Zgjidhje nga teorema e Gausit. Krimi kryesor i një mësuesi matematike

Një nga metodat universale dhe efektive për zgjidhjen e sistemeve algjebrike lineare është Metoda Gaussian , që konsiston në eliminimin vijues të të panjohurave.

Kujtojmë se të dy sistemet quhen ekuivalente (ekuivalente) nëse bashkësitë e zgjidhjeve të tyre përputhen. Me fjalë të tjera, sistemet janë ekuivalente nëse çdo zgjidhje e njërës prej tyre është zgjidhje e tjetrës dhe anasjelltas. Sistemet ekuivalente fitohen kur transformimet elementare ekuacionet e sistemit:

duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me një numër të ndryshëm nga zero;

duke i shtuar disa ekuacioneve pjesët përkatëse të një ekuacioni tjetër, të shumëzuar me një numër të ndryshëm nga zero;

duke riorganizuar dy ekuacione.

Le të jepet një sistem ekuacionesh

Procesi i zgjidhjes së këtij sistemi duke përdorur metodën Gaussian përbëhet nga dy faza. Në fazën e parë (lëvizja e drejtpërdrejtë), sistemi, duke përdorur transformimet elementare, reduktohet në hap pas hapi , ose trekëndëshi formë, dhe në fazën e dytë (e kundërt) ka një sekuencial, duke filluar nga numri i variablës së fundit, përcaktimi i të panjohurave nga sistemi i hapave që rezulton.

Le të supozojmë se koeficienti i këtij sistemi
, përndryshe në sistem rreshti i parë mund të ndërrohet me ndonjë rresht tjetër në mënyrë që koeficienti në ishte ndryshe nga zero.

Le të transformojmë sistemin duke eliminuar të panjohurën në të gjitha ekuacionet përveç të parës. Për ta bërë këtë, shumëzojini të dyja anët e ekuacionit të parë me dhe shtoni term pas termi me ekuacionin e dytë të sistemit. Pastaj shumëzojini të dyja anët e ekuacionit të parë me dhe shtojeni në ekuacionin e tretë të sistemit. Duke vazhduar këtë proces, marrim sistemin ekuivalent

Këtu
– vlerat e reja të koeficientëve dhe termave të lirë që fitohen pas hapit të parë.

Në mënyrë të ngjashme, duke marrë parasysh elementin kryesor
, përjashtoni të panjohurën nga të gjitha ekuacionet e sistemit përveç të parës dhe të dytës. Le të vazhdojmë këtë proces sa më gjatë të jetë e mundur, dhe si rezultat do të marrim një sistem hap pas hapi

,

Ku ,
,…,– elementet kryesore të sistemit
.

Nëse, në procesin e reduktimit të sistemit në një formë hap pas hapi, shfaqen ekuacione, d.m.th., barazitë e formës
, ato hidhen duke qenë se janë të kënaqur me çdo grup numrash
. Nëse në
Nëse shfaqet një ekuacion i formës që nuk ka zgjidhje, kjo tregon papajtueshmërinë e sistemit.

Gjatë goditjes së kundërt, e panjohura e parë shprehet nga ekuacioni i fundit i sistemit të hapave të transformuar nëpër të gjitha të panjohurat e tjera
të cilat quhen falas . Pastaj shprehja e ndryshores nga ekuacioni i fundit i sistemit zevendesohet ne ekuacionin e parafundit dhe variabli shprehet prej tij
. Variablat përcaktohen në mënyrë sekuenciale në një mënyrë të ngjashme
. Variablat
, të shprehura përmes ndryshoreve të lira, quhen bazë (i varur). Rezultati është një zgjidhje e përgjithshme për sistemin e ekuacioneve lineare.

Per te gjetur zgjidhje private sisteme, të panjohura falas
në zgjidhjen e përgjithshme caktohen vlera arbitrare dhe llogariten vlerat e variablave
.

Është teknikisht më i përshtatshëm për t'iu nënshtruar transformimeve elementare jo vetë ekuacionet e sistemit, por matricën e zgjeruar të sistemit.

.

Metoda e Gausit është një metodë universale që ju lejon të zgjidhni jo vetëm sisteme katrore, por edhe drejtkëndore në të cilat numri i të panjohurave
jo e barabartë me numrin e ekuacioneve
.

Avantazhi i kësaj metode është gjithashtu se në procesin e zgjidhjes ne ekzaminojmë njëkohësisht sistemin për përputhshmëri, pasi, pasi kemi dhënë matricën e zgjeruar
në formë hap pas hapi, është e lehtë të përcaktohen radhët e matricës dhe matricës së zgjeruar
dhe aplikoni Teorema Kronecker-Capelli .

Shembulli 2.1 Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën e Gausit

Zgjidhje. Numri i ekuacioneve
dhe numri i të panjohurave
.

Le të krijojmë një matricë të zgjeruar të sistemit duke caktuar koeficientë në të djathtë të matricës kolona e anëtarëve të lirë .

Le të paraqesim matricën në një pamje trekëndore; Për ta bërë këtë, ne do të marrim "0" nën elementët e vendosur në diagonalen kryesore duke përdorur transformime elementare.

Për të marrë "0" në pozicionin e dytë të kolonës së parë, shumëzojeni rreshtin e parë me (-1) dhe shtoni në rreshtin e dytë.

Këtë transformim e shkruajmë si numër (-1) kundrejt rreshtit të parë dhe e shënojmë me një shigjetë që shkon nga rreshti i parë në rreshtin e dytë.

Për të marrë "0" në pozicionin e tretë të kolonës së parë, shumëzojeni rreshtin e parë me (-3) dhe shtoni në rreshtin e tretë; Le ta tregojmë këtë veprim duke përdorur një shigjetë që shkon nga rreshti i parë në të tretën.

.

Në matricën që rezulton, e shkruar e dyta në zinxhirin e matricave, marrim "0" në kolonën e dytë në pozicionin e tretë. Për ta bërë këtë, ne shumëzuam rreshtin e dytë me (-4) dhe e shtuam atë në të tretën. Në matricën që rezulton, shumëzojeni rreshtin e dytë me (-1) dhe ndani të tretën me (-8). Të gjithë elementët e kësaj matrice që shtrihen poshtë elementeve diagonale janë zero.

Sepse , sistemi është bashkëpunues dhe i përcaktuar.

Sistemi i ekuacioneve që korrespondon me matricën e fundit ka një formë trekëndore:

Nga ekuacioni i fundit (i tretë).
. Zëvendësojeni në ekuacionin e dytë dhe merrni
.

Le të zëvendësojmë
Dhe
në ekuacionin e parë, gjejmë


.

Që nga fillimi i shekujve 16-18, matematikanët kanë filluar intensivisht të studiojnë funksionet, falë të cilave ka ndryshuar kaq shumë në jetën tonë. Teknologjia kompjuterike thjesht nuk do të ekzistonte pa këtë njohuri. Koncepte, teorema dhe teknika të ndryshme zgjidhjeje janë krijuar për të zgjidhur probleme komplekse, ekuacione lineare dhe funksione. Një nga metodat dhe teknikat e tilla universale dhe racionale për zgjidhjen e ekuacioneve lineare dhe sistemeve të tyre ishte metoda e Gausit. Matricat, rangu i tyre, përcaktori - gjithçka mund të llogaritet pa përdorur operacione komplekse.

Çfarë është SLAU

Në matematikë, ekziston koncepti i SLAE - një sistem ekuacionesh algjebrike lineare. Si është ajo? Ky është një grup m ekuacionesh me n sasi të panjohura të kërkuara, zakonisht të shënuara si x, y, z, ose x 1, x 2 ... x n, ose simbole të tjera. Zgjidhja e një sistemi të caktuar duke përdorur metodën Gaussian do të thotë të gjesh të gjitha të panjohurat. Nëse një sistem ka të njëjtin numër të panjohurash dhe ekuacionesh, atëherë ai quhet sistem i rendit të n-të.

Metodat më të njohura për zgjidhjen e SLAE

Në institucionet arsimore të arsimit të mesëm, studiohen metoda të ndryshme për zgjidhjen e sistemeve të tilla. Më shpesh këto janë ekuacione të thjeshta që përbëhen nga dy të panjohura, kështu që çdo metodë ekzistuese për të gjetur përgjigjen ndaj tyre nuk do të marrë shumë kohë. Kjo mund të jetë si një metodë zëvendësimi, kur një tjetër rrjedh nga një ekuacion dhe zëvendësohet në atë origjinal. Ose metoda e zbritjes dhe mbledhjes term pas termi. Por metoda e Gausit konsiderohet më e lehta dhe më universale. Bën të mundur zgjidhjen e ekuacioneve me çdo numër të panjohurash. Pse kjo teknikë e veçantë konsiderohet racionale? Është e thjeshtë. E mira e metodës së matricës është se nuk kërkon rishkrimin e simboleve të panevojshme disa herë si të panjohura, mjafton të kryeni veprime aritmetike mbi koeficientët - dhe do të merrni një rezultat të besueshëm.

Ku përdoren SLAE në praktikë?

Zgjidhja e SLAE-ve janë pikat e kryqëzimit të drejtëzave në grafikët e funksioneve. Në epokën tonë të kompjuterave të teknologjisë së lartë, njerëzit që janë të lidhur ngushtë me zhvillimin e lojërave dhe programeve të tjera duhet të dinë se si të zgjidhin sisteme të tilla, çfarë përfaqësojnë dhe si të kontrollojnë korrektësinë e rezultatit që rezulton. Më shpesh, programuesit zhvillojnë programe të veçanta llogaritëse të algjebrës lineare, e cila gjithashtu përfshin një sistem ekuacionesh lineare. Metoda e Gausit ju lejon të llogaritni të gjitha zgjidhjet ekzistuese. Përdoren gjithashtu formula dhe teknika të tjera të thjeshtuara.

Kriteri i përputhshmërisë SLAU

Një sistem i tillë mund të zgjidhet vetëm nëse është i pajtueshëm. Për qartësi, le të paraqesim SLAE në formën Ax=b. Ajo ka një zgjidhje nëse rang (A) është e barabartë me rang (A,b). Në këtë rast, (A,b) është një matricë me formë të zgjeruar që mund të merret nga matrica A duke e rishkruar atë me terma të lirë. Rezulton se zgjidhja e ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Gaussian është mjaft e lehtë.

Ndoshta disa nga simbolet nuk janë plotësisht të qarta, kështu që është e nevojshme të shqyrtojmë gjithçka me një shembull. Le të themi se ekziston një sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Ai përbëhet nga vetëm dy ekuacione, në të cilat ka 2 të panjohura. Sistemi do të ketë një zgjidhje vetëm nëse rangu i matricës së tij është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar. Çfarë është grada? Ky është numri i linjave të pavarura të sistemit. Në rastin tonë, rangu i matricës është 2, Matrica A do të përbëhet nga koeficientët e vendosur afër të panjohurave, dhe koeficientët e vendosur prapa shenjës "=" gjithashtu përshtaten në matricën e zgjeruar.

Pse SLAE-të mund të përfaqësohen në formë matrice?

Bazuar në kriterin e përputhshmërisë sipas teoremës së provuar Kronecker-Capelli, një sistem ekuacionesh algjebrike lineare mund të paraqitet në formë matrice. Duke përdorur metodën e kaskadës Gaussian, ju mund të zgjidhni matricën dhe të merrni një përgjigje të vetme të besueshme për të gjithë sistemin. Nëse grada e një matrice të zakonshme është e barabartë me gradën e matricës së saj të zgjeruar, por është më e vogël se numri i të panjohurave, atëherë sistemi ka një numër të pafund përgjigjesh.

Transformimet e matricës

Para se të kaloni në zgjidhjen e matricave, duhet të dini se çfarë veprimesh mund të kryhen në elementët e tyre. Ka disa transformime elementare:

• Duke e rishkruar sistemin në formë matrice dhe duke e zgjidhur atë, ju mund të shumëzoni të gjithë elementët e serisë me të njëjtin koeficient.
• Për të transformuar matricën në formë kanonike, mund të ndërroni dy rreshta paralelë. Forma kanonike nënkupton që të gjithë elementët e matricës që ndodhen përgjatë diagonales kryesore bëhen një, dhe ato të mbetura bëhen zero.
• Elementet përkatëse të rreshtave paralelë të matricës mund t'i shtohen njëri-tjetrit.

Metoda Jordan-Gauss

Thelbi i zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare homogjene dhe johomogjene duke përdorur metodën Gaussian është eliminimi gradualisht i të panjohurave. Le të themi se kemi një sistem prej dy ekuacionesh në të cilin ka dy të panjohura. Për t'i gjetur ato, duhet të kontrolloni sistemin për pajtueshmërinë. Ekuacioni zgjidhet shumë thjeshtë me metodën e Gausit. Është e nevojshme të shënohen koeficientët e vendosur pranë secilës të panjohur në formë matrice. Për të zgjidhur sistemin, do t'ju duhet të shkruani matricën e zgjeruar. Nëse një nga ekuacionet përmban një numër më të vogël të panjohurash, atëherë "0" duhet të vendoset në vend të elementit që mungon. Të gjitha metodat e njohura të transformimit zbatohen në matricë: shumëzimi, pjesëtimi me një numër, duke shtuar elementët përkatës të serisë me njëri-tjetrin dhe të tjera. Rezulton se në çdo rresht është e nevojshme të lihet një ndryshore me vlerën "1", pjesa tjetër duhet të reduktohet në zero. Për një kuptim më të saktë, është e nevojshme të merret parasysh metoda e Gausit me shembuj.

Një shembull i thjeshtë i zgjidhjes së një sistemi 2x2

Për të filluar, le të marrim një sistem të thjeshtë ekuacionesh algjebrike, në të cilin do të ketë 2 të panjohura.

Le ta rishkruajmë atë në një matricë të zgjeruar.

Për të zgjidhur këtë sistem ekuacionesh lineare, nevojiten vetëm dy operacione. Ne duhet ta sjellim matricën në formë kanonike në mënyrë që të ketë të tilla përgjatë diagonales kryesore. Pra, duke u transferuar nga forma e matricës përsëri në sistem, marrim ekuacionet: 1x+0y=b1 dhe 0x+1y=b2, ku b1 dhe b2 janë përgjigjet që rezultojnë në procesin e zgjidhjes.

1. Veprimi i parë gjatë zgjidhjes së një matrice të zgjeruar do të jetë ky: rreshti i parë duhet të shumëzohet me -7 dhe të shtohen elementët përkatës në rreshtin e dytë në mënyrë që të shpëtojmë nga një e panjohur në ekuacionin e dytë.
2. Meqenëse zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e Gausit përfshin reduktimin e matricës në formë kanonike, atëherë është e nevojshme të kryhen të njëjtat operacione me ekuacionin e parë dhe të hiqet ndryshorja e dytë. Për ta bërë këtë, ne zbresim rreshtin e dytë nga i pari dhe marrim përgjigjen e kërkuar - zgjidhjen e SLAE. Ose, siç tregohet në figurë, shumëzojmë rreshtin e dytë me një faktor -1 dhe shtojmë elementët e rreshtit të dytë në rreshtin e parë. Eshte e njejta gje.

Siç mund ta shohim, sistemi ynë u zgjidh me metodën Jordan-Gauss. E rishkruajmë në formën e kërkuar: x=-5, y=7.

Një shembull i një zgjidhjeje SLAE 3x3

Supozoni se kemi një sistem më kompleks ekuacionesh lineare. Metoda e Gausit bën të mundur llogaritjen e përgjigjes edhe për sistemin më konfuz në dukje. Prandaj, në mënyrë që të thelloheni në metodologjinë e llogaritjes, mund të kaloni në një shembull më kompleks me tre të panjohura.

Si në shembullin e mëparshëm, ne e rishkruajmë sistemin në formën e një matrice të zgjeruar dhe fillojmë ta sjellim atë në formën e tij kanonike.

Për të zgjidhur këtë sistem, do t'ju duhet të kryeni shumë më tepër veprime sesa në shembullin e mëparshëm.

1. Së pari ju duhet të bëni kolonën e parë një element njësi dhe pjesën tjetër zero. Për ta bërë këtë, shumëzoni ekuacionin e parë me -1 dhe shtoni ekuacionin e dytë në të. Është e rëndësishme të mbani mend se ne e rishkruajmë rreshtin e parë në formën e tij origjinale, dhe të dytën në një formë të modifikuar.
2. Më pas, ne heqim të njëjtën të panjohur të parë nga ekuacioni i tretë. Për ta bërë këtë, shumëzoni elementët e rreshtit të parë me -2 dhe shtoni ato në rreshtin e tretë. Tani rreshtat e parë dhe të dytë janë rishkruar në formën e tyre origjinale, dhe e treta - me ndryshime. Siç mund ta shihni nga rezultati, ne morëm të parën në fillim të diagonales kryesore të matricës dhe zerot e mbetura. Disa hapa të tjerë dhe sistemi i ekuacioneve me metodën Gaussian do të zgjidhet me besueshmëri.
3. Tani ju duhet të kryeni operacione në elementë të tjerë të rreshtave. Veprimet e treta dhe të katërta mund të kombinohen në një. Ne duhet të ndajmë rreshtat e dytë dhe të tretë me -1 për të hequr qafe ato minus në diagonale. Tashmë e kemi sjellë rreshtin e tretë në formën e kërkuar.
4. Më pas e sjellim rreshtin e dytë në formën kanonike. Për ta bërë këtë, shumëzoni elementët e rreshtit të tretë me -3 dhe shtoni ato në rreshtin e dytë të matricës. Nga rezultati është e qartë se rreshti i dytë gjithashtu reduktohet në formën që na nevojitet. Mbetet për të kryer disa operacione të tjera dhe për të hequr koeficientët e të panjohurave nga rreshti i parë.
5. Për të bërë 0 nga elementi i dytë i një rreshti, duhet të shumëzoni rreshtin e tretë me -3 dhe ta shtoni atë në rreshtin e parë.
6. Hapi tjetër vendimtar do të jetë shtimi i elementeve të nevojshëm të rreshtit të dytë në rreshtin e parë. Në këtë mënyrë marrim formën kanonike të matricës dhe, në përputhje me rrethanat, përgjigjen.

Siç mund ta shihni, zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e Gausit është mjaft e thjeshtë.

Një shembull i zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh 4x4

Disa sisteme më komplekse ekuacionesh mund të zgjidhen duke përdorur metodën Gaussian duke përdorur programe kompjuterike. Është e nevojshme të futni koeficientët për të panjohurat në qelizat boshe ekzistuese, dhe vetë programi do të llogarisë hap pas hapi rezultatin e kërkuar, duke përshkruar në detaje çdo veprim.

Udhëzimet hap pas hapi për zgjidhjen e një shembulli të tillë përshkruhen më poshtë.

Në hapin e parë, koeficientët e lirë dhe numrat për të panjohurat futen në qeliza boshe. Kështu, marrim të njëjtën matricë të zgjeruar që shkruajmë me dorë.

Dhe kryhen të gjitha veprimet e nevojshme aritmetike për të sjellë matricën e zgjeruar në formën e saj kanonike. Është e nevojshme të kuptohet se përgjigja për një sistem ekuacionesh nuk është gjithmonë numra të plotë. Ndonjëherë zgjidhja mund të jetë nga numrat thyesorë.

Kontrollimi i korrektësisë së zgjidhjes

Metoda Jordan-Gauss parashikon kontrollimin e korrektësisë së rezultatit. Për të zbuluar nëse koeficientët janë llogaritur saktë, thjesht duhet të zëvendësoni rezultatin në sistemin origjinal të ekuacioneve. Ana e majtë e ekuacionit duhet të përputhet me anën e djathtë pas shenjës së barazimit. Nëse përgjigjet nuk përputhen, atëherë duhet të rillogaritni sistemin ose të përpiqeni të aplikoni në të një metodë tjetër për zgjidhjen e SLAE-ve të njohura për ju, si zëvendësimi ose zbritja dhe mbledhja term pas termi. Në fund të fundit, matematika është një shkencë që ka një numër të madh të metodave të ndryshme të zgjidhjes. Por mbani mend: rezultati duhet të jetë gjithmonë i njëjtë, pavarësisht nga metoda e zgjidhjes që keni përdorur.

Metoda e Gausit: gabimet më të zakonshme gjatë zgjidhjes së SLAE

Gjatë zgjidhjes së sistemeve lineare të ekuacioneve, më së shpeshti ndodhin gabime të tilla si transferimi i gabuar i koeficientëve në formën e matricës. Ka sisteme në të cilat disa të panjohura mungojnë në një nga ekuacionet, atëherë kur transferohen të dhënat në një matricë të zgjeruar, ato mund të humbasin. Si rezultat, kur zgjidhet ky sistem, rezultati mund të mos korrespondojë me atë aktual.

Një gabim tjetër i madh mund të jetë shkrimi i gabuar i rezultatit përfundimtar. Është e nevojshme të kuptohet qartë se koeficienti i parë do të korrespondojë me të panjohurën e parë nga sistemi, e dyta - me të dytin, e kështu me radhë.

Metoda e Gausit përshkruan në detaje zgjidhjen e ekuacioneve lineare. Falë tij, është e lehtë të kryhen operacionet e nevojshme dhe të gjesh rezultatin e duhur. Për më tepër, ky është një mjet universal për të gjetur një përgjigje të besueshme për ekuacionet e çdo kompleksiteti. Ndoshta kjo është arsyeja pse përdoret kaq shpesh kur zgjidhen SLAE.

Në këtë artikull, metoda konsiderohet si një metodë për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare (SLAE). Metoda është analitike, domethënë ju lejon të shkruani një algoritëm zgjidhjeje në një formë të përgjithshme, dhe më pas të zëvendësoni vlerat nga shembuj specifikë atje. Ndryshe nga metoda e matricës ose formula e Cramer-it, kur zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Gausit, mund të punoni edhe me ato që kanë një numër të pafund zgjidhjesh. Ose nuk e kanë fare.

Çfarë do të thotë të zgjidhësh duke përdorur metodën Gaussian?

Së pari, ne duhet të shkruajmë sistemin tonë të ekuacioneve në Duket kështu. Merrni sistemin:

Koeficientët shkruhen në formën e një tabele, dhe termat e lirë shkruhen në një kolonë të veçantë në të djathtë. Kolona me terma të lirë ndahet për lehtësi Matrica që përfshin këtë kolonë quhet e zgjeruar.

Më pas, matrica kryesore me koeficientë duhet të reduktohet në një formë trekëndore të sipërme. Kjo është pika kryesore e zgjidhjes së sistemit duke përdorur metodën Gaussian. E thënë thjesht, pas disa manipulimeve, matrica duhet të duket në mënyrë që pjesa e poshtme e saj e majtë të përmbajë vetëm zero:

Pastaj, nëse e shkruani sërish matricën e re si sistem ekuacionesh, do të vini re se rreshti i fundit tashmë përmban vlerën e njërës prej rrënjëve, e cila më pas zëvendësohet në ekuacionin e mësipërm, gjendet një rrënjë tjetër, e kështu me radhë.

Ky është një përshkrim i zgjidhjes me metodën Gaussian në termat më të përgjithshëm. Çfarë ndodh nëse papritmas sistemi nuk ka zgjidhje? Apo ka pafundësisht shumë prej tyre? Për t'iu përgjigjur këtyre dhe shumë pyetjeve të tjera, është e nevojshme të merren parasysh veçmas të gjithë elementët e përdorur në zgjidhjen e metodës Gaussian.

Matricat, vetitë e tyre

Nuk ka asnjë kuptim të fshehur në matricë. Kjo është thjesht një mënyrë e përshtatshme për të regjistruar të dhënat për operacionet e mëvonshme me të. Edhe nxënësit e shkollës nuk kanë nevojë të kenë frikë prej tyre.

Matrica është gjithmonë drejtkëndore, sepse është më e përshtatshme. Edhe në metodën e Gausit, ku gjithçka zbret në ndërtimin e një matrice të një forme trekëndore, një drejtkëndësh shfaqet në hyrje, vetëm me zero në vendin ku nuk ka numra. Zerot mund të mos shkruhen, por nënkuptohen.

Matrica ka një madhësi. "Gjerësia" e tij është numri i rreshtave (m), "gjatësia" është numri i kolonave (n). Atëherë madhësia e matricës A (për t'i treguar ato zakonisht përdoren shkronja të mëdha latine) do të shënohet si A m×n. Nëse m=n, atëherë kjo matricë është katrore dhe m=n është rendi i saj. Prandaj, çdo element i matricës A mund të shënohet me numrat e rreshtave dhe kolonave të saj: a xy ; x - numri i rreshtit, ndryshimet, y - numri i kolonës, ndryshimet.

B nuk është pika kryesore e vendimit. Në parim, të gjitha operacionet mund të kryhen drejtpërdrejt me vetë ekuacionet, por shënimi do të jetë shumë më i rëndë dhe do të jetë shumë më e lehtë të ngatërrohesh në të.

Përcaktues

Matrica ka gjithashtu një përcaktues. Kjo është një karakteristikë shumë e rëndësishme. Nuk ka nevojë të zbuloni tani kuptimin e tij, thjesht mund të tregoni se si llogaritet dhe më pas të tregoni se cilat veçori të matricës përcakton. Mënyra më e lehtë për të gjetur përcaktorin është përmes diagonaleve. Në matricë vizatohen diagonalet imagjinare; elementët e vendosur në secilën prej tyre shumëzohen, dhe më pas shtohen produktet që rezultojnë: diagonalet me një pjerrësi në të djathtë - me një shenjë plus, me një pjerrësi në të majtë - me një shenjë minus.

Është jashtëzakonisht e rëndësishme të theksohet se përcaktori mund të llogaritet vetëm për një matricë katrore. Për një matricë drejtkëndore, mund të bëni sa më poshtë: zgjidhni më të voglin nga numri i rreshtave dhe numri i kolonave (le të jetë k), dhe më pas shënoni në mënyrë të rastësishme k kolona dhe k rreshta në matricë. Elementet në kryqëzimin e kolonave dhe rreshtave të zgjedhur do të formojnë një matricë të re katrore. Nëse përcaktori i një matrice të tillë është një numër jo zero, ai quhet minor bazë i matricës origjinale drejtkëndore.

Para se të filloni të zgjidhni një sistem ekuacionesh duke përdorur metodën Gaussian, nuk është e dëmshme të llogaritni përcaktorin. Nëse rezulton të jetë zero, atëherë mund të themi menjëherë se matrica ka ose një numër të pafund zgjidhjesh ose nuk ka fare. Në një rast kaq të trishtuar, duhet të shkoni më tej dhe të mësoni për gradën e matricës.

Klasifikimi i sistemit

Ekziston një gjë e tillë si rangu i një matrice. Ky është rendi maksimal i përcaktorit të tij jozero (nëse kujtojmë për bazën minore, mund të themi se renditja e një matrice është rendi i bazës minore).

Në bazë të situatës me gradë, SLAE mund të ndahet në:

• E përbashkët. U Në sistemet e përbashkëta, rangu i matricës kryesore (i përbërë vetëm nga koeficientët) përkon me gradën e matricës së zgjeruar (me një kolonë termash të lirë). Sisteme të tilla kanë një zgjidhje, por jo domosdoshmërisht një, prandaj, gjithashtu sistemet e përbashkëta ndahen në:
• - të caktuara- duke pasur një zgjidhje të vetme. Në sisteme të caktuara, rangu i matricës dhe numri i të panjohurave (ose numri i kolonave, që është e njëjta gjë) janë të barabarta;
• - e pacaktuar - me një numër të pafund zgjidhjesh. Rangu i matricave në sisteme të tilla është më i vogël se numri i të panjohurave.
• E papajtueshme. U Në sisteme të tilla, radhët e matricave kryesore dhe të zgjeruara nuk përkojnë. Sistemet e papajtueshme nuk kanë zgjidhje.

Metoda e Gausit është e mirë sepse gjatë zgjidhjes lejon që dikush të marrë ose një provë të paqartë të mospërputhjes së sistemit (pa llogaritur përcaktuesit e matricave të mëdha), ose një zgjidhje në formë të përgjithshme për një sistem me një numër të pafund zgjidhjesh.

Transformimet elementare

Para se të vazhdoni drejtpërdrejt me zgjidhjen e sistemit, mund ta bëni atë më pak të rëndë dhe më të përshtatshëm për llogaritjet. Kjo arrihet përmes transformimeve elementare – të tilla që zbatimi i tyre nuk e ndryshon në asnjë mënyrë përgjigjen përfundimtare. Duhet të theksohet se disa nga transformimet elementare të dhëna janë të vlefshme vetëm për matricat, burimi i të cilave ishte SLAE. Këtu është një listë e këtyre transformimeve:

1. Riorganizimi i linjave. Natyrisht, nëse ndryshoni rendin e ekuacioneve në rekordin e sistemit, kjo nuk do të ndikojë në zgjidhjen në asnjë mënyrë. Rrjedhimisht, rreshtat në matricën e këtij sistemi mund të ndërrohen gjithashtu, duke mos harruar, natyrisht, kolonën e termave të lirë.
2. Shumëzimi i të gjithë elementëve të një vargu me një koeficient të caktuar. Shume e dobishme! Mund të përdoret për të reduktuar numrat e mëdhenj në një matricë ose për të hequr zero. Shumë vendime, si zakonisht, nuk do të ndryshojnë, por operacionet e mëtejshme do të bëhen më të përshtatshme. Gjëja kryesore është që koeficienti të mos jetë i barabartë me zero.
3. Heqja e rreshtave me faktorë proporcionalë. Kjo rrjedh pjesërisht nga paragrafi i mëparshëm. Nëse dy ose më shumë rreshta në një matricë kanë koeficientë proporcionalë, atëherë kur një nga rreshtat shumëzohet/pjestohet me koeficientin e proporcionalitetit, fitohen dy (ose, përsëri, më shumë) rreshta absolutisht identikë dhe ato shtesë mund të hiqen, duke lënë vetem nje.
4. Heqja e një rreshti null. Nëse, gjatë transformimit, diku fitohet një rresht në të cilin të gjithë elementët, përfshirë termin e lirë, janë zero, atëherë një rresht i tillë mund të quhet zero dhe të hidhet jashtë matricës.
5. Shtimi i elementeve të një rreshti të elementeve të një tjetri (në kolonat përkatëse), të shumëzuar me një koeficient të caktuar. Transformimi më i padukshëm dhe më i rëndësishëm nga të gjithë. Vlen të ndalemi në të në më shumë detaje.

Shtimi i një vargu të shumëzuar me një faktor

Për lehtësinë e të kuptuarit, ia vlen ta zbërthejmë këtë proces hap pas hapi. Nga matrica merren dy rreshta:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Le të themi se duhet të shtoni të parën tek e dyta, shumëzuar me koeficientin "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Pastaj rreshti i dytë në matricë zëvendësohet me një të ri, dhe i pari mbetet i pandryshuar.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Duhet të theksohet se koeficienti i shumëzimit mund të zgjidhet në atë mënyrë që, si rezultat i shtimit të dy rreshtave, një nga elementët e rreshtit të ri të jetë i barabartë me zero. Prandaj, është e mundur të merret një ekuacion në një sistem ku do të ketë një të panjohur më pak. Dhe nëse merrni dy ekuacione të tilla, atëherë operacioni mund të bëhet përsëri dhe të merrni një ekuacion që do të përmbajë dy më pak të panjohura. Dhe nëse çdo herë që ktheni një koeficient të të gjitha rreshtave që janë nën origjinalin në zero, atëherë mundeni, si shkallët, të zbrisni në fund të matricës dhe të merrni një ekuacion me një të panjohur. Kjo quhet zgjidhja e sistemit duke përdorur metodën Gaussian.

Në përgjithësi

Le të ketë një sistem. Ka m ekuacione dhe n rrënjë të panjohura. Mund ta shkruani si më poshtë:

Matrica kryesore është përpiluar nga koeficientët e sistemit. Një kolonë me terma falas i shtohet matricës së zgjeruar dhe, për lehtësi, ndahet me një rresht.

• rreshti i parë i matricës shumëzohet me koeficientin k = (-a 21 /a 11);
• shtohen rreshti i parë i modifikuar dhe rreshti i dytë i matricës;
• në vend të rreshtit të dytë, rezultati i shtimit nga paragrafi i mëparshëm futet në matricë;
• tani koeficienti i parë në rreshtin e ri të dytë është 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Tani kryhet e njëjta seri transformimesh, përfshihen vetëm rreshtat e parë dhe të tretë. Prandaj, në çdo hap të algoritmit, elementi a 21 zëvendësohet me një 31. Pastaj gjithçka përsëritet për një 41, ... a m1. Rezultati është një matricë ku elementi i parë në rreshta është zero. Tani duhet të harroni linjën numër një dhe të kryeni të njëjtin algoritëm, duke filluar nga rreshti dy:

• koeficienti k = (-a 32 /a 22);
• rreshti i dytë i modifikuar i shtohet rreshtit "aktual";
• rezultati i shtimit zëvendësohet në rreshtat e tretë, të katërt e kështu me radhë, ndërsa e para dhe e dyta mbeten të pandryshuara;
• në rreshtat e matricës dy elementët e parë tashmë janë të barabartë me zero.

Algoritmi duhet të përsëritet derisa të shfaqet koeficienti k = (-a m,m-1 /a mm). Kjo do të thotë që hera e fundit që u ekzekutua algoritmi ishte vetëm për ekuacionin më të ulët. Tani matrica duket si një trekëndësh, ose ka një formë të shkallëzuar. Në vijën fundore është barazia a mn × x n = b m. Koeficienti dhe termi i lirë janë të njohur dhe rrënja shprehet përmes tyre: x n = b m /a mn. Rrënja që rezulton zëvendësohet në vijën e sipërme për të gjetur x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Dhe kështu me radhë për analogji: në secilën rresht tjetër ka një rrënjë të re dhe, pasi të keni arritur "majën" e sistemit, mund të gjeni shumë zgjidhje. Do të jetë e vetmja.

Kur nuk ka zgjidhje

Nëse në një nga rreshtat e matricës të gjithë elementët përveç termit të lirë janë të barabartë me zero, atëherë ekuacioni që i korrespondon kësaj rreshti duket si 0 = b. Nuk ka zgjidhje. Dhe meqenëse një ekuacion i tillë përfshihet në sistem, atëherë grupi i zgjidhjeve të të gjithë sistemit është bosh, domethënë është i degjeneruar.

Kur ka një numër të pafund zgjidhjesh

Mund të ndodhë që në matricën e dhënë trekëndore të mos ketë rreshta me një element koeficient të ekuacionit dhe një term të lirë. Ka vetëm rreshta që, kur rishkruhen, do të duken si një ekuacion me dy ose më shumë ndryshore. Kjo do të thotë që sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh. Në këtë rast, përgjigja mund të jepet në formën e një zgjidhjeje të përgjithshme. Si ta bëjmë atë?

Të gjitha variablat në matricë ndahen në bazë dhe të lirë. Ato themelore janë ato që qëndrojnë "në skaj" të rreshtave në matricën e hapave. Pjesa tjetër janë falas. Në zgjidhjen e përgjithshme, ndryshoret bazë shkruhen përmes atyre të lira.

Për lehtësi, matrica fillimisht rishkruhet përsëri në një sistem ekuacionesh. Pastaj në të fundit prej tyre, ku saktësisht ka mbetur vetëm një ndryshore bazë, ajo mbetet në njërën anë, dhe gjithçka tjetër transferohet në tjetrën. Kjo bëhet për çdo ekuacion me një ndryshore bazë. Më pas, në ekuacionet e mbetura, ku është e mundur, shprehja e marrë për të zëvendësohet në vend të ndryshores bazë. Nëse rezultati është përsëri një shprehje që përmban vetëm një variabël bazë, ai përsëri shprehet prej andej, dhe kështu me radhë, derisa çdo variabël bazë të shkruhet si një shprehje me ndryshore të lira. Kjo është zgjidhja e përgjithshme e SLAE.

Ju gjithashtu mund të gjeni zgjidhjen bazë të sistemit - jepni variablave të lirë çdo vlerë, dhe më pas për këtë rast specifik llogaritni vlerat e variablave bazë. Ka një numër të pafund zgjidhjesh të veçanta që mund të jepen.

Zgjidhje me shembuj specifik

Këtu është një sistem ekuacionesh.

Për lehtësi, është më mirë të krijoni menjëherë matricën e saj

Dihet se kur zgjidhet me metodën Gaussian, ekuacioni që korrespondon me rreshtin e parë do të mbetet i pandryshuar në fund të transformimeve. Prandaj, do të jetë më fitimprurëse nëse elementi i sipërm i majtë i matricës është më i vogli - atëherë elementët e parë të rreshtave të mbetur pas operacioneve do të kthehen në zero. Kjo do të thotë që në matricën e përpiluar do të jetë e dobishme të vendosni rreshtin e dytë në vend të të parës.

rreshti i dytë: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

rreshti i tretë: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Tani, për të mos u ngatërruar, duhet të shkruani një matricë me rezultatet e ndërmjetme të transformimeve.

Natyrisht, një matricë e tillë mund të bëhet më e përshtatshme për perceptim duke përdorur operacione të caktuara. Për shembull, mund të hiqni të gjitha "minuset" nga rreshti i dytë duke shumëzuar çdo element me "-1".

Vlen gjithashtu të theksohet se në rreshtin e tretë të gjithë elementët janë shumëfish të tre. Pastaj mund ta shkurtoni vargun me këtë numër, duke shumëzuar çdo element me "-1/3" (minus - në të njëjtën kohë, për të hequr vlerat negative).

Duket shumë më bukur. Tani duhet të lëmë të qetë rreshtin e parë dhe të punojmë me të dytën dhe të tretën. Detyra është të shtoni rreshtin e dytë në rreshtin e tretë, të shumëzuar me një koeficient të tillë që elementi a 32 të bëhet i barabartë me zero.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (nëse gjatë disa transformimeve përgjigja nuk rezulton të jetë një numër i plotë, rekomandohet të ruhet saktësia e llogaritjeve për t'u larguar është "siç është", në formën e një thyese të zakonshme, dhe vetëm atëherë, kur të merren përgjigjet, vendosni nëse do të rrumbullakoset dhe do të shndërrohet në një formë tjetër regjistrimi)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matrica shkruhet sërish me vlera të reja.

Siç mund ta shihni, matrica që rezulton tashmë ka një formë të shkallëzuar. Prandaj, nuk kërkohen transformime të mëtejshme të sistemit duke përdorur metodën Gaussian. Ajo që mund të bëni këtu është të hiqni koeficientin e përgjithshëm "-1/7" nga rreshti i tretë.

Tani gjithçka është e bukur. Gjithçka që mbetet për të bërë është të shkruani përsëri matricën në formën e një sistemi ekuacionesh dhe të llogarisni rrënjët

x + 2y + 4z = 12 (1)

7v + 11z = 24 (2)

Algoritmi me të cilin do të gjenden rrënjët tani quhet lëvizja e kundërt në metodën Gaussian. Ekuacioni (3) përmban vlerën z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Dhe ekuacioni i parë na lejon të gjejmë x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Ne kemi të drejtë ta quajmë një sistem të tillë të përbashkët, madje edhe të përcaktuar, domethënë të kesh një zgjidhje unike. Përgjigja shkruhet në formën e mëposhtme:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Një shembull i një sistemi të pasigurt

Varianti i zgjidhjes së një sistemi të caktuar duke përdorur metodën e Gausit është analizuar tani është e nevojshme të merret parasysh rasti nëse sistemi është i pasigurt, domethënë mund të gjenden pafundësisht shumë zgjidhje për të.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Vetë pamja e sistemit është tashmë alarmante, sepse numri i të panjohurave është n = 5, dhe rangu i matricës së sistemit është tashmë saktësisht më i vogël se ky numër, sepse numri i rreshtave është m = 4, domethënë, rendi më i lartë i katrorit përcaktor është 4. Kjo do të thotë se ka një numër të pafund zgjidhjesh dhe duhet të kërkoni pamjen e përgjithshme të saj. Metoda e Gausit për ekuacionet lineare ju lejon ta bëni këtë.

Së pari, si zakonisht, përpilohet një matricë e zgjeruar.

Rreshti i dytë: koeficienti k = (-a 21 /a 11) = -3. Në rreshtin e tretë, elementi i parë është para transformimeve, kështu që nuk keni nevojë të prekni asgjë, duhet ta lini ashtu siç është. Rreshti i katërt: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Duke shumëzuar elementët e rreshtit të parë me secilin nga koeficientët e tyre me radhë dhe duke i shtuar ato në rreshtat e kërkuar, marrim një matricë të formës së mëposhtme:

Siç mund ta shihni, rreshtat e dytë, të tretë dhe të katërt përbëhen nga elementë proporcionalë me njëri-tjetrin. E dyta dhe e katërta janë përgjithësisht identike, kështu që njëra prej tyre mund të hiqet menjëherë, dhe ajo e mbetura mund të shumëzohet me koeficientin "-1" dhe të marrë rreshtin numër 3. Dhe përsëri, nga dy rreshta identike, lini një.

Rezultati është një matricë si kjo. Ndërsa sistemi ende nuk është shkruar, është e nevojshme të përcaktohen variablat bazë këtu - ato që qëndrojnë në koeficientët a 11 = 1 dhe a 22 = 1, dhe ato të lira - të gjitha të tjerat.

Në ekuacionin e dytë ka vetëm një ndryshore bazë - x 2. Kjo do të thotë se mund të shprehet prej andej duke e shkruar përmes variablave x 3 , x 4 , x 5 , të cilat janë të lira.

Ne e zëvendësojmë shprehjen që rezulton në ekuacionin e parë.

Rezultati është një ekuacion në të cilin e vetmja variabël bazë është x 1 . Le të bëjmë të njëjtën gjë me të si me x 2.

Të gjitha variablat bazë, nga të cilat janë dy, janë shprehur në terma të tre variablave të lirë, tani mund të shkruajmë përgjigjen në formë të përgjithshme.

Ju gjithashtu mund të specifikoni një nga zgjidhjet e veçanta të sistemit. Për raste të tilla, zerat zakonisht zgjidhen si vlera për variablat e lirë. Atëherë përgjigja do të jetë:

16, 23, 0, 0, 0.

Një shembull i një sistemi jobashkëpunues

Zgjidhja e sistemeve të papajtueshme të ekuacioneve duke përdorur metodën e Gausit është më e shpejta. Përfundon menjëherë sapo në njërën nga fazat fitohet një ekuacion që nuk ka zgjidhje. Kjo do të thotë, eliminohet faza e llogaritjes së rrënjëve, e cila është mjaft e gjatë dhe e lodhshme. Sistemi i mëposhtëm konsiderohet:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Si zakonisht, matrica është përpiluar:

Dhe reduktohet në një formë hap pas hapi:

k 1 = -2k 2 = -4

Pas transformimit të parë, rreshti i tretë përmban një ekuacion të formës

pa zgjidhje. Rrjedhimisht, sistemi është i paqëndrueshëm dhe përgjigja do të jetë grupi bosh.

Avantazhet dhe disavantazhet e metodës

Nëse zgjidhni cilën metodë për të zgjidhur SLAE në letër me një stilolaps, atëherë metoda që u diskutua në këtë artikull duket më tërheqëse. Është shumë më e vështirë të ngatërrohesh në transformimet elementare sesa nëse duhet të kërkosh manualisht për një përcaktues ose një matricë të ndërlikuar të anasjelltë. Sidoqoftë, nëse përdorni programe për të punuar me të dhëna të këtij lloji, për shembull, fletëllogaritëse, atëherë rezulton se programe të tilla tashmë përmbajnë algoritme për llogaritjen e parametrave kryesorë të matricave - përcaktues, minor, invers, etj. Dhe nëse jeni të sigurt që makina do t'i llogarisë vetë këto vlera dhe nuk do të bëjë gabime, është më e këshillueshme të përdorni metodën e matricës ose formulat e Cramer-it, sepse aplikimi i tyre fillon dhe përfundon me llogaritjen e përcaktuesve dhe matricave të anasjellta. .

Aplikacion

Meqenëse zgjidhja Gaussian është një algoritëm, dhe matrica është në të vërtetë një grup dy-dimensionale, mund të përdoret në programim. Por meqenëse artikulli e pozicionon veten si një udhëzues "për dummies", duhet thënë se vendi më i lehtë për të vendosur metodën janë spreadsheets, për shembull, Excel. Përsëri, çdo SLAE e futur në një tabelë në formën e një matrice do të konsiderohet nga Excel si një grup dy-dimensionale. Dhe për operacionet me to ka shumë komanda të këndshme: mbledhje (mund të shtoni vetëm matrica me të njëjtën madhësi!), shumëzim me një numër, shumëzim matricash (gjithashtu me kufizime të caktuara), gjetja e matricave të anasjellta dhe të transpozuara dhe, më e rëndësishmja. , duke llogaritur përcaktorin. Nëse kjo detyrë që kërkon shumë kohë zëvendësohet nga një komandë e vetme, është e mundur të përcaktohet rangu i matricës shumë më shpejt dhe, për rrjedhojë, të përcaktohet përputhshmëria ose papajtueshmëria e saj.

Carl Friedrich Gauss, matematikani më i madh, hezitoi për një kohë të gjatë, duke zgjedhur midis filozofisë dhe matematikës. Ndoshta ishte pikërisht kjo mendësi që e lejoi atë të bënte një "trashëgimi" kaq të dukshme në shkencën botërore. Në veçanti, duke krijuar "Metodën e Gausit" ...

Për gati 4 vjet, artikujt në këtë faqe trajtonin edukimin shkollor, kryesisht nga pikëpamja e filozofisë, parimet e (keq)kuptimit të futura në mendjet e fëmijëve. Po vjen koha për më shumë specifika, shembuj dhe metoda... Besoj se kjo është pikërisht qasja ndaj të njohurave, konfuzeve dhe. e rëndësishme fushat e jetës jep rezultate më të mira.

Ne njerëzit jemi krijuar në atë mënyrë që sado të flasim të menduarit abstrakt, Por të kuptuarit Gjithmonë ndodh përmes shembujve. Nëse nuk ka shembuj, atëherë është e pamundur të kuptosh parimet... Ashtu siç është e pamundur të arrish në majë të një mali, përveçse duke ecur të gjithë shpatin nga këmbët.

E njëjta gjë me shkollën: tani për tani histori të gjalla Nuk mjafton që ne instinktivisht të vazhdojmë ta konsiderojmë atë si një vend ku fëmijët mësohen të kuptojnë.

Për shembull, mësimi i metodës Gaussian...

Metoda e Gausit në shkollën 5-vjeçare

Do të bëj një rezervim menjëherë: metoda e Gausit ka një aplikim shumë më të gjerë, për shembull, kur zgjidh sistemet e ekuacioneve lineare. Ajo për të cilën do të flasim ndodh në klasën e 5-të. Kjo filloi, duke kuptuar cilat, është shumë më e lehtë të kuptosh "opsionet më të avancuara". Në këtë artikull po flasim për Metoda (metoda) e Gausit për gjetjen e shumës së një serie

Këtu është një shembull që djali im më i vogël, i cili ndjek klasën e 5-të në një gjimnaz në Moskë, e solli nga shkolla.

Demonstrimi shkollor i metodës së Gausit

Një mësues matematike duke përdorur një tabelë të bardhë interaktive (metoda moderne të mësimdhënies) u tregoi fëmijëve një prezantim të historisë së "krijimit të metodës" nga Gausi i vogël.

Mësuesja e shkollës e fshikulloi Karlin e vogël (një metodë e vjetëruar, që nuk përdoret në shkolla këto ditë) sepse ai

në vend që të shtoni në mënyrë sekuenciale numrat nga 1 në 100, gjeni shumën e tyre vënë re se çiftet e numrave të ndarë në mënyrë të barabartë nga skajet e një progresion aritmetik mblidhen në të njëjtin numër. për shembull, 100 dhe 1, 99 dhe 2. Pasi numëroi numrin e çifteve të tilla, Gausi i vogël e zgjidhi pothuajse menjëherë problemin e propozuar nga mësuesi. Për të cilën ai u ekzekutua para një publiku të habitur. Kështu që të tjerët të dekurajohen nga të menduarit.

Çfarë bëri Gausi i vogël? zhvilluar kuptimi i numrit? E vënë re disa veçori seri numrash me hap konstant (progresion aritmetik). DHE pikërisht kjo më vonë e bëri atë një shkencëtar të madh, ata që dinë të vënë re, duke pasur ndjenja, instinkti i të kuptuarit.

Kjo është arsyeja pse matematika është e vlefshme, në zhvillim aftësia për të parë në përgjithësi në veçanti - të menduarit abstrakt. Prandaj, shumica e prindërve dhe punëdhënësve instinktivisht e konsiderojnë matematikën një disiplinë të rëndësishme ...

“Atëherë ju duhet të mësoni matematikën, sepse ju vendos në rregull mendjen.
M.V.Lomonosov".

Sidoqoftë, ndjekësit e atyre që fshikulluan me shufra gjenitë e ardhshëm, e kthyen Metodën në diçka të kundërt. Siç tha mbikëqyrësi im 35 vjet më parë: "Pyetja është mësuar". Apo siç tha djali im më i vogël dje për metodën e Gausit: "Ndoshta nuk ia vlen të bësh një shkencë të madhe nga kjo, apo jo?"

Pasojat e krijimtarisë së “shkencëtarëve” janë të dukshme në nivelin e matematikës aktuale shkollore, në nivelin e mësimdhënies së saj dhe në kuptimin e “Mbretëreshës së Shkencave” nga shumica.

Megjithatë, le të vazhdojmë...

Metodat e shpjegimit të metodës së Gausit në shkollën V-vjeçare

Një mësues matematike në një gjimnaz në Moskë, duke shpjeguar metodën e Gausit sipas Vilenkin, e ndërlikoi detyrën.

Po sikur ndryshimi (hapi) i një progresioni aritmetik të mos jetë një, por një numër tjetër? Për shembull, 20.

Problemi që u dha nxënësve të klasës së pestë:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Përpara se të njihemi me metodën e gjimnazit, le t'i hedhim një sy Internetit: si e bëjnë këtë mësuesit e shkollës dhe mësuesit e matematikës?..

Metoda Gaussian: shpjegimi nr. 1

Një mësues i njohur në kanalin e tij YOUTUBE jep arsyetimin e mëposhtëm:

"Le t'i shkruajmë numrat nga 1 deri në 100 si më poshtë:

së pari një seri numrash nga 1 në 50, dhe rreptësisht poshtë saj një seri tjetër numrash nga 50 në 100, por në rend të kundërt"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Ju lutemi vini re: shuma e çdo çifti numrash nga rreshtat e sipërm dhe të poshtëm është e njëjtë dhe është e barabartë me 101! Le të numërojmë numrin e çifteve, është 50 dhe shumëzojmë shumën e një çifti me numrin e çifteve! Voila: përgjigja është gati!"

"Nëse nuk mund ta kuptoni, mos u mërzitni!", përsëriti mësuesi tre herë gjatë shpjegimit. "Këtë metodë do ta merrni në klasën e 9-të!"

Metoda Gaussian: shpjegimi nr. 2

Një mësues tjetër, më pak i njohur (duke gjykuar nga numri i shikimeve), merr një qasje më shkencore, duke ofruar një algoritëm zgjidhjeje prej 5 pikash që duhet të plotësohen në mënyrë sekuenciale.

Për të pa iniciuarit, 5 është një nga numrat e Fibonaçit që tradicionalisht konsiderohet magjik. Një metodë me 5 hapa është gjithmonë më shkencore sesa një metodë me 6 hapa, për shembull. ...Dhe ky nuk është një aksident, me shumë mundësi, Autori është një mbështetës i fshehur i teorisë së Fibonacci

Duke pasur parasysh një progresion aritmetik: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritmi për gjetjen e shumës së numrave në një seri duke përdorur metodën e Gausit:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Në të njëjtën kohë, duhet të mbani mend plus një rregull : herësit që rezulton duhet t'i shtojmë një: përndryshe do të marrim një rezultat që është më i vogël për një se numri i vërtetë i çifteve: 42 + 1 = 43.

Kjo është shuma e kërkuar e progresionit aritmetik nga 4 në 256 me një ndryshim prej 6!

Metoda e Gausit: shpjegim në klasën e 5-të në një gjimnaz në Moskë

Ja se si të zgjidhet problemi i gjetjes së shumës së një serie:

20+40+60+ ... +460+480+500

në klasën e 5-të të një gjimnazi në Moskë, libri shkollor i Vilenkinit (sipas djalit tim).

Pasi tregoi prezantimin, mësuesi i matematikës tregoi disa shembuj duke përdorur metodën Gaussian dhe i dha klasës një detyrë për të gjetur shumën e numrave në një seri me rritje prej 20.

Kjo kërkonte sa vijon:

Siç mund ta shihni, kjo është një teknikë më kompakte dhe efektive: numri 3 është gjithashtu një anëtar i sekuencës Fibonacci.

Komentet e mia mbi versionin shkollor të metodës Gauss

Matematikani i madh do të kishte zgjedhur patjetër filozofinë nëse do të kishte parashikuar se në çfarë "metoda" do të shndërrohej nga ndjekësit e tij. mësues gjerman, i cili e fshikulloi Karlin me shufra. Ai do të kishte parë simbolikën, spiralen dialektike dhe marrëzinë e pavdekshme të "mësuesit". duke u përpjekur të masë harmoninë e mendimit të gjallë matematikor me algjebrën e keqkuptimit ....

Meqë ra fjala: a e dinit. se sistemi ynë arsimor i ka rrënjët në shkollën gjermane të shekujve 18 dhe 19?

Por Gausi zgjodhi matematikën.

Cili është thelbi i metodës së tij?

NË thjeshtimi. NË duke vëzhguar dhe kapur modele të thjeshta numrash. NË duke e kthyer aritmetikën e shkollës së thatë në aktivitet interesant dhe emocionues , duke aktivizuar në tru dëshirën për të vazhduar, në vend që të bllokojë aktivitetin mendor me kosto të lartë.

A është e mundur të përdoret një nga "modifikimet e metodës së Gausit" të dhëna për të llogaritur shumën e numrave të një progresion aritmetik pothuajse Menjëherë? Sipas "algoritmeve", Karli i vogël do të ishte i garantuar të shmangte goditjet, të zhvillonte një neveri ndaj matematikës dhe të shtypte impulset e tij krijuese që në fillim.

Pse mësuesi i këshilloi me kaq këmbëngulje nxënësit e klasës së pestë "të mos kenë frikë nga keqkuptimi" i metodës, duke i bindur ata se do t'i zgjidhnin probleme "të tilla" që në klasën e 9-të? Veprim psikologjikisht analfabet. Ishte një lëvizje e mirë për t'u theksuar: "Shihemi tashmë në klasën e 5-të mundesh zgjidhni problemet që do t'i përfundoni vetëm për 4 vjet! Sa shok i mrekullueshëm që jeni!”

Për të përdorur metodën Gaussian, mjafton një nivel i klasës 3, kur fëmijët normalë tashmë dinë të mbledhin, shumëzojnë dhe pjesëtojnë numrat 2-3 shifror. Problemet lindin për shkak të paaftësisë së mësuesve të rritur që janë “pa kontakt” për të shpjeguar gjërat më të thjeshta në gjuhën normale njerëzore, për të mos përmendur matematikën... Ata nuk janë në gjendje të interesojnë njerëzit për matematikën dhe dekurajojnë plotësisht edhe ata që janë “ të aftë.”

Ose, siç komentoi djali im: "duke bërë një shkencë të madhe prej saj".

Metoda e Gausit, shpjegimet e mia

Unë dhe gruaja ime ia shpjeguam këtë "metodë" fëmijës tonë, me sa duket, edhe para shkollës...

Thjeshtësia në vend të kompleksitetit ose një lojë pyetjesh dhe përgjigjesh

"Shiko, këtu janë numrat nga 1 deri në 100. Çfarë shihni?"

Çështja nuk është ajo që fëmija sheh saktësisht. Truku është ta bëni atë të shikojë.

"Si mund t'i bashkoni ato?" Djali e kuptoi që pyetje të tilla nuk bëhen "vetëm ashtu" dhe ju duhet ta shikoni pyetjen "disi ndryshe, ndryshe nga ai zakonisht"

Nuk ka rëndësi nëse fëmija e sheh zgjidhjen menjëherë, nuk ka gjasa. Është e rëndësishme që ai pushoi së pasuri frikë të shikonte, ose siç them unë: "e zhvendosi detyrën". Ky është fillimi i rrugëtimit drejt të kuptuarit

"Cila është më e lehtë: shtimi, për shembull, 5 dhe 6 ose 5 dhe 95?" Një pyetje kryesore ... Por çdo trajnim zbret në "udhëzimin" e një personi drejt "përgjigjes" - në çdo mënyrë të pranueshme për të.

Në këtë fazë, tashmë mund të lindin supozime se si të "kurseni" në llogaritjet.

Gjithçka që bëmë ishte aludim: metoda "frontale, lineare" e numërimit nuk është e vetmja e mundshme. Nëse një fëmijë e kupton këtë, atëherë më vonë ai do të dalë me shumë metoda të tjera të tilla, sepse eshte interesante!!! Dhe ai patjetër do të shmangë "keqkuptimin" e matematikës dhe nuk do të ndihet i neveritshëm me të. Ai mori fitoren!

Nëse fëmija i zbuluar se mbledhja e çifteve të numrave që mbledhin njëqind është një copë tortë, atëherë "Progresioni aritmetik me diferencën 1"- një gjë mjaft e zymtë dhe jointeresante për një fëmijë - papritmas gjeti jetë për të . Rendi doli nga kaosi, dhe kjo gjithmonë shkakton entuziazëm: kështu jemi bërë ne!

Një pyetje për t'iu përgjigjur: pse, pas depërtimit që ka marrë një fëmijë, ai duhet të detyrohet sërish në kuadrin e algoritmeve të thata, të cilat janë edhe funksionalisht të padobishme në këtë rast?!

Pse detyrojmë rishkrime të trashë? numrat e renditjes në një fletore: në mënyrë që edhe të aftët të mos kenë një shans të vetëm për të kuptuar? Statistikisht, sigurisht, por edukimi masiv është i orientuar drejt "statistikave"...

Ku shkoi zero?

E megjithatë, shtimi i numrave që mblidhen deri në 100 është shumë më i pranueshëm për mendjen sesa ata që mbledhin deri në 101...

"Metoda e Shkollës Gauss" kërkon pikërisht këtë: pamend deleçifte numrash në distancë të barabartë nga qendra e progresionit, Pavarësisht gjithçkaje.

Po sikur të shikoni?

Megjithatë, zero është shpikja më e madhe e njerëzimit, e cila është më shumë se 2000 vjet e vjetër. Dhe mësuesit e matematikës vazhdojnë ta injorojnë atë.

Është shumë më e lehtë të transformosh një seri numrash që fillojnë me 1 në një seri që fillon me 0. Shuma nuk do të ndryshojë, apo jo? Duhet të ndaloni së “menduari në tekste shkollore” dhe të filloni të shikoni... Dhe shikoni se çiftet me një shumë prej 101 mund të zëvendësohen plotësisht nga çiftet me një shumë prej 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Si të shfuqizohet "rregulli plus 1"?

Për të qenë i sinqertë, për herë të parë kam dëgjuar për një rregull të tillë nga ai tutori i YouTube...

Çfarë bëj akoma kur më duhet të përcaktoj numrin e anëtarëve të një serie?

Unë shikoj sekuencën:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

dhe kur të jeni plotësisht të lodhur, atëherë kaloni në një rresht më të thjeshtë:

1, 2, 3, 4, 5

dhe unë kuptoj: nëse zbrisni një nga 5, merrni 4, por jam absolutisht i qartë i shoh 5 numra! Prandaj, duhet të shtoni një! Ndjenja e numrit e zhvilluar në shkollën fillore sugjeron: edhe nëse ka një Google të tërë anëtarësh të serisë (nga 10 deri në fuqinë e njëqindtë), modeli do të mbetet i njëjtë.

Çfarë dreqin janë rregullat?..

Kështu që në dy ose tre vjet mund të mbushni të gjithë hapësirën midis ballit dhe pjesës së pasme të kokës dhe të ndaloni së menduari? Si të fitoni bukën dhe gjalpin tuaj? Në fund të fundit, ne po kalojmë në rangje të barabarta në epokën e ekonomisë dixhitale!

Më shumë rreth metodës së shkollës së Gausit: "pse ta nxjerrim shkencën nga kjo?".

Jo më kot postova një pamje nga fletorja e djalit tim...

"Çfarë ndodhi në klasë?"

"Epo, unë numërova menjëherë, ngrita dorën, por ajo nuk më pyeti, prandaj, ndërsa të tjerët po numëronin, unë fillova të bëj detyrat e shtëpisë në rusisht, në mënyrë që të mos humbisja kohë. ??), ajo më thirri në tabelë, unë i thashë përgjigjen."

"Ashtu është, më trego si e ke zgjidhur," tha mësuesi. e tregova. Ajo tha: "Gabim, duhet të numërosh siç tregova unë!"

"Është mirë që ajo nuk më dha një notë të keqe dhe më bëri të shkruaj në fletoren time "rrjedhën e zgjidhjes" në mënyrën e tyre Pse të bëj një shkencë të madhe nga kjo?

Krimi kryesor i një mësuesi matematike

Mezi pas atë incident Carl Gauss përjetoi një ndjenjë të lartë respekti për mësuesin e tij të matematikës në shkollë. Por nëse ai do ta dinte se si pasuesit e atij mësuesi do të shtrembërojë vetë thelbin e metodës... do të ulërinte me indinjatë dhe, nëpërmjet Organizatës Botërore të Pronësisë Intelektuale WIPO, do të arrinte ndalimin e përdorimit të emrit të tij të mirë në tekstet shkollore!..

Në çfarë gabimi kryesor i qasjes shkollore? Apo, siç e thashë, një krim i mësuesve të matematikës në shkolla ndaj fëmijëve?

Algoritmi i keqkuptimit

Çfarë bëjnë metodologët e shkollave, shumica dërrmuese e të cilëve nuk dinë të mendojnë?

Ata krijojnë metoda dhe algoritme (shih). Kjo një reagim mbrojtës që mbron mësuesit nga kritikat (“Gjithçka bëhet sipas...”) dhe fëmijët nga mirëkuptimi. Dhe kështu - nga dëshira për të kritikuar mësuesit!(Derivati ​​i dytë i "mençurisë" burokratike, një qasje shkencore ndaj problemit). Një person që nuk e kupton domethënien, më tepër do të fajësojë keqkuptimin e tij, sesa marrëzinë e sistemit shkollor.

Kështu ndodh: prindërit fajësojnë fëmijët e tyre dhe mësuesit... bëjnë të njëjtën gjë për fëmijët që "nuk kuptojnë matematikë!"

A jeni i zgjuar?

Çfarë bëri Karli i vogël?

Një qasje krejtësisht jokonvencionale ndaj një detyre formula. Ky është thelbi i qasjes së Tij. Kjo gjëja kryesore që duhet të mësohet në shkollë është të mendosh jo me tekste, por me kokë. Sigurisht, ka edhe një komponent instrumental që mund të përdoret... në kërkim metoda më të thjeshta dhe më efikase të numërimit.

Metoda e Gausit sipas Vilenkin

Në shkollë ata mësojnë se metoda e Gausit është të

Çfarë, nëse numri i elementeve të serisë është tek, si në problemin që i është caktuar djalit tim?..

"Kapja" është se në këtë rast ju duhet të gjeni një numër "shtesë" në seri dhe shtojeni në shumën e çifteve. Në shembullin tonë ky numër është 260.

Si të zbuloni? Kopjimi i të gjitha çifteve të numrave në një fletore!(Kjo është arsyeja pse mësuesi i detyroi fëmijët të bëjnë këtë punë budallaqe duke u përpjekur të mësojnë "kreativitetin" duke përdorur metodën Gaussian... Dhe kjo është arsyeja pse një "metodë" e tillë është praktikisht e pazbatueshme për seritë e mëdha të të dhënave, DHE kjo është arsyeja pse është jo metoda Gaussian.)

Pak kreativitet në rutinën e shkollës...

Djali veproi ndryshe.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

Jo e vështirë, apo jo?

Por në praktikë është bërë edhe më e lehtë, gjë që ju lejon të gdhendni 2-3 minuta për sensorin në distancë në rusisht, ndërsa pjesa tjetër po "numërohet". Për më tepër, ajo ruan numrin e hapave të metodës: 5, gjë që nuk lejon që qasja të kritikohet si joshkencore.

Është e qartë se kjo qasje është më e thjeshtë, më e shpejtë dhe më universale, në stilin e Metodës. Por... mësuesi jo vetëm që nuk e lavdëroi, por edhe më detyroi ta rishkruaj "në mënyrën e duhur" (shih pamjen e ekranit). Kjo do të thotë, ajo bëri një përpjekje të dëshpëruar për të mbytur impulsin krijues dhe aftësinë për të kuptuar matematikën në rrënjë! Me sa duket, që më vonë të punësohej si mësuese... Ajo sulmoi personin e gabuar...

Gjithçka që përshkrova kaq gjatë dhe në mënyrë të lodhshme mund t'i shpjegohet një fëmije normal në maksimum gjysmë ore. Së bashku me shembuj.

Dhe në një mënyrë të tillë që ai kurrë nuk do ta harrojë atë.

Dhe do të jetë hap drejt të kuptuarit...jo vetëm matematikanët.

Pranojeni: sa herë në jetën tuaj keni shtuar duke përdorur metodën Gaussian? Dhe nuk e bëra kurrë!

Por instinkti i të kuptuarit, që zhvillohet (ose shuhet) në procesin e studimit të metodave matematikore në shkollë... Oh!.. Kjo është vërtet një gjë e pazëvendësueshme!

Sidomos në epokën e dixhitalizimit universal, në të cilin kemi hyrë në heshtje nën drejtimin e rreptë të Partisë dhe Qeverisë.

Disa fjalë në mbrojtje të mësuesve...

Është e padrejtë dhe e gabuar që të gjithë përgjegjësitë për këtë stil të mësimdhënies të vendosen vetëm mbi mësuesit e shkollës. Sistemi është në fuqi.

Disa mësuesit e kuptojnë absurditetin e asaj që po ndodh, por çfarë duhet bërë? Ligji për Arsimin, Standardet Federale të Arsimit Shtetëror, metodat, planet e mësimit... Çdo gjë duhet bërë “në përputhje dhe në bazë” dhe gjithçka duhet të dokumentohet. Hiqni mënjanë - qëndroi në radhë për t'u pushuar. Të mos jemi hipokritë: rrogat e mësuesve të Moskës janë shumë të mira... Nëse ju pushojnë, ku të shkoni?..

Prandaj kjo faqe jo për arsimin. Ai është rreth edukimin individual, e vetmja mënyrë e mundshme për të dalë nga turma gjenerata Z ...

Le të jepet një sistem ekuacionesh algjebrike lineare që duhet të zgjidhet (gjeni vlera të tilla të të panjohurave xi që e kthejnë çdo ekuacion të sistemit në një barazi).

Ne e dimë se një sistem ekuacionesh algjebrike lineare mund të:

1) Nuk ka zgjidhje (të jetë jo të përbashkët).
2) Ka pafundësisht shumë zgjidhje.
3) Keni një zgjidhje të vetme.

Siç kujtojmë, rregulli i Cramer-it dhe metoda e matricës nuk janë të përshtatshme në rastet kur sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje ose është i paqëndrueshëm. Metoda e Gausit – mjeti më i fuqishëm dhe më i gjithanshëm për gjetjen e zgjidhjeve për çdo sistem ekuacionesh lineare, e cila në çdo rast do të na çojë në përgjigje! Vetë algoritmi i metodës funksionon njësoj në të tre rastet. Nëse metodat Cramer dhe matricë kërkojnë njohuri të përcaktuesve, atëherë për të aplikuar metodën e Gausit ju nevojitet vetëm njohuri për veprimet aritmetike, gjë që e bën atë të aksesueshme edhe për nxënësit e shkollave fillore.

Transformimet e matricës së shtuar ( kjo është matrica e sistemit - një matricë e përbërë vetëm nga koeficientët e të panjohurave, plus një kolonë me terma të lirë) sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare në metodën e Gausit:

1) Me troki matricat Mund rirregulloj në disa vende.

2) nëse në matricë shfaqen (ose ekzistojnë) rreshta proporcionalë (si rast i veçantë - identike), atëherë duhet fshij Të gjitha këto rreshta janë nga matrica përveç njërit.

3) nëse një rresht zero shfaqet në matricë gjatë transformimeve, atëherë duhet të jetë gjithashtu fshij.

4) një rresht i matricës mund të jetë shumëzoj (pjesto) në çdo numër të ndryshëm nga zero.

5) në një rresht të matricës mundeni shtoni një varg tjetër të shumëzuar me një numër, të ndryshme nga zero.

Në metodën e Gausit, transformimet elementare nuk e ndryshojnë zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve.

Metoda e Gausit përbëhet nga dy faza:

1. "Lëvizja e drejtpërdrejtë" - duke përdorur transformimet elementare, sillni matricën e zgjeruar të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare në një formë hapi "trekëndëshi": elementët e matricës së zgjeruar që ndodhen nën diagonalen kryesore janë të barabarta me zero (lëvizja nga lart-poshtë). Për shembull, për këtë lloj:

Për ta bërë këtë, kryeni hapat e mëposhtëm:

1) Le të shqyrtojmë ekuacionin e parë të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare dhe koeficienti për x 1 është i barabartë me K. E dyta, e treta, etj. ne i transformojmë ekuacionet si më poshtë: ne ndajmë çdo ekuacion (koeficientët e të panjohurave, duke përfshirë termat e lira) me koeficientin e të panjohurës x 1 në secilin ekuacion, dhe shumëzojmë me K. Pas kësaj, i heqim të parën nga ekuacioni i dytë ( koeficientët e të panjohurave dhe termat e lirë). Për x 1 në ekuacionin e dytë marrim koeficientin 0. Nga ekuacioni i tretë i transformuar zbresim ekuacionin e parë derisa të gjitha ekuacionet përveç të parit, për të panjohurën x 1, të kenë një koeficient 0.

2) Le të kalojmë në ekuacionin tjetër. Le të jetë ky ekuacioni i dytë dhe koeficienti për x 2 i barabartë me M. Ne vazhdojmë me të gjitha ekuacionet "më të ulëta" siç përshkruhet më sipër. Kështu, "nën" të panjohurën x 2 do të ketë zero në të gjitha ekuacionet.

3) Kaloni në ekuacionin tjetër dhe kështu me radhë derisa të mbetet një e panjohur e fundit dhe termi i lirë i transformuar.

1. "Lëvizja e kundërt" e metodës Gauss është të merret një zgjidhje për një sistem ekuacionesh algjebrike lineare (lëvizja "nga poshtë-lart"). Nga ekuacioni i fundit "më i ulët" marrim një zgjidhje të parë - të panjohurën x n. Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin elementar A * x n = B. Në shembullin e dhënë më sipër, x 3 = 4. Ne e zëvendësojmë vlerën e gjetur në ekuacionin e ardhshëm "të sipërm" dhe e zgjidhim atë në lidhje me të panjohurën tjetër. Për shembull, x 2 – 4 = 1, d.m.th. x 2 = 5. Dhe kështu me radhë derisa të gjejmë të gjitha të panjohurat.

Shembull.

Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit, siç këshillojnë disa autorë:

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi:

Ne shikojmë "hapin" e sipërm të majtë. Duhet të kemi një atje. Problemi është se nuk ka fare njësi në kolonën e parë, kështu që riorganizimi i rreshtave nuk do të zgjidhë asgjë. Në raste të tilla, njësia duhet të organizohet duke përdorur një transformim elementar. Kjo zakonisht mund të bëhet në disa mënyra. Le ta bejme kete:
1 hap . Në rreshtin e parë shtojmë rreshtin e dytë, shumëzuar me –1. Kjo do të thotë, ne shumëzuam mendërisht rreshtin e dytë me –1 dhe shtuam rreshtin e parë dhe të dytë, ndërsa rreshti i dytë nuk ndryshoi.

Tani lart majtas është "minus një", që na shkon mjaft mirë. Kushdo që dëshiron të marrë +1 mund të kryejë një veprim shtesë: shumëzoni rreshtin e parë me –1 (ndryshoni shenjën e tij).

Hapi 2 . Rreshti i parë, shumëzuar me 5, u shtua në rreshtin e dytë.

Hapi 3 . Rreshti i parë u shumëzua me -1, në parim, kjo është për bukurinë. U ndryshua edhe shenja e vijës së tretë dhe u zhvendos në vendin e dytë, në mënyrë që në “hapin” e dytë të kishim njësinë e kërkuar.

Hapi 4 . Rreshti i tretë iu shtua rreshtit të dytë, shumëzuar me 2.

Hapi 5 . Rreshti i tretë u nda me 3.

Një shenjë që tregon një gabim në llogaritjet (më rrallë, një gabim shtypi) është një fund "i keq". Kjo do të thotë, nëse kemi marrë diçka si (0 0 11 |23) më poshtë, dhe, në përputhje me rrethanat, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atëherë me një shkallë të lartë probabiliteti mund të themi se është bërë një gabim gjatë fillore transformimet.

Le të bëjmë të kundërtën në hartimin e shembujve, vetë sistemi shpesh nuk rishkruhet, por ekuacionet "merren drejtpërdrejt nga matrica e dhënë". Lëvizja e kundërt, ju kujtoj, funksionon nga poshtë lart. Në këtë shembull, rezultati ishte një dhuratë:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, pra x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Përgjigju:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Le të zgjidhim të njëjtin sistem duke përdorur algoritmin e propozuar. marrim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Pjesëtojmë ekuacionin e dytë me 5 dhe të tretën me 3. Marrim:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Duke shumëzuar ekuacionin e dytë dhe të tretë me 4, marrim:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Zbresim ekuacionin e parë nga ekuacioni i dytë dhe i tretë, kemi:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Pjestojeni ekuacionin e tretë me 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Shumëzoni ekuacionin e tretë me 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Duke zbritur të dytën nga ekuacioni i tretë, marrim një matricë të zgjeruar "të shkallëzuar":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Kështu, meqenëse gabimi i grumbulluar gjatë llogaritjeve, marrim x 3 = 0.96 ose afërsisht 1.

x 2 = 3 dhe x 1 = –1.

Duke e zgjidhur në këtë mënyrë, nuk do të ngatërroheni kurrë në llogaritje dhe, pavarësisht gabimeve në llogaritje, do të merrni rezultatin.

Kjo metodë e zgjidhjes së një sistemi të ekuacioneve algjebrike lineare është lehtësisht e programueshme dhe nuk merr parasysh veçoritë specifike të koeficientëve për të panjohurat, sepse në praktikë (në llogaritjet ekonomike dhe teknike) duhet të merret me koeficientët jo të plotë.

Ju uroj suksese! Shihemi në klasë! Tutori Dmitry Aystrakhanov.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.