Shpërndarja Boltzmann është shpërndarja e energjisë e grimcave (atomeve, molekulave) të një gazi ideal në kushte të ekuilibrit termodinamik, i cili u zbulua në 1868-1871. Fizikani austriak L. Boltzmann. Sipas tij, numri i grimcave n i me energji totale e i është i barabartë me:

ni = Aω i exp (-e i /kT)

ku ω i është pesha statistikore (numri i gjendjeve të mundshme të një grimce me energji e i). Konstanta A gjendet nga kushti që shuma e n i mbi të gjitha vlerat e mundshme të i është e barabartë me numrin total të dhënë të grimcave N në sistem (kushti i normalizimit): ∑n i = N. Në rastin kur lëvizja e grimcat i binden mekanikës klasike, energjia e i mund të konsiderohet se përbëhet nga energjia kinetike e i, gjinia e një grimce (molekule ose atomi), energjia e saj e brendshme e i, ext (për shembull, energjia e ngacmimit të elektroneve) dhe energjia potenciale e i, tenxhere në një fushë të jashtme, në varësi të pozicionit të grimcës në hapësirë:

e i = e i, kin + e i, vn + e i, djersë

Shpërndarja e shpejtësisë së grimcave (shpërndarja Maxwell) është një rast i veçantë i shpërndarjes Boltzmann. Ndodh kur energjia e ngacmimit të brendshëm dhe ndikimi i fushave të jashtme mund të neglizhohen. Në përputhje me të, formula e shpërndarjes Boltzmann mund të përfaqësohet si produkt i tre eksponencialeve, secila prej të cilave jep shpërndarjen e grimcave sipas një lloji të energjisë.

Në një fushë gravitacionale konstante që krijon nxitim g, për grimcat e gazeve atmosferike pranë sipërfaqes së Tokës (ose planetëve të tjerë), energjia potenciale është në përpjesëtim me masën e tyre m dhe lartësinë H mbi sipërfaqe, d.m.th. e i, djersë = mgH. Pas zëvendësimit të kësaj vlere në shpërndarjen Boltzmann dhe mbledhjes së të gjitha vlerave të mundshme të energjive kinetike dhe të brendshme të grimcave, fitohet një formulë barometrike, e cila shpreh ligjin e zvogëlimit të densitetit atmosferik me lartësinë.

Në astrofizikë, veçanërisht në teorinë e spektrave yjor, shpërndarja Boltzmann përdoret shpesh për të përcaktuar zënien relative të elektroneve të niveleve të ndryshme të energjisë atomike.

Shpërndarja Boltzmann u mor në kuadrin e statistikave klasike. Në vitet 1924-1926. Statistikat kuantike u krijuan. Ajo çoi në zbulimin e shpërndarjeve Bose-Einstein (për grimcat me rrotullim me numër të plotë) dhe Fermi-Dirac (për grimcat me rrotullim gjysmë të plotë). Të dyja këto shpërndarje shndërrohen në shpërndarjen Boltzmann kur numri mesatar i gjendjeve kuantike të disponueshme për një sistem tejkalon ndjeshëm numrin e grimcave në sistem, domethënë, kur ka shumë gjendje kuantike për grimcë ose, me fjalë të tjera, kur shkalla i okupimit të gjendjeve kuantike është i vogël. Kushti për zbatueshmërinë e shpërndarjes Boltzmann mund të shkruhet si pabarazi:

N/V.

ku N është numri i grimcave, V është vëllimi i sistemit. Kjo pabarazi plotësohet në temperaturë të lartë dhe një numër të vogël grimcash për njësi vëllimi (N/V). Prej tij rezulton se sa më e madhe të jetë masa e grimcave, aq më i gjerë është diapazoni i ndryshimeve në T dhe N/V shpërndarja Boltzmann. Për shembull, brenda xhuxhëve të bardhë, pabarazia e mësipërme shkelet për gazin elektronik, dhe për këtë arsye vetitë e tij duhet të përshkruhen duke përdorur shpërndarjen Fermi-Dirac. Megjithatë, ajo, dhe bashkë me të shpërndarja Boltzmann, mbeten të vlefshme për përbërësin jonik të substancës. Në rastin e një gazi të përbërë nga grimca me masë pushimi zero (për shembull, një gaz fotonesh), pabarazia nuk vlen për asnjë vlerë të T dhe N/V. Prandaj, rrezatimi i ekuilibrit përshkruhet nga ligji i rrezatimit të Planck, i cili është një rast i veçantë i shpërndarjes Bose-Einstein.

Shpërndarja Boltzmann

Në formulën barometrike në raport me ZOTI Pjestoni numëruesin dhe emëruesin me numrin e Avogadros.

Masa e një molekule,

konstante e Boltzmann-it.

Në vend të R dhe zëvendësoni në përputhje me rrethanat. (shih leksionin nr. 7), ku dendësia e molekulave është në një lartësi h, dendësia e molekulave është në një lartësi.

Nga formula barometrike, si rezultat i zëvendësimeve dhe shkurtimeve, marrim shpërndarjen e përqendrimit të molekulave sipas lartësisë në fushën e gravitetit të Tokës.

Nga kjo formulë del se me uljen e temperaturës zvogëlohet numri i grimcave në lartësi të ndryshme nga zero (Fig. 8.10), duke u kthyer në 0 në T = 0 ( Në zero absolute, të gjitha molekulat do të ndodheshin në sipërfaqen e Tokës). Në temperatura të larta n zvogëlohet pak me lartësinë, pra

Prandaj, shpërndarja e molekulave sipas lartësisë është edhe shpërndarja e tyre sipas vlerave të energjisë potenciale.

ku është dendësia e molekulave në atë vend në hapësirë ​​ku energjia potenciale e molekulës ka një vlerë; dendësia e molekulave në vendin ku energjia potenciale është 0.

Boltzmann vërtetoi se shpërndarja (*) është e vërtetë jo vetëm në rastin e një fushe potenciale të forcave gravitacionale, por edhe në çdo fushë potenciale të forcave për një grumbullim të çdo grimce identike në një gjendje të lëvizjes termike kaotike..

Kështu, Ligji i Boltzmann-it (*) jep shpërndarjen e grimcave në një gjendje të lëvizjes termike kaotike sipas vlerave potenciale të energjisë. (Fig. 8.11)

Oriz. 8.11

4. Shpërndarja Boltzmann në nivele diskrete të energjisë.

Shpërndarja e marrë nga Boltzmann vlen për rastet kur molekulat janë në një fushë të jashtme dhe energjia e tyre potenciale mund të aplikohet vazhdimisht. Boltzmann e përgjithësoi ligjin që mori në rastin e një shpërndarjeje në varësi të energjisë së brendshme të molekulës.

Dihet se vlera e energjisë së brendshme të një molekule (ose atomi) E mund të marrë vetëm një seri diskrete vlerash të lejuara. Në këtë rast, shpërndarja Boltzmann ka formën:

,

ku është numri i grimcave në një gjendje me energji;

Faktori i proporcionalitetit që plotëson kushtin

,

Ku Nështë numri i përgjithshëm i grimcave në sistemin në shqyrtim.

Pastaj dhe si rezultat, për rastin e vlerave diskrete të energjisë, shpërndarja Boltzmann

Por gjendja e sistemit në këtë rast është termodinamikisht jo ekuilibër.

5. Statistikat e Maxwell-Boltzmann

Shpërndarja e Maxwell dhe Boltzmann mund të kombinohet në një ligj Maxwell-Boltzmann, sipas të cilit numri i molekulave, komponentët e shpejtësisë së të cilave shtrihen në intervalin nga deri në , dhe koordinatat variojnë nga x, y, z përpara x+dx, y+dy, z+dz, e barabartë

Ku , dendësia e molekulave në hapësirën ku; ; ; energjia totale mekanike e një grimce.

Shpërndarja Maxwell-Boltzmann vendos shpërndarjen e molekulave të gazit mbi koordinatat dhe shpejtësitë në prani të një fushe të forcës potenciale arbitrare.

shënim: Shpërndarjet e Maxwell dhe Boltzmann janë komponentë të një shpërndarjeje të vetme të quajtur shpërndarja Gibbs (kjo çështje diskutohet në detaje në kurse të veçanta për fizikën statike, dhe ne do të kufizohemi vetëm në përmendjen e këtij fakti).

Pyetje për vetëkontroll.

1. Përcaktoni probabilitetin.

2. Cili është kuptimi i funksionit të shpërndarjes?

3. Cili është kuptimi i kushtit të normalizimit?

4. Shkruani një formulë për të përcaktuar vlerën mesatare të rezultateve të matjes së x duke përdorur funksionin e shpërndarjes.

5. Çfarë është shpërndarja Maxwell?

6. Çfarë është funksioni i shpërndarjes Maxwell? Cili është kuptimi i tij fizik?

7. Paraqitni një grafik të funksionit të shpërndarjes Maxwell dhe tregoni tiparet karakteristike të këtij funksioni.

8. Tregoni shpejtësinë më të mundshme në grafik. Merrni një shprehje për . Si ndryshon grafiku me rritjen e temperaturës?

9. Merrni formulën barometrike. Çfarë përcakton ajo?

10. Merrni varësinë e përqendrimit të molekulave të gazit në fushën e gravitetit nga lartësia.

11. Shkruani ligjin e shpërndarjes së Boltzmanit a) për molekulat e një gazi ideal në një fushë graviteti; b) për grimcat me masë m të vendosura në rotorin e një centrifuge që rrotullohet me një shpejtësi këndore.

12. Shpjegoni kuptimin fizik të shpërndarjes Maxwell-Boltzmann.

Leksioni nr.9

Gaze reale

1. Forcat e bashkëveprimit ndërmolekular në gaze. Ekuacioni Van der Waals. Izotermat e gazeve reale.

2. Gjendjet metastabile. Gjendje kritike.

3. Energjia e brendshme e gazit real.

4. Joule – Efekti Thomson. Lëngëzimi i gazeve dhe marrja e temperaturave të ulëta.

1. Forcat e bashkëveprimit ndërmolekular në gaze

Shumë gazra të vërtetë u binden ligjeve ideale të gazit në kushte normale. Ajri mund të merret parasysh ideale deri në presione ~ 10 atm. Kur presioni rritet devijimet nga idealiteti(devijimi nga gjendja e përshkruar nga ekuacioni Mendeleev - Clayperon) rritet dhe në p = 1000 atm arrijnë më shumë se 100%.

dhe tërheqje, A F - rezultati i tyre. Forcat repulsive merren parasysh pozitive, dhe forcat e tërheqjes reciproke janë negativ. Kurba cilësore përkatëse e varësisë së energjisë së bashkëveprimit të molekulave nga distanca r ndërmjet qendrave të molekulave është treguar në

oriz. 9.1b). Në distanca të shkurtra molekulat zmbrapsen, në distanca të mëdha ato tërheqin. Forcat shtytëse në rritje të shpejtë në distanca të shkurtra nënkuptojnë, përafërsisht, këtë molekulat duket se zënë një vëllim të caktuar përtej të cilit gazi nuk mund të kompresohet.

Kur merret parasysh ligji i shpërndarjes së Maxwell-it, supozohet se molekulat shpërndahen në mënyrë uniforme në të gjithë vëllimin e enës, gjë që është e vërtetë nëse vëllimi i enës është i vogël.

Për vëllime të mëdha, shpërndarja uniforme e molekulave në të gjithë vëllimin prishet për shkak të veprimit të gravitetit, si rezultat i të cilit densiteti, dhe për këtë arsye numri i molekulave për njësi vëllimi, do të jetë i pabarabartë.

Le të shqyrtojmë molekulat e gazit të vendosura në fushën gravitacionale të Tokës.

Le të zbulojmë varësinë e presionit atmosferik nga lartësia mbi sipërfaqen e Tokës. Le të supozojmë se në sipërfaqen e Tokës (h = 0) presioni atmosferik është P 0 . Në lartësinë h është e barabartë me P. Me një rritje në lartësi me dh, presioni do të ulet me dP:

dP = - ρgdh (9,49)

[ρ - dendësia e ajrit në një lartësi të caktuar, ρ = mn 0, ku m është masa e një molekule, n 0 është përqendrimi i molekulave].

Duke përdorur relacionin P = n 0 kT, marrim

Duke supozuar se në një lartësi të caktuar h T = konst, g = konst, duke ndarë variablat, ne integrojmë shprehjen (9.50):

,

marrim

(9.51) - formula barometrike.

Formula barometrike tregon varësinë e presionit të gazit nga lartësia mbi sipërfaqen e Tokës.

Nëse marrim parasysh se përqendrimi i molekulave të ajrit në atmosferë përcakton presionin, atëherë formula (9.51) mund të shkruhet në formën

(9.52)

Nga formula (9.52) rezulton se me uljen e temperaturës numri i grimcave në lartësi të ndryshme nga zero zvogëlohet dhe në T = 0K bëhet zero, pra në 0K të gjitha molekulat do të ndodheshin në sipërfaqen e tokës.

Meqenëse energjia potenciale e molekulave në lartësi të ndryshme është e ndryshme dhe në lartësi h përcaktohet nga formula ku E P = mgh, atëherë [shih.

(9.53)

- Ligji i Boltzmann-it , duke treguar shpërndarjen e molekulave të përfshira në lëvizjen termike në një fushë të forcës potenciale, veçanërisht në fushën e gravitetit.

Metodologjia për zgjidhjen e problemeve

Në problemat e këtij lloji përdoren vetitë e shpërndarjeve Maxwell dhe Boltzmann.

Shembulli 3.3. Përcaktoni shpejtësinë mesatare aritmetike<υ˃ молекул идеального газа, плотность которого при давлении 35 кПа составляет 0,3 кг/м 3 .

E dhënë: Р=35kPa=35∙10 3 Pa; ρ=0.3 kg/m3.

Gjej : <υ˃ .

Zgjidhja: Sipas ekuacionit bazë të teorisë kinetike molekulare të gazeve ideale,

, (1)

ku n është përqendrimi i molekulave; m 0 - masa e një molekule; <υ kv ˃ .- rrënja e shpejtësisë mesatare katrore të molekulave.

Duke marrë parasysh atë
, A
, marrim

Që nga dendësia e gazit

,

ku m është masa e gazit; V është vëllimi i tij; N është numri i molekulave të gazit, ekuacioni (1) mund të shkruhet si

ose
. Duke e zëvendësuar këtë shprehje në formulën (2), gjejmë shpejtësinë mesatare aritmetike të kërkuar:

Përgjigje: <υ˃=545 м/с.

Shembulli 3.5. Gjeni numrin relativ të gazit, shpejtësia e të cilit ndryshon jo më shumë se δη = 1% e shpejtësisë mesatare katrore të rrënjës.

E dhënë: δη = 1%.

Gjej :

Zgjidhje Në shpërndarjen Maxwell

zëvendësoni vlerën

; δυ = υ sq δη.

Numri relativ i molekulave do të jetë

Përgjigju :

Shembulli 3.6. Në cilën temperaturë të gazit do të jetë maksimal numri i molekulave me shpejtësi në një interval të caktuar υ, υ + dυ? Masa e secilës molekulë është m.

Për të gjetur temperaturën e dëshiruar, është e nevojshme të studiohet funksioni i shpërndarjes Maxwell për ekstremin
.

.

Shembulli 3.7. Llogaritni shpejtësinë katrore më të mundshme, mesatare dhe rrënjësore të molekulave të një gazi ideal, i cili në presion normal atmosferik ka një densitet ρ = 1 kg/m 3.

Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin në shprehjet radikale (3.4) me numrin N a të Avogadros, marrim formulat e mëposhtme për shpejtësinë:

.

Le të shkruajmë ekuacionin Mendeleev-Klapejron duke paraqitur densitetin

Nga këtu ne përcaktojmë sasinë dhe, duke e zëvendësuar atë në shprehjet që përcaktojnë shpejtësinë e molekulave, marrim:

Shembulli 3.4. Një gaz ideal me masë molare M është në një fushë gravitacionale uniforme, në të cilën nxitimi për shkak të gravitetit është g. Gjeni presionin e gazit në funksion të lartësisë h, nëse në h = 0 presioni P = P 0, dhe temperatura ndryshon me lartësinë si T = T 0 (1 - α h), ku α është një konstante pozitive.

Kur lartësia rritet me një sasi infiniteminale, presioni rritet dP = - ρgdh, ku ρ është dendësia e gazit. Shenja minus u shfaq sepse presioni zvogëlohej me rritjen e lartësisë.

Meqenëse konsiderohet një gaz ideal, dendësia ρ mund të gjendet nga ekuacioni Mendeleev-Clapeyron:

Le të zëvendësojmë vlerën e densitetit ρ dhe temperaturës T dhe duke ndarë variablat fitojmë:

Duke integruar këtë shprehje, gjejmë varësinë e presionit të gazit nga lartësia h:

Meqenëse në h = 0 P = P 0 marrim vlerën e konstantës së integrimit C = P 0 . Së fundi, funksioni Р(h) ka formën

Duhet të theksohet se, duke qenë se presioni është një sasi pozitive, formula që rezulton është e vlefshme për lartësitë
.

Shembull. Fizikani francez J. Perrin vuri re nën një mikroskop një ndryshim në përqendrimin e lëndës së pezulluar në ujë (ρ = 1g/cm 3 ) topa çamçakëz (ρ 1 =1.25g/cm 3 ) me një ndryshim në lartësi, përcaktoi eksperimentalisht konstantën e Avogadro-s. Përcaktoni këtë vlerë nëse temperatura e pezullimit është T = 298 K, rrezja e topave = 0,21 μm dhe nëse distanca midis dy shtresave është Δh=30 µm numri i topave të çamçakëzit në një shtresë është dy herë më i madh se në tjetrin.

E dhënë: ρ=1g/cm 3 =1000 kg/m 3 ; ρ=1,25 g/cm 3 =1250 kg/m 3 ; T=280 K;r=0,21µm=0,21∙10 -6 m; Δh=30µm=3∙10 -5 m;
.

Gjej : N A .

Zgjidhje. Formula barometrike

,

Duke përdorur ekuacionin e gjendjes P=nkT, mund t'i transformojmë lartësitë h 1 dhe h 2 në formën

Dhe
,

ku n 0, n 1 dhe n 2 janë, përkatësisht, përqendrimi i molekulave në lartësitë h 0, h 1 dhe h 2; M – masa molare; g-nxitimi gravitacional; R është konstanta e gazit molar.

. (1)

Duke marrë logaritmin e shprehjes (1), marrim

(2)

Masa e grimcave
; m=ρV=ρπr 3 . Duke i zëvendësuar këto formula në (2) dhe duke marrë parasysh korrigjimin për ligjin e Arkimedit, marrim

Nga vjen shprehja e dëshiruar për konstanten e Avogadros?

Përgjigje: N A =6,02∙10 23 mol -1.

Shembull. Sa është temperatura T e azotit nëse rruga mesatare e lirë<ℓ˃ молекул азота при давлении Р=8кПа составляет 1мкм. Эффективный диаметр молекул азота d=0,38 nm. .

E dhënë: <ℓ˃ =1мкм=1∙10 -6 м; Р=8кПа=8∙10 3 Па; d=0,38нм=0,38∙10 -9 м;

Gjej : T.

Zgjidhje. Sipas ekuacionit të gjendjes së gazit ideal

ku n është përqendrimi i molekulave; k është konstanta e Boltzmann-it.

,

ku
. Duke e zëvendësuar këtë formulë në shprehjen (1), gjejmë temperaturën e dëshiruar të azotit

Përgjigje: T=372 K.

Shembull. Në temperaturën T=280 K dhe presion të caktuar, gjatësia mesatare<ℓ 1 ˃ rruga e lirë e molekulave është 0,1 mikron. Përcaktoni mesatarenpërplasjet e molekulave në 1s, nëse presioni në enë zvogëlohet në 0.02 të presionit fillestar. Temperatura supozohet të jetë konstante dhe diametri efektiv i molekulës së oksigjenit supozohet të jetë 0,36 nm.

E dhënë: T=280 K;<ℓ 1 ˃ =0,1мкм=0,1∙10 -6 м; М=32∙10 -3 кг/моль;
; d=0,36nm=0,36∙10 -9 m;

Gjej : .

Zgjidhje. Mesatare . molekulë në rrugën e saj mesatare të lirë<ℓ 2 ˃. në të njëjtin presion:

, (1)

ku shpejtësia mesatare e molekulave përcaktohet nga formula

(2)

ku R është konstanta e gazit molar; M është masa molare e substancës.

Nga formulat
dhe P=nkT rrjedh se rruga mesatare e lirë e molekulave është në përpjesëtim të zhdrejtë me presionin:

,

ku
. Duke e zëvendësuar këtë shprehje në formulën (1) dhe duke marrë parasysh (2), marrim numrin mesatar të dëshiruar të përplasjeve të molekulave në 1s:

Përgjigje:

E dhënë: P=100μPa=10 -4 Pa; r =15cm=0,15 m; T=273 K; d=0,38nm=0,38∙10 -9 m.

Gjej :

Zgjidhje. Një vakum mund të konsiderohet i lartë nëse rruga mesatare e lirë e molekulave të gazit është shumë më e madhe se dimensionet lineare të enës, d.m.th. duhet të plotësohet kushti

˃˃ 2r

Rruga mesatare e lirë e molekulave të gazit

(marrë parasysh P=nkT).

Duke llogaritur, marrim =58,8 m, pra 58,8 m ˃˃0,3 m.

Përgjigje: po, vakuumi është i lartë.

SHPËRNDARJA BOLZMANN

Le të përdorim formulën barometrike që kemi marrë më parë:

dhe marrim varësinë e përqendrimit të molekulave nga lartësia. Sepse

DHE , Kjo

(9.17)

Nëse vizatojmë grafikët e varësisë në përputhje me (9.17) në temperatura të ndryshme, është e lehtë të shihet se me uljen e temperaturës, pjesa kryesore e molekulave ndodhet më afër sipërfaqes së Tokës. Në zero absolute, të gjitha molekulat do të ndodheshin në sipërfaqe. Përkundrazi, në temperatura të larta molekulat janë të vendosura pothuajse në mënyrë të barabartë.

Shpërndarja specifike e molekulave përcaktohet si rezultat i veprimit të faktorëve të kundërt: forca e tërheqjes i përqendron molekulat pranë sipërfaqes dhe lëvizja termike i shpërndan ato në të gjitha lartësitë.

Në numëruesin e eksponentit të eksponentit (9.17) ekziston në të vërtetë energjia e një molekule në fushën e gravitetit ε p . Prandaj (9.17) mund të shkruhet në formë

(9.18)

Boltzmann vërtetoi se shpërndarja (9.18) është e vlefshme për një koleksion të çdo grimce identike në lëvizje termike në çdo fushë të mundshme . Prandaj, shpërndarja (18) quhet Shpërndarja Boltzmann . Kjo shpërndarje mund të përfaqësohet si

(9.19)

ku është numri i molekulave që bien brenda vëllimit të vendosur në pikën me koordinata x, y, z.

Kjo shpërndarje mund të kombinohet me shpërndarjen Maxwell duke izoluar molekulat, komponentët e shpejtësisë së të cilave shtrihen në intervalin nga për nga për nga para:

(9.20)

shpeshherë energjia e grimcave mund të ketë vetëm vlera diskrete nga seria: . Në këtë rast Shpërndarja Boltzmann jep numrin e grimcave , të cilat janë në gjendje me energji dhe ka formën:

Ku – koeficienti i proporcionalitetit, i cili përcaktohet nga kushti i normalizimit. Në këtë rast gjendja e normalizimit vjen deri te kërkesa që shuma e grimcave në të gjitha gjendjet ishte e barabartë me numrin e përgjithshëm të grimcave në sistem :

Le të gjejmë vlerën e faktorit normalizues duke zëvendësuar (9.21) në (9.22):

(9.23)

Kështu, shpërndarja përfundimtare e Boltzmann për sistemet me vlera diskrete të lejuara të energjisë mund të shkruhet si:

(9.24)

PESHA STATISTIKORE

Koncepti " peshë statistikore"(përdoret edhe termi probabiliteti termodinamik) është një nga më kryesorët në fizikën statistikore. Për të formuluar përkufizimin e tij është e nevojshme që fillimisht të përcaktohen konceptet makroshteti Dhe mikroshtet.

E njëjta gjendje makroskopike trupi mund të karakterizohet në mënyra të ndryshme. Nëse shteti karakterizohet nga detyra makroskopike parametrat e gjendjes (presioni, vëllimi, temperatura, dendësia etj.) atëherë do ta quajmë gjendje të tillë makroshteti .

Nëse një gjendje karakterizohet nga specifikimi i koordinatave dhe shpejtësive të të gjitha molekulave të trupit, atëherë një gjendje e tillë do të quhet mikroshtet .

Është e qartë se i njëjti makrostate mund të realizohet në mënyra të ndryshme, domethënë nga mikrostate të ndryshme. Numri i mikrogjendjeve të ndryshme me të cilat mund të realizohet një makrostate e caktuar quhet pesha statistikore ose probabiliteti termodinamik .

Për të sqaruar këto koncepte, merrni parasysh model(!) - një enë në të cilën ndodhen N molekulat. Supozoni se anija është e ndarë në dy pjesë identike dhe makrostate të ndryshme ndryshojnë në numrin e molekulave në gjysmën e majtë dhe të djathtë të enës. Kjo është arsyeja pse brenda modelit supozojmë gjendja e molekulës jepet nëse dihet se në cilën gjysmë të enës ndodhet.

Mikrostate të ndryshme ndryshojnë në atë që molekulat janë djathtas dhe majtas. 1.2 – 3.4 (siç tregohet në figurën 9.5) është një nga gjendjet. 1.3 - 2.4 - një tjetër mikrogjendje.

Secila prej molekulave mund të jetë me probabilitet të barabartë në të majtë dhe në të djathtë. Prandaj probabiliteti i -ajo molekulë e vendosur, për shembull, në të djathtë është e barabartë me ½. Shfaqja e asaj molekule në anën e majtë të enës së bashku me ai është ngjarje statistikisht e pavarur , kështu që probabiliteti për të gjetur dy molekula në të majtë është ½ ½ = ¼; tre molekula - 1/8; katër – 1/16, etj. Prandaj, probabiliteti i ndonjë rregullimi (mikrostate) të molekulave është i barabartë me .

Deklarata se, probabilitetet e secilës prej mikrogjendjeve të tyre janë të barabarta, të quajtura hipoteza ergodike , dhe qëndron në bazën e fizikës statistikore.

Le të shqyrtojmë N = 4. Secila prej rregullimeve të molekulave në gjysmat e enës është një mikrogjendje specifike. Pastaj makrostati me numrin e molekulave në të majtë korrespondon me 1 mikrostate. Pesha statistikore e një makroshteti të tillë është 1, dhe probabiliteti i zbatimit të tij është 1/16. Për makro-shtetet e tjera, mund të thuhet si më poshtë:

Korrespondon me 6 mikrostate, pesha statistikore 6, 6/16

Korrespondon me 4 mikrostate pesha statistikore 4, 4/16

Korrespondon me 1 peshë statistikore mikrostatistike 1, 1/16

Tani mund ta shihni atë për shkak të pranimit të hipotezës ergodike, pesha statistikore rezulton të jetë proporcionale me probabilitetin (i rregullt!) zbatimi i një makroshteti të caktuar.

Nëse ena përmban N molekulave, atëherë mund të vërtetohet se pesha e gjendjes së makrostatit është ajo në të majtë n molekulat, dhe në të djathtë (N–n)

(9.25)

Nëse për katër molekula probabiliteti i grumbullimit në njërën nga gjysmat e enës është 1/16, domethënë një vlerë mjaft e dukshme, atëherë për N = 24 ky probabilitet është i rendit të .

Në kushte normale, 4 cm 3 ajër përmban rreth 10 20 molekula. Probabiliteti i grumbullimit të tyre në një nga pjesët e enës vlerësohet në .

Kështu, me rritjen e numrit molekulat në sistem, probabiliteti i devijimeve të konsiderueshme nga barazia e përafërt e numrit të molekulave në pjesët e enës zvogëlohet shumë shpejt. Kjo korrespondon me faktin se pesha shtetërore e gjendjeve me numër afërsisht të barabartë molekulash në gjysma rezulton të jetë shumë e madhe dhe shpejt zvogëlohet ndërsa devijojmë nga barazia e molekulave në pjesë.

Nëse numri N nuk është shumë i madh, atëherë me kalimin e kohës ka devijime të dukshme në numrin e molekulave në gjysmën e N/2 . Devijimet e rastësishme të një sasie fizike nga vlera mesatare e saj quhen luhatjet:

. (9.26)

Mesatarja aritmetike e luhatjes absolute barazohet me zero. Prandaj, shpesh merren parasysh karakteristikat e luhatjeve luhatje mesatare katrore :

Më i përshtatshëm dhe tregues është luhatje relative :

Për më tepër, në fizikën statistikore vërtetohet lidhja e mëposhtme:

, (9.28)

ato. madhësia e luhatjes relative është në përpjesëtim të zhdrejtë me rrënjën e numrit të grimcave në sistem . Kjo deklaratë konfirmon gjetjen tonë cilësore.

Ngjashëm me numrin e molekulave në njërën nga gjysmat e enës, karakteristikat e tjera makroskopike të gjendjes - presioni, dendësia etj. - luhaten pranë vlerave mesatare.

Merrni parasysh natyrën gjendjet e ekuilibrit dhe joekuilibrit dhe proceset nga pikëpamja e fizikës statistikore. Ekuilibri, sipas definicionit, është një gjendje që nuk priret të ndryshojë me kalimin e kohës. Është e qartë se më e mundshme nga të gjitha makrostatet e sistemit do ta ketë këtë veti në masën më të madhe, pra gjendja e realizuar nga numri më i madh i mikroshteteve, dhe për rrjedhojë ka peshën më të madhe statistikore. Kjo është arsyeja pse gjendje ekuilibri mund të përkufizohet si një gjendje pesha e statusit të të cilit është maksimale .

Një shembull i një procesi tipik të pakthyeshëm është përhapja e molekulave të gazit, të përqendruara fillimisht në njërën nga gjysmat e tij, në të gjithë vëllimin e një ene. Ky proces është i pakthyeshëm, pasi probabiliteti që, si rezultat i lëvizjes termike, të gjitha molekulat të mblidhen në njërën nga gjysmat e enës është shumë i vogël. Prandaj, gjithmonë procesi është i pakthyeshëm, e kundërta e së cilës është jashtëzakonisht e pamundur .

LEKTURA Nr.10 FIZIKA STATIKE DHE TERMODINAMIKA

10.1. ENTROPIA

Siç kemi përcaktuar, probabiliteti i gjendjes së një sistemi është në përpjesëtim me peshën e tij statike, kështu që vetë pesha statike W mund të përdoret si një karakteristikë e probabilitetit të gjendjes, megjithatë, W nuk është një sasi shtesë. Prandaj, për të karakterizuar gjendjen e sistemit, përdorni sasinë

që quhet entropia sistemeve. Në të vërtetë, nëse marrim parasysh dy sisteme me nga 4 molekula secila, atëherë pesha statistikore e gjendjes kur secili nga nënsistemet përmban, për shembull, një molekulë në të majtë do të jetë e barabartë me 16, d.m.th. . Ky raport është i vlefshëm për çdo kusht. Prandaj, pesha e shtetit nuk është shtesë. Ne te njejten kohe entropia gjendja e sistemit që rezulton ato. është një sasi shtesë.

Meqenëse gjatë proceseve të pakthyeshme në një sistem të izoluar ai kalon nga gjendjet më pak të mundshme në ato më të mundshme, mund të argumentohet se entropia e një sistemi të izoluar rritet kur në të ndodhin procese të pakthyeshme .

Gjendja e ekuilibrit është gjendja më e mundshme, që do të thotë entropia e sistemit që ka kaluar në gjendje ekuilibri është maksimale.

Prandaj, mund të argumentohet se entropia e një sistemi të izoluar mbetet konstante nëse ai është në një gjendje ekuilibri, ose rritet nëse ndodhin procese të pakthyeshme në të.

Deklarata se entropia e një sistemi të izoluar nuk zvogëlohet, i quajtur ligji i dytë i termodinamikës ose ligji i entropisë në rritje .

Entropia është, padyshim, funksioni shtetëror dhe duhet të përcaktohet nga parametrat e gjendjes. Një gaz ideal monatomik ka vetitë më të thjeshta - gjendja e tij përcaktohet plotësisht duke specifikuar dy parametra, për shembull, temperaturën dhe vëllimin. Prandaj, entropia e saj mund të përkufizohet si funksion i temperaturës dhe vëllimit: . Llogaritjet përkatëse tregojnë se entropia e një mol të një gazi ideal jepet nga

ku është një konstante e caktuar, me saktësinë me të cilën përcaktohet entropia.

Formula barometrike. Le të shqyrtojmë një gaz në ekuilibër në një fushë graviteti. Në këtë rast, shuma e forcave që veprojnë në secilin element të vëllimit të gazit është zero. Le të izolojmë një vëllim të vogël gazi në një lartësi h(Fig. 2.7) dhe merrni parasysh forcat që veprojnë në të:

Vëllimi i zgjedhur i nënshtrohet forcës së presionit të gazit nga poshtë, forcës së presionit të gazit nga lart dhe forcës së gravitetit. Pastaj bilanci i forcave do të shkruhet në formë

Ku dm– masa e vëllimit të caktuar. Për këtë vëllim mund të shkruajmë ekuacionin Mendeleev-Klapeyron

Duke shprehur madhësinë dm, mund të marrim ekuacionin

.

Duke ndarë variablat, marrim

.

Le të integrojmë ekuacionin që rezulton, duke marrë parasysh që temperatura është konstante,

.

Le të jetë presioni në sipërfaqe p 0, atëherë ekuacioni që rezulton mund të shndërrohet lehtësisht në formë

. (2.24)

Formula që rezulton quhet barometrike dhe përshkruan mjaft mirë shpërndarjen e presionit mbi lartësinë në atmosferën e Tokës dhe planetëve të tjerë. Është e rëndësishme të mbani mend se kjo formulë është nxjerrë nga supozimi i ekuilibrit të gazit, me madhësinë g Dhe T konsideroheshin konstante, gjë që, natyrisht, nuk është gjithmonë e vërtetë për atmosferën reale.

Shpërndarja Boltzmann. Le të shkruajmë formulën barometrike (2.24) në termat e përqendrimit të grimcave, duke përfituar nga fakti që p = nkT:

, (2.25)

Ku m 0- masa e një molekule gazi.

I njëjti përfundim mund të nxirret për çdo forcë potenciale (jo domosdoshmërisht për gravitetin). Nga formula (2.25) është e qartë se numëruesi i eksponentit përmban energjinë potenciale të një molekule në një fushë potenciale. Pastaj formula (2.25) mund të shkruhet në formë

. (2.26)

Në këtë formë, kjo formulë është e përshtatshme për të gjetur përqendrimin e molekulave që janë në ekuilibër në një fushë të çdo force potenciale.

Le të gjejmë numrin e grimcave të gazit, koordinatat e të cilave janë në një element vëllimor dV = dxdydz

.

Numri i përgjithshëm i grimcave në sistem mund të shkruhet si

.

Këtu integrali shkruhet formalisht në të gjithë hapësirën, por duhet të kemi parasysh se vëllimi i sistemit është i kufizuar, gjë që do të çojë në faktin se integrimi do të kryhet në të gjithë vëllimin e sistemit. Pastaj qëndrimi

do të japë saktësisht probabilitetin që një grimcë të bjerë në një element vëllimor dV. Pastaj për këtë probabilitet shkruajmë

,

ku madhësia e energjisë potenciale të molekulës, në përgjithësi, do të varet nga të tre koordinatat. Duke përdorur përkufizimin e funksionit të shpërndarjes, ne mund të shkruajmë funksionin e shpërndarjes së molekulave përgjatë koordinatave në formën e mëposhtme:

. (2.27)

Ky është funksioni i shpërndarjes së Boltzmann-it mbi koordinatat e grimcave (ose mbi energjitë potenciale, duke pasur parasysh se energjia potenciale varet nga koordinatat). Është e lehtë të tregohet se funksioni që rezulton është normalizuar në unitet.

Marrëdhënia midis shpërndarjeve Maxwell dhe Boltzmann. Shpërndarjet Maxwell dhe Boltzmann janë përbërës të shpërndarjes Gibbs. Temperatura përcaktohet nga energjia mesatare kinetike. Prandaj shtrohet pyetja pse në një fushë potenciale temperatura është konstante, megjithëse sipas ligjit të ruajtjes së energjisë, kur energjia potenciale e grimcave ndryshon, duhet të ndryshojë edhe energjia e tyre kinetike, dhe për këtë arsye, siç duket në pamje të parë, temperaturën e tyre. Me fjalë të tjera, pse, në një fushë gravitacionale, kur grimcat lëvizin lart, energjia kinetike e të gjithave ulet, por temperatura mbetet konstante, d.m.th. energjia mesatare kinetike e tyre mbetet konstante, dhe kur grimcat lëvizin poshtë, energjia e të gjitha grimcave rritet dhe energjia mesatare mbetet konstante?

Kjo shpjegohet me faktin se kur ngrihen nga rrjedha e grimcave, ato më të ngadalshmet bien, d.m.th. "me i ftohti". Prandaj, llogaritja e energjisë kryhet duke përdorur një numër më të vogël grimcash, të cilat ishin mesatarisht "më të nxehta" në lartësinë fillestare. Me fjalë të tjera, nëse një numër i caktuar grimcash arrijnë në një lartësi nga lartësia zero, atëherë energjia mesatare e tyre në lartësi është e barabartë me energjinë mesatare të të gjitha grimcave në lartësinë zero, disa prej të cilave nuk ishin në gjendje të arrinin lartësinë për shkak të kinetikës së ulët. energji. Sidoqoftë, nëse në lartësinë zero llogarisim energjinë mesatare të grimcave që kanë arritur lartësinë, atëherë ajo është më e madhe se energjia mesatare e të gjitha grimcave në lartësinë zero. Prandaj, mund të themi se energjia mesatare e grimcave në lartësi në të vërtetë u ul dhe në këtë kuptim ato "ftoheshin" gjatë ngjitjes. Megjithatë, energjia mesatare e të gjitha grimcave në lartësi dhe lartësi zero është e njëjtë, d.m.th. dhe temperatura është e njëjtë. Nga ana tjetër, ulja e densitetit të grimcave me lartësi është gjithashtu pasojë e largimit të grimcave nga rrjedha.

Prandaj, ligji i ruajtjes së energjisë kur grimcat ngrihen në një lartësi çon në një ulje të energjive të tyre kinetike dhe eliminimin e grimcave nga rrjedha. Për shkak të kësaj, nga njëra anë, dendësia e grimcave zvogëlohet me lartësinë, dhe nga ana tjetër, energjia mesatare kinetike e tyre ruhet, pavarësisht se energjia kinetike e secilës grimcë zvogëlohet. Kjo mund të konfirmohet nga llogaritja e drejtpërdrejtë, e cila rekomandohet të bëhet si ushtrim.

Atmosfera e planetëve. Energjia potenciale e një grimce me masë në fushën gravitacionale të një trupi qiellor sferik është e barabartë me

, (2.28)

ku është pesha e trupit; – distanca nga qendra e trupit deri te grimca; – konstante gravitacionale. Atmosfera e planetëve, përfshirë Tokën, nuk është në një gjendje ekuilibri. Për shembull, për shkak të faktit se atmosfera e Tokës është në një gjendje jo ekuilibër, temperatura e saj nuk është konstante, siç duhet, por ndryshon me lartësinë (ulet me rritjen e lartësisë). Le të tregojmë se gjendja e ekuilibrit të atmosferës së planetit është në parim e pamundur. Nëse do të ishte e mundur, atëherë dendësia e atmosferës duhet të ndryshojë me lartësinë sipas formulës (2.26), e cila merr formën

(2.29)

ku shprehja (2.28) për energjinë potenciale merret parasysh, është rrezja e planetit. Formula (2.29) tregon se kur dendësia tenton në një kufi të fundëm

(2.30)

Kjo do të thotë se nëse ka një numër të kufizuar molekulash në atmosferë, atëherë ato duhet të shpërndahen në të gjithë hapësirën e pafundme, d.m.th. atmosfera është difuze.

Meqenëse, në fund të fundit, të gjitha sistemet priren në një gjendje ekuilibri, atmosfera e planetëve gradualisht shpërndahet. Disa trupa qiellorë, si Hëna, kanë humbur plotësisht atmosferën e tyre, ndërsa të tjerët, si Marsi, kanë një atmosferë shumë të hollë. Kështu, atmosfera e Hënës ka arritur një gjendje ekuilibri, dhe atmosfera e Marsit është tashmë afër arritjes së një gjendje ekuilibri. Venusi ka një atmosferë shumë të dendur dhe, për këtë arsye, është në fillim të rrugës së saj drejt një gjendje ekuilibri.

Për të shqyrtuar në mënyrë sasiore çështjen e humbjes së atmosferës nga planetët, është e nevojshme të merret parasysh shpërndarja e shpejtësisë së molekulave. Forca e gravitetit mund të kapërcehet vetëm nga molekulat, shpejtësia e të cilave tejkalon shpejtësinë e dytë kozmike. Këto molekula janë në bishtin e shpërndarjes Maxwell dhe numri i tyre relativ është i parëndësishëm. Megjithatë, gjatë periudhave të konsiderueshme kohore, humbja e molekulave është e ndjeshme. Meqenëse shpejtësia e dytë e ikjes për planetët e rëndë është më e madhe se për ato të lehta, intensiteti i humbjes atmosferike për trupat qiellorë masivë është më i vogël se për ato të lehta, d.m.th. Planetët më të lehtë humbasin atmosferën e tyre më shpejt se ato të rënda. Koha që duhet për të humbur atmosferën varet edhe nga rrezja e planetit, përbërja e atmosferës etj. Një analizë e plotë sasiore e kësaj çështjeje është sfiduese.

Verifikimi eksperimental i shpërndarjes Boltzmann. Gjatë nxjerrjes së shpërndarjes Boltzmann, nuk u vendosën kufizime në masën e grimcave. Prandaj, në parim, është gjithashtu i zbatueshëm për grimcat e rënda. Le të marrim, për shembull, kokrra rëre si këto grimca. Është e qartë se ato do të vendosen në një shtresë të caktuar pranë anijes. Në mënyrë të rreptë, kjo është pasojë e shpërndarjes Boltzmann. Për masat e mëdha të grimcave, eksponenti ndryshon aq shpejt me lartësinë sa është i barabartë me zero kudo jashtë shtresës së rërës. Për sa i përket hapësirës brenda shtresës, duhet të merret parasysh vëllimi i kokrrave të rërës. Kjo do të reduktohet në një problem thjesht mekanik të energjisë minimale potenciale për lidhjet e dhëna. Problemet e këtij lloji konsiderohen jo në fizikën statistikore, por në mekanikë.

Në mënyrë që grimcat e rënda të mos "vendosen në fund" dhe të shpërndahen në një shtresë mjaft të madhe në një lartësi, është e nevojshme që energjia e tyre potenciale të jetë mjaft e ulët. Kjo mund të arrihet duke vendosur grimcat në një lëng, dendësia e të cilit është vetëm pak më e vogël se dendësia e materialit të grimcave. Duke treguar dendësinë dhe vëllimin e grimcave dhe , dhe dendësinë e lëngut – , shohim se forca që vepron në grimcë është e barabartë me . Rrjedhimisht, energjia potenciale e një grimce të tillë në një lartësi nga fundi i enës është e barabartë me

(2.31)

Prandaj, shpërndarja e përqendrimeve të këtyre grimcave mbi lartësi jepet me formulë

Që efekti të jetë qartësisht i dukshëm, grimcat duhet të jenë mjaft të vogla. Numri i grimcave të tilla në lartësi të ndryshme në enë llogaritet duke përdorur një mikroskop. Eksperimentet e këtij lloji u kryen për herë të parë që në vitin 1906 nga Zh.B. Perren (1870-1942).

Pasi të keni kryer matjet, para së gjithash mund të siguroheni nëse përqendrimi i grimcave ndryshon vërtet sipas një ligji eksponencial. Perrin vërtetoi se ky është me të vërtetë rasti, dhe për këtë arsye shpërndarja Boltzmann është e vlefshme. Më tej, bazuar në drejtësinë e shpërndarjes dhe matjen e vëllimeve dhe densitetit të grimcave duke përdorur metoda të pavarura, është e mundur të gjendet vlera e konstantës së Boltzmann bazuar në rezultatet eksperimentale, pasi të gjitha sasitë e tjera në (2.32) janë të njohura.

Në këtë mënyrë Perrin mati dhe mori një rezultat shumë të afërt me atë modern. Në një mënyrë tjetër të pavarur, vlera u mor nga Perrin nga eksperimentet me lëvizjen Brownian.

Më pas, u kryen edhe eksperimente të një lloji tjetër, të cilat konfirmuan plotësisht shpërndarjen Boltzmann. Nga eksperimentet e një lloji tjetër, mund të vihet në dukje, për shembull, verifikimi i varësisë së polarizimit të dielektrikëve polare nga temperatura, të diskutuar më sipër.

Shembulli 2.2. Perrin përdori shpërndarjen e kokrrave të çamçakëzit në ujë për të matur konstantën e Avogadro-s. Dendësia e grimcave të çamçakëzit ishte r = 1,21×10 3 kg/m 3, vëllimi i tyre t = 1,03 × 10 -19 m 3. Temperatura në të cilën u krye eksperimenti ishte . Gjeni lartësinë në të cilën dendësia e shpërndarjes së kokrrave të gummigulës është ulur përgjysmë.

Duke marrë parasysh se, sipas kushteve të problemës, t(r - r 0) = 0,22×10 -16 kg, marrim në bazë të formulës (2,32) h = kT ln2/ = 12,3×10 -6 m.

Shembulli 2.3. Grimcat sferike me rreze 10 -7 m janë pezull në ajër në temperaturë dhe presion Pa. Gjeni masën e grimcës së pezulluar.

Duke përdorur formulën (2.32) gjejmë t(r - r 0) = kT ln2/ gh= 1,06×10 -23 kg.

Duke marrë parasysh se t = 4,19×10 -21 m 3, gjejmë (r - r 0) = 2,53×10 -3 kg/m 3. Meqenëse r 0 = 1,293 kg/m 3, marrim r = 1,296 kg/m 3 dhe, rrjedhimisht, masën e grimcës