Llogaritni sipërfaqen e një trapezi në internet nga katër anët. Zona e trapezit

Për të qenë të sigurt dhe për të zgjidhur me sukses problemet në mësimet e gjeometrisë, nuk mjafton të mësosh formulat. Ato duhet të kuptohen së pari. Të kesh frikë, dhe aq më tepër të urresh formulat, është joproduktive. Ky artikull do të analizojë në një gjuhë të arritshme mënyra të ndryshme për të gjetur zonën e një trapezi. Për të kuptuar më mirë rregullat dhe teoremat përkatëse, do t'i kushtojmë pak vëmendje vetive të tij. Kjo do t'ju ndihmojë të kuptoni se si funksionojnë rregullat dhe në cilat raste duhet të zbatohen formula të caktuara.

Përcaktimi i një trapezi

Çfarë lloj figure është kjo në përgjithësi? Një trapez është një shumëkëndësh me katër qoshe dhe dy brinjë paralele. Dy anët e tjera të trapezit mund të priren në kënde të ndryshme. Anët e saj paralele quhen baza, dhe për anët jo paralele përdoret emri "anët" ose "ijet". Shifra të tilla janë mjaft të zakonshme në jetën e përditshme. Konturet e trapezoidit mund të shihen në siluetat e veshjeve, sendeve të brendshme, mobiljeve, enëve dhe shumë të tjera. Ekzistojnë lloje të ndryshme të trapezit: skalen, barabrinjës dhe drejtkëndor. Ne do të shqyrtojmë llojet dhe vetitë e tyre në më shumë detaje më vonë në artikull.

Vetitë e një trapezi

Le të ndalemi shkurtimisht në vetitë e kësaj figure. Shuma e këndeve ngjitur me çdo anë është gjithmonë 180°. Duhet të theksohet se të gjitha këndet e një trapezi shtohen deri në 360°. Trapezi ka konceptin e vijës së mesme. Nëse lidhni mesin e anëve me një segment, kjo do të jetë vija e mesme. Është caktuar m. Vija e mesme ka veti të rëndësishme: është gjithmonë paralele me bazat (kujtojmë se bazat janë gjithashtu paralele me njëra-tjetrën) dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre:

Ky përkufizim duhet mësuar dhe kuptuar, sepse është çelësi i zgjidhjes së shumë problemeve!

Me një trapezoid, gjithmonë mund të ulni lartësinë në bazë. Një lartësi është një pingul, i shënuar shpesh me simbolin h, që tërhiqet nga çdo pikë e një baze në një bazë tjetër ose në shtrirjen e saj. Vija e mesit dhe lartësia do t'ju ndihmojnë të gjeni zonën e trapezit. Probleme të tilla janë më të zakonshmet në lëndën e gjeometrisë shkollore dhe shfaqen rregullisht në fletët e testimit dhe provimit.

Formulat më të thjeshta për sipërfaqen e një trapezi

Le të shohim dy formulat më të njohura dhe më të thjeshta të përdorura për të gjetur sipërfaqen e një trapezi. Mjafton të shumëzoni lartësinë me gjysmën e shumës së bazave për të gjetur lehtësisht atë që kërkoni:

S = h*(a + b)/2.

Në këtë formulë, a, b tregojnë bazat e trapezit, h - lartësinë. Për lehtësinë e perceptimit, në këtë artikull, shenjat e shumëzimit shënohen me një simbol (*) në ​​formula, megjithëse në librat zyrtarë të referencës shenja e shumëzimit zakonisht hiqet.

Le të shohim një shembull.

Jepet: një trapez me dy baza të barabarta me 10 dhe 14 cm, lartësia është 7 cm.

Le të shohim zgjidhjen e këtij problemi. Duke përdorur këtë formulë, fillimisht duhet të gjeni gjysmën e bazave: (10+14)/2 = 12. Pra, gjysma e shumës është e barabartë me 12 cm. 12*7 = 84. Ajo që po kërkojmë është gjetur. Përgjigje: Sipërfaqja e trapezit është 84 metra katrorë. cm.

Formula e dytë e njohur thotë: sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me produktin e vijës së mesme dhe lartësinë e trapezit. Kjo do të thotë, në fakt rrjedh nga koncepti i mëparshëm i vijës së mesme: S=m*h.

Përdorimi i diagonaleve për llogaritjet

Një mënyrë tjetër për të gjetur zonën e një trapezi nuk është në fakt aq e komplikuar. Ajo është e lidhur me diagonalet e saj. Duke përdorur këtë formulë, për të gjetur zonën, duhet të shumëzoni gjysmën e produktit të diagonaleve të tij (d 1 d 2) me sinusin e këndit midis tyre:

S = ½ d 1 d 2 mëkat a.

Le të shqyrtojmë një problem që tregon zbatimin e kësaj metode. Jepet: një trapez me gjatësinë e diagonaleve përkatësisht 8 dhe 13 cm Këndi a ndërmjet diagonaleve është 30°. Gjeni zonën e trapezit.

Zgjidhje. Duke përdorur formulën e mësipërme, është e lehtë të llogaritet se çfarë kërkohet. Siç e dini, mëkati 30° është 0,5. Prandaj, S = 8*13*0.5=52. Përgjigje: sipërfaqja është 52 metra katrorë. cm.

Gjetja e sipërfaqes së një trapezi izoscelor

Një trapez mund të jetë izosceles (izosceles). Brinjët e saj janë të njëjta dhe këndet në bazat janë të barabarta, gjë që ilustrohet mirë nga figura. Një trapezoid isosceles ka të njëjtat veti si një i rregullt, plus një numër të veçantë. Një rreth mund të rrethohet rreth një trapezi izoscelular dhe një rreth mund të brendashkruhet brenda tij.

Cilat metoda ekzistojnë për llogaritjen e sipërfaqes së një figure të tillë? Metoda e mëposhtme do të kërkojë shumë llogaritje. Për ta përdorur atë, duhet të dini vlerat e sinusit (sin) dhe kosinusit (cos) të këndit në bazën e trapezit. Për t'i llogaritur ato, ju nevojiten ose tabela Bradis ose një kalkulator inxhinierik. Këtu është formula:

S= c*mëkat a*(a - c*cos a),

Ku Me- kofshë anësore, a- kënd në bazën e poshtme.

Një trapezoid barabrinjës ka diagonale me gjatësi të barabartë. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse një trapezoid ka diagonale të barabarta, atëherë ai është dykëndor. Prandaj formula e mëposhtme për të ndihmuar në gjetjen e sipërfaqes së një trapezi - gjysma e produktit të katrorit të diagonaleve dhe sinusit të këndit midis tyre: S = ½ d 2 sin a.

Gjetja e sipërfaqes së një trapezi drejtkëndor

Njihet një rast i veçantë i një trapezi drejtkëndor. Ky është një trapezoid, në të cilin njëra anë (kofsha e saj) ngjitet me bazat në një kënd të drejtë. Ka vetitë e një trapezi të rregullt. Përveç kësaj, ajo ka një veçori shumë interesante. Dallimi në katrorët e diagonaleve të një trapezi të tillë është i barabartë me ndryshimin në katrorët e bazave të tij. Për të përdoren të gjitha metodat e përshkruara më parë për llogaritjen e sipërfaqes.

Ne përdorim zgjuarsinë

Ekziston një truk që mund të ndihmojë nëse harroni formula specifike. Le të hedhim një vështrim më të afërt se çfarë është një trapezoid. Nëse e ndajmë mendërisht në pjesë, do të marrim forma gjeometrike të njohura dhe të kuptueshme: një katror ose drejtkëndësh dhe një trekëndësh (një ose dy). Nëse dihen lartësia dhe anët e trapezit, mund të përdorni formulat për sipërfaqen e një trekëndëshi dhe një drejtkëndëshi dhe më pas të shtoni të gjitha vlerat që rezultojnë.

Le ta ilustrojmë këtë me shembullin e mëposhtëm. Jepet një trapez drejtkëndor. Këndi C = 45°, këndet A, D janë 90°. Baza e sipërme e trapezit është 20 cm, lartësia është 16 cm. Ju duhet të llogarisni sipërfaqen e figurës.

Kjo shifër padyshim përbëhet nga një drejtkëndësh (nëse dy kënde janë të barabarta me 90°) dhe një trekëndësh. Meqenëse trapezi është drejtkëndor, prandaj, lartësia e tij është e barabartë me anën e tij, domethënë 16 cm, kemi një drejtkëndësh me brinjë përkatësisht 20 dhe 16 cm. Tani merrni parasysh një trekëndësh këndi i të cilit është 45°. Ne e dimë se njëra anë e saj është 16 cm meqenëse kjo anë është edhe lartësia e trapezit (dhe dimë që lartësia zbret në bazë në kënd të drejtë), prandaj, këndi i dytë i trekëndëshit është 90°. Prandaj, këndi i mbetur i trekëndëshit është 45°. Pasoja e kësaj është se marrim një trekëndësh dykëndësh të drejtë me dy brinjë të barabarta. Kjo do të thotë që ana tjetër e trekëndëshit është e barabartë me lartësinë, domethënë 16 cm Mbetet të llogaritet sipërfaqja e trekëndëshit dhe drejtkëndëshit dhe të shtohen vlerat që rezultojnë.

Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me gjysmën e produktit të këmbëve të tij: S = (16*16)/2 = 128. Sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e barabartë me produktin e gjerësisë dhe gjatësisë së tij: S = 20*16 = 320. Gjetëm atë të kërkuar: sipërfaqja e trapezit S = 128 + 320 = 448 sq. shikoni Ju lehtë mund të kontrolloni veten duke përdorur formulat e mësipërme, përgjigja do të jetë identike.

Ne përdorim formulën Pick

S = M/2 + N - 1,

në këtë formulë M është numri i nyjeve, d.m.th. kryqëzimet e vijave të figurës me vijat e qelizës në kufijtë e trapezit (pika portokalli në figurë), N është numri i nyjeve brenda figurës (pika blu). Është më i përshtatshëm për ta përdorur atë kur gjeni zonën e një poligoni të parregullt. Megjithatë, sa më i madh të jetë arsenali i teknikave të përdorura, aq më pak gabime dhe rezultate më të mira.

Sigurisht, informacioni i dhënë nuk shter llojet dhe vetitë e një trapezi, si dhe metodat për gjetjen e zonës së tij. Ky artikull ofron një përmbledhje të karakteristikave të tij më të rëndësishme. Kur zgjidhni probleme gjeometrike, është e rëndësishme të veproni gradualisht, të filloni me formula dhe probleme të thjeshta, të konsolidoni vazhdimisht të kuptuarit tuaj dhe të kaloni në një nivel tjetër kompleksiteti.

Të mbledhura së bashku, formulat më të zakonshme do t'i ndihmojnë studentët të lundrojnë në mënyra të ndryshme për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi dhe të përgatiten më mirë për teste dhe detyra mbi këtë temë.

Ky kalkulator ka llogaritur 2192 problema në temën "Sipërfaqja e një trapezi"

ZONA E TRAPEZOIDIT

Zgjidhni formulën për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi që planifikoni të përdorni për të zgjidhur problemin që ju është caktuar:

Teoria e përgjithshme për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi.

Trapezoid - Kjo është një figurë e sheshtë e përbërë nga katër pika, tre prej të cilave nuk shtrihen në të njëjtën vijë, dhe katër segmente (anët) që lidhin këto katër pika në çifte, në të cilat dy anët e kundërta janë paralele (shtrihen në vija paralele) dhe dy të tjerat nuk janë paralele.

Pikat quhen kulmet e një trapezi dhe tregohen me germa të mëdha latine.

Segmentet quhen faqet trapezoide dhe shënohen me një palë shkronja të mëdha latine që korrespondojnë me kulmet që lidhin segmentet.

Quhen dy anët paralele të një trapezi bazat trapezoide .

Quhen dy anët jo paralele të një trapezi anët e trapezit .

Figura nr. 1: Trapezoid ABCD

Figura nr. 1 tregon trapezin ABCD me kulmet A, B, C, D dhe brinjët AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - bazat e trapezit ABCD.

AD, BC - anët anësore të trapezoidit ABCD.

Këndi i formuar nga rrezet AB dhe AD quhet kënd në kulmin A. Ai shënohet si ÐA ose ÐBAD, ose ÐDAB.

Këndi i formuar nga rrezet BA dhe BC quhet kënd në kulmin B. Ai shënohet si ÐB ose ÐABC, ose ÐCBA.

Këndi i formuar nga rrezet CB dhe CD quhet këndi i kulmit C. Ai shënohet si ÐC ose ÐDCB, ose ÐBCD.

Këndi i formuar nga rrezet AD dhe CD quhet këndi i kulmit D. Ai shënohet si ÐD ose ÐADC, ose ÐCDA.

Figura nr. 2: Trapezoid ABCD

Në figurën 2, quhet segmenti MN që lidh mesin e anëve anësore vija e mesme e trapezit.

Vija e mesme e trapezit paralele me bazat dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre. Kjo eshte, .

Figura nr. 3: Trapezoid izoscelular ABCD

Në figurën 3, AD=BC.

Trapezi quhet izosceles (izosceles), nëse anët e tij janë të barabarta.

Figura nr. 4: Trapezoid drejtkëndor ABCD

Në figurën nr. 4, këndi D është i drejtë (i barabartë me 90°).

Trapezi quhet drejtkëndëshe, nëse këndi në anë është i drejtë.

Zona S banesë figurat, të cilat përfshijnë trapezin, quhen hapësirë ​​e mbyllur e kufizuar në një plan. Sipërfaqja e një figure të sheshtë tregon madhësinë e kësaj figure.

Zona ka disa prona:

1. Nuk mund të jetë negative.

2. Nëse jepet një zonë e caktuar e mbyllur në rrafsh, e cila përbëhet nga disa figura që nuk kryqëzohen me njëra-tjetrën (d.m.th., figurat nuk kanë pika të brendshme të përbashkëta, por mund të prekin njëra-tjetrën), atëherë zona e një sipërfaqe të tillë është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të shifrave përbërëse të saj.

3. Nëse dy figura janë të barabarta, atëherë sipërfaqet e tyre janë të barabarta.

4. Sipërfaqja e një katrori, i cili është ndërtuar mbi një segment njësi, është e barabartë me një.

Mbrapa njësi matjet zonë merrni sipërfaqen e një katrori, brinja e të cilit është e barabartë me njësi matjet segmente.

Kur zgjidhni probleme, shpesh përdoren formulat e mëposhtme për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi:

1. Sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave të tij shumëzuar me lartësinë e tij:

2. Sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me produktin e vijës së mesit dhe lartësisë së tij:

3. Me gjatësi të njohura të bazave dhe anëve të trapezit, sipërfaqja e tij mund të llogaritet duke përdorur formulën:

4. Është e mundur të llogaritet zona e një trapezi izoscelular me një gjatësi të njohur të rrezes së rrethit të gdhendur në trapez dhe një vlerë të njohur të këndit në bazë duke përdorur formulën e mëposhtme:

Shembulli 1: Njehsoni sipërfaqen e një trapezi me baza a=7, b=3 dhe lartësi h=15.

Zgjidhja:

Përgjigje:

Shembulli 2: Gjeni faqen e bazës së një trapezi me sipërfaqe S = 35 cm 2, lartësi h = 7 cm dhe bazë të dytë b = 2 cm.

Zgjidhja:

Për të gjetur anën e bazës së një trapezi, ne përdorim formulën për llogaritjen e sipërfaqes:

Le të shprehim nga kjo formulë anën e bazës së trapezit:

Kështu, kemi sa vijon:

Përgjigje:

Shembulli 3: Gjeni lartësinë e një trapezi me sipërfaqe S = 17 cm 2 dhe baza a = 30 cm, b = 4 cm.

Zgjidhja:

Për të gjetur lartësinë e një trapezi, ne përdorim formulën për llogaritjen e sipërfaqes:

Kështu, kemi sa vijon:

Përgjigje:

Shembulli 4: Llogaritni sipërfaqen e një trapezi me lartësi h=24 dhe me vijë qendrore m=5.

Zgjidhja:

Për të gjetur sipërfaqen e një trapezi, ne përdorim formulën e mëposhtme për llogaritjen e sipërfaqes:

Kështu, kemi sa vijon:

Përgjigje:

Shembulli 5: Gjeni lartësinë e një trapezi me sipërfaqe S = 48 cm 2 dhe vijë qendrore m = 6 cm.

Zgjidhja:

Për të gjetur lartësinë e një trapezi, ne përdorim formulën për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi:

Le të shprehim lartësinë e trapezit nga kjo formulë:

Kështu, kemi sa vijon:

Përgjigje:

Shembulli 6: Gjeni vijën e mesit të një trapezi me sipërfaqe S = 56 dhe lartësi h=4.

Zgjidhja:

Për të gjetur vijën e mesit të një trapezi, ne përdorim formulën për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi:

Le të shprehim vijën e mesme të trapezit nga kjo formulë:

Kështu, kemi sa vijon.

DHE . Tani mund të fillojmë të shqyrtojmë pyetjen se si të gjejmë zonën e një trapezi. Kjo detyrë lind shumë rrallë në jetën e përditshme, por ndonjëherë rezulton të jetë e nevojshme, për shembull, të gjesh sipërfaqen e një dhome në formën e një trapezi, e cila përdoret gjithnjë e më shumë në ndërtimin e apartamenteve moderne, ose në projektimi i projekteve të rinovimit.

Një trapez është një figurë gjeometrike e formuar nga katër segmente të kryqëzuara, dy prej të cilave janë paralele me njëri-tjetrin dhe quhen bazat e trapezit. Dy segmentet e tjera quhen anët e trapezit. Përveç kësaj, do të na duhet një përkufizim tjetër më vonë. Kjo është vija e mesme e trapezit, e cila është një segment që lidh mesin e anëve dhe lartësinë e trapezit, e cila është e barabartë me distancën midis bazave.
Ashtu si trekëndëshat, edhe trapezët kanë lloje të veçanta në formën e një trapezi izoscelor (të barabartë), në të cilin gjatësitë e brinjëve janë të njëjta dhe një trapezoidi drejtkëndor, në të cilin njëra nga anët formon një kënd të drejtë me bazat.

Trapezët kanë disa veti interesante:

1. Vija e mesme e trapezit është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave dhe është paralele me to.
   
2. Trapezoidët izoscelorë kanë brinjë të barabarta dhe këndet që formojnë me bazat.
   
3. Pikat e mesit të diagonaleve të një trapezi dhe pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij janë në të njëjtën drejtëz.
   
4. Nëse shuma e anëve të një trapezi është e barabartë me shumën e bazave, atëherë në të mund të futet një rreth.
   
5. Nëse shuma e këndeve të formuara nga anët e një trapezi në cilëndo nga bazat e tij është 90, atëherë gjatësia e segmentit që lidh mesin e bazave është e barabartë me gjysmëdiferencën e tyre.
   
6. Një trapezoid isosceles mund të përshkruhet nga një rreth. Dhe anasjelltas. Nëse një trapezoid përshtatet në një rreth, atëherë ai është izosceles.
   
7. Segmenti që kalon nga mesi i bazave të një trapezi izoscelular do të jetë pingul me bazat e tij dhe përfaqëson boshtin e simetrisë.
   

Si të gjeni zonën e një trapezi.

Sipërfaqja e trapezit do të jetë e barabartë me gjysmën e shumës së bazave të tij shumëzuar me lartësinë e tij. Në formën e formulës, kjo shkruhet si shprehje:

ku S është sipërfaqja e trapezit, a, b është gjatësia e secilës prej bazave të trapezit, h është lartësia e trapezit.

Ju gjithashtu mund të zbërtheni çdo trapezoid në figura më të thjeshta: një drejtkëndësh dhe një ose dy trekëndësha, dhe nëse është më e lehtë për ju, atëherë gjeni sipërfaqen e trapezit si shumën e sipërfaqeve të figurave përbërëse të tij.

Ekziston një formulë tjetër e thjeshtë për llogaritjen e sipërfaqes së saj. Sipas tij, sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me prodhimin e vijës së mesit të tij nga lartësia e trapezit dhe shkruhet në formën: S = m*h, ku S është sipërfaqja, m është gjatësia e vija e mesme, h është lartësia e trapezit. Kjo formulë është më e përshtatshme për problemet e matematikës sesa për problemet e përditshme, pasi në kushte reale nuk do të dini gjatësinë e vijës qendrore pa llogaritjet paraprake. Dhe ju do të dini vetëm gjatësinë e bazave dhe anëve.

Në këtë rast, zona e trapezit mund të gjendet duke përdorur formulën:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

ku S është sipërfaqja, a, b janë bazat, c, d janë anët e trapezit.

Ka disa mënyra të tjera për të gjetur zonën e një trapezi. Por, ato janë po aq të papërshtatshme sa formula e fundit, që do të thotë se nuk ka kuptim të ndalemi në to. Prandaj, ju rekomandojmë të përdorni formulën e parë nga artikulli dhe dëshirojmë që gjithmonë të merrni rezultate të sakta.

Një trapez është një lloj i veçantë katërkëndëshi në të cilin dy anët e kundërta janë paralele me njëra-tjetrën, por dy të tjerat jo. Objekte të ndryshme reale kanë një formë trapezoidale, kështu që mund t'ju duhet të llogaritni perimetrin e një figure të tillë gjeometrike për të zgjidhur problemet e përditshme ose të shkollës.

Gjeometria e trapezit

Një trapezoid (nga greqishtja "trapezion" - tabela) është një figurë në një plan të kufizuar nga katër segmente, dy prej të cilave janë paralele dhe dy jo. Segmentet paralele quhen bazat e trapezit, dhe segmentet joparalele quhen anët e figurës. Anët dhe këndet e tyre të pjerrësisë përcaktojnë llojin e trapezit, i cili mund të jetë i shkallëzuar, dykëndësh ose drejtkëndor. Përveç bazave dhe anëve, trapezi ka dy elementë të tjerë:

• lartësia - distanca midis bazave paralele të figurës;
• vija e mesme - një segment që lidh mesin e anëve.

Kjo figurë gjeometrike është e përhapur në jetën reale.

Trapezoid në realitet

Në jetën e përditshme, shumë objekte reale marrin një formë trapezoidale. Ju mund të gjeni lehtësisht trapezoide në fushat e mëposhtme të veprimtarisë njerëzore:

• dizajn i brendshëm dhe dekor - divane, tavolina, mure, qilima, tavane të varura;
• dizajni i peizazhit - kufijtë e lëndinave dhe rezervuarëve artificialë, format e elementeve dekorative;
• moda - forma e veshjeve, këpucëve dhe aksesorëve;
• arkitekturë - dritare, mure, themele ndërtesash;
• prodhim - produkte dhe pjesë të ndryshme.

Me një përdorim kaq të gjerë të trapezoidëve, specialistët shpesh duhet të llogarisin perimetrin e një figure gjeometrike.

Perimetri i trapezit

Perimetri i një figure është një karakteristikë numerike që llogaritet si shuma e gjatësive të të gjitha anëve të n-këndores. Një trapez është një katërkëndësh dhe në përgjithësi të gjitha anët e tij kanë gjatësi të ndryshme, kështu që perimetri llogaritet duke përdorur formulën:

P = a + b + c + d,

ku a dhe c janë bazat e figurës, b dhe d janë anët e saj.

Edhe pse nuk kemi nevojë të dimë lartësinë kur llogaritim perimetrin e një trapezi, kodi i kalkulatorit kërkon futjen e kësaj ndryshore. Meqenëse lartësia nuk ndikon në llogaritjet, kur përdorni kalkulatorin tonë në internet, mund të vendosni çdo vlerë lartësie që është më e madhe se zero. Le të shohim disa shembuj.

Shembuj të jetës reale

shami

Le të themi se keni një shall në formë trapezi dhe dëshironi ta shkurtoni me thekë. Do t'ju duhet të dini perimetrin e shallit në mënyrë që të mos blini materiale shtesë ose të shkoni dy herë në dyqan. Lejo që shalli juaj izoscelor të ketë parametrat e mëposhtëm: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm Ne i vendosim këto të dhëna në formularin online dhe marrim përgjigjen në formular.

Kështu, perimetri i shallit është 340 cm, dhe pikërisht kjo është gjatësia e gërshetit të thekës për ta përfunduar atë.

Shpatet

Për shembull, keni vendosur të bëni shpate për dritare metalike-plastike jo standarde që kanë një formë trapezoidale. Dritare të tilla përdoren gjerësisht në projektimin e ndërtesave, duke krijuar një përbërje prej disa brezash. Më shpesh, dritare të tilla bëhen në formën e një trapezi drejtkëndor. Le të zbulojmë se sa material nevojitet për të bërë shpatet e një dritareje të tillë. Një dritare standarde ka parametrat e mëposhtëm a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm Ne i përdorim këto të dhëna dhe marrim rezultatin në formë

Prandaj, perimetri i dritares trapezoidale është 390 cm, dhe kjo është pikërisht sa panele plastike do t'ju duhet të blini për të formuar shpatet.

konkluzioni

Trapezi është një figurë popullore në jetën e përditshme, përcaktimi i parametrave të të cilit mund të jetë i nevojshëm në situatat më të papritura. Llogaritja e perimetrave trapezoidale është e nevojshme për shumë profesionistë: nga inxhinierët dhe arkitektët tek projektuesit dhe mekanikët. Katalogu ynë i kalkulatorëve në internet do t'ju lejojë të kryeni llogaritjet për çdo formë dhe trup gjeometrik.

Ka shumë mënyra për të gjetur zonën e një trapezi. Zakonisht një mësues matematike njeh disa metoda për ta llogaritur atë, le t'i shikojmë ato në më shumë detaje:
1) , ku AD dhe BC janë bazat, dhe BH është lartësia e trapezit. Vërtetim: vizatoni diagonalen BD dhe shprehni sipërfaqet e trekëndëshave ABD dhe CDB përmes gjysmës së prodhimit të bazave dhe lartësive të tyre:

, ku DP është lartësia e jashtme në

Le t'i shtojmë këto barazi terma për term dhe duke marrë parasysh që lartësitë BH dhe DP janë të barabarta, marrim:

Le ta vendosim jashtë kllapave

Q.E.D.

Përfundim i formulës për sipërfaqen e një trapezi:
Meqenëse gjysma e bazave është e barabartë me MN - vija e mesme e trapezit, atëherë

2) Zbatimi i formulës së përgjithshme për sipërfaqen e një katërkëndëshi.
Sipërfaqja e një katërkëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të diagonaleve të shumëzuar me sinusin e këndit ndërmjet tyre
Për ta vërtetuar atë, mjafton të ndani trapezin në 4 trekëndësha, të shprehni sipërfaqen e secilit në termat e "gjysmës së produktit të diagonaleve dhe sinusit të këndit midis tyre" (marrë si kënd, shtoni atë që rezulton shprehjet, hiqni ato nga kllapa dhe faktorizoni këtë kllapa duke përdorur metodën e grupimit për të marrë barazinë e saj me shprehjen

3) Metoda e zhvendosjes diagonale
Ky është emri im. Një mësues matematike nuk do të hasë një titull të tillë në tekstet shkollore. Një përshkrim i teknikës mund të gjendet vetëm në tekste shtesë si një shembull i zgjidhjes së një problemi. Dëshiroj të vërej se shumica e fakteve interesante dhe të dobishme rreth planimetrisë u zbulohen studentëve nga mësuesit e matematikës në procesin e kryerjes së punës praktike. Kjo është jashtëzakonisht jooptimale, sepse studenti duhet t'i izolojë ato në teorema të veçanta dhe t'i quajë "emra të mëdhenj". Një nga këto është "zhvendosja diagonale". Për çfarë bëhet fjalë? Le të vizatojmë një drejtëz paralele me AC përmes kulmit B derisa ajo të kryqëzohet me bazën e poshtme në pikën E. Në këtë rast, katërkëndëshi EBCA do të jetë një paralelogram (sipas përkufizimit) dhe për rrjedhojë BC=EA dhe EB=AC. Barazia e parë është e rëndësishme për ne tani. Ne kemi:

Vini re se trekëndëshi BED, zona e të cilit është e barabartë me sipërfaqen e trapezit, ka disa veti më të jashtëzakonshme:
1) Sipërfaqja e saj është e barabartë me sipërfaqen e trapezit
2) Isosceles i tij ndodh njëkohësisht me isosceles të vetë trapezoidit
3) Këndi i sipërm i tij në kulmin B është i barabartë me këndin midis diagonaleve të trapezit (i cili përdoret shumë shpesh në problema)
4) BK mediana e tij është e barabartë me distancën QS midis pikave të mesit të bazave të trapezit. Kohët e fundit kam hasur në përdorimin e kësaj prone gjatë përgatitjes së një studenti për Mekanikë dhe Matematikë në Universitetin Shtetëror të Moskës duke përdorur tekstin shkollor të Tkachuk, versioni i vitit 1973 (problemi është dhënë në fund të faqes).

Teknika të veçanta për një mësues matematike.

Ndonjëherë unë propozoj probleme duke përdorur një mënyrë shumë të ndërlikuar për të gjetur zonën e një trapezi. E klasifikoj si një teknikë të veçantë sepse në praktikë mësuesi i përdor jashtëzakonisht rrallë. Nëse keni nevojë për përgatitje për Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë vetëm në Pjesën B, nuk keni pse të lexoni rreth tyre. Për të tjerat, do t'ju tregoj më tej. Rezulton se zona e një trapezi është dyfishi i sipërfaqes së një trekëndëshi me kulme në skajet e njërës anë dhe në mes të tjetrës, domethënë trekëndëshi ABS në figurë:
Vërtetim: vizatoni lartësitë SM dhe SN në trekëndëshat BCS dhe ADS dhe shprehni shumën e sipërfaqeve të këtyre trekëndëshave:

Meqenëse pika S është mesi i CD-së, atëherë (vërtetojeni vetë shumën e sipërfaqeve të trekëndëshave).

Meqenëse kjo shumë doli të jetë e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së trapezit, atëherë gjysma e dytë e tij. etj.

Unë do të përfshija në koleksionin e teknikave të veçanta të mësuesit formën e llogaritjes së sipërfaqes së një trapezi izoscelular përgjatë anëve të tij: ku p është gjysmëperimetri i trapezit. Unë nuk do të jap prova. Përndryshe, mësuesi juaj i matematikës do të mbetet pa punë :). Ejani në klasë!

Problemet në zonën e një trapezi:

Shënim i mësuesit të matematikës: Lista e mëposhtme nuk është një shoqërim metodologjik i temës, është vetëm një përzgjedhje e vogël e detyrave interesante bazuar në teknikat e diskutuara më sipër.

1) Baza e poshtme e një trapezi izoscelular është 13, dhe e sipërme është 5. Gjeni zonën e trapezit nëse diagonalja e tij është pingul me anën.
2) Gjeni sipërfaqen e një trapezi nëse bazat e tij janë 2 cm dhe 5 cm, dhe anët e tij janë 2 cm dhe 3 cm.
3) Në një trapezoid izoscelular, baza më e madhe është 11, ana është 5 dhe diagonalja është Gjeni zonën e trapezit.
4) Diagonalja e një trapezi dykëndor është 5 dhe vija e mesme është 4. Gjeni sipërfaqen.
5) Në një trapezoid izoscelular, bazat janë 12 dhe 20, dhe diagonalet janë reciproke pingul. Llogaritni sipërfaqen e një trapezi
6) Diagonalja e një trapezi izoscelular bën një kënd me bazën e tij të poshtme. Gjeni sipërfaqen e trapezit nëse lartësia e tij është 6 cm.
7) Sipërfaqja e trapezit është 20, dhe njëra nga anët e saj është 4 cm. Gjeni distancën me të nga mesi i anës së kundërt.
8) Diagonalja e një trapezi dykëndësh e ndan atë në trekëndësha me sipërfaqe 6 dhe 14. Gjeni lartësinë nëse brinja anësore është 4.
9) Në një trapezoid, diagonalet janë të barabarta me 3 dhe 5, dhe segmenti që lidh mesin e bazave është i barabartë me 2. Gjeni zonën e trapezit (Mekhmat MSU, 1970).

Zgjodha jo problemet më të vështira (mos kini frikë nga inxhinieria mekanike!) me shpresën se do të mund t'i zgjidhja në mënyrë të pavarur. Vendosni për shëndetin tuaj! Nëse keni nevojë për përgatitje për Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë, atëherë pa pjesëmarrjen e formulës për sipërfaqen e një trapezi në këtë proces, mund të shfaqen probleme serioze edhe me problemin B6 dhe aq më tepër me C4. Mos e filloni temën dhe në rast vështirësie kërkoni ndihmë. Një mësues matematike është gjithmonë i lumtur t'ju ndihmojë.

Kolpakov A.N.
Mësues i matematikës në Moskë, përgatitje për Provimin e Unifikuar të Shtetit në Strogino.