Vlera absolute e një numri aështë distanca nga origjina në pikën A(a).

Për të kuptuar këtë përkufizim, le të zëvendësojmë variablin açdo numër, për shembull 3 dhe përpiquni ta lexoni përsëri:

Vlera absolute e një numri 3 është distanca nga origjina në pikën A(3 ).

Bëhet e qartë se moduli nuk është asgjë më shumë se një distancë e zakonshme. Le të përpiqemi të shohim distancën nga origjina në pikën A( 3 )

Largësia nga origjina në pikën A ( 3 ) është e barabartë me 3 (tre njësi ose tre hapa).

Moduli i një numri tregohet nga dy vija vertikale, për shembull:

Moduli i numrit 3 shënohet si më poshtë: |3|

Moduli i numrit 4 shënohet si më poshtë: |4|

Moduli i numrit 5 shënohet si më poshtë: |5|

Ne kërkuam modulin e numrit 3 dhe zbuluam se është i barabartë me 3. Kështu e shkruajmë atë:

Lexohet si: "Moduli i numrit tre është tre"

Tani le të përpiqemi të gjejmë modulin e numrit -3. Përsëri, kthehemi te përkufizimi dhe zëvendësojmë numrin -3 në të. Vetëm në vend të një pike A përdorni një pikë të re B. Ndalesa e plotë A kemi përdorur tashmë në shembullin e parë.

Moduli i numrit - 3 është distanca nga origjina në një pikë B(—3 ).

Distanca nga një pikë në tjetrën nuk mund të jetë negative. Prandaj, moduli i çdo numri negativ, duke qenë një distancë, gjithashtu nuk do të jetë negativ. Moduli i numrit -3 do të jetë numri 3. Largësia nga origjina deri në pikën B(-3) është gjithashtu e barabartë me tre njësi:

Lexohet si: "Moduli i minus tre është tre."

Moduli i numrit 0 është i barabartë me 0, pasi pika me koordinatë 0 përkon me origjinën, d.m.th. distanca nga origjina në pikë O(0) barazohet me zero:

"Moduli i zeros është zero"

Ne nxjerrim përfundime:

• Moduli i një numri nuk mund të jetë negativ;
• Për një numër pozitiv dhe zero, moduli është i barabartë me vetë numrin, dhe për një numër negativ - numri i kundërt;
• Numrat e kundërt kanë module të barabarta.

Numra të kundërt

Numrat që ndryshojnë vetëm në shenja quhen e kundërt. Për shembull, numrat −2 dhe 2 janë të kundërt. Ato ndryshojnë vetëm në shenja. Numri -2 ka një shenjë minus, dhe 2 ka një shenjë plus, por ne nuk e shohim atë, sepse plus, siç thamë më parë, tradicionalisht nuk shkruhet.

Më shumë shembuj të numrave të kundërt:

Numrat e kundërt kanë module të barabarta. Për shembull, le të gjejmë modulet për −2 dhe 2

Figura tregon se distanca nga origjina në pikat A(−2) Dhe B(2) njësoj e barabartë me dy hapa.

Ju pëlqeu mësimi?
Bashkohuni me grupin tonë të ri VKontakte dhe filloni të merrni njoftime për mësime të reja

Në këtë artikull do të analizojmë në detaje vlera absolute e një numri. Ne do të japim përkufizime të ndryshme të modulit të një numri, do të prezantojmë shënimin dhe do të ofrojmë ilustrime grafike. Në të njëjtën kohë, le të shohim shembuj të ndryshëm të gjetjes së modulit të një numri sipas përkufizimit. Pas kësaj, ne do të rendisim dhe justifikojmë vetitë kryesore të modulit. Në fund të artikullit, ne do të flasim se si përcaktohet dhe gjendet moduli i një numri kompleks.

Navigimi i faqes.

Moduli i numrave - përkufizimi, shënimi dhe shembuj

Fillimisht prezantojmë përcaktimi i modulit të numrit. Modulin e numrit a do ta shkruajmë si , pra majtas dhe djathtas numrit do të vendosim viza vertikale për të formuar shenjën e modulit. Le të japim disa shembuj. Për shembull, moduli −7 mund të shkruhet si ; moduli 4.125 shkruhet si dhe moduli ka një shënim të formës.

Përkufizimi i mëposhtëm i modulit i referohet , dhe për rrjedhojë , dhe numrave të plotë, dhe numrave racionalë dhe irracionalë, si pjesë përbërëse të grupit të numrave realë. Ne do të flasim për modulin e një numri kompleks në.

Përkufizimi.

Moduli i numrit a– ky është ose vetë numri a, nëse a është numër pozitiv, ose numri −a, e kundërta e numrit a, nëse a është numër negativ, ose 0, nëse a=0.

Përkufizimi i shprehur i modulit të një numri shpesh shkruhet në formën e mëposhtme , kjo hyrje do të thotë se nëse a>0 , nëse a=0 , dhe nëse a<0 .

Regjistrimi mund të paraqitet në një formë më kompakte . Ky shënim do të thotë se nëse (a është më e madhe ose e barabartë me 0), dhe nëse a<0 .

Ekziston edhe hyrja . Këtu duhet të shpjegojmë veçmas rastin kur a=0. Në këtë rast kemi , por −0=0, pasi zero konsiderohet një numër që është i kundërt me vetveten.

Le të japim shembuj të gjetjes së modulit të një numri duke përdorur një përkufizim të deklaruar. Për shembull, le të gjejmë modulet e numrave 15 dhe . Le të fillojmë duke gjetur. Meqenëse numri 15 është pozitiv, moduli i tij, sipas përkufizimit, është i barabartë me vetë këtë numër, domethënë . Cili është moduli i një numri? Meqenëse është një numër negativ, moduli i tij është i barabartë me numrin e kundërt me numrin, domethënë numrin . Kështu,.

Për të përfunduar këtë pikë, ne paraqesim një përfundim që është shumë i përshtatshëm për t'u përdorur në praktikë kur gjejmë modulin e një numri. Nga përkufizimi i modulit të një numri rezulton se moduli i një numri është i barabartë me numrin nën shenjën e modulit pa marrë parasysh shenjën e tij, dhe nga shembujt e diskutuar më sipër kjo është shumë qartë e dukshme. Deklarata e deklaruar shpjegon pse quhet edhe moduli i një numri vlera absolute e numrit. Pra, moduli i një numri dhe vlera absolute e një numri janë një dhe e njëjta.

Moduli i një numri si distancë

Gjeometrikisht, moduli i një numri mund të interpretohet si distancë. Le të japim përcaktimi i modulit të një numri në distancë.

Përkufizimi.

Moduli i numrit a– kjo është distanca nga origjina në vijën koordinative deri në pikën që i përgjigjet numrit a.

Ky përkufizim është në përputhje me përkufizimin e modulit të një numri të dhënë në paragrafin e parë. Le ta sqarojmë këtë pikë. Distanca nga origjina në pikën që i korrespondon një numri pozitiv është e barabartë me këtë numër. Zero korrespondon me origjinën, prandaj distanca nga origjina në pikën me koordinatë 0 është e barabartë me zero (nuk keni nevojë të lini mënjanë një segment të vetëm njësi dhe asnjë segment të vetëm që përbën ndonjë fraksion të një segmenti njësi në mënyrë për të arritur nga pika O në një pikë me koordinatë 0). Distanca nga origjina në një pikë me një koordinatë negative është e barabartë me numrin e kundërt të koordinatës së kësaj pike, pasi është e barabartë me distancën nga origjina në pikën koordinata e së cilës është numri i kundërt.

Për shembull, moduli i numrit 9 është i barabartë me 9, pasi distanca nga origjina në pikën me koordinatë 9 është e barabartë me nëntë. Le të japim një shembull tjetër. Pika me koordinatë −3.25 ndodhet në një distancë prej 3.25 nga pika O, pra .

Përkufizimi i deklaruar i modulit të një numri është një rast i veçantë i përcaktimit të modulit të ndryshimit të dy numrave.

Përkufizimi.

Moduli i ndryshimit të dy numrave a dhe b është e barabartë me distancën ndërmjet pikave të drejtëzës koordinative me koordinatat a dhe b.

Kjo do të thotë, nëse jepen pikat në vijën koordinative A(a) dhe B(b), atëherë distanca nga pika A në pikën B është e barabartë me modulin e ndryshimit midis numrave a dhe b. Nëse marrim pikën O (origjina) si pikën B, atëherë marrim përkufizimin e modulit të një numri të dhënë në fillim të këtij paragrafi.

Përcaktimi i modulit të një numri duke përdorur rrënjën katrore aritmetike

Herë pas here ndodh përcaktimi i modulit nëpërmjet rrënjës katrore aritmetike.

Për shembull, le të llogarisim modulin e numrave −30 dhe bazuar në këtë përkufizim. Ne kemi. Në mënyrë të ngjashme, ne llogarisim modulin e dy të tretave: .

Përkufizimi i modulit të një numri përmes rrënjës katrore aritmetike është gjithashtu në përputhje me përkufizimin e dhënë në paragrafin e parë të këtij neni. Le ta tregojmë. Le të jetë a një numër pozitiv, dhe le të jetë −a një numër negativ. Pastaj Dhe , nëse a=0 , atëherë .

Karakteristikat e modulit

Moduli ka një numër rezultatesh karakteristike - vetitë e modulit. Tani do të paraqesim kryesoret dhe më të përdorurat prej tyre. Kur justifikojmë këto veti, ne do të mbështetemi në përkufizimin e modulit të një numri për sa i përket distancës.

Le të fillojmë me vetinë më të dukshme të modulit - Moduli i një numri nuk mund të jetë një numër negativ. Në formë literale, kjo veti ka formën për çdo numër a. Kjo veti është shumë e lehtë për t'u justifikuar: moduli i një numri është një distancë, dhe distanca nuk mund të shprehet si një numër negativ.

Le të kalojmë te vetia e modulit tjetër. Moduli i një numri është zero nëse dhe vetëm nëse ky numër është zero. Moduli i zeros është zero sipas definicionit. Zero korrespondon me origjinën, asnjë pikë tjetër në vijën koordinative nuk korrespondon me zero, pasi çdo numër real shoqërohet me një pikë të vetme në vijën koordinative. Për të njëjtën arsye, çdo numër tjetër përveç zeros korrespondon me një pikë të ndryshme nga origjina. Dhe distanca nga origjina në çdo pikë tjetër përveç pikës O nuk është zero, pasi distanca midis dy pikave është zero nëse dhe vetëm nëse këto pika përkojnë. Arsyetimi i mësipërm vërteton se vetëm moduli i zeros është i barabartë me zero.

Shkoni përpara. Numrat e kundërt kanë module të barabarta, domethënë për çdo numër a. Në të vërtetë, dy pika në vijën koordinative, koordinatat e të cilave janë numra të kundërt, janë në të njëjtën distancë nga origjina, që do të thotë se modulet e numrave të kundërt janë të barabarta.

Vetia e mëposhtme e modulit është: Moduli i prodhimit të dy numrave është i barabartë me produktin e modulit të këtyre numrave, kjo eshte, . Sipas përkufizimit, moduli i prodhimit të numrave a dhe b është i barabartë ose me a·b nëse , ose me −(a·b) nëse . Nga rregullat e shumëzimit të numrave real del se prodhimi i moduleve të numrave a dhe b është i barabartë ose me a·b, , ose me −(a·b) nëse , që vërteton vetinë në fjalë.

Moduli i herësit të një pjesëtuar me b është i barabartë me herësin e modulit të një numri të pjesëtuar me modulin e b, kjo eshte, . Le të justifikojmë këtë veti të modulit. Meqenëse herësi është i barabartë me produktin, atëherë. Në bazë të pasurisë së mëparshme që kemi . Gjithçka që mbetet është të përdoret barazia , e cila është e vlefshme në bazë të përcaktimit të modulit të një numri.

Vetia e mëposhtme e një moduli shkruhet si një pabarazi: , a , b dhe c janë numra realë arbitrarë. Pabarazia e shkruar nuk është gjë tjetër veçse pabarazia e trekëndëshit. Për ta bërë këtë të qartë, le të marrim pikat A(a), B(b), C(c) në vijën e koordinatave dhe të shqyrtojmë një trekëndësh të degjeneruar ABC, kulmet e të cilit shtrihen në të njëjtën drejtëz. Sipas definicionit, moduli i diferencës është i barabartë me gjatësinë e segmentit AB, - gjatësinë e segmentit AC dhe - gjatësinë e segmentit CB. Meqenëse gjatësia e njërës anë të trekëndëshit nuk e kalon shumën e gjatësive të dy brinjëve të tjera, atëherë pabarazia është e vërtetë Prandaj, pabarazia është gjithashtu e vërtetë.

Pabarazia e sapo provuar është shumë më e zakonshme në formë . Pabarazia e shkruar zakonisht konsiderohet si një veti e veçantë e modulit me formulimin: " Moduli i shumës së dy numrave nuk e kalon shumën e moduleve të këtyre numrave" Por pabarazia vjen drejtpërdrejt nga pabarazia nëse vendosim −b në vend të b dhe marrim c=0.

Moduli i një numri kompleks

Le të japim përcaktimi i modulit të një numri kompleks. Të na jepet numër kompleks, i shkruar në formë algjebrike, ku x dhe y janë disa numra realë, që përfaqësojnë, përkatësisht, pjesët reale dhe imagjinare të një numri kompleks të dhënë z, dhe është njësia imagjinare.

Zgjidhja e ekuacioneve dhe inekuacioneve me modul shpesh shkakton vështirësi. Megjithatë, nëse e kuptoni mirë se çfarë është vlera absolute e një numri, Dhe si të zgjerohen saktë shprehjet që përmbajnë një shenjë moduli, atëherë prania në ekuacion shprehja nën shenjën e modulit, pushon së qeni pengesë për zgjidhjen e saj.

Pak teori. Çdo numër ka dy karakteristika: vlerën absolute të numrit dhe shenjën e tij.

Për shembull, numri +5, ose thjesht 5, ka një shenjë "+" dhe një vlerë absolute prej 5.

Numri -5 ka një shenjë "-" dhe një vlerë absolute prej 5.

Vlerat absolute të numrave 5 dhe -5 janë 5.

Vlera absolute e një numri x quhet moduli i numrit dhe shënohet me |x|.

Siç e shohim, moduli i një numri është i barabartë me vetë numrin nëse ky numër është më i madh ose i barabartë me zero, dhe me këtë numër me shenjën e kundërt nëse ky numër është negativ.

E njëjta gjë vlen për çdo shprehje që shfaqet nën shenjën e modulit.

Rregulli i zgjerimit të modulit duket si ky:

|f(x)|= f(x) nëse f(x) ≥ 0, dhe

|f(x)|= - f(x), nëse f(x)< 0

Për shembull |x-3|=x-3, nëse x-3≥0 dhe |x-3|=-(x-3)=3-x, nëse x-3<0.

Për të zgjidhur një ekuacion që përmban një shprehje nën shenjën e modulit, së pari duhet zgjeroni një modul sipas rregullit të zgjerimit të modulit.

Atëherë ekuacioni ose pabarazia jonë bëhet në dy ekuacione të ndryshme që ekzistojnë në dy intervale të ndryshme numerike.

Një ekuacion ekziston në një interval numerik në të cilin shprehja nën shenjën e modulit është jonegative.

Dhe ekuacioni i dytë ekziston në intervalin në të cilin shprehja nën shenjën e modulit është negative.

Le të shohim një shembull të thjeshtë.

Le të zgjidhim ekuacionin:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Le të hapim modulin.

|x-3|=x-3, nëse x-3≥0, d.m.th. nëse x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x nëse x-3<0, т.е. если х<3

2. Morëm dy intervale numerike: x≥3 dhe x<3.

Le të shqyrtojmë se në cilat ekuacione transformohet ekuacioni origjinal në çdo interval:

A) Për x≥3 |x-3|=x-3, dhe plagosja jonë ka formën:

Kujdes! Ky ekuacion ekziston vetëm në intervalin x≥3!

Le të hapim kllapat dhe të paraqesim terma të ngjashëm:

dhe zgjidhni këtë ekuacion.

Ky ekuacion ka rrënjët:

x 1 =0, x 2 =3

Kujdes! duke qenë se ekuacioni x-3=-x 2 +4x-3 ekziston vetëm në intervalin x≥3, neve na interesojnë vetëm ato rrënjë që i përkasin këtij intervali. Ky kusht plotësohet vetëm nga x 2 =3.

B) Në x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Kujdes! Ky ekuacion ekziston vetëm në intervalin x<3!

Le të hapim kllapat dhe të paraqesim terma të ngjashëm. Ne marrim ekuacionin:

x 1 =2, x 2 =3

Kujdes! meqenëse ekuacioni 3-x=-x 2 +4x-3 ekziston vetëm në intervalin x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Pra: nga intervali i parë marrim vetëm rrënjën x=3, nga i dyti - rrënjën x=2.

Kjo llogaritëse matematikore në internet do t'ju ndihmojë zgjidh një ekuacion ose pabarazi me moduli. Programi për zgjidhja e ekuacioneve dhe inekuacioneve me modul jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por çon zgjidhje e detajuar me shpjegime, d.m.th. tregon procesin e marrjes së rezultatit.

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në shkollat ​​e arsimit të përgjithshëm kur përgatiten për teste dhe provime, kur testojnë njohuritë para Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe për prindërit për të kontrolluar zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt që të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e zgjidhjes së problemeve.

Shkruani një ekuacion ose pabarazi me moduli

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Te lutem prit sekondë...

nëse ti vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
Mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Ekuacionet dhe inekuacionet me modul

Në kursin bazë të algjebrës së shkollës, mund të hasni ekuacionet dhe pabarazitë më të thjeshta me moduli. Për t'i zgjidhur ato, mund të përdorni një metodë gjeometrike bazuar në faktin se \(|x-a| \) është distanca në vijën numerike midis pikave x dhe a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Për shembull, për të zgjidhur ekuacionin \(|x-3|=2\) ju duhet të gjeni pika në vijën numerike që janë të largëta nga pika 3 në një distancë prej 2. Janë dy pika të tilla: \(x_1=1 \) dhe \(x_2=5\) .

Zgjidhja e pabarazisë \(|2x+7|

Por mënyra kryesore për të zgjidhur ekuacionet dhe pabarazitë me moduli shoqërohet me të ashtuquajturin "zbulimi i modulit sipas përkufizimit":
nëse \(a \geq 0 \), atëherë \(|a|=a \);
nëse \(a Si rregull, një ekuacion (pabarazi) me moduli reduktohet në një grup ekuacionesh (pabarazish) që nuk përmbajnë shenjën e modulit.

Përveç përkufizimit të mësipërm, përdoren deklaratat e mëposhtme:
1) Nëse \(c > 0\), atëherë ekuacioni \(|f(x)|=c \) është ekuivalent me grupin e ekuacioneve: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\djathtas.
2) Nëse \(c > 0 \), atëherë pabarazia \(|f(x)| 3) Nëse \(c \geq 0 \), atëherë pabarazia \(|f(x)| > c \) është ekuivalente me një grup pabarazish: \(\majtas[\fillimi(array)(l) f(x) c \end(array)\djathtas. \)
4) Nëse të dyja anët e pabarazisë \(f(x) SHEMBULL 1. Zgjidheni ekuacionin \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Nëse \(x-1 \geq 0\), atëherë \(|x-1| = x-1\) dhe ekuacioni i dhënë merr formën
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Djathtas shigjeta x^2 +2x -8 = 0 \).
Nëse \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Shigjeta djathtas x^2 -2x -4 = 0 \).
Kështu, ekuacioni i dhënë duhet të konsiderohet veçmas në secilin nga dy rastet e treguara.
1) Le të \(x-1 \geq 0 \), d.m.th. \(x\geq 1\). Nga ekuacioni \(x^2 +2x -8 = 0\) gjejmë \(x_1=2, \; x_2=-4\). Kushti \(x \geq 1 \) plotësohet vetëm nga vlera \(x_1=2\).
2) Le të përgjigjet \(x-1: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

SHEMBULL 2. Zgjidheni ekuacionin \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).

Mënyra e parë(zgjerimi i modulit sipas definicionit).
Duke arsyetuar si në shembullin 1, arrijmë në përfundimin se ekuacioni i dhënë duhet të konsiderohet veçmas nëse plotësohen dy kushte: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ose \(x^2-6x+7

1) Nëse \(x^2-6x+7 \geq 0 \), atëherë \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) dhe ekuacioni i dhënë merr formën \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Djathtas shigjetë 3x^2-23x+30=0 \). Pasi kemi zgjidhur këtë ekuacion kuadratik, marrim: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Le të zbulojmë nëse vlera \(x_1=6\) plotëson kushtin \(x^2-6x+7 \geq 0\). Për ta bërë këtë, zëvendësoni vlerën e treguar në pabarazinë kuadratike. Marrim: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), d.m.th. \(7 \geq 0 \) është një pabarazi e vërtetë. Kjo do të thotë se \(x_1=6\) është rrënja e ekuacionit të dhënë.
Le të zbulojmë nëse vlera \(x_2=\frac(5)(3)\) plotëson kushtin \(x^2-6x+7 \geq 0\). Për ta bërë këtë, zëvendësoni vlerën e treguar në pabarazinë kuadratike. Marrim: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), d.m.th. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) është një pabarazi e pasaktë. Kjo do të thotë që \(x_2=\frac(5)(3)\) nuk është një rrënjë e ekuacionit të dhënë.

2) Nëse \(x^2-6x+7 Vlera \(x_3=3\) plotëson kushtin \(x^2-6x+7 Vlera \(x_4=\frac(4)(3) \) nuk plotëson kushti \ (x^2-6x+7 Pra, ekuacioni i dhënë ka dy rrënjë: \(x=6, \; x=3 \).

Mënyra e dytë. Nëse është dhënë ekuacioni \(|f(x)| = h(x) \), atëherë me \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end (array)\djathtas \)
Të dyja këto ekuacione u zgjidhën më sipër (duke përdorur metodën e parë të zgjidhjes së ekuacionit të dhënë), rrënjët e tyre janë si më poshtë: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Kushti \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) i këtyre katër vlerave plotësohet vetëm nga dy: 6 dhe 3. Kjo do të thotë se ekuacioni i dhënë ka dy rrënjë: \(x=6 , \; x=3 \ ).

Mënyra e tretë(grafike).
1) Le të ndërtojmë një grafik të funksionit \(y = |x^2-6x+7| \). Së pari, le të ndërtojmë një parabolë \(y = x^2-6x+7\). Kemi \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Grafiku i funksionit \(y = (x-3)^2-2\) mund të merret nga grafiku i funksionit \(y = x^2\) duke e zhvendosur 3 njësi shkallë në të djathtë (përgjatë boshti x) dhe 2 njësi shkallë poshtë (përgjatë boshtit y). Drejtëza x=3 është boshti i parabolës që na intereson. Si pika kontrolli për vizatim më të saktë, është e përshtatshme të merret pika (3; -2) - kulmi i parabolës, pika (0; 7) dhe pika (6; 7) simetrike me të në lidhje me boshtin e parabolës. .
Për të ndërtuar tani një grafik të funksionit \(y = |x^2-6x+7| \), ju duhet të lini të pandryshuara ato pjesë të parabolës së ndërtuar që nuk shtrihen nën boshtin x dhe të pasqyroni atë pjesë të parabolë që shtrihet nën boshtin x në lidhje me boshtin x.
2) Le të ndërtojmë një grafik të funksionit linear \(y = \frac(5x-9)(3)\). Është i përshtatshëm për të marrë pikat (0; –3) dhe (3; 2) si pika kontrolli.

Është e rëndësishme që pika x = 1.8 e kryqëzimit të vijës së drejtë me boshtin e abshisës të jetë e vendosur në të djathtë të pikës së majtë të kryqëzimit të parabolës me boshtin e abshisës - kjo është pika \(x=3-\ sqrt(2) \) (meqenëse \(3-\sqrt(2) 3) Duke gjykuar nga vizatimi, grafikët kryqëzohen në dy pika - A(3; 2) dhe B(6; 7). Zëvendësimi i abshisave të këtyre pikat x = 3 dhe x = 6 në ekuacionin e dhënë, ne jemi të bindur se në të dyja rastet, është marrë barazia numerike e saktë Kjo do të thotë se hipoteza jonë është konfirmuar - ekuacioni ka dy rrënjë x = 6. Përgjigje: 3;

Komentoni. Metoda grafike, me gjithë elegancën e saj, nuk është shumë e besueshme. Në shembullin e konsideruar, funksionoi vetëm sepse rrënjët e ekuacionit janë numra të plotë.

SHEMBULL 3. Zgjidheni ekuacionin \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

Mënyra e parë
Shprehja 2x–4 bëhet 0 në pikën x = 2, dhe shprehja x + 3 bëhet 0 në pikën x = –3. Këto dy pika e ndajnë vijën numerike në tre intervale: \(x

Merrni parasysh intervalin e parë: \((-\infty; \; -3) \).
Nëse x Konsideroni intervalin e dytë: \([-3; \; 2) \).
Nëse \(-3 \leq x Merrni parasysh intervalin e tretë: \()