Zgjidhja e pabarazive në vijën numerike. Pabarazitë racionale thyesore

Shënime të rëndësishme!
1. Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Si ta bëni këtë në shfletuesin tuaj është shkruar këtu:
2. Para se të filloni të lexoni artikullin, kushtojini vëmendje navigatorit tonë për burimet më të dobishme për

Thjesht duhet ta kuptoni këtë metodë dhe ta dini si në fund të dorës! Qoftë vetëm sepse përdoret për të zgjidhur pabarazitë racionale dhe sepse, njohja e duhur e kësaj metode, zgjidhja e këtyre pabarazive është çuditërisht e thjeshtë. Pak më vonë do t'ju tregoj disa sekrete se si të kurseni kohë në zgjidhjen e këtyre pabarazive. Epo, a jeni të intriguar? Atëherë le të shkojmë!

Thelbi i metodës është faktorizimi i pabarazisë në faktorë (përsëriteni temën) dhe përcaktoni ODZ dhe shenjën e faktorëve tani unë do të shpjegoj gjithçka. Le të marrim shembullin më të thjeshtë: .

Nuk ka nevojë të shkruani gamën e vlerave të pranueshme () këtu, pasi nuk ka ndarje nga ndryshorja dhe nuk ka radikale (rrënjë) të vërejtura këtu. Gjithçka këtu tashmë është e faktorizuar për ne. Por mos u relaksoni, kjo është e gjitha për t'ju kujtuar bazat dhe për të kuptuar thelbin!

Le të themi se nuk e dini metodën e intervalit, si do ta zgjidhnit këtë pabarazi? Qasuni logjikisht dhe ndërtoni mbi atë që tashmë dini. Së pari, ana e majtë do të jetë më e madhe se zero nëse të dyja shprehjet në kllapa janë ose më të mëdha se zero ose më pak se zero, sepse "plus" për "plus" jep "plus" dhe "minus" për "minus" jep "plus", apo jo? Dhe nëse shenjat e shprehjeve në kllapa janë të ndryshme, atëherë në fund ana e majtë do të jetë më pak se zero. Çfarë na duhet për të gjetur ato vlera në të cilat shprehjet në kllapa do të jenë negative ose pozitive?

Ne duhet të zgjidhim një ekuacion, është saktësisht njësoj si një pabarazi, vetëm në vend të një shenje do të ketë një shenjë, rrënjët e këtij ekuacioni do të na lejojnë të përcaktojmë ato vlera kufitare, kur të largohemi nga të cilat faktorët do të jenë më të mëdhenj. ose më pak se zero.

Dhe tani vetë intervalet. Çfarë është një interval? Ky është një interval i caktuar i linjës numerike, domethënë, të gjithë numrat e mundshëm që gjenden midis dy numrave - skajet e intervalit. Nuk është aq e lehtë të imagjinosh këto intervale në kokën tënde, kështu që është e zakonshme të vizatosh intervale, do t'ju mësoj tani.

Ne vizatojmë një bosht të gjithë serinë e numrave nga dhe deri në të; Pikat vizatohen në bosht, të ashtuquajturat zero të funksionit, vlerat në të cilat shprehja është e barabartë me zero. Këto pika janë "të fiksuara" që do të thotë se ato nuk janë ndër ato vlera në të cilat pabarazia është e vërtetë. Në këtë rast ato shpohen sepse shenjë në pabarazinë dhe jo, pra, rreptësisht më e madhe se dhe jo më e madhe se ose e barabartë me.

Dua të them se nuk është e nevojshme të shënosh zero, është këtu pa rrathë, por për të kuptuar dhe orientuar përgjatë boshtit. Mirë, ne kemi vizatuar boshtin, vendosim pikat (më saktë, rrathët), çfarë më pas, si do të më ndihmojë kjo në zgjidhjen? - pyet ti. Tani thjesht merrni vlerën për x nga intervalet në rend dhe zëvendësojini ato në pabarazinë tuaj dhe shikoni se në cilën shenjë rezulton shumëzimi.

Shkurtimisht, ne thjesht marrim për shembull, zëvendësojeni këtu, do të funksionojë, që do të thotë se pabarazia do të jetë e vlefshme për të gjithë intervalin (për të gjithë intervalin) nga deri në, nga e morëm. Me fjalë të tjera, nëse x është nga deri, atëherë pabarazia është e vërtetë.

Ne bëjmë të njëjtën gjë me intervalin nga te, marrim ose, për shembull, zëvendësojmë, përcaktojmë shenjën, shenja do të jetë "minus". Dhe ne bëjmë të njëjtën gjë me intervalin e fundit, të tretë nga deri në, ku shenja rezulton të jetë "plus". Ka kaq shumë tekst, por jo mjaft qartësi, apo jo?

Hidhini një sy tjetër pabarazisë.

Tani ne aplikojmë edhe shenjat që do të përftohen si rezultat në të njëjtin bosht. Në shembullin tim, një vijë e thyer tregon seksionet pozitive dhe negative të boshtit.

Shikoni pabarazinë - në vizatim, përsëri në pabarazi - dhe përsëri në vizatim, a është diçka e qartë? Tani përpiquni të thoni se në cilat intervale X, pabarazia do të jetë e vërtetë. Ashtu është, nga tek pabarazia do të jetë gjithashtu e vërtetë nga tek, por në intervalin nga tek pabarazia është zero dhe ky interval nuk na intereson pak, sepse ne kemi një shenjë në pabarazi.

Epo, tani që e keni kuptuar, e vetmja gjë që mbetet për të bërë është të shkruani përgjigjen! Si përgjigje, ne shkruajmë ato intervale për të cilat ana e majtë është më e madhe se zero, e cila lexohet si X i përket intervalit nga minus pafundësia në minus një dhe nga dy në plus pafundësi. Vlen të sqarohet se kllapat nënkuptojnë që vlerat me të cilat kufizohet intervali nuk janë zgjidhje të pabarazisë, domethënë nuk përfshihen në përgjigje, por vetëm tregojnë se deri në, për shembull, nuk është një zgjidhje.

Tani një shembull në të cilin jo vetëm që do të duhet të vizatoni intervalin:

Çfarë mendoni se duhet bërë përpara se të vendosni pika në bosht? Po, faktorojeni atë në faktorë:

Vizatojmë intervale dhe vendosim shenja, vini re se kemi pika të shpuara, sepse shenja është rreptësisht më e vogël se zero:

Është koha t'ju tregoj një sekret që ju premtova në fillim të kësaj teme! Po sikur t'ju them se nuk keni nevojë të zëvendësoni vlerat nga çdo interval për të përcaktuar shenjën, por mund të përcaktoni shenjën në një nga intervalet dhe thjesht të alternoni shenjat në pjesën tjetër!

Kështu, kemi kursyer pak kohë në vendosjen e tabelave - mendoj se kjo kohë e fituar në Provimin e Bashkuar të Shtetit nuk do të dëmtojë!

Ne shkruajmë përgjigjen:

Tani merrni parasysh një shembull të një pabarazie fraksionale-racionale - një pabarazi, të dyja pjesët e së cilës janë shprehje racionale (shih).

Çfarë mund të thoni për këtë pabarazi? Dhe ju e shikoni atë si një ekuacion thyesor-racional, çfarë të bëjmë së pari? Ne shohim menjëherë se nuk ka rrënjë, që do të thotë se është padyshim racionale, por më pas është një fraksion, madje edhe me një të panjohur në emërues!

Kjo është e drejtë, ne kemi nevojë për ODZ!

Pra, le të shkojmë më tej, këtu të gjithë faktorët përveç njërit kanë një ndryshore të shkallës së parë, por ka një faktor ku x ka një shkallë të dytë. Zakonisht, shenja jonë ndryshonte pasi kalonim në njërën nga pikat në të cilën ana e majtë e pabarazisë merr një vlerë zero, për të cilën ne përcaktuam se me çfarë duhet të jetë x në secilin faktor. Por këtu, është gjithmonë pozitive, sepse çdo numër në katror > zero dhe një term pozitiv.

A mendoni se kjo do të ndikojë në kuptimin e pabarazisë? Kjo është e drejtë - nuk do të ndikojë! Ne mund ta ndajmë pabarazinë në të dy pjesët në mënyrë të sigurtë dhe në këtë mënyrë ta heqim këtë faktor në mënyrë që të mos jetë një dhimbje në sy.

Ka ardhur koha për të tërhequr intervalet për ta bërë këtë, ju duhet të përcaktoni ato vlera kufitare, nga të cilat shumëzuesit do të jenë më të mëdhenj dhe më të vegjël se zero. Por vini re se këtu ka një shenjë, që do të thotë se ne nuk do të zgjedhim pikën në të cilën ana e majtë e pabarazisë merr një vlerë zero, ajo përfshihet në numrin e zgjidhjeve, kemi vetëm një pikë të tillë, kjo është pika ku x është e barabartë me një. A do të ngjyrosim pikën ku emëruesi është negativ? - Sigurisht që jo!

Emëruesi nuk duhet të jetë zero, kështu që intervali do të duket kështu:

Duke përdorur këtë diagram, mund ta shkruani lehtësisht përgjigjen, thjesht do të them që tani keni në dispozicion një lloj të ri kllapash - katror! Këtu është një kllapa [ thotë se vlera përfshihet në intervalin e zgjidhjes, d.m.th. është pjesë e përgjigjes, kjo kllapa korrespondon me një pikë të mbushur (jo të fiksuar) në bosht.

Pra, a morët të njëjtën përgjigje?

Ne e faktorizojmë atë në faktorë dhe lëvizim gjithçka në njërën anë, vetëm duhet të lëmë zero në të djathtë për t'u krahasuar me të:

Unë tërheq vëmendjen tuaj për faktin se në transformimin e fundit, për të marrë si në numërues ashtu edhe në emërues, unë i shumëzoj të dyja anët e pabarazisë me. Mos harroni se kur të dy anët e një pabarazie shumëzohen me, shenja e pabarazisë ndryshon në të kundërtën!!!

Ne shkruajmë ODZ:

Përndryshe, emëruesi do të shkojë në zero, dhe, siç e mbani mend, nuk mund të ndani me zero!

Dakord, pabarazia që rezulton është joshëse për të zvogëluar numëruesin dhe emëruesin! Kjo nuk mund të bëhet, ju mund të humbni disa nga vendimet ose ODZ!

Tani përpiquni t'i vendosni vetë pikat në bosht. Do të vërej vetëm se kur vizatoni pika, duhet t'i kushtoni vëmendje faktit që një pikë me një vlerë, e cila, në bazë të shenjës, duket se është e paraqitur në bosht si e hijezuar, nuk do të hijezohet, do të jetë u hoq! Pse pyet? Dhe mbani mend ODZ-në, nuk do të pjesëtoni me zero kështu?

Mos harroni, ODZ vjen i pari! Nëse të gjitha pabarazitë dhe shenjat e barabarta thonë një gjë, dhe ODZ thotë një tjetër, besojini ODZ-së, të madh dhe të fuqishëm!

Epo, ju i keni ndërtuar intervalet, jam i sigurt që keni marrë sugjerimin tim për alternimin dhe e keni marrë kështu (shih foton më poshtë) Tani kryqëzojeni dhe mos e bëni më atë gabim! Çfarë gabimi? - pyet ti.

Fakti është se në këtë pabarazi faktori u përsërit dy herë (kujtoni se si u përpoqët ta zvogëloni?). Pra, nëse një faktor përsëritet në pabarazi një numër çift, atëherë kur kaloni nëpër një pikë në boshtin që e kthen këtë faktor në zero (në këtë rast, një pikë), shenja nuk do të ndryshojë nëse është tek , atëherë shenja ndryshon!

Aksi i mëposhtëm me intervale dhe shenja do të jetë i saktë:

Dhe, ju lutemi vini re se shenja që na intereson nuk është ajo që ishte në fillim (kur pamë për herë të parë pabarazinë, shenja ishte aty), pas transformimeve, shenja ndryshoi në, që do të thotë se ne jemi të interesuar për intervalet me një shenjë.

Përgjigje:

Do të them gjithashtu se ka situata kur ka rrënjë pabarazie që nuk bien në asnjë interval, si përgjigje ato shkruhen në kllapa kaçurrelë, si kjo, për shembull: . Mund të lexoni më shumë rreth situatave të tilla në nivelin mesatar të artikullit.

Le të përmbledhim se si të zgjidhim pabarazitë duke përdorur metodën e intervalit:
Ne lëvizim gjithçka në anën e majtë, duke lënë vetëm zero në të djathtë;
Ne gjejmë ODZ;
Marrim një arbitrar nga një nga intervalet dhe përcaktojmë shenjën në intervalin të cilit i përket rrënja, alternojmë shenjat, duke u kushtuar vëmendje rrënjëve që përsëriten disa herë në pabarazinë nëse shenja ndryshon kur kalon nëpër to mbi barazinë ose çuditshmërinë e numrit të herëve që përsëriten ose jo;
Si përgjigje, ne shkruajmë intervale, duke vëzhguar pikat e pikëzuara dhe jo të shpuara (shih ODZ), duke vendosur llojet e nevojshme të kllapave midis tyre.

Dhe së fundi, seksioni ynë i preferuar, "bëje vetë"!

Shembuj:

Përgjigjet:

METODA E INTERVALIT. NIVELI I MESËM

Funksioni linear

Një funksion i formës quhet linear. Le të marrim një funksion si shembull. Është pozitive në dhe negative në. Pika është zero e funksionit (). Le të tregojmë shenjat e këtij funksioni në boshtin e numrave:

Themi se "funksioni ndryshon shenjën kur kalon nëpër pikë".

Mund të shihet se shenjat e funksionit korrespondojnë me pozicionin e grafikut të funksionit: nëse grafiku është mbi boshtin, shenja është “ ”, nëse poshtë tij është “ ”.

Nëse e përgjithësojmë rregullin që rezulton në një funksion linear arbitrar, marrim algoritmin e mëposhtëm:

Gjetja e zeros së funksionit;
E shënojmë në boshtin e numrave;
Ne përcaktojmë shenjën e funksionit në anët e kundërta të zeros.

Funksioni kuadratik

Shpresoj të mbani mend se si të zgjidhni pabarazitë kuadratike? Nëse jo, lexoni temën. Më lejoni t'ju kujtoj formën e përgjithshme të një funksioni kuadratik: .

Tani le të kujtojmë se cilat shenja merr funksioni kuadratik. Grafiku i tij është një parabolë, dhe funksioni merr shenjën " " për ato në të cilat parabola është mbi boshtin, dhe " " - nëse parabola është nën bosht:

Nëse një funksion ka zero (vlerat në të cilat), parabola kryqëzon boshtin në dy pika - rrënjët e ekuacionit kuadratik përkatës. Kështu, boshti ndahet në tre intervale, dhe shenjat e funksionit ndryshojnë në mënyrë alternative kur kalojnë nëpër secilën rrënjë.

A është e mundur të përcaktohen disi shenjat pa vizatuar një parabolë çdo herë?

Kujtojmë se një trinom katror mund të faktorizohet:

Për shembull: .

Le të shënojmë rrënjët në bosht:

Kujtojmë se shenja e një funksioni mund të ndryshojë vetëm kur kalon nëpër rrënjë. Le të përdorim këtë fakt: për secilën nga tre intervalet në të cilat boshti ndahet me rrënjë, mjafton të përcaktohet shenja e funksionit vetëm në një pikë të zgjedhur në mënyrë arbitrare: në pikat e mbetura të intervalit, shenja do të jetë e njëjtë. .

Në shembullin tonë: në të dyja shprehjet në kllapa janë pozitive (zëvendësojnë, për shembull:). Ne vendosim një shenjë " " në bosht:

Epo, kur (zëvendësoni, për shembull), të dy kllapat janë negative, që do të thotë se produkti është pozitiv:

Kjo është ajo metoda e intervalit: duke ditur shenjat e faktorëve në çdo interval, ne përcaktojmë shenjën e të gjithë produktit.

Le të shqyrtojmë edhe rastet kur funksioni nuk ka zero, ose vetëm një.

Nëse nuk janë aty, atëherë nuk ka rrënjë. Kjo do të thotë se nuk do të ketë "kalim nëpër rrënjë". Kjo do të thotë që funksioni merr vetëm një shenjë në të gjithë vijën numerike. Mund të përcaktohet lehtësisht duke e zëvendësuar atë në një funksion.

Nëse ka vetëm një rrënjë, parabola prek boshtin, kështu që shenja e funksionit nuk ndryshon kur kalon nëpër rrënjë. Çfarë rregulli mund të nxjerrim për situata të tilla?

Nëse faktorizoni një funksion të tillë, merrni dy faktorë identikë:

Dhe çdo shprehje në katror është jonegative! Prandaj, shenja e funksionit nuk ndryshon. Në raste të tilla do të theksojmë rrënjën, kur kalojmë nëpër të cilën shenja nuk ndryshon, duke e rrethuar me një katror:

Një rrënjë të tillë do ta quajmë shumëfish.

Metoda e intervalit në pabarazitë

Tani çdo pabarazi kuadratike mund të zgjidhet pa vizatuar një parabolë. Mjafton vetëm vendosja e shenjave të funksionit kuadratik në bosht dhe përzgjedhja e intervaleve në varësi të shenjës së pabarazisë. Për shembull:

Le të matim rrënjët në bosht dhe të vendosim shenjat:

Na duhet pjesa e boshtit me shenjën " "; meqenëse pabarazia nuk është e rreptë, vetë rrënjët përfshihen gjithashtu në zgjidhje:

Tani merrni parasysh një pabarazi racionale - një pabarazi, të dyja anët e së cilës janë shprehje racionale (shih).

Shembull:

Të gjithë faktorët përveç njërit janë "linearë" këtu, domethënë, ata përmbajnë një ndryshore vetëm në fuqinë e parë. Na duhen faktorë të tillë linearë për të aplikuar metodën e intervalit - shenja ndryshon kur kalon nëpër rrënjët e tyre. Por shumëzuesi nuk ka rrënjë fare. Kjo do të thotë që është gjithmonë pozitive (kontrollojeni vetë), dhe për këtë arsye nuk ndikon në shenjën e të gjithë pabarazisë. Kjo do të thotë që ne mund të ndajmë anën e majtë dhe të djathtë të pabarazisë me të, dhe kështu të shpëtojmë prej saj:

Tani gjithçka është njësoj siç ishte me pabarazitë kuadratike: ne përcaktojmë se në cilat pika zhduket secili prej faktorëve, shënojmë këto pika në bosht dhe rregullojmë shenjat. Dëshiroj të tërheq vëmendjen tuaj për një fakt shumë të rëndësishëm:

Përgjigje:. Shembull: .

Për të aplikuar metodën e intervalit, një nga pjesët e pabarazisë duhet të ketë. Prandaj, le të lëvizim anën e djathtë në të majtë:

Numëruesi dhe emëruesi kanë të njëjtin faktor, por mos nxitoni ta zvogëloni atë! Në fund të fundit, atëherë ne mund të harrojmë të theksojmë këtë pikë. Është më mirë ta shënoni këtë rrënjë si një shumëfish, domethënë, kur kaloni nëpër të, shenja nuk do të ndryshojë:

Përgjigje:.

Dhe një shembull shumë ilustrues:

Përsëri, ne nuk anulojmë të njëjtët faktorë të numëruesit dhe emëruesit, sepse nëse e bëjmë, do të duhet të kujtojmë në mënyrë specifike të shpojmë pikën.

: herë të përsëritura;
: herë;
: herë (në numërues dhe një në emërues).

Në rastin e një numri çift, bëjmë njësoj si më parë: vizatojmë një katror rreth pikës dhe nuk e ndryshojmë shenjën kur kalojmë nga rrënjës. Por në rastin e një numri tek, ky rregull nuk zbatohet: shenja do të ndryshojë akoma kur kalon nëpër rrënjë. Prandaj, ne nuk bëjmë asgjë shtesë me një rrënjë të tillë, sikur të mos ishte shumëfish. Rregullat e mësipërme vlejnë për të gjitha fuqitë çift dhe tek.

Çfarë duhet të shkruajmë në përgjigje?

Nëse ndërrimi i shenjave është shkelur, duhet të jeni shumë të kujdesshëm, sepse nëse pabarazia nuk është e rreptë, përgjigja duhet të përfshijë të gjitha pikat me hije. Por disa prej tyre shpesh qëndrojnë të ndarë, domethënë nuk përfshihen në zonën e hijes. Në këtë rast, ne i shtojmë ato në përgjigje si pika të izoluara (në kllapa kaçurrelë):

Shembuj (vendosni vetë):

Përgjigjet:

Nëse ndër faktorët është i thjeshtë, është rrënjë, sepse mund të paraqitet si.
.

METODA E INTERVALIT. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Metoda e intervalit përdoret për zgjidhjen e pabarazive racionale. Ai konsiston në përcaktimin e shenjës së produktit nga shenjat e faktorëve në intervale të ndryshme.

Algoritmi për zgjidhjen e pabarazive racionale duke përdorur metodën e intervalit.

Ne lëvizim gjithçka në anën e majtë, duke lënë vetëm zero në të djathtë;
Ne gjejmë ODZ;
Ne vizatojmë të gjitha rrënjët e pabarazisë në bosht;
Marrim një arbitrar nga një nga intervalet dhe përcaktojmë shenjën në intervalin të cilit i përket rrënja, alternojmë shenjat, duke u kushtuar vëmendje rrënjëve që përsëriten disa herë në pabarazinë nëse shenja ndryshon kur kalon nëpër to mbi barazinë ose çuditshmërinë e numrit të herëve që përsëriten ose jo;
Si përgjigje, ne shkruajmë intervale, duke vëzhguar pikat e pikëzuara dhe jo të shpuara (shih ODZ), duke vendosur llojet e nevojshme të kllapave midis tyre.

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më të mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Për çfarë?

Për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit, për hyrjen në kolegj me buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LUMTUR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teoria gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUMË!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të dëshironi, detyrimisht me zgjidhje, analiza të hollësishme dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 499 RUR

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.

Dhe në përfundim ...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

Krahasimi i sasive dhe sasive gjatë zgjidhjes së problemeve praktike ka qenë i nevojshëm që nga kohërat e lashta. Në të njëjtën kohë, u shfaqën fjalë të tilla si gjithnjë e më pak, më i lartë dhe më i ulët, më i lehtë dhe më i rëndë, më i qetë dhe më i zhurmshëm, më i lirë dhe më i shtrenjtë, etj., duke treguar rezultatet e krahasimit të sasive homogjene.

Konceptet e gjithnjë e më pak u ngritën në lidhje me numërimin e objekteve, matjen dhe krahasimin e sasive. Për shembull, matematikanët e Greqisë së Lashtë e dinin se brinja e çdo trekëndëshi është më e vogël se shuma e dy brinjëve të tjera dhe se brinja më e madhe shtrihet përballë këndit më të madh në një trekëndësh. Arkimedi, duke llogaritur perimetrin, konstatoi se perimetri i çdo rrethi është i barabartë me trefishin e diametrit me një tepricë që është më pak se një e shtata e diametrit, por më shumë se dhjetë herë shtatëdhjetë herë diametri.

Shkruani në mënyrë simbolike marrëdhëniet ndërmjet numrave dhe sasive duke përdorur shenjat > dhe b. Shënime në të cilat dy numra janë të lidhur me njërën nga shenjat: > (më i madh se), Mosbarazimet numerike keni hasur edhe në klasat e ulëta. Ju e dini se pabarazitë mund të jenë të vërteta, ose mund të jenë të rreme. Për shembull, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) është një pabarazi numerike e saktë, 0.23 > 0.235 është një pabarazi numerike e pasaktë.

Pabarazitë që përfshijnë të panjohurat mund të jenë të vërteta për disa vlera të të panjohurave dhe të rreme për të tjerat. Për shembull, pabarazia 2x+1>5 është e vërtetë për x = 3, por e gabuar për x = -3. Për një pabarazi me një të panjohur, mund të vendosni detyrën: zgjidhni pabarazinë. Në praktikë, problemet e zgjidhjes së pabarazive shtrohen dhe zgjidhen jo më rrallë se problemet e zgjidhjes së ekuacioneve. Për shembull, shumë probleme ekonomike vijnë në studimin dhe zgjidhjen e sistemeve të pabarazive lineare. Në shumë degë të matematikës, pabarazitë janë më të zakonshme se ekuacionet.

Disa pabarazi shërbejnë si mjeti i vetëm ndihmës për të vërtetuar ose hedhur poshtë ekzistencën e një objekti të caktuar, për shembull, rrënja e një ekuacioni.

Pabarazitë numerike

Mund të krahasoni numrat e plotë dhe thyesat dhjetore. Të njohë rregullat për krahasimin e thyesave të zakonshme me emërues të njëjtë, por me numërues të ndryshëm; me numërues të njëjtë por emërues të ndryshëm. Këtu do të mësoni se si të krahasoni çdo dy numra duke gjetur shenjën e ndryshimit të tyre.

Krahasimi i numrave përdoret gjerësisht në praktikë. Për shembull, një ekonomist krahason treguesit e planifikuar me ata aktualë, një mjek krahason temperaturën e pacientit me normalen, një rrotullues krahason dimensionet e një pjese të përpunuar me një standard. Në të gjitha këto raste, disa numra krahasohen. Si rezultat i krahasimit të numrave, lindin pabarazi numerike.

Përkufizimi. Numri a është më i madh se numri b nëse diferenca a-b është pozitive. Numri a është më i vogël se numri b nëse ndryshimi a-b është negativ.

Nëse a është më e madhe se b, atëherë shkruajnë: a > b; nëse a është më e vogël se b, atëherë shkruajnë: a Kështu, mosbarazimi a > b do të thotë se ndryshimi a - b është pozitiv, d.m.th. a - b > 0. Mosbarazimi a Për çdo dy numra a dhe b nga tre relacionet e mëposhtme a > b, a = b, a Të krahasosh numrat a dhe b do të thotë të gjesh se cila nga shenjat >, = ose Teorema. Nëse a > b dhe b > c, atëherë a > c.

Teorema. Nëse shtoni të njëjtin numër në të dy anët e pabarazisë, shenja e pabarazisë nuk do të ndryshojë.
Pasoja.Çdo term mund të transferohet nga një pjesë e pabarazisë në tjetrën duke ndryshuar shenjën e këtij termi në të kundërtën.

Teorema. Nëse të dy anët e pabarazisë shumëzohen me të njëjtin numër pozitiv, atëherë shenja e pabarazisë nuk do të ndryshojë. Nëse të dy anët e pabarazisë shumëzohen me të njëjtin numër negativ, atëherë shenja e pabarazisë do të ndryshojë në të kundërtën.
Pasoja. Nëse të dyja anët e pabarazisë pjesëtohen me të njëjtin numër pozitiv, atëherë shenja e pabarazisë nuk do të ndryshojë. Nëse të dyja anët e pabarazisë pjesëtohen me të njëjtin numër negativ, atëherë shenja e pabarazisë do të ndryshojë në të kundërtën.

Ju e dini që barazitë numerike mund të shtohen dhe të shumëzohen term pas termi. Më pas, do të mësoni se si të kryeni veprime të ngjashme me pabarazi. Aftësia për të shtuar dhe shumëzuar pabarazitë term pas termi përdoret shpesh në praktikë. Këto veprime ndihmojnë në zgjidhjen e problemeve të vlerësimit dhe krahasimit të kuptimeve të shprehjeve.

Kur zgjidhen probleme të ndryshme, shpesh është e nevojshme të mblidhen ose të shumëzohen anët e majta dhe të djathta të pabarazive term pas termi. Në të njëjtën kohë, nganjëherë thuhet se pabarazitë mblidhen ose shumohen. Për shembull, nëse një turist ka ecur më shumë se 20 km ditën e parë, dhe më shumë se 25 km në të dytën, atëherë mund të themi se në dy ditë ai ka ecur më shumë se 45 km. Në mënyrë të ngjashme, nëse gjatësia e një drejtkëndëshi është më e vogël se 13 cm dhe gjerësia është më e vogël se 5 cm, atëherë mund të themi se sipërfaqja e këtij drejtkëndëshi është më e vogël se 65 cm2.

Gjatë shqyrtimit të këtyre shembujve, u përdorën sa vijon: teorema mbi mbledhjen dhe shumëzimin e pabarazive:

Teorema. Kur mblidhen pabarazitë e së njëjtës shenjë, fitohet një pabarazi e së njëjtës shenjë: nëse a > b dhe c > d, atëherë a + c > b + d.

Teorema. Gjatë shumëzimit të inekuacioneve të së njëjtës shenjë, anët e majta dhe të djathta të të cilave janë pozitive, fitohet një pabarazi e së njëjtës shenjë: nëse a > b, c > d dhe a, b, c, d janë numra pozitivë, atëherë ac > bd.

Pabarazitë me shenjën > (më e madhe se) dhe 1/2, 3/4 b, c Së bashku me shenjat e pabarazive strikte > dhe Në të njëjtën mënyrë, pabarazia \(a \geq b \) do të thotë se numri a është më e madhe ose e barabartë me b, pra .dhe jo më pak b.

Pabarazitë që përmbajnë shenjën \(\geq \) ose shenjën \(\leq \) quhen jo të rrepta. Për shembull, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nuk janë pabarazi strikte.

Të gjitha vetitë e pabarazive strikte janë gjithashtu të vlefshme për pabarazitë jo të rrepta. Për më tepër, nëse për pabarazitë strikte, shenjat > konsideroheshin të kundërta dhe ju e dini se për të zgjidhur një numër problemesh të aplikuara duhet të krijoni një model matematikor në formën e një ekuacioni ose një sistemi ekuacionesh. Më pas, do të mësoni se modelet matematikore për zgjidhjen e shumë problemeve janë pabarazi me të panjohura. Do të prezantohet koncepti i zgjidhjes së një pabarazie dhe do të tregohet se si të testohet nëse një numër i caktuar është zgjidhje për një pabarazi të caktuar.

Pabarazitë e formës
\(ax > b, \katër sëpatë në të cilën a dhe b janë dhënë numra, dhe x është një i panjohur, quhen pabarazitë lineare me një të panjohur.

Përkufizimi. Zgjidhja e një pabarazie me një të panjohur është vlera e të panjohurës në të cilën kjo pabarazi bëhet një pabarazi numerike e vërtetë. Zgjidhja e një pabarazie do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet e saj ose të vërtetosh se nuk ka asnjë.

Ju i zgjidhni ekuacionet duke i reduktuar në ekuacionet më të thjeshta. Në mënyrë të ngjashme, kur zgjidhen pabarazitë, përpiqemi t'i reduktojmë ato, duke përdorur vetitë, në formën e pabarazive të thjeshta.

Zgjidhja e pabarazive të shkallës së dytë me një ndryshore

Pabarazitë e formës
\(ax^2+bx+c >0 \) dhe \(ax^2+bx+c ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe \(a \neq 0 \), të quajtur pabarazitë e shkallës së dytë me një ndryshore.

Zgjidhja e pabarazisë
\(ax^2+bx+c >0 \) ose \(ax^2+bx+c mund të konsiderohen si gjetje të intervaleve në të cilat funksioni \(y= ax^2+bx+c \) merr pozitiv ose negativ vlerat Për ta bërë këtë, mjafton të analizohet se si grafiku i funksionit \(y= ax^2+bx+c\) ndodhet në planin koordinativ: ku janë të drejtuara degët e parabolës - lart ose poshtë, nëse parabola e pret boshtin x dhe nëse e pret, atëherë në cilat pika.

Algoritmi për zgjidhjen e pabarazive të shkallës së dytë me një ndryshore:
1) Gjeni diskriminuesin e trinomit katror \(ax^2+bx+c\) dhe gjeni nëse trinomi ka rrënjë;
2) nëse trinomi ka rrënjë, atëherë shënojini ato në boshtin x dhe nëpër pikat e shënuara vizatoni një parabolë skematike, degët e së cilës janë të drejtuara lart për një > 0 ose poshtë për një 0 ose në fund për një 3) gjeni intervalet në boshtin x për të cilin parabolat e pikave ndodhen mbi boshtin x (nëse zgjidhin pabarazinë \(ax^2+bx+c >0\)) ose nën boshtin x (nëse zgjidhin pabarazia
\(ax^2+bx+c Zgjidhja e inekuacioneve duke përdorur metodën e intervalit

Merrni parasysh funksionin
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domeni i këtij funksioni është bashkësia e të gjithë numrave. Zerot e funksionit janë numrat -2, 3, 5. Ata e ndajnë domenin e përcaktimit të funksionit në intervalet \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) dhe \( (5; +\infty)\)

Le të zbulojmë se cilat janë shenjat e këtij funksioni në secilin nga intervalet e treguara.

Shprehja (x + 2) (x - 3) (x - 5) është produkt i tre faktorëve. Shenja e secilit prej këtyre faktorëve në intervalet në shqyrtim tregohet në tabelë:

Në përgjithësi, le të jepet funksioni nga formula
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
ku x është një ndryshore, dhe x 1, x 2, ..., x n janë numra që nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin. Numrat x 1 , x 2 , ..., x n janë zero të funksionit. Në secilin nga intervalet në të cilat domeni i përkufizimit ndahet me zero të funksionit, shenja e funksionit ruhet dhe kur kalon në zero, shenja e tij ndryshon.

Kjo veti përdoret për të zgjidhur pabarazitë e formës
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) ku x 1, x 2, ..., x n janë numra jo të barabartë me njëri-tjetrin

Metoda e konsideruar zgjidhja e inekuacioneve quhet metoda e intervalit.

Le të japim shembuj të zgjidhjes së pabarazive duke përdorur metodën e intervalit.

Zgjidhja e pabarazisë:

\(x(0.5-x)(x+4) Natyrisht, zerot e funksionit f(x) = x(0.5-x)(x+4) janë pikat \(x=0, \; x= \ frac(1)(2), \;

Ne vizatojmë zerot e funksionit në boshtin e numrave dhe llogarisim shenjën në çdo interval:

Ne zgjedhim ato intervale në të cilat funksioni është më i vogël ose i barabartë me zero dhe shkruajmë përgjigjen.

Në këtë mësim do të vazhdojmë të zgjidhim pabarazitë racionale duke përdorur metodën e intervalit për pabarazi më komplekse. Le të shqyrtojmë zgjidhjen e pabarazive thyesore-lineare dhe thyesore-kuadratike dhe problemet e lidhura me to.

Tani le të kthehemi te pabarazia

Le të shohim disa detyra të lidhura.

Gjeni zgjidhjen më të vogël të pabarazisë.

Gjeni numrin e zgjidhjeve natyrore të pabarazisë

Gjeni gjatësinë e intervaleve që përbëjnë bashkësinë e zgjidhjeve të pabarazisë.

2. Portali i Shkencave të Natyrës ().

3. Kompleksi elektronik arsimor dhe metodologjik për përgatitjen e klasave 10-11 për provimet pranuese në shkenca kompjuterike, matematikë, gjuhë ruse ().

5. Qendra Edukative “Teknologji mësimore” ().

6. Seksioni College.ru për matematikën ().

1. Mordkovich A.G. dhe të tjerët Algjebra klasa e 9-të: Libër me probleme për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etj. - Botimi i 4-të. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 f.: ill. Nr. 28 (b,c); 29 (b,c); 35(a,b); 37 (b,c); 38 (a).

Metoda e intervalit(ose siç quhet nganjëherë metoda e intervalit) është një metodë universale për zgjidhjen e pabarazive. Ai është i përshtatshëm për zgjidhjen e një sërë pabarazish, por është më i përshtatshëm në zgjidhje pabarazitë racionale me një variabël. Prandaj, në kursin e algjebrës shkollore, metoda e intervaleve është e lidhur ngushtë posaçërisht me pabarazitë racionale dhe praktikisht nuk i kushtohet vëmendje zgjidhjes së pabarazive të tjera me ndihmën e saj.

Në këtë artikull do të analizojmë në detaje metodën e intervalit dhe do të prekim të gjitha ndërlikimet e zgjidhjes së pabarazive me një ndryshore duke e përdorur atë. Le të fillojmë duke paraqitur një algoritëm për zgjidhjen e pabarazive duke përdorur metodën e intervalit. Më tej, ne do të shpjegojmë se në cilat aspekte teorike bazohet dhe do të analizojmë hapat e algoritmit, në veçanti, do të ndalemi në detaje në përcaktimin e shenjave në intervale. Pas kësaj, ne do të kalojmë në praktikë dhe do të tregojmë zgjidhje për disa shembuj tipikë. Dhe në përfundim, ne do të shqyrtojmë metodën e intervalit në formë të përgjithshme (d.m.th., pa iu referuar pabarazive racionale), me fjalë të tjera, metodën e përgjithësuar të intervalit.

Navigimi i faqes.

Algoritmi

Njohja me metodën e intervalit në shkollë fillon me zgjidhjen e pabarazive të formës f(x)<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, >ose ≥), ku f(x) është ose , e përfaqësuar si produkt binomet lineare me 1 për ndryshoren x dhe/ose trinomet katrore me një koeficient prijës 1 dhe me një diskriminues negativ dhe shkallët e tyre, ose raporti i polinomeve të tillë. Për qartësi, japim shembuj të pabarazive të tilla: (x−5)·(x+5)≤0 , (x+3)·(x 2 −x+1)·(x+2) 3 ≥0, .

Për ta bërë bisedën e mëtejshme thelbësore, le të shkruajmë menjëherë një algoritëm për zgjidhjen e pabarazive të llojit të mësipërm duke përdorur metodën e intervalit, dhe më pas do të kuptojmë se çfarë, si dhe pse. Pra, duke përdorur metodën e intervalit:

Së pari, gjenden zerot e numëruesit dhe zerot e emëruesit. Për ta bërë këtë, numëruesi dhe emëruesi i shprehjes në anën e majtë të pabarazisë janë të barabartë me zero, dhe ekuacionet që rezultojnë zgjidhen.
Pas kësaj, pikat që korrespondojnë me zerot e gjetura shënohen me viza. Mjafton një vizatim skematik, në të cilin nuk është e nevojshme të vëzhgoni shkallën, gjëja kryesore është t'i përmbaheni vendndodhjes së pikave në lidhje me njëra-tjetrën: pika me koordinatën më të vogël ndodhet në të majtë të pikës me koordinatë më e madhe. Pas kësaj, bëhet e qartë se si ato duhet të përshkruhen: të rregullta ose të shpuara (me një qendër të zbrazët). Kur zgjidhet një pabarazi strikte (me shenjë< или >) të gjitha pikat përshkruhen si të shpuara. Kur zgjidhet një pabarazi jo e rreptë (me shenjën ≤ ose ≥), pikat që korrespondojnë me zerot e emëruesit shpohen, dhe pikat e mbetura të shënuara me viza janë të zakonshme. Këto pika e ndajnë vijën koordinative në disa intervale numerike.
Më pas, shenjat e shprehjes f(x) përcaktohen nga ana e majtë e pabarazisë që zgjidhet në çdo interval (ne do të përshkruajmë në detaje se si bëhet kjo në një nga paragrafët e mëposhtëm), dhe + ose − janë vendosur më sipër. ato në përputhje me shenjat e përcaktuara në to.
Së fundi, kur zgjidhet pabarazia e nënshkruar< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком >ose ≥ - mbi hapësirat e shënuara me një shenjë +. Rezultati është , e cila është zgjidhja e dëshiruar për pabarazinë.

Vini re se algoritmi i mësipërm është në përputhje me përshkrimin e metodës së intervalit në tekstet shkollore.

Në çfarë bazohet metoda?

Qasja në bazë të metodës së intervalit ndodh për shkak të vetive të mëposhtme të një funksioni të vazhdueshëm: nëse në intervalin (a, b) funksioni f është i vazhdueshëm dhe nuk zhduket, atëherë ai ruan një shenjë konstante në këtë interval (do të shtonim se një veti e ngjashme kjo është gjithashtu e vërtetë për rrezet numerike (−∞, a) dhe (a, +∞) ). Dhe kjo pronë, nga ana tjetër, rrjedh nga teorema Bolzano-Cauchy (shqyrtimi i saj është përtej qëllimit të kurrikulës shkollore), formulimi dhe prova e së cilës, nëse është e nevojshme, mund të gjenden, për shembull, në libër.

Për shprehjet f(x) që kanë formën e treguar në paragrafin e mëparshëm, qëndrueshmëria e shenjës në intervale mund të justifikohet në një mënyrë tjetër, duke u nisur nga vetitë e pabarazive numerike dhe duke marrë parasysh rregullat për shumëzimin dhe pjesëtimin e numrave me të njëjtën shenja dhe shenja të ndryshme.

Si shembull, merrni parasysh pabarazinë. Zerot e numëruesit dhe emëruesit të tij e ndajnë vijën numerike në tre intervale (−∞, −1), (−1, 5) dhe (5, +∞). Le të tregojmë se në intervalin (−∞, −1) shprehja në anën e majtë të pabarazisë ka një shenjë konstante (mund të marrim një interval tjetër, arsyetimi do të jetë i ngjashëm). Le të marrim çdo numër t nga ky interval. Padyshim që do të kënaqë pabarazinë t<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

Pra, ne iu afruam pa probleme çështjes së përcaktimit të shenjave në intervale, por nuk do të kapërcejmë hapin e parë të metodës së intervalit, i cili përfshin gjetjen e zerave të numëruesit dhe emëruesit.

Si të gjejmë zerot e numëruesit dhe emëruesit?

Gjetja e zerove të numëruesit dhe emëruesit të një thyese të tipit të treguar në paragrafin e parë zakonisht nuk paraqet ndonjë problem. Për këtë, shprehjet nga numëruesi dhe emëruesi vendosen të barabarta me zero, dhe ekuacionet që rezultojnë zgjidhen. Parimi i zgjidhjes së ekuacioneve të këtij lloji përshkruhet në detaje në artikull zgjidhja e ekuacioneve me metodën e faktorizimit. Këtu do të kufizohemi vetëm në një shembull.

Merrni parasysh thyesën dhe gjeni zerot e numëruesit dhe emëruesit të tij. Le të fillojmë me zerot e numëruesit. Numëruesin e barazojmë me zero, fitojmë ekuacionin x·(x−0,6)=0, nga i cili kalojmë në bashkësinë e dy ekuacioneve x=0 dhe x−0,6=0, nga ku gjejmë dy rrënjë 0 dhe 0,6 . Këto janë zerot e dëshiruara të numëruesit. Tani gjejmë zerot e emëruesit. Le të bëjmë një ekuacion x 7 ·(x 2 +2·x+7) 2 ·(x+5) 3 =0, është ekuivalente me një grup prej tre ekuacionesh x 7 =0, (x 2 +2 x+7) 2 =0, (x+5) 3 =0, dhe pastaj x=0, x 2 +2 x+7 =0, x+5=0. Rrënja e të parit prej këtyre ekuacioneve është e dukshme, është 0, ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë, pasi diskriminuesi i tij është negativ, dhe rrënja e ekuacionit të tretë është -5. Pra, ne gjetëm zerot e emëruesit, ishin dy prej tyre: 0 dhe −5. Vini re se 0 doli të jetë edhe zero në numërues dhe zero në emërues.

Për të gjetur zeron e numëruesit dhe të emëruesit në rastin e përgjithshëm, kur ana e majtë e mosbarazimit është një thyesë, por jo domosdoshmërisht racionale, numëruesi dhe emëruesi gjithashtu barazohen me zero dhe zgjidhen ekuacionet përkatëse.

Si të përcaktoni shenjat në intervale?

Mënyra më e besueshme për të përcaktuar shenjën e shprehjes në anën e majtë të pabarazisë në çdo interval është llogaritja e vlerës së kësaj shprehjeje në çdo pikë në çdo interval. Në këtë rast, shenja e dëshiruar në interval përkon me shenjën e vlerës së shprehjes në çdo pikë të këtij intervali. Le ta shpjegojmë këtë me një shembull.

Le të marrim pabarazinë . Shprehja në anën e majtë të saj nuk ka zero në numërues dhe zeroja në emërues është numri -3. Ai e ndan rreshtin numerik në dy intervale (−∞, −3) dhe (−3, +∞). Le të përcaktojmë shenjat mbi to. Për ta bërë këtë, merrni një pikë nga këto intervale dhe llogaritni vlerat e shprehjes në to. Le të theksojmë menjëherë se këshillohet të merren pika të tilla në mënyrë që të jetë e lehtë të kryhen llogaritjet. Për shembull, nga intervali i parë (−∞, −3) mund të marrim −4. Për x=−4 kemi , mori një vlerë me një shenjë minus (negative), prandaj, do të ketë një shenjë minus në këtë interval. Kalojmë në përcaktimin e shenjës në intervalin e dytë (−3, +∞). Është e përshtatshme për të marrë 0 prej saj (nëse 0 përfshihet në interval, atëherë këshillohet që ta merrni gjithmonë, pasi në x=0 llogaritjet janë më të thjeshtat). Në x=0 kemi . Kjo vlerë ka një shenjë plus (pozitive), kështu që do të ketë një shenjë plus në këtë interval.

Ekziston një qasje tjetër për përcaktimin e shenjave, e cila konsiston në gjetjen e shenjës në një nga intervalet dhe ruajtjen e saj ose ndryshimin e saj kur kaloni në intervalin ngjitur përmes zeros. Ju duhet t'i përmbaheni rregullit të mëposhtëm. Kur kalon nga zero e numëruesit, por jo nga emëruesi, ose nga zero e emëruesit, por jo nga numëruesi, shenja ndryshon nëse shkalla e shprehjes që jep këtë zero është tek dhe nuk ndryshon nëse është çift. . Dhe kur kaloni nëpër një pikë që është njëkohësisht zero e numëruesit dhe zero e emëruesit, shenja ndryshon nëse shuma e fuqive të shprehjeve që japin këtë zero është tek, dhe nuk ndryshon nëse është çift.

Nga rruga, nëse shprehja në anën e djathtë të pabarazisë ka formën e treguar në fillim të paragrafit të parë të këtij neni, atëherë do të ketë një shenjë plus në hendekun më të djathtë.

Për të bërë gjithçka të qartë, le të shohim një shembull.

Le të ketë pabarazi para nesh , dhe e zgjidhim duke përdorur metodën e intervalit. Për ta bërë këtë, gjejmë zerot e numëruesit 2, 3, 4 dhe zerot e emëruesit 1, 3, 4, shënojini ato në vijën e koordinatave së pari me viza.

atëherë zerot e emëruesit i zëvendësojmë me imazhe pikash të shpuara

dhe meqenëse po zgjidhim një pabarazi jo të rreptë, ne i zëvendësojmë vizat e mbetura me pika të zakonshme

Dhe pastaj vjen momenti i identifikimit të shenjave në intervale. Siç vumë re para këtij shembulli, në intervalin më të djathtë (4, +∞) do të ketë një shenjë +:

Le të përcaktojmë shenjat e mbetura, ndërsa lëvizim nga hendeku në hendek nga e djathta në të majtë. Duke kaluar në intervalin tjetër (3, 4), kalojmë nëpër pikën me koordinatë 4. Kjo është zero edhe e numëruesit edhe e emëruesit, këto zero japin shprehjet (x−4) 2 dhe x−4, shuma e fuqive të tyre është 2+1=3, dhe ky është një numër tek, që do të thotë se kur kaloni në këtë pikë ju duhet të ndryshoni shenjën. Prandaj, në intervalin (3, 4) do të ketë një shenjë minus:

Shkojmë më tej në intervalin (2, 3), ndërsa kalojmë nëpër pikën me koordinatë 3. Kjo është gjithashtu zeroja e numëruesit dhe e emëruesit, jepet nga shprehjet (x−3) 3 dhe (x−3) 5, shuma e fuqive të tyre është 3+5=8, dhe kjo është një çift numri, prandaj, shenja do të mbetet e pandryshuar:

Ne shkojmë më tej në intervalin (1, 2). Rruga për në të është e bllokuar nga një pikë me koordinatë 2. Kjo është zeroja e numëruesit, jepet me shprehjen x−2, shkalla e saj është 1, domethënë është tek, prandaj, kur kaloni nëpër këtë pikë, shenja do të ndryshojë:

Më në fund, mbetet për të përcaktuar shenjën në intervalin e fundit (−∞, 1). Për të arritur tek ajo, duhet të kapërcejmë pikën me koordinatën 1. Kjo është zeroja e emëruesit, jepet me shprehjen (x−1) 4, shkalla e saj është 4, domethënë është e barabartë, prandaj, shenja nuk do të ndryshojë kur kalon nëpër këtë pikë. Pra, ne kemi identifikuar të gjitha shenjat, dhe vizatimi merr formën e mëposhtme:

Është e qartë se përdorimi i metodës së konsideruar është veçanërisht i justifikuar kur llogaritja e vlerës së një shprehje përfshin një sasi të madhe pune. Për shembull, llogaritni vlerën e shprehjes në çdo pikë të intervalit .

Shembuj të zgjidhjes së pabarazive duke përdorur metodën e intervalit

Tani mund të bashkoni të gjithë informacionin e paraqitur, të mjaftueshëm për të zgjidhur pabarazitë duke përdorur metodën e intervalit dhe të analizoni zgjidhjet e disa shembujve.

Shembull.

Zgjidh pabarazinë .

Zgjidhje.

Le ta zgjidhim këtë pabarazi duke përdorur metodën e intervalit. Natyrisht, zerot e numëruesit janë 1 dhe −5, dhe zerot e emëruesit janë 1. Ne i shënojmë ato në vijën numerike, me pikat me koordinata dhe 1 të pikësuara si zero të emëruesit, dhe zeroja e mbetur e numëruesit -5 të përshkruar si një pikë e zakonshme, pasi po zgjidhim një pabarazi jo të rreptë:

Tani vendosim shenja në intervale, duke iu përmbajtur rregullit të ruajtjes ose ndryshimit të shenjës kur kalojmë nëpër zero. Do të ketë një shenjë + mbi boshllëkun më të djathtë (kjo mund të kontrollohet duke llogaritur vlerën e shprehjes në anën e majtë të pabarazisë në një pikë në këtë boshllëk, për shembull, në x=3). Kur kalojmë në shenjë ndryshojmë, kur kalojmë nga 1 e lëmë të njëjtë dhe kur kalojmë në −5, përsëri e lëmë shenjën të pandryshuar:

Meqenëse po zgjidhim pabarazinë me shenjën ≤, mbetet të vizatojmë hije mbi intervalet e shënuara me shenjën − dhe të shkruajmë përgjigjen nga imazhi që rezulton.

Pra, zgjidhja që ne kërkojmë është: .

Për të qenë të drejtë, le të tërheqim vëmendjen për faktin se në shumicën dërrmuese të rasteve, kur zgjidhen pabarazitë racionale, ato fillimisht duhet të shndërrohen në formën e kërkuar për të bërë të mundur zgjidhjen e tyre duke përdorur metodën e intervaleve. Ne do të diskutojmë në detaje se si të kryejmë transformime të tilla në artikull. zgjidhjen e pabarazive racionale, dhe tani do të japim një shembull që ilustron një pikë të rëndësishme në lidhje me trinomet katrore në regjistrimin e pabarazive.

Shembull.

Gjeni zgjidhjen e pabarazisë .

Zgjidhje.

Në shikim të parë në këtë pabarazi duket se forma e saj është e përshtatshme për aplikimin e metodës së intervalit. Por nuk dëmton të kontrollosh nëse diskriminuesit e trinomeve kuadratike në shënimin e tij janë vërtet negativë. Le t'i kuptojmë për të lehtësuar ndërgjegjen tonë. Për trinomin x 2 +3 x+3 kemi D=3 2 −4 1 3=−3<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0 . Kjo do të thotë se transformimet janë të nevojshme për t'i dhënë kësaj pabarazie formën e dëshiruar. Në këtë rast, mjafton të paraqesim trinomin x 2 +2 x−8 si (x+4) (x−2) dhe pastaj të zgjidhim pabarazinë duke përdorur metodën e intervaleve .

Metoda e intervalit të përgjithësuar

Metoda e intervalit të përgjithësuar ju lejon të zgjidhni pabarazitë e formës f(x)<0 (≤, >, ≥), ku f(x) është arbitrare me një ndryshore x. Le ta shkruajmë algoritmi për zgjidhjen e pabarazive duke përdorur metodën e intervalit të përgjithësuar:

Së pari ju duhen f dhe zerot e këtij funksioni.
Pikat kufitare, duke përfshirë pikat individuale, të fushës së përkufizimit janë shënuar në vijën numerike. Për shembull, nëse domeni i një funksioni është bashkësia
(−5, 1]∪(3)∪ (ne nuk e përcaktojmë shenjën në intervalin (−6, 4), pasi nuk është pjesë e domenit të përkufizimit të funksionit). Për ta bërë këtë, merrni një pikë nga çdo interval, për shembull, 16, 8, 6 dhe −8, dhe llogaritni vlerën e funksionit f në to:

Nëse keni pyetje se si u zbulua se cilat janë vlerat e llogaritura të funksionit, pozitive apo negative, atëherë studioni materialin në artikull krahasimi i numrave.

Vendosim shenjat e sapopërcaktuara dhe aplikojmë hijezim mbi hapësirat me shenjën minus:

Në përgjigje shkruajmë bashkimin e dy intervaleve me shenjën −, kemi (−∞, −6]∪(7, 12). Vini re se −6 është përfshirë në përgjigje (pika përkatëse është e fortë, jo e shpuar) Fakti është se kjo nuk është zeroja e funksionit (të cilin, kur zgjidhim një pabarazi strikte, nuk do ta përfshinim në përgjigje), por pika kufitare e domenit të përkufizimit (është me ngjyrë, jo e zezë), dhe vlera e funksionit në këtë pikë është negative (siç dëshmohet nga shenja minus mbi intervalin përkatës), domethënë, ai plotëson pabarazinë, por 4 nuk ka nevojë të përfshihet në përgjigje ∪(7, 12) .

Referencat.
1. Algjebra: Klasa e 9-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2009. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-021134-5.
2. Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 9-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Botimi i 13-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 f.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
3. Algjebër dhe fillimi i analizës: Proc. për klasat 10-11. arsimi i përgjithshëm institucionet / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn dhe të tjerë; Ed. A. N. Kolmogorov - botimi i 14-të - M.: Arsimi, 2004. - 384 f.: ISBN 5-09-013651.
4. Kudryavtsev L. D. Lënda e analizës matematikore (në dy vëllime): Libër mësuesi për studentë universitarë dhe kolegj. - M.: Më e lartë. shkolla, 1981, vëll 1. – 687 f., ill.
Metoda e intervalit– një mënyrë e thjeshtë për të zgjidhur pabarazitë racionale thyesore. Ky është emri për pabarazitë që përmbajnë shprehje racionale (ose thyesore-racionale) që varen nga një ndryshore.

1. Konsideroni, për shembull, pabarazinë e mëposhtme

Metoda e intervalit ju lejon ta zgjidhni atë në disa minuta.

Në anën e majtë të kësaj pabarazie është një funksion racional thyesor. Racionale sepse nuk përmban rrënjë, sinus, apo logaritme - vetëm shprehje racionale. Në të djathtë është zero.

Metoda e intervalit bazohet në vetinë e mëposhtme të një funksioni racional thyesor.

Një funksion racional thyesor mund të ndryshojë shenjë vetëm në ato pika në të cilat është e barabartë me zero ose nuk ekziston.

Le të kujtojmë se si faktorizohet një trinom kuadratik, domethënë një shprehje e formës .

Ku dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik.

Vizatojmë një bosht dhe vendosim pikat në të cilat numëruesi dhe emëruesi shkojnë në zero.

Zerot e emëruesit dhe janë pika të shpuara, pasi në këto pika funksioni në anën e majtë të pabarazisë nuk është i përcaktuar (nuk mund të ndahet me zero). Zerot e numëruesit dhe - janë të hijezuara, pasi pabarazia nuk është e rreptë. Kur dhe pabarazia jonë plotësohet, pasi të dyja anët e tij janë të barabarta me zero.

Këto pika e thyejnë boshtin në intervale.

Le të përcaktojmë shenjën e funksionit racional thyesor në anën e majtë të pabarazisë sonë në secilin prej këtyre intervaleve. Kujtojmë se një funksion racional thyesor mund të ndryshojë shenjë vetëm në ato pika në të cilat është i barabartë me zero ose nuk ekziston.

Kjo do të thotë që në secilën prej intervaleve midis pikave ku numëruesi ose emëruesi shkon në zero, shenja e shprehjes në anën e majtë të pabarazisë do të jetë konstante - ose "plus" ose "minus".
Prandaj, për të përcaktuar shenjën e funksionit në çdo interval të tillë, marrim çdo pikë që i përket këtij intervali. Ai që është i përshtatshëm për ne.

. Merrni, për shembull, dhe kontrolloni shenjën e shprehjes në anën e majtë të pabarazisë. Secila prej "kllapave" është negative. Ana e majtë ka një shenjë.

Intervali tjetër: . Le të kontrollojmë shenjën në. Ne gjejmë se ana e majtë ka ndryshuar shenjën e saj në .

Le ta marrim. Kur shprehja është pozitive - prandaj, ajo është pozitive gjatë gjithë intervalit nga deri në .

Kur ana e majtë e pabarazisë është negative."> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Dhe së fundi, class="tex" alt="x>7

Kemi gjetur se në cilat intervale shprehja është pozitive. Gjithçka që mbetet është të shkruajmë përgjigjen:

Përgjigje:. Ju lutemi vini re: shenjat alternojnë ndërmjet intervaleve. Kjo ndodhi sepse.

gjatë kalimit në secilën pikë, pikërisht njëri prej faktorëve linearë ka ndryshuar shenjë, ndërsa pjesa tjetër e ka mbajtur të pandryshuar

Ne shohim se metoda e intervalit është shumë e thjeshtë. Për të zgjidhur pabarazinë thyesore-racionale duke përdorur metodën e intervalit, ne e reduktojmë atë në formën: Ose"> !} class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \djathtas))(\displaystyle Q\left(x \djathtas)) > 0

, ose , ose .

(në anën e majtë është një funksion racional thyesor, në anën e djathtë është zero).
Pastaj shënojmë në vijën numerike pikat në të cilat numëruesi ose emëruesi shkon në zero.
Këto pika e ndajnë të gjithë vijën numerike në intervale, në secilën prej të cilave funksioni thyesor-racional ruan shenjën e tij.
Këtë e bëjmë duke kontrolluar shenjën e shprehjes në çdo pikë që i përket një intervali të caktuar. Pas kësaj, ne shkruajmë përgjigjen. Kjo është ajo.

Por lind pyetja: a alternojnë gjithmonë shenjat? Jo, jo gjithmonë! Duhet të jeni të kujdesshëm dhe të mos vendosni tabela mekanikisht dhe pa menduar.

2. Le të shqyrtojmë një tjetër pabarazi.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \djathtas)^2)(\displaystyle \left(x-1 \djathtas) \ majtas(x-3 \djathtas))>0"> !}

Vendosni përsëri pikat në bosht. Pikat dhe janë shpuar sepse janë zero të emëruesit. Çështja është gjithashtu e prerë, pasi pabarazia është e rreptë.

Kur numëruesi është pozitiv, të dy faktorët në emërues janë negativë. Kjo mund të kontrollohet lehtësisht duke marrë çdo numër nga një interval i caktuar, për shembull, . Ana e majtë ka shenjën:

Kur numëruesi është pozitiv; Faktori i parë në emërues është pozitiv, faktori i dytë është negativ. Ana e majtë ka shenjën:

Situata është e njëjtë! Numëruesi është pozitiv, faktori i parë në emërues është pozitiv, i dyti është negativ. Ana e majtë ka shenjën:

Së fundi, me class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Kemi gjetur se në cilat intervale shprehja është pozitive. Gjithçka që mbetet është të shkruajmë përgjigjen:

Pse u ndërpre alternimi i shenjave? Sepse kur kalon nëpër një pikë shumëzuesi është "përgjegjës" për të nuk ka ndryshuar shenjë. Rrjedhimisht, e gjithë ana e majtë e pabarazisë sonë nuk ndryshoi shenjë.

konkluzioni: nëse shumëzuesi linear është një fuqi çift (për shembull, në katror), atëherë kur kaloni nëpër një pikë shenja e shprehjes në anën e majtë nuk ndryshon. Në rastin e një shkalle të çuditshme, shenja, natyrisht, ndryshon.

3. Le të shqyrtojmë një rast më kompleks. Ai ndryshon nga ai i mëparshmi në atë që pabarazia nuk është e rreptë:

Ana e majtë është e njëjtë si në problemin e mëparshëm. Fotografia e shenjave do të jetë e njëjtë:

Ndoshta përgjigjja do të jetë e njëjtë? Jo! Shtohet një zgjidhje Kjo ndodh sepse si në anën e majtë ashtu edhe në të djathtë të pabarazisë janë të barabarta me zero - prandaj, kjo pikë është një zgjidhje.

Kemi gjetur se në cilat intervale shprehja është pozitive. Gjithçka që mbetet është të shkruajmë përgjigjen:

Kjo situatë ndodh shpesh në problemet në Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë. Këtu aplikantët bien në një kurth dhe humbasin pikë. Kini kujdes!

4. Çfarë duhet bërë nëse numëruesi ose emëruesi nuk mund të faktorizohet në faktorë linearë? Konsideroni këtë pabarazi:

Një trinom katror nuk mund të faktorizohet: diskriminuesi është negativ, nuk ka rrënjë. Por kjo është e mirë! Kjo do të thotë se shenja e shprehjes për të gjithë është e njëjtë, dhe konkretisht, pozitive. Mund të lexoni më shumë rreth kësaj në artikullin mbi vetitë e funksioneve kuadratike.

Dhe tani ne mund t'i ndajmë të dyja anët e pabarazisë sonë me një vlerë që është pozitive për të gjithë. Le të arrijmë në një pabarazi ekuivalente:

E cila zgjidhet lehtësisht duke përdorur metodën e intervalit.

Ju lutemi vini re se ne i ndamë të dyja anët e pabarazisë me një vlerë që e dinim me siguri se ishte pozitive. Sigurisht, në përgjithësi, nuk duhet të shumëzoni ose pjesëtoni një pabarazi me një ndryshore, shenja e së cilës është e panjohur.

5 . Le të shqyrtojmë një tjetër pabarazi, në dukje mjaft të thjeshtë:

Unë thjesht dua ta shumëzoj atë me. Por ne jemi tashmë të zgjuar dhe nuk do ta bëjmë këtë. Në fund të fundit, mund të jetë edhe pozitive edhe negative. Dhe ne e dimë se nëse të dyja anët e pabarazisë shumëzohen me një vlerë negative, shenja e pabarazisë ndryshon.

Ne do ta bëjmë atë ndryshe - do të mbledhim gjithçka në një pjesë dhe do ta sjellim në një emërues të përbashkët. Ana e djathtë do të mbetet zero:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Dhe pas kësaj - aplikoni metoda e intervalit.