Fjalët kyçe:

Qëllimi i punës: studimi i metodave për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare me një të panjohur dhe testimi i tyre në punë eksperimentale.

Objektivat e punës:

1. Analizoni literaturën e specializuar dhe zgjidhni metodat më racionale për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare, duke i lejuar të gjithë maturantët të studiojnë dhe asimilojnë thellësisht këtë temë.
2. Zhvilloni disa aspekte të një metodologjie për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare duke përdorur TIK.
3. Eksploroni metodat për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare:

‒ Metoda e hapit

‒ Metoda e përgjysmimit

‒ Metoda e Njutonit

Hyrje.

Pa njohuri matematikore, është e pamundur të zotërohen me sukses metodat për zgjidhjen e problemeve në fizikë, kimi, biologji dhe lëndë të tjera. I gjithë kompleksi i shkencave natyrore ndërtohet dhe zhvillohet mbi bazën e njohurive matematikore. Për shembull, studimi i një numri problemesh aktuale në fizikën matematikore çon në nevojën për të zgjidhur ekuacionet jolineare. Zgjidhja e ekuacioneve jolineare është e nevojshme në optikën jolineare, në fizikën e plazmës, në teorinë e superpërçueshmërisë dhe në fizikën e temperaturës së ulët. Ka një sasi të mjaftueshme literaturë për këtë temë, por shumë tekste dhe artikuj janë të vështirë për t'u kuptuar nga një nxënës i shkollës së mesme. Ky punim diskuton metodat për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare që mund të përdoren për zgjidhjen e problemeve të aplikuara në fizikë dhe kimi. Një aspekt interesant është aplikimi i teknologjisë së informacionit në zgjidhjen e ekuacioneve dhe problemeve në matematikë.

Metoda e hapit.

Le të jetë e nevojshme të zgjidhet një ekuacion jolinear i formës F(x)=0. Le të supozojmë gjithashtu se na jepet një interval i caktuar kërkimi. Kërkohet gjetja e intervalit [a,b] me gjatësi h, që përmban rrënjën e parë të ekuacionit, duke u nisur nga kufiri i majtë i intervalit të kërkimit.

Oriz. 1. Metoda e hapit

Ka disa mënyra për të zgjidhur një problem të tillë. Metoda e hapit është më e thjeshta nga metodat numerike për zgjidhjen e pabarazive, por për të arritur saktësi të lartë është e nevojshme të zvogëlohet ndjeshëm hapi dhe kjo rrit shumë kohën e llogaritjes. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve duke përdorur këtë metodë përbëhet nga dy faza.

Iskenë. Ndarja e rrënjëve.

Në këtë fazë, përcaktohen seksionet, secila prej të cilave përmban vetëm një rrënjë të ekuacionit. Ekzistojnë disa mundësi për zbatimin e kësaj faze:

• Ne zëvendësojmë vlerat e X (mundësisht me ndonjë hap mjaft të vogël) dhe shohim se ku funksioni ndryshon shenjën. Nëse funksioni ka ndryshuar shenjën e tij, kjo do të thotë se ka një rrënjë në zonën midis vlerës së mëparshme dhe aktuale të X (nëse funksioni nuk ndryshon natyrën e rritjes/uljes së tij, atëherë mund të themi se ka vetëm një rrënjë në këtë interval).
• Metoda grafike. Ne ndërtojmë një grafik dhe vlerësojmë se në cilat intervale shtrihet njëra rrënjë.
• Le të shqyrtojmë vetitë e një funksioni specifik.

IIskenë. Përsosja e rrënjëve.

Në këtë fazë sqarohet kuptimi i rrënjëve të ekuacionit të përcaktuar më parë. Si rregull, në këtë fazë përdoren metoda përsëritëse. Për shembull, metoda e gjysmave (dikotomia) ose metoda e Njutonit.

Metoda e gjysmëpjestimit

Një metodë numerike e shpejtë dhe mjaft e thjeshtë për zgjidhjen e ekuacioneve, e bazuar në ngushtimin sekuencial të intervalit që përmban rrënjën e vetme të ekuacionit F(x) = 0 derisa të arrihet saktësia e specifikuar E. Kjo metodë zakonisht përdoret kur zgjidhen ekuacionet kuadratike ekuacione të shkallëve më të larta. Sidoqoftë, kjo metodë ka një pengesë të konsiderueshme - nëse segmenti [a,b] përmban më shumë se një rrënjë, atëherë nuk do të jetë në gjendje të arrijë rezultate të mira.

Oriz. 2. Metoda e dikotomisë

Algoritmi për këtë metodë është si më poshtë:

‒ Përcaktoni një përafrim të ri të rrënjës x në mes të segmentit [a;b]: x=(a+b)/2.

‒ Gjeni vlerat e funksionit në pikat a dhe x: F(a) dhe F(x).

‒ Kontrolloni kushtin F(a)*F(x)

‒ Shkoni në hapin 1 dhe përsëri ndajeni segmentin në gjysmë. Vazhdoni algoritmin deri në kushtin |F(x)|

Metoda e Njutonit

Më e sakta nga metodat e zgjidhjes numerike; i përshtatshëm për zgjidhjen e ekuacioneve shumë komplekse, por është i ndërlikuar nga nevoja për të llogaritur derivatet në çdo hap. është se nëse x n është një përafrim me rrënjën e ekuacionit , atëherë përafrimi i radhës përcaktohet si rrënja e tangjentes së funksionit f(x) të vizatuar në pikën x n.

Ekuacioni tangjent me funksionin f(x) në pikën x n ka formën:

Në ekuacionin tangjentë vendosim y = 0 dhe x = x n +1.

Pastaj algoritmi për llogaritjet sekuenciale në metodën e Njutonit është si më poshtë:

Konvergjenca e metodës tangjente është kuadratike, rendi i konvergjencës është 2.

Kështu, konvergjenca e metodës tangjente të Njutonit është shumë e shpejtë.

Pa asnjë ndryshim, metoda përgjithësohet në rastin kompleks. Nëse rrënja x i është një rrënjë e shumëzimit të dytë ose më e lartë, atëherë rendi i konvergjencës bie dhe bëhet linear.

Disavantazhet e metodës së Njutonit përfshijnë lokalitetin e saj, pasi ajo është e garantuar të konvergojë për një përafrim fillestar arbitrar vetëm nëse kushti është i plotësuar kudo. , në situatën e kundërt, konvergjenca ndodh vetëm në një lagje të caktuar të rrënjës.

Metoda e Njutonit (metoda tangjente) përdoret zakonisht kur ekuacioni f(x) = 0 ka rrënjë dhe plotësohen këto kushte:

1) funksion y=f(x) të përcaktuara dhe të vazhdueshme në ;

2) f(a) f(b) (funksioni merr vlerat e shenjave të ndryshme në skajet e segmentit [ a;b]);

3) derivatet f"(x) Dhe f""(x) ruaj shenjën në intervalin [ a;b] (d.m.th. funksioni f(x) ose rritet ose zvogëlohet në segment [ a;b], duke ruajtur drejtimin e konveksitetit);

Kuptimi i metodës është si më poshtë: në segmentin [ a;b] zgjidhet një numër i tillë x 0, në të cilën f(x 0) ka të njëjtën shenjë si f"" (x 0), dmth kushti është i plotësuar f(x 0) f""(x) > 0. Kështu, zgjidhet pika me abshisë x 0, në të cilën tangjentja me lakoren y=f(x) në segmentin [ a;b] kryqëzon boshtin kau. Për pikë x 0 Së pari është e përshtatshme të zgjidhni një nga skajet e segmentit.

Le ta shqyrtojmë këtë algoritëm duke përdorur një shembull specifik.

Le të na jepet një funksion në rritje y = f(x) =x 2– 2, e vazhdueshme në segmentin (0;2), dhe ka f "(x) =2x>0 Dhe f ""(x) = 2> 0.

Në rastin tonë, ekuacioni tangjent ka formën: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). NË si pikë x 0 zgjedhim pikë B 1 (b; f(b)) = (2,2). Vizatoni një tangjente me funksionin y = f(x) në pikën B 1, dhe shënoni pikën e kryqëzimit të tangjentes dhe boshtit kau pika x 1. Marrim ekuacionin e tangjentes së parë: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Ka: x 1 =

Oriz. 3. Ndërtimi i tangjentes së parë me grafikun e funksionit f(x)

y=f(x) kau përmes pikës x 1, e kuptojmë pikën B 2 = (1,5; 0,25). Vizatoni përsëri një tangjente me funksionin y = f(x) në pikën B 2, dhe shënoni pikën e prerjes së tangjentes dhe kau pika x 2.

Ekuacioni i tangjentës së dytë: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x - 4.25. Pika e kryqëzimit të tangjentes dhe boshtit Ka: x 2 =.

Pastaj gjejmë pikën e kryqëzimit të funksionit y=f(x) dhe një pingul të tërhequr me boshtin kau përmes pikës x 2, marrim pikën B 3 e kështu me radhë.

Oriz. 4. Ndërtimi i tangjentes së dytë me grafikun e funksionit f(x)

Përafrimi i parë i rrënjës përcaktohet nga formula:

= 1.5.

Përafrimi i dytë i rrënjës përcaktohet nga formula:

=

Përafrimi i tretë i rrënjës përcaktohet nga formula:

Kështu , i Përafrimi i rrënjës përcaktohet nga formula:

Llogaritjet kryhen derisa të përputhen numrat dhjetorë që nevojiten në përgjigje, ose të arrihet saktësia e specifikuar e - derisa të plotësohet pabarazia |xi-xi-1|

Në rastin tonë, le të krahasojmë përafrimin e marrë në hapin e tretë me përgjigjen reale. Siç mund ta shihni, tashmë në hapin e tretë kemi marrë një gabim prej më pak se 0.000002.

Zgjidhja e një ekuacioni duke përdorur CADMathCAD

Për ekuacionet më të thjeshta të formës f(x) = 0 zgjidhja në MathCAD gjendet duke përdorur funksionin rrënjë.

rrënjë(f (X 1 , x 2 , … ) , X 1 , a, b ) - kthen vlerën X 1 , që i përket segmentit [ a, b ] , në të cilën shprehja ose funksioni f (X ) shkon në 0. Të dy argumentet e këtij funksioni duhet të jenë skalar. Funksioni kthen një skalar.

Oriz. 5. Zgjidhja e një ekuacioni jolinear në MathCAD (funksioni rrënjë)

Nëse ndodh një gabim si rezultat i aplikimit të këtij funksioni, kjo mund të nënkuptojë që ekuacioni nuk ka rrënjë, ose rrënjët e ekuacionit janë të vendosura larg përafrimit fillestar, shprehja ka lokale maksimumi Dhe min ndërmjet përafrimit fillestar dhe rrënjëve.

Për të përcaktuar shkakun e gabimit, është e nevojshme të ekzaminohet grafiku i funksionit f(x). Do të ndihmojë për të zbuluar praninë e rrënjëve të ekuacionit f(x) = 0 dhe, nëse ekzistojnë, atëherë përafërsisht përcaktoni vlerat e tyre. Sa më saktë të zgjidhet përafrimi fillestar i rrënjës, aq më shpejt do të gjendet vlera e saktë e saj.

Nëse përafrimi fillestar është i panjohur, atëherë këshillohet të përdorni funksionin zgjidhin . Për më tepër, nëse ekuacioni përmban disa variabla, duhet të specifikoni pas fjalës kyçe zgjidhje një listë të variablave në lidhje me të cilat zgjidhet ekuacioni.

Oriz. 6. Zgjidhja e një ekuacioni jolinear në MathCAD (zgjidh funksionin)

konkluzioni

Studimi shqyrtoi si metodat matematikore ashtu edhe zgjidhjen e ekuacioneve duke përdorur programimin në sistemin CAD MathCAD. Metoda të ndryshme kanë avantazhet dhe disavantazhet e tyre. Duhet të theksohet se përdorimi i një metode të veçantë varet nga kushtet fillestare të ekuacionit të dhënë. Ato ekuacione që mund të zgjidhen mirë me metoda të faktorizimit etj., të njohura në shkollë, nuk kanë kuptim të zgjidhen duke përdorur metoda më komplekse. Problemet e matematikës së aplikuar që janë të rëndësishme për fizikën dhe kiminë dhe kërkojnë operacione komplekse llogaritëse gjatë zgjidhjes së ekuacioneve zgjidhen me sukses, për shembull, duke përdorur programimin. Është mirë t'i zgjidhni ato duke përdorur metodën e Njutonit.

Për të sqaruar rrënjët, mund të përdorni disa metoda për zgjidhjen e të njëjtit ekuacion. Ishte ky hulumtim që formoi bazën e kësaj pune. Në të njëjtën kohë, është e lehtë të shihet se cila metodë është më e suksesshme kur zgjidhet çdo fazë e ekuacionit, dhe cila metodë është më mirë të mos përdoret në këtë fazë.

Materiali i studiuar, nga njëra anë, ndihmon në zgjerimin dhe thellimin e njohurive matematikore dhe ngjalljen e interesit për matematikën. Nga ana tjetër, është e rëndësishme të jeni në gjendje të zgjidhni probleme reale të matematikës për ata që planifikojnë të fitojnë profesione teknike dhe inxhinierike. Prandaj, kjo punë është e rëndësishme për arsimimin e mëtejshëm (për shembull, në një institucion arsimor të lartë).

Literatura:

1. Mityakov S. N. Informatikë. Një grup materialesh edukative dhe metodologjike. - N. Novgorod: Nizhny Novgorod. shteti teknologjisë. univ., 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Teoria e zgjidhjeve të degëzimit të ekuacioneve jolineare. M.: Nauka, 1969. - 527 f.
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjeve teknike - M.: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V.P., Kurbatova E.V. Matematika: libër shkollor. - Rostov n/d.: Phoenix, 2005.
5. Savin A.P. Fjalor enciklopedik i një matematikani të ri. - M.: Pedagogji, 1989.
6. Korn G., Korn T. Manual i matematikës për shkencëtarë dhe inxhinierë. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Shën Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Kursi i përgjithshëm. - Shën Petersburg: BHV-Petersburg, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Metodat numerike të bazuara në Mathcad. - Shën Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.

Fjalët kyçe: ekuacionet jolineare, matematika e aplikuar, CAD MathCAD, metoda e Njutonit, metoda e hapit, metoda e dikotomisë..

Shënim: Artikulli i kushtohet studimit të metodave për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare, duke përfshirë përdorimin e sistemit të projektimit me ndihmën e kompjuterit MathCAD. Konsiderohet metoda e hapit, gjysmat dhe metodat e Njutonit, jepen algoritme të detajuara për zbatimin e këtyre metodave dhe kryhet një analizë krahasuese e këtyre metodave.

Për shembull:

Le të vendosim detyrën për të gjetur e vlefshme rrënjët e këtij ekuacioni.

Dhe patjetër që ka! - nga artikujt rreth grafikët e funksioneve Dhe ekuacionet e matematikës së lartë ju e dini shumë mirë se cili është orari funksioni polinom shkallë tek e pret boshtin të paktën një herë, prandaj ekuacioni ynë ka të paktën një rrënjë e vërtetë. Një. Ose dy. Ose tre.

Së pari, ju lutet të kontrolloni disponueshmërinë racionale rrënjët Sipas teorema përkatëse, vetëm numrat 1, –1, 3, –3 mund ta pretendojnë këtë “titull” dhe me zëvendësim të drejtpërdrejtë është e lehtë të sigurohesh që asnjëri prej tyre nuk “i përshtatet”. Kështu, vlerat irracionale mbeten. Rrënjët irracionale të një polinomi të shkallës 3 mund të gjenden pikërisht (shprehu përmes radikalëve) me ndihmën e të ashtuquajturave Formulat Cardano , megjithatë, kjo metodë është mjaft e rëndë. Por për polinomet e shkallës së 5-të dhe më të lartë nuk ka fare metodë të përgjithshme analitike, dhe, përveç kësaj, në praktikë ka shumë ekuacione të tjera në të cilat vlerat e saktaështë e pamundur të merren rrënjë të vërteta (megjithëse ato ekzistojnë).

Megjithatë, në aplikuar (për shembull, inxhinieri) probleme, është më se e pranueshme të përdoren vlerat e përafërta të llogaritura me një saktësi të caktuar.

Le të vendosim saktësinë për shembullin tonë. Çfarë do të thotë? Kjo do të thotë që ne duhet të gjejmë një vlerë të tillë të përafërt të rrënjës (rrënjët) në të cilën ne ne jemi të garantuar të gabojmë jo më shumë se 0.001 (një e mijëta) .

Është absolutisht e qartë se zgjidhja nuk mund të fillojë "rastësisht" dhe për këtë arsye në hapin e parë rrënjët veçuar. Të ndash një rrënjë do të thotë të gjesh një segment mjaft të vogël (zakonisht të vetëm) të cilit i përket kjo rrënjë dhe në të cilin nuk ka rrënjë të tjera. Më e thjeshta dhe më e arritshme metoda grafike e ndarjes së rrënjëve. Le të ndërtojmë pikë për pikë grafiku i një funksioni :

Nga vizatimi rezulton se ekuacioni, me sa duket, ka një rrënjë të vetme reale që i përket segmentit. Në fund të këtij intervali funksioni merr vlerat e shenjave të ndryshme: , dhe nga fakti vazhdimësia e funksionit në segment Një mënyrë elementare për të sqaruar rrënjën është menjëherë e dukshme: ne ndajmë intervalin në gjysmë dhe zgjedhim segmentin në skajet e të cilit funksioni merr shenja të ndryshme. Në këtë rast, është padyshim një segment. Ne e ndajmë intervalin që rezulton në gjysmë dhe përsëri zgjedhim segmentin "shenja e ndryshme". Dhe kështu me radhë. Veprimet e tilla vijuese quhen përsëritjet. Në këtë rast, ato duhet të kryhen derisa gjatësia e segmentit të bëhet më pak se dyfishi i saktësisë së llogaritjes, dhe mesi i segmentit të fundit "shenjë të ndryshme" duhet të zgjidhet si vlera e përafërt e rrënjës.

Skema e konsideruar mori një emër natyror - Metoda e gjysmëpjestimit. Dhe disavantazhi i kësaj metode është shpejtësia. Ngadalë. Shumë i ngadalshëm. Do të ketë shumë përsëritje përpara se të arrijmë saktësinë e kërkuar. Me zhvillimin e teknologjisë kompjuterike, kjo, natyrisht, nuk është problem, por matematika është ajo për të cilën është matematika, për të kërkuar zgjidhjet më racionale.

Dhe një nga mënyrat më efektive për të gjetur vlerën e përafërt të rrënjës është pikërisht metoda tangjente. Thelbi i shkurtër gjeometrik i metodës është si më poshtë: së pari, duke përdorur një kriter të veçantë (më shumë për këtë pak më vonë) zgjidhet një nga skajet e segmentit. Ky fund quhet fillestare përafrimi i rrënjës, në shembullin tonë: . Tani vizatojmë një tangjente me grafikun e funksionit në abscissa (pika blu dhe tangjenta vjollcë):

Kjo tangjente kapërceu boshtin x në pikën e verdhë dhe vini re se në hapin e parë pothuajse kemi "goditur rrënjën"! do të jetë së pari qasje rrënjësore. Më pas, ne ulim pingulën e verdhë me grafikun e funksionit dhe "arrijme" në pikën portokalli. Ne përsëri tërheqim një tangjente përmes pikës portokalli, e cila do të presë boshtin edhe më afër rrënjës! Dhe kështu me radhë. Nuk është e vështirë të kuptohet se duke përdorur metodën tangjente, ne po i afrohemi qëllimit me hapa të mëdhenj dhe do të duhen fjalë për fjalë disa përsëritje për të arritur saktësinë.

Meqenëse tangjentja përcaktohet përmes derivat i funksionit, më pas ky mësim përfundoi në rubrikën “Derivatet” si një nga aplikimet e tij. Dhe pa hyrë në detaje arsyetimi teorik i metodës, do të shqyrtoj anën teknike të çështjes. Në praktikë, problemi i përshkruar më sipër ndodh afërsisht në formulimin e mëposhtëm:

Shembulli 1

Duke përdorur metodën grafike, gjeni intervalin në të cilin ndodhet rrënja reale e ekuacionit. Duke përdorur metodën e Njutonit, merrni një vlerë të përafërt të rrënjës me një saktësi prej 0,001

Këtu është një "version i kursyer" i detyrës, në të cilën menjëherë deklarohet prania e një rrënje të vetme të vlefshme.

Zgjidhje: në hapin e parë rrënja duhet të ndahet grafikisht. Kjo mund të bëhet duke komplotuar (shih ilustrimet e mësipërme), por kjo qasje ka një sërë disavantazhesh. Së pari, nuk është fakt që grafiku është i thjeshtë (nuk e dimë paraprakisht), dhe softueri nuk është gjithmonë pranë. Dhe së dyti (përfundim nga 1), me një probabilitet të konsiderueshëm rezultati nuk do të jetë as një vizatim skematik, por një vizatim i përafërt, i cili, natyrisht, nuk është i mirë.

Epo, pse na duhen vështirësi të panevojshme? Le të imagjinojmë ekuacioni në formë vizatoni me kujdes grafikët dhe shënoni rrënjën në vizatim (Koordinata "X" e pikës së kryqëzimit të grafikëve):

Avantazh i dukshëm këtë metodëështë se grafikët e këtyre funksioneve ndërtohen me dorë shumë më saktë dhe shumë më shpejt. Nga rruga, vini re se drejt të kryqëzuara parabolë kubike në një pikë të vetme, që do të thotë se ekuacioni i propozuar ka në fakt vetëm një rrënjë reale. Besoni, por verifikoni ;-)

Pra, "klienti" ynë i përket segmentit dhe "nga syri" është afërsisht i barabartë me 0.65-0.7.

Në hapin e dytë duhet të zgjedhin përafrimi fillestar rrënjë Zakonisht ky është një nga skajet e segmentit. Përafrimi fillestar duhet të plotësojë kushtin e mëposhtëm:

Le të gjejmë së pari Dhe e dyta funksionet e prejardhura :

dhe kontrolloni skajin e majtë të segmentit:

Kështu, zero "nuk përshtatej".

Kontrollimi i skajit të djathtë të segmentit:

- Gjithçka është në rregull! Ne zgjedhim si përafrim fillestar.

Në hapin e tretë Na pret rruga drejt rrënjës. Çdo përafrim i mëpasshëm i rrënjës llogaritet nga të dhënat e mëparshme duke përdorur sa vijon të përsëritura formulat:

Procesi përfundon kur plotësohet kushti, ku është saktësia e paracaktuar e llogaritjeve. Si rezultat, përafrimi “n” merret si vlerë e përafërt e rrënjës: .

Më tej janë llogaritjet rutinë:

(rrumbullakimi zakonisht kryhet në 5-6 shifra dhjetore)

Meqenëse vlera e fituar është më e madhe se , ne vazhdojmë në përafrimin e parë të rrënjës:

Ne llogarisim:

, kështu që ekziston nevoja për të kaluar në përafrimin e 2-të:

Kalojmë në raundin tjetër:

, pra, përsëritjet përfundojnë dhe përafrimi i dytë duhet të merret si vlera e përafërt e rrënjës, e cila, në përputhje me saktësinë e dhënë, duhet të rrumbullakoset në një të mijtën:

Në praktikë, është e përshtatshme të futni rezultatet e llogaritjeve në një tabelë në mënyrë që të shkurtoni disi hyrjen, një fraksion shpesh shënohet me:

Nëse është e mundur, është më mirë të kryeni vetë llogaritjet në Excel - është shumë më i përshtatshëm dhe më i shpejtë:

Përgjigju: saktë në 0.001

Më lejoni t'ju kujtoj se kjo frazë nënkupton faktin se kemi bërë një gabim në vlerësimin tonë kuptimin e vërtetë rrënjë jo më shumë se 0,001. Ata që dyshojnë mund të marrin një mikrollogaritës dhe të zëvendësojnë edhe një herë vlerën e përafërt prej 0,674 në anën e majtë të ekuacionit.

Tani le të "skanojmë" kolonën e djathtë të tabelës nga lart poshtë dhe të vërejmë se vlerat po zvogëlohen vazhdimisht në vlerë absolute. Ky efekt quhet konvergjencës një metodë që na lejon të llogarisim rrënjën me saktësi arbitrare të lartë. Por konvergjenca nuk ndodh gjithmonë - është e siguruar një sërë kushtesh, për të cilën kam heshtur. Në veçanti, segmenti në të cilin është izoluar rrënja duhet të jetë mjaft e vogël– përndryshe vlerat do të ndryshojnë në mënyrë të rastësishme dhe nuk do të mund të plotësojmë algoritmin.

Çfarë duhet bërë në raste të tilla? Kontrolloni nëse kushtet e specifikuara janë përmbushur (shih lidhjen e mësipërme), dhe, nëse është e nevojshme, zvogëloni segmentin. Pra, duke folur relativisht, nëse në shembullin e analizuar intervali nuk ishte i përshtatshëm për ne, atëherë duhet të kemi parasysh, për shembull, segmentin. Në praktikë kam hasur në raste të tilla, dhe kjo teknikë ndihmon vërtet! E njëjta gjë duhet bërë nëse të dy skajet e segmentit "të gjerë" nuk e plotësojnë kushtin (d.m.th., asnjë prej tyre nuk është i përshtatshëm si përafrim fillestar).

Por zakonisht gjithçka funksionon si një orë, megjithëse jo pa kurthe:

Shembulli 2

Përcaktoni grafikisht numrin e rrënjëve reale të ekuacionit, ndani këto rrënjë dhe, duke përdorur metodën e Njutonit, gjeni vlerat e përafërta të rrënjëve me saktësi.

Gjendja e problemit është bërë dukshëm më e rreptë: së pari, përmban një aluzion të fortë se ekuacioni nuk ka një rrënjë të vetme, së dyti, kërkesa për saktësi është rritur, dhe së treti, me grafikun e funksionit shumë më e vështirë për t'u përballuar.

Dhe prandaj zgjidhje Le të fillojmë me një truk kursimi: imagjinoni ekuacionin në formë dhe vizatoni grafikët:


Nga vizatimi rezulton se ekuacioni ynë ka dy rrënjë reale:

Algoritmi, siç e kuptoni, duhet të "ndizet" dy herë. Por kjo është edhe në rastet më të rënda ndonjëherë ju duhet të ekzaminoni 3-4 rrënjë.

1) Kriteri i përdorimit Le të zbulojmë se cilin fund të segmentit të zgjedhim si përafrim fillestar të rrënjës së parë. Gjetja e derivateve të funksioneve :

Testimi i skajit të majtë të segmentit:

- doli!

Kështu, është një përafrim fillestar.

Ne do të përsosim rrënjën duke përdorur metodën e Njutonit duke përdorur formulën e përsëritur:
- deri në thyesë modul nuk do të jetë më pak se saktësia e kërkuar:

Dhe këtu fjala "modul" fiton rëndësi jo iluzore, pasi vlerat janë negative:


Për të njëjtën arsye, vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet kur kaloni në çdo përafrim tjetër:

Pavarësisht nga kërkesa mjaft e lartë për saktësi, procesi përsëri përfundoi në përafrimin e 2-të: , prandaj:

E saktë në 0.0001

2) Le të gjejmë vlerën e përafërt të rrënjës.

Ne kontrollojmë skajin e majtë të segmentit për morrat:

Prandaj, nuk është i përshtatshëm si përafrim fillestar.

Problemi i gjetjes së zgjidhjeve për një sistem prej n ekuacionesh jolineare algjebrike ose transcendentale me n të panjohura të formës

konsiderohet gjerësisht në praktikën informatike. Sisteme të ngjashme ekuacionesh mund të lindin, për shembull, gjatë modelimit numerik të sistemeve fizike jolineare në fazën e kërkimit të gjendjeve të tyre të palëvizshme. Në një sërë rastesh, sistemet e formës (6.1) fitohen në mënyrë indirekte, në procesin e zgjidhjes së ndonjë problemi tjetër llogaritës. Për shembull, kur përpiqeni të minimizoni një funksion të disa ndryshoreve, mund të kërkoni ato pika në hapësirën shumëdimensionale ku gradienti i funksionit është zero. Në këtë rast, është e nevojshme të zgjidhet sistemi i ekuacioneve (6.1) me anët e majta - projeksionet e gradientit në akset koordinative.

Në shënimin vektorial, sistemi (6.1) mund të shkruhet në një formë më kompakte

kolona vektoriale e funksioneve, simboli () T tregon veprimin e transponimit

Gjetja e zgjidhjeve për një sistem ekuacionesh jolineare është një detyrë shumë më komplekse sesa zgjidhja e një ekuacioni të vetëm jolinear. Megjithatë, një sërë metodash përsëritëse për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare mund të shtrihen në sistemet e ekuacioneve jolineare.

Metoda e thjeshtë e përsëritjes

Metoda e thjeshtë e përsëritjes për sistemet e ekuacioneve jolineare është në thelb një përgjithësim i metodës me të njëjtin emër për një ekuacion. Bazohet në faktin se sistemi i ekuacioneve (6.1) është reduktuar në formë

x 1= g 1(x 1, x 2, … , x n) , x 2= g 2(x 1, x 2, … , x n) ,

……………………

x n= g n(x 1 , x 2 , … , x n) ,

dhe përsëritjet kryhen sipas formulave

x 1 (k + 1 )= g 1 (x 1 (k ), x 2 (k ), ... , x n (k )), x 2 (k + 1 ) = g 2 (x 1 (k ) x 2 (k ), … , x n (k )) ,

……………………………

x n (k + 1)= g n (x 1 (k), x 2 (k), ..., x n (k)).

Këtu mbishkrimi tregon numrin e përafërt. Procesi përsëritës (6.3) fillon me një përafrim fillestar

(x 1 (0) ,x 2 (0) ,… ,x n (0) ) dhe vazhdoni deri në modulet e rritjes

të gjithë argumentet pas një përsëritjeje k nuk do të bëhen më pak se një vlerë e dhënë ε : x i (k + 1 ) − x i (k )< ε дляi = 1,2,… ,n .

Megjithëse metoda e thjeshtë e përsëritjes çon drejtpërdrejt në një zgjidhje dhe është e lehtë për t'u programuar, ajo ka dy disavantazhe të rëndësishme. Një prej tyre është konvergjenca e ngadaltë. Një tjetër është se nëse përafrimi fillestar zgjidhet larg zgjidhjes së vërtetë (X 1,X 2,…,X n), atëherë konvergjenca

metoda nuk është e garantuar. Është e qartë se problemi i zgjedhjes së një përafrimi fillestar, i cili nuk është i thjeshtë as për një ekuacion, bëhet shumë kompleks për sistemet jolineare.

Zgjidh një sistem ekuacionesh jolineare:

Nuk ka metoda të drejtpërdrejta për zgjidhjen e sistemeve jolineare të formës së përgjithshme. Vetëm në raste të caktuara sistemi (4.1) mund të zgjidhet drejtpërdrejt. Për shembull, në rastin e dy ekuacioneve, ndonjëherë është e mundur të shprehet një e panjohur në terma të tjetrës dhe kështu ta reduktojmë problemin në zgjidhjen e një ekuacioni jolinear në lidhje me një të panjohur.

Metodat përsëritëse zakonisht përdoren për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve jolineare.

Metoda e Njutonit

Në rastin e një ekuacioni F(x) = 0, algoritmi i metodës së Njutonit u përftua lehtësisht duke shkruar ekuacionet tangjente në kurbën y = F(x). Metoda e Njutonit për sistemet e ekuacioneve bazohet në përdorimin e zgjerimit të funksioneve F 1 (x 1 ...x n) në një seri Taylor, dhe termat që përmbajnë

derivatet ekzistuese të dytë (dhe më të larta) janë hedhur poshtë. Le të jenë të barabarta vlerat e përafërta të të panjohurave të sistemit (4.1).

përgjegjës a 1 ,a 2 ,....,a n . Detyra është të gjesh rritjet (nga

Le të zgjerojmë anët e majta të ekuacioneve (4.1) duke marrë parasysh zgjerimin e serisë Taylor, duke u kufizuar vetëm në termat linearë të relativit

Duke zëvendësuar sistemin (4.1), marrim sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve algjebrike lineare për rritje:

x 2 = a 2, …x n = a n.

Përcaktori i sistemit (4.3) është jakobian:

… … … …

∂ F n… … ∂ F n∂ x 1 ∂ x n

x 1 = a 1,

Që të ekzistojë një zgjidhje unike për sistemin, jakobiani duhet të jetë jo zero në çdo përsëritje.

Kështu, procesi përsëritës i zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh me metodën e Njutonit konsiston në përcaktimin e rritjeve x 1, x 2, ..., x n në vlerat e të panjohurave në çdo përsëritje duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve algjebrike lineare ( 4.3). Numërimi ndalon nëse të gjitha shtesat bëhen të vogla në vlerë absolute: maxx i< ε . В ме-

Në metodën e Njutonit, një zgjedhje e suksesshme e përafrimit fillestar është gjithashtu e rëndësishme për të siguruar konvergjencë të mirë. Konvergjenca përkeqësohet me rritjen e numrit të ekuacioneve në sistem.

Si shembull, merrni parasysh përdorimin e metodës së Njutonit për të zgjidhur një sistem me dy ekuacione:

∂ ∂ F 1. x

Madhësitë në anën e djathtë llogariten në x = a,y = b.

INSTITUCIONI ARSIMOR SHTETËROR

"Universiteti Shtetëror Transnistrian me emrin. T.G. Shevchenko"

dega Rybnitsa

Departamenti i Fizikës, Matematikës dhe Informatikës

Puna e kursit

në disiplinën: "Punëtori për zgjidhjen e problemeve në kompjuter"

"Metoda e Njutonit për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare"

E përfunduar:

student i vitit të 3-të;

Grupi i 330-të

specialitete: “Informatikë”

me shtesë diplomë në anglisht

Nistor A.G.

Kontrolluar:

mësuesi Panchenko T. A.

Futja e kompjuterëve në të gjitha sferat e veprimtarisë njerëzore kërkon që specialistë të profileve të ndryshme të zotërojnë aftësitë e përdorimit të teknologjisë kompjuterike. Po rritet niveli i formimit të studentëve universitarë, të cilët që në vitin e parë njihen me përdorimin e kompjuterit dhe metodat më të thjeshta numerike, pa lënë mënjanë faktin që zbatimi i lëndëve dhe projekteve të diplomës, përdorimi i teknologjisë kompjuterike bëhet normë. në shumicën dërrmuese të universiteteve.

Teknologjia kompjuterike tani përdoret jo vetëm në llogaritjet inxhinierike dhe shkencat ekonomike, por edhe në specialitete të tilla tradicionalisht jo matematikore si mjekësia, gjuhësia dhe psikologjia. Në këtë drejtim, mund të thuhet se përdorimi i kompjuterëve është bërë i përhapur. Është shfaqur një kategori e madhe specialistësh - përdorues kompjuterësh që kanë nevojë për njohuri për përdorimin e kompjuterëve në industrinë e tyre - aftësi për të punuar me softuerin ekzistues, si dhe krijimin e softuerit të tyre të përshtatur për të zgjidhur një problem specifik. Dhe këtu përshkrimet e gjuhëve të programimit të nivelit të lartë dhe metodat numerike i vijnë në ndihmë përdoruesit.

Metodat numerike zhvillohen dhe hulumtohen, si rregull, nga matematikanë shumë të kualifikuar. Për shumicën e përdoruesve, detyra kryesore është të kuptojnë idetë dhe metodat bazë, veçoritë dhe aplikacionet. Sidoqoftë, përdoruesit duan të punojnë me një kompjuter jo vetëm si një kalkulator shumë inteligjent, por edhe si një asistent në punën e përditshme, një depo informacioni me akses të shpejtë dhe të rregullt, si dhe një burim dhe përpunues informacioni grafik. Unë synoj të demonstroj të gjitha këto funksione të një kompjuteri modern në këtë punë kursi.

Qëllimet dhe objektivat.

Qëllimi i kësaj pune lënde është të studiojë dhe zbatojë në një produkt softuer zgjidhjen e ekuacioneve jolineare duke përdorur metodën e Njutonit. Kjo punë përbëhet nga tre seksione, përfundimi dhe shtojca. Seksioni i parë është teorik dhe përmban informacion të përgjithshëm rreth metodës së Njutonit. E dyta është pjesa praktike. Këtu përshkruajmë metodën e Njutonit, të analizuar me shembuj specifikë. E treta i kushtohet testimit të programit dhe analizimit të rezultateve. Në fund, jepet një përfundim për punën e bërë.

Qëllimi i kësaj pune të lëndës është zbatimi softuerik i metodës së Njutonit për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare.

Për ta bërë këtë, duhet të kryeni detyrat e mëposhtme:

1. Studioni literaturën e nevojshme.

2. Rishikoni metodat ekzistuese për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare.

3. Studioni metodën e Njutonit për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare.

4. Shqyrtoni zgjidhjen e ekuacioneve jolineare me metodën e Njutonit duke përdorur shembuj specifikë.

5. Zhvilloni një program për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare me metodën e Njutonit.

6. Analizoni rezultatet.

Shqyrtoni problemin e gjetjes së rrënjëve të një ekuacioni jolinear

Rrënjët e ekuacionit (1) janë ato vlera të x që, kur zëvendësohen, e kthejnë atë në një identitet. Vetëm për ekuacionet më të thjeshta është e mundur të gjendet një zgjidhje në formën e formulave, d.m.th. formë analitike. Më shpesh është e nevojshme të zgjidhen ekuacionet duke përdorur metoda të përafërta, ndër të cilat më të përhapurat, për shkak të ardhjes së kompjuterëve, janë metodat numerike.

Algoritmi për gjetjen e rrënjëve duke përdorur metoda të përafërta mund të ndahet në dy faza. Në fazën e parë studiohet vendndodhja e rrënjëve dhe bëhet ndarja e tyre. Gjendet rajoni në të cilin ekziston rrënja e ekuacionit ose përafrimi fillestar me rrënjën x 0. Mënyra më e thjeshtë për të zgjidhur këtë problem është studimi i grafikut të funksionit f(x) . Në rastin e përgjithshëm, për ta zgjidhur atë është e nevojshme të përdoren të gjitha mjetet e analizës matematikore.

Ekzistenca e të paktën një rrënjë të ekuacionit (1) në segmentin e gjetur rrjedh nga kushti i Bolzanos:

f(a)*f(b)<0 (2)

Kjo nënkupton që funksioni f(x) është i vazhdueshëm në këtë interval. Megjithatë, ky kusht nuk i përgjigjet pyetjes për numrin e rrënjëve të ekuacionit në një interval të caktuar. Nëse kërkesa e vazhdimësisë së një funksioni plotësohet me kërkesën e monotonitetit të tij, dhe kjo rrjedh nga qëndrueshmëria e shenjës së derivatit të parë, atëherë mund të pohojmë ekzistencën e një rrënje të vetme në një segment të caktuar.

Gjatë lokalizimit të rrënjëve, është gjithashtu e rëndësishme të njihen vetitë themelore të këtij lloj ekuacioni. Për shembull, le të kujtojmë disa veti të ekuacioneve algjebrike:

ku janë koeficientët realë.

a) Një ekuacion i shkallës n ka n rrënjë, midis të cilave mund të ketë edhe reale edhe komplekse. Rrënjët komplekse formojnë çifte komplekse të konjuguara dhe, për rrjedhojë, ekuacioni ka një numër çift të rrënjëve të tilla. Nëse n është tek, ka të paktën një rrënjë reale.

b) Numri i rrënjëve reale pozitive është më i vogël ose i barabartë me numrin e shenjave të ndryshueshme në sekuencën e koeficientëve. Zëvendësimi i x me –x në ekuacionin (3) na lejon të vlerësojmë numrin e rrënjëve negative në të njëjtën mënyrë.

Në fazën e dytë të zgjidhjes së ekuacionit (1), duke përdorur përafrimin fillestar të marrë, ndërtohet një proces përsëritës që bën të mundur përsosjen e vlerës së rrënjës me një saktësi të caktuar të paracaktuar. Procesi përsëritës konsiston në përsosjen sekuenciale të përafrimit fillestar. Çdo hap i tillë quhet përsëritje. Si rezultat i procesit të përsëritjes, gjendet një sekuencë vlerash të përafërta të rrënjëve të ekuacionit. Nëse kjo sekuencë i afrohet vlerës së vërtetë të rrënjës x ndërsa n rritet, atëherë procesi përsëritës konvergon. Një proces përsëritës thuhet se konvergjon në të paktën rendin m nëse plotësohet kushti i mëposhtëm:

, (4)

ku C>0 është një konstante. Nëse m=1, atëherë flasim për konvergjencë të rendit të parë; m=2 - rreth kuadratik, m=3 - rreth konvergjencës kubike.

Ciklet përsëritëse përfundojnë nëse, për një gabim të caktuar të lejueshëm, plotësohen kriteret për devijime absolute ose relative:

ose një mospërputhje e vogël:

Kjo punë i kushtohet studimit të një algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare duke përdorur metodën e Njutonit.

1.1 Rishikimi i metodave ekzistuese për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare

Ka shumë metoda të ndryshme për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare, disa prej tyre janë paraqitur më poshtë:

1)Metoda e përsëritjes. Kur zgjidhim një ekuacion jolinear duke përdorur metodën e përsëritjes, do të përdorim ekuacionin e shkruar në formën x=f(x). Përcaktohet vlera fillestare e argumentit x 0 dhe saktësia ε. Përafrimi i parë i zgjidhjes x 1 gjendet nga shprehja x 1 =f(x 0), e dyta - x 2 =f(x 1) etj. Në rastin e përgjithshëm, ne gjejmë përafrimin i+1 duke përdorur formulën xi+1 =f(xi). Këtë procedurë e përsërisim deri në |f(xi)|>ε. Kushti për konvergjencën e metodës së përsëritjes |f"(x)|<1.

2)Metoda e Njutonit. Kur zgjidhet një ekuacion jolinear me metodën e Njutonit, përcaktohet vlera fillestare e argumentit x 0 dhe saktësia ε. Pastaj në pikën (x 0 ,F(x 0)) vizatojmë një tangjente në grafikun F(x) dhe përcaktojmë pikën e prerjes së tangjentes me boshtin x 1. Në pikën (x 1 ,F(x 1)) ndërtojmë përsëri një tangjente, gjejmë përafrimin tjetër të zgjidhjes së dëshiruar x 2, etj. Këtë procedurë e përsërisim deri në |F(xi)| > ε. Për të përcaktuar pikën e prerjes (i+1) të tangjentes me boshtin e abshisës, përdorim formulën e mëposhtme x i+1 =x i -F(x i)\ F’(x i). Kushti për konvergjencën e metodës tangjente F(x 0)∙F""(x)>0, etj.

3). Metoda e dikotomisë. Teknika e zgjidhjes zbret në ndarjen graduale të intervalit fillestar të pasigurisë në gjysmë sipas formulës C k = a k + b k /2.

Për të zgjedhur atë të kërkuar nga dy segmentet rezultuese, është e nevojshme të gjendet vlera e funksionit në skajet e segmenteve rezultuese dhe të merret parasysh ai në të cilin funksioni do të ndryshojë shenjën e tij, domethënë kushti f ( a k) * f (në k) duhet të plotësohet<0.

Procesi i ndarjes së segmentit kryhet derisa gjatësia e intervalit aktual të pasigurisë të jetë më e vogël se saktësia e specifikuar, d.m.th.

në të - a të< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). Metoda e akordit. Ideja e metodës është që një akord të ndërtohet në segment, duke nënshtruar skajet e harkut të grafikut të funksionit y=f(x), dhe pikën c, kryqëzimi i kordës me x- aks, konsiderohet një vlerë e përafërt e rrënjës

c = a - (f(a)Х (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c = b - (f(b)Х (a-b)) / (f(a) - f(b)).

Përafrimi tjetër kërkohet në intervalin ose në varësi të shenjave të vlerave të funksionit në pikat a, b, c.

x* O, nëse f(c)H f(a) > 0;

x* O nëse f(c)Х f(b)< 0 .

Nëse f"(x) nuk e ndryshon shenjën në , atëherë duke shënuar c=x 1 dhe duke marrë parasysh a ose b si përafrim fillestar, marrim formula përsëritëse të metodës së kordës me një pikë fikse djathtas ose majtas.

x 0 =a, x i+1 = x i - f(x i)(b-x i) / (f(b)-f(x i), me f "(x)Х f "(x) > 0;

x 0 =b, x i+1 = x i - f(x i)(x i -a) / (f(x i)-f(a), me f "(x)Х f "(x)< 0 .

Konvergjenca e metodës së kordës është lineare.

1.2 Algoritmi i metodës së Njutonit

Le të ndërtojmë një algoritëm efektiv për llogaritjen e rrënjëve të ekuacionit. Le të jepet përafrimi fillestar. Le të llogarisim vlerën e funksionit dhe derivatit të tij në këtë pikë. Le të shohim një ilustrim grafik të metodës:

.

(8)

Duke vazhduar këtë proces, marrim formulën e famshme të Njutonit:

(9)

Këtu është funksioni më i thjeshtë i nënprogramit rekurziv:

funksioni X_Newt(x,eps:real):real;

y:=x-f(x)/f1(x);

nëse abs(f(x)) > eps

pastaj X_Newt:=X_Newt(y,eps)

Metoda e Njutonit (tangjentet) karakterizohet nga një shkallë kuadratike e konvergjencës, d.m.th. Në çdo përsëritje, numri i shenjave të sakta dyfishohet. Sidoqoftë, kjo metodë jo gjithmonë çon në rezultatin e dëshiruar. Le ta shqyrtojmë këtë çështje në më shumë detaje.

Le të transformojmë ekuacionin (1) në një ekuacion ekuivalent të formës:

Në rastin e metodës tangjente . Nëse dihet përafrimi fillestar me rrënjën x=x 0, atëherë përafrimin tjetër do ta gjejmë nga ekuacioni x 1 =g(x 0), pastaj x 2 =g(x 1),... Duke vazhduar këtë proces, marrim formulën e përsëritur të metodës së thjeshtë të përsëritjes

x k+1 =g(x k) (11)

Procesi përsëritës vazhdon derisa të plotësohen kushtet (5-7).

A çon gjithmonë procesi llogaritës i përshkruar në zgjidhjen e dëshiruar? Në çfarë kushtesh do të konvergojë? Për t'iu përgjigjur këtyre pyetjeve, le të kthehemi përsëri në ilustrimin gjeometrik të metodës.

Rrënja e ekuacionit paraqitet me pikëprerjen e funksioneve y=x dhe y=g(x). Siç mund të shihet nga Fig. 3(a), nëse kushti është i plotësuar, atëherë procesi konvergon, përndryshe divergjent (Fig. 3(b)).

Pra, në mënyrë që procesi përsëritës të jetë konvergjent dhe të çojë në rezultatin e dëshiruar, duhet të plotësohet kushti i mëposhtëm:

Kalimi nga ekuacioni f(x)=0 në ekuacionin x=g(x) mund të kryhet në mënyra të ndryshme. Në këtë rast, është e rëndësishme që funksioni i zgjedhur g(x) të plotësojë kushtin (12). Për shembull, nëse funksioni f(x) shumëzohet me një konstante arbitrare q dhe ndryshorja x shtohet në të dy anët e ekuacionit (1), atëherë g(x)=q*f(x)+x. Le të zgjedhim një konstante q të tillë që shkalla e konvergjencës së algoritmit të jetë më e larta. Nëse 1

Metoda e Njutonit ka një shkallë të lartë konvergjence, por jo gjithmonë konvergjon. Kushti i konvergjencës, ku g(x) = x – f(x)/ f’(x), reduktohet në kërkesë.

Në llogaritjet praktike, është e rëndësishme të zgjidhni vlerën fillestare sa më afër vlerës së dëshiruar, dhe të instaloni një "roje looping" në program.

Disavantazhi i metodës është se në çdo hap është e nevojshme të llogaritet jo vetëm funksioni, por edhe derivati ​​i tij. Kjo nuk është gjithmonë e përshtatshme. Një nga modifikimet e metodës së Njutonit është llogaritja e derivatit vetëm në përsëritjen e parë:

(13)

Një metodë tjetër modifikimi është zëvendësimi i derivatit me një diferencë të fundme

(14)

Pastaj (15)

Kuptimi gjeometrik i këtij ndryshimi në algoritmin e Njutonit është se nga tangjenta vijmë te sekanti. Metoda sekante është inferiore ndaj metodës së Njutonit për sa i përket shpejtësisë së konvergjencës, por nuk kërkon llogaritjen e derivatit. Vini re se përafrimet fillestare në metodën e seancës mund të vendosen ose në anët e ndryshme të rrënjës ose në të njëjtën anë.

Le të shkruajmë algoritmin e metodës së Njutonit në formë të përgjithshme.

1. Vendosni përafrimin fillestar x (0) në mënyrë që kushti të plotësohet

f(x (0))*f''(x (0))>0. (16)

Vendosni një numër të vogël pozitiv ε si saktësi të llogaritjeve. Set k = 0.

2. Llogaritni x (k+1) duke përdorur formulën (9):

.

3. Nëse | x (k+1) - x (k) |< ε, то процесс вычисления прекратить и положить х* = x (k+1) . Përndryshe, rriteni k me 1 (k = k + 1) dhe shkoni në hapin 2.

Le të zgjidhim manualisht disa ekuacione jolineare duke përdorur metodën e Njutonit dhe më pas të krahasojmë rezultatet me ato të marra gjatë zbatimit të produktit softuer.

Shembulli 1

sin x 2 + cosx 2 - 10x. = 0.

F’(x)=2x cosx 2 - 2x sinx 2 - 10.

F’’(x)=2cosx 2 - 4x 2 sinx 2 - 2sinx 2 - 4x 2 cosx 2 = cosx 2 (2-4x 2) - sinx 2 (2+4x 2).

Tani, bazuar në grafikun, le të marrim rrënjën e parë të përafërt dhe të kontrollojmë kushtin (16): f(x (0)) * f''(x (0)) > 0.

Le të jetë x (0) = 0. 565, pastaj f(0. 565)*f''(0. 565) = -4. 387 * (-0,342) = 1,5 > 0,

Kushti plotësohet, prandaj marrim x (0) = 0,565.

Nga kjo rrjedh se rrënja e ekuacionit është x = 0,101.

Shembulli 2

Zgjidheni ekuacionin duke përdorur metodën e Njutonit.

cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0

Llogaritjet duhet të kryhen me një saktësi prej ε = 0,001.

Le të llogarisim derivatin e parë të funksionit.

F’(x) = 1 – sin x + x*e -x2/2 .

Tani le të llogarisim derivatin e dytë të funksionit.

F’’(x) = e -x2/2 *(1-x 2) – cos x.

Le të ndërtojmë një grafik të përafërt të këtij funksioni.

Tani, bazuar në grafikun, le të marrim rrënjën e parë të përafërt dhe të kontrollojmë kushtin (16): f(x (0)) * f''(x (0)) > 0.

Le të jetë x (0) = 2, pastaj f(2)*f''(2) = 0,449 * 0,010 = 0,05 > 0,

Kushti është plotësuar, kështu që marrim x (0) = 2.

Tani le të krijojmë një tabelë vlerash për të zgjidhur këtë ekuacion.

Nga kjo rrjedh se rrënja e ekuacionit është x = 1,089.

Shembulli 3

Zgjidheni ekuacionin duke përdorur metodën e Njutonit.

Llogaritjet duhet të kryhen me një saktësi prej ε = 0,001.

Le të llogarisim derivatin e parë të funksionit.

F’(x) = 2*x + e -x .

Tani le të llogarisim derivatin e dytë të funksionit.

F’’(x) = 2 - e -x .

Le të ndërtojmë një grafik të përafërt të këtij funksioni.

Tani, bazuar në grafikun, le të marrim rrënjën e parë të përafërt dhe të kontrollojmë kushtin (16): f(x (0)) * f''(x (0)) > 0.

Le të jetë x (0) = 1, pastaj f(2)*f''(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0,

Tani le të krijojmë një tabelë vlerash për të zgjidhur këtë ekuacion.

Nga kjo rrjedh se rrënja e ekuacionit është x = 0,703.

Zgjidheni ekuacionin duke përdorur metodën e Njutonit.

cos x –e -x/2 +x-1=0.

Le të llogarisim derivatin e parë të funksionit.

F’(x) = -sin x + e -x/2 /2+1.

Tani le të llogarisim derivatin e dytë të funksionit.

F''(x) = -cos x - e -x/2/4.

Le të ndërtojmë një grafik të përafërt të këtij funksioni.

Tani, bazuar në grafikun, le të marrim rrënjën e parë të përafërt dhe të kontrollojmë kushtin (16): f(x (0)) * f''(x (0)) > 0.

Le të jetë x (0) = 1, pastaj f(2)*f''(2) = -0. 066 * (-0,692) = 0,046 > 0,

Kushti plotësohet, kështu që marrim x (0) = 1.

Tani le të krijojmë një tabelë vlerash për të zgjidhur këtë ekuacion.

Nga kjo rrjedh se rrënja e ekuacionit është x = 1,162.

Shembulli 5

Zgjidheni ekuacionin duke përdorur metodën e Njutonit.

2+e x - e -x =0.

Le të llogarisim derivatin e parë të funksionit.

F’(x) = e x +e -x .

Tani le të llogarisim derivatin e dytë të funksionit.

F’’(x) = e x -e -x .

Le të ndërtojmë një grafik të përafërt të këtij funksioni.

Tani, bazuar në grafikun, le të marrim rrënjën e parë të përafërt dhe të kontrollojmë kushtin (16): f(x (0)) * f''(x (0)) > 0.

Le të jetë x (0) = 1, pastaj f(2)*f''(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823 > 0,

Kushti plotësohet, kështu që marrim x (0) = 1.

Tani le të krijojmë një tabelë vlerash për të zgjidhur këtë ekuacion.

Nga kjo rrjedh se rrënja e ekuacionit është x = 0,881.

3.1 Përshkrimi i programit

Ky program është krijuar për të punuar në modalitetin tekst dhe grafik. Ai përbëhet nga moduli Graph, Crt, tre funksione dhe tre procedura.

1. Moduli Crt është krijuar për të ofruar kontroll mbi modalitetet e tekstit të ekranit, kodet e zgjeruara të tastierës, ngjyrat, dritaret dhe zërin;

2. Moduli Graph është krijuar për të ofruar kontroll mbi objektet grafike;

3. procedura GrafInit - inicializon modalitetin grafike;

4. funksioni VF – njehson vlerën e funksionit;

5. funksioni f1 – njehson vlerën e derivatit të parë të funksionit;

6. funksioni X_Newt – zbaton një algoritëm për zgjidhjen e një ekuacioni duke përdorur metodën e Njutonit.

7. procedura FGraf – zbaton ndërtimin e një grafiku të një funksioni të caktuar f(x);

Ots=35 - konstante që përcakton numrin e pikave për futje nga kufijtë e monitorit;

fmin, fmax - vlerat maksimale dhe minimale të funksionit;

SetColor(4) – një procedurë që vendos ngjyrën aktuale të një objekti grafik duke përdorur një paletë, në këtë rast është e kuqe;

SetBkColor(9) është një procedurë që vendos ngjyrën aktuale të sfondit duke përdorur një paletë, në këtë rast një ngjyrë blu të hapur.

8. Procedura MaxMinF – do të llogarisë vlerat maksimale dhe minimale të funksionit f(x).

Drejtëza – procedurë që tërheq një vijë nga një pikë me koordinata (x1, y1) në një pikë me koordinata (x2, y2);

MoveTo – një procedurë që lëviz treguesin (CP) në një pikë me koordinata (x, y);

TextColor(5) – një procedurë që përcakton ngjyrën aktuale të karaktereve, në këtë rast është rozë;

Outtexty (x, y, 'string') - një procedurë që nxjerr një varg duke filluar nga pozicioni (x, y)

CloseGraph është një procedurë që mbyll sistemin grafik.

3.2 Testimi i programit

Për të testuar programin do të marrim shembujt që u zgjidhën në pjesën praktike të punës për të krahasuar rezultatet dhe për të kontrolluar funksionimin e saktë të programit.

1) sin x 2 + cosx 2 - 10x. = 0.

Shkruani një = -1

Shkruani b=1

= [-1, 1]

(dalja e grafikut të funksionit)

Marrim: x=0.0000002

2) cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0.

Ky program llogarit rrënjët e një ekuacioni jolinear duke përdorur metodën e Njutonit me saktësi eps dhe vizaton një grafik të përafërt të funksionit në segment.

Shkruani një = -3

Shkruani b=3

= [-3, 3]

(dalja e grafikut të funksionit)

Rrënja e ekuacionit të gjetur me metodën e Njutonit:

Le të kontrollojmë duke zëvendësuar përgjigjen që rezulton në ekuacion.

Marrim: x=-0.0000000

3) x 2 - e -x = 0.

Ky program llogarit rrënjët e një ekuacioni jolinear duke përdorur metodën e Njutonit me saktësi eps dhe vizaton një grafik të përafërt të funksionit në segment.

Shkruani një = -1

Shkruani b=1

= [-1, 1]

Shkruani saktësinë e llogaritjes eps=0. 01

(dalja e grafikut të funksionit)

Rrënja e ekuacionit të gjetur me metodën e Njutonit:

Le të kontrollojmë duke zëvendësuar përgjigjen që rezulton në ekuacion.

Marrim: x=0.0000000

4) cos x –e -x/2 +x-1=0.

Ky program llogarit rrënjët e një ekuacioni jolinear duke përdorur metodën e Njutonit me saktësi eps dhe vizaton një grafik të përafërt të funksionit në segment.

Shkruani një = -1,5

Shkruani b=1.5

= [-1,5, 1,5 ]

Shkruani saktësinë e llogaritjes eps=0. 001

(dalja e grafikut të funksionit)

Rrënja e ekuacionit të gjetur me metodën e Njutonit:

Le të kontrollojmë duke zëvendësuar përgjigjen që rezulton në ekuacion.

Marrim: x=0.0008180

5) -2+e x - e -x =0.

Ky program llogarit rrënjët e një ekuacioni jolinear duke përdorur metodën e Njutonit me saktësi eps dhe vizaton një grafik të përafërt të funksionit në segment.

Shkruani një = -0.9

Shkruani b=0.9

= [-0,9, 0,9]

Shkruani saktësinë e llogaritjes eps=0. 001

(dalja e grafikut të funksionit)

Rrënja e ekuacionit të gjetur me metodën e Njutonit:

Le të kontrollojmë duke zëvendësuar përgjigjen që rezulton në ekuacion.

Qëllimi i punës ishte krijimi i një programi që llogarit rrënjën e një ekuacioni jolinear duke përdorur metodën e Njutonit. Bazuar në këtë, mund të konkludojmë se qëllimi u arrit, pasi u zgjidhën detyrat e mëposhtme për ta arritur atë:

1. Është studiuar literatura e nevojshme.

2. Rishikohen metodat ekzistuese për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare.

3. Është studiuar metoda e Njutonit për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare.

4. Zgjidhja e ekuacioneve jolineare me metodën e Njutonit konsiderohet duke përdorur një shembull.

5. Programi u testua dhe u korrigjua.

Lista e literaturës së përdorur

1. B.P. Demidovich, I.A. Maron. Bazat e matematikës llogaritëse. - Moskë, ed. "Shkenca"; 1970.

2. V.M. Verzhbitsky. Metodat numerike (algjebër lineare dhe ekuacione jolineare). - Moskë, "Shkolla e Lartë"; 2000.

3. N.S.Bakhvalov, A.V.Lapin, E.V.Chizhonkov. Metodat numerike në problema dhe ushtrime. - Moskë, "Shkolla e Lartë"; 2000.

4. Matthews, John, G., Fink, Curtis, D. Metodat numerike MATLAB, botimi i 3-të - Moskë, “Vilat”. 2001.

Metoda e Njutonit (metoda tangjente)

Le të jetë e ndarë rrënja e ekuacionit f(x)=0 në segmentin , me derivatin e parë dhe të dytë f'(x) dhe f""(x) janë të vazhdueshme dhe me shenjë konstante për xÎ.

Le të merret në një hap të përsosjes së rrënjës përafrimi tjetër me rrënjën x n (zgjedhur) . Atëherë supozojmë se përafrimi tjetër është marrë duke përdorur korrigjimin h n , çon në vlerën e saktë të rrënjës

x = xn + hn. (1.2.3-6)

Duke numëruar h n vlerë të vogël, ne përfaqësojmë f(х n + h n) në formën e një serie Taylor, duke u kufizuar në terma linearë

f(x n + h n) »f(x n) + h n f’(x n). (1.2.3-7)

Duke marrë parasysh që f(x) = f(x n + h n) = 0, marrim f(x n) + h n f '(x n) » 0.

Prandaj h n » - f(x n)/ f’(x n). Le të zëvendësojmë vlerën h n në (1.2.3-6) dhe në vend të vlerës së saktë të rrënjës x marrim një përafrim tjetër

Formula (1.2.3-8) na lejon të marrim një sekuencë të përafrimeve x 1, x 2, x 3 ..., e cila, në kushte të caktuara, konvergon në vlerën e saktë të rrënjës x, pra

Interpretimi gjeometrik i metodës së Njutonitështë si më poshtë
(Fig.1.2.3-6). Le të marrim skajin e djathtë të segmentit b si përafërsi fillestare x 0 dhe të ndërtojmë një tangjente në pikën përkatëse B 0 në grafikun e funksionit y = f(x). Pika e prerjes së tangjentes me boshtin x merret si një përafrim i ri, më i saktë x 1. Përsëritja e kësaj procedure shumë herë na lejon të marrim një sekuencë përafrimesh x 0, x 1, x 2 , . . ., e cila tenton në vlerën e saktë të rrënjës x.

Formula e llogaritjes së metodës së Njutonit (1.2.3-8) mund të merret nga një ndërtim gjeometrik. Pra, në një trekëndësh kënddrejtë x 0 B 0 x 1 këmbë
x 0 x 1 = x 0 V 0 /tga. Duke marrë parasysh se pika B 0 është në grafikun e funksionit f (x), dhe hipotenuza formohet nga tangjentja e grafikut f(x) në pikën B 0, marrim

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Kjo formulë përkon me (1.2.3-8) për përafrimin e n-të.

Nga Fig. 1.2.3-6 është e qartë se zgjedhja e pikës a si përafrim fillestar mund të çojë në faktin se përafrimi tjetër x 1 do të jetë jashtë segmentit në të cilin ndahet rrënja x. Në këtë rast, konvergjenca e procesit nuk është e garantuar. Në rastin e përgjithshëm, zgjedhja e përafrimit fillestar bëhet në përputhje me rregullin e mëposhtëm: përafrimi fillestar duhet të merret si pikë x 0 О, në të cilën f(x 0)×f''(x 0)>0 , pra përputhen shenjat e funksionit dhe derivati ​​i dytë i tij.

Kushtet për konvergjencën e metodës së Njutonit janë formuluar në teoremën e mëposhtme.

Nëse rrënja e ekuacionit është e ndarë në segment, dhe f'(x 0) dhe f''(x) janë të ndryshme nga zero dhe ruajnë shenjat e tyre kur xО, atëherë nëse zgjedhim një pikë të tillë si përafrim fillestar x 0 О , Çfarë f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , pastaj rrënja e ekuacionit f(x)=0 mund të llogaritet me çdo shkallë saktësie.

Vlerësimi i gabimit të metodës së Njutonit përcaktohet nga shprehja e mëposhtme:

(1.2.3-11)

ku është vlera më e vogël në

Vlera më e lartë në

Procesi i llogaritjes ndalon nëse ,

ku është saktësia e specifikuar.

Për më tepër, shprehjet e mëposhtme mund të shërbejnë si kusht për të arritur një saktësi të caktuar kur rafinoni rrënjën duke përdorur metodën e Njutonit:

Diagrami i algoritmit të metodës Njuton është paraqitur në Fig. 1.2.3-7.

Ana e majtë e ekuacionit origjinal f(x) dhe derivati ​​i tij f'(x) në algoritëm janë projektuar si module të veçanta softuerike.

Oriz. 1.2.3-7. Diagrami i algoritmit të metodës së Njutonit

Shembulli 1.2.3-3 Përsosni rrënjët e ekuacionit x-ln(x+2) = 0 duke përdorur metodën e Njutonit, me kusht që rrënjët e këtij ekuacioni të jenë të ndara në segmentet x 1 О[-1.9;-1.1] dhe. x 2 О [-0,9;2].

Derivati ​​i parë f’(x) = 1 – 1/(x+2) ruan shenjën e tij në secilin prej segmenteve:

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 në xО [-0,9; 2].

Derivati ​​i dytë f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0 për çdo x.

Kështu, kushtet e konvergjencës plotësohen. Meqenëse f""(x)>0 në të gjithë gamën e vlerave të lejueshme, atëherë për të sqaruar rrënjën e përafrimit fillestar x 1 zgjidhni x 0 = -1,9 (pasi f(-1,9)×f”(-1,9)>0). Ne marrim një sekuencë të përafrimeve:

Duke vazhduar llogaritjet, marrim sekuencën e mëposhtme të katër përafrimeve të para: -1.9; –1,8552, -1,8421; -1,8414 . Vlera e funksionit f(x) në pikën x=-1,8414 është e barabartë me f(-1,8414)=-0,00003 .

Për të sqaruar rrënjën x 2 О[-0.9;2] zgjedhim 0 =2 (f(2)×f”(2)>0) si përafrim fillestar. Bazuar në x 0 = 2, marrim një sekuencë përafrimesh: 2.0;1.1817; 1,1462; 1,1461. Vlera e funksionit f(x) në pikën x=1,1461 është e barabartë me f(1,1461)= -0,00006.

Metoda e Njutonit ka një shkallë të lartë konvergjence, por në çdo hap kërkon llogaritjen jo vetëm të vlerës së funksionit, por edhe të derivatit të tij.

Metoda e akordit

Interpretimi gjeometrik i metodës së kordësështë si më poshtë
(Fig.1.2.3-8).

Le të vizatojmë një segment të vijës përmes pikave A dhe B. Përafrimi tjetër x 1 është abshisa e pikës së prerjes së kordës me boshtin 0x. Le të ndërtojmë ekuacionin e një segmenti të drejtë:

Le të vendosim y=0 dhe të gjejmë vlerën x=x 1 (përafrimi tjetër):

Le të përsërisim procesin e llogaritjes për të marrë përafrimin tjetër me rrënjën - x 2 :

Në rastin tonë (Fig. 1.2.11) dhe formula e llogaritjes së metodës së kordës do të ketë formën

Kjo formulë është e vlefshme kur pika b merret si një pikë fikse dhe pika a vepron si një përafrim fillestar.

Le të shqyrtojmë një rast tjetër (Fig. 1.2.3-9), kur .

Ekuacioni i drejtëzës për këtë rast ka formën

Përafrimi tjetër x 1 në y = 0

Pastaj formula e përsëritur e metodës së kordës për këtë rast ka formën

Duhet theksuar se pika fikse në metodën e kordës zgjidhet të jetë fundi i segmentit për të cilin plotësohet kushti f (x)∙f¢¢ (x)>0.

Kështu, nëse pika a merret si pikë fikse , atëherë x 0 = b vepron si përafrim fillestar dhe anasjelltas.

Kushtet e mjaftueshme që sigurojnë llogaritjen e rrënjës së ekuacionit f(x) = 0 duke përdorur formulën e kordës do të jenë të njëjta si për metodën tangjente (metoda e Njutonit), vetëm në vend të përafrimit fillestar zgjidhet një pikë fikse. Metoda e akordit është një modifikim i metodës së Njutonit. Dallimi është se përafrimi tjetër në metodën e Njutonit është pika e kryqëzimit të tangjentes me boshtin 0X, dhe në metodën e kordës - pika e kryqëzimit të kordës me boshtin 0X - përafrimet konvergojnë në rrënjë nga anët e ndryshme. .

Vlerësimi i gabimit për metodën e kordës jepet nga shprehja

(1.2.3-15)

Kushti për përfundimin e procesit të përsëritjes duke përdorur metodën e akordit

(1.2.3-16)

Në rastin M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£e.

Shembulli 1.2.3-4. Sqaroni rrënjën e ekuacionit e x – 3x = 0, të ndarë në segment me saktësi 10 -4.

Le të kontrollojmë gjendjen e konvergjencës:

Rrjedhimisht, a=0 duhet të zgjidhet si pikë fikse dhe x 0 =1 duhet të merret si përafrim fillestar, pasi f(0)=1>0 dhe f(0)*f"(0)>0.