Zgjidhja e një ekuacioni duke futur një ndryshore të re. Mësimi me temën: Zgjidhja e ekuacioneve duke prezantuar një ndryshore të re

2.2.3. Metoda për prezantimin e një ndryshoreje të re.

Një mjet i fuqishëm për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale është metoda e prezantimit të një ndryshoreje të re, ose "metodës së zëvendësimit". Metoda zakonisht përdoret kur një shprehje e caktuar në varësi të një sasie të panjohur shfaqet në mënyrë të përsëritur në një ekuacion. Atëherë ka kuptim ta shënojmë këtë shprehje me ndonjë shkronjë të re dhe të përpiqemi të zgjidhim ekuacionin së pari në lidhje me të panjohurën e paraqitur, dhe më pas të gjejmë të panjohurën origjinale. Në një numër rastesh, të panjohurat e reja të futura me sukses ndonjëherë bëjnë të mundur marrjen e një zgjidhjeje më të shpejtë dhe më të lehtë; ndonjëherë është plotësisht e pamundur të zgjidhet problemi pa zëvendësim. ,

Shembulli 7. Zgjidheni ekuacionin.

Zgjidhje. Duke thënë , ne marrim një ekuacion irracional dukshëm më të thjeshtë. Le të vendosim në katror të dy anët e ekuacionit: .

;

;

;

Kontrollimi i vlerave të gjetura duke i zëvendësuar ato në ekuacion tregon se është rrënja e ekuacionit dhe është një rrënjë e jashtme.

Duke u kthyer në ndryshoren origjinale x, marrim ekuacionin, domethënë një ekuacion kuadratik , duke zgjidhur të cilat gjejmë dy rrënjë: ,. Të dyja rrënjët, siç tregon verifikimi, plotësojnë ekuacionin origjinal.

Zëvendësimi është veçanërisht i dobishëm nëse arrihet një cilësi e re si rezultat, për shembull, një ekuacion irracional kthehet në një kuadratik.

Shembulli 8. Zgjidheni ekuacionin.

Zgjidhje. Le ta rishkruajmë ekuacionin kështu: .

Mund të shihet se nëse prezantojmë një ndryshore të re , atëherë ekuacioni merr formën , ku , .

Tani problemi zbret në zgjidhjen e ekuacionit dhe ekuacionet . E para nga këto zgjidhje nuk ka, por nga e dyta marrim , . Të dyja rrënjët, siç tregon verifikimi, plotësojnë ekuacionin origjinal.

Vini re se aplikimi "i pamenduar" i metodës së "izolimit radikal" në shembullin 8 dhe katrorimi do të çonte në një ekuacion të shkallës së katërt, zgjidhja e të cilit është, në rastin e përgjithshëm, një problem jashtëzakonisht i vështirë.

Shembulli 9. Zgjidheni ekuacionin .

Le të prezantojmë një ndryshore të re

Si rezultat, ekuacioni fillestar irracional merr formën e një kuadrati

,

nga ku, duke marrë parasysh kufizimin, marrim . Duke zgjidhur ekuacionin, marrim rrënjën. Siç tregon kontrolli, ai plotëson ekuacionin origjinal.

Ndonjëherë, përmes njëfarë zëvendësimi, është e mundur që një ekuacion irracional të sillet në një formë racionale, siç diskutohet në Shembujt 8, 9. Në këtë rast, ata thonë se ky zëvendësim racionalizon ekuacionin irracional në shqyrtim, dhe ata e quajnë atë racionalizues për përdorimin e zëvendësimeve racionalizuese, quhet metodë racionalizimi.

Kjo metodë e zgjidhjes së ekuacioneve irracionale nuk ka nevojë të diskutohet me të gjithë nxënësit në mësim, por mund të konsiderohet si pjesë e orëve të matematikës me zgjedhje ose në klub me nxënës që shfaqin interes të shtuar për matematikën.

Bazuar në njohuritë për marrëdhëniet midis rezultatit dhe përbërësve të veprimeve aritmetike (d.m.th., njohuri për mënyrat për të gjetur komponentë të panjohur). Këto kërkesa programore përcaktojnë metodologjinë e punës në ekuacione. 2. Metodologjia e studimit të pabarazive në shkollën e mesme 2.1 Përmbajtja dhe roli i linjave të ekuacioneve dhe pabarazive në lëndën moderne të matematikës shkollore Për shkak të rëndësisë dhe gjerësisë së materialit, ...

Në një nivel cilësor të ri të zotërimit të përmbajtjes së matematikës shkollore. Kapitulli II. Parimet metodologjike dhe pedagogjike të përdorimit të punës së pavarur si mjet mësimor për zgjidhjen e ekuacioneve në klasat 5 - 9. § 1. Organizimi i punës së pavarur në mësimdhënie për zgjidhjen e ekuacioneve në klasat 5 - 9. Në mënyrën tradicionale të mësimdhënies, mësuesi shpesh e vendos nxënësin në pozicionin e objektit...

Mund të konkludojmë se ka një pasqyrim të pamjaftueshëm të çështjes në studim në literaturën metodologjike moderne. Objekti i punës kërkimore: procesi i mësimdhënies së matematikës. Lënda: zhvillimi i aftësisë për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike te nxënësit e klasës së 8-të. Kontingjenti: nxënës të klasës së 8-të. Kapitulli 1. Aspekte teorike të mësimdhënies për zgjidhjen e ekuacioneve në klasën e 8-të 1.1. Nga historia e shfaqjes së sheshit...

Një argument numerik, pra, me këtë qasje, ka një tepricë të caktuar në formimin e një funksioni si koncept i përgjithësuar. 2. Drejtimet kryesore për futjen e konceptit të funksionit në lëndën e matematikës shkollore Në lëndën moderne të matematikës shkollore, qasja kryesore konsiderohet të jetë gjenetike me shtimin e elementeve logjike. Formimi i koncepteve dhe ideve, metodave dhe teknikave si pjesë e...

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Një ekuacion i formës ax4 + bx2 + c = 0 quhet ekuacion bikuadratik. Absolutisht çdo ekuacion i këtij lloji mund të zgjidhet duke futur një ndryshore të re dhe më pas duke zgjidhur ekuacionin për të. Pastaj kryhet zëvendësimi i kundërt dhe gjendet x-ja e kërkuar.
Le të shohim se si të zbatohet kjo metodë për të zgjidhur ekuacionet racionale.

Është dhënë ekuacioni: x4 - 4x2 + 4 = 0.
Zgjidhje
Për të zgjidhur këtë ekuacion, është e nevojshme të prezantohet një ndryshore e re, e cila ka formën y = x2. Barazia e mëposhtme është gjithashtu e vërtetë: x4 = (x2)2 = y2. Ekuacionin origjinal e rishkruajmë si më poshtë: y2 - 4y + 4 =0. Ky është një ekuacion i zakonshëm kuadratik, duke e zgjidhur të cilin do të merrni rrënjët y1 = y2 = 2. Meqenëse y = x2, zgjidhja e këtij problemi zbret në zgjidhjen e një ekuacioni tjetër, përkatësisht: x2 = 2. Ne gjejmë përgjigjen: +- √2.

Në këtë situatë, metoda e futjes së një ndryshoreje ishte "e përshtatshme për situatën", domethënë, ishte qartë e dukshme se cila shprehje të zëvendësohej me një ndryshore të re, por kjo nuk ndodh gjithmonë. Në thelb, një shprehje që mund të zëvendësohet shfaqet vetëm përmes procesit të transformimit dhe thjeshtimit të shprehjes origjinale. Ju mund të shikoni një shembull të ngjashëm në tutorialin e videos.

Vetitë e funksionit y = k/x, për k >0
Në video tutorial do të njiheni me vetitë themelore të hiperbolës, bazuar në modelin e saj gjeometrik.
1. D(f) = (-∞;0) ∪ (0; ∞) - domeni i përcaktimit të funksionit përbëhet nga të gjithë numrat përveç 0.
2. Për x > 0 => y > 0, dhe për x< 0 =>y< 0.

3. Për k > 0, funksioni zvogëlohet në rreze të hapur (-∞;0) dhe në rreze të hapur (0; ∞).
4. Funksioni y = k/x nuk ka kufizime të sipërme apo të poshtme.
5. Funksioni y = k/x nuk ka vlera maksimale dhe minimale.
6. E vazhdueshme në intervalin (-∞;0) dhe (0; ∞), duke pësuar një ndërprerje në x = 0.

Mësimi me temën: Zgjidhja e ekuacioneve

Përpiluar nga: Vera Viktorovna Volkova - mësuese matematike

Tema e mësimit: Zgjidhja e ekuacioneve duke prezantuar një ndryshore të re.

Objektivat e mësimit:1. Prezantoni studentët me një metodë të re të zgjidhjes së ekuacioneve;

2. Të forcojë aftësitë e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike dhe zgjedhjes së metodave për zgjidhjen e tyre;

3. Kryerja e konsolidimit fillestar të një teme të re;

4. Zhvilloni aftësinë për të mbrojtur këndvështrimin tuaj dhe për të zhvilluar një dialog të arsyetuar me shokët e klasës;

Zhvilloni vëmendjen, kujtesën dhe të menduarit logjik, aftësitë e vëzhgimit

Të rrënjosni aftësitë e komunikimit dhe kulturën e komunikimit

Zhvilloni aftësitë e punës së pavarur

Gjatë orëve të mësimit

1.Moment organizimi

Komunikimi i temës së mësimit dhe vendosja e një qëllimi.

2. Përsëritje

Në mësimet e mëparshme mësuam se si të zgjidhim ekuacionet kuadratike në mënyra dhe ekuacione të ndryshme. Të cilat mund të reduktohen në ato katrore.

Cili ekuacion quhet kuadratik?

Çfarë mënyrash dini për t'i zgjidhur ato?

Cilat ekuacione mund të reduktohen në ekuacione kuadratike?

a) (x+3) 2 +(x-2) 2 + (x+5)(x -5)= 11x +20

b) x 2 (x+1)-(x+4)x=12(x-1) 2

c) x 2 + x + 9 = 3x-7,

G) x+1 + x = 2,5

X x+1

e) x 2 +2x+2 + x 2 +2x+3 = 9

X 2 +2x+5 x 2 +2x+6 10 ?

3. Studimi i materialit të ri.

Tani do të punojmë në grupe (kujtoni procedurën e punës dhe rregullat e sjelljes kur punoni në grup). Detyra juaj është të zgjidhni ekuacionet e propozuara (kartat me detyrën shpërndahen, një poster është varur në tabelë).

A) x+1 + x = 2,5

X x+1

b) x 2 +2x+2 + x 2 +2x+3 = 9

X 2 +2x+5 x 2 +2x+6 10

Mësuesi vëzhgon ecurinë e punës dhe zgjedh një formular për kontrollimin e ekuacionit të parë:

Me gojë ose në tabelë në varësi të suksesit të klasës.

Le të kontrollojmë se çfarë keni.

Ekuacioni i parë reduktohet në ekuacionin kuadratik x 2 + x -2 = 0.

Zgjidhja për të cilën janë numrat -2 dhe 1.

Tani le të kalojmë në zgjidhjen e ekuacionit të dytë. Të gjitha grupet përfunduan me një ekuacion të shkallës së katërt, të cilin nuk dini si ta zgjidhni.

Le të përpiqemi ta kuptojmë me të.

Ashtu si zgjidhja e çdo problemi, zgjidhja e një ekuacioni përbëhet nga një numër fazash:

• Analiza e ekuacioneve
• Hartimi i një plani zgjidhjeje.
• Zbatimi i këtij plani.
• Kontrollimi i zgjidhjes.
• Analiza e metodës së zgjidhjes, sistematizimi i përvojës.
• - Si analizohet zakonisht një ekuacion?

Fillimisht i përgjigjemi pyetjes, a kemi hasur më parë ekuacione të këtij lloji?

Po, kemi, është një ekuacion racional thyesor.

Mund të përpiqeni të zgjidhni këtë ekuacion "të vështirë", ose mund të ktheheni te

ekuacionin origjinal dhe analizojeni sërish.

Për këtë:

• Le të theksojmë disa elementë të ekuacionit,
• Le të përcaktojmë vetitë e tyre të përgjithshme,
• Le të studiojmë lidhjet midis elementeve të ndryshëm të ekuacionit,
• Le ta përdorim këtë informacion.

Le të punojmë për 5 minuta në grup sipas këtij plani.

Shumica identifikuan elementin e përfshirë në numëruesit dhe emëruesit e thyesave në ekuacion. Për ta bërë ekuacionin më të thjeshtë, le ta zëvendësojmë këtë shprehje me një shkronjë, për shembull Z:

X 2 + 2x = Z

Z +2 + Z +3 = 9

Z +5 Z +6 10

Mund të konsiderohet si një ekuacion i ri për të panjohurën e re Z. Në të, ndryshorja x nuk është e pranishme në mënyrë eksplicite.

Ata thonë se një variabël është zëvendësuar.

A është e këshillueshme një zëvendësim i tillë? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje mjafton të zbuloni:

A është e mundur të zgjidhet ekuacioni i ri dhe të gjenden vlerat Z,

A është e mundur të përdoret Z për të gjetur vlerën e ndryshores x për ekuacionin origjinal.

Përpiquni, duke punuar në grup, t'i përgjigjeni pjesës së parë të pyetjes.

Mësuesi/ja vëzhgon ecurinë e punës. Pastaj kontrollohen rezultatet e kërkimit për vlerat e ndryshores Z.

Pra, gjetëm vlerat e ndryshores Z: Z 1= 0, Z 2 = - 61| njëmbëdhjetë

Por ne jemi të interesuar për të gjitha vlerat e ndryshores x që plotësojnë ekuacionin origjinal. Le t'i gjejmë këto vlera. Lidhja midis rrënjëve të ekuacioneve origjinale dhe të reja përmbahet në formulën x 2 + 2x = Z. Ne kemi gjetur tashmë vlerat e ndryshores Z. Prandaj, çdo rrënjë e ekuacionit racional thyesor origjinal është rrënja e njërit prej ekuacioneve: x 2 + 2x =Z 1 ose x 2 + 2x =Z 2

Zgjidhini vetë këto ekuacione duke përdorur opsionet.

Le të kontrollojmë rezultatet: ekuacioni i parë ka rrënjë x 1 = 0, x 2 = -2, dhe ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë.

Mbetet vetëm të kontrolloni rezultatet e marra për ekuacionin origjinal dhe të shkruani përgjigjen.

Përgjigje: x 1 =0, x 2 = -2.

Pra, ne e zgjidhëm ekuacionin origjinal me një metodë të re të quajtur duke futur një ndryshore të re.

Krijoni një algoritëm për zgjidhjen e ekuacionit tonë duke futur një ndryshore të re.(punë në grup)

• Zgjidhni shprehjen x 2 + 2x;
• Këtë shprehje e shënojmë me një shkronjë x 2 + 2x =Z;
• Kryejmë zëvendësimin dhe marrim një ekuacion të ri;
• E zvogëlojmë në katror dhe zgjidhim;
• Duke përdorur vlerat e ndryshores Z, gjejmë vlerat e ndryshores x;
• Ne kontrollojmë rezultatet e marra dhe shkruajmë përgjigjen.

3.Siguroni materialin.

A mendoni se mund të ishte bërë një ndryshim i ndryshëm i variablave? (Për shembull, x 2 + 2x

2 = Z ose x 2 + 2x +6 = Z.) Çfarë forme do të ketë atëherë ekuacioni i ri? Si t'i zgjidhni ato? A mund të zgjidhet ekuacioni i shtëpisë së parë duke futur një ndryshore të re? Cila shprehje mund të zëvendësohet me një ndryshore të re? Cili është ekuacioni? Si ta zgjidhim atë? Cilat janë vlerat e ndryshores Z? Cilat janë vlerat e ndryshores x?

4. Përmbledhje.

• Çfarë mësuam sot në klasë?
• Çfarë mënyre të re për zgjidhjen e ekuacioneve keni mësuar?
• Cila është metoda për futjen e një ndryshoreje të re?
• Cili është algoritmi për këtë metodë?
• Ju duk e vështirë apo e papërshtatshme kjo metodë?
• A mund të zbatohet për të gjitha ekuacionet?

5.Detyrat e shtëpisë.

• Shkruani dhe mësoni algoritmin për zbatimin e metodës së prezantimit të një ndryshoreje të re;
• Zgjidheni duke përdorur këtë metodë Nr. 2.43 (1; 2) GIA f.117.

Ju u njohët me metodën e prezantimit të një ndryshoreje të re gjatë zgjidhjes së ekuacioneve racionale me një ndryshore në lëndën e algjebrës së klasës së 8-të. Thelbi i kësaj metode për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve është i njëjtë, por nga pikëpamja teknike ka disa veçori që do t'i diskutojmë në shembujt e mëposhtëm.

Shembulli 3. Zgjidh sistemin e ekuacioneve

Zgjidhje. Le të prezantojmë një ndryshore të re Më pas ekuacioni i parë i sistemit mund të rishkruhet në një formë më të thjeshtë: Le të zgjidhim këtë ekuacion për ndryshoren t:

Të dyja këto vlera plotësojnë kushtin dhe për këtë arsye janë rrënjët e një ekuacioni racional me ndryshoren t. Por kjo do të thotë ose ku gjejmë se x = 2y, ose
Kështu, duke përdorur metodën e futjes së një ndryshoreje të re, arritëm të "shtresojmë" ekuacionin e parë të sistemit, i cili ishte mjaft kompleks në dukje, në dy ekuacione më të thjeshta:

x = 2 y; y - 2x.

Ç'pritet më tej? Dhe pastaj secili nga dy ekuacionet e thjeshta të marra duhet të konsiderohet me radhë në një sistem me ekuacionin x 2 - y 2 = 3, të cilin ende nuk e kemi mbajtur mend. Me fjalë të tjera, problemi zbret në zgjidhjen e dy sistemeve të ekuacioneve:

Ne duhet të gjejmë zgjidhje për sistemin e parë, sistemin e dytë dhe të përfshijmë të gjitha çiftet e vlerave që rezultojnë në përgjigje. Le të zgjidhim sistemin e parë të ekuacioneve:

Le të përdorim metodën e zëvendësimit, veçanërisht pasi këtu gjithçka është gati për të: le të zëvendësojmë shprehjen 2y në vend të x në ekuacionin e dytë të sistemit. marrim

Meqenëse x = 2y, gjejmë, përkatësisht, x 1 = 2, x 2 = 2. Kështu, fitohen dy zgjidhje të sistemit të dhënë: (2; 1) dhe (-2; -1). Le të zgjidhim sistemin e dytë të ekuacioneve:

Le të përdorim përsëri metodën e zëvendësimit: zëvendësojmë shprehjen 2x në vend të y në ekuacionin e dytë të sistemit. marrim

Ky ekuacion nuk ka rrënjë, që do të thotë se sistemi i ekuacioneve nuk ka zgjidhje. Kështu, vetëm zgjidhjet e sistemit të parë duhet të përfshihen në përgjigje.

Përgjigje: (2; 1); (-2;-1).

Metoda e futjes së ndryshoreve të reja gjatë zgjidhjes së sistemeve të dy ekuacioneve me dy ndryshore përdoret në dy versione. Opsioni i parë: një ndryshore e re futet dhe përdoret vetëm në një ekuacion të sistemit. Kjo është pikërisht ajo që ndodhi në shembullin 3. Opsioni i dytë: dy ndryshore të reja futen dhe përdoren njëkohësisht në të dy ekuacionet e sistemit. Ky do të jetë rasti në shembullin 4.

Shembulli 4. Zgjidh sistemin e ekuacioneve