Zgjidhja e ekuacioneve me emërues të ndryshëm. Ekuacionet online

Ekuacionet me thyesat në vetvete nuk janë të vështira dhe janë shumë interesante. Le të shohim llojet e ekuacioneve thyesore dhe si t'i zgjidhim ato.

Si të zgjidhim ekuacionet me thyesa - x në numërues

Nëse jepet një ekuacion thyesor, ku e panjohura është në numërues, zgjidhja nuk kërkon kushte shtesë dhe zgjidhet pa sherr të panevojshëm. Forma e përgjithshme e një ekuacioni të tillë është x/a + b = c, ku x është e panjohura, a, b dhe c janë numra të zakonshëm.

Gjeni x: x/5 + 10 = 70.

Për të zgjidhur ekuacionin, ju duhet të hiqni qafe fraksionet. Shumëzoni çdo term në ekuacion me 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x dhe 5 anulohen, 10 dhe 70 shumëzohen me 5 dhe marrim: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Gjeni x: x/5 + x/10 = 90.

Ky shembull është një version pak më i komplikuar i të parit. Këtu ka dy zgjidhje të mundshme.

Opsioni 1: Ne shpëtojmë nga thyesat duke shumëzuar të gjitha termat e ekuacionit me një emërues më të madh, domethënë me 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
Opsioni 2: Shtoni anën e majtë të ekuacionit. x/5 + x/10 = 90. Emëruesi i përbashkët është 10. Pjestoni 10 me 5, shumëzoni me x, marrim 2x. Pjestojeni 10 me 10, shumëzojeni me x, marrim x: 2x+x/10 = 90. Prandaj 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Shpesh hasim ekuacione thyesore në të cilat x-të janë në anët e kundërta të shenjës së barabartë. Në situata të tilla, është e nevojshme të zhvendosen të gjitha thyesat me X në njërën anë dhe numrat në anën tjetër.

Gjeni x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
Lëvizni 2x/5 djathtas me shenjën e kundërt: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
Ne zvogëlojmë 5x/5 dhe marrim: x = 130.

Si të zgjidhim një ekuacion me thyesa - x në emërues

Ky lloj ekuacionesh thyesore kërkon shkrimin e kushteve shtesë. Përcaktimi i këtyre kushteve është pjesë e detyrueshme dhe përbërëse e një vendimi të drejtë. Duke mos i shtuar ato, ju rrezikoni, pasi përgjigja (edhe nëse është e saktë) thjesht mund të mos llogaritet.

Forma e përgjithshme e ekuacioneve thyesore, ku x është në emërues, është: a/x + b = c, ku x është e panjohura, a, b, c janë numra të zakonshëm. Ju lutemi vini re se x mund të mos jetë ndonjë numër. Për shembull, x nuk mund të jetë e barabartë me zero, pasi nuk mund të pjesëtohet me 0. Ky është pikërisht kushti shtesë që duhet të specifikojmë. Kjo quhet diapazoni i vlerave të lejueshme, i shkurtuar si OA.

Gjeni x: 15/x + 18 = 21.

Menjëherë shkruajmë ODZ për x: x ≠ 0. Tani që tregohet ODZ, e zgjidhim ekuacionin sipas skemës standarde, duke hequr qafe thyesat. Ne i shumëzojmë të gjitha termat e ekuacionit me x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Shpesh ka ekuacione ku emëruesi përmban jo vetëm x, por edhe ndonjë veprim tjetër me të, për shembull, mbledhje ose zbritje.

Gjeni x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Ne tashmë e dimë se emëruesi nuk mund të jetë i barabartë me zero, që do të thotë x-3 ≠ 0. Ne lëvizim -3 në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën "-" në "+" dhe marrim se x ≠ 3. ODZ është treguar.

Ne zgjidhim ekuacionin, shumëzojmë gjithçka me x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Zhvendosni X-të në të djathtë, numrat në të majtë: 24 = 3x => x = 8.

Emëruesi më i ulët i përbashkët përdoret për të thjeshtuar këtë ekuacion. Kjo metodë përdoret kur nuk mund të shkruani një ekuacion të caktuar me një shprehje racionale në secilën anë të ekuacionit (dhe përdorni metodën e kryqëzuar të shumëzimit). Kjo metodë përdoret kur ju jepet një ekuacion racional me 3 ose më shumë thyesa (në rastin e dy thyesave, është më mirë të përdorni shumëzim të kryqëzuar).

Gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesave (ose shumëfishin më të vogël të përbashkët). NOZ është numri më i vogël që pjesëtohet në mënyrë të barabartë me secilin emërues.

Ndonjëherë NPD është një numër i dukshëm. Për shembull, nëse jepet ekuacioni: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, atëherë është e qartë se shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave 3, 2 dhe 6 është 6.
Nëse NCD nuk është e dukshme, shkruani shumëfishat e emëruesit më të madh dhe gjeni midis tyre një që do të jetë shumëfish i emëruesit të tjerë. Shpesh NOD mund të gjendet thjesht duke shumëzuar dy emërues. Për shembull, nëse ekuacioni është dhënë x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, atëherë NOS = 8*9 = 72.
Nëse një ose më shumë emërues përmbajnë një ndryshore, procesi bëhet disi më i ndërlikuar (por jo i pamundur). Në këtë rast, NOC është një shprehje (që përmban një ndryshore) që ndahet me secilin emërues. Për shembull, në ekuacionin 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), sepse kjo shprehje ndahet me secilin emërues: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Shumëzoni si numëruesin ashtu edhe emëruesin e secilës thyesë me një numër të barabartë me rezultatin e pjesëtimit të NOC me emëruesin përkatës të secilës thyesë.

Pra, në shembullin tonë, shumëzoni x/3 me 2/2 për të marrë 2x/6, dhe 1/2 shumëzoni me 3/3 për të marrë 3/6 (fraksioni 3x +1/6 nuk ka nevojë të shumëzohet sepse është emëruesi është 6).
Veproni në mënyrë të ngjashme kur ndryshorja është në emërues. Në shembullin tonë të dytë, NOZ = 3x(x-1), kështu që shumëzojeni 5/(x-1) me (3x)/(3x) për të marrë 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x shumëzuar me 3(x-1)/3(x-1) dhe ju merrni 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) shumëzuar me (x-1)/(x-1) dhe ju merrni 2(x-1)/3x(x-1).

Gjeni x. Tani që i keni reduktuar thyesat në një emërues të përbashkët, mund të hiqni qafe emëruesin. Për ta bërë këtë, shumëzojeni secilën anë të ekuacionit me emëruesin e përbashkët. Pastaj zgjidhni ekuacionin që rezulton, domethënë gjeni "x". Për ta bërë këtë, izoloni variablin në njërën anë të ekuacionit.

Në shembullin tonë: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Mund të shtoni 2 thyesa me emërues të njëjtë, kështu që shkruajeni ekuacionin si: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me 6 dhe hiqni emëruesit: 2x+3 = 3x +1. Zgjidheni dhe merrni x = 2.
Në shembullin tonë të dytë (me një ndryshore në emërues), ekuacioni duket si (pas reduktimit në një emërues të përbashkët): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x (x-1). Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me N3, ju shpëtoni nga emëruesi dhe merrni: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), ose 15x = 3x - 3 + 2x -2, ose 15x = x - 5 Zgjidh dhe merr: x = -5/14.

Zgjidhja e ekuacioneve me thyesa Le të shohim shembuj. Shembujt janë të thjeshtë dhe ilustrues. Me ndihmën e tyre, ju do të jeni në gjendje të kuptoni në mënyrën më të kuptueshme.
Për shembull, ju duhet të zgjidhni ekuacionin e thjeshtë x/b + c = d.

Një ekuacion i këtij lloji quhet linear, sepse Emëruesi përmban vetëm numra.

Zgjidhja kryhet duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me b, atëherë ekuacioni merr formën x = b*(d – c), d.m.th. emëruesi i thyesës në anën e majtë anulon.

Për shembull, si të zgjidhim një ekuacion thyesor:
x/5+4=9
I shumëzojmë të dyja anët me 5. Marrim:
x+20=45
x=45-20=25

Një shembull tjetër kur e panjohura është në emërues:

Ekuacionet e këtij lloji quhen thyesore-racionale ose thjesht thyesore.

Një ekuacion thyesor do ta zgjidhnim duke hequr qafe thyesat, pas së cilës ky ekuacion, më së shpeshti, kthehet në një ekuacion linear ose kuadratik, i cili zgjidhet në mënyrën e zakonshme. Thjesht duhet të merrni parasysh pikat e mëposhtme:

vlera e një ndryshoreje që e kthen emëruesin në 0 nuk mund të jetë rrënjë;
Ju nuk mund të pjesëtoni ose shumëzoni një ekuacion me shprehjen =0.

Këtu hyn në fuqi koncepti i rajonit të vlerave të lejueshme (ADV) - këto janë vlerat e rrënjëve të ekuacionit për të cilat ekuacioni ka kuptim.

Kështu, kur zgjidhet ekuacioni, është e nevojshme të gjesh rrënjët, dhe më pas t'i kontrollosh ato për pajtueshmërinë me ODZ. Ato rrënjë që nuk korrespondojnë me ODZ-në tonë përjashtohen nga përgjigja.

Për shembull, ju duhet të zgjidhni një ekuacion thyesor:

Bazuar në rregullin e mësipërm, x nuk mund të jetë = 0, d.m.th. ODZ në këtë rast: x – çdo vlerë tjetër nga zero.

Ne heqim qafe emëruesin duke shumëzuar të gjithë termat e ekuacionit me x

Dhe ne zgjidhim ekuacionin e zakonshëm

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Përgjigje: x = 1/3

Le të zgjidhim një ekuacion më të ndërlikuar:

ODZ është gjithashtu i pranishëm këtu: x -2.

Kur zgjidhim këtë ekuacion, ne nuk do të lëvizim gjithçka në njërën anë dhe do t'i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët. Ne do t'i shumëzojmë menjëherë të dyja anët e ekuacionit me një shprehje që do të anulojë të gjithë emëruesit menjëherë.

Për të zvogëluar emërtuesit, duhet të shumëzoni anën e majtë me x+2, dhe anën e djathtë me 2. Kjo do të thotë që të dy anët e ekuacionit duhet të shumëzohen me 2(x+2):

Ky është shumëzimi më i zakonshëm i thyesave, të cilin e kemi diskutuar më lart.

Le të shkruajmë të njëjtin ekuacion, por pak më ndryshe

Ana e majtë zvogëlohet me (x+2), kurse e djathta me 2. Pas zvogëlimit, fitojmë ekuacionin e zakonshëm linear:

x = 4 – 2 = 2, që korrespondon me ODZ-në tonë

Përgjigje: x = 2.

Zgjidhja e ekuacioneve me thyesa jo aq e vështirë sa mund të duket. Në këtë artikull ne e kemi treguar këtë me shembuj. Nëse keni ndonjë vështirësi me si të zgjidhim ekuacionet me thyesa, pastaj çabonohuni në komente.

Përdorimi i ekuacioneve është i përhapur në jetën tonë. Ato përdoren në shumë llogaritje, ndërtime strukturash dhe madje edhe sporte. Njeriu përdorte ekuacione në kohët e lashta, dhe që atëherë përdorimi i tyre vetëm është rritur. Në klasën e 5-të, studentët e matematikës studiojnë mjaft tema të reja, njëra prej të cilave do të jenë ekuacionet thyesore. Për shumë, kjo është një temë mjaft komplekse që prindërit duhet t'i ndihmojnë fëmijët e tyre të kuptojnë, dhe nëse prindërit kanë harruar matematikën, atëherë ata gjithmonë mund të përdorin programe në internet që zgjidhin ekuacionet. Pra, duke përdorur një shembull, mund të kuptoni shpejt algoritmin për zgjidhjen e ekuacioneve me thyesa dhe të ndihmoni fëmijën tuaj.

Më poshtë, për qartësi, do të zgjidhim një ekuacion linear të thjeshtë thyesor të formës së mëposhtme:

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

Për të zgjidhur këtë lloj ekuacioni, është e nevojshme të përcaktohet NOS dhe të shumëzohet anët e majta dhe të djathta të ekuacionit me të:

\[\frac (x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

Kjo na jep një ekuacion të thjeshtë linear sepse emëruesi i përbashkët si dhe emëruesi i çdo termi thyesor anulohet:

Le t'i zhvendosim termat me të panjohurën në të majtë:

Le të ndajmë anët e majta dhe të djathta me -7:

Nga rezultati i marrë, ne mund të zgjedhim një pjesë të tërë, e cila do të jetë rezultati përfundimtar i zgjidhjes së këtij ekuacioni thyesor:

Ku mund të zgjidh ekuacionet me thyesa në internet?

Ju mund ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit https://site. Zgjidhësi falas në internet do t'ju lejojë të zgjidhni ekuacionet në internet të çdo kompleksiteti në disa sekonda. E tëra çfarë ju duhet të bëni është thjesht të futni të dhënat tuaja në zgjidhës. Ju gjithashtu mund të shikoni udhëzime video dhe të mësoni se si ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit. Dhe nëse keni ende pyetje, mund t'i bëni ato në grupin tonë VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Bashkohuni me grupin tonë, ne jemi gjithmonë të lumtur t'ju ndihmojmë.

Një ekuacion është një barazi që përmban një shkronjë, vlera e së cilës duhet të gjendet.

Në ekuacione, e panjohura zakonisht përfaqësohet me një shkronjë të vogël. Shkronjat më të përdorura janë "x" [ix] dhe "y" [y].

Rrënja e ekuacionit- kjo është vlera e shkronjës në të cilën nga ekuacioni fitohet barazia e saktë numerike.

Zgjidhe ekuacionin- do të thotë të gjesh të gjitha rrënjët e tij ose të sigurohesh që nuk ka rrënjë.

Pasi të kemi zgjidhur ekuacionin, ne gjithmonë shkruajmë një kontroll pas përgjigjes.

Informacion për prindërit

Të nderuar prindër, ju tërheqim vëmendjen se në shkollën fillore dhe në klasën e 5-të, fëmijët NUK e njohin temën “Numrat negativë”.

Prandaj, ata duhet të zgjidhin ekuacionet duke përdorur vetëm vetitë e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve për klasën 5 janë dhënë më poshtë.

Mos u përpiqni të shpjegoni zgjidhjen e ekuacioneve duke transferuar numra dhe shkronja nga një pjesë e ekuacionit në tjetrën me një ndryshim në shenjë.

Në mësimin "Ligjet e aritmetikës" mund të mësoni konceptet që lidhen me mbledhjen, zbritjen, shumëzimin dhe pjesëtimin.

Zgjidhja e ekuacioneve të mbledhjes dhe zbritjes

Si të gjeni të panjohurën
afati

Si të gjeni të panjohurën
minuend

Si të gjeni të panjohurën
nëntrup

Për të gjetur termin e panjohur, duhet të zbritni termin e njohur nga shuma.

Për të gjetur minuendin e panjohur, duhet t'i shtoni ndryshimit subtrahend.

Për të gjetur subtrahendin e panjohur, duhet të zbrisni ndryshimin nga minuend.

x + 9 = 15
x = 15 - 9
x=6
Ekzaminimi

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Ekzaminimi

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 - 3
x = 2
Ekzaminimi

Zgjidhja e ekuacioneve të shumëzimit dhe pjesëtimit

Si të gjeni një të panjohur
faktor

Si të gjeni të panjohurën
divident

Si të gjeni një të panjohur
ndarës

Për të gjetur një faktor të panjohur, duhet ta ndani produktin me faktorin e njohur.

Për të gjetur dividentin e panjohur, duhet të shumëzoni herësin me pjesëtuesin.

Për të gjetur një pjesëtues të panjohur, duhet të pjesëtoni dividentin me herësin.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Ekzaminimi

y: 7 = 2
y = 2 7
y=14
Ekzaminimi

8: y=4
y=8:4
y=2
Ekzaminimi

Një ekuacion është një barazi që përmban një shkronjë, shenja e së cilës duhet të gjendet. Zgjidhja e një ekuacioni është grupi i vlerave të shkronjave që e kthen ekuacionin në një barazi të vërtetë:

Kujtoni që për të zgjidhur ekuacioni ju duhet të transferoni termat me të panjohurën në njërën pjesë të barazisë, dhe termat numerikë në tjetrën, të sillni të ngjashme dhe të merrni barazinë e mëposhtme:

Nga barazia e fundit përcaktojmë të panjohurën sipas rregullit: "njëri nga faktorët është i barabartë me herësin e pjesëtuar me faktorin e dytë".

Meqenëse numrat racional a dhe b mund të kenë shenja të njëjta ose të ndryshme, shenja e të panjohurës përcaktohet nga rregullat për pjesëtimin e numrave racional.

Procedura për zgjidhjen e ekuacioneve lineare

Ekuacioni linear duhet të thjeshtohet duke hapur kllapat dhe duke kryer veprimet e hapit të dytë (shumëzimi dhe pjesëtimi).

Zhvendoseni të panjohurat në njërën anë të shenjës së barabartë dhe numrat në anën tjetër të shenjës së barabartë, duke marrë një barazi identike me atë të dhënë,

Sillni të ngjashme majtas dhe djathtas të shenjës së barabartë, duke marrë një barazi të formës sëpatë = b.

Llogaritni rrënjën e ekuacionit (gjeni të panjohurën X nga barazia x = b : a),

Kontrolloni duke zëvendësuar të panjohurën në ekuacionin e dhënë.

Nëse marrim një identitet në një barazi numerike, atëherë ekuacioni zgjidhet saktë.

Raste të veçanta të zgjidhjes së ekuacioneve

Nëse ekuacioni duke pasur parasysh një produkt të barabartë me 0, atëherë për ta zgjidhur atë përdorim vetinë e shumëzimit: "produkti është i barabartë me zero nëse njëri nga faktorët ose të dy faktorët janë të barabartë me zero".

27 (x - 3) = 0
27 nuk është e barabartë me 0, që do të thotë x - 3 = 0

Shembulli i dytë ka dy zgjidhje të ekuacionit, pasi
ky është një ekuacion i shkallës së dytë:

Nëse koeficientët e ekuacionit janë fraksione të zakonshme, atëherë para së gjithash duhet të heqësh qafe emëruesit. Për ta bërë këtë:

Gjeni emëruesin e përbashkët;

Përcaktoni faktorë shtesë për çdo term të ekuacionit;

Shumëzoni numëruesit e thyesave dhe numrave të plotë me faktorë shtesë dhe shkruani të gjithë termat e ekuacionit pa emërues (emëruesi i përbashkët mund të hidhet poshtë);

Zhvendosni termat me të panjohura në njërën anë të ekuacionit dhe termat numerikë në anën tjetër nga shenja e barazimit, duke marrë një barazi ekuivalente;

Sillni anëtarë të ngjashëm;

Vetitë themelore të ekuacioneve

Në çdo pjesë të ekuacionit, mund të shtoni terma të ngjashëm ose të hapni një kllapa.

Çdo term i ekuacionit mund të transferohet nga një pjesë e ekuacionit në tjetrin duke ndryshuar shenjën e tij në të kundërtën.

Të dy anët e ekuacionit mund të shumëzohen (pjestohen) me të njëjtin numër, përveç 0.

Në shembullin e mësipërm, të gjitha vetitë e tij janë përdorur për të zgjidhur ekuacionin.

Si të zgjidhim një ekuacion me një të panjohur në një thyesë

Ndonjëherë ekuacionet lineare marrin formën kur i panjohur shfaqet në numëruesin e një ose më shumë thyesave. Ashtu si në ekuacionin e mëposhtëm.

Në raste të tilla, ekuacione të tilla mund të zgjidhen në dy mënyra.

Metoda e zgjidhjes I
Reduktimi i një ekuacioni në një proporcion

Kur zgjidhni ekuacione duke përdorur metodën e proporcionit, duhet të kryeni hapat e mëposhtëm:

sillni të gjitha thyesat në një emërues të përbashkët dhe shtoni ato si thyesa algjebrike (vetëm një thyesë duhet të mbetet në anën e majtë dhe të djathtë);

Zgjidheni ekuacionin që rezulton duke përdorur rregullën e proporcionit.

Pra, le të kthehemi te ekuacioni ynë. Në anën e majtë tashmë kemi vetëm një fraksion, kështu që nuk nevojiten transformime në të.

Do të punojmë me anën e djathtë të ekuacionit. Le të thjeshtojmë anën e djathtë të ekuacionit në mënyrë që të mbetet vetëm një fraksion. Për ta bërë këtë, mbani mend rregullat për shtimin e një numri me një thyesë algjebrike.

Tani përdorim rregullin e proporcionit dhe zgjidhim ekuacionin deri në fund.

Metoda II e zgjidhjes
Reduktimi në një ekuacion linear pa thyesa

Le të shohim përsëri ekuacionin e mësipërm dhe ta zgjidhim atë në një mënyrë tjetër.

Ne shohim se ka dy thyesa në ekuacion "

Si të zgjidhim ekuacionet me thyesa. Zgjidhja eksponenciale e ekuacioneve me thyesa.