Mësim dhe prezantim me temën: "Rendet e numrave. Progresioni gjeometrik"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Ndihma edukative dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 9
Fuqitë dhe rrënjët Funksionet dhe grafikët

Djema, sot do të njihemi me një lloj tjetër përparimi.
Tema e mësimit të sotëm është përparimi gjeometrik.

Progresioni gjeometrik

Shembull. 1,2,4,8,16... Një progresion gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me një, dhe $q=2$.

Shembull. 8,8,8,8... Një progresion gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me tetë,
dhe $q=1$.

Shembull. 3,-3,3,-3,3... Progresioni gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me tre,
dhe $q=-1$.

Progresioni gjeometrik ka vetitë e monotonisë.
Nëse $b_(1)>0$, $q>1$,
atëherë sekuenca po rritet.
Nëse $b_(1)>0$, $0 Sekuenca zakonisht shënohet në formën: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Ashtu si në një progresion aritmetik, nëse në një progresion gjeometrik numri i elementeve është i fundëm, atëherë progresioni quhet progresion i fundëm gjeometrik.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Vini re se nëse një sekuencë është një progresion gjeometrik, atëherë sekuenca e katrorëve të termave është gjithashtu një progresion gjeometrik. Në sekuencën e dytë, termi i parë është i barabartë me $b_(1)^2$, dhe emëruesi është i barabartë me $q^2$.

Formula për termin e n-të të një progresion gjeometrik

Le të kthehemi te shembujt tanë.

Shembull. 1,2,4,8,16... Progresioni gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me një,
dhe $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Shembull. 16,8,4,2,1,1/2… Një progresion gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me gjashtëmbëdhjetë, dhe $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Shembull. 8,8,8,8... Një progresion gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me tetë, dhe $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Shembull. 3,-3,3,-3,3... Një progresion gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me tre, dhe $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Shembull. Jepet një progresion gjeometrik $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Dihet se $b_(1)=6, q=3$. Gjeni $b_(5)$.
b) Dihet se $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Gjeni n.
c) Dihet se $q=-2, b_(6)=96$. Gjeni $b_(1)$.
d) Dihet se $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Gjeni q.

Zgjidhje.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, meqë $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Shembull. Diferenca midis termave të shtatë dhe të pestë të progresionit gjeometrik është 192, shuma e termave të pestë dhe të gjashtë të progresionit është 192. Gjeni termin e dhjetë të këtij progresioni.

Zgjidhje.
Ne e dimë se: $b_(7)-b_(5)=192$ dhe $b_(5)+b_(6)=192$.
Ne gjithashtu dimë: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Pastaj:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Ne morëm një sistem ekuacionesh:
$\fille(rastet)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\fund(rastet)$.
Duke barazuar ekuacionet tona marrim:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Morëm dy zgjidhje q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Zëvendësoni në mënyrë sekuenciale në ekuacionin e dytë:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nuk ka zgjidhje.
Ne morëm atë: $b_(1)=4, q=2$.
Le të gjejmë termin e dhjetë: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Shuma e një progresion të fundëm gjeometrik

Le të jepet një progresion i kufizuar gjeometrik: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Le të prezantojmë emërtimin për shumën e termave të tij: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Në rastin kur $q=1$. Të gjithë termat e progresionit gjeometrik janë të barabartë me termin e parë, atëherë është e qartë se $S_(n)=n*b_(1)$.
Le të shqyrtojmë tani rastin $q≠1$.
Le të shumëzojmë shumën e mësipërme me q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Shënim:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Ne kemi marrë formulën për shumën e një progresion gjeometrik të fundëm.

Zgjidhje.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Shembull.
Gjeni termin e pestë të progresionit gjeometrik që njihet: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Zgjidhje.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095$(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$ q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Vetia karakteristike e progresionit gjeometrik

Një sekuencë numrash është një progresion gjeometrik vetëm kur katrori i secilit anëtar është i barabartë me produktin e dy anëtarëve ngjitur të progresionit. Mos harroni se për një progresion të fundëm ky kusht nuk plotësohet për termat e parë dhe të fundit.

Moduli i çdo termi të një progresioni gjeometrik është i barabartë me mesataren gjeometrike të dy termave fqinjë të tij.

Zgjidhje.
Le të përdorim vetinë karakteristike:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ dhe $x_(2)=-1$.
Le t'i zëvendësojmë në mënyrë sekuenciale zgjidhjet tona në shprehjen origjinale:
Me $x=2$, kemi marrë sekuencën: 4;6;9 – një progresion gjeometrik me $q=1,5$.
Për $x=-1$, marrim sekuencën: 1;0;0.
Përgjigje: $x=2.$

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

Progresioni gjeometrik jo më pak e rëndësishme në matematikë në krahasim me aritmetikën. Një progresion gjeometrik është një sekuencë numrash b1, b2,..., b[n], secili term i ardhshëm i të cilit fitohet duke shumëzuar atë të mëparshëm me një numër konstant. Ky numër, i cili gjithashtu karakterizon shkallën e rritjes ose uljes së progresionit, quhet emëruesi i progresionit gjeometrik dhe shënojnë

Për të specifikuar plotësisht një progresion gjeometrik, përveç emëruesit, është e nevojshme të njihet ose të përcaktohet termi i parë i tij. Për një vlerë pozitive të emëruesit, progresioni është një sekuencë monotone, dhe nëse kjo sekuencë numrash është monotonike në rënie dhe nëse është monotonike në rritje. Rasti kur emëruesi është i barabartë me një nuk merret parasysh në praktikë, pasi kemi një sekuencë numrash identikë dhe mbledhja e tyre nuk është me interes praktik.

Termi i përgjithshëm i progresionit gjeometrik llogaritur me formulë

Shuma e n termave të parë të një progresion gjeometrik përcaktohet nga formula

Le të shohim zgjidhjet e problemeve klasike të progresionit gjeometrik. Le të fillojmë me ato më të thjeshtat për t'u kuptuar.

Shembulli 1. Termi i parë i një progresion gjeometrik është 27, dhe emëruesi i tij është 1/3. Gjeni gjashtë termat e parë të progresionit gjeometrik.

Zgjidhja: Le të shkruajmë kushtin problemor në formë

Për llogaritjet ne përdorim formulën për termin e n-të të një progresion gjeometrik

Bazuar në të, gjejmë termat e panjohur të progresionit

Siç mund ta shihni, llogaritja e kushteve të një progresion gjeometrik nuk është e vështirë. Vetë progresioni do të duket kështu

Shembulli 2. Janë dhënë tre termat e parë të progresionit gjeometrik: 6; -12; 24. Gjeni emëruesin dhe anëtarin e shtatë të tij.

Zgjidhje: Emëruesin e progresionit gjeomitrik e llogarisim në bazë të përcaktimit të tij

Ne kemi marrë një progresion gjeometrik të alternuar, emëruesi i të cilit është i barabartë me -2. Termi i shtatë llogaritet duke përdorur formulën

Kjo e zgjidh problemin.

Shembulli 3. Një progresion gjeometrik jepet me dy nga termat e tij . Gjeni termin e dhjetë të progresionit.

Zgjidhja:

Le të shkruajmë vlerat e dhëna duke përdorur formula

Sipas rregullave, do të na duhej të gjejmë emëruesin dhe më pas të kërkojmë vlerën e dëshiruar, por për termin e dhjetë kemi

E njëjta formulë mund të merret bazuar në manipulime të thjeshta me të dhënat hyrëse. Ndani termin e gjashtë të serisë me një tjetër, dhe si rezultat marrim

Nëse vlera që rezulton shumëzohet me termin e gjashtë, marrim të dhjetën

Kështu, për probleme të tilla, duke përdorur transformime të thjeshta në mënyrë të shpejtë, mund të gjeni zgjidhjen e duhur.

Shembulli 4. Progresioni gjeometrik jepet me formula rekurente

Gjeni emëruesin e progresionit gjeometrik dhe shumën e gjashtë anëtarëve të parë.

Zgjidhja:

Të dhënat e dhëna le t'i shkruajmë në formën e një sistemi ekuacionesh

Shprehni emëruesin duke pjesëtuar ekuacionin e dytë me të parin

Le të gjejmë termin e parë të progresionit nga ekuacioni i parë

Le të llogarisim pesë termat e mëposhtëm për të gjetur shumën e progresionit gjeometrik

Niveli i parë

Progresioni gjeometrik. Udhëzues gjithëpërfshirës me shembuj (2019)

Sekuenca e numrave

Pra, le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:

Ju mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa më shumë prej tyre që dëshironi (në rastin tonë, ka ato). Sado numra të shkruajmë, gjithmonë mund të themi se cili është i pari, cili është i dyti, e kështu me radhë deri në të fundit, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash:

Sekuenca e numraveështë një grup numrash, secilit prej të cilëve mund t'i caktohet një numër unik.

Për shembull, për sekuencën tonë:

Numri i caktuar është specifik për vetëm një numër në sekuencë. Me fjalë të tjera, nuk ka tre numra të dytë në sekuencë. Numri i dytë (si numri i th) është gjithmonë i njëjtë.

Numri me numër quhet anëtari i n-të i sekuencës.

Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën me ndonjë shkronjë (për shembull,), dhe çdo anëtar i kësaj sekuence është e njëjta shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .

Në rastin tonë:

Llojet më të zakonshme të progresionit janë aritmetik dhe gjeometrik. Në këtë temë do të flasim për llojin e dytë - progresion gjeometrik.

Pse nevojitet progresioni gjeometrik dhe historia e tij?

Edhe në kohët e lashta, murgu matematikan italian Leonardo i Pizës (i njohur më mirë si Fibonacci) merrej me nevojat praktike të tregtisë. Murgu u përball me detyrën për të përcaktuar se cili është numri më i vogël i peshave që mund të përdoren për të peshuar një produkt? Në veprat e tij, Fibonacci vërteton se një sistem i tillë peshash është optimal: Kjo është një nga situatat e para në të cilat njerëzit duhej të përballeshin me një progresion gjeometrik, për të cilin ndoshta keni dëgjuar tashmë dhe keni të paktën një kuptim të përgjithshëm. Pasi ta kuptoni plotësisht temën, mendoni pse një sistem i tillë është optimal?

Aktualisht, në praktikën jetësore, përparimi gjeometrik manifestohet kur investoni para në një bankë, kur shuma e interesit përllogaritet në shumën e akumuluar në llogari për periudhën e mëparshme. Me fjalë të tjera, nëse vendosni para në një depozitë me afat në një bankë kursimi, atëherë pas një viti depozita do të rritet me shumën origjinale, d.m.th. shuma e re do të jetë e barabartë me kontributin e shumëzuar me. Në një vit tjetër, kjo shumë do të rritet me, d.m.th. shuma e fituar në atë kohë përsëri do të shumëzohet me e kështu me radhë. Një situatë e ngjashme përshkruhet në problemet e llogaritjes së të ashtuquajturit interesi i përbërë- përqindja merret çdo herë nga shuma që është në llogari, duke marrë parasysh interesat e mëparshme. Ne do të flasim për këto detyra pak më vonë.

Ka shumë raste më të thjeshta ku aplikohet progresion gjeometrik. Për shembull, përhapja e gripit: një person infektoi një person tjetër, ata, nga ana tjetër, infektuan një person tjetër, dhe kështu vala e dytë e infeksionit është një person, dhe ata, nga ana tjetër, infektuan një tjetër... e kështu me radhë. .

Nga rruga, një piramidë financiare, e njëjta MMM, është një llogaritje e thjeshtë dhe e thatë e bazuar në vetitë e një progresion gjeometrik. Interesante? Le ta kuptojmë.

Progresioni gjeometrik.

Le të themi se kemi një sekuencë numrash:

Do të përgjigjeni menjëherë se kjo është e lehtë dhe emri i një sekuence të tillë është një progresion aritmetik me ndryshimin e termave të tij. Si thoni per kete:

Nëse zbrisni atë të mëparshëm nga numri tjetër, do të shihni se çdo herë që merrni një ndryshim të ri (dhe kështu me radhë), por sekuenca ekziston patjetër dhe është e lehtë për t'u vërejtur - çdo numër pasues është herë më i madh se ai i mëparshmi!

Ky lloj sekuence numrash quhet progresion gjeometrik dhe është caktuar.

Progresioni gjeometrik () është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është i ndryshëm nga zero, dhe çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.

Kufizimet që termi i parë ( ) nuk është i barabartë dhe nuk janë të rastësishëm. Le të supozojmë se nuk ka asnjë, dhe termi i parë është ende i barabartë, dhe q është i barabartë me, hmm.. le të jetë, atëherë rezulton:

Pajtohu që ky nuk është më një përparim.

Siç e kuptoni, do të marrim të njëjtat rezultate nëse ka ndonjë numër tjetër përveç zeros, a. Në këto raste, thjesht nuk do të ketë përparim, pasi e gjithë seria e numrave do të jetë ose të gjitha zero, ose një numër, dhe të gjitha të tjerat do të jenë zero.

Tani le të flasim më në detaje për emëruesin e progresionit gjeometrik, domethënë o.

Le të përsërisim: - ky është numri sa herë ndryshon çdo term pasues? progresion gjeometrik.

Çfarë mendoni se mund të jetë? Kjo është e drejtë, pozitive dhe negative, por jo zero (ne folëm për këtë pak më lart).

Le të supozojmë se e jona është pozitive. Le në rastin tonë, a. Sa është vlera e termit të dytë dhe? Ju lehtë mund t'i përgjigjeni kësaj:

Kjo është e drejtë. Prandaj, nëse, atëherë të gjitha termat pasues të progresionit kanë të njëjtën shenjë - ato janë pozitive.

Po sikur të jetë negative? Për shembull, a. Sa është vlera e termit të dytë dhe?

Kjo është një histori krejtësisht e ndryshme

Mundohuni të numëroni kushtet e këtij progresi. Sa keni marrë? Une kam. Kështu, nëse, atëherë alternojnë shenjat e termave të progresionit gjeometrik. Kjo do të thotë, nëse shihni një progresion me shenja alternative për anëtarët e tij, atëherë emëruesi i tij është negativ. Kjo njohuri mund t'ju ndihmojë të provoni veten kur zgjidhni probleme në këtë temë.

Tani le të praktikojmë pak: përpiquni të përcaktoni se cilat sekuenca numrash janë një progresion gjeometrik dhe cilat janë një progresion aritmetik:

E kuptova? Le të krahasojmë përgjigjet tona:

• Progresioni gjeometrik - 3, 6.
• Progresioni aritmetik - 2, 4.
• Nuk është as një progresion aritmetik dhe as gjeometrik - 1, 5, 7.

Le të kthehemi në progresionin tonë të fundit dhe të përpiqemi të gjejmë anëtarin e tij, ashtu si në atë aritmetik. Siç mund ta keni marrë me mend, ka dy mënyra për ta gjetur atë.

Ne e shumëzojmë me radhë çdo term me.

Pra, termi i th i progresionit gjeometrik të përshkruar është i barabartë me.

Siç e keni menduar tashmë, tani ju vetë do të nxirrni një formulë që do t'ju ndihmojë të gjeni ndonjë anëtar të progresionit gjeometrik. Apo e keni zhvilluar tashmë atë për veten tuaj, duke përshkruar se si të gjeni anëtarin e th hap pas hapi? Nëse po, atëherë kontrolloni korrektësinë e arsyetimit tuaj.

Le ta ilustrojmë këtë me shembullin e gjetjes së termit të th të këtij progresioni:

Me fjale te tjera:

Gjeni vetë vlerën e termit të progresionit të dhënë gjeometrik.

Ka ndodhur? Le të krahasojmë përgjigjet tona:

Ju lutemi vini re se keni marrë saktësisht të njëjtin numër si në metodën e mëparshme, kur ne shumëzuam në mënyrë sekuenciale me çdo term të mëparshëm të progresionit gjeometrik.
Le të përpiqemi ta "depersonalizojmë" këtë formulë - le ta vendosim atë në formë të përgjithshme dhe të marrim:

Formula e përftuar është e vërtetë për të gjitha vlerat - pozitive dhe negative. Kontrolloni këtë vetë duke llogaritur termat e progresionit gjeometrik me kushtet e mëposhtme: , a.

A keni numëruar? Le të krahasojmë rezultatet:

Pajtohu që do të ishte e mundur të gjesh një term të një progresion në të njëjtën mënyrë si një term, megjithatë, ekziston mundësia e llogaritjes së gabuar. Dhe nëse kemi gjetur tashmë termin e th të progresionit gjeometrik, atëherë çfarë mund të jetë më e thjeshtë sesa përdorimi i pjesës "të cunguar" të formulës.

Progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie.

Kohët e fundit, ne folëm për faktin se mund të jetë ose më i madh ose më i vogël se zero, megjithatë, ka vlera të veçanta për të cilat quhet progresion gjeometrik pafundësisht në rënie.

Pse mendoni se është dhënë ky emër?
Së pari, le të shkruajmë një progresion gjeometrik të përbërë nga terma.
Le të themi, atëherë:

Shohim që çdo term pasues është më pak se ai i mëparshmi me një faktor, por a do të ketë ndonjë numër? Do të përgjigjeni menjëherë - "jo". Kjo është arsyeja pse ai është pafundësisht në rënie - zvogëlohet dhe zvogëlohet, por kurrë nuk bëhet zero.

Për të kuptuar qartë se si duket kjo vizualisht, le të përpiqemi të vizatojmë një grafik të përparimit tonë. Pra, për rastin tonë, formula merr formën e mëposhtme:

Në grafikë, ne jemi mësuar të komplotojmë varësinë nga:

Thelbi i shprehjes nuk ka ndryshuar: në hyrjen e parë treguam varësinë e vlerës së një anëtari të një progresioni gjeometrik nga numri rendor i tij, dhe në hyrjen e dytë thjesht morëm vlerën e një anëtari të një progresion gjeometrik si , dhe caktoi numrin rendor jo si, por si. Gjithçka që mbetet për t'u bërë është të ndërtohet një grafik.
Le të shohim se çfarë keni. Këtu është grafiku me të cilin dola:

A e shikon? Funksioni zvogëlohet, priret në zero, por nuk e kalon kurrë atë, pra është në rënie pafundësisht. Le të shënojmë pikat tona në grafik, dhe në të njëjtën kohë çfarë do të thotë koordinata dhe:

Përpiquni të përshkruani në mënyrë skematike një grafik të një progresion gjeometrik nëse termi i tij i parë është gjithashtu i barabartë. Analizoni cili është ndryshimi me grafikun tonë të mëparshëm?

A ia dolët? Këtu është grafiku me të cilin dola:

Tani që i keni kuptuar plotësisht bazat e temës së progresionit gjeometrik: ju e dini se çfarë është, ju dini si ta gjeni termin e tij dhe gjithashtu e dini se çfarë është një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, le të kalojmë te vetia e tij kryesore.

Veti e progresionit gjeometrik.

A ju kujtohet vetia e termave të një progresion aritmetik? Po, po, si të gjesh vlerën e një numri të caktuar të një progresioni kur ka vlera të mëparshme dhe të mëvonshme të termave të këtij progresioni. Të kujtohet? Kjo:

Tani përballemi me të njëjtën pyetje për termat e një progresion gjeometrik. Për të nxjerrë një formulë të tillë, le të fillojmë të vizatojmë dhe të arsyetojmë. Do ta shihni, është shumë e lehtë, dhe nëse harroni, mund ta nxirrni vetë.

Le të marrim një tjetër progresion të thjeshtë gjeometrik, në të cilin dimë dhe. Si të gjeni? Me progresion aritmetik është e lehtë dhe e thjeshtë, por po këtu? Në fakt, nuk ka asgjë të komplikuar as në gjeometrik - thjesht duhet të shkruani çdo vlerë që na është dhënë sipas formulës.

Ju mund të pyesni, çfarë duhet të bëjmë për këtë tani? Po, shumë e thjeshtë. Së pari, le t'i përshkruajmë këto formula në një foto dhe të përpiqemi të bëjmë manipulime të ndryshme me to për të arritur vlerën.

Le të abstragojmë nga numrat që na jepen, le të ndalemi vetëm në shprehjen e tyre përmes formulës. Ne duhet të gjejmë vlerën e theksuar në portokalli, duke ditur termat ngjitur me të. Le të përpiqemi të kryejmë veprime të ndryshme me ta, si rezultat i të cilave mund të marrim.

Shtim.
Le të përpiqemi të shtojmë dy shprehje dhe marrim:

Nga kjo shprehje, siç mund ta shihni, ne nuk mund ta shprehim në asnjë mënyrë, prandaj, do të provojmë një opsion tjetër - zbritjen.

Zbritja.

Siç mund ta shihni, ne nuk mund ta shprehim as këtë, prandaj, le të përpiqemi t'i shumëzojmë këto shprehje me njëra-tjetrën.

Shumëzimi.

Tani shikoni me kujdes atë që kemi duke shumëzuar termat e progresionit gjeometrik që na është dhënë në krahasim me atë që duhet gjetur:

Mendoni se për çfarë po flas? Në mënyrë korrekte, për të gjetur, duhet të marrim rrënjën katrore të numrave të progresionit gjeometrik ngjitur me atë të dëshiruar të shumëzuar me njëri-tjetrin:

Ja ku shkoni. Ju vetë keni nxjerrë vetinë e progresionit gjeometrik. Mundohuni ta shkruani këtë formulë në formë të përgjithshme. Ka ndodhur?

Keni harruar kushtin? Mendoni pse është e rëndësishme, për shembull, përpiquni ta llogaritni vetë. Çfarë do të ndodhë në këtë rast? Kjo është e drejtë, absurditet i plotë sepse formula duket si kjo:

Prandaj, mos harroni këtë kufizim.

Tani le të llogarisim se çfarë është e barabartë

Përgjigje e saktë - ! Nëse nuk e keni harruar vlerën e dytë të mundshme gjatë llogaritjes, atëherë jeni të shkëlqyer dhe mund të kaloni menjëherë në stërvitje, dhe nëse keni harruar, lexoni atë që diskutohet më poshtë dhe kushtojini vëmendje pse është e nevojshme të shkruani të dy rrënjët në përgjigje.

Le të vizatojmë të dy progresionet tona gjeometrike - njëra me një vlerë dhe tjetra me një vlerë dhe të kontrollojmë nëse të dyja kanë të drejtë të ekzistojnë:

Për të kontrolluar nëse një progresion i tillë gjeometrik ekziston apo jo, është e nevojshme të shihet nëse të gjitha termat e tij të dhëna janë të njëjta? Njehsoni q për rastin e parë dhe të dytë.

Shihni pse duhet të shkruajmë dy përgjigje? Sepse shenja e termit që kërkoni varet nëse është pozitive apo negative! Dhe meqenëse nuk e dimë se çfarë është, duhet t'i shkruajmë të dyja përgjigjet me një plus dhe një minus.

Tani që keni zotëruar pikat kryesore dhe keni nxjerrë formulën për vetinë e progresionit gjeometrik, gjeni, duke ditur dhe

Krahasoni përgjigjet tuaja me ato të sakta:

Çfarë mendoni, po sikur të mos na jepeshin vlerat e termave të progresionit gjeometrik ngjitur me numrin e dëshiruar, por në distancë të barabartë prej tij. Për shembull, ne duhet të gjejmë, dhe të japim dhe. A mund të përdorim formulën që kemi nxjerrë në këtë rast? Përpiquni të konfirmoni ose kundërshtoni këtë mundësi në të njëjtën mënyrë, duke përshkruar se nga çfarë përbëhet secila vlerë, siç keni bërë kur keni nxjerrë fillimisht formulën, në.
Çfarë more?

Tani shikoni me kujdes përsëri.
dhe përkatësisht:

Nga kjo mund të konkludojmë se formula funksionon jo vetëm me fqinjët me termat e dëshiruar të progresionit gjeometrik, por edhe me të barabarta nga ajo që anëtarët kërkojnë.

Kështu, formula jonë fillestare merr formën:

Domethënë, nëse në rastin e parë e thamë këtë, tani themi se mund të jetë i barabartë me çdo numër natyror që është më i vogël. Gjëja kryesore është se është e njëjtë për të dy numrat e dhënë.

Praktikoni me shembuj specifikë, thjesht jini jashtëzakonisht të kujdesshëm!

1. , . Gjej.
2. , . Gjej.
3. , . Gjej.

E vendosur? Shpresoj se keni qenë jashtëzakonisht të vëmendshëm dhe keni vënë re një kapje të vogël.

Le të krahasojmë rezultatet.

Në dy rastet e para, ne zbatojmë me qetësi formulën e mësipërme dhe marrim vlerat e mëposhtme:

Në rastin e tretë, kur shqyrtojmë me kujdes numrat serialë të numrave që na janë dhënë, kuptojmë se ata nuk janë të barabartë nga numri që kërkojmë: është numri i mëparshëm, por është hequr në një pozicion, pra është nuk është e mundur të zbatohet formula.

Si ta zgjidhim atë? Në fakt nuk është aq e vështirë sa duket! Le të shkruajmë se nga përbëhet secili numër që na është dhënë dhe numri që kërkojmë.

Pra kemi dhe. Le të shohim se çfarë mund të bëjmë me ta? Unë sugjeroj të ndahet me. Ne marrim:

Ne i zëvendësojmë të dhënat tona në formulën:

Hapi tjetër që mund të gjejmë është - për këtë ne duhet të marrim rrënjën kubike të numrit që rezulton.

Tani le të shohim përsëri se çfarë kemi. Ne e kemi atë, por ne duhet ta gjejmë atë, dhe ajo, nga ana tjetër, është e barabartë me:

Ne gjetëm të gjitha të dhënat e nevojshme për llogaritjen. Zëvendësoni në formulë:

Përgjigja jonë: .

Provoni të zgjidhni vetë një problem tjetër të ngjashëm:
E dhënë:,
Gjej:

Sa keni marrë? Une kam - .

Siç mund ta shihni, në thelb keni nevojë mbani mend vetëm një formulë- . Të gjitha të tjerat mund t'i tërhiqni vetë pa asnjë vështirësi në çdo kohë. Për ta bërë këtë, thjesht shkruani progresionin më të thjeshtë gjeometrik në një copë letër dhe shkruani se me çfarë është i barabartë secili prej numrave të tij, sipas formulës së përshkruar më sipër.

Shuma e termave të një progresion gjeometrik.

Tani le të shohim formulat që na lejojnë të llogarisim shpejt shumën e termave të një progresion gjeometrik në një interval të caktuar:

Për të nxjerrë formulën për shumën e termave të një progresion të fundëm gjeometrik, shumëzojini të gjitha pjesët e ekuacionit të mësipërm me. Ne marrim:

Shikoni me kujdes: çfarë kanë të përbashkët dy formulat e fundit? Kjo është e drejtë, anëtarët e zakonshëm, për shembull, dhe kështu me radhë, përveç anëtarit të parë dhe të fundit. Le të përpiqemi të zbresim 1-shin nga ekuacioni i 2-të. Çfarë more?

Tani shprehni termin e progresionit gjeometrik përmes formulës dhe zëvendësoni shprehjen që rezulton në formulën tonë të fundit:

Gruponi shprehjen. Ju duhet të merrni:

Gjithçka që mbetet për t'u bërë është të shprehemi:

Prandaj, në këtë rast.

Po nese? Cila formulë funksionon atëherë? Imagjinoni një progresion gjeometrik në. Si është ajo? Një seri numrash identikë është e saktë, kështu që formula do të duket si kjo:

Ka shumë legjenda për progresionin aritmetik dhe gjeometrik. Një prej tyre është legjenda e Setit, krijuesit të shahut.

Shumë njerëz e dinë se loja e shahut u shpik në Indi. Kur mbreti hindu e takoi atë, ai ishte i kënaqur me zgjuarsinë e saj dhe shumëllojshmërinë e pozicioneve të mundshme në të. Pasi mësoi se ishte shpikur nga një prej nënshtetasve të tij, mbreti vendosi ta shpërblente personalisht. Ai e thirri shpikësin pranë vetes dhe e urdhëroi që t'i kërkonte gjithçka që donte, duke i premtuar se do të përmbushte edhe dëshirën më të shkathët.

Seta kërkoi kohë për të menduar dhe kur të nesërmen Seta doli para mbretit, ai e befasoi mbretin me modestinë e paparë të kërkesës së tij. Kërkoi të jepte një kokërr grurë për katrorin e parë të tabelës së shahut, një kokërr grurë për të dytin, një kokërr grurë për të tretën, një të katërt etj.

Mbreti u zemërua dhe e përzuri Sethin, duke thënë se kërkesa e shërbëtorit ishte e padenjë për bujarinë e mbretit, por premtoi se shërbëtori do të merrte kokrrat e tij për të gjitha katrorët e dërrasës.

Dhe tani pyetja: duke përdorur formulën për shumën e termave të një progresion gjeometrik, llogaritni sa kokrra duhet të marrë Seth?

Le të fillojmë të arsyetojmë. Meqenëse, sipas kushtit, Sethi kërkoi një kokërr gruri për katrorin e parë të tabelës së shahut, për të dytin, për të tretën, për të katërtin etj., atëherë shohim se problemi ka të bëjë me një progresion gjeometrik. Me çfarë barazohet në këtë rast?
E drejta.

Totali i katrorëve të tabelës së shahut. Përkatësisht,. Ne i kemi të gjitha të dhënat, gjithçka që mbetet është t'i futim në formulë dhe të llogarisim.

Për të imagjinuar të paktën përafërsisht "shkallën" e një numri të caktuar, ne transformojmë duke përdorur vetitë e shkallës:

Sigurisht, nëse dëshironi, mund të merrni një kalkulator dhe të llogarisni se me cilin numër përfundoni, dhe nëse jo, do të duhet të pranoni fjalën time për të: vlera përfundimtare e shprehjes do të jetë.
Kjo eshte:

kuintilion kadrilion trilion miliardë milion mijë.

Phew) Nëse dëshironi të imagjinoni përmasat e këtij numri, atëherë vlerësoni se sa i madh do të duhej një hambar për të akomoduar të gjithë sasinë e grurit.
Nëse hambari është m i lartë dhe m i gjerë, gjatësia e tij do të duhej të shtrihej për km, d.m.th. dy herë më shumë se nga Toka në Diell.

Nëse mbreti do të ishte i fortë në matematikë, ai mund ta kishte ftuar vetë shkencëtarin të numëronte kokrrat, sepse për të numëruar një milion kokrra, do t'i duhej të paktën një ditë numërimi i palodhur dhe duke qenë se është e nevojshme të numërohen kuintilionë, kokrrat. do të duhej të numërohej gjatë gjithë jetës së tij.

Tani le të zgjidhim një problem të thjeshtë që përfshin shumën e termave të një progresion gjeometrik.
Një student i klasës 5A Vasya u sëmur nga gripi, por vazhdon të shkojë në shkollë. Çdo ditë Vasya infekton dy persona, të cilët, nga ana tjetër, infektojnë dy persona të tjerë, e kështu me radhë. Ka vetëm njerëz në klasë. Për sa ditë e gjithë klasa do të sëmuret me grip?

Pra, termi i parë i progresionit gjeometrik është Vasya, domethënë një person. Termi i th i progresionit gjeometrik është dy personat që ai infektoi në ditën e parë të mbërritjes së tij. Shuma totale e termave të progresionit është e barabartë me numrin e studentëve 5A. Prandaj, ne flasim për një përparim në të cilin:

Le t'i zëvendësojmë të dhënat tona në formulën për shumën e termave të një progresion gjeometrik:

E gjithë klasa do të sëmuret brenda disa ditësh. Nuk u besoni formulave dhe numrave? Mundohuni të portretizoni vetë "infeksionin" e studentëve. Ka ndodhur? Shiko si më duket mua:

Llogaritni vetë se sa ditë do të duheshin që nxënësit të sëmuren me grip nëse secili infekton një person dhe në klasë do të kishte vetëm një person.

Çfarë vlere keni marrë? Doli që të gjithë filluan të sëmuren pas një dite.

Siç mund ta shihni, një detyrë e tillë dhe vizatimi për të ngjajnë me një piramidë, në të cilën secila pasuese "sjell" njerëz të rinj. Megjithatë, herët a vonë vjen një moment kur ky i fundit nuk mund të tërheqë askënd. Në rastin tonë, nëse imagjinojmë që klasa është e izoluar, personi nga mbyll zinxhirin (). Kështu, nëse një person përfshihej në një piramidë financiare në të cilën jepeshin para nëse sillnit dy pjesëmarrës të tjerë, atëherë personi (ose në përgjithësi) nuk do të sillte askënd, në përputhje me rrethanat, do të humbiste gjithçka që investoi në këtë mashtrim financiar.

Gjithçka që u tha më lart i referohet një progresion gjeometrik në rënie ose në rritje, por, siç e mbani mend, ne kemi një lloj të veçantë - një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie. Si të llogaritet shuma e anëtarëve të saj? Dhe pse ky lloj progresi ka disa karakteristika? Le ta kuptojmë së bashku.

Pra, së pari, le të shohim përsëri këtë vizatim të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie nga shembulli ynë:

Tani le të shohim formulën për shumën e një progresion gjeometrik, të nxjerrë pak më herët:
ose

Për çfarë po përpiqemi? Është e drejtë, grafiku tregon se priret në zero. Kjo do të thotë, në, do të jetë pothuajse e barabartë, përkatësisht, gjatë llogaritjes së shprehjes do të marrim pothuajse. Në këtë drejtim, ne besojmë se gjatë llogaritjes së shumës së një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, kjo kllapa mund të neglizhohet, pasi do të jetë e barabartë.

- formula është shuma e termave të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie.

E RËNDËSISHME! Ne përdorim formulën për shumën e termave të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie vetëm nëse kushti thotë në mënyrë eksplicite që ne duhet të gjejmë shumën e pafundme numri i anëtarëve.

Nëse specifikohet një numër specifik n, atëherë ne përdorim formulën për shumën e n termave, edhe nëse ose.

Tani le të praktikojmë.

1. Gjeni shumën e termave të parë të progresionit gjeometrik me dhe.
2. Gjeni shumën e termave të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie me dhe.

Shpresoj se keni qenë jashtëzakonisht të kujdesshëm. Le të krahasojmë përgjigjet tona:

Tani ju dini gjithçka rreth progresionit gjeometrik dhe është koha për të kaluar nga teoria në praktikë. Problemet më të zakonshme të progresionit gjeometrik që hasen në provim janë problemet me llogaritjen e interesit të përbërë. Këto janë ato për të cilat do të flasim.

Probleme në llogaritjen e interesit të përbërë.

Ju ndoshta keni dëgjuar për të ashtuquajturën formula të interesit të përbërë. A e kuptoni se çfarë do të thotë? Nëse jo, le ta kuptojmë, sepse sapo të kuptoni vetë procesin, do të kuptoni menjëherë se çfarë lidhje ka progresioni gjeometrik me të.

Ne të gjithë shkojmë në bankë dhe e dimë se ka kushte të ndryshme për depozitat: kjo përfshin një afat, shërbime shtesë dhe interes me dy mënyra të ndryshme për llogaritjen e tij - të thjeshta dhe komplekse.

ME interes i thjeshtë gjithçka është pak a shumë e qartë: interesi llogaritet një herë në fund të afatit të depozitës. Kjo do të thotë, nëse themi se depozitojmë 100 rubla për një vit, atëherë ato do të kreditohen vetëm në fund të vitit. Prandaj, deri në fund të depozitës do të marrim rubla.

Interesi i përbërë- ky është një opsion në të cilin ndodh kapitalizimi i interesit, d.m.th. shtimi i tyre në shumën e depozitës dhe llogaritja e mëvonshme e të ardhurave jo nga shuma fillestare, por nga shuma e depozitës së akumuluar. Kapitalizimi nuk ndodh vazhdimisht, por me një frekuencë të caktuar. Si rregull, periudha të tilla janë të barabarta dhe më shpesh bankat përdorin një muaj, tremujor ose vit.

Le të supozojmë se depozitojmë të njëjtat rubla çdo vit, por me kapitalizimin mujor të depozitës. Cfare po bejme?

A kupton gjithçka këtu? Nëse jo, le ta kuptojmë hap pas hapi.

Ne sollëm rubla në bankë. Deri në fund të muajit, ne duhet të kemi një shumë në llogarinë tonë të përbërë nga rublat tona plus interesat mbi to, domethënë:

Dakord?

Mund ta heqim nga kllapa dhe më pas marrim:

Dakord, kjo formulë është tashmë më e ngjashme me atë që kemi shkruar në fillim. E vetmja gjë që mbetet është të kuptojmë përqindjet

Në deklaratën e problemit na thuhet për normat vjetore. Siç e dini, ne nuk shumëzojmë me - ne konvertojmë përqindjet në thyesa dhjetore, domethënë:

E drejtë? Tani mund të pyesni, nga erdhi numri? Shume e thjeshte!
E përsëris: deklarata e problemit thotë për VJETOR interesi që rritet MUJORE. Siç e dini, në një vit muajsh, në përputhje me rrethanat, banka do të na ngarkojë një pjesë të interesit vjetor në muaj:

E kuptove? Tani përpiquni të shkruani se si do të dukej kjo pjesë e formulës nëse do të thoja që interesi llogaritet çdo ditë.
A ia dolët? Le të krahasojmë rezultatet:

Te lumte! Le të kthehemi në detyrën tonë: shkruani se sa do të kreditohet në llogarinë tonë në muajin e dytë, duke marrë parasysh që interesi është grumbulluar në shumën e depozitës së akumuluar.
Ja çfarë mora:

Ose, me fjalë të tjera:

Unë mendoj se ju tashmë keni vënë re një model dhe keni parë një progresion gjeometrik në të gjithë këtë. Shkruani se me çfarë do të jetë anëtari i tij, ose, me fjalë të tjera, çfarë shume parash do të marrim në fund të muajit.
E bëri? Le të kontrollojmë!

Siç mund ta shihni, nëse vendosni para në një bankë për një vit me një normë të thjeshtë interesi, do të merrni rubla, dhe nëse me një normë interesi të përbërë, do të merrni rubla. Përfitimi është i vogël, por kjo ndodh vetëm gjatë vitit, por për një periudhë më të gjatë kapitalizimi është shumë më fitimprurës:

Le të shohim një lloj tjetër problemi që përfshin interesin e përbërë. Pas asaj që keni kuptuar, do të jetë elementare për ju. Pra, detyra:

Kompania Zvezda filloi të investojë në industri në vitin 2000, me kapital në dollarë. Çdo vit që nga viti 2001 ka marrë një fitim të barabartë me kapitalin e një viti më parë. Sa fitim do të marrë kompania Zvezda në fund të vitit 2003 nëse fitimet nuk tërhiqen nga qarkullimi?

Kapitali i kompanisë Zvezda në vitin 2000.
- kapitali i kompanisë Zvezda në 2001.
- kapitali i kompanisë Zvezda në 2002.
- kapitali i kompanisë Zvezda në 2003.

Ose mund të shkruajmë shkurt:

Për rastin tonë:

2000, 2001, 2002 dhe 2003.

Përkatësisht:
rubla
Ju lutemi vini re se në këtë problem nuk kemi pjesëtim as me as me, pasi përqindja jepet VJETOR dhe llogaritet VJETOR. Kjo do të thotë, kur lexoni një problem për interesin e përbërë, kushtojini vëmendje se çfarë përqindje jepet dhe në cilën periudhë llogaritet, dhe vetëm atëherë vazhdoni me llogaritjet.
Tani ju dini gjithçka rreth progresionit gjeometrik.

Trajnimi.

1. Gjeni termin e progresionit gjeometrik nëse dihet se, dhe
2. Gjeni shumën e termave të parë të progresionit gjeometrik nëse dihet se, dhe
3. Kompania MDM Capital filloi të investojë në industri në vitin 2003, me kapital në dollarë. Çdo vit që nga viti 2004 ka marrë një fitim të barabartë me kapitalin e një viti më parë. Kompania MSK Cash Flows filloi të investojë në industri në vitin 2005 në vlerë prej 10,000 dollarë, duke filluar të fitojë në vitin 2006 në shumën prej. Për sa dollarë është kapitali i njërës kompani më i madh se tjetri në fund të vitit 2007, nëse fitimet nuk tërhiqeshin nga qarkullimi?

Përgjigjet:

1. Meqenëse deklarata e problemit nuk thotë që progresioni është i pafund dhe kërkohet të gjendet shuma e një numri specifik të termave të tij, llogaritja kryhet sipas formulës:
2. 
   Kompania MDM Capital:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - rritet me 100%, pra 2 herë.
   Përkatësisht:
   rubla
   Kompania MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007.
   - rritet me, pra me herë.
   Përkatësisht:
   rubla
   rubla

Le të përmbledhim.

1) Progresioni gjeometrik ( ) është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është i ndryshëm nga zero, dhe çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.

2) Ekuacioni i termave të progresionit gjeometrik është .

3) mund të marrë çdo vlerë përveç dhe.

• nëse, atëherë të gjithë termat pasues të progresionit kanë të njëjtën shenjë - ato janë pozitive;
• nëse, atëherë të gjitha kushtet pasuese të progresionit shenja alternative;
• kur - progresioni quhet pafundësisht në rënie.

4) , me - veti e progresionit gjeometrik (termat ngjitur)

ose
, në ( terma të barabarta)

Kur ta gjeni, mos harroni duhet të ketë dy përgjigje.

Për shembull,

5) Shuma e termave të progresionit gjeometrik llogaritet me formulën:
ose

Nëse progresioni është pafundësisht në rënie, atëherë:
ose

E RËNDËSISHME! Ne përdorim formulën për shumën e termave të një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie vetëm nëse kushti thotë në mënyrë eksplicite që duhet të gjejmë shumën e një numri të pafund termash.

6) Problemet e interesit të përbërë llogariten gjithashtu duke përdorur formulën e termit të gjashtë të një progresion gjeometrik, me kusht që fondet të mos jenë tërhequr nga qarkullimi:

PROGRESIONI GJEOMETRIK. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Progresioni gjeometrik( ) është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është i ndryshëm nga zero, dhe çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.

Emëruesi i progresionit gjeometrik mund të marrë çdo vlerë përveç dhe.

• Nëse, atëherë të gjitha kushtet pasuese të progresionit kanë të njëjtën shenjë - ato janë pozitive;
• nëse, atëherë të gjithë anëtarët e mëvonshëm të progresionit alternojnë shenjën;
• kur - progresioni quhet pafundësisht në rënie.

Ekuacioni i termave të progresionit gjeometrik - .

Shuma e termave të një progresion gjeometrik llogaritur me formulën:
ose

Matematika është ajo qënjerëzit kontrollojnë natyrën dhe veten.

Matematikani sovjetik, akademik A.N. Kolmogorov

Progresioni gjeometrik.

Së bashku me problemet mbi progresionet aritmetike, problemet që lidhen me konceptin e progresionit gjeometrik janë gjithashtu të zakonshme në provimet pranuese në matematikë. Për të zgjidhur me sukses probleme të tilla, duhet të njihni vetitë e progresioneve gjeometrike dhe të keni aftësi të mira në përdorimin e tyre.

Ky artikull i kushtohet prezantimit të vetive themelore të progresionit gjeometrik. Këtu janë dhënë edhe shembuj të zgjidhjes së problemeve tipike., huazuar nga detyrat e provimeve pranuese në matematikë.

Le të vëmë re së pari vetitë themelore të progresionit gjeometrik dhe të kujtojmë formulat dhe pohimet më të rëndësishme, lidhur me këtë koncept.

Përkufizimi. Një sekuencë numrash quhet progresion gjeometrik nëse çdo numër, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Numri quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.

Për progresion gjeometrikformulat janë të vlefshme

, (1)

Ku . Formula (1) quhet formula e termit të përgjithshëm të një progresion gjeometrik, dhe formula (2) paraqet vetinë kryesore të një progresion gjeometrik: çdo term i progresionit përkon me mesataren gjeometrike të termave të tij fqinjë dhe .

Shënim, se është pikërisht për shkak të kësaj vetie që progresioni në fjalë quhet “gjeometrik”.

Formulat e mësipërme (1) dhe (2) janë përgjithësuar si më poshtë:

, (3)

Për të llogaritur shumën së pari anëtarët e një progresion gjeometrikzbatohet formula

Nëse shënojmë , atëherë

Ku . Meqenëse, formula (6) është një përgjithësim i formulës (5).

Në rastin kur dhe progresion gjeometrikështë në rënie pafundësisht. Për të llogaritur shumënnga të gjithë termat e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, përdoret formula

. (7)

Për shembull , duke përdorur formulën (7) mund të tregojmë, Çfarë

Ku . Këto barazi janë marrë nga formula (7) me kushtin që , (barazia e parë) dhe , (barazia e dytë).

Teorema. Nese atehere

Dëshmi. Nese atehere

Teorema është e vërtetuar.

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë shembuj të zgjidhjes së problemeve në temën "Progresioni gjeometrik".

Shembulli 1. Jepet: , dhe . Gjej .

Zgjidhje. Nëse zbatojmë formulën (5), atëherë

Përgjigje:.

Shembulli 2. Lëre të jetë. Gjej .

Zgjidhje. Meqenëse dhe , përdorim formulat (5), (6) dhe marrim një sistem ekuacionesh

Nëse ekuacioni i dytë i sistemit (9) pjesëtohet me të parin, pastaj ose . Nga kjo rezulton se . Le të shqyrtojmë dy raste.

1. Nëse, atëherë nga ekuacioni i parë i sistemit (9) kemi.

2. Nëse , atëherë .

Shembulli 3. Le , dhe . Gjej .

Zgjidhje. Nga formula (2) rrjedh se ose . Që atëherë ose .

Sipas kushtit. Megjithatë, prandaj. Që nga dhe atëherë këtu kemi një sistem ekuacionesh

Nëse ekuacioni i dytë i sistemit pjesëtohet me të parin, atëherë ose .

Meqenëse, ekuacioni ka një rrënjë unike të përshtatshme. Në këtë rast, rrjedh nga ekuacioni i parë i sistemit.

Duke marrë parasysh formulën (7), marrim.

Përgjigje:.

Shembulli 4. Jepet: dhe . Gjej .

Zgjidhje. Që atëherë.

Që atëherë ose

Sipas formulës (2) kemi . Në këtë drejtim, nga barazia (10) marrim ose .

Megjithatë, sipas kushtit, pra.

Shembulli 5. Dihet se. Gjej .

Zgjidhje. Sipas teoremës, kemi dy barazi

Që atëherë ose . Sepse, atëherë.

Përgjigje:.

Shembulli 6. Jepet: dhe . Gjej .

Zgjidhje. Duke marrë parasysh formulën (5), marrim

Që atëherë. Që nga , dhe , atëherë .

Shembulli 7. Lëre të jetë. Gjej .

Zgjidhje. Sipas formulës (1) mund të shkruajmë

Prandaj, ne kemi ose . Dihet se dhe , prandaj dhe .

Përgjigje:.

Shembulli 8. Gjeni emëruesin e një progresioni të pafundëm gjeometrik në rënie nëse

Dhe .

Zgjidhje. Nga formula (7) rrjedh Dhe . Nga këtu dhe nga kushtet e problemit fitojmë një sistem ekuacionesh

Nëse ekuacioni i parë i sistemit është në katror, dhe pastaj pjesëtojeni ekuacionin që rezulton me ekuacionin e dytë, atëherë marrim

Ose .

Përgjigje:.

Shembulli 9. Gjeni të gjitha vlerat për të cilat sekuenca , , është një progresion gjeometrik.

Zgjidhje. Le , dhe . Sipas formulës (2), e cila përcakton vetinë kryesore të një progresion gjeometrik, ne mund të shkruajmë ose .

Nga këtu marrim ekuacionin kuadratik, rrënjët e të cilit janë Dhe .

Le të kontrollojmë: nëse, pastaj , dhe ; nëse , atëherë , dhe .

Në rastin e parë kemi dhe , dhe në të dytën – dhe .

Përgjigje: ,.

Shembulli 10.Zgjidhe ekuacionin

, (11)

ku dhe.

Zgjidhje. Ana e majtë e ekuacionit (11) është shuma e një progresioni gjeometrik të pafundmë në rënie, në të cilin dhe , subjekt i: dhe .

Nga formula (7) rrjedh, Çfarë . Në këtë drejtim, ekuacioni (11) merr formën ose . Rrënjë e përshtatshme ekuacioni kuadratik është

Përgjigje:.

Shembulli 11. P sekuenca e numrave pozitivëformon një progresion aritmetik, A - progresion gjeometrik, cfare lidhje ka me . Gjej .

Zgjidhje. Sepse sekuenca aritmetike, Kjo (vetia kryesore e progresionit aritmetik). Sepse, pastaj ose . Kjo nënkupton, që progresioni gjeometrik ka formën. Sipas formulës (2), pastaj e shkruajmë atë .

Që atëherë dhe atëherë . Në këtë rast, shprehja merr formën ose . me kusht, pra nga barazimi.ne marrim një zgjidhje unike për problemin në shqyrtim, d.m.th. .

Përgjigje:.

Shembulli 12. Llogaritni shumën

. (12)

Zgjidhje. Le të shumëzojmë të dyja anët e barazisë (12) me 5 dhe marrim

Nëse i zbresim (12) nga shprehja që rezulton, Kjo

ose .

Për të llogaritur, ne zëvendësojmë vlerat në formulën (7) dhe marrim . Që atëherë.

Përgjigje:.

Shembujt e zgjidhjes së problemeve të dhëna këtu do të jenë të dobishëm për aplikantët kur përgatiten për provimet pranuese. Për një studim më të thellë të metodave të zgjidhjes së problemeve, lidhur me progresionin gjeometrik, Ju mund të përdorni mësime nga lista e literaturës së rekomanduar.

1. Mbledhja e problemave në matematikë për aplikantët në kolegje / Ed. M.I. Skanavi. – M.: Miri dhe Edukimi, 2013. – 608 f.

2. Suprun V.P. Matematika për nxënësit e shkollave të mesme: seksione shtesë të kurrikulës shkollore. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 f.

3. Medynsky M.M. Një kurs i plotë i matematikës elementare në problema dhe ushtrime. Libri 2: Sekuencat e numrave dhe përparimet. – M.: Editus, 2015. – 208 f.

Ende keni pyetje?

Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Udhëzimet

10, 30, 90, 270...

Ju duhet të gjeni emëruesin e një progresion gjeometrik.
Zgjidhja:

Opsioni 1. Le të marrim një term arbitrar të progresionit (për shembull, 90) dhe ta ndajmë atë me atë të mëparshëm (30): 90/30=3.

Nëse dihet shuma e disa termave të një progresioni gjeometrik ose shuma e të gjithë termave të një progresioni gjeometrik në rënie, atëherë për të gjetur emëruesin e progresionit, përdorni formulat e duhura:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), ku Sn është shuma e n termave të parë të progresionit gjeometrik dhe
S = b1/(1-q), ku S është shuma e një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie (shuma e të gjithë termave të progresionit me emërues më të vogël se një).
Shembull.

Termi i parë i një progresion gjeometrik në rënie është i barabartë me një, dhe shuma e të gjithë termave të tij është e barabartë me dy.

Kërkohet të përcaktohet emëruesi i këtij progresioni.
Zgjidhja:

Zëvendësoni të dhënat nga problemi në formulë. Do të rezultojë:
2=1/(1-q), prej nga – q=1/2.

Një progresion është një sekuencë numrash. Në një progresion gjeometrik, çdo term i mëpasshëm fitohet duke shumëzuar atë të mëparshëm me një numër të caktuar q, i quajtur emëruesi i progresionit.

Udhëzimet

Nëse njihen dy terma gjeometrikë fqinjë b(n+1) dhe b(n), për të marrë emëruesin, duhet të pjesëtoni numrin me atë më të madhin me atë që i paraprin: q=b(n+1)/b (n). Kjo rrjedh nga përkufizimi i progresionit dhe emëruesi i tij. Një kusht i rëndësishëm është që termi i parë dhe emëruesi i progresionit të mos jenë të barabartë me zero, përndryshe ai konsiderohet i papërcaktuar.

Kështu, ndërmjet termave të progresionit vendosen marrëdhëniet e mëposhtme: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Duke përdorur formulën b(n)=b1 q^(n-1), mund të llogaritet çdo term i progresionit gjeometrik në të cilin dihet emëruesi q dhe termi b1. Gjithashtu, secila prej progresioneve është e barabartë në modul me mesataren e anëtarëve fqinjë: |b(n)|=√, që është vendi ku progresion e ka marrë .

Një analog i një progresion gjeometrik është funksioni më i thjeshtë eksponencial y=a^x, ku x është një eksponent, a është një numër i caktuar. Në këtë rast, emëruesi i progresionit përkon me termin e parë dhe është i barabartë me numrin a. Vlera e funksionit y mund të kuptohet si termi i n-të i progresionit nëse argumenti x merret si një numër natyror n (numërues).

Ekziston për shumën e n termave të parë të një progresion gjeometrik: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Kjo formulë është e vlefshme për q≠1. Nëse q=1, atëherë shuma e n termave të parë llogaritet me formulën S(n)=n b1. Nga rruga, progresioni do të quhet rritje kur q është më i madh se një dhe b1 është pozitiv. Nëse emëruesi i progresionit nuk e kalon një në vlerë absolute, progresioni do të quhet zbritës.

Një rast i veçantë i një progresion gjeometrik është një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie (progresion gjeometrik pafundësisht në rënie). Fakti është se kushtet e një progresion gjeometrik në rënie do të ulen vazhdimisht, por kurrë nuk do të arrijnë zero. Përkundër kësaj, është e mundur të gjendet shuma e të gjitha termave të një progresion të tillë. Përcaktohet me formulën S=b1/(1-q). Numri i përgjithshëm i termave n është i pafund.

Për të vizualizuar se si mund të shtoni një numër të pafund numrash pa marrë pafundësi, piqni një tortë. Prisni gjysmën e tij. Pastaj prisni gjysmën e gjysmës, e kështu me radhë. Pjesët që do të merrni nuk janë gjë tjetër veçse anëtarë të një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie me një emërues 1/2. Nëse shtoni të gjitha këto pjesë, merrni tortën origjinale.

Problemet e gjeometrisë janë një lloj i veçantë ushtrimi që kërkon të menduarit hapësinor. Nëse nuk mund të zgjidhni një gjeometrike detyrë, provoni të ndiqni rregullat e mëposhtme.

Udhëzimet

Lexoni me shumë kujdes kushtet e detyrës nëse nuk mbani mend ose nuk kuptoni diçka, rilexoni atë përsëri.

Përpiquni të përcaktoni se për çfarë lloj problemesh gjeometrike bëhet fjalë, për shembull: ato llogaritëse, kur duhet të zbuloni një sasi, problemet që përfshijnë , që kërkojnë një zinxhir logjik arsyetimi, problemet që përfshijnë ndërtimin duke përdorur një busull dhe vizore. Më shumë detyra të tipit të përzier. Pasi të keni kuptuar llojin e problemit, përpiquni të mendoni logjikisht.

Zbatoni teoremën e nevojshme për një detyrë të caktuar, por nëse keni dyshime ose nuk keni fare opsione, atëherë përpiquni të mbani mend teorinë që keni studiuar në temën përkatëse.

Shkruani gjithashtu zgjidhjen e problemit në një formë draft. Mundohuni të përdorni metoda të njohura për të kontrolluar korrektësinë e zgjidhjes suaj.

Plotësoni me kujdes zgjidhjen e problemit në fletoren tuaj, pa e fshirë apo gërryer, dhe më e rëndësishmja - Mund të duhet kohë dhe përpjekje për të zgjidhur problemet e para gjeometrike. Megjithatë, sapo ta zotëroni këtë proces, do të filloni të klikoni detyra si arra, duke e shijuar atë!

Një progresion gjeometrik është një sekuencë e numrave b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) i tillë që b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Me fjalë të tjera, çdo term i progresionit merret nga ai i mëparshmi duke e shumëzuar atë me një emërues jozero të progresionit q.

Udhëzimet

Problemet e progresionit më së shpeshti zgjidhen duke hartuar dhe më pas duke ndjekur një sistem në lidhje me termin e parë të progresionit b1 dhe emëruesin e progresionit q. Për të krijuar ekuacione, është e dobishme të mbani mend disa formula.

Si të shprehet termi i n-të i progresionit përmes anëtarit të parë të progresionit dhe emëruesi i progresionit: b(n)=b1*q^(n-1).

Le të shqyrtojmë veçmas rastin |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии