne nuk do ta zgjidhim një sistem të tillë, por do të shkruajmë shprehjen misterioze që rrjedh prej tij:

Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna

\[\majtas| (\fillim(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \djathtas| = 0\]

Ndalo! Çfarë është kjo? Një modul shumë i pazakontë! Sidoqoftë, objekti që shihni përpara jush nuk ka asnjë lidhje me modulin. Ky objekt quhet përcaktor i rendit të tretë. Që tani e tutje, kur merreni me metodën e koordinatave në një rrafsh, shumë shpesh do të ndesheni me të njëjtat përcaktorë. Çfarë është një përcaktues i rendit të tretë? Mjaft e çuditshme, është vetëm një numër. Mbetet për të kuptuar se cilin numër specifik do të krahasojmë me përcaktorin.

Le të shkruajmë fillimisht përcaktorin e rendit të tretë në një formë më të përgjithshme:

Ku janë disa numra. Për më tepër, me indeksin e parë nënkuptojmë numrin e rreshtit, dhe me indeksin kuptojmë numrin e kolonës. Për shembull, do të thotë që ky numër është në kryqëzimin e rreshtit të dytë dhe kolonës së tretë. Le të parashtrojmë pyetjen e mëposhtme: si do ta llogarisim saktësisht një përcaktues të tillë? Kjo do të thotë, çfarë numri specifik do të krahasojmë me të? Për përcaktuesin e rendit të tretë ekziston një rregull trekëndëshi heuristik (vizual), ai duket kështu:

1. Prodhimi i elementeve të diagonales kryesore (nga këndi i sipërm majtas në këndin e poshtëm djathtas) produkti i elementeve që formojnë trekëndëshin e parë "pingul" me diagonalen kryesore produkti i elementeve që formojnë trekëndëshin e dytë "pingul" me diagonale kryesore
2. Prodhimi i elementeve të diagonales dytësore (nga këndi i sipërm i djathtë në të majtë të poshtëm) prodhimi i elementeve që formojnë trekëndëshin e parë "pingulor" me diagonalen dytësore produkti i elementeve që formojnë trekëndëshin e dytë "pingul" me diagonale dytësore
3. Atëherë përcaktori është i barabartë me diferencën midis vlerave të marra në hap dhe

Nëse i shkruajmë të gjitha këto në numra, marrim shprehjen e mëposhtme:

Sidoqoftë, nuk keni nevojë të mbani mend metodën e llogaritjes në këtë formë, mjafton të mbani në kokë trekëndëshat dhe vetë idenë se çfarë shtohet me atë dhe çfarë zbritet më pas nga çfarë).

Le të ilustrojmë metodën e trekëndëshit me një shembull:

1. Llogaritni përcaktorin:

Le të kuptojmë se çfarë shtojmë dhe çfarë zbresim:

Kushtet që vijnë me një plus:

Kjo është diagonalja kryesore: produkti i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i parë, " pingul me diagonalen kryesore: produkti i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i dytë, " pingul me diagonalen kryesore: produkti i elementeve është i barabartë me

Mblidhni tre numra:

Termat që vijnë me një minus

Kjo është një diagonale anësore: produkti i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i parë, “ pingul me diagonalen dytësore: prodhimi i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i dytë, “pingul me diagonalen dytësore: prodhimi i elementeve është i barabartë me

Mblidhni tre numra:

Gjithçka që mbetet për t'u bërë është të zbritet shuma e termave "plus" nga shuma e termave "minus":

Kështu,

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar ose të mbinatyrshme në llogaritjen e përcaktuesve të rendit të tretë. Është e rëndësishme vetëm të mbani mend trekëndëshat dhe të mos bëni gabime aritmetike. Tani përpiquni ta llogaritni vetë:

Ne kontrollojmë:

1. Trekëndëshi i parë pingul me diagonalen kryesore:
2. Trekëndëshi i dytë pingul me diagonalen kryesore:
3. Shuma e termave me plus:
4. Trekëndëshi i parë pingul me diagonalen dytësore:
5. Trekëndëshi i dytë pingul me diagonalen anësore:
6. Shuma e termave me minus:
7. Shuma e termave me një plus minus shumën e termave me një minus:

Këtu janë disa përcaktues të tjerë, llogaritni vetë vlerat e tyre dhe krahasoni ato me përgjigjet:

Përgjigjet:

Epo, a përkoi gjithçka? E shkëlqyeshme, atëherë mund të vazhdoni! Nëse ka vështirësi, atëherë këshilla ime është kjo: në internet ka shumë programe për llogaritjen e përcaktuesit në internet. Gjithçka që ju nevojitet është të gjeni përcaktuesin tuaj, ta llogarisni vetë dhe më pas ta krahasoni me atë që llogarit programi. Dhe kështu me radhë derisa rezultatet të fillojnë të përkojnë. Jam i sigurt se ky moment nuk do të zgjasë shumë për të mbërritur!

Tani le të kthehemi te përcaktori që shkrova kur fola për ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna:

Gjithçka që ju nevojitet është të llogarisni vlerën e tij drejtpërdrejt (duke përdorur metodën e trekëndëshit) dhe ta vendosni rezultatin në zero. Natyrisht, duke qenë se këto janë variabla, do të merrni një shprehje që varet prej tyre. Është kjo shprehje që do të jetë ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz!

Le ta ilustrojmë këtë me një shembull të thjeshtë:

1. Ndërtoni ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër pika

Ne përpilojmë një përcaktues për këto tre pika:

Le të thjeshtojmë:

Tani e llogarisim drejtpërdrejt duke përdorur rregullin e trekëndëshit:

\[(\majtas| (\fillimi(grupi)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\fundi(grupi)) \ djathtas|. = \majtas((x + 3) \djathtas) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \djathtas) + \majtas((y - 2) \djathtas) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Kështu, ekuacioni i rrafshit që kalon nëpër pika është:

Tani përpiquni ta zgjidhni vetë një problem, dhe më pas do ta diskutojmë:

2. Gjeni ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pika

Epo, le të diskutojmë tani zgjidhjen:

Le të krijojmë një përcaktues:

Dhe llogaritni vlerën e tij:

Atëherë ekuacioni i rrafshit ka formën:

Ose, duke reduktuar, marrim:

Tani dy detyra për vetëkontroll:

1. Ndërtoni ekuacionin e një rrafshi që kalon nga tre pika:

Përgjigjet:

A përkoi gjithçka? Përsëri, nëse ka disa vështirësi, atëherë këshilla ime është kjo: merrni tre pika nga koka juaj (me një shkallë të lartë probabiliteti ata nuk do të shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë), ndërtoni një aeroplan bazuar në to. Dhe pastaj kontrolloni veten në internet. Për shembull, në sit:

Megjithatë, me ndihmën e përcaktorëve do të ndërtojmë jo vetëm ekuacionin e rrafshit. Mbani mend, ju thashë se jo vetëm produkti me pika përcaktohet për vektorët. Ekziston gjithashtu një produkt vektor, si dhe një produkt i përzier. Dhe nëse prodhimi skalar i dy vektorëve është një numër, atëherë prodhimi vektorial i dy vektorëve do të jetë një vektor, dhe ky vektor do të jetë pingul me ato të dhëna:

Për më tepër, moduli i tij do të jetë i barabartë me sipërfaqen e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorët dhe. Do të na duhet ky vektor për të llogaritur distancën nga një pikë në një vijë. Si mund ta llogarisim prodhimin vektorial të vektorëve dhe nëse jepen koordinatat e tyre? Na vjen sërish në ndihmë përcaktori i rendit të tretë. Megjithatë, përpara se të kaloj në algoritmin për llogaritjen e produktit të vektorit, më duhet të bëj një digresion të vogël.

Ky digresion ka të bëjë me vektorët bazë.

Ato janë paraqitur në mënyrë skematike në figurë:

Pse mendoni se quhen bazë? Fakti është se:

Ose në foto:

Vlefshmëria e kësaj formule është e qartë, sepse:

Vepra arti vektoriale

Tani mund të filloj të prezantoj produktin kryq:

Produkti vektorial i dy vektorëve është një vektor, i cili llogaritet sipas rregullit të mëposhtëm:

Tani le të japim disa shembuj të llogaritjes së produktit kryq:

Shembulli 1: Gjeni prodhimin kryq të vektorëve:

Zgjidhje: Unë krijoj një përcaktor:

Dhe unë e llogaris atë:

Tani nga shkrimi përmes vektorëve bazë, do të kthehem te shënimi i zakonshëm i vektorit:

Kështu:

Tani provojeni.

Gati? Ne kontrollojmë:

Dhe tradicionalisht dy detyrat për kontroll:

1. Gjeni produktin vektorial të vektorëve të mëposhtëm:
2. Gjeni produktin vektorial të vektorëve të mëposhtëm:

Përgjigjet:

Produkt i përzier i tre vektorëve

Ndërtimi i fundit që do të më duhet është prodhimi i përzier i tre vektorëve. Ai, si një skalar, është një numër. Ka dy mënyra për ta llogaritur atë. - përmes një përcaktori, - përmes një produkti të përzier.

Domethënë, le të na jepen tre vektorë:

Atëherë produkti i përzier i tre vektorëve, i shënuar me, mund të llogaritet si:

1. - domethënë prodhimi i përzier është prodhimi skalar i një vektori dhe prodhimi vektorial i dy vektorëve të tjerë.

Për shembull, produkti i përzier i tre vektorëve është:

Mundohuni ta llogaritni vetë duke përdorur produktin vektor dhe sigurohuni që rezultatet përputhen!

Dhe përsëri, dy shembuj për zgjidhje të pavarura:

Përgjigjet:

Zgjedhja e një sistemi koordinativ

Epo, tani kemi të gjitha bazat e nevojshme të njohurive për të zgjidhur problemet komplekse të gjeometrisë stereometrike. Sidoqoftë, përpara se të vazhdoj drejtpërdrejt me shembujt dhe algoritmet për zgjidhjen e tyre, besoj se do të jetë e dobishme të ndalemi në pyetjen e mëposhtme: si saktësisht zgjidhni një sistem koordinativ për një figurë të caktuar. Në fund të fundit, është zgjedhja e pozicionit relativ të sistemit të koordinatave dhe e figurës në hapësirë ​​që përfundimisht do të përcaktojë se sa të vështira do të jenë llogaritjet.

Më lejoni t'ju kujtoj se në këtë seksion kemi parasysh figurat e mëposhtme:

1. Paralelepiped drejtkëndëshe
2. Prizma e drejtë (trekëndore, gjashtëkëndore...)
3. Piramida (trekëndore, katërkëndore)
4. Tetrahedron (njëlloj si piramida trekëndore)

Për një paralelipiped ose kub drejtkëndor, ju rekomandoj ndërtimin e mëposhtëm:

Kjo do të thotë, unë do ta vendos figurën "në qoshe". Kubi dhe paralelepiped janë figura shumë të mira. Për ta, ju gjithmonë mund të gjeni lehtësisht koordinatat e kulmeve të saj. Për shembull, nëse (siç tregohet në foto)

atëherë koordinatat e kulmeve janë si më poshtë:

Sigurisht, nuk keni nevojë ta mbani mend këtë, por këshillohet të mbani mend se si të vendosni më mirë një kub ose paralelipiped drejtkëndor.

Prizma e drejtë

Prizma është një figurë më e dëmshme. Mund të pozicionohet në hapësirë ​​në mënyra të ndryshme. Sidoqoftë, opsioni i mëposhtëm më duket më i pranueshëm:

Prizma trekëndore:

Kjo do të thotë, ne vendosim njërën nga anët e trekëndëshit tërësisht në bosht, dhe një nga kulmet përkon me origjinën e koordinatave.

Prizma gjashtëkëndore:

Kjo do të thotë, një nga kulmet përkon me origjinën, dhe një nga anët shtrihet në bosht.

Piramida katërkëndore dhe gjashtëkëndore:

Situata është e ngjashme me një kub: ne rreshtojmë dy anët e bazës me boshtet e koordinatave dhe rreshtojmë njërën nga kulmet me origjinën e koordinatave. E vetmja vështirësi e vogël do të jetë llogaritja e koordinatave të pikës.

Për një piramidë gjashtëkëndore - njësoj si për një prizëm gjashtëkëndor. Detyra kryesore do të jetë përsëri gjetja e koordinatave të kulmit.

Tetrahedron (piramida trekëndore)

Situata është shumë e ngjashme me atë që dhashë për një prizëm trekëndor: një kulm përkon me origjinën, njëra anë shtrihet në boshtin koordinativ.

Epo, tani ju dhe unë jemi më në fund afër fillimit të zgjidhjes së problemeve. Nga ajo që thashë në fillim të artikullit, mund të nxirrni përfundimin e mëposhtëm: shumica e problemeve C2 ndahen në 2 kategori: problemet e këndit dhe problemet e distancës. Së pari, do të shqyrtojmë problemet e gjetjes së një këndi. Nga ana tjetër, ato ndahen në kategoritë e mëposhtme (me rritjen e kompleksitetit):

Probleme për gjetjen e këndeve

1. Gjetja e këndit midis dy vijave të drejta
2. Gjetja e këndit midis dy rrafsheve

Le t'i shikojmë këto probleme në mënyrë sekuenciale: le të fillojmë duke gjetur këndin midis dy vijave të drejta. Epo, mbani mend, a nuk kemi zgjidhur ju dhe unë shembuj të ngjashëm më parë? A ju kujtohet, ne kishim tashmë diçka të ngjashme... Ne po kërkonim këndin midis dy vektorëve. Më lejoni t'ju kujtoj, nëse jepen dy vektorë: dhe, atëherë këndi ndërmjet tyre gjendet nga relacioni:

Tani qëllimi ynë është të gjejmë këndin midis dy vijave të drejta. Le të shohim "fotografinë e sheshtë":

Sa kënde kemi marrë kur kryqëzohen dy drejtëza? Vetëm disa gjëra. Vërtetë, vetëm dy prej tyre nuk janë të barabartë, ndërsa të tjerët janë vertikal ndaj tyre (dhe për këtë arsye përkojnë me to). Pra, cili kënd duhet të marrim parasysh këndin midis dy vijave të drejta: apo? Këtu rregulli është: këndi ndërmjet dy vijave të drejta nuk është gjithmonë më shumë se gradë. Domethënë, nga dy kënde do të zgjedhim gjithmonë këndin me masën më të vogël të shkallës. Kjo do të thotë, në këtë foto këndi midis dy vijave të drejta është i barabartë. Për të mos u shqetësuar çdo herë për të gjetur këndin më të vogël nga dy këndet, matematikanët dinakë sugjeruan përdorimin e një moduli. Kështu, këndi midis dy vijave të drejta përcaktohet nga formula:

Ju, si një lexues i vëmendshëm, duhet të kishit një pyetje: ku, saktësisht, i marrim të njëjtët numra që na nevojiten për të llogaritur kosinusin e një këndi? Përgjigje: do t'i marrim nga vektorët e drejtimit të vijave! Kështu, algoritmi për gjetjen e këndit midis dy vijave të drejta është si më poshtë:

1. Ne aplikojmë formulën 1.

Ose më në detaje:

1. Kërkojmë koordinatat e vektorit të drejtimit të drejtëzës së parë
2. Kërkojmë koordinatat e vektorit të drejtimit të drejtëzës së dytë
3. Ne llogarisim modulin e produktit të tyre skalar
4. Ne jemi duke kërkuar për gjatësinë e vektorit të parë
5. Ne jemi duke kërkuar për gjatësinë e vektorit të dytë
6. Shumëzoni rezultatet e pikës 4 me rezultatet e pikës 5
7. Rezultatin e pikës 3 e ndajmë me rezultatin e pikës 6. Marrim kosinusin e këndit ndërmjet vijave
8. Nëse ky rezultat na lejon të llogarisim me saktësi këndin, ne e kërkojmë atë
9. Përndryshe shkruajmë përmes kosinusit të harkut

Epo, tani është koha të kalojmë te problemet: zgjidhjen e dy të parave do t'i demonstroj në detaje, një tjetri do t'ia paraqes zgjidhjen në mënyrë të shkurtër dhe dy problemeve të fundit do t'i jap vetëm përgjigjet; ju duhet t'i kryeni vetë të gjitha llogaritjet për ta.

Detyrat:

1. Në tet-ra-ed-re të djathtë, gjeni këndin ndërmjet lartësisë së tet-ra-ed-ra dhe anës së mesme.

2. Në krahun e djathtë gjashtëkëndor pi-ra-mi-de, njëqind os-no-va-niya janë të barabarta, dhe skajet anësore janë të barabarta, gjeni këndin midis vijave dhe.

3. Gjatesite e te gjitha skajeve te pi-ra-mi-dy te djathta katerthymyr jane te barabarta me njera-tjetren. Gjeni këndin ndërmjet drejtëzave dhe nëse nga prerja - jeni me pi-ra-mi-dy të dhënë, pika është se-re-di-në brinjët e saj bo-co- të dyta.

4. Në buzë të kubit ka një pikë në mënyrë që Gjeni këndin midis drejtëzave dhe

5. Pika - në skajet e kubit Gjeni këndin midis drejtëzave dhe.

Nuk është rastësi që i kam rregulluar detyrat në këtë mënyrë. Ndërsa ju nuk keni filluar ende të lundroni në metodën e koordinatave, unë do të analizoj vetë figurat më "problematike" dhe do t'ju lë të merreni me kubin më të thjeshtë! Gradualisht do të duhet të mësoni se si të punoni me të gjitha figurat. Unë do të rris kompleksitetin e detyrave nga tema në temë.

Le të fillojmë të zgjidhim problemet:

1. Vizatoni një katërkëndor, vendoseni në sistemin e koordinatave siç sugjerova më parë. Meqenëse katërkëndëshi është i rregullt, të gjitha fytyrat e tij (përfshirë bazën) janë trekëndësha të rregullt. Meqenëse nuk na jepet gjatësia e anës, mund ta marr të barabartë. Unë mendoj se e kuptoni se këndi në të vërtetë nuk do të varet nga sa "shtrihet" tetraedri ynë?. Do të vizatoj gjithashtu lartësinë dhe mesataren në katërkëndor. Gjatë rrugës, unë do të vizatoj bazën e saj (do të jetë gjithashtu e dobishme për ne).

Më duhet të gjej këndin midis dhe. Çfarë dimë ne? Ne dimë vetëm koordinatat e pikës. Kjo do të thotë që ne duhet të gjejmë koordinatat e pikave. Tani mendojmë: një pikë është pika e kryqëzimit të lartësive (ose përgjysmuesve ose medianave) të trekëndëshit. Dhe një pikë është një pikë e ngritur. Pika është mesi i segmentit. Atëherë më në fund duhet të gjejmë: koordinatat e pikave: .

Le të fillojmë me gjënë më të thjeshtë: koordinatat e një pike. Shikoni figurën: Është e qartë se aplikimi i një pike është i barabartë me zero (pika shtrihet në rrafsh). Ordinata e saj është e barabartë (pasi është mediana). Është më e vështirë të gjesh abshisën e saj. Megjithatë, kjo bëhet lehtësisht bazuar në teoremën e Pitagorës: Konsideroni një trekëndësh. Hipotenuza e tij është e barabartë, dhe njëra nga këmbët e saj është e barabartë Atëherë:

Më në fund kemi: .

Tani le të gjejmë koordinatat e pikës. Është e qartë se aplikimi i saj është përsëri i barabartë me zero, dhe ordinata e tij është e njëjtë me atë të një pike, d.m.th. Le të gjejmë abshisën e saj. Kjo bëhet në mënyrë të parëndësishme nëse e mbani mend këtë lartësitë e një trekëndëshi barabrinjës me pikën e kryqëzimit ndahen në përpjestim, duke numëruar nga lart. Meqenëse: , atëherë abshisa e kërkuar e pikës, e barabartë me gjatësinë e segmentit, është e barabartë me: . Kështu, koordinatat e pikës janë:

Le të gjejmë koordinatat e pikës. Është e qartë se abshisa dhe ordinata e saj përkojnë me abshisën dhe ordinatën e pikës. Dhe aplikacioni është i barabartë me gjatësinë e segmentit. - kjo është një nga këmbët e trekëndëshit. Hipotenuza e një trekëndëshi është një segment - një këmbë. Kërkohet për arsye që i kam theksuar me shkronja të zeza:

Pika është mesi i segmentit. Atëherë duhet të kujtojmë formulën për koordinatat e mesit të segmentit:

Kjo është ajo, tani mund të kërkojmë koordinatat e vektorëve të drejtimit:

Epo, gjithçka është gati: ne i zëvendësojmë të gjitha të dhënat në formulën:

Kështu,

Përgjigje:

Ju nuk duhet të trembeni nga përgjigje të tilla "të frikshme": për detyrat C2 kjo është praktikë e zakonshme. Më mirë do të më befasonte përgjigja “e bukur” në këtë pjesë. Gjithashtu, siç e vutë re, praktikisht nuk iu drejtova asgjë tjetër përveç teoremës së Pitagorës dhe vetive të lartësive të një trekëndëshi barabrinjës. Kjo do të thotë, për të zgjidhur problemin stereometrik, kam përdorur minimumin e stereometrisë. Fitimi në këtë "shuar" pjesërisht nga llogaritjet mjaft të rënda. Por ato janë mjaft algoritmike!

2. Le të përshkruajmë një piramidë të rregullt gjashtëkëndore së bashku me sistemin e koordinatave, si dhe bazën e saj:

Duhet të gjejmë këndin ndërmjet vijave dhe. Kështu, detyra jonë zbret në gjetjen e koordinatave të pikave: . Do të gjejmë koordinatat e tre të fundit duke përdorur një vizatim të vogël dhe do të gjejmë koordinatat e kulmit përmes koordinatës së pikës. Ka shumë punë për të bërë, por duhet të fillojmë!

a) Koordinata: është e qartë se zbatimi dhe ordinata e saj janë të barabarta me zero. Le të gjejmë abshisën. Për ta bërë këtë, merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë. Mjerisht, në të ne njohim vetëm hipotenuzën, e cila është e barabartë. Do të përpiqemi të gjejmë këmbën (sepse është e qartë se dyfishi i gjatësisë së këmbës do të na japë abshisën e pikës). Si mund ta kërkojmë? Le të kujtojmë se çfarë lloj figure kemi në bazën e piramidës? Ky është një gjashtëkëndësh i rregullt. Çfarë do të thotë? Kjo do të thotë që të gjitha anët dhe të gjitha këndet janë të barabarta. Duhet të gjejmë një kënd të tillë. Ndonje ide? Ka shumë ide, por ka një formulë:

Shuma e këndeve të një këndi n të rregullt është .

Kështu, shuma e këndeve të një gjashtëkëndëshi të rregullt është e barabartë me gradë. Atëherë secili nga këndet është i barabartë me:

Le të shohim sërish foton. Është e qartë se segmenti është përgjysmues i këndit. Atëherë këndi është i barabartë me gradë. Pastaj:

Pastaj nga.

Kështu, ka koordinata

b) Tani mund të gjejmë lehtësisht koordinatat e pikës: .

c) Gjeni koordinatat e pikës. Meqenëse abshisa e saj përkon me gjatësinë e segmentit, ajo është e barabartë. Gjetja e ordinatës nuk është gjithashtu shumë e vështirë: nëse lidhim pikat dhe caktojmë pikën e kryqëzimit të drejtëzës si, të themi, . (bëjeni vetë ndërtim i thjeshtë). Atëherë, pra, ordinata e pikës B është e barabartë me shumën e gjatësive të segmenteve. Le të shohim përsëri trekëndëshin. Pastaj

Pastaj që atëherë pika ka koordinata

d) Tani le të gjejmë koordinatat e pikës. Konsideroni drejtkëndëshin dhe vërtetoni se kështu, koordinatat e pikës janë:

e) Mbetet për të gjetur koordinatat e kulmit. Është e qartë se abshisa dhe ordinata e saj përkojnë me abshisën dhe ordinatën e pikës. Le të gjejmë aplikacionin. Që atëherë. Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë. Sipas kushteve të problemit, një buzë anësore. Kjo është hipotenuza e trekëndëshit tim. Atëherë lartësia e piramidës është një këmbë.

Atëherë pika ka koordinata:

Epo, kaq, unë kam koordinatat e të gjitha pikave që më interesojnë. Unë jam duke kërkuar për koordinatat e vektorëve drejtues të drejtëzave:

Ne po kërkojmë këndin midis këtyre vektorëve:

Përgjigje:

Përsëri, në zgjidhjen e këtij problemi nuk përdora asnjë teknikë të sofistikuar përveç formulës për shumën e këndeve të një n-këndëshi të rregullt, si dhe përkufizimin e kosinusit dhe sinusit të një trekëndëshi kënddrejtë.

3. Meqenëse përsëri nuk na jepen gjatësitë e skajeve në piramidë, do t'i konsideroj ato të barabarta me një. Kështu, duke qenë se TË GJITHA skajet, dhe jo vetëm ato anësore, janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë në bazën e piramidës dhe mua ka një katror, ​​dhe faqet anësore janë trekëndësha të rregullt. Le të vizatojmë një piramidë të tillë, si dhe bazën e saj në një aeroplan, duke shënuar të gjitha të dhënat e dhëna në tekstin e problemit:

Ne po kërkojmë këndin midis dhe. Do të bëj llogaritje shumë të shkurtra kur të kërkoj koordinatat e pikave. Do t'ju duhet t'i "deshifroni" ato:

b) - mesi i segmentit. Koordinatat e saj:

c) Do të gjej gjatësinë e segmentit duke përdorur teoremën e Pitagorës në një trekëndësh. Mund ta gjej duke përdorur teoremën e Pitagorës në një trekëndësh.

Koordinatat:

d) - mesi i segmentit. Koordinatat e tij janë

e) Koordinatat vektoriale

f) Koordinatat vektoriale

g) Kërkimi i këndit:

Një kub është figura më e thjeshtë. Jam i sigurt që do ta kuptoni vetë. Përgjigjet për problemat 4 dhe 5 janë si më poshtë:

Gjetja e këndit ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit

Epo, koha për enigma të thjeshta ka mbaruar! Tani shembujt do të jenë edhe më të ndërlikuar. Për të gjetur këndin ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit, do të veprojmë si më poshtë:

1. Duke përdorur tre pika ndërtojmë një ekuacion të rrafshit
   ,
   duke përdorur një përcaktor të rendit të tretë.
2. Duke përdorur dy pika, ne kërkojmë koordinatat e vektorit drejtues të vijës së drejtë:
3. Ne aplikojmë formulën për të llogaritur këndin midis një drejtëze dhe një rrafshi:

Siç mund ta shihni, kjo formulë është shumë e ngjashme me atë që kemi përdorur për të gjetur kënde midis dy vijave të drejta. Struktura në anën e djathtë është thjesht e njëjtë, dhe në të majtë tani po kërkojmë sinusin, jo kosinusin si më parë. Epo, u shtua një veprim i keq - kërkimi i ekuacionit të aeroplanit.

Të mos zvarritemi shembuj zgjidhjesh:

1. Prizmi i drejtpërdrejtë kryesor-por-va-ni-em-jemi një trekëndësh i barabartë me të varfër. Gjeni këndin midis vijës së drejtë dhe rrafshit

2. Në një par-ral-le-le-pi-pe-de drejtkëndëshe nga perëndimi Gjeni këndin midis drejtëzës dhe rrafshit

3. Në një prizëm të drejtë me gjashtë kënde, të gjitha skajet janë të barabarta. Gjeni këndin midis vijës së drejtë dhe rrafshit.

4. Në trekëndëshin e drejtë pi-ra-mi-de me os-no-va-ni-em të brinjëve të njohura Gjeni një cep, ob-ra-zo-van - i sheshtë në bazë dhe i drejtë, duke kaluar nëpër gri. brinjë dhe

5. Gjatësitë e të gjitha brinjëve të një pi-ra-mi-dy drejtkëndëshe me kulm janë të barabarta me njëra-tjetrën. Gjeni këndin midis vijës së drejtë dhe rrafshit nëse pika është në anën e skajit të pi-ra-mi-dy.

Përsëri, dy problemet e para do t'i zgjidh në detaje, të tretin shkurt, dhe dy të fundit do t'ju lë t'i zgjidhni vetë. Veç kësaj, tashmë ju është dashur të merreni me piramida trekëndore dhe katërkëndore, por jo ende me prizma.

Zgjidhjet:

1. Le të përshkruajmë një prizëm, si dhe bazën e tij. Le ta kombinojmë atë me sistemin e koordinatave dhe të shënojmë të gjitha të dhënat që jepen në deklaratën e problemit:

Kërkoj falje për disa mospërputhje me përmasat, por për zgjidhjen e problemit kjo, në fakt, nuk është aq e rëndësishme. Avioni është thjesht "muri i pasmë" i prizmit tim. Mjafton thjesht të merret me mend se ekuacioni i një rrafshi të tillë ka formën:

Sidoqoftë, kjo mund të tregohet drejtpërdrejt:

Le të zgjedhim tre pika arbitrare në këtë plan: për shembull, .

Le të krijojmë ekuacionin e aeroplanit:

Ushtroni për ju: llogarisni vetë këtë përcaktor. A keni pasur sukses? Atëherë ekuacioni i aeroplanit duket si ky:

Ose thjesht

Kështu,

Për të zgjidhur shembullin, më duhet të gjej koordinatat e vektorit të drejtimit të drejtëzës. Meqenëse pika përkon me origjinën e koordinatave, koordinatat e vektorit thjesht do të përkojnë me koordinatat e pikës Për ta bërë këtë, së pari gjejmë koordinatat e pikës.

Për ta bërë këtë, merrni parasysh një trekëndësh. Le të nxjerrim lartësinë (e njohur edhe si mediana dhe përgjysmues) nga kulmi. Meqenëse, ordinata e pikës është e barabartë me. Për të gjetur abshisën e kësaj pike, duhet të llogarisim gjatësinë e segmentit. Sipas teoremës së Pitagorës kemi:

Atëherë pika ka koordinata:

Një pikë është një pikë "e ngritur":

Atëherë koordinatat e vektorit janë:

Përgjigje:

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë thelbësisht të vështirë në zgjidhjen e problemeve të tilla. Në fakt, procesi thjeshtohet pak më shumë nga "drejtësia" e një figure të tillë si prizmi. Tani le të kalojmë në shembullin tjetër:

2. Vizatoni një paralelipiped, vizatoni një plan dhe një vijë të drejtë në të dhe gjithashtu vizatoni veçmas bazën e poshtme të tij:

Së pari, gjejmë ekuacionin e rrafshit: Koordinatat e tre pikave që ndodhen në të:

(dy koordinatat e para merren në mënyrë të dukshme, dhe ju mund ta gjeni lehtësisht koordinatën e fundit nga fotografia nga pika). Pastaj përpilojmë ekuacionin e rrafshit:

Ne llogarisim:

Po kërkojmë koordinatat e vektorit drejtues: Është e qartë se koordinatat e tij përkojnë me koordinatat e pikës, apo jo? Si të gjeni koordinatat? Këto janë koordinatat e pikës, të ngritura përgjatë boshtit aplikativ me një! . Pastaj kërkojmë këndin e dëshiruar:

Përgjigje:

3. Vizatoni një piramidë të rregullt gjashtëkëndore, dhe më pas vizatoni një plan dhe një vijë të drejtë në të.

Këtu është edhe problematike të vizatoni një aeroplan, për të mos përmendur zgjidhjen e këtij problemi, por metoda e koordinatave nuk i intereson! Shkathtësia e tij është përparësia e tij kryesore!

Aeroplani kalon nëpër tri pika: . Ne jemi duke kërkuar për koordinatat e tyre:

1) . Zbuloni vetë koordinatat për dy pikat e fundit. Për këtë ju duhet të zgjidhni problemin e piramidës gjashtëkëndore!

2) Ndërtojmë ekuacionin e rrafshit:

Kërkojmë koordinatat e vektorit: . (Shihni përsëri problemin e piramidës trekëndore!)

3) Duke kërkuar për një kënd:

Përgjigje:

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të mbinatyrshme të vështirë në këto detyra. Thjesht duhet të jeni shumë të kujdesshëm me rrënjët. Unë do të jap përgjigje vetëm për dy problemet e fundit:

Siç mund ta shihni, teknika për zgjidhjen e problemeve është e njëjtë kudo: detyra kryesore është të gjeni koordinatat e kulmeve dhe t'i zëvendësoni ato në formula të caktuara. Ne ende duhet të konsiderojmë një klasë tjetër të problemeve për llogaritjen e këndeve, domethënë:

Llogaritja e këndeve ndërmjet dy rrafsheve

Algoritmi i zgjidhjes do të jetë si më poshtë:

1. Duke përdorur tre pika ne kërkojmë ekuacionin e planit të parë:
2. Duke përdorur tre pikat e tjera ne kërkojmë ekuacionin e planit të dytë:
3. Ne aplikojmë formulën:

Siç mund ta shihni, formula është shumë e ngjashme me dy të mëparshmet, me ndihmën e së cilës kërkuam kënde midis vijave të drejta dhe midis një drejtëze dhe një rrafshi. Kështu që nuk do të jetë e vështirë për ju ta mbani mend këtë. Le të kalojmë në analizën e detyrave:

1. Brinja e bazës së prizmit trekëndor të drejtë është e barabartë, dhe diagonali i faqes anësore është i barabartë. Gjeni këndin ndërmjet rrafshit dhe rrafshit të boshtit të prizmit.

2. Në katërkëndëshin e djathtë pi-ra-mi-de, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta, gjeni sinusin e këndit ndërmjet rrafshit dhe kockës së rrafshët, duke kaluar nëpër pikën per-pen-di-ku-. gënjeshtar-por i drejtë.

3. Në një prizëm të rregullt me ​​katër kënde, anët e bazës janë të barabarta, dhe skajet anësore janë të barabarta. Ka një pikë në buzë nga-me-che-on në mënyrë që. Gjeni këndin ndërmjet rrafsheve dhe

4. Në një prizëm të drejtë katërkëndësh, anët e bazës janë të barabarta, dhe skajet anësore janë të barabarta. Ka një pikë në buzë nga pika në mënyrë që Gjeni këndin midis planeve dhe.

5. Në një kub, gjeni co-si-nus të këndit ndërmjet rrafsheve dhe

Zgjidhjet e problemeve:

1. Vizatoj një prizëm trekëndësh të rregullt (një trekëndësh barabrinjës në bazë) dhe shënoj mbi të rrafshet që shfaqen në përcaktimin e problemit:

Duhet të gjejmë ekuacionet e dy rrafsheve: Ekuacioni i bazës është i parëndësishëm: mund të kompozoni përcaktorin përkatës duke përdorur tre pika, por unë do ta përpiloj ekuacionin menjëherë:

Tani le të gjejmë ekuacionin Pika ka koordinata Pika - Meqenëse është mesatarja dhe lartësia e trekëndëshit, ai gjendet lehtësisht duke përdorur teoremën e Pitagorës në trekëndësh. Atëherë pika ka koordinata: Le të gjejmë aplikimin e pikës Për ta bërë këtë, merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë

Pastaj marrim koordinatat e mëposhtme: Hartojmë ekuacionin e rrafshit.

Ne llogarisim këndin midis planeve:

Përgjigje:

2. Bërja e një vizatimi:

Gjëja më e vështirë është të kuptosh se çfarë lloj avioni misterioz është ky, duke kaluar pingul nëpër pikë. Epo, gjëja kryesore është, çfarë është? Gjëja kryesore është vëmendja! Në fakt, vija është pingul. Vija e drejtë është gjithashtu pingul. Atëherë avioni që kalon nëpër këto dy rreshta do të jetë pingul me vijën dhe, nga rruga, do të kalojë nëpër pikë. Ky aeroplan kalon edhe nga maja e piramidës. Pastaj avioni i dëshiruar - Dhe avioni tashmë na është dhënë. Kërkojmë koordinatat e pikave.

Gjejmë koordinatat e pikës përmes pikës. Nga fotografia e vogël është e lehtë të konkludohet se koordinatat e pikës do të jenë si më poshtë: Çfarë mbetet për të gjetur tani për të gjetur koordinatat e majës së piramidës? Ju gjithashtu duhet të llogarisni lartësinë e tij. Kjo bëhet duke përdorur të njëjtën teoremë të Pitagorës: së pari provoni se (në mënyrë të parëndësishme nga trekëndëshat e vegjël që formojnë një katror në bazë). Meqenëse sipas kushteve kemi:

Tani gjithçka është gati: koordinatat e kulmit:

Ne hartojmë ekuacionin e aeroplanit:

Ju jeni tashmë një ekspert në llogaritjen e përcaktuesve. Pa vështirësi do të merrni:

Ose ndryshe (nëse i shumëzojmë të dyja anët me rrënjën e dyve)

Tani le të gjejmë ekuacionin e aeroplanit:

(Nuk keni harruar se si e marrim ekuacionin e një aeroplani, apo jo? Nëse nuk e kuptoni se nga erdhi ky minus një, atëherë kthehuni te përkufizimi i ekuacionit të një aeroplani! Thjesht ka dalë gjithmonë përpara kësaj avioni im i përkiste origjinës së koordinatave!)

Ne llogarisim përcaktorin:

(Mund të vëreni se ekuacioni i rrafshit përkon me ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pika dhe! Mendoni pse!)

Tani le të llogarisim këndin:

Duhet të gjejmë sinusin:

Përgjigje:

3. Pyetje e ndërlikuar: çfarë mendoni se është një prizëm drejtkëndor? Ky është vetëm një paralelipiped që ju e dini mirë! Le të bëjmë një vizatim menjëherë! Ju as nuk duhet ta përshkruani bazën veç e veç, ajo ka pak përdorim këtu:

Aeroplani, siç kemi theksuar më herët, është shkruar në formën e një ekuacioni:

Tani le të krijojmë një aeroplan

Ne krijojmë menjëherë ekuacionin e aeroplanit:

Duke kërkuar për një kënd:

Tani përgjigjet për dy problemet e fundit:

Epo, tani është koha për të bërë një pushim të vogël, sepse ju dhe unë jemi të shkëlqyer dhe kemi bërë një punë të shkëlqyer!

Koordinatat dhe vektorët. Niveli i avancuar

Në këtë artikull do të diskutojmë me ju një klasë tjetër problemash që mund të zgjidhen duke përdorur metodën e koordinatave: problemet e llogaritjes së distancës. Përkatësisht, ne do të shqyrtojmë rastet e mëposhtme:

1. Llogaritja e distancës ndërmjet vijave të kryqëzuara.

Unë i kam porositur këto detyra për të rritur vështirësinë. Rezulton të jetë më e lehtë për t'u gjetur distanca nga pika në aeroplan, dhe gjëja më e vështirë është të gjesh distanca midis vijave të kryqëzimit. Edhe pse, natyrisht, asgjë nuk është e pamundur! Le të mos zvarritemi dhe menjëherë të vazhdojmë të shqyrtojmë klasën e parë të problemeve:

Llogaritja e distancës nga një pikë në një plan

Çfarë na duhet për të zgjidhur këtë problem?

1. Koordinatat e pikave

Pra, sapo të marrim të gjitha të dhënat e nevojshme, zbatojmë formulën:

Duhet ta dini tashmë se si e ndërtojmë ekuacionin e një rrafshi nga problemet e mëparshme që diskutova në pjesën e fundit. Le të kalojmë drejtpërdrejt te detyrat. Skema është si më poshtë: 1, 2 - Unë ju ndihmoj të vendosni, dhe në disa detaje, 3, 4 - vetëm përgjigja, ju e kryeni vetë zgjidhjen dhe krahasoni. Le të fillojmë!

Detyrat:

1. Jepet një kub. Gjatësia e skajit të kubit është e barabartë. Gjeni distancën nga se-re-di-na nga prerja në rrafsh

2. Jepet e drejta me katër qymyr pi-ra-mi-po, ana e anës është e barabartë me bazën. Gjeni distancën nga pika në rrafshin ku - se-ri-di-në skajet.

3. Në trekëndëshin e drejtë pi-ra-mi-de me os-no-va-ni-em, skaji anësor është i barabartë, dhe njëqind-ro-on os-no-va-nia është i barabartë. Gjeni distancën nga maja në aeroplan.

4. Në një prizëm gjashtëkëndor të drejtë, të gjitha skajet janë të barabarta. Gjeni distancën nga një pikë në një plan.

Zgjidhjet:

1. Vizatoni një kub me skaje të vetme, ndërtoni një segment dhe një plan, shënoni mesin e segmentit me një shkronjë

.

Së pari, le të fillojmë me atë të lehtë: gjeni koordinatat e pikës. Që atëherë (kujtoni koordinatat e mesit të segmentit!)

Tani përpilojmë ekuacionin e aeroplanit duke përdorur tre pika

\[\majtas| (\fillimi(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\fund(array)) \djathtas| = 0\]

Tani mund të filloj të gjej distancën:

2. Fillojmë sërish me një vizatim në të cilin shënojmë të gjitha të dhënat!

Për një piramidë, do të ishte e dobishme të vizatoni bazën e saj veçmas.

Edhe fakti që vizatoj si pula me putrën e saj nuk do të na pengojë ta zgjidhim këtë problem me lehtësi!

Tani është e lehtë të gjesh koordinatat e një pike

Që nga koordinatat e pikës, atëherë

2. Meqenëse koordinatat e pikës a janë mesi i segmentit, atëherë

Pa asnjë problem, ne mund të gjejmë koordinatat e dy pikave të tjera në aeroplan Ne krijojmë një ekuacion për rrafshin dhe e thjeshtojmë atë:

\[\majtas| (\majtas| (\fillim(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \djathtas| = 0\]

Meqenëse pika ka koordinata: , ne llogarisim distancën:

Përgjigje (shumë e rrallë!):

Epo, e kuptove? Më duket se gjithçka këtu është po aq teknike sa në shembujt që shikuam në pjesën e mëparshme. Pra, jam i sigurt se nëse e keni zotëruar atë material, atëherë nuk do ta keni të vështirë t'i zgjidhni dy problemet e mbetura. Unë do t'ju jap vetëm përgjigjet:

Llogaritja e distancës nga një vijë e drejtë në një plan

Në fakt, këtu nuk ka asgjë të re. Si mund të vendosen një vijë e drejtë dhe një rrafsh në lidhje me njëra-tjetrën? Ata kanë vetëm një mundësi: të kryqëzohen, ose një vijë e drejtë është paralele me rrafshin. Sa mendoni se është distanca nga një drejtëz në rrafshin me të cilin kryqëzohet kjo drejtëz? Më duket se këtu është e qartë se një distancë e tillë është e barabartë me zero. Jo një rast interesant.

Rasti i dytë është më i ndërlikuar: këtu distanca është tashmë jo zero. Megjithatë, duke qenë se drejtëza është paralele me rrafshin, atëherë çdo pikë e drejtëzës është e barabartë nga ky plan:

Kështu:

Kjo do të thotë që detyra ime është reduktuar në atë të mëparshmen: ne jemi duke kërkuar për koordinatat e çdo pike në një vijë të drejtë, duke kërkuar ekuacionin e rrafshit dhe duke llogaritur distancën nga pika në plan. Në fakt, detyra të tilla janë jashtëzakonisht të rralla në Provimin e Unifikuar të Shtetit. Unë arrita të gjeja vetëm një problem, dhe të dhënat në të ishin të tilla që metoda e koordinatave nuk ishte shumë e zbatueshme për të!

Tani le të kalojmë në një klasë tjetër, shumë më të rëndësishme të problemeve:

Llogaritja e distancës së një pike në një vijë

Çfarë na duhet?

1. Koordinatat e pikës nga e cila kërkojmë distancën:

2. Koordinatat e çdo pike që shtrihet në një vijë

3. Koordinatat e vektorit drejtues të drejtëzës

Çfarë formule përdorim?

Çfarë do të thotë emëruesi i kësaj thyese duhet të jetë e qartë për ju: kjo është gjatësia e vektorit drejtues të drejtëzës. Ky është një numërues shumë i ndërlikuar! Shprehja nënkupton modulin (gjatësinë) e produktit vektorial të vektorëve dhe Si të llogarisim produktin e vektorit, kemi studiuar në pjesën e mëparshme të punës. Rifresko njohuritë tuaja, do të na duhen shumë tani!

Kështu, algoritmi për zgjidhjen e problemeve do të jetë si më poshtë:

1. Kërkojmë koordinatat e pikës nga e cila kërkojmë distancën:

2. Ne kërkojmë koordinatat e çdo pike në vijën në të cilën kërkojmë distancën:

3. Ndërtoni një vektor

4. Ndërtoni një vektor drejtues të një drejtëze

5. Llogaritni prodhimin e vektorit

6. Kërkojmë gjatësinë e vektorit që rezulton:

7. Llogaritni distancën:

Kemi shumë punë për të bërë, dhe shembujt do të jenë mjaft kompleks! Pra, tani përqendroni të gjithë vëmendjen tuaj!

1. Jepet një trekëndësh i drejtë pi-ra-mi-da me majë. Njëqind-ro-në bazë të pi-ra-mi-dy është i barabartë, ju jeni të barabartë. Gjeni distancën nga skaji gri në vijën e drejtë, ku pikat dhe janë skajet gri dhe nga veterinaria.

2. Gjatësitë e brinjëve dhe këndi i drejtë-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da janë të barabarta në përputhje me rrethanat dhe Gjeni distancën nga maja në vijën e drejtë.

3. Në një prizëm gjashtëkëndor të drejtë, të gjitha skajet janë të barabarta, gjeni distancën nga një pikë në një vijë të drejtë

Zgjidhjet:

1. Ne bëjmë një vizatim të pastër në të cilin shënojmë të gjitha të dhënat:

Kemi shumë punë për të bërë! Së pari, do të doja të përshkruaj me fjalë se çfarë do të kërkojmë dhe në çfarë rendi:

1. Koordinatat e pikave dhe

2. Koordinatat e pikave

3. Koordinatat e pikave dhe

4. Koordinatat e vektorëve dhe

5. Produkti i tyre kryq

6. Gjatësia e vektorit

7. Gjatësia e produktit të vektorit

8. Largësia nga në

Epo, ne kemi shumë punë përpara! Le t'ia dalim me mëngët përveshur!

1. Për të gjetur koordinatat e lartësisë së piramidës, duhet të dimë koordinatat e pikës një trekëndësh barabrinjës, ai ndahet në raport, duke llogaritur nga kulmi, nga këtu. Më në fund, morëm koordinatat:

Koordinatat e pikave

2. - mesi i segmentit

3. - mesi i segmentit

Pika e mesme e segmentit

4.Koordinatat

Koordinatat vektoriale

5. Llogaritni produktin e vektorit:

6. Gjatësia e vektorit: mënyra më e lehtë për të zëvendësuar është se segmenti është mesi i trekëndëshit, që do të thotë se është i barabartë me gjysmën e bazës. Kështu që.

7. Llogaritni gjatësinë e prodhimit të vektorit:

8. Së fundi, gjejmë distancën:

Uh, kjo është ajo! Unë do t'ju them sinqerisht: zgjidhja e këtij problemi duke përdorur metoda tradicionale (nëpërmjet ndërtimit) do të ishte shumë më e shpejtë. Por këtu unë reduktova gjithçka në një algoritëm të gatshëm! Mendoj se algoritmi i zgjidhjes është i qartë për ju? Prandaj, do t'ju kërkoj t'i zgjidhni vetë dy problemet e mbetura. Le të krahasojmë përgjigjet?

Përsëri, po e përsëris: është më e lehtë (më e shpejtë) të zgjidhen këto probleme përmes ndërtimeve, sesa t'i drejtohemi metodës së koordinatave. Unë e demonstrova këtë metodë zgjidhjeje vetëm për t'ju treguar një metodë universale që ju lejon të "mos përfundoni ndërtimin e asgjë".

Më në fund, merrni parasysh klasën e fundit të problemeve:

Llogaritja e distancës midis drejtëzave të kryqëzuara

Këtu algoritmi për zgjidhjen e problemeve do të jetë i ngjashëm me atë të mëparshëm. Ajo që kemi:

3. Çdo vektor që lidh pikat e vijës së parë dhe të dytë:

Si e gjejmë distancën ndërmjet vijave?

Formula është si më poshtë:

Numëruesi është moduli i produktit të përzier (e kemi prezantuar në pjesën e mëparshme), dhe emëruesi është, si në formulën e mëparshme (moduli i produktit vektorial të vektorëve të drejtimit të vijave të drejta, distanca ndërmjet të cilave ne janë në kërkim).

Unë do t'ju kujtoj atë

Pastaj formula për distancën mund të rishkruhet si:

Ky është një përcaktor i ndarë me një përcaktor! Edhe pse, të them të drejtën, këtu nuk kam kohë për shaka! Kjo formulë është, në fakt, shumë e rëndë dhe çon në llogaritje mjaft komplekse. Po të isha në vendin tuaj, do t'i drejtohesha vetëm si mjet i fundit!

Le të përpiqemi të zgjidhim disa probleme duke përdorur metodën e mësipërme:

1. Në një prizëm trekëndësh të drejtë, të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta, gjeni distancën midis drejtëzave dhe.

2. Duke pasur parasysh një prizëm trekëndësh të drejtë, të gjitha skajet e bazës janë të barabarta me seksionin që kalon nëpër brinjën e trupit dhe brinjët se-re-di-pus janë një katror. Gjeni distancën midis drejtëzave dhe

Unë vendos të parën, dhe në bazë të saj, ju vendosni të dytën!

1. Vizatoj një prizëm dhe shënoj drejtëza dhe

Koordinatat e pikës C: atëherë

Koordinatat e pikave

Koordinatat vektoriale

Koordinatat e pikave

Koordinatat vektoriale

Koordinatat vektoriale

\[\majtas((B,\mbi shigjetë djathtas (A(A_1)) \mbidrejtë shigjetë (B(C_1)) ) \djathtas) = ​​\majtas| (\fillimi(array)(*(20)(l))(\fillimi(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\fillimi(array)(*(20) (c)) 0&0&1\fund(array))\\(\fillimi(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \djathtas| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Ne llogarisim produktin e vektorit ndërmjet vektorëve dhe

\[\mbi shigjetë e drejtë (A(A_1)) \cdot \mbidrejtë shigjetë (B(C_1)) = \majtas| \fille(array)(l)\fille(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k)\end(array)\\\fille(array )(*(20)(c))0&0&1\fund(array)\\\fillimi(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\mbi-drejtë-shigjeta k + \frac(1)(2)\mbi-drejtë-shigjeta i \]

Tani llogarisim gjatësinë e tij:

Përgjigje:

Tani përpiquni të përfundoni detyrën e dytë me kujdes. Përgjigja për të do të jetë: .

Koordinatat dhe vektorët. Përshkrimi i shkurtër dhe formulat bazë

Një vektor është një segment i drejtuar. - fillimi i vektorit, - fundi i vektorit.
Një vektor shënohet me ose.

Vlere absolute vektor - gjatësia e segmentit që përfaqëson vektorin. Shënohet si.

Koordinatat e vektorit:

,
ku janë skajet e vektorit \displaystyle a .

Shuma e vektorëve: .

Produkti i vektorëve:

Produkti me pika i vektorëve:

Produkti skalar i vektorëve është i barabartë me produktin e vlerave të tyre absolute dhe kosinusit të këndit midis tyre:

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Per cfare?

Për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit, për hyrjen në kolegj me buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LUMTUR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teoria gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të doni, detyrimisht me zgjidhje, analiza të detajuara dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

1. Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull - 299 fshij.
2. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - 499 fshij.

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.

Në përfundim...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

Vektorët mund të paraqiten grafikisht me segmente të drejtuara. Gjatësia zgjidhet në një shkallë specifike për të treguar madhësia vektoriale , dhe drejtimi i segmentit paraqet drejtimi i vektorit . Për shembull, nëse supozojmë se 1 cm përfaqëson 5 km/h, atëherë një erë verilindore me shpejtësi 15 km/h do të përfaqësohet nga një segment i drejtimit me gjatësi 3 cm, siç tregohet në figurë.

Vektor në një plan është një segment i drejtuar. Dy vektorë të barabartë nëse kanë të njëjtën gjë madhësia Dhe drejtimin.

Konsideroni një vektor të tërhequr nga pika A në pikën B. Pika quhet pikënisje vektor, dhe pika B quhet pika e fundit. Shënimi simbolik për këtë vektor është (lexohet si "vektor AB"). Vektorët përfaqësohen gjithashtu me shkronja të zeza si U, V dhe W. Katër vektorët në figurën në të majtë kanë të njëjtën gjatësi dhe drejtim. Prandaj përfaqësojnë të barabartë erërat; kjo eshte,

Në kontekstin e vektorëve, ne përdorim = për të treguar se ata janë të barabartë.

Gjatësia, ose magnitudë shprehet si ||. Për të përcaktuar nëse vektorët janë të barabartë, gjejmë madhësitë dhe drejtimet e tyre.

Shembulli 1 Vektorët u, , w janë paraqitur në figurën më poshtë. Vërtetoni se u = = w.

Zgjidhje Së pari gjejmë gjatësinë e secilit vektor duke përdorur formulën e distancës:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Nga këtu
|u| = | = |w|.
Vektorët u, , dhe w, siç mund të shihet nga figura, duket se kanë të njëjtin drejtim, por ne do të kontrollojmë pjerrësinë e tyre. Nëse vijat në të cilat ndodhen kanë të njëjtat pjerrësi, atëherë vektorët kanë të njëjtin drejtim. Ne llogarisim shpatet:
Meqenëse u, , dhe w kanë madhësi të barabarta dhe të njëjtin drejtim,
u = = w.

Mbani në mend se vektorët e barabartë kërkojnë vetëm të njëjtën madhësi dhe të njëjtin drejtim, jo ​​të njëjtin vend. Figura më e lartë tregon një shembull të barazisë vektoriale.

Supozoni se një person bën 4 hapa në lindje dhe më pas 3 hapa në veri. Më pas personi do të jetë 5 hapa nga pika e fillimit në drejtimin e treguar në të majtë. Një vektor 4 njësi i gjatë me një drejtim djathtas përfaqëson 4 hapa në lindje dhe një vektor 3 njësi të gjatë me një drejtim lart që përfaqëson 3 hapa në veri. Shuma nga këta dy vektorë ekziston një vektor me madhësi 5 hapash dhe në drejtimin e treguar. Shuma quhet gjithashtu që rezulton dy vektorë.

Në përgjithësi, dy vektorë jozero u dhe v mund të shtohen gjeometrikisht duke vendosur pikën e fillimit të vektorit v në pikën përfundimtare të vektorit u, dhe më pas duke gjetur një vektor që ka të njëjtën pikënisje si vektori u dhe e njëjta pikë përfundimtare si vektori v siç tregohet në figurën më poshtë.

Shuma është një vektor i përfaqësuar nga një segment i drejtuar nga pika A e vektorit u deri në pikën fundore C të vektorit v. Kështu, nëse u = dhe v = , atëherë
u + v = + =

Ne gjithashtu mund ta përshkruajmë mbledhjen e vektorit si vendosja e pikave fillestare të vektorëve së bashku, ndërtimi i një paralelogrami dhe gjetja e diagonales së paralelogramit. (në figurën më poshtë.) Kjo shtesë nganjëherë quhet si rregulli i paralelogramit shtimi i vektorëve. Shtimi i vektorit është komutativ. Siç tregohet në figurë, të dy vektorët u + v dhe v + u përfaqësohen nga i njëjti segment i vijës së drejtimit.

Nëse dy forca F 1 dhe F 2 veprojnë në një objekt, që rezulton forca është shuma e F 1 + F 2 e këtyre dy forcave të veçanta.

Shembull Dy forca prej 15 njutonësh dhe 25 njutonësh veprojnë në një objekt pingul me njëri-tjetrin. Gjeni shumën e tyre, ose forcën që rezulton, dhe këndin që krijon me forcën më të madhe.

Zgjidhje Le të vizatojmë kushtin e problemit, në këtë rast një drejtkëndësh, duke përdorur v ose për të përfaqësuar rezultatin. Për të gjetur vlerën e saj, ne përdorim teoremën e Pitagorës:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Këtu |v| tregon gjatësinë ose madhësinë e v.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29.2.
Për të gjetur drejtimin, vini re se meqenëse OAB është një kënd i drejtë,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Duke përdorur një kalkulator, gjejmë θ, këndin që forca më e madhe bën me forcën neto:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
Rezultantja ka një madhësi 29.2 dhe një kënd prej 31° me forcë më të madhe.

Pilotët mund të rregullojnë drejtimin e tyre të fluturimit nëse ka një erë të kundërt. Era dhe shpejtësia e një aeroplani mund të përfaqësohen si erëra.

Shembulli 3. Shpejtësia dhe drejtimi i aeroplanit. Avioni lëviz përgjatë një azimuti prej 100° me një shpejtësi prej 190 km/h, ndërsa shpejtësia e erës është 48 km/h dhe azimuti i tij është 220°. Gjeni shpejtësinë absolute të avionit dhe drejtimin e lëvizjes së tij, duke marrë parasysh erën.

Zgjidhje Le të bëjmë një vizatim së pari. Përfaqësohet era dhe vektori i shpejtësisë së avionit është . Vektori i shpejtësisë që rezulton është v, shuma e dy vektorëve. Këndi θ ndërmjet v dhe quhet këndi i lëvizjes .


Vini re se vlera e COA = 100° - 40° = 60°. Atëherë vlera e CBA është gjithashtu e barabartë me 60° (këndet e kundërta të paralelogramit janë të barabartë). Meqenëse shuma e të gjithë këndeve të një paralelogrami është 360° dhe COB dhe OAB janë të njëjtën madhësi, secili duhet të jetë 120°. Nga rregulli i kosinusit në OAB kemi
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47.524
|v| = 218
Pastaj, |v| është e barabartë me 218 km/h. Sipas rregulli i sinuseve , në të njëjtin trekëndësh,
48 /sinθ = 218 / mëkat 120°,
ose
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0.1907
θ ≈ 11°
Pastaj, θ = 11°, në këndin më të afërt të numrit të plotë. Shpejtësia absolute është 218 km/h, dhe drejtimi i lëvizjes së saj duke marrë parasysh erën: 100° - 11°, ose 89°.

Duke pasur parasysh një vektor w, mund të gjejmë dy vektorë të tjerë u dhe v, shuma e të cilëve është w. Quhen vektorët u dhe v komponentët w dhe quhet procesi i gjetjes së tyre dekompozimi , ose paraqitjen e një vektori nga komponentët e tij vektoriale.

Kur zgjerojmë një vektor, zakonisht kërkojmë përbërës pingul. Megjithatë, shumë shpesh, një komponent do të jetë paralel me boshtin x dhe tjetri do të jetë paralel me boshtin y. Prandaj, ato shpesh quhen horizontale Dhe vertikale komponentët vektorial. Në figurën e mëposhtme, vektori w = zbërthehet si shuma e u = dhe v = .

Komponenti horizontal i w është u dhe komponenti vertikal është v.

Shembulli 4 Vektori w ka një madhësi 130 dhe një pjerrësi prej 40° në raport me horizontalen. Zbërthejeni vektorin në komponentë horizontale dhe vertikale.

Zgjidhje Fillimisht do të vizatojmë një figurë me vektorët horizontal dhe vertikal u dhe v, shuma e të cilëve është w.

Nga ABC, gjejmë |u| dhe |v|, duke përdorur përkufizimet e kosinusit dhe sinusit:
cos40° = |u|/130, ose |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, ose |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Pastaj, komponenti horizontal i w është 100 në të djathtë dhe komponenti vertikal i w është 84 lart.

Baza e hapësirës ata e quajnë një sistem të tillë vektorësh në të cilin të gjithë vektorët e tjerë në hapësirë ​​mund të paraqiten si një kombinim linear i vektorëve të përfshirë në bazë.
Në praktikë, e gjithë kjo zbatohet mjaft thjesht. Baza, si rregull, kontrollohet në një plan ose në hapësirë, dhe për këtë ju duhet të gjeni përcaktuesin e një matrice të rendit të dytë, të tretë të përbërë nga koordinata vektoriale. Më poshtë janë shkruar në mënyrë skematike kushtet në të cilat vektorët formojnë një bazë

për të zgjeroni vektorin b në vektorë bazë
e,e...,e[n] është e nevojshme të gjenden koeficientët x, ..., x[n] për të cilët kombinimi linear i vektorëve e,e...,e[n] është i barabartë me vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Për ta bërë këtë, ekuacioni i vektorit duhet të shndërrohet në një sistem ekuacionesh lineare dhe duhet të gjenden zgjidhje. Kjo është gjithashtu mjaft e thjeshtë për t'u zbatuar.
Quhen koeficientët e gjetur x, ..., x[n] koordinatat e vektorit b në bazë e,e...,e[n].
Le të kalojmë në anën praktike të temës.

Zbërthimi i një vektori në vektorë bazë

Detyra 1. Kontrolloni nëse vektorët a1, a2 formojnë një bazë në rrafsh

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Zgjidhje: Nga koordinatat e vektorëve hartojmë një përcaktor dhe e llogarisim atë

Përcaktori nuk është zero, prandaj vektorët janë linearisht të pavarur, që do të thotë se ata formojnë një bazë.

2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Zgjidhje: Llogaritim përcaktorin e përbërë nga vektorë

Përcaktori është i barabartë me 13 (jo i barabartë me zero) - nga kjo rrjedh se vektorët a1, a2 janë një bazë në plan.

---=================---

Le të shohim shembuj tipikë nga programi MAUP në disiplinën “Matematika e Lartë”.

Detyra 2. Tregoni se vektorët a1, a2, a3 formojnë bazën e një hapësire vektoriale tredimensionale dhe zgjeroni vektorin b sipas kësaj baze (përdorni metodën e Cramer-it kur zgjidhni një sistem ekuacionesh algjebrike lineare).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Zgjidhja: Së pari, merrni parasysh sistemin e vektorëve a1, a2, a3 dhe kontrolloni përcaktuesin e matricës A

ndërtuar mbi vektorë jozero. Matrica përmban një element zero, kështu që është më e përshtatshme të llogaritet përcaktori si një plan në kolonën e parë ose në rreshtin e tretë.

Si rezultat i llogaritjeve, ne zbuluam se përcaktori është i ndryshëm nga zero, pra vektorët a1, a2, a3 janë linearisht të pavarur.
Sipas përkufizimit, vektorët formojnë një bazë në R3. Le të shkruajmë planin e vektorit b bazuar në

Vektorët janë të barabartë kur koordinatat e tyre përkatëse janë të barabarta.
Prandaj, nga ekuacioni vektorial fitojmë një sistem ekuacionesh lineare

Le të zgjidhim SLAE Metoda e Cramer-it. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë sistemin e ekuacioneve në formë

Përcaktori kryesor i një SLAE është gjithmonë i barabartë me përcaktuesin e përbërë nga vektorët bazë

Prandaj, në praktikë nuk llogaritet dy herë. Për të gjetur përcaktorë ndihmës, vendosim një kolonë me terma të lirë në vend të secilës kolonë të përcaktorit kryesor. Përcaktorët llogariten duke përdorur rregullën e trekëndëshit



Le të zëvendësojmë përcaktuesit e gjetur në formulën e Cramer-it



Pra, zgjerimi i vektorit b për nga baza ka formën b=-4a1+3a2-a3. Koordinatat e vektorit b në bazën a1, a2, a3 do të jenë (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Zgjidhja: Ne kontrollojmë vektorët për një bazë - ne hartojmë një përcaktor nga koordinatat e vektorëve dhe e llogarisim atë

Prandaj, përcaktori nuk është i barabartë me zero vektorët formojnë bazën në hapësirë. Mbetet për të gjetur orarin e vektorit b përmes kësaj baze. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë ekuacionin e vektorit

dhe shndërrohen në një sistem ekuacionesh lineare

Shkruajmë ekuacionin e matricës

Më pas, për formulat e Cramer-it gjejmë përcaktorë ndihmës



Ne aplikojmë formulat e Cramer



Pra, një vektor i dhënë b ka një skemë përmes dy vektorëve bazë b=-2a1+5a3, dhe koordinatat e tij në bazë janë të barabarta me b(-2,0, 5).