Merrni parasysh ekuacionet e mëposhtme:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x 2 + y 2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

Secili prej ekuacioneve të paraqitura më sipër është një ekuacion me dy variabla. Bashkësia e pikave në planin koordinativ, koordinatat e të cilave e kthejnë ekuacionin në një barazi numerike të saktë quhet grafiku i një ekuacioni në dy të panjohura.

Grafiku i një ekuacioni në dy ndryshore

Ekuacionet me dy variabla kanë një shumëllojshmëri të gjerë grafikësh. Për shembull, për ekuacionin 2*x + 3*y = 15 grafiku do të jetë një vijë e drejtë, për ekuacionin x 2 + y 2 = 4 grafiku do të jetë një rreth me rreze 2, grafiku i ekuacionit y* x = 1 do të jetë një hiperbolë, etj.

Ekuacionet e plota me dy ndryshore kanë gjithashtu një koncept të tillë si shkallë. Kjo shkallë përcaktohet në të njëjtën mënyrë si për një ekuacion të tërë me një ndryshore. Për ta bërë këtë, sillni ekuacionin në një formë ku ana e majtë është një polinom i formës standarde dhe ana e djathtë është zero. Kjo bëhet përmes transformimeve ekuivalente.

Metoda grafike për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Le të kuptojmë se si të zgjidhim sistemet e ekuacioneve që do të përbëhen nga dy ekuacione me dy ndryshore. Le të shqyrtojmë një metodë grafike për zgjidhjen e sistemeve të tilla.

Shembulli 1. Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:

( x 2 + y 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

Le të ndërtojmë grafikët e ekuacionit të parë dhe të dytë në të njëjtin sistem koordinativ. Grafiku i ekuacionit të parë do të jetë një rreth me qendër në origjinë dhe rreze 5. Grafiku i ekuacionit të dytë do të jetë një parabolë me degë që zbresin poshtë.

Të gjitha pikat në grafikë do të plotësojnë secila ekuacionin e vet. Duhet të gjejmë pika që do të kënaqin si ekuacionin e parë ashtu edhe atë të dytë. Natyrisht, këto do të jenë pikat ku kryqëzohen këta dy grafikë.

Duke përdorur vizatimin tonë, gjejmë vlerat e përafërta të koordinatave në të cilat kryqëzohen këto pika. Ne marrim rezultatet e mëposhtme:

A(-2.2;-4.5), B(0;5), C(2.2;4.5), D(4,-3).

Kjo do të thotë që sistemi ynë i ekuacioneve ka katër zgjidhje.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Nëse i zëvendësojmë këto vlera në ekuacionet e sistemit tonë, mund të shohim se zgjidhja e parë dhe e tretë janë të përafërta, dhe e dyta dhe e katërta janë të sakta. Metoda grafike përdoret shpesh për të vlerësuar numrin e rrënjëve dhe kufijtë e tyre të përafërt. Zgjidhjet janë shpesh të përafërta dhe jo të sakta.

Niveli i parë

Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve, sistemeve duke përdorur grafikët e funksioneve. Guidë vizuale (2019)

Shumë detyra që jemi mësuar t'i llogaritim thjesht në mënyrë algjebrike mund të zgjidhen shumë më lehtë dhe më shpejt duke përdorur grafikët e funksioneve. Ju thoni "si kështu?" vizatoni diçka dhe çfarë të vizatoni? Më besoni, ndonjëherë është më e përshtatshme dhe më e lehtë. Le të fillojmë? Le të fillojmë me ekuacionet!

Zgjidhja grafike e ekuacioneve

Zgjidhja grafike e ekuacioneve lineare

Siç e dini tashmë, grafiku i një ekuacioni linear është një vijë e drejtë, prandaj emri i këtij lloji. Ekuacionet lineare janë mjaft të lehta për t'u zgjidhur në mënyrë algjebrike - ne transferojmë të gjitha të panjohurat në njërën anë të ekuacionit, gjithçka që dimë në anën tjetër dhe voila! E gjetëm rrënjën. Tani do t'ju tregoj se si ta bëni atë grafikisht.

Pra, ju keni ekuacionin:

Si ta zgjidhim atë?
opsioni 1, dhe më e zakonshmja është zhvendosja e të panjohurave në njërën anë dhe të njohurat në anën tjetër, marrim:

Tani le të ndërtojmë. Çfarë more?

Cila mendoni se është rrënja e ekuacionit tonë? Ashtu është, koordinata e pikës së kryqëzimit të grafikëve është:

Përgjigja jonë është

Kjo është e gjithë mençuria e zgjidhjes grafike. Siç mund ta kontrolloni lehtësisht, rrënja e ekuacionit tonë është një numër!

Siç thashë më lart, ky është opsioni më i zakonshëm, afër një zgjidhjeje algjebrike, por ju mund ta zgjidhni atë në një mënyrë tjetër. Për të shqyrtuar një zgjidhje alternative, le të kthehemi te ekuacioni ynë:

Këtë herë nuk do të lëvizim asgjë nga njëra anë në tjetrën, por do të ndërtojmë grafikët drejtpërdrejt, siç janë tani:

E ndërtuar? Le të shohim!

Cila është zgjidhja këtë herë? Kjo është e drejtë. E njëjta gjë - koordinata e pikës së kryqëzimit të grafikëve:

Dhe, përsëri, përgjigja jonë është.

Siç mund ta shihni, me ekuacione lineare gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë. Është koha për të parë diçka më komplekse... Për shembull, zgjidhje grafike e ekuacioneve kuadratike.

Zgjidhja grafike e ekuacioneve kuadratike

Pra, tani le të fillojmë të zgjidhim ekuacionin kuadratik. Le të themi se ju duhet të gjeni rrënjët e këtij ekuacioni:

Natyrisht, tani mund të filloni të numëroni përmes diskriminuesit, ose sipas teoremës së Vietës, por shumë njerëz, nga nervat, bëjnë gabime kur shumëzojnë ose katrorojnë, veçanërisht nëse shembulli është me numra të mëdhenj dhe, siç e dini, keni fituar. Nuk kam një kalkulator për provimin... Prandaj, le të përpiqemi të relaksohemi pak dhe të vizatojmë gjatë zgjidhjes së këtij ekuacioni.

Zgjidhjet e këtij ekuacioni mund të gjenden grafikisht në mënyra të ndryshme. Le të shohim opsionet e ndryshme dhe ju mund të zgjidhni atë që ju pëlqen më shumë.

Metoda 1. Direkt

Ne thjesht ndërtojmë një parabolë duke përdorur këtë ekuacion:

Për ta bërë këtë shpejt, unë do t'ju jap një sugjerim të vogël: Është i përshtatshëm për të filluar ndërtimin duke përcaktuar kulmin e parabolës. Formulat e mëposhtme do të ndihmojnë në përcaktimin e koordinatave të kulmit të një parabole:

Do të thuash “Stop! Formula për është shumë e ngjashme me formulën për gjetjen e diskriminuesit,” po, është, dhe ky është një disavantazh i madh i ndërtimit “drejtpërdrejt” të një parabole për të gjetur rrënjët e saj. Megjithatë, le të numërojmë deri në fund, dhe pastaj do t'ju tregoj se si ta bëni atë shumë (shumë!) më lehtë!

A keni numëruar? Çfarë koordinatash keni marrë për kulmin e parabolës? Le ta kuptojmë së bashku:

Saktësisht e njëjta përgjigje? Te lumte! Dhe tani ne tashmë i dimë koordinatat e kulmit, por për të ndërtuar një parabolë na duhen më shumë... pikë. Sa pikë minimale mendoni se na duhen? E drejta,.

Ju e dini që një parabolë është simetrike në lidhje me kulmin e saj, për shembull:

Prandaj, ne kemi nevojë për dy pika të tjera në degën e majtë ose të djathtë të parabolës, dhe në të ardhmen do t'i pasqyrojmë në mënyrë simetrike këto pika në anën e kundërt:

Le të kthehemi te parabola jonë. Për rastin tonë, pika. Ne kemi nevojë për dy pikë të tjera, kështu që mund të marrim ato pozitive, apo mund të marrim ato negative? Cilat pika janë më të përshtatshme për ju? Është më e përshtatshme për mua të punoj me pozitive, kështu që do të llogaris në dhe.

Tani kemi tre pika, ne mund të ndërtojmë lehtësisht parabolën tonë duke reflektuar dy pikat e fundit në lidhje me kulmin e saj:

Cila mendoni se është zgjidhja e ekuacionit? Kjo është e drejtë, pikat në të cilat, domethënë, dhe. Sepse.

Dhe nëse themi këtë, do të thotë se duhet të jetë gjithashtu e barabartë, ose.

Vetëm? Ne kemi përfunduar zgjidhjen e ekuacionit me ju në një mënyrë grafike komplekse, ose do të ketë më shumë!

Sigurisht, ju mund ta kontrolloni përgjigjen tonë në mënyrë algjebrike - mund të llogaritni rrënjët duke përdorur teoremën e Vieta-s ose Diskriminuesin. Çfarë more? E njëjta? Ja ku e shihni! Tani le të shohim një zgjidhje grafike shumë të thjeshtë, jam i sigurt se do t'ju pëlqejë shumë!

Metoda 2. Ndarë në disa funksione

Le të marrim të njëjtin ekuacion: , por do ta shkruajmë pak më ndryshe, domethënë:

A mund ta shkruajmë kështu? Ne mundemi, pasi transformimi është ekuivalent. Le të shohim më tej.

Le të ndërtojmë dy funksione veç e veç:

1. - grafiku është një parabolë e thjeshtë, të cilën mund ta ndërtoni lehtësisht edhe pa përcaktuar kulmin duke përdorur formula dhe duke hartuar një tabelë për të përcaktuar pikat e tjera.
2. - grafiku është një vijë e drejtë, të cilën mund ta ndërtoni po aq lehtë duke vlerësuar vlerat në kokën tuaj pa përdorur as një kalkulator.

E ndërtuar? Le të krahasojmë me atë që kam marrë:

Cilat mendoni se janë rrënjët e ekuacionit në këtë rast? E drejtë! Koordinatat e marra nga kryqëzimi i dy grafikëve dhe, domethënë:

Prandaj, zgjidhja e këtij ekuacioni është:

Çfarë thoni ju? Pajtohem, kjo metodë e zgjidhjes është shumë më e lehtë se ajo e mëparshmja dhe madje më e lehtë sesa kërkimi i rrënjëve përmes një diskriminuesi! Nëse po, provoni të zgjidhni ekuacionin e mëposhtëm duke përdorur këtë metodë:

Çfarë more? Le të krahasojmë grafikët tanë:

Grafikët tregojnë se përgjigjet janë:

A ia dolët? Te lumte! Tani le t'i shohim ekuacionet pak më të ndërlikuara, domethënë zgjidhjen e ekuacioneve të përziera, domethënë ekuacionet që përmbajnë funksione të llojeve të ndryshme.

Zgjidhja grafike e ekuacioneve të përziera

Tani le të përpiqemi të zgjidhim sa vijon:

Sigurisht, ju mund të sillni gjithçka në një emërues të përbashkët, të gjeni rrënjët e ekuacionit që rezulton, pa harruar të merrni parasysh ODZ, por përsëri, ne do të përpiqemi ta zgjidhim atë grafikisht, siç bëmë në të gjitha rastet e mëparshme.

Këtë herë le të ndërtojmë 2 grafikët e mëposhtëm:

1. - grafiku është një hiperbolë
2. - grafiku është një vijë e drejtë, të cilën mund ta ndërtoni lehtësisht duke vlerësuar vlerat në kokën tuaj pa përdorur as një kalkulator.

E kuptove? Tani filloni ndërtimin.

Ja çfarë mora:

Duke parë këtë foto, më thuaj cilat janë rrënjët e ekuacionit tonë?

Kjo është e drejtë, dhe. Ja konfirmimi:

Provoni të futni rrënjët tona në ekuacion. Ka ndodhur?

Kjo është e drejtë! Pajtohem, zgjidhja grafike e ekuacioneve të tilla është një kënaqësi!

Mundohuni ta zgjidhni vetë ekuacionin grafikisht:

Unë do t'ju jap një sugjerim: zhvendosni një pjesë të ekuacionit në anën e djathtë në mënyrë që funksionet më të thjeshta për t'u ndërtuar të jenë në të dyja anët. E morët sugjerimin? Vepro!

Tani le të shohim se çfarë keni:

Përkatësisht:

1. - parabolë kubike.
2. - vijë e drejtë e zakonshme.

Epo, le të ndërtojmë:

Siç keni shkruar shumë kohë më parë, rrënja e këtij ekuacioni është - .

Pasi të keni punuar me një numër kaq të madh shembujsh, jam i sigurt se keni kuptuar se sa e lehtë dhe e shpejtë është të zgjidhen ekuacionet në mënyrë grafike. Është koha për të kuptuar se si t'i zgjidhni sistemet në këtë mënyrë.

Zgjidhja grafike e sistemeve

Zgjidhja grafike e sistemeve në thelb nuk ndryshon nga zgjidhja grafike e ekuacioneve. Ne gjithashtu do të ndërtojmë dy grafikë, dhe pikat e kryqëzimit të tyre do të jenë rrënjët e këtij sistemi. Një grafik është një ekuacion, grafiku i dytë është një ekuacion tjetër. Gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë!

Le të fillojmë me gjënë më të thjeshtë - zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare

Le të themi se kemi sistemin e mëposhtëm:

Së pari, le ta transformojmë atë në mënyrë që në të majtë të ketë gjithçka që lidhet me të, dhe në të djathtë - gjithçka që lidhet me të. Me fjalë të tjera, le t'i shkruajmë këto ekuacione si funksion në formën tonë të zakonshme:

Tani ne ndërtojmë vetëm dy vija të drejta. Cila është zgjidhja në rastin tonë? E drejtë! Pika e kryqëzimit të tyre! Dhe këtu duhet të jeni shumë, shumë të kujdesshëm! Mendoni për këtë, pse? Më lejoni t'ju jap një sugjerim: kemi të bëjmë me një sistem: në sistem ka të dyja, dhe... E kuptuat?

Kjo është e drejtë! Kur zgjidhim një sistem, duhet të shikojmë të dyja koordinatat, dhe jo vetëm si kur zgjidhim ekuacione! Një pikë tjetër e rëndësishme është t'i shkruajmë saktë dhe të mos ngatërrojmë ku e kemi kuptimin dhe ku është kuptimi! E ke shkruar? Tani le të krahasojmë gjithçka në rend:

Dhe përgjigjet: dhe. Bëni një kontroll - zëvendësoni rrënjët e gjetura në sistem dhe sigurohuni nëse e kemi zgjidhur saktë grafikisht?

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve jolineare

Po sikur, në vend të një drejtëze, të kemi një ekuacion kuadratik? është në rregull! Ju thjesht ndërtoni një parabolë në vend të një vije të drejtë! Nuk e besoj? Provoni të zgjidhni sistemin e mëposhtëm:

Cili është hapi ynë i ardhshëm? Është e drejtë, shkruajeni në mënyrë që të jetë e përshtatshme për ne të ndërtojmë grafikë:

Dhe tani gjithçka është çështje e gjërave të vogla - ndërtojeni shpejt dhe ja ku është zgjidhja juaj! Ne po ndërtojmë:

A dolën grafikët njësoj? Tani shënoni zgjidhjet e sistemit në figurë dhe shkruani saktë përgjigjet e identifikuara!

Unë kam bërë gjithçka? Krahasoni me shënimet e mia:

A është gjithçka në rregull? Te lumte! Tashmë po i kryeni këto lloj detyrash si arra! Nëse po, le t'ju japim një sistem më të komplikuar:

Cfare po bejme? E drejtë! Ne e shkruajmë sistemin në mënyrë që të jetë i përshtatshëm për të ndërtuar:

Unë do t'ju jap një sugjerim të vogël, pasi sistemi duket shumë i ndërlikuar! Kur ndërtoni grafikë, ndërtoni ato "më shumë", dhe më e rëndësishmja, mos u habitni nga numri i pikave të kryqëzimit.

Pra, le të shkojmë! Shfryrë? Tani filloni të ndërtoni!

Pra, si? E bukur? Sa pika kryqëzimi keni marrë? Unë kam tre! Le të krahasojmë grafikët tanë:

Gjithashtu? Tani shkruani me kujdes të gjitha zgjidhjet e sistemit tonë:

Tani shikoni përsëri sistemin:

Mund ta imagjinoni se e keni zgjidhur këtë në vetëm 15 minuta? Dakord, matematika është ende e thjeshtë, veçanërisht kur shikon një shprehje nuk ke frikë të bësh një gabim, por thjesht merre dhe zgjidhe! Ju jeni një djalë i madh!

Zgjidhja grafike e inekuacioneve

Zgjidhja grafike e mosbarazimeve lineare

Pas shembullit të fundit, ju mund të bëni gjithçka! Tani merrni frymë - në krahasim me seksionet e mëparshme, kjo do të jetë shumë, shumë e lehtë!

Ne do të fillojmë, si zakonisht, me një zgjidhje grafike të një pabarazie lineare. Për shembull, ky:

Së pari, le të bëjmë transformimet më të thjeshta - hapni kllapat e katrorëve të përsosur dhe paraqisni terma të ngjashëm:

Pabarazia nuk është e rreptë, prandaj nuk përfshihet në interval, dhe zgjidhja do të jenë të gjitha pikat që janë në të djathtë, pasi më shumë, më shumë, e kështu me radhë:

Përgjigje:

Kjo eshte e gjitha! Lehtësisht? Le të zgjidhim një pabarazi të thjeshtë me dy ndryshore:

Le të vizatojmë një funksion në sistemin koordinativ.

A keni marrë një orar të tillë? Tani le të shohim me kujdes se çfarë pabarazie kemi atje? Më pak? Kjo do të thotë që ne pikturojmë mbi gjithçka që është në të majtë të vijës sonë të drejtë. Po sikur të kishte më shumë? Kjo është e drejtë, atëherë ne do të pikturonim mbi gjithçka që është në të djathtë të vijës sonë të drejtë. Është e thjeshtë.

Të gjitha zgjidhjet e kësaj pabarazie janë të hijezuara në portokalli. Kaq, zgjidhet pabarazia me dy ndryshore. Kjo do të thotë se koordinatat e çdo pike nga zona e hijezuar janë zgjidhjet.

Zgjidhja grafike e mosbarazimeve kuadratike

Tani do të kuptojmë se si të zgjidhim grafikisht pabarazitë kuadratike.

Por, para se të fillojmë me biznesin, le të shqyrtojmë disa materiale në lidhje me funksionin kuadratik.

Për çfarë është përgjegjës diskriminuesi? Kjo është e drejtë, për pozicionin e grafikut në lidhje me boshtin (nëse nuk e mbani mend këtë, atëherë lexoni patjetër teorinë për funksionet kuadratike).

Në çdo rast, këtu është një kujtesë e vogël për ju:

Tani që kemi rifreskuar të gjithë materialin në kujtesën tonë, le t'i drejtohemi punës - zgjidhim pabarazinë grafikisht.

Unë do t'ju them menjëherë se ka dy mundësi për ta zgjidhur atë.

opsioni 1

Ne shkruajmë parabolën tonë si funksion:

Duke përdorur formulat, ne përcaktojmë koordinatat e kulmit të parabolës (saktësisht njësoj si kur zgjidhim ekuacionet kuadratike):

A keni numëruar? Çfarë more?

Tani le të marrim dy pika të tjera të ndryshme dhe të llogarisim për to:

Le të fillojmë të ndërtojmë një degë të parabolës:

Ne pasqyrojmë në mënyrë simetrike pikat tona në një degë tjetër të parabolës:

Tani le të kthehemi te pabarazia jonë.

Na duhet që të jetë më pak se zero, përkatësisht:

Meqenëse në pabarazinë tonë shenja është rreptësisht më e vogël se, ne përjashtojmë pikat përfundimtare - "shpojmë".

Përgjigje:

Rrugë e gjatë, apo jo? Tani do t'ju tregoj një version më të thjeshtë të zgjidhjes grafike duke përdorur shembullin e të njëjtës pabarazi:

Opsioni 2

Ne i kthehemi pabarazisë sonë dhe shënojmë intervalet që na duhen:

Dakord, është shumë më shpejt.

Le të shkruajmë tani përgjigjen:

Le të shqyrtojmë një zgjidhje tjetër që thjeshton pjesën algjebrike, por gjëja kryesore është të mos ngatërrohemi.

Shumëzoni anët e majta dhe të djathta me:

Përpiquni ta zgjidhni vetë pabarazinë kuadratike të mëposhtme në çdo mënyrë që ju pëlqen: .

A ia dolët?

Shikoni si doli grafiku im:

Përgjigje: .

Zgjidhja grafike e mosbarazimeve të përziera

Tani le të kalojmë te pabarazitë më komplekse!

Si ju pëlqen kjo:

Është e frikshme, apo jo? Sinqerisht, nuk e kam idenë se si ta zgjidh këtë në mënyrë algjebrike... Por nuk është e nevojshme. Grafikisht nuk ka asgjë të komplikuar për këtë! Sytë kanë frikë, por duart po bëjnë!

Gjëja e parë me të cilën do të fillojmë është duke ndërtuar dy grafikë:

Unë nuk do të shkruaj një tabelë për secilën prej tyre - jam i sigurt se mund ta bëni atë në mënyrë të përsosur vetë (wow, ka kaq shumë shembuj për të zgjidhur!).

E keni pikturuar? Tani ndërtoni dy grafikë.

Le të krahasojmë vizatimet tona?

A është e njëjta gjë me ju? E shkëlqyeshme! Tani le të rregullojmë pikat e kryqëzimit dhe të përdorim ngjyrën për të përcaktuar se cilin grafik duhet të kemi më të madh në teori, domethënë. Shikoni çfarë ndodhi në fund:

Tani le të shohim se ku grafiku ynë i zgjedhur është më i lartë se grafiku? Mos ngurroni të merrni një laps dhe të lyeni këtë zonë! Ajo do të jetë zgjidhja e pabarazisë sonë komplekse!

Në cilat intervale përgjatë boshtit ndodhemi më lart se? E drejta,. Kjo është përgjigja!

Epo, tani mund të trajtoni çdo ekuacion, çdo sistem dhe aq më tepër çdo pabarazi!

SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve duke përdorur grafikët e funksionit:

1. Le ta shprehim përmes
2. Le të përcaktojmë llojin e funksionit
3. Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve që rezultojnë
4. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve
5. Le ta shkruajmë saktë përgjigjen (duke marrë parasysh ODZ dhe shenjat e pabarazisë)
6. Le të kontrollojmë përgjigjen (zëvendësojmë rrënjët në ekuacion ose sistem)

Për më shumë informacion rreth ndërtimit të grafikëve të funksioneve, shihni temën "".

Kthehu përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha tiparet e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Qëllimet dhe objektivat e mësimit:

• të vazhdojë punën për zhvillimin e aftësive në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve duke përdorur metodën grafike;
• të kryejë kërkime dhe të nxjerrë përfundime për numrin e zgjidhjeve të një sistemi me dy ekuacione lineare;
• zhvillojnë interesin për temën përmes lojës.

GJATË KLASËVE

1. Momenti organizativ (Takimi i planifikimit)- 2 minuta.

- Mirembrema! Ne po fillojmë takimin tonë tradicional të planifikimit. Kemi kënaqësinë të mirëpresim të gjithë ata që na vizitojnë sot në laboratorin tonë (unë përfaqësoj mysafirët). Laboratori ynë quhet: “PUNË ME interes dhe kënaqësi”(duke treguar rrëshqitjen 2). Emri shërben si moto në punën tonë. “Krijoni, vendosni, mësoni, arrini me interes dhe kënaqësi" Të nderuar të ftuar, ju prezantoj drejtuesit e laboratorit tonë (rrëshqitje 3).
Laboratori ynë është i angazhuar në studimin e punimeve shkencore, kërkime, ekzaminime dhe punime në krijimin e projekteve krijuese.
Sot tema e diskutimit tonë është: "Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve lineare". (Unë sugjeroj të shkruani temën e mësimit)

Programi i ditës:(rrëshqitje 4)

1. Takimi i planifikimit
2. Këshilli i zgjeruar akademik:

• Fjalimet mbi temën
• Leja për të punuar

3. Ekspertiza
4. Hulumtimi dhe zbulimi
5. Projekt krijues
6. Raporti
7. Planifikimi

2. Pyetje dhe punë me gojë (Këshilli i Zgjeruar Akademik)- 10 min.

– Sot po mbajmë një këshill të zgjeruar shkencor, ku marrin pjesë jo vetëm drejtuesit e departamenteve, por edhe të gjithë anëtarët e ekipit tonë. Laboratori sapo ka filluar punën me temën: “Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve lineare”. Ne duhet të përpiqemi të arrijmë arritjet më të larta në këtë çështje. Laboratori ynë duhet të jetë i njohur për cilësinë e hulumtimit të tij mbi këtë temë. Si studiues i vjetër, ju uroj të gjithëve fat!

Rezultatet e hulumtimit do t'i raportohen shefit të laboratorit.

Hapi i një raporti për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve është... (Unë e thërras nxënësin në tabelë). I jap detyrës një detyrë (karta 1).

Dhe laboranti... (u jap mbiemrin tim) do t'ju kujtojë se si të grafikoni një funksion me një modul. Unë ju jap kartën 2.

Karta 1(zgjidhja e detyrës në rrëshqitjen 7)

Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:

Karta 2(zgjidhja e detyrës në rrëshqitjen 9)

Grafikoni funksionin: y = | 1,5x – 3 |

Ndërsa stafi po përgatitet për raportin, unë do të kontrolloj se sa jeni të përgatitur për të përfunduar hulumtimin. Secili prej jush duhet të marrë leje për të punuar. (Ne fillojmë numërimin me gojë me shënimin e përgjigjeve në një fletore)

Leja për të punuar(detyrat në rrëshqitjet 5 dhe 6)

1) Shprehni në përmes x:

3x + y = 4 (y = 4 – 3x)
5x – y = 2 (y = 5x – 2)
1/2y – x = 7 (y = 2x + 14)
2x + 1/3y – 1 = 0 (y = – 6x + 3)

2) Zgjidhe ekuacionin:

5x + 2 = 0 (x = – 2/5)
4x – 3 = 0 (x = 3/4)
2 – 3x = 0 (x = 2/3)
1/3x + 4 = 0 (x = – 12)

3) Jepet një sistem ekuacionesh:

Cili nga çiftet e numrave (– 1; 1) ose (1; – 1) është zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh?

Përgjigje: (1; - 1)

Menjëherë pas çdo fragmenti të llogaritjes gojore, studentët shkëmbejnë fletoret (me një student të ulur pranë tyre në të njëjtin seksion), përgjigjet e sakta shfaqen në sllajde; Inspektori jep një plus ose minus. Në fund të punës, drejtuesit e departamenteve futin rezultatet në tabelën përmbledhëse (shih më poshtë); Çdo shembull vlen 1 pikë (është e mundur të merrni 9 pikë).
Ata që marrin 5 ose më shumë pikë lejohen të punojnë. Pjesa tjetër marrin pranim me kusht, d.m.th. do t'i kërkohet të punojë nën mbikëqyrjen e kreut të departamentit.

Tabela (plotësuar nga shefi)

(Tabelat lëshohen para fillimit të mësimit)

Pas pranimit, ne dëgjojmë përgjigjet e studentëve në dërrasën e zezë. Për përgjigjen studenti merr 9 pikë nëse përgjigja është e plotë (numri maksimal për pranim), 4 pikë nëse përgjigja nuk është e plotë. Pikët futen në kolonën "pranim".
Nëse zgjidhja në tabelë është e saktë, atëherë rrëshqitjet 7 dhe 9 nuk kanë nevojë të shfaqen. Nëse zgjidhja është e saktë, por nuk është ekzekutuar qartë, ose zgjidhja është e pasaktë, atëherë sllajdet duhet të shfaqen me shpjegime.
Unë e shfaq gjithmonë rrëshqitjen 8 pas përgjigjes së nxënësit në kartën 1. Në këtë rrëshqitje, përfundimet janë të rëndësishme për mësimin.

Algoritmi për zgjidhjen grafike të sistemeve:

• Shprehni y në terma x në secilin ekuacion të sistemit.
• Grafikoni çdo ekuacion të sistemit.
• Gjeni koordinatat e pikave të kryqëzimit të grafikëve.
• Kryeni një kontroll (unë tërheq vëmendjen e studentëve për faktin se metoda grafike zakonisht jep një zgjidhje të përafërt, por nëse kryqëzimi i grafikëve godet një pikë me koordinata të plota, mund të kontrolloni dhe të merrni një përgjigje të saktë).
• Shkruani përgjigjen.

3. Ushtrime (provim)- 5 minuta.

Dje janë bërë gabime të rënda në punën e disa punonjësve. Sot ju jeni tashmë më kompetent në çështjen e zgjidhjeve grafike. Jeni të ftuar të bëni një ekzaminim të zgjidhjeve të propozuara, d.m.th. gjeni gabime në zgjidhje. Sllajdi 10 shfaqet.
Po punohet në departamente. (Fotokopjet e detyrave me gabime i jepen çdo tavoline; në çdo departament punonjësit duhet të gjejnë gabime dhe t'i nxjerrin në pah ose t'i korrigjojnë; fotokopjet duhet t'i dorëzohen studiuesit të lartë, d.m.th. mësuesit). Shefi u shton 2 pikë atyre që gjejnë dhe korrigjojnë gabimin. Më pas diskutojmë gabimet e bëra dhe i tregojmë në rrëshqitjen 10.

Gabim 1

Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:

Përgjigje: nuk ka zgjidhje.

Nxënësit duhet të vazhdojnë vijat derisa ato të kryqëzohen dhe të marrin përgjigjen: (– 2; 1).

Gabim 2.

Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:

Përgjigje: (1; 4).

Nxënësit duhet të gjejnë gabimin në transformimin e ekuacionit të parë dhe ta korrigjojnë atë në vizatimin e përfunduar. Merrni një përgjigje tjetër: (2; 5).

4. Shpjegimi i materialit të ri (Kërkim dhe zbulim)– 12 min.

Unë sugjeroj që nxënësit të zgjidhin tre sisteme në mënyrë grafike. Çdo nxënës zgjidh në mënyrë të pavarur në një fletore. Vetëm ata me leje të kushtëzuar mund të konsultohen.

Zgjidhje

Pa vizatuar grafikët, është e qartë se linjat e drejta do të përkojnë.

Slide 11 tregon zgjidhjen e sistemeve; Pritet që studentët të kenë vështirësi të shkruajnë përgjigjen në shembullin 3. Pasi punojmë në departamente, kontrollojmë zgjidhjen (shefi shton 2 pikë për një të saktë). Tani është koha për të diskutuar se sa zgjidhje mund të ketë një sistem me dy ekuacione lineare.
Nxënësit duhet të nxjerrin përfundime vetë dhe t'i shpjegojnë ato, duke renditur raste të pozicioneve relative të vijave në një plan (rrëshqitje 12).

5. Projekt krijues (Ushtrime)– 12 min.

Detyra i jepet departamentit. Shefi i jep çdo laboratori, sipas aftësive të tij, një fragment të performancës së tij.

Zgjidh grafikisht sistemet e ekuacioneve:

Pas hapjes së kllapave, studentët duhet të marrin sistemin:

Pas hapjes së kllapave, ekuacioni i parë duket si: y = 2/3x + 4.

6. Raport (duke kontrolluar përfundimin e detyrës)- 2 minuta.

Pas përfundimit të një projekti krijues, nxënësit dorëzojnë fletoret e tyre. Në rrëshqitjen 13 tregoj se çfarë duhet të kishte ndodhur. Shefat dorëzojnë tryezën. Kolona e fundit plotësohet nga mësuesi dhe shënohet (pikat mund t'u komunikohen nxënësve në orën e ardhshme). Në projekt, zgjidhja e sistemit të parë vlerësohet me tre pikë, dhe e dyta - me katër.

7. Planifikimi (përmbledhja dhe detyrat e shtëpisë)- 2 minuta.

Le të përmbledhim punën tonë. Ne bëmë një punë të mirë. Ne do të flasim konkretisht për rezultatet nesër në takimin e planifikimit. Sigurisht, të gjithë asistentët e laboratorit, pa përjashtim, zotëruan metodën grafike të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve dhe mësuan se sa zgjidhje mund të ketë një sistem. Nesër secili prej jush do të ketë një projekt personal. Për përgatitje shtesë: paragrafi 36; 647-649 (2); përsërisin metodat analitike për zgjidhjen e sistemeve. 649(2) dhe zgjidhni në mënyrë analitike.

Puna jonë u mbikëqyr gjatë gjithë ditës nga drejtori i laboratorit, Nouman Nou Manovich. Ai e ka fjalën. (Duke treguar rrëshqitjen përfundimtare).

Shkalla e përafërt e notimit

Në këtë mësim do të shikojmë zgjidhjen e sistemeve të dy ekuacioneve në dy ndryshore. Së pari, le të shohim zgjidhjen grafike të një sistemi me dy ekuacione lineare dhe specifikat e grupit të grafikëve të tyre. Më pas, ne do të zgjidhim disa sisteme duke përdorur metodën grafike.

Tema: Sistemet e ekuacioneve

Mësimi: Metoda grafike për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh

Konsideroni sistemin

Një çift numrash që njëkohësisht është zgjidhje për të dy ekuacionet e para dhe të dyta të sistemit quhet zgjidhja e një sistemi ekuacionesh.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet e tij, ose të vërtetosh se nuk ka zgjidhje. Ne kemi parë grafikët e ekuacioneve bazë, le të kalojmë në shqyrtimin e sistemeve.

Shembulli 1. Zgjidheni sistemin

Zgjidhja:

Këto janë ekuacione lineare, grafiku i secilit prej tyre është një vijë e drejtë. Grafiku i ekuacionit të parë kalon nëpër pikat (0; 1) dhe (-1; 0). Grafiku i ekuacionit të dytë kalon nëpër pikat (0; -1) dhe (-1; 0). Linjat kryqëzohen në pikën (-1; 0), kjo është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve ( Oriz. 1).

Zgjidhja e sistemit është një çift numrash duke zëvendësuar këtë çift numrash në secilin ekuacion, ne marrim barazinë e saktë.

Ne kemi marrë një zgjidhje unike për sistemin linear.

Kujtoni se kur zgjidhni një sistem linear, rastet e mëposhtme janë të mundshme:

sistemi ka një zgjidhje unike - linjat kryqëzohen,

sistemi nuk ka zgjidhje - linjat janë paralele,

sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh - linjat e drejta përkojnë.

Kemi shqyrtuar një rast të veçantë të sistemit kur p(x; y) dhe q(x; y) janë shprehje lineare të x dhe y.

Shembulli 2. Zgjidh një sistem ekuacionesh

Zgjidhja:

Grafiku i ekuacionit të parë është një vijë e drejtë, grafiku i ekuacionit të dytë është një rreth. Le të ndërtojmë grafikun e parë sipas pikave (Fig. 2).

Qendra e rrethit është në pikën O(0; 0), rrezja është 1.

Grafikët kryqëzohen në pikën A(0; 1) dhe pikën B(-1; 0).

Shembulli 3. Zgjidheni sistemin grafikisht

Zgjidhje: Të ndërtojmë një grafik të ekuacionit të parë - është një rreth me qendër t.O(0; 0) dhe rreze 2. Grafiku i ekuacionit të dytë është parabolë. Zhvendoset lart me 2 në lidhje me origjinën, d.m.th. kulmi i tij është pika (0; 2) (Fig. 3).

Grafikët kanë një pikë të përbashkët - d.m.th. A(0; 2). Është zgjidhja e sistemit. Le të lidhim disa numra në ekuacion për të kontrolluar nëse është i saktë.

Shembulli 4. Zgjidheni sistemin

Zgjidhje: Le të ndërtojmë një grafik të ekuacionit të parë - ky është një rreth me qendër t.O(0; 0) dhe rreze 1 (Fig. 4).

Le të vizatojmë funksionin Kjo është një vijë e thyer (Fig. 5).

Tani le ta lëvizim atë 1 poshtë përgjatë boshtit oy. Ky do të jetë grafiku i funksionit

Le t'i vendosim të dy grafikët në të njëjtin sistem koordinativ (Fig. 6).

Marrim tre pika kryqëzimi - pika A(1; 0), pika B (-1; 0), pika C (0; -1).

Ne shikuam metodën grafike për zgjidhjen e sistemeve. Nëse mund të vizatoni një grafik të secilit ekuacion dhe të gjeni koordinatat e pikave të kryqëzimit, atëherë kjo metodë është mjaft e mjaftueshme.

Por shpesh metoda grafike bën të mundur gjetjen e vetëm një zgjidhjeje të përafërt të sistemit ose përgjigjen në pyetjen për numrin e zgjidhjeve. Ndaj nevojiten metoda të tjera, më të sakta dhe me to do të merremi në mësimet në vijim.

1. Mordkovich A.G. dhe të tjera Algjebra klasa e 9-të: Libër mësuesi. Për arsimin e përgjithshëm Institucionet.- 4th ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 f.: ill.

2. Mordkovich A.G. dhe të tjerët Algjebra klasa e 9-të: Libër me probleme për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etj. - Botimi i 4-të. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 f.: ill.

3. Makarychev Yu N. Algjebra. Klasa e 9-të: arsimore. për studentët e arsimit të përgjithshëm. institucionet / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - Botimi i 7-të, rev. dhe shtesë - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algjebër. klasa e 9-të. botimi i 16-të. - M., 2011. - 287 f.

5. Mordkovich A. G. Algjebra. klasa e 9-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Botimi i 12-të, i fshirë. - M.: 2010. - 224 f.: i sëmurë.

6. Algjebra. klasa e 9-të. Në 2 pjesë, Pjesa 2. Libër me probleme për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina dhe të tjerë; Ed. A. G. Mordkovich. - botimi i 12-të, rev. - M.: 2010.-223 f.: i sëmurë.

1. Seksioni College.ru mbi matematikën ().

2. Projekti në internet "Detyrat" ().

3. Portali arsimor “DO TË ZGJIDH provimin e Bashkuar të Shtetit” ().

1. Mordkovich A.G. dhe të tjerët Algjebra klasa e 9-të: Libër me probleme për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etj. - Botimi i 4-të. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 f.: ill. Nr. 105, 107, 114, 115.