Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Shkolla e mesme MBOU nr. 17, Ivanovo

« Ekuacionet me modul"
Zhvillimi metodologjik

Përpiluar

mësues matematike

Lebedeva N.V.

20010

Shënim shpjegues

Kapitulli 1. Hyrje

Seksioni 2. Vetitë themelore Seksioni 3. Interpretimi gjeometrik i konceptit të modulit të një numri Seksioni 4. Grafiku i funksionit y = |x| Seksioni 5. Konventat

Kapitulli 2. Zgjidhja e ekuacioneve që përmbajnë një modul

Seksioni 1. Ekuacionet e formës |F(x)| = m (më e thjeshta) Seksioni 2. Ekuacionet e formës F(|x|) = m Seksioni 3. Ekuacionet e formës |F(x)| = G(x) Seksioni 4. Ekuacionet e formës |F(x)| = ± F(x) (më e bukura) Seksioni 5. Ekuacionet e formës |F(x)| = |G(x)| Seksioni 6. Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve jo standarde Seksioni 7. Ekuacionet e formës |F(x)| + |G(x)| = 0 Seksioni 8. Ekuacionet e formës |a 1 x ± b 1 | ± |a 2 x ± në 2 | ± …|a n x ± në n | = m Seksioni 9. Ekuacionet që përmbajnë disa module

Kapitulli 3. Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve të ndryshme me modul.

Seksioni 1. Ekuacionet trigonometrike Seksioni 2. Ekuacionet eksponenciale Seksioni 3. Ekuacionet logaritmike Seksioni 4. Ekuacionet irracionale Seksioni 5. Detyrat e avancuara Përgjigjet e ushtrimeve Referencat

Shënim shpjegues.

Koncepti i vlerës absolute (modulit) të një numri real është një nga karakteristikat thelbësore të tij. Ky koncept është i përhapur në seksione të ndryshme të shkencave fizike, matematikore dhe teknike. Në praktikën e mësimdhënies së kurseve të matematikës në shkollat e mesme në përputhje me Programin e Ministrisë së Mbrojtjes së Federatës Ruse, koncepti i "vlerës absolute të një numri" haset në mënyrë të përsëritur: në klasën e 6-të, përkufizimi i një moduli dhe futet kuptimi gjeometrik i tij; në klasën e 8-të formohet koncepti i gabimit absolut, merret parasysh zgjidhja e ekuacioneve dhe pabarazive më të thjeshta që përmbajnë një modul dhe studiohen vetitë e rrënjës katrore aritmetike; në klasën e 11-të koncepti gjendet në rubrikën “Rrënja n-shkalla e saj." Përvoja e mësimdhënies tregon se nxënësit shpesh hasin në vështirësi në zgjidhjen e detyrave që kërkojnë njohuri të këtij materiali dhe shpeshherë i anashkalojnë ato pa filluar t'i kryejnë. Tekstet e detyrave të provimit për lëndët e klasave të 9-ta dhe të 11-ta përfshijnë edhe detyra të ngjashme. Për më tepër, kërkesat që universitetet u vendosin maturantëve janë të ndryshme, përkatësisht në një nivel më të lartë se kërkesat e kurrikulës shkollore.

Për jetën në shoqërinë moderne, formimi i një stili matematikor të të menduarit, i manifestuar në aftësi të caktuara mendore, është shumë i rëndësishëm. Në procesin e zgjidhjes së problemeve me module, kërkohet aftësia për të përdorur teknika të tilla si përgjithësimi dhe specifikimi, analiza, klasifikimi dhe sistemimi dhe analogjia. Zgjidhja e detyrave të tilla ju lejon të testoni njohuritë tuaja për seksionet kryesore të kursit shkollor, nivelin e të menduarit logjik dhe aftësitë fillestare të kërkimit.

Kjo punë i kushtohet njërit prej seksioneve - zgjidhja e ekuacioneve që përmban një modul. Ai përbëhet nga tre kapituj. Kapitulli i parë prezanton konceptet bazë dhe konsideratat më të rëndësishme teorike. Kapitulli i dytë propozon nëntë lloje kryesore të ekuacioneve që përmbajnë një modul, diskuton metodat për zgjidhjen e tyre dhe shqyrton shembuj të niveleve të ndryshme të kompleksitetit. Kapitulli i tretë ofron ekuacione më komplekse dhe jo standarde (trigonometrike, eksponenciale, logaritmike dhe irracionale). Për çdo lloj ekuacioni ka ushtrime për zgjidhje në mënyrë të pavarur (bashkangjitur përgjigjet dhe udhëzimet). .

Qëllimi kryesor i kësaj pune është të ofrojë ndihmë metodologjike për mësuesit në përgatitjen e mësimeve dhe në organizimin e lëndëve me zgjedhje. Materiali mund të përdoret edhe si mjet mësimor për nxënësit e shkollave të mesme. Detyrat e propozuara në vepër janë interesante dhe jo gjithmonë të lehta për t'u zgjidhur, gjë që bën të mundur që të bëhet më i ndërgjegjshëm motivimi arsimor i studentëve, të testohen aftësitë e tyre dhe të rritet niveli i përgatitjes së maturantëve për hyrjen në universitete. Një përzgjedhje e diferencuar e ushtrimeve të propozuara përfshin një kalim nga niveli riprodhues i zotërimit të materialit në atë krijues, si dhe mundësinë për të mësuar se si të zbatoni njohuritë tuaja kur zgjidhni probleme jo standarde. : Kapitulli 1. Hyrje. Seksioni 1. Përcaktimi i vlerës absolute Përkufizimi Seksioni 1. Përcaktimi i vlerës absolute Vlera absolute (moduli) e një numri real A një numër jo negativ quhet: │ Seksioni 1. Përcaktimi i vlerës absolute │ ose

│ -A.

│a│ = │ 0, nëse a = 0 (1)

│ - dhe, nëse a
Shembuj: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1
Zgjero modulin e shprehjes:
a) │x - 8│, nëse x > 12 b) │2x + 3│, nëse x ≤ -2 │x – 8│= x – 8 │ 2x + 3│= - 2x – 3
Seksioni 2. Vetitë themelore.
Le të shqyrtojmë vetitë themelore të vlerës absolute. Prona #1: Numrat e kundërt kanë module të barabarta, d.m.th. │а│=│- а│ Le të tregojmë se barazia është e vërtetë. Le të shkruajmë përkufizimin e numrit - A : │- a│= (2) Le të krahasojmë grupet (1) dhe (2). Natyrisht, përkufizimet e vlerave absolute të numrave Seksioni 1. Përcaktimi i vlerës absolute Dhe - A ndeshje. Prandaj, │а│=│- а│
Kur shqyrtojmë veçoritë e mëposhtme, ne do të kufizohemi në formulimin e tyre, pasi prova e tyre është dhënë Prona #2: Vlera absolute e shumës së një numri të fundëm numrash realë nuk e kalon shumën e vlerave absolute të termave: │а 1 + а 2 +…+ а n │ ≤│а 1 │+│а 2 │ + … + │а n │ Prona #3: Vlera absolute e diferencës ndërmjet dy numrave realë nuk e kalon shumën e vlerave të tyre absolute: │а - │ ≤│а│+│в│ Prona #4: Vlera absolute e prodhimit të një numri të fundëm numrash realë është e barabartë me produktin e vlerave absolute të faktorëve: │а·в│=│а│·│в│ Prona #5: Vlera absolute e herësit të numrave realë është e barabartë me herësin e vlerave të tyre absolute:

Seksioni 3. Interpretimi gjeometrik i konceptit të modulit të një numri.

Çdo numër real mund të shoqërohet me një pikë në vijën numerike, e cila do të jetë një imazh gjeometrik i këtij numri real. Çdo pikë në vijën numerike i përgjigjet largësisë së saj nga origjina, d.m.th. gjatësia e segmentit nga origjina në një pikë të caktuar. Kjo distancë konsiderohet gjithmonë si një vlerë jo negative. Prandaj, gjatësia e segmentit përkatës do të jetë interpretimi gjeometrik i vlerës absolute të një numri real të dhënë

Ilustrimi gjeometrik i paraqitur konfirmon qartë vetinë nr.1, d.m.th. moduli i numrave të kundërt janë të barabartë. Nga këtu vlefshmëria e barazisë kuptohet lehtësisht: │х – а│= │а – x│. Zgjidhja e ekuacionit │х│= m, ku m ≥ 0, përkatësisht x 1,2 = ± m, bëhet gjithashtu më e dukshme. Shembuj: 1) │х│= 4 x 1.2 = ± 4 2) │х - 3│= 1

x 1,2 = 2; 4

Seksioni 4. Grafiku i funksionit y = │х│

Domeni i këtij funksioni janë të gjithë numrat realë.

Seksioni 5. Konventat.

Në të ardhmen, kur shqyrtohen shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve, do të përdoren konventat e mëposhtme: ( - shenja e sistemit [ - shenja e tërësisë Kur zgjidhet një sistem ekuacionesh (pabarazish), gjendet kryqëzimi i zgjidhjeve të ekuacioneve (pabarazive) të përfshira në sistem. Gjatë zgjidhjes së një grupi ekuacionesh (pabarazish), gjendet bashkimi i zgjidhjeve të përfshira në bashkësinë e ekuacioneve (pabarazitë).

Kapitulli 2. Zgjidhja e ekuacioneve që përmbajnë një modul.

Në këtë kapitull do të shikojmë metodat algjebrike për zgjidhjen e ekuacioneve që përmbajnë një ose më shumë module.

Seksioni 1. Ekuacionet e formës │F (x)│= m

Një ekuacion i këtij lloji quhet më i thjeshtë. Ai ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse m ≥ 0. Sipas përcaktimit të modulit, ekuacioni origjinal është i barabartë me një grup prej dy ekuacionesh: │ F(x)│=m

Shembuj:
№1. Zgjidheni ekuacionin: │7х - 2│= 9

Përgjigje: x 1 = - 1; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│= 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 +3x = 0 x 1 = -1; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; x 2 = -3 Përgjigje: shuma e rrënjëve është - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│= 2 x 4 – 5x 2 = 0 x 4 – 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 – 5) = 0 le të shënojmë x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ±√5 m 2 – 5m + 4 = 0 m = 1; 4 - të dyja vlerat plotësojnë kushtin m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Përgjigje: numri i rrënjëve të ekuacionit 7. Ushtrime:
№1. Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni shumën e rrënjëve: │х - 5│= 3 №2 . Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni rrënjën më të vogël: │x 2 + x│= 0 №3 . Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni rrënjën më të madhe: │x 2 – 5x + 4│= 4 №4 .Zgjidhni ekuacionin dhe tregoni rrënjën e plotë: │2x 2 – 7x + 6│= 1 №5 .Zgjidhni ekuacionin dhe tregoni numrin e rrënjëve: │x 4 – 13x 2 + 50│= 14

Seksioni 2. Ekuacionet e formës F(│х│) = m

Argumenti i funksionit në anën e majtë është nën shenjën e modulit, dhe ana e djathtë është e pavarur nga ndryshorja. Le të shqyrtojmë dy mënyra për të zgjidhur ekuacione të këtij lloji. 1 mënyrë: Sipas përkufizimit të vlerës absolute, ekuacioni origjinal është i barabartë me kombinimin e dy sistemeve. Në secilën prej të cilave një kusht i imponohet një shprehjeje nënmodulare. F(│x│) =m

Meqenëse funksioni F(│x│) është çift në të gjithë domenin e përkufizimit, rrënjët e ekuacioneve F(x) = m dhe F(- x) = m janë çifte numrash të kundërt. Prandaj, mjafton të zgjidhet një nga sistemet (kur shqyrtohen shembuj në këtë mënyrë, do të jepet një zgjidhje për një sistem). Metoda 2: Zbatimi i metodës së prezantimit të një ndryshoreje të re. Në këtë rast, futet emërtimi │x│= a, ku a ≥ 0. Kjo metodë është më pak voluminoze në dizajn.
Shembuj: №1 . Zgjidheni ekuacionin: 3x 2 – 4│x│= - 1 Le të përdorim prezantimin e një ndryshoreje të re. Le të shënojmë │x│= a, ku a ≥ 0. Marrim ekuacionin 3a 2 - 4a + 1 = 0 D = 16 – 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1 / 3 Kthehemi në variablin origjinal: │ x│=1 dhe │х│= 1/3. Çdo ekuacion ka dy rrënjë. Përgjigje: x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Zgjidhe ekuacionin: 5x 2 + 3│x│- 1 = 1 / 2 │x│ + 3x 2

Le të gjejmë zgjidhjen për sistemin e parë të popullsisë: 4x 2 + 5x – 2 =0 D = 57 x 1 = -5+√57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 Vini re se x 2 nuk kënaq kushti x ≥ 0. Zgjidhje sistemi i dytë do të jetë numri i kundërt me vlerën x 1. Përgjigje: x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Zgjidheni ekuacionin: x 4 – │х│= 0 Le të shënojmë │х│= a, ku a ≥ 0. Marrim ekuacionin a 4 – a = 0 a · (a 3 – 1) = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 Kthehu në variablin origjinal: │х│=0 dhe │х│= 1 x = 0; ± 1 Përgjigje: x 1 = 0; X 2 = 1; X 3 = - 1.
Ushtrime: №6. Zgjidheni ekuacionin: 2│х│ - 4.5 = 5 – 3 / 8 │х│ №7 . Zgjidheni ekuacionin, tregoni numrin e rrënjëve në përgjigjen tuaj: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . Zgjidheni ekuacionin, tregoni zgjidhjet me numra të plotë në përgjigjen tuaj: x 4 + │x│ - 2 = 0

Seksioni 3. Ekuacionet e formës │F(x)│ = G(x)

Ana e djathtë e një ekuacioni të këtij lloji varet nga një ndryshore dhe, për rrjedhojë, ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse ana e djathtë është një funksion G(x) ≥ 0. Ekuacioni origjinal mund të zgjidhet në dy mënyra : 1 mënyrë: Standard, i bazuar në zbulimin e një moduli bazuar në përkufizimin e tij dhe përbëhet nga një kalim ekuivalent në një kombinim të dy sistemeve. │ F(x)│ =G(X)

Kjo metodë mund të përdoret në mënyrë racionale në rastin e një shprehjeje komplekse për funksionin G(x) dhe një më pak komplekse për funksionin F(x), pasi supozohet se pabarazitë me funksionin F(x) do të zgjidhen. Metoda 2: Konsiston në kalimin në një sistem ekuivalent në të cilin një kusht vendoset në anën e djathtë. │ F(x)│= G(x)

Kjo metodë është më e përshtatshme për t'u përdorur nëse shprehja për funksionin G(x) është më pak komplekse sesa për funksionin F(x), pasi zgjidhja e pabarazisë G(x) ≥ 0 supozohet gjithashtu në rast nga disa module, rekomandohet përdorimi i opsionit të dytë. Shembuj: №1. Zgjidheni ekuacionin: │x + 2│= 6 -2x

(1 mënyrë) Përgjigje: x = 1 1 / 3 №2.
│х 2 – 2х - 1│= 2·(x + 1)

(2 mënyra) Përgjigje: Prodhimi i rrënjëve është 3.
№3. Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni shumën e rrënjëve në përgjigjen tuaj:
│x - 6│= x 2 - 5x + 9

Përgjigje: shuma e rrënjëve është 4.
Ushtrime: №9. │x + 4│= - 3x №10. Zgjidheni ekuacionin, tregoni numrin e zgjidhjeve në përgjigjen tuaj:│x 2 + x - 1│= 2x – 1 №11 . Zgjidheni ekuacionin, tregoni prodhimin e rrënjëve në përgjigjen tuaj:│x + 3│= x 2 + x – 6

Seksioni 4. Ekuacionet e formës │F(x)│= F(x) dhe │F(x)│= - F(x)

Ekuacionet e këtij lloji quhen ndonjëherë "më të bukurat". Meqenëse ana e djathtë e ekuacioneve varet nga ndryshorja, zgjidhjet ekzistojnë nëse dhe vetëm nëse ana e djathtë është jo negative. Prandaj, ekuacionet origjinale janë ekuivalente me pabarazitë:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 dhe │F(x)│= - F(x) F(x) Shembuj: №1 . Zgjidheni ekuacionin, tregoni rrënjën e plotë më të vogël në përgjigjen tuaj: │5x - 3│= 5x – 3 5x – 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Përgjigje: x = 1№2. Zgjidheni ekuacionin, tregoni gjatësinë e intervalit në përgjigjen tuaj: │х 2 - 9│= 9 – x 2 x 2 – 9 ≤ 0 (x – 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Përgjigje: gjatësia e hendekut është 6.№3 . Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni numrin e zgjidhjeve me numra të plotë në përgjigjen tuaj: │2 + x – x 2 │= 2 + x – x 2 2 + x – x 2 ≥ 0 x 2 – x – 2 ≤ 0 [- 1; 2] Përgjigje: 4 zgjidhje të plota.№4 . Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni rrënjën më të madhe në përgjigjen tuaj:
│4 – x -

│= 4 – x –

x 2 – 5x + 5 = 0 D = 5 x 1,2 =

≈ 1,4

Përgjigje: x = 3.

Ushtrime: №12. Zgjidheni ekuacionin, tregoni rrënjën e plotë në përgjigjen tuaj: │x 2 + 6x + 8│= x 2 + 6x + 8 №13. Zgjidheni ekuacionin, tregoni numrin e zgjidhjeve me numra të plotë në përgjigjen tuaj: │13x – x 2 - 36│+ x 2 – 13x + 36 = 0 №14. Zgjidheni ekuacionin në përgjigjen tuaj, tregoni një numër të plotë që nuk është rrënja e ekuacionit:

Seksioni 5. Ekuacionet e formës │F(x)│= │G(x)│

Meqenëse të dyja anët e ekuacionit janë jonegative, zgjidhja përfshin shqyrtimin e dy rasteve: shprehjet nënmodulare janë të barabarta ose të kundërta në shenjë. Prandaj, ekuacioni origjinal është i barabartë me kombinimin e dy ekuacioneve: │ F(x)│= │ G(x)│

Shembuj: №1. Zgjidheni ekuacionin, tregoni rrënjën e plotë në përgjigjen tuaj: │x + 3│=│2x - 1│

Përgjigje: rrënjë e plotë x = 4.№2. Zgjidhe ekuacionin: │ x – x 2 - 1│=│2x – 3 – x 2 │

Përgjigje: x = 2.№3 . Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni produktin e rrënjëve në përgjigjen tuaj:

Ekuacionet rrënjësore 4x 2 + 2x – 1 = 0 x 1.2 = - 1±√5 / 4 Përgjigje: prodhimi i rrënjëve është – 0,25. Ushtrime: №15 . Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni zgjidhjen e plotë në përgjigjen tuaj: │x 2 – 3x + 2│= │x 2 + 6x - 1│ №16. Zgjidheni ekuacionin, tregoni rrënjën më të vogël në përgjigjen tuaj:│5x - 3│=│7 - x│ №17 . Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni shumën e rrënjëve në përgjigjen tuaj:

Seksioni 6. Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve jo standarde

Në këtë seksion do të shqyrtojmë shembuj të ekuacioneve jo standarde, kur zgjidhim të cilat vlera absolute e shprehjes zbulohet me përkufizim. Shembuj:

№1. Zgjidheni ekuacionin, tregoni shumën e rrënjëve në përgjigjen tuaj: x · │x│- 5x – 6 = 0
Përgjigje: shuma e rrënjëve është 1 №2. . Zgjidheni ekuacionin, tregoni rrënjën më të vogël në përgjigjen tuaj: x 2 - 4x ·
- 5 = 0
Përgjigje: rrënjë më e vogël x = - 5. №3. Zgjidhe ekuacionin:

Përgjigje: x = -1. Ushtrime: №18. Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni shumën e rrënjëve: x · │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. Zgjidheni ekuacionin: x 2 – 3x =

№20. Zgjidhe ekuacionin:

Seksioni 7. Ekuacionet e formës │F(x)│+│G(x)│=0

Është e lehtë të vërehet se në anën e majtë të ekuacionit të këtij lloji është shuma e madhësive jo negative. Prandaj, ekuacioni origjinal ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse të dy termat janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë. Ekuacioni është i barabartë me sistemin e ekuacioneve: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Shembuj: №1 . Zgjidhe ekuacionin:

Përgjigje: x = 2. №2. Zgjidhe ekuacionin: Përgjigje: x = 1. Ushtrime: №21. Zgjidhe ekuacionin: №22 . Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni shumën e rrënjëve në përgjigjen tuaj: №23 . Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni numrin e zgjidhjeve në përgjigjen tuaj:

Seksioni 8. Ekuacionet e formës │a 1 x + b 1 │±│a 2 x + b 2 │± ... │a n x +b n │= m

Për zgjidhjen e ekuacioneve të këtij lloji përdoret metoda e intervalit. Nëse e zgjidhim atë me zgjerim sekuencial të moduleve, marrim n grupe sistemesh, gjë që është shumë e rëndë dhe e papërshtatshme. Le të shqyrtojmë algoritmin e metodës së intervalit: 1). Gjeni vlerat e ndryshueshme X, për të cilin çdo modul është i barabartë me zero (zero të shprehjeve nënmodulare):

2). Shënoni vlerat e gjetura në një rresht numerik, i cili ndahet në intervale (numri i intervaleve është përkatësisht i barabartë me n+1 ) 3). Përcaktoni se me çfarë shenje zbulohet secili modul në secilën prej intervaleve të marra (kur bëni një zgjidhje, mund të përdorni një rresht numerik, duke shënuar shenjat në të) 4). Ekuacioni origjinal është i barabartë me agregatin n+1 sisteme, në secilën prej të cilave tregohet anëtarësia e ndryshores X një nga intervalet. Shembuj: №1 . Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni rrënjën më të madhe në përgjigjen tuaj:

1). Le të gjejmë zerot e shprehjeve nënmodulare: x = 2; x = -3 2). Le të shënojmë vlerat e gjetura në vijën numerike dhe të përcaktojmë se me çfarë shenje zbulohet secili modul në intervalet që rezultojnë:
x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)

- nuk ka zgjidhje Ekuacioni ka dy rrënjë. Përgjigje: rrënja më e madhe x = 2. №2. Zgjidheni ekuacionin dhe jepni rrënjën e plotë në përgjigjen tuaj:

1). Le të gjejmë zerot e shprehjeve nënmodulare: x = 1,5; x = - 1 2). Le të shënojmë vlerat e gjetura në vijën numerike dhe të përcaktojmë se me çfarë shenje zbulohet secili modul në intervalet që rezultojnë: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 x 2x – 3 2x – 3 2x – 3 - - +
3).

Sistemi i fundit nuk ka zgjidhje, prandaj ekuacioni ka dy rrënjë. Kur zgjidhni ekuacionin, duhet t'i kushtoni vëmendje shenjës "-" përpara modulit të dytë. Përgjigje: rrënja e plotë x = 7. №3. Zgjidheni ekuacionin, tregoni shumën e rrënjëve në përgjigjen tuaj: 1). Le të gjejmë zerot e shprehjeve nënmodulare: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Le të shënojmë vlerat e gjetura në vijën numerike dhe të përcaktojmë se me çfarë shenje zbulohet secili modul në intervalet që rezultojnë: x – 5 x – 5 x – 5 x – 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).

Ekuacioni ka dy rrënjë x = 0 dhe 2. Përgjigje: shuma e rrënjëve është 2. №4 . Zgjidheni ekuacionin: 1). Le të gjejmë zerot e shprehjeve nënmodulare: x = 1; x = 2; x = 3. 2). Le të përcaktojmë se me çfarë shenje zbulohet çdo modul në intervalet që rezultojnë. 3).

Le të kombinojmë zgjidhjet e tre sistemeve të para. Përgjigje: ; x = 5.
Ushtrime: №24. Zgjidhe ekuacionin:

№25. Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni shumën e rrënjëve në përgjigjen tuaj: №26. Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni rrënjën më të vogël në përgjigjen tuaj: №27. Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni rrënjën më të madhe në përgjigjen tuaj:

Seksioni 9. Ekuacionet që përmbajnë disa module

Ekuacionet që përmbajnë module të shumta supozojnë praninë e vlerave absolute në shprehjet nënmodulare. Parimi bazë për zgjidhjen e ekuacioneve të këtij lloji është zbulimi sekuencial i moduleve, duke filluar nga ai "i jashtëm". Gjatë zgjidhjes, përdoren teknikat e diskutuara në seksionet nr.1, nr.3.

Shembuj: №1. Zgjidhe ekuacionin:
Përgjigje: x = 1; - 11. №2. Zgjidhe ekuacionin:
Përgjigje: x = 0; 4; - 4. №3. Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni produktin e rrënjëve në përgjigjen tuaj:
Përgjigje: prodhimi i rrënjëve është – 8. №4. Zgjidhe ekuacionin:
Le të shënojmë ekuacionet e popullsisë (1) Dhe (2) dhe merrni parasysh zgjidhjen për secilën prej tyre veç e veç për lehtësinë e projektimit. Meqenëse të dy ekuacionet përmbajnë më shumë se një modul, është më e përshtatshme të kryhet një kalim ekuivalent në grupe sistemesh. (1)

(2)

Përgjigje:
Ushtrime: №36. Zgjidheni ekuacionin, tregoni shumën e rrënjëve në përgjigjen tuaj: 5 │3x-5│ = 25 x №37. Zgjidheni ekuacionin, nëse ka më shumë se një rrënjë, tregoni shumën e rrënjëve në përgjigjen tuaj: │x + 2│ x – 3x – 10 = 1 №38. Zgjidhe ekuacionin: 3 │2x -4│ = 9 │x│ №39. Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni numrin e rrënjëve në përgjigjen tuaj: 2 │ sin x│ = √2 №40 . Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni numrin e rrënjëve në përgjigjen tuaj:

Seksioni 3. Ekuacionet logaritmike.

Para se të zgjidhen ekuacionet e mëposhtme, është e nevojshme të rishikohen vetitë e logaritmeve dhe funksioni logaritmik. Shembuj: №1. Zgjidheni ekuacionin, tregoni prodhimin e rrënjëve në përgjigjen tuaj: log 2 (x+1) 2 + log 2 │x+1│ = 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1

Rasti 1: nëse x ≥ - 1, atëherë log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – plotëson kushtin x ≥ - 1 2 rasti: nëse x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 - plotëson kushtin x - 1
Përgjigje: prodhimi i rrënjëve është – 15.
№2. Zgjidheni ekuacionin, tregoni shumën e rrënjëve në përgjigjen tuaj: lg
O.D.Z.

Përgjigje: shuma e rrënjëve është 0,5.
№3. Zgjidheni ekuacionin: log 5
O.D.Z.

Përgjigje: x = 9. №4. Zgjidheni ekuacionin: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Le të përdorim formulën për të kaluar në një bazë tjetër. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Të gjejmë zerot e shprehjeve nënmodulare: x = 25; x = Këta numra ndajnë gamën e vlerave të pranueshme në tre intervale, kështu që ekuacioni është i barabartë me një grup prej tre sistemesh.
Përgjigje :)