Si të llogarisim një integral të caktuar duke përdorur metodën trapezoidale?

Së pari, formula e përgjithshme. Ndoshta nuk do të jetë menjëherë e qartë për të gjithë... po, Karlsson është me ju - shembuj praktikë do të sqarojnë gjithçka! I qetë. Vetëm paqe.

Le të shqyrtojmë integralin e caktuar, ku është një funksion i vazhdueshëm në interval. Le ta ndajmë segmentin në të barabartë segmente:
. Në këtë rast, është e qartë: (kufiri i poshtëm i integrimit) dhe (kufiri i sipërm i integrimit). Pikat quajtur edhe nyjet.

Atëherë integrali i caktuar mund të llogaritet përafërsisht sipas formulës trapezoidale:
, Ku:
– gjatësia e secilit prej segmenteve të vogla ose hap;
– vlerat e integrandit në pika .

Shembulli 1

Llogaritni një integral afërsisht të caktuar duke përdorur formulën trapezoidale. Rrumbullakosni rezultatet në tre shifra dhjetore.

a) Ndarja e segmentit të integrimit në 3 pjesë.
b) Ndarja e segmentit të integrimit në 5 pjesë.

Zgjidhja:
a) Sidomos për bedelet, pikën e parë e lidha me një vizatim që tregonte qartë parimin e metodës. Nëse është e vështirë, shikoni vizatimin ndërsa komentoni, këtu është një pjesë e tij:

Sipas kushtit, segmenti i integrimit duhet të ndahet në 3 pjesë, d.m.th.
Le të llogarisim gjatësinë e secilit segment të ndarjes: . Parametri, ju kujtoj, quhet gjithashtu hap.

Sa pika (nyje ndarje) do të ketë? do të ketë nje me shume sesa numri i segmenteve:

Kështu, formula e përgjithshme për trapezoidët reduktohet në një madhësi të bukur:

Për llogaritjet, mund të përdorni një mikrollogaritës të rregullt:

Vini re se, në përputhje me kushtet e problemit, të gjitha llogaritjet duhet të rrumbullakosen në shifrën e tretë dhjetore.

Së fundi:

Më lejoni t'ju kujtoj se vlera e fituar është një vlerë e përafërt e sipërfaqes (shih figurën më lart).

b) Segmentin e integrimit e ndajmë në 5 pjesë të barabarta, d.m.th. Pse është e nevojshme kjo? Për të parandaluar rënien e Phobos-Grunt në oqean, duke rritur numrin e segmenteve, ne rrisim saktësinë e llogaritjeve.

Nëse , atëherë formula trapezoidale merr formën e mëposhtme:

Le të gjejmë hapin e ndarjes:
, domethënë gjatësia e çdo segmenti të ndërmjetëm është 0,6.

Kur përfundoni detyrën, është e përshtatshme të zyrtarizoni të gjitha llogaritjet duke përdorur një tabelë llogaritëse:

Në rreshtin e parë shkruajmë "kundër"

Unë mendoj se të gjithë mund të shohin se si formohet rreshti i dytë - së pari shkruajmë kufirin e poshtëm të integrimit, vlerat e mbetura merren duke shtuar me radhë hapin.

Unë mendoj se pothuajse të gjithë e kuptuan parimin me të cilin plotësohet vija përfundimtare. Për shembull, nëse , atëherë . Siç thonë ata, numëro, mos u bëj dembel.

Si rezultat:

Epo, vërtet ka një sqarim, dhe një sqarim serioz!
Nëse për 3 segmente ndarjeje, atëherë për 5 segmente. Kështu, me një shkallë të lartë besimi mund të themi se, të paktën.

Shembulli 2

Llogaritni një integral përafërsisht të caktuar duke përdorur formulën trapezoidale të saktë në dy shifra dhjetore (deri në 0,01).

Zgjidhja: Pothuajse e njëjta detyrë, por në një formulim paksa të ndryshëm. Dallimi themelor nga Shembulli 1 është se ne nuk e dimë, NË SA segmente duhet ta ndajmë segmentin e integrimit për të marrë dy shifra dhjetore të sakta? Me fjalë të tjera, ne nuk e dimë kuptimin e .

Ekziston një formulë e veçantë që ju lejon të përcaktoni numrin e segmenteve të ndarjes në mënyrë që të garantoni saktësinë e kërkuar, por në praktikë shpesh është e vështirë të zbatohet. Prandaj, është e dobishme të përdoret një qasje e thjeshtuar.

Së pari, segmenti i integrimit ndahet në disa segmente të mëdha, zakonisht 2-3-4-5. Le ta ndajmë segmentin e integrimit, për shembull, në të njëjtat 5 pjesë. Formula është tashmë e njohur:

Dhe hapi, natyrisht, dihet gjithashtu:

Por lind një pyetje tjetër: në cilën shifër duhet të rrumbullakosen rezultatet? Kushti nuk thotë asgjë për numrin e numrave dhjetorë për të lënë. Rekomandimi i përgjithshëm është: ju duhet të shtoni 2-3 shifra në saktësinë e kërkuar. Në këtë rast, saktësia e kërkuar është 0.01. Sipas rekomandimit, pas pikës dhjetore do të lëmë pesë karaktere pas pikës dhjetore (katër ishin të mundshme):

Si rezultat:

Pas rezultatit primar, numri i segmenteve dyfishtë. Në këtë rast, është e nevojshme të ndahet në 10 segmente. Dhe kur numri i segmenteve rritet, më vjen në mendje mendimi i ndritshëm se jam lodhur disi duke i futur gishtat në mikrollogaritës. Prandaj, unë sugjeroj edhe një herë shkarkimin dhe përdorimin e kalkulatorit tim gjysmë automatik (lidhja në fillim të mësimit).

Formula e trapezit merr formën e mëposhtme:

Në versionin në letër, hyrja mund të zhvendoset në mënyrë të sigurt në rreshtin tjetër.

Le të llogarisim hapin e ndarjes:

Le të përmbledhim rezultatet e llogaritjes në një tabelë:

Kur mbaroni në një fletore, është e dobishme të ktheni një tryezë të gjatë në një tryezë dykatëshe.

Llogaritja e integraleve ndodh mjaft shpesh në modelim. Metodat numerike zakonisht përdoren kur merren integrale jo të realizueshme nga funksione mjaft komplekse që janë tabeluar më parë, ose kur integrohen funksione të tabeluara, gjë që është shumë më e zakonshme në aplikimet ekonomike.

Koncepti i integrimit numerik.

Të gjitha metodat numerike bazohen në faktin se integrandi zëvendësohet afërsisht me një më të thjeshtë (drejtëza horizontale ose e pjerrët, parabola e rendit të dytë, të tretë ose më të lartë), nga e cila merret lehtësisht integrali. Si rezultat, formulat e integrimit, të quajtura kuadraturë, merren në formën e një shume të ponderuar të ordinatave të integrandit në pika të veçanta:

Sa më të vogla të jenë intervalet në të cilat bëhet zëvendësimi, aq më saktë llogaritet integrali. Prandaj, për të përmirësuar saktësinë, segmenti origjinal [a, b] ndahet në disa intervale të barabarta ose të pabarabarta, në secilën prej të cilave zbatohet formula e integrimit dhe më pas shtohen rezultatet.

Në shumicën e rasteve, gabimi i integrimit numerik përcaktohet nga integrimi i dyfishtë: me hapin fillestar (hapi përcaktohet duke pjesëtuar në mënyrë uniforme segmentin b-a me numrin e segmenteve n\h=(b-a)/n)u me një hap të rritur. me 2 herë. Dallimi në vlerat e llogaritura të integraleve përcakton gabimin.

Krahasimi i efektivitetit të metodave të ndryshme kryhet sipas shkallës së polinomit, i cili integrohet me saktësi nga kjo metodë, pa gabime. Sa më e lartë të jetë shkalla e një polinomi të tillë, sa më e lartë të jetë saktësia e metodës, aq më efektive është ajo.

Metodat më të thjeshta përfshijnë metoda drejtkëndëshat(majtas dhe djathtas) dhe trapezoid. Në rastin e parë, integrandi zëvendësohet nga një drejtëz horizontale (y = c0) me vlerën e ordinatës, d.m.th. vlerat e funksionit janë përkatësisht në të majtë ose në të djathtë të seksionit, në rastin e dytë - një vijë e drejtë e prirur (y = c 1 x + c 0). Formulat e integrimit për ndarjen e segmentit [a, b] në n pjesë me hap të njëtrajtshëm h përkatësisht marrin formën:

Për një pjesë të integrimit:

Për P fushat e integrimit:

Është e lehtë të shihet se në metodën e drejtkëndëshit integrali mund të llogaritet absolutisht me saktësi vetëm nëse f(x) = Me(const), dhe në metodën trapezoid - me f(x) lineare ose pjesë-pjesë lineare.

Në Fig. Për krahasim, Figura 4 tregon shembuj të drejtkëndëshave me numër të ndryshëm seksionesh. Shihet qartë se sipërfaqja e të gjithë drejtkëndëshave në figurën e duhur ndryshon më pak nga zona nën kurbë f (x), sesa në të majtë.

Oriz. 4. Ilustrimi i metodës së drejtkëndëshit të majtë:

A- me 3 seksione të ndarjes së segmentit të integrimit [a, b];

b- me 6 seksione të ndarjes së segmentit të integrimit [a, b]

Metoda e drejtkëndëshit nuk gjen zbatim praktik për shkak të gabimeve të rëndësishme, gjë që është e dukshme edhe nga Fig. 4.

Në Fig. Figura 5 tregon një shembull të llogaritjes së integralit duke përdorur metodën trapezoidale. Krahasuar me metodën e drejtkëndëshit, metoda e trapezit është më e saktë, pasi një trapezoid zëvendëson trapezin e lakuar përkatës më saktë se një drejtkëndësh. Fig 5.

Gabim R llogaritja e integralit me metodën trapezoidale duke përdorur llogaritjen e dyfishtë në praktikë mund të përcaktohet nga marrëdhënia e mëposhtme:

Ku Në Dhe I p/2- respektivisht vlera e integralit me numrin e ndarjeve P Dhe p/2. Ekzistojnë edhe shprehje analitike për përcaktimin e gabimit, por ato kërkojnë njohuri për derivatin e dytë të integrandit, prandaj kanë vetëm rëndësi teorike. Duke përdorur llogaritjen e dyfishtë, është e mundur të organizohet përzgjedhja automatike e hapit të integrimit (d.m.th., numri i ndarjeve n) për të siguruar një gabim të caktuar integrimi (dyfishimi i njëpasnjëshëm i hapit dhe kontrollimi i gabimit).

Ne marrim duke përdorur metodën e drejtkëndëshit të majtë:

Ne marrim duke përdorur metodën e drejtkëndëshit të drejtë:

Ne marrim me metodën trapezoidale:

Detyrat edukative:

Qëllimi didaktik. Prezantoni studentët me metodat e llogaritjes së përafërt të një integrali të caktuar.
Qëllimi arsimor. Tema e këtij mësimi ka një rëndësi të madhe praktike dhe edukative. Mënyra më e thjeshtë për t'iu qasur idesë së integrimit numerik është të mbështetemi në përcaktimin e një integrali të caktuar si kufiri i shumave integrale. Për shembull, nëse marrim ndonjë ndarje mjaftueshëm të vogël të segmentit [ a; b] dhe ndërtoni një shumë integrale për të, atëherë vlera e saj mund të merret përafërsisht si vlerë e integralit përkatës. Në të njëjtën kohë, është e rëndësishme që shpejt dhe saktë të kryhen llogaritjet duke përdorur teknologjinë kompjuterike.

Njohuritë dhe aftësitë bazë. Të kuptojnë metodat e përafërta për llogaritjen e një integrali të caktuar duke përdorur formulat e drejtkëndëshave dhe trapezoideve.

Sigurimi i klasave

Fletushka. Kartat-detyra për punë të pavarur.
OST. Multi-projektor, PC, laptop.
Pajisjet e OST. Prezantimet: “Kuptimi gjeometrik i derivateve”, “Metoda e drejtkëndëshave”, “Metoda e trapezoidëve”. (Prezantimet mund të merren nga autori).
Pajisjet kompjuterike: PC, mikrokalkulatorë.
Udhëzimet

Lloji i mësimit. Praktike e integruar.

Motivimi i veprimtarisë njohëse të nxënësve. Shumë shpesh është e nevojshme të llogariten integrale të caktuara për të cilat është e pamundur të gjendet një antiderivativ. Në këtë rast, përdoren metoda të përafërta për llogaritjen e integraleve të përcaktuara. Ndonjëherë metoda e përafërt përdoret gjithashtu për integralet "të marra", nëse llogaritja duke përdorur formulën Newton-Leibniz nuk është racionale. Ideja e llogaritjes së përafërt të integralit është që kurba të zëvendësohet nga një kurbë e re që është mjaft "afër" me të. Në varësi të zgjedhjes së kurbës së re, mund të përdoret një ose një formulë tjetër e përafërt e integrimit.

Sekuenca e mësimit.

Formula drejtkëndëshe.
Formula e trapezit.
Zgjidhja e ushtrimeve.

Plani i mësimit

Përsëritja e njohurive bazë të nxënësve.

Përsëriteni me nxënësit: formulat bazë të integrimit, thelbi i metodave të studiuara të integrimit, kuptimi gjeometrik i një integrali të caktuar.

Bërja e punës praktike.

Zgjidhja e shumë problemeve teknike zbret në llogaritjen e integraleve të caktuara, shprehja e saktë e të cilave është komplekse, kërkon llogaritje të gjata dhe jo gjithmonë justifikohet në praktikë. Këtu vlera e tyre e përafërt është mjaft e mjaftueshme.

Le të, për shembull, duhet të llogarisni zonën e kufizuar nga një vijë, ekuacioni i së cilës është i panjohur. Në këtë rast, mund ta zëvendësoni këtë rresht me një më të thjeshtë, ekuacioni i së cilës dihet. Sipërfaqja e trapezit lakor të marrë në këtë mënyrë merret si një vlerë e përafërt e integralit të dëshiruar.

Metoda më e thjeshtë e përafërt është metoda drejtkëndëshe. Gjeometrikisht, ideja e metodës së llogaritjes së integralit të caktuar duke përdorur formulën drejtkëndëshe është që zona e një trapezi lakor ABCD zëvendësohet nga shuma e sipërfaqeve të drejtkëndëshave, njëra anë e të cilave është e barabartë me , dhe tjetra - .

Nëse përmbledhim zonat e drejtkëndëshave që tregojnë zonën e një trapezi të lakuar me një disavantazh [Figura 1], marrim formulën:

[Figura 1]

atëherë marrim formulën:

Nëse në tepricë

[Figura 2],

vlerat y 0, y 1,..., y n gjetur nga barazitë , k = 0, 1..., n.Këto formula quhen formulat drejtkëndësh dhe jep një rezultat të përafërt. Me rritje n rezultati bëhet më i saktë.

Pra, për të gjetur vlerën e përafërt të integralit, ju duhet:

Për të gjetur gabimin e llogaritjes, duhet të përdorni formulat:

Shembulli 1. Llogaritni duke përdorur formulën drejtkëndësh. Gjeni gabimet absolute dhe relative të llogaritjeve.

Le të ndajmë segmentin [ a, b] në disa (për shembull, 6) pjesë të barabarta. Pastaj a = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

f(x 0) = 2 2 = 4
f (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x 2) = 3 2 = 9
f (x 3) = 3,5 2 = 12,25
f (x 4) = 4 2 = 16
f (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

X	2	2,5	3	3,5	4	4,5
në	4	6,25	9	12,25	16	20,25

Sipas formulës (1):

Për të llogaritur gabimin relativ të llogaritjeve, është e nevojshme të gjendet vlera e saktë e integralit:

Llogaritjet zgjatën shumë dhe përfunduam me një rrumbullakim mjaft të përafërt. Për të llogaritur këtë integral me një përafrim më të vogël, mund të përdorni aftësitë teknike të një kompjuteri.

Për të gjetur integralin e caktuar duke përdorur metodën e drejtkëndëshit, duhet të futni vlerat e integrandit f(x) në fletën e punës Excel në varg X me një hap të caktuar X= 0,1.

Krijimi i një tabele të dhënash (X Dhe f(x)). X f(x). Argumenti, dhe në qelizën B1 - fjala Funksioni2 2,1 ). Më pas, duke zgjedhur bllokun e qelizave A2:A3, duke përdorur plotësimin automatik, marrim të gjitha vlerat e argumentit (ne zvarritim këndin e poshtëm djathtas të bllokut në qelizën A32, në vlerën x=5).
Më pas, futim vlerat e integrandit. Në qelizën B2 ju duhet të shkruani ekuacionin e saj. Për ta bërë këtë, vendosni kursorin e tabelës në qelizën B2 dhe futni formulën nga tastiera =A2^2(me paraqitjen e tastierës angleze). Shtypni tastin Hyni. Në qelizën B2 shfaqet 4 . Tani ju duhet të kopjoni funksionin nga qeliza B2. Duke përdorur plotësimin automatik, kopjoni këtë formulë në diapazonin B2:B32.
Rezultati duhet të jetë një tabelë e të dhënave për gjetjen e integralit.
Tani në qelizën B33 mund të gjendet vlera e përafërt e integralit. Për ta bërë këtë, futni formulën në qelizën B33 = 0,1*, pastaj thirrni magjistarin e funksionit (duke klikuar butonin Insert Function në shiritin e veglave (f(x)). Në kutinë e dialogut që shfaqet, Funksioni Wizard - hapi 1 nga 2, në të majtë në fushën Kategori, zgjidhni Mathematical. Në të djathtë në fushën Funksioni është funksioni Shuma. Shtyp butonin NE RREGULL. Shfaqet kutia e dialogut Shumat. Duke përdorur miun, futni diapazonin e përmbledhjes B2:B31 në fushën e punës. Shtyp butonin NE RREGULL. Në qelizën B33, një vlerë e përafërt e integralit të dëshiruar shfaqet me një disavantazh ( 37,955 ) .

Krahasimi i vlerës së përafërt të fituar me vlerën e vërtetë të integralit ( 39 ), mund të shihet se gabimi i përafrimit të metodës së drejtkëndëshit në këtë rast është i barabartë me

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Shembulli 2. Duke përdorur metodën e drejtkëndëshit, llogaritni me një hap të caktuar X = 0,05.

Krahasimi i vlerës së përafërt të fituar me vlerën e vërtetë të integralit , mund të shihet se gabimi i përafrimit të metodës së drejtkëndëshit në këtë rast është i barabartë me

Metoda trapezoidale zakonisht jep një vlerë integrale më të saktë se metoda drejtkëndore. Trapezi i lakuar zëvendësohet nga shuma e disa trapezoideve dhe vlera e përafërt e integralit të caktuar gjendet si shuma e sipërfaqeve të trapezëve

[Figura 3]

Shembulli 3. Gjeni duke përdorur metodën trapezoidale në hapa X = 0,1.

Hapni një fletë pune bosh.
Krijimi i një tabele të dhënash (X Dhe f(x)). Le të jenë vlerat kolona e parë X, dhe e dyta me treguesit përkatës f(x). Për ta bërë këtë, futni fjalën në qelizën A1 Argumenti, dhe në qelizën B1 - fjala Funksioni. Vlera e parë e argumentit futet në qelizën A2 - kufiri i majtë i diapazonit ( 0 ). Vlera e dytë e argumentit futet në qelizën A3 - kufiri i majtë i diapazonit plus hapi i ndërtimit ( 0,1 ). Pastaj, duke zgjedhur bllokun e qelizave A2: A3, duke përdorur plotësimin automatik, marrim të gjitha vlerat e argumentit (ne zvarritim këndin e poshtëm djathtas të bllokut në qelizën A33, në vlerën x=3.1).
Më pas, futim vlerat e integrandit. Në qelizën B2 ju duhet të shkruani ekuacionin e saj (në shembullin e sinusit). Për ta bërë këtë, kursori i tabelës duhet të vendoset në qelizën B2. Këtu duhet të ketë një vlerë sinus që korrespondon me vlerën e argumentit në qelizën A2. Për të marrë vlerën e sinusit, ne do të përdorim një funksion të veçantë: klikoni butonin Insert Function në shiritin e veglave f(x). Në kutinë e dialogut që shfaqet, Funksioni Wizard - hapi 1 nga 2, në të majtë në fushën Kategori, zgjidhni Mathematical. Në të djathtë në fushën Funksioni - funksioni MËKATA. Shtyp butonin NE RREGULL. Shfaqet një kuti dialogu MËKATA. Duke vendosur treguesin e miut mbi fushën gri të dritares, me butonin e majtë të shtypur, zhvendoseni fushën në të djathtë për të hapur kolonën e të dhënave ( A). Ne tregojmë vlerën e argumentit sinus duke klikuar në qelizën A2. Shtyp butonin NE RREGULL. Një 0 shfaqet në qelizën B2 Tani ju duhet të kopjoni funksionin nga qeliza B2. Duke përdorur plotësimin automatik, kopjojeni këtë formulë në diapazonin B2:B33. Rezultati duhet të jetë një tabelë e të dhënave për gjetjen e integralit.
Tani në qelizën B34 vlera e përafërt e integralit mund të gjendet duke përdorur metodën trapezoidale. Për ta bërë këtë, futni formulën në qelizën B34 = 0,1*((B2+B33)/2+, pastaj thirrni magjistarin e funksionit (duke klikuar butonin Insert Function në shiritin e veglave (f(x)). Në kutinë e dialogut që shfaqet, Funksioni Wizard - hapi 1 nga 2, në të majtë në fushën Kategori, zgjidhni Mathematical. Në të djathtë në fushën Funksioni është funksioni Shuma. Shtyp butonin NE RREGULL. Shfaqet kutia e dialogut Shumat. Futni gamën e përmbledhjes B3:B32 në fushën e punës me miun. Shtyp butonin Ne rregull edhe njehere NE RREGULL. Në qelizën B34, një vlerë e përafërt e integralit të dëshiruar shfaqet me një disavantazh ( 1,997 ) .

Duke krahasuar vlerën e përafërt të marrë me vlerën e vërtetë të integralit, mund të shihet se gabimi i përafrimit të metodës së drejtkëndëshit në këtë rast është mjaft i pranueshëm për praktikë.

Zgjidhja e ushtrimeve.

Si të llogarisim një integral të caktuar
duke përdorur formulën trapezoidale dhe metodën e Simpsonit?

Metodat numerike janë një pjesë mjaft e madhe e matematikës së lartë dhe tekstet serioze për këtë temë përmbajnë qindra faqe. Në praktikë, testet tradicionalisht propozojnë zgjidhjen e disa problemeve duke përdorur metoda numerike, dhe një nga problemet e zakonshme është llogaritja e përafërt. integrale të përcaktuara. Në këtë artikull do të shikoj dy metoda për llogaritjen e përafërt të integralit të caktuar - Metoda e trapezit Dhe Metoda Simpson.

Çfarë duhet të dini për të zotëruar këto metoda? Mund të tingëllojë qesharake, por mund të mos jeni në gjendje të merrni fare integrale. Dhe ju as nuk e kuptoni se çfarë janë integralet. Nga mjetet teknike do t'ju duhet një mikrollogaritës. Po, po, na presin llogaritjet rutinë të shkollës. Më mirë akoma, shkarkoni kalkulatorin tim gjysmë automatik për metodën trapezoidale dhe metodën Simpson. Llogaritësi është i shkruar në Excel dhe do të zvogëlojë kohën e nevojshme për zgjidhjen dhe plotësimin e problemeve me dhjetëra herë. Për dummies Excel, është përfshirë një manual video! Nga rruga, regjistrimi i parë video me zërin tim.

Së pari, le të pyesim veten: pse na duhen fare llogaritjet e përafërta? Duket se mund të gjeni antiderivativin e funksionit dhe të përdorni formulën Njuton-Leibniz, duke llogaritur vlerën e saktë të integralit të caktuar. Për t'iu përgjigjur pyetjes, le të shohim menjëherë një shembull demo me një foto.

Njehsoni integralin e caktuar

Gjithçka do të ishte mirë, por në këtë shembull integrali nuk merret - para jush është një i pamarrë, i ashtuquajturi logaritmi integral. A ekziston ky integral? Le të përshkruajmë në vizatim grafikun e funksionit të integrandit:

Cdo gje eshte ne rregull. Integrani është i vazhdueshëm në segment dhe integrali i caktuar është numerikisht i barabartë me zonën e hijezuar. Ka vetëm një kapje: integrali nuk mund të merret. Dhe në raste të tilla, metodat numerike vijnë në shpëtim. Në këtë rast, problemi shfaqet në dy formulime:

1) Njehsoni përafërsisht integralin e caktuar , duke rrumbullakosur rezultatin në një numër dhjetor të caktuar. Për shembull, deri në dy shifra dhjetore, deri në tre shifra dhjetore, etj. Le të supozojmë se përgjigja e përafërt është 5.347. Në fakt, mund të mos jetë plotësisht e saktë (në realitet, të themi, përgjigja më e saktë është 5.343). Detyra jonë është vetëm se për të rrumbullakosur rezultatin në tre shifra dhjetore.

2) Llogaritni përafërsisht integralin e caktuar, me një saktësi të caktuar. Për shembull, llogaritni një integral të caktuar afërsisht me një saktësi prej 0,001. Çfarë do të thotë? Kjo do të thotë që ne duhet të gjejmë një vlerë të përafërt që modul (në një mënyrë apo tjetrën) ndryshon nga e vërteta jo më shumë se 0.001.

Ekzistojnë disa metoda themelore për llogaritjen e përafërt të integralit të caktuar që shfaqet në problema:

Segmenti i integrimit ndahet në disa pjesë dhe ndërtohet një figurë me shkallë, e cila është afër zonës me zonën e dëshiruar:

Mos gjykoni rreptësisht nga vizatimet, saktësia nuk është ideale - ato ndihmojnë vetëm për të kuptuar thelbin e metodave.

Ideja është e ngjashme. Segmenti i integrimit ndahet në disa segmente të ndërmjetme dhe afrohet grafiku i funksionit integrand vijë e thyer linjë:

Kështu, zona jonë (hije blu) përafrohet me shumën e sipërfaqeve të trapezoideve (e kuqe). Prandaj emri i metodës. Është e lehtë të shihet se metoda e trapezit jep një përafrim shumë më të mirë se metoda e drejtkëndëshit (me të njëjtin numër të segmenteve të ndarjes). Dhe, natyrisht, sa më të vogla segmente të ndërmjetme të konsiderojmë, aq më e lartë do të jetë saktësia. Metoda e trapezit haset herë pas here në detyra praktike dhe në këtë artikull do të diskutohen disa shembuj.

Metoda e Simpsonit (metoda e parabolës). Kjo është një metodë më e avancuar - grafiku i integrandit përafrohet jo me një vijë të thyer, por me parabola të vogla. Ka aq shumë parabola të vogla sa ka segmente të ndërmjetme. Nëse marrim të njëjtat tre segmente, atëherë metoda e Simpsonit do të japë një përafrim edhe më të saktë se metoda e drejtkëndëshit ose metoda e trapezit.

Unë nuk e shoh pikën në ndërtimin e një vizatimi, pasi përafrimi vizual do të mbivendoset në grafikun e funksionit (vija e thyer e paragrafit të mëparshëm - dhe madje edhe atëherë pothuajse përkoi).

Problemi i llogaritjes së një integrali të caktuar duke përdorur formulën e Simpson është detyra më e njohur në praktikë. Dhe metodës së parabolës do t'i kushtohet vëmendje e konsiderueshme.

Si të llogarisim një integral të caktuar duke përdorur metodën trapezoidale?

Së pari, formula e përgjithshme. Ndoshta nuk do të jetë menjëherë e qartë për të gjithë... po, Karlsson është me ju - shembuj praktikë do të sqarojnë gjithçka! I qetë. Vetëm paqe.

Atëherë integrali i caktuar mund të llogaritet përafërsisht sipas formulës trapezoidale:
, Ku:
hap;
– vlerat e integrandit në pika .

Shembulli 1

Llogaritni një integral afërsisht të caktuar duke përdorur formulën trapezoidale. Rrumbullakosni rezultatet në tre shifra dhjetore.

a) Ndarja e segmentit të integrimit në 3 pjesë.
b) Ndarja e segmentit të integrimit në 5 pjesë.

Sa pika (nyje ndarje) do të ketë? do të ketë nje me shume sesa numri i segmenteve:

Epo, formula e përgjithshme e trapezoideve është reduktuar në një madhësi të këndshme:

Për llogaritjet, mund të përdorni një mikrollogaritës të rregullt:

Vini re se, në përputhje me kushtet e problemit, të gjitha llogaritjet duhet të rrumbullakosen në shifrën e tretë dhjetore.

Së fundi:

Nga pikëpamja gjeometrike, kemi llogaritur shumën e sipërfaqeve të tre trapezoideve (shih foton më lart).

Nëse , atëherë formula trapezoidale merr formën e mëposhtme:

Le të gjejmë hapin e ndarjes:
, domethënë gjatësia e çdo segmenti të ndërmjetëm është 0,6.

Kur përfundoni detyrën, është e përshtatshme të zyrtarizoni të gjitha llogaritjet duke përdorur një tabelë llogaritëse:

Në rreshtin e parë shkruajmë "kundër"

Unë mendoj se të gjithë mund të shohin se si formohet rreshti i dytë - së pari shkruajmë kufirin e poshtëm të integrimit, vlerat e mbetura merren duke shtuar me radhë hapin.

Unë mendoj se pothuajse të gjithë e kuptuan parimin me të cilin plotësohet vija përfundimtare. Për shembull, nëse , atëherë . Siç thonë ata, numëro, mos u bëj dembel.

Si rezultat:

Epo, vërtet ka një sqarim, dhe një sqarim serioz! Nëse për 3 segmente të ndarjes vlera e përafërt ishte, atëherë për 5 segmente. Kështu, me një shkallë të lartë besimi mund të themi se, të paktën.

Shembulli 2

Llogaritni një integral përafërsisht të caktuar duke përdorur formulën trapezoidale të saktë në dy shifra dhjetore (deri në 0,01).

Dhe hapi, natyrisht, dihet gjithashtu:

Si rezultat:
, le të shënojmë përafrimin me .

Formula e trapezit merr formën e mëposhtme:

Në versionin në letër, hyrja mund të zhvendoset në mënyrë të sigurt në rreshtin tjetër.

Le të llogarisim hapin e ndarjes:

Le të përmbledhim rezultatet e llogaritjes në një tabelë:

Kur mbaroni në një fletore, është e dobishme të ktheni një tryezë të gjatë në një tryezë dykatëshe.

Si rezultat:

Tani le të llogarisim mospërputhjen midis përafrimeve:

Këtu përdorim shenjën e modulit, pasi ne jemi të interesuar ndryshim absolut, dhe jo cili rezultat është më i madh dhe cili është më i vogël.

Për sa i përket veprimeve të mëtejshme, unë personalisht kam hasur në 2 zgjidhje në praktikë:

1) Metoda e parë është "krahasimi kokë më kokë". Që nga vlerësimi i gabimit që rezulton më shumë se sa saktësia e kërkuar: , atëherë është e nevojshme që edhe një herë të dyfishohet numri i segmenteve të ndarjes deri në dhe të llogaritet . Duke përdorur një kalkulator Excel, mund të merrni rezultatin e përfunduar brenda pak sekondash: . Tani e vlerësojmë përsëri gabimin: . Mori pikë më pak se sa saktësia e kërkuar: , pra, llogaritjet janë përfunduar. Mbetet vetëm të rrumbullakosni rezultatin e fundit (më të saktë) në dy shifra dhjetore dhe të jepni përgjigjen.

2) Një metodë tjetër, më efektive bazohet në përdorimin e të ashtuquajturës Rregullat e Runge, sipas të cilit gabojmë në vlerësimin e integralit të caktuar jo më shumë se . Në problemin tonë: pra, nuk ka nevojë për llogaritje. Sidoqoftë, shpejtësia e zgjidhjes në këtë rast erdhi me koston e saktësisë: . Sidoqoftë, ky rezultat është i pranueshëm, pasi "kufiri ynë për gabim" është saktësisht një e qindta.

Çfarë të zgjidhni? Përqendrohuni në metodën tuaj të mësimdhënies ose në preferencat e mësuesit.

Përgjigje: saktë në 0.01 (duke përdorur rregullin e Runge).

Shembulli 3

Llogaritni një integral afërsisht të caktuar duke përdorur formulën trapezoidale me saktësi 0,001.

Këtu përsëri është një integral integral (pothuajse kosinus integral). Në zgjidhjen e mostrës, hapi i parë ndahet në 4 segmente, d.m.th. Një zgjidhje e plotë dhe një mostër e përafërt e dizajnit përfundimtar në fund të mësimit.

Si të llogarisim integralin e caktuar duke përdorur formulën e Simpsonit?

Nëse po kërkoni vetëm metodën Simpson në këtë faqe, ju rekomandoj fuqimisht që së pari të lexoni fillimin e mësimit dhe të shikoni të paktën shembullin e parë. Për arsye se shumë ide dhe teknika do të jenë të ngjashme me metodën e trapezit.

Përsëri, le të fillojmë me formulën e përgjithshme
Le të shqyrtojmë integralin e caktuar, ku është një funksion i vazhdueshëm në interval. Le ta ndajmë segmentin në madje sasi të barabartë segmente. Një numër çift segmentesh shënohet me .

Në praktikë, segmentet mund të jenë:
dy:
katër:
tetë:
dhjetë:
njëzet:
Nuk mbaj mend opsione të tjera.

Kujdes! Numri kuptohet si NUMËR I VETËM. Kjo eshte, ESHTE E NDALUAR zvogëloni, për shembull, me dy, duke marrë . Regjistro vetëm qëndron për, se numri i segmenteve madje. Dhe nuk flitet për ulje

Pra, ndarja jonë duket si kjo:

Termat janë të ngjashëm me ato të metodës trapezoidale:
Pikat quhen nyjet.

Formula e Simpsonit për llogaritjen e përafërt të integralit të caktuar ka formën e mëposhtme:
, Ku:
– gjatësia e secilit prej segmenteve të vogla ose hap;
– vlerat e integrandit në pika.

Duke detajuar këtë grumbull, unë do të analizoj formulën në më shumë detaje:
- shuma e vlerave të para dhe të fundit të integrandit;
– shuma e termave me madje indekset shumëzohen me 2;
– shuma e termave me i çuditshëm indekset shumëzohen me 4.

Shembulli 4

Llogaritni integralin afërsisht të caktuar duke përdorur formulën e Simpsonit me një saktësi prej 0,001. Filloni të ndaheni me dy segmente

Integrali, nga rruga, është përsëri i pazgjidhshëm.

Zgjidhja: Unë tërheq menjëherë vëmendjen tuaj për llojin e detyrës - është e nevojshme të llogaritet një integral i caktuar me një saktësi të caktuar. Se çfarë do të thotë kjo është komentuar tashmë në fillim të artikullit, si dhe duke përdorur shembuj specifikë në paragrafin e mëparshëm. Ashtu si me metodën e trapezit, ekziston një formulë që do të përcaktojë menjëherë numrin e kërkuar të segmenteve (vlera "en") për të siguruar që të arrihet saktësia e kërkuar. Vërtetë, do t'ju duhet të gjeni derivatin e katërt dhe të zgjidhni problemin ekstrem. Ata që e kuptuan atë që doja të thoja dhe vlerësuan sasinë e punës, buzëqeshën. Megjithatë, kjo nuk është çështje për të qeshur, gjetja e derivatit të katërt të një funksioni të tillë integrues nuk do të jetë më një meganerd, por një psikopat klinik. Prandaj, në praktikë, pothuajse gjithmonë përdoret një metodë e thjeshtuar e vlerësimit të gabimit.

Le të fillojmë të vendosim. Nëse kemi dy segmente të ndarjes, atëherë do të ketë nyje nje me shume: . Dhe formula e Simpson merr një formë shumë kompakte:

Le të llogarisim hapin e ndarjes:

Le të plotësojmë tabelën e llogaritjes:

Më lejoni të komentoj edhe një herë se si është plotësuar tabela:

Në rreshtin e sipërm shkruajmë "numëruesin" e indekseve

Në rreshtin e dytë, fillimisht shkruajmë kufirin e poshtëm të integrimit dhe më pas shtojmë hapin me radhë.

Në rreshtin e tretë futim vlerat e integrandit. Për shembull, nëse , atëherë . Sa numra dhjetore duhet të lë? Në të vërtetë, gjendja përsëri nuk thotë asgjë për këtë. Parimi është i njëjtë si në metodën trapezoidale, ne shikojmë saktësinë e kërkuar: 0.001. Dhe shtoni 2-3 shifra shtesë. Kjo është, ju duhet të rrumbullakosni në 5-6 shifra dhjetore.

Si rezultat:

Rezultati parësor është marrë. Tani dyfishtë numri i segmenteve deri në katër: . Formula e Simpson për këtë ndarje merr formën e mëposhtme:

Le të llogarisim hapin e ndarjes:

Le të plotësojmë tabelën e llogaritjes:

Kështu:

Le të gjejmë vlerën absolute të ndryshimit midis përafrimeve:

Rregulli i Runge për metodën e Simpson është shumë i shijshëm. Nëse gjatë përdorimit Metoda e drejtkëndëshit të mesëm dhe metodës së trapezit na jepet një "kënaqësi" prej një të tretës, por tani - sa një e pesëmbëdhjetë:
, dhe saktësia këtu nuk vuan më:

Por për të plotësuar figurën, do të jap edhe një zgjidhje “të thjeshtë”, ku duhet të bëni një hap shtesë: pasi kërkohet më shumë saktësi: , atëherë është e nevojshme të dyfishohet sërish numri i segmenteve: .

Formula e Simpson po rritet me hapa të mëdhenj:

Le të llogarisim hapin:

Dhe plotësoni përsëri tabelën e llogaritjes:

Kështu:

Ju lutemi vini re se është e këshillueshme që llogaritjet të përshkruhen këtu në më shumë detaje, pasi formula e Simpson është mjaft e rëndë, dhe nëse menjëherë goditni:
, atëherë kjo pije do të duket si punë hak. Dhe me një shënim më të detajuar, mësuesi do të ketë përshtypjen e mirë se me ndërgjegje i keni fshirë çelësat e mikrollogaritësit për një orë të mirë. Llogaritjet e hollësishme për rastet "të vështira" janë të disponueshme në kalkulatorin tim.

Ne vlerësojmë gabimin:

Gabimi është më i vogël se saktësia e kërkuar: . Mbetet vetëm të marrim përafrimin më të saktë, ta rrumbullakojmë në tre shifra dhjetore dhe të shkruajmë:

Përgjigju: saktë në 0.001

Shembulli 5

Llogaritni integralin afërsisht të caktuar duke përdorur formulën e Simpsonit me një saktësi prej 0,0001. Filloni të ndaheni me dy segmente

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Një mostër e përafërt e modelit përfundimtar dhe përgjigja në fund të mësimit.

Në pjesën e fundit të mësimit, do të shohim disa shembuj më të zakonshëm.

Shembulli 6

Llogaritni vlerën e përafërt të integralit të caktuar duke përdorur formulën e Simpson-it, duke e ndarë segmentin e integrimit në 10 pjesë. Llogaritjet duhet të kryhen me saktësi deri në shifrën e tretë dhjetore.

Sot do të njihemi me një metodë tjetër të integrimit numerik, metodën trapezoidale. Me ndihmën e tij, ne do të llogarisim integrale të caktuara me një shkallë të caktuar saktësie. Në artikull do të përshkruajmë thelbin e metodës së trapezit, do të analizojmë se si rrjedh formula, do të krahasojmë metodën e trapezit me metodën e drejtkëndëshit dhe do të shkruajmë një vlerësim të gabimit absolut të metodës. Ne do të ilustrojmë çdo pjesë me shembuj për një kuptim më të thellë të materialit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Supozojmë se duhet të llogarisim afërsisht integralin e caktuar ∫ a b f (x) d x, integrani i të cilit y = f (x) është i vazhdueshëm në intervalin [ a ; b]. Për ta bërë këtë, ndani segmentin [a; b ] në disa intervale të barabarta me gjatësi h me pika a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Le të gjejmë hapin e ndarjes: h = b - a n. Le të përcaktojmë nyjet nga barazia x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n.

Në segmentet elementare marrim në konsideratë funksionin e integrandit x i-1; x i, i = 1, 2, . . , n.

Ndërsa n rritet pafundësisht, ne i reduktojmë të gjitha rastet në katër opsionet më të thjeshta:

Le të zgjedhim segmentet x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n. Le të zëvendësojmë funksionin y = f (x) në secilin nga grafikët me një segment drejtëz që kalon nëpër pikat me koordinata x i - 1 ; f x i - 1 dhe x i ; f x i . Le t'i shënojmë me blu në foto.

Le të marrim shprehjen f (x i - 1) + f (x i) 2 · h si vlerë të përafërt të integralit ∫ x i - 1 x i f (x) d x. Ato. le të marrim ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h .

Le të shohim pse metoda e integrimit numerik që po studiojmë quhet metoda trapezoidale. Për ta bërë këtë, duhet të zbulojmë se çfarë do të thotë barazia e përafërt e shkruar nga pikëpamja gjeometrike.

Për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi, është e nevojshme të shumëzoni gjysmën e shumave të bazave të tij me lartësinë e tij. Në rastin e parë, zona e një trapezi të lakuar është afërsisht e barabartë me një trapezoid me baza f (x i - 1), f (x i) lartësi h. Në të katërtën nga rastet që po shqyrtojmë, integrali i dhënë ∫ x i - 1 x f (x) d x është afërsisht i barabartë me sipërfaqen e trapezit me baza - f (x i - 1), - f (x i) dhe lartësi. h, e cila duhet të merret me shenjën “-”. Për të llogaritur vlerën e përafërt të integralit të caktuar ∫ x i - 1 x i f (x) d x në rastin e dytë dhe të tretë të shqyrtuar, duhet të gjejmë ndryshimin në zonat e rajoneve të kuqe dhe blu, të cilat i kemi shënuar me duke u çelur në figurën e mëposhtme.

Le të përmbledhim. Thelbi i metodës trapezoidale është si vijon: ne mund të paraqesim një integral të caktuar ∫ a b f (x) d x si një shumë e integraleve të formës ∫ x i - 1 x i f (x) d x në çdo segment elementar dhe në zëvendësimin e përafërt pasues ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h.

Formula e metodës së trapezit

Le të rikujtojmë vetinë e pestë të integralit të caktuar: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Për të marrë formulën e metodës trapezoidale, është e nevojshme të zëvendësohen vlerat e tyre të përafërta në vend të integraleve ∫ x i - 1 x i f (x) d x: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (. x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Përkufizimi 1

Formula e metodës trapezoidale:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Vlerësimi i gabimit absolut të metodës trapezoidale

Le të vlerësojmë gabimin absolut të metodës trapezoidale si më poshtë:

Përkufizimi 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

Një ilustrim grafik i metodës trapezoidale është paraqitur në figurë:

Shembuj të llogaritjes

Le të shohim shembuj të përdorimit të metodës trapezoidale për llogaritjen e përafërt të integraleve të përcaktuara. Ne do t'i kushtojmë vëmendje të veçantë dy llojeve të detyrave:

llogaritja e një integrali të caktuar me metodën trapezoidale për një numër të caktuar ndarjeje të një segmenti n;
gjetja e vlerës së përafërt të një integrali të caktuar me një saktësi të caktuar.

Për një n të caktuar, të gjitha llogaritjet e ndërmjetme duhet të kryhen me një shkallë mjaft të lartë saktësie. Saktësia e llogaritjeve duhet të jetë më e lartë, aq më e madhe n.

Nëse kemi një saktësi të caktuar në llogaritjen e një integrali të caktuar, atëherë të gjitha llogaritjet e ndërmjetme duhet të kryhen dy ose më shumë rend të madhësisë më saktë. Për shembull, nëse saktësia është vendosur në 0.01, atëherë ne kryejmë llogaritjet e ndërmjetme me një saktësi prej 0.0001 ose 0.00001. Për n të mëdha, llogaritjet e ndërmjetme duhet të kryhen me saktësi edhe më të lartë.

Le të shohim rregullin e mësipërm me një shembull. Për ta bërë këtë, krahasoni vlerat e integralit të caktuar të llogaritur duke përdorur formulën Newton-Leibniz dhe të marra duke përdorur metodën trapezoidale.

Pra, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805.

Shembulli 1

Duke përdorur metodën trapezoidale, ne llogarisim integralin e caktuar ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x për n të barabartë me 10.

Zgjidhje

Formula për metodën trapezoidale është ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Për të aplikuar formulën, duhet të llogarisim hapin h duke përdorur formulën h = b - a n, të përcaktojmë nyjet x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n, llogaritni vlerat e funksionit të integrandit f (x) = 7 x 2 + 1.

Hapi i ndarjes llogaritet si më poshtë: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0. 5 . Për të llogaritur integranin në nyjet x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n do të marrim katër shifra dhjetore:

i = 0: x 0 = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0. 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0. 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0, 2692

Le të fusim rezultatet e llogaritjes në tabelë:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x i	0	0 . 5	1	1 , 5	2	2 , 5	3	3 , 5	4	4 , 5	5
f (x i)	7	5 , 6	3 , 5	2 , 1538	1 , 4	0 , 9655	0 , 7	0 , 5283	0 , 4117	0 , 3294	0 , 2692

Le t'i zëvendësojmë vlerat e marra në formulën e metodës trapezoidale: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5,6 + 3,5 + 2,1538 + 1,4 + 0,9655 + 0,7 + 0,5283 + 0,4117 + 0,3294 + 0,2692 = 9,6117

Le të krahasojmë rezultatet tona me rezultatet e llogaritura duke përdorur formulën Newton-Leibniz. Vlerat e marra përkojnë me të qindtat.

Përgjigje:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Shembulli 2

Duke përdorur metodën trapezoidale, llogarisim vlerën e integralit të caktuar ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x me saktësi 0,01.

Zgjidhje

Sipas kushtit të problemës a = 1; b = 2, f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60; δn ≤ 0,01.

Le të gjejmë n, që është e barabartë me numrin e pikave të ndarjes së segmentit të integrimit, duke përdorur pabarazinë për vlerësimin e gabimit absolut δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . Ne do ta bëjmë këtë si më poshtë: do të gjejmë vlerat e n për të cilat pabarazia m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0,01. Duke pasur parasysh n, formula trapezoidale do të na japë një vlerë të përafërt të integralit të caktuar me një saktësi të caktuar.

Së pari, le të gjejmë vlerën më të madhe të modulit të derivatit të dytë të funksionit në intervalin [1; 2].

f " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Funksioni i dytë derivat është një parabolë kuadratike f "" (x) = x 2 . Nga vetitë e tij ne dimë se është pozitiv dhe rritet në intervalin [1; 2]. Në këtë drejtim, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

Në shembullin e dhënë, procesi i gjetjes së m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) doli të ishte mjaft e thjeshtë. Në raste komplekse, mund të përdorni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit për të kryer llogaritjet. Pas shqyrtimit të këtij shembulli, do të paraqesim një metodë alternative për gjetjen e m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

Le ta zëvendësojmë vlerën që rezulton me pabarazinë m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0,01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0,01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5,7735

Numri i intervaleve elementare në të cilat ndahet segmenti i integrimit n është një numër natyror. Për sjelljen e llogaritjes, marrim n të barabartë me gjashtë. Kjo vlerë e n do të na lejojë të arrijmë saktësinë e specifikuar të metodës trapezoidale me një minimum llogaritjesh.

Le të llogarisim hapin: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

Le të gjejmë nyjet x i = a + i · h, i = 1, 0, . . . , n , ne përcaktojmë vlerat e integrandit në këto nyje:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0,5266. . . i = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1,9833

Ne shkruajmë rezultatet e llogaritjes në formën e një tabele:

i	0	1	2	3	4	5	6
x i	1	7 6	4 3	3 2	5 3	11 6	2
f x i	0 , 4	0 , 5266	0 , 6911	0 , 9052	1 , 1819	1 , 5359	1 , 9833

Le t'i zëvendësojmë rezultatet e marra në formulën trapezoidale:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0, 4 + 2 0,5266 + 0,6911 + 0,9052 + 1,1819 + 1,5359 + 1,9833 ≈ 1,0054

Për të bërë një krahasim, ne llogarisim integralin origjinal duke përdorur formulën Newton-Leibniz:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Siç mund ta shihni, ne kemi arritur saktësinë e llogaritjes së marrë.

Përgjigje: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1,0054

Për integrandët e formës komplekse, gjetja e numrit n nga pabarazia për vlerësimin e gabimit absolut nuk është gjithmonë e lehtë. Në këtë rast, metoda e mëposhtme do të jetë e përshtatshme.

Le të shënojmë vlerën e përafërt të integralit të caktuar, i cili është marrë duke përdorur metodën trapezoidale për n nyje, si I n. Le të zgjedhim një numër arbitrar n. Duke përdorur formulën e metodës trapezoidale, ne llogarisim integralin fillestar për një numër të vetëm (n = 10) dhe të dyfishtë (n = 20) nyjesh dhe gjejmë vlerën absolute të diferencës midis dy vlerave të përafërta të marra - I 20 - Unë 10.

Nëse vlera absolute e diferencës midis dy vlerave të përafërta të marra është më e vogël se saktësia e kërkuar I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Nëse vlera absolute e diferencës midis dy vlerave të përafërta të marra është më e madhe se saktësia e kërkuar, atëherë është e nevojshme të përsëriten hapat me dyfishin e numrit të nyjeve (n = 40).

Kjo metodë kërkon një sasi të madhe llogaritjesh, prandaj është e mençur të përdoret teknologjia kompjuterike për të kursyer kohë.

Le ta zgjidhim problemin duke përdorur algoritmin e mësipërm. Për të kursyer kohë, ne do të heqim llogaritjet e ndërmjetme duke përdorur metodën trapezoidale.

Shembulli 3

Është e nevojshme të llogaritet integrali i caktuar ∫ 0 2 x e x d x duke përdorur metodën trapezoidale me saktësi 0,001.

Zgjidhje

Le të marrim n të barabartë me 10 dhe 20. Duke përdorur formulën trapezoidale, marrim I 10 = 8,4595380, I 20 = 8,4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, gjë që kërkon llogaritje të mëtejshme.

Le të marrim n të barabartë me 40: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, gjë që kërkon gjithashtu llogaritje të vazhdueshme.

Le të marrim n të barabartë me 80: I 80 = 8, 3901585.

I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001, gjë që kërkon një dyfishim tjetër të numrit të nyjeve.

Le të marrim n të barabartë me 160: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8,3893317 - 8,3901585 = 0,0008268< 0 , 001

Vlera e përafërt e integralit origjinal mund të merret duke rrumbullakosur I 160 = 8, 3893317 në të mijëtat: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389.

Për krahasim, le të llogarisim integralin e përcaktuar origjinal duke përdorur formulën e Njuton-Leibniz: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8, 3890561. Është arritur saktësia e kërkuar.

Përgjigje: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

Gabimet

Llogaritjet e ndërmjetme për të përcaktuar vlerën e një integrali të caktuar kryhen kryesisht përafërsisht. Kjo do të thotë se ndërsa n rritet, gabimi llogaritës fillon të grumbullohet.

Le të krahasojmë vlerësimet e gabimeve absolute të metodës trapezoidale dhe metodës mesatare të drejtkëndëshit:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .

Metoda drejtkëndëshe për një n të dhënë me të njëjtën sasi pune llogaritëse jep gjysmën e gabimit. Kjo e bën metodën më të preferueshme në rastet kur dihen vlerat e funksionit në segmentet e mesme të segmenteve elementare.

Në rastet kur funksionet që do të integrohen nuk janë të specifikuara në mënyrë analitike, por si një grup vlerash në nyje, mund të përdorim metodën trapezoidale.

Nëse krahasojmë saktësinë e metodës së trapezit dhe metodës së drejtkëndëshit të djathtë dhe të majtë, atëherë metoda e parë është më e lartë se e dyta në saktësinë e rezultatit.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter