3. Kështu zgjidhin ekuacionet biondet!

Ky mbishkrim, të cilin e kam bërë disa vite më parë, është ndoshta prova më e shkurtër se... 2 = 3. Vendosni një pasqyrë sipër saj (ose shikojeni përmes dritës), dhe do të shihni se si kthehet "dy" në "tre""

Një tjetër formulë e pazakontë:

njëmbëdhjetë + dy = dymbëdhjetë + një.

Rezulton se në anglisht barazia 11 + 2 = 12 + 1 është e vërtetë, edhe nëse shkruhet me fjalë - "shuma" e shkronjave në të majtë dhe në të djathtë është e njëjtë! Kjo do të thotë se ana e djathtë e kësaj barazie është një anagram i së majtës, d.m.th., ajo merret prej saj duke rirregulluar shkronjat.

Barazi të ngjashme, megjithëse më pak interesante, mund të merren në Rusisht:

pesëmbëdhjetë + gjashtë = gjashtëmbëdhjetë + pesë.

Nga viti 1960 deri në vitin 1970, pija kryesore kombëtare, e quajtur "Vodka Speciale e Moskës", kushtoi: gjysmë litri 2,87 dhe një çerek litër 1,49. Këto shifra ndoshta ishin të njohura për pothuajse të gjithë popullsinë e rritur të BRSS. Matematikanët sovjetikë vunë re se nëse çmimi i një gjysmë litri rritet në një fuqi të barabartë me çmimin e një çerek, numri "Pi" merret:

1,49 2,87 ??

(Raportuar nga B. S. Gorobets).

Pas botimit të botimit të parë të librit, profesori i asociuar i Fakultetit të Kimisë të Universitetit Shtetëror të Moskës Leenzon I. A. më dërgoi komentin e mëposhtëm interesant për këtë formulë: "... shumë vite më parë, kur nuk kishte kalkulatorë, dhe në në departamentin e fizikës ne bëmë një test të vështirë mbi një rregull rrëshqitjeje (!) (sa herë duhet të lëvizni vizoren e lëvizshme majtas dhe djathtas?), unë, me ndihmën e tabelave më të sakta të babait tim (ai ishte gjeodez, ai ëndërroi një provim në gjeodezinë e lartë gjatë gjithë jetës së tij), zbuloi se rupi-dyzet e nëntë në fuqinë e dy-tetëdhjetë e shtatë është e barabartë me 3, 1408. Kjo nuk më kënaqi. Komiteti ynë i Planifikimit Shtetëror Sovjetik nuk mund të kishte vepruar kaq vrazhdë. Konsultimet me Ministrinë e Tregtisë për Kirovskaya treguan se të gjitha llogaritjet e çmimeve në shkallë kombëtare u bënë me një saktësi prej të qindtave të qindarkës. Por ata refuzuan të më tregonin numrat e saktë, duke përmendur sekretin (më befasoi atëherë - çfarë lloj fshehtësie mund të ketë në të dhjetat dhe të qindtat e një qindarke). Në fillim të viteve 1990, arrita të marr nga arkivat shifra të sakta për koston e vodkës, e cila deri në atë kohë ishte deklasifikuar me një dekret të posaçëm. Dhe kjo është ajo që doli të ishte: tremujori: 1 rubla 49,09 kopecks. Në shitje - 1,49 rubla. Gjysmë litër: 2 rubla 86,63 kopecks. Në shitje - 2,87 rubla. Duke përdorur një kalkulator, kuptova lehtësisht se në këtë rast, një e katërta e fuqisë së gjysmë litri jep (pas rrumbullakimit në 5 shifra domethënëse) saktësisht 3.1416! Mund të habitemi vetëm me aftësitë matematikore të punëtorëve të Komitetit të Planifikimit Shtetëror Sovjetik, të cilët (nuk e dyshoj këtë për asnjë sekondë) rregulluan në mënyrë specifike koston e vlerësuar të pijeve më të njohura me një rezultat të njohur më parë.

Cili matematikan, i famshëm nga shkolla, është i koduar në këtë rebus?

Një matematikan, fizikan dhe inxhinier iu dha problemi i mëposhtëm: “Një djalë dhe një vajzë qëndrojnë në muret e kundërta të sallës. Në një moment, ata fillojnë të ecin drejt njëri-tjetrit dhe mbulojnë gjysmën e distancës ndërmjet tyre çdo dhjetë sekonda. Pyetja është, sa kohë do të duhet që ata të arrijnë njëri-tjetrin?”

Matematikani u përgjigj pa hezitim:

kurrë.

Fizikani, pasi u mendua pak, tha:

Përmes kohës së pafundme.

Inxhinieri, pas llogaritjeve të gjata, lëshoi:

Pas rreth dy minutash ato do të jenë mjaft afër për të gjitha qëllimet praktike.

Formula e mprehtë e mëposhtme, që i atribuohet Landau, një dashnor i madh i seksit më të bukur, u soll në vëmendjen time nga profesori i famshëm Landauved Gorobets.

Siç na tha profesori i asociuar i MSUIE A.I Zyulkov, ai dëgjoi se Landau nxori formulën e mëposhtme për një tregues të atraktivitetit femëror:

Ku K- perimetri i bustit; M- në ijet; N- rreth belit, T- lartësia, e gjitha në cm; P- pesha në kg.

Pra, nëse marrim parametrat për modelin (vitet 1960) afërsisht: 80-80-60-170-60 (në sekuencën e mësipërme të vlerave), atëherë sipas formulës marrim 5. Nëse marrim parametrat e " anti-model”, për shembull: 120 -120-120-170-60, pastaj marrim 2. Pikërisht në këtë gamë të klasave të shkollës funksionon, përafërsisht, “formula Landau”.

(Cituar nga libri: Gorobets B. Rrethi Landau. Jeta e një gjeniu. M.: Shtëpia botuese LKI/URSS, 2008.)

Një tjetër argument shkencor për atraktivitetin femëror i atribuohet Daut.

Le të përcaktojmë tërheqjen e një gruaje në funksion të distancës ndaj saj. Kur argumenti është i pafund, ky funksion bëhet zero. Nga ana tjetër, në pikën zero është gjithashtu zero (po flasim për tërheqje të jashtme, jo për tërheqje prekëse). Sipas teoremës së Lagranzhit, një funksion i vazhdueshëm jo negativ që merr vlera zero në skajet e një segmenti ka një maksimum në këtë segment. Prandaj:

1. Ekziston një distancë nga e cila një grua është më tërheqëse.

2. Kjo distancë është e ndryshme për çdo grua.

3. Duhet të mbani distancë nga femrat.

Teorema: Të gjithë kuajt kanë të njëjtën ngjyrë.

Dëshmi. Le ta vërtetojmë pohimin e teoremës me induksion.

Në n= 1, domethënë, për një grup të përbërë nga një kalë, deklarata është padyshim e vërtetë.

Le të jetë e vërtetë teorema për n = k. Le të vërtetojmë se është e vërtetë edhe për n = k+ 1. Për ta bërë këtë, merrni parasysh një grup arbitrar të k+ 1 kuaj. Nëse hiqni një kalë prej tij, atëherë do të ketë vetëm k. Sipas hipotezës së induksionit, ato janë të gjitha me të njëjtën ngjyrë. Tani le ta kthejmë kalin e hequr në vendin e tij dhe të marrim një tjetër. Përsëri, nga hipoteza induktive, këto k kuajt e mbetur kanë të njëjtën ngjyrë. Por atëherë kjo është e gjitha k+ 1 kuaj do të jetë me të njëjtën ngjyrë.

Prandaj, sipas parimit të induksionit matematik, të gjithë kuajt kanë të njëjtën ngjyrë. Teorema është e vërtetuar.

Një tjetër ilustrim i mrekullueshëm i aplikimit të metodave matematikore në zoologji.

Teorema: Krokodili është më i gjatë se i gjerë.

Dëshmi. Le të marrim një krokodil arbitrar dhe të provojmë dy lema ndihmëse.

Lema 1: Krokodili është më i gjatë se ai jeshil.

Dëshmi. Le ta shohim krokodilin nga lart - është i gjatë dhe i gjelbër. Le ta shohim krokodilin nga poshtë - është i gjatë, por jo aq i gjelbër (në fakt është gri e errët).

Prandaj, Lema 1 është vërtetuar.

Lema 2: Krokodili është më i gjelbër se ai i gjerë.

Dëshmi. Le ta shohim përsëri krokodilin nga lart. Është e gjelbër dhe e gjerë. Le ta shohim krokodilin nga ana: është i gjelbër, por jo i gjerë. Kjo dëshmon Lema 2.

Deklarata e teoremës rrjedh qartë nga lemat e vërtetuara.

Teorema e kundërt ("Një krokodil është më i gjerë se i gjatë") mund të vërtetohet në një mënyrë të ngjashme.

Në pamje të parë, nga të dyja teoremat rrjedh se krokodili është katror. Megjithatë, duke qenë se pabarazitë në formulimet e tyre janë strikte, një matematikan i vërtetë do të nxjerrë përfundimin e vetëm të saktë: KROKODILI NUK EKZISTOJË!

Teorema: Të gjithë numrat natyrorë janë të barabartë me njëri-tjetrin.

Dëshmi. Është e nevojshme të vërtetohet se për çdo dy numra natyrorë A Dhe B barazia është e kënaqur A = B. Le ta riformulojmë në këtë mënyrë: për cilindo N> 0 dhe ndonjë A Dhe B, duke përmbushur barazinë max( A, B) = N, duhet të plotësohet edhe barazia A = B.

Le ta vërtetojmë këtë me induksion. Nëse N= 1, atëherë A Dhe B, duke qenë e natyrshme, të dyja janë të barabarta 1. Prandaj A = B.

Le të supozojmë tani se deklarata është vërtetuar për njëfarë vlere k. Le të marrim A Dhe B e tille qe max( A, B) = k+ 1. Pastaj max( A–1, B–1) = k. Nga hipoteza e induksionit rezulton se ( A–1) = (B–1). Mjetet, A = B.

Adhuruesit e enigmave gjuhësore dhe matematikore ndoshta dinë për fjalët, frazat dhe numrat refleksiv, ose vetë-përshkrues (mos mendoni asgjë të keqe). Ky i fundit, për shembull, përfshin numrin 2100010006, në të cilin shifra e parë është e barabartë me numrin e njësheve në regjistrimin e këtij numri, e dyta - numri i dysheve, e treta - numri i tresheve, ..., e dhjeta - numri i zerove.

Fjalët që përshkruajnë veten përfshijnë, le të themi, fjalën njëzet e një shkronjë, shpikur nga unë disa vite më parë. Në fakt ka 21 shkronja!

Janë të njohura shumë fraza që përshkruajnë veten. Një nga shembujt e parë në rusisht u shpik shumë vite më parë nga karikaturisti i famshëm dhe zgjuarsia verbale Vagrich Bakhchanyan: Ka tridhjetë e dy shkronja në këtë fjali. Këtu janë disa të tjera, të shpikura shumë më vonë: 1. Shtatëmbëdhjetë letra. 2. Kjo fjali ka një gabim në fund. 3. Kjo fjali do të ishte shtatë fjalë nëse do të ishte shtatë fjalë më e shkurtër. 4. Ti je nën kontrollin tim pasi do të më lexosh derisa të mbarosh së lexuari. 5. ...Kjo fjali fillon dhe mbaron me tre pika..

Ka edhe dizajne më komplekse. Admironi, për shembull, këtë përbindësh (shih shënimin e S. Tabachnikov "Prifti kishte një qen" në revistën "Kvant", nr. 6, 1989): Në këtë frazë, fjala "në" shfaqet dy herë, fjala "kjo" shfaqet dy herë, fjala "frazë" shfaqet dy herë, fjala "ndodh" shfaqet katërmbëdhjetë herë, fjala "fjalë" shfaqet katërmbëdhjetë herë dhe fjala " raz" shfaqet gjashtë herë, fjala "raza" shfaqet nëntë herë, fjala "dy" shfaqet shtatë herë, fjala "katërmbëdhjetë" shfaqet tre herë, fjala "nëntë" shfaqet dy herë. , fjala “shtatë” shfaqet dy herë, dy Fjala “gjashtë” shfaqet disa herë.

Një vit pas botimit në Kvant, I. Akulich doli me një frazë vetëpërshkrimore që përshkruan jo vetëm fjalët e përfshira në të, por edhe shenjat e pikësimit: Fraza që po lexoni përmban: dy fjalë “frazë”, dy fjalë “që”, dy fjalë “ti”, dy fjalë “lexo”, dy fjalë “përmban”, njëzet e pesë fjalë “fjalë”, dy fjalë “fjalë”. , dy fjalë “presje”, dy fjalë “presje”, dy fjalë “nga”, dy fjalë “majtas”, dy fjalë “dhe”, dy fjalë “djathtas”, dy fjalë “citate”, dy fjalë “a”, dy fjalët "gjithashtu", dy fjalë "pikë", dy fjalë "një", dy fjalë "një", njëzet e dy fjalë "dy", tre fjalë "tre", dy fjalë "katër", tre fjalë "pesë", katër fjalë "njëzet", dy fjalë "tridhjetë", një dy pika, tridhjetë presje, njëzet e pesë thonjëza majtas dhe djathtas dhe një pikë.

Më në fund, disa vjet më vonë, në të njëjtin "Kvant", u shfaq një shënim i A. Khanyan, në të cilin u dha një frazë që përshkruan me përpikëri të gjitha letrat e saj: Në këtë frazë ka dymbëdhjetë V, dy E, shtatëmbëdhjetë T, tre O, dy Y, dy F, shtatë R, katërmbëdhjetë A, dy 3, dymbëdhjetë E, gjashtëmbëdhjetë D, shtatë H, shtatë C, trembëdhjetë B, tetë C, gjashtë M , pesë I, dy H, dy S, tre I, tre Sh, dy P.

"Ndihet qartë se mungon një frazë tjetër - ajo që do të tregonte për të gjitha shkronjat dhe shenjat e pikësimit," shkroi I. Akulich, i cili lindi një nga përbindëshat e përmendur më parë, në një letër private për mua. Ndoshta një nga lexuesit tanë do ta zgjidhë këtë problem shumë të vështirë.

Në vazhdim të temës së mëparshme, vlen të përmenden paradokset refleksive.

Në librin e përmendur më parë nga J. Littlewood, "A Mathematical Mixture", thuhet me të drejtë se "të gjitha paradokset refleksive janë, sigurisht, shaka të shkëlqyera". Janë edhe dy prej tyre, të cilat do t'ia lejoj vetes t'i citoj:

1. Duhet të ketë numra të plotë (pozitiv) që nuk mund të shprehen me fraza me më pak se gjashtëmbëdhjetë fjalë. Çdo grup i numrave të plotë pozitiv përmban numrin më të vogël, dhe për këtë arsye ka një numër N, "numri i plotë më i vogël që nuk mund të specifikohet me një frazë prej më pak se gjashtëmbëdhjetë fjalë." Por kjo frazë përmban 15 fjalë dhe përcakton N.

2. Në një revistë Spektator u shpall një konkurs me temën "Çfarë do t'ju pëlqente të lexonit më shumë kur të hapni gazetën tuaj të mëngjesit?" Çmimi i parë mori përgjigjen:

Çmimi i parë në konkursin e dytë të këtij viti iu dha z. Arthur Robinson, përgjigja e mprehtë e të cilit duhet të konsiderohet lehtësisht më e mira. Përgjigja e tij në pyetjen: "Çfarë do të të pëlqente të lexoje më shumë kur të hapje gazetën e mëngjesit?" titullohej "Konkursi ynë i dytë", por për shkak të kufizimeve të letrës nuk mund ta printojmë të plotë.

Ka fraza të tilla mahnitëse që lexohen njësoj nga e majta në të djathtë dhe nga e djathta në të majtë. Të gjithë e dinë një gjë me siguri: Dhe trëndafili ra në putrën e Azorit. Ishte ajo që iu kërkua të shkruante në diktimin e Pinokut injorant nga Malvina kapriçioze. Fraza të tilla reciproke quhen palindrome, që përkthyer nga greqishtja do të thotë "ikje prapa, kthim". Këtu janë disa shembuj të tjerë: 1. Mustak liliputi duke sharruar në urë. 2. Unë ngjitem në banjë. 3. Ai u shtri në tempull dhe kryeengjëlli është i mrekullueshëm dhe i padukshëm. 4. Derri i shtypur mbi patëllxhan. 5. Muse, e plagosur nga fyelli i përvojës, do të lutesh për arsye. (D. Avaliani). 6. Unë rrallë mbaj një bisht cigareje me dorë... (B. Goldstein) 7. Kur ndjej erën e qumështit, mjaullij përreth. (G. Lukomnikov). 8. Ai është shelg, por ajo është trung. (S.F.)

Pyes veten nëse ka palindroma në matematikë? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, le të përpiqemi të transferojmë idenë e leximit reciprok, simetrik në numra dhe formula. Rezulton se nuk është aq e vështirë. Le të shohim vetëm disa shembuj tipikë të kësaj matematike palindromike: palindromatika. Duke lënë mënjanë numrat palindromikë - për shembull, 1991 , 666 etj. - le t'i drejtohemi menjëherë formulave simetrike.

Le të përpiqemi së pari të zgjidhim problemin e mëposhtëm: gjeni të gjitha çiftet e numrave të tillë dyshifrorë

(x 1 - shifra e parë, y 1 - shifra e dytë) dhe

në mënyrë që rezultati i mbledhjes së tyre të mos ndryshojë si rezultat i leximit të shumës nga e djathta në të majtë, d.m.th.

Për shembull, 42 + 35 = 53 + 24.

Problemi mund të zgjidhet në mënyrë të parëndësishme: shuma e shifrave të para të të gjitha çifteve të tilla numrash është e barabartë me shumën e shifrave të tyre të dyta. Tani mund të ndërtoni me lehtësi shembuj të ngjashëm: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 e kështu me radhë.

Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, mund të zgjidhet lehtësisht i njëjti problem për veprime të tjera aritmetike.

Në rast dallimi, d.m.th.

janë marrë shembujt e mëposhtëm: 41 – 32 = 23 –14, 46 – 28 = 82 – 64, ... - shumat e shifrave të numrave të tillë janë të barabarta ( x 1 + y 1 = x 2 + y 2 ).

Në rastin e shumëzimit kemi: 63 48 = 84 36, 82 14 = 41 28, ... - në këtë rast prodhimi i shifrave të para të numrave. N 1 Dhe N 2 e barabartë me produktin e shifrave të tyre të dyta ( x 1 x 2 = y 1 y 2 ).

Së fundi, për ndarjen marrim shembujt e mëposhtëm:

Në këtë rast, prodhimi i shifrës së parë të numrit N 1 në shifrën e dytë të numrit N 2 e barabartë me prodhimin e dy shifrave të tjera të tyre, d.m.th. x 1 y 2 = x 2 y 1 .

Vërtetimi i "teoremës" së mëposhtme, e cila u shfaq në epokën e "socializmit të pazhvilluar", bazohet në tezat popullore të atyre viteve në lidhje me rolin e Partisë Komuniste.

Teorema. Roli i partisë është negativ.

Dëshmi. Dihet mirë se:

1. Roli i partisë po rritet vazhdimisht.

2. Në komunizëm, në një shoqëri pa klasa, roli i partisë do të jetë zero.

Kështu, ne kemi një funksion në rritje të vazhdueshme me tendencë 0. Prandaj, ai është negativ. Teorema është e vërtetuar.

Pavarësisht absurditetit në dukje të problemit të mëposhtëm, ai megjithatë ka një zgjidhje krejtësisht rigoroze.

Detyrë. Mami është 21 vjet më e madhe se djali i saj. Për gjashtë vjet ajo do të jetë pesë herë më e madhe se ai. Pyetja është: KU ËSHTË BABI?!

Zgjidhje. Le X- mosha e djalit, dhe Y- mosha e nënës. Pastaj kushti i problemit shkruhet si një sistem i dy ekuacioneve të thjeshta:

Zëvendësimi Y = X+ 21 në ekuacionin e dytë, marrim 5 X + 30 = X+ 21 + 6, nga ku X= –3/4. Kështu, tani djali është minus 3/4 vjeç, d.m.th. minus 9 muaj. Kjo do të thotë që babai është aktualisht në krye të mamit!

Shprehja ironike "Nëse je kaq i zgjuar, atëherë pse je kaq i varfër?" është i njohur dhe, mjerisht, vlen për shumë njerëz. Rezulton se ky fenomen i trishtë ka një justifikim të rreptë matematikor, bazuar në të vërteta po aq të padiskutueshme.

Domethënë, le të fillojmë me dy postulate të njohura:

Postulati 1: Njohuri = Fuqi.

Postulati 2: Koha = Paraja.

Për më tepër, çdo nxënës shkolle e di këtë

Rruga s = Shpejtësia x Koha = Puna: Forca,

Puna: Koha = Forca x Shpejtësia (*)

Duke zëvendësuar vlerat për "kohën" dhe "forcën" nga të dy postulatet në (*), marrim:

Puna: (Dituria x Shpejtësia) = Paraja (**)

Nga barazia që rezulton (**) është e qartë se duke e drejtuar "dijen" ose "shpejtësinë" në zero, mund të marrim aq para sa të duam për çdo "punë".

Prandaj përfundimi: sa më budalla dhe dembel të jetë një person, aq më shumë para mund të fitojë.

Disa vite më parë, revista “Shkenca dhe Jeta” (Nr. 1, 2000) botoi një shënim të profesor B. Gorobets, i cili ngjalli interes të madh te lexuesit, kushtuar lojës së mrekullueshme të enigmës që akademiku Landau shpiku për të shmangur mërzinë gjatë udhëtimit. makinën. Ai shpesh i ftonte shokët e tij të luanin këtë lojë, në të cilën targat e makinave që kalonin aty shërbenin si sensor numrash të rastësishëm (në atë kohë këta numra përbëheshin nga dy shkronja dhe dy palë numra). Thelbi i lojës ishte përdorimi i shenjave të veprimeve aritmetike dhe simboleve të funksioneve elementare (d.m.th. +, –, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg, etj.) për të çuar në një dhe të njëjtën që do të thotë si këta dy numra dyshifrorë nga numri i makinës që kalon. Në këtë rast, lejohet përdorimi i faktorialit ( n! = 1 x 2 x ... x n), por nuk lejohet përdorimi i sekantit, kosekantit dhe diferencimit.

Për shembull, për çiftin 75–33, barazia e dëshiruar arrihet si më poshtë:

dhe për çiftin 00–38 - si kjo:

Sidoqoftë, jo të gjitha problemet zgjidhen kaq thjesht. Disa prej tyre (për shembull, 75–65) ishin përtej aftësive të autorit të lojës, Landau. Prandaj, lind pyetja për një qasje universale, një formulë të vetme që ju lejon të "zgjidhni" çdo çift numrash. E njëjta pyetje u bë nga Landau dhe studenti i tij Prof. Kaganov. Kjo është ajo që ai shkruan në veçanti: "A është gjithmonë e mundur të bëhet barazi nga një targë?" - e pyeta Landau. "Jo," u përgjigj ai me siguri. - "A e keni vërtetuar teoremën për mosekzistencën e një zgjidhjeje?" - U habita. "Jo," tha Lev Davidovich me bindje, "por nuk pata sukses në të gjitha numrat."

Megjithatë, zgjidhje të tilla u gjetën, njëra prej tyre gjatë jetës së vetë Landau.

Matematikani i Kharkovit, Yu. Palant, propozoi një formulë për barazimin e çifteve të numrave

duke lejuar që, si rezultat i përdorimit të përsëritur, të shprehet çdo numër përmes ndonjë më të vogël. "Unë solla provat e Landau", shkruan Kaganov për këtë vendim. - “Atij i pëlqeu shumë…, dhe ne me gjysmë shaka, gjysmë seriozisht diskutuam nëse do ta botonim në ndonjë revistë shkencore.”

Sidoqoftë, formula e Palantit përdor sekantin tashmë "të ndaluar" (ai nuk është përfshirë në kurrikulën shkollore për më shumë se 20 vjet), dhe për këtë arsye nuk mund të konsiderohet e kënaqshme. Sidoqoftë, unë munda ta rregulloja lehtësisht këtë duke përdorur një formulë të modifikuar

Formula që rezulton (përsëri, nëse është e nevojshme, duhet të zbatohet disa herë) ju lejon të shprehni çdo numër në terma të çdo numri të madh pa përdorur numra të tjerë, gjë që padyshim shteron problemin e Landau.

1. Le të mos ketë zero midis numrave. Le të bëjmë dy numra prej tyre ab Dhe CD, (këto, natyrisht, nuk janë vepra). Le të tregojmë se kur n ? 6:

mëkat[( ab)!]° = mëkat[( CD)!]° = 0.

Në të vërtetë, mëkati ( n!)° = 0 nëse n? 6, meqenëse sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Atëherë çdo faktorial fitohet duke shumëzuar 6! në numrat e plotë pasues: 7! = 6! x 7, 8! = 6! x 7 x 8, etj., duke dhënë një shumëfish të 360° në argumentin e sinusit, duke e bërë atë (dhe tangjenten gjithashtu) të barabartë me zero.

2. Le të ketë një zero në disa çifte numrash. E shumëzojmë me shifrën ngjitur dhe e barazojmë me sinusin e faktorialit në shkallë të marra nga numri në një pjesë tjetër të numrit.

3. Le të ketë zero në të dy anët e numrit. Kur shumëzohen me shifra ngjitur, ato japin barazinë e parëndësishme 0 = 0.

Ndarja e zgjidhjes së përgjithshme në tre pika me shumëzim me zero në pikat 2 dhe 3 është për faktin se mëkati ( n!)° ? 0 nëse n < 6».

Natyrisht, zgjidhje të tilla të përgjithshme e privojnë lojën e Landau nga sharmi i saj origjinal, duke përfaqësuar vetëm interes abstrakt. Pra, provoni të luani me numra individualë të vështirë pa përdorur formula universale. Këtu janë disa prej tyre: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00–26.

Më shumë rreth përcaktuesve.

Më thanë se në një kohë loja e "përcaktuesit" për para ishte e njohur në mesin e studentëve të vitit të parë të Fakultetit të Mekanikës dhe Matematikës. Dy lojtarë vizatojnë një identifikues 3 x 3 në letër me qeliza bosh. Pastaj, një nga një, numrat nga 1 deri në 9 futen në qelizat e zbrazëta Kur të gjitha qelizat janë mbushur, përcaktuesi llogaritet - përgjigja, duke marrë parasysh shenjën, është fitorja (ose humbja) e lojtarit të parë. , e shprehur në rubla. Kjo do të thotë, nëse, për shembull, numri doli të jetë -23, atëherë lojtari i parë paguan të dytin 23 rubla, dhe nëse, të themi, 34, atëherë, përkundrazi, lojtari i dytë paguan 34 rubla të para.

Edhe pse rregullat e lojës janë aq të thjeshta sa një rrepë, të arrish me strategjinë e duhur fituese është shumë e vështirë.

Këtë shënim ma dërgoi matematikani dhe shkrimtari A. Zhukov, autor i librit të mrekullueshëm "Numri i kudondodhur Pi".

Profesor Boris Solomonovich Gorobets, i cili mëson matematikë në dy universitete të Moskës, shkroi një libër për fizikanin e madh Lev Davidovich Landau (1908–1968) - "Rrethi i Landau". Ja një histori interesante që ai na tregoi për një nga problemet hyrëse të Fizikës dhe Teknologjisë.

Kështu ndodhi që kolegu i Landau dhe bashkëautori i kursit dhjetë vëllimesh për fizikën teorike, akademik Evgeniy Mikhailovich Lifshitz (1915-1985), në 1959 ndihmoi të diplomuarin e shkollës Bora Gorobets të përgatitej për pranim në një nga universitetet kryesore të fizikës në Moskë.

Në provimin me shkrim të matematikës në Institutin e Fizikës dhe Matematikës në Moskë, u propozua problemi i mëposhtëm: “Në bazën e piramidës SABC shtrihet një trekëndësh izoscelular i drejtë ABC, me kënd C = 90°, brinjë AB = l. Faqet anësore formojnë kënde dykëndëshe ?, ?, ? me rrafshin e bazës. Gjeni rrezen e topit të gdhendur në piramidë."

Profesori i ardhshëm nuk u përball me detyrën atëherë, por kujtoi gjendjen e saj dhe më vonë informoi Evgeniy Mikhailovich. Ai, pasi e ngatërroi problemin në prani të një studenti, nuk mundi ta zgjidhte menjëherë dhe e mori me vete në shtëpi, dhe në mbrëmje telefonoi dhe tha se, pasi nuk e zgjidhi brenda një ore, e kishte ofruar këtë problem. te Lev Davidovich.

Landau pëlqente të zgjidhte problemet që shkaktonin vështirësi për të tjerët. Shpejt ai e thirri Lifshitin dhe i kënaqur tha: “E zgjidha problemin. U desh saktësisht një orë për të vendosur. I telefonova Zeldovich, tani ai vendos. Le të shpjegojmë: Yakov Borisovich Zeldovich (1914–1987), një shkencëtar i famshëm që e konsideronte veten student të Landau, ishte në ato vite fizikani kryesor teorik në Projektin Atomik Sovjetik top-sekret (për të cilin, natyrisht, pak njerëz e dinin. pastaj). Rreth një orë më vonë, E.M. Lifshits telefonoi përsëri dhe tha: Zeldovich sapo e kishte thirrur dhe, jo pa krenari, tha: "Unë e zgjidha problemin tuaj. Vendosa në dyzet minuta!”

Sa kohë do t'ju duhet për të përfunduar këtë detyrë?

Ka mjaft shaka matematikore në koleksionin e mprehtë të humorit të Fizikës dhe Teknologjisë "Zany Scientific Humor" (Moskë, 2000). Këtu është vetëm një prej tyre.

Një dështim ndodhi gjatë testimit të një produkti. Sa është probabiliteti i funksionimit pa dështim të produktit?

Teorema. Të gjithë numrat natyrorë janë interesantë.

Dëshmi. Le të supozojmë të kundërtën. Atëherë duhet të ketë një numër natyror më të vogël jo interesant. Ha, kjo është shumë interesante!

1 + 1 = 3 kur vlera e 1 është mjaft e madhe.

E = m c 2 = m (a 2 + b 2).

Kjo histori qesharake nga jeta ime studentore mund të ofrohet si problem në seminare mbi teorinë e probabilitetit.

Në verë, unë dhe miqtë e mi shkuam për shëtitje në male. Ishim katër prej nesh: Volodya, dy Oleg dhe unë. Kishim një tendë dhe tre çanta gjumi, njëri prej të cilëve ishte dyshe për mua dhe Volodya. Kishte një problem pikërisht me këto thasë gjumi, ose më saktë me vendndodhjen e tyre në çadër. Fakti është se binte shi, tenda ishte e ngushtë, rridhte nga anët dhe nuk ishte shumë komode për ata që ishin shtrirë në buzë. Prandaj, unë propozova ta zgjidhja këtë problem "sinqerisht", duke përdorur shumë.

Shiko, i thashë Olegit, Volodya dhe unë mund të kemi një krevat dopio ose në buzë ose në qendër. Prandaj, ne do të hedhim një monedhë: nëse del "kokat", krevati ynë dopio do të jetë në buzë, nëse "bishtat" - në qendër.

Olegët ranë dakord, por pas disa netësh në buzë (është e lehtë të llogaritet duke përdorur formulën e probabilitetit total që për secilin nga Volodya dhe mua, probabiliteti për të fjetur jo në buzë të tendës është 0,75), Olegët dyshuan se diçka nuk ishte në rregull dhe propozoi rishqyrtimin e marrëveshjes.

Në të vërtetë, thashë, shanset ishin të pabarabarta. Në fakt, për krevatin tonë dopio ka tre mundësi: në skajin e majtë, në të djathtë dhe në qendër. Prandaj, çdo mbrëmje do të vizatojmë një nga tre shkopinj - nëse e vizatojmë atë të shkurtër, atëherë dysheja jonë do të jetë në qendër.

Olegët ranë dakord përsëri, megjithëse këtë herë shanset tona për të kaluar natën jo afër skajit (tani probabiliteti është 0,66, më saktë, dy të tretat) ishin të preferueshme se ato të secilit prej tyre. Pas dy netësh në buzë (ne kishim shanset më të mira plus fat në anën tonë), Olegët përsëri kuptuan se ishin mashtruar. Por më pas, për fat, reshjet u ndalën dhe problemi u zhduk vetvetiu.

Por në fakt, krevati ynë dopio duhet të jetë gjithmonë në buzë, dhe Volodya dhe unë do të përdornim një monedhë për të përcaktuar çdo herë se kush ishte me fat. Olegët do të kishin bërë të njëjtën gjë. Në këtë rast, shanset për të fjetur në buzë do të ishin të njëjta për të gjithë dhe të barabarta me 0.5.

Shënime:

Ndonjëherë një histori e ngjashme tregohet për Jean Charles Francois Sturm.

Shpesh, kur flas me nxënës të shkollave të mesme për punën kërkimore në matematikë, dëgjoj sa vijon: "Çfarë të re mund të zbulohet në matematikë?" Por me të vërtetë: ndoshta të gjitha zbulimet e mëdha janë bërë dhe teoremat janë vërtetuar?

Më 8 gusht 1900, në Kongresin Ndërkombëtar të Matematikës në Paris, matematikani David Hilbert përshkroi një listë problemesh që ai besonte se do të duhej të zgjidheshin në shekullin e njëzetë. Në listë ishin 23 artikuj. Njëzet e një prej tyre janë zgjidhur deri më tani. Problemi i fundit në listën e Hilbertit për t'u zgjidhur ishte teorema e famshme e Fermatit, të cilën shkencëtarët nuk ishin në gjendje ta zgjidhnin për 358 vjet. Në vitin 1994, britaniku Andrew Wiles propozoi zgjidhjen e tij. Doli të ishte e vërtetë.

Duke ndjekur shembullin e Gilbert, në fund të shekullit të kaluar, shumë matematikanë u përpoqën të formulonin detyra të ngjashme strategjike për shekullin e 21-të. Një nga këto lista u bë e njohur gjerësisht falë miliarderit të Bostonit Landon T. Clay. Në vitin 1998, me fondet e tij, u themelua Instituti i Matematikës Clay në Kembrixh (Masachusetts, SHBA) dhe u vendosën çmime për zgjidhjen e një sërë problemesh më të rëndësishme të matematikës moderne. Më 24 maj 2000, ekspertët e institutit zgjodhën shtatë probleme - sipas numrit të miliona dollarëve të ndarë për çmimin. Lista quhet Problemet e Çmimit të Mijëvjeçarit:

1. Problemi i Kukut (formuluar në 1971)

Le të themi se ju, duke qenë në një kompani të madhe, dëshironi të siguroheni që edhe shoku juaj të jetë atje. Nëse ju thonë se ai është ulur në qoshe, atëherë do t'ju mjaftojë një pjesë e sekondës që t'i hidhni një sy dhe të bindeni për vërtetësinë e informacionit. Pa këtë informacion, do të detyroheni të ecni nëpër të gjithë dhomën, duke parë të ftuarit. Kjo sugjeron që zgjidhja e një problemi shpesh kërkon më shumë sesa kontrollimi i korrektësisë së zgjidhjes.

Stephen Cook formuloi problemin: a mundet që kontrollimi i korrektësisë së një zgjidhjeje për një problem të zgjasë më shumë sesa marrja e vetë zgjidhjes, pavarësisht nga algoritmi i verifikimit. Ky problem është gjithashtu një nga problemet e pazgjidhura në fushën e logjikës dhe shkencave kompjuterike. Zgjidhja e tij mund të revolucionarizojë bazat e kriptografisë së përdorur në transmetimin dhe ruajtjen e të dhënave.

2. Hipoteza e Riemann-it (formuluar në 1859)

Disa numra të plotë nuk mund të shprehen si prodhim i dy numrave të plotë më të vegjël, si 2, 3, 5, 7, e kështu me radhë. Numra të tillë quhen numra të thjeshtë dhe luajnë një rol të rëndësishëm në matematikën e pastër dhe aplikimet e saj. Shpërndarja e numrave të thjeshtë midis serive të të gjithë numrave natyrorë nuk ndjek ndonjë model. Megjithatë, matematikani gjerman Riemann bëri një hamendje në lidhje me vetitë e një sekuence numrash të thjeshtë. Nëse hipoteza e Riemann-it vërtetohet, ajo do të çojë në një ndryshim revolucionar në njohuritë tona për enkriptimin dhe një përparim të paparë në sigurinë e internetit.

3. Hipoteza e Birch dhe Swinnerton-Dyer (formuluar në 1960)

Shoqërohet me përshkrimin e grupit të zgjidhjeve të disa ekuacioneve algjebrike në disa variabla me koeficientë të plotë. Një shembull i një ekuacioni të tillë është shprehja x2 + y2 = z2. Euklidi dha një përshkrim të plotë të zgjidhjeve të këtij ekuacioni, por për ekuacionet më komplekse, gjetja e zgjidhjeve bëhet jashtëzakonisht e vështirë.

4. Hipoteza e Hodge (formuluar në 1941)

Në shekullin e 20-të, matematikanët zbuluan një metodë të fuqishme për të studiuar formën e objekteve komplekse. Ideja kryesore është përdorimi i "tullave" të thjeshta në vend të vetë objektit, të cilat janë ngjitur së bashku dhe formojnë ngjashmërinë e tij. Hipoteza e Hodge shoqërohet me disa supozime në lidhje me vetitë e "blloqeve të ndërtimit" dhe objekteve të tilla.

5. Ekuacionet Navier - Stokes (formuluar në 1822)

Nëse lundroni me një varkë në një liqen, do të lindin dallgë dhe nëse fluturoni me aeroplan, në ajër do të shfaqen rryma të turbullta. Supozohet se këto dhe fenomene të tjera përshkruhen nga ekuacionet e njohura si ekuacionet Navier-Stokes. Zgjidhjet e këtyre ekuacioneve janë të panjohura, madje nuk dihet as si të zgjidhen ato. Është e nevojshme të tregohet se një zgjidhje ekziston dhe është një funksion mjaftueshëm i qetë. Zgjidhja e këtij problemi do të ndryshojë ndjeshëm metodat e kryerjes së llogaritjeve hidro- dhe aerodinamike.

6. Problemi Poincaré (formuluar në 1904)

Nëse tërhiqni një brez gome mbi një mollë, mundeni, duke e lëvizur ngadalë shiritin pa e ngritur nga sipërfaqja, ta ngjeshni deri në një pikë. Nga ana tjetër, nëse i njëjti brez gome shtrihet në mënyrë të përshtatshme rreth një donut, nuk ka asnjë mënyrë për të ngjeshur shiritin deri në një pikë pa e grisur shiritin ose pa thyer donutin. Ata thonë se sipërfaqja e një mollë është thjesht e lidhur, por sipërfaqja e një donut jo. Doli të ishte aq e vështirë të vërtetohej se vetëm sfera është thjesht e lidhur sa matematikanët janë ende në kërkim të përgjigjes së saktë.

7. Ekuacionet Yang-Mills (formuluar në 1954)

Ekuacionet e fizikës kuantike përshkruajnë botën e grimcave elementare. Fizikanët Young dhe Mills, pasi zbuluan lidhjen midis gjeometrisë dhe fizikës së grimcave, shkruan ekuacionet e tyre. Kështu, ata gjetën një mënyrë për të unifikuar teoritë e ndërveprimeve elektromagnetike, të dobëta dhe të forta. Ekuacionet Yang-Mills nënkuptuan ekzistencën e grimcave që në fakt u vëzhguan në laboratorë në të gjithë botën, kështu që teoria Yang-Mills pranohet nga shumica e fizikantëve, pavarësisht se në kuadrin e kësaj teorie ende nuk është e mundur të parashikohet masat e grimcave elementare.

Ngjarje madhështore

Një herë në buletinin e Vitit të Ri se si të bëni dolli, përmenda rastësisht se në fund të shekullit të njëzetë ndodhi një ngjarje e madhe, të cilën shumë nuk e vunë re - e ashtuquajtura Teorema e fundit e Fermatit. Lidhur me këtë, ndër letrat që mora, gjeta dy përgjigje nga vajza (njëra prej tyre, me sa mbaj mend, ishte Vika e klasës së nëntë nga Zelenograd), të cilat u habitën nga ky fakt.

Dhe u befasova nga sa fort interesoheshin vajzat për problemet e matematikës moderne. Prandaj, mendoj se jo vetëm vajzat, por edhe djemtë e të gjitha moshave - nga nxënësit e shkollave të mesme e deri te pensionistët, do të jenë gjithashtu të interesuar të mësojnë historinë e Teoremës së Madhe.

Vërtetimi i teoremës së Fermatit është një ngjarje e madhe. Dhe sepse Nuk është zakon të bëjmë shaka me fjalën "i shkëlqyer", por më duket se çdo folës që respekton veten (dhe ne jemi të gjithë folës kur flasim) është thjesht i detyruar të dijë historinë e teoremës.

Nëse ndodh që ju nuk e doni matematikën aq sa unë e dua atë, atëherë kaloni nëpër disa nga detajet. Duke kuptuar që jo të gjithë lexuesit e buletinit tonë janë të interesuar të enden në xhunglën matematikore, u përpoqa të mos jap asnjë formulë (përveç vetë ekuacionit të teoremës së Fermatit) dhe të thjeshtoj sa më shumë mbulimin e disa çështjeve specifike.

Si e bëri Fermat rrëmujën

Avokati francez dhe matematikani i madh me kohë të pjesshme i shekullit të 17-të Pierre Fermat (1601-1665) parashtroi një deklaratë interesante nga fusha e teorisë së numrave, e cila më vonë u bë e njohur si Teorema e Madhe (ose e Madhe) e Fermatit. Kjo është një nga teoremat matematikore më të famshme dhe më fenomenale. Ndoshta, ngazëllimi rreth tij nuk do të kishte qenë aq i fortë nëse në librin e Diofantit të Aleksandrisë (shek. III) "Aritmetika", të cilin Fermat e studionte shpesh, duke bërë shënime në kufijtë e tij të gjerë dhe që djali i tij Samueli e ruajti me dashamirësi për pasardhësit, nuk ishte zbuluar përafërsisht shënimi i mëposhtëm nga matematikani i madh:

"Kam disa prova shumë befasuese, por janë shumë të mëdha për t'u futur në margjina."

Ishte ky regjistrim që ishte arsyeja për bujën e mëvonshme kolosale rreth teoremës.

Pra, shkencëtari i famshëm deklaroi se ai kishte vërtetuar teoremën e tij. Le të pyesim veten: e vërtetoi vërtet apo thjesht gënjeu? Apo ka versione të tjera që shpjegojnë shfaqjen e atij shënimi në margjina, i cili nuk lejoi shumë matematikanë të brezave të mëvonshëm të flinin të qetë?

Historia e Teoremës së Madhe është po aq magjepsëse sa një aventurë në kohë. Në vitin 1636, Fermat deklaroi se një ekuacion i formës Xn+Yn=Zn nuk ka zgjidhje në numra të plotë me një eksponent n>2. Kjo është në fakt teorema e fundit e Fermatit. Në këtë formulë matematikore në dukje të thjeshtë, Universi maskoi një kompleksitet të jashtëzakonshëm.

Është disi e çuditshme që për disa arsye teorema ishte vonë në shfaqjen e saj, pasi situata ishte krijuar për një kohë të gjatë, sepse rasti i saj i veçantë me n = 2 - një tjetër formulë e famshme matematikore - teorema e Pitagorës, u ngrit njëzet e dy shekuj. më herët. Ndryshe nga teorema e Fermatit, teorema e Pitagorës ka një numër të pafund zgjidhjesh me numra të plotë, për shembull, trekëndëshat e mëposhtëm të Pitagorës: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15). ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Sindroma e Teoremës së Madhe

Kush nuk është përpjekur të vërtetojë teoremën e Fermatit? Çdo student i sapoardhur e konsideroi detyrën e tij të zbatohej në Teoremën e Madhe, por askush nuk ishte në gjendje ta vërtetonte atë. Në fillim nuk funksionoi për njëqind vjet. Pastaj njëqind të tjera. Një sindromë masive filloi të zhvillohej midis matematikanëve: "Si mund ta vërtetojë këtë Fermat, por çfarë, nuk mund ta bëj?" dhe disa prej tyre u çmendën mbi këtë bazë në kuptimin e plotë të fjalës.

Pavarësisht se sa herë u testua teorema, ajo gjithmonë doli të ishte e vërtetë. Njohja një programues të zjarrtë i cili ishte i fiksuar pas hedhjes poshtë të Teoremës së Madhe duke u përpjekur të gjente të paktën një zgjidhje duke kërkuar nëpër numra të plotë duke përdorur një kompjuter me shpejtësi të lartë (më shpesh i quajtur mainframe në atë kohë). Ai besonte në suksesin e ndërmarrjes së tij dhe i pëlqente të thoshte: "Pak më shumë - dhe do të shpërthejë një ndjesi!" Mendoj se në vende të ndryshme të planetit tonë kishte një numër të konsiderueshëm të këtij lloji kërkuesish të guximshëm. Ai, natyrisht, nuk gjeti një zgjidhje të vetme. Dhe asnjë kompjuter, qoftë edhe me shpejtësi përrallore, nuk mund ta verifikonte kurrë teoremën, sepse të gjitha variablat e këtij ekuacioni (përfshirë eksponentët) mund të rriten në pafundësi.

Matematicieni më virtuoz dhe më pjellor i shekullit të 18-të, Leonard Euler, arkivi i të dhënave të të cilit njerëzimi ka rrëmbyer për gati një shekull, vërtetoi teoremën e Fermatit për fuqitë 3 dhe 4 (ose më mirë, ai përsëriti provat e humbura të vetë Pierre Fermat) ; ndjekësi i tij në teorinë e numrave, Lezhandri - për fuqitë 5; Dirichlet - për shkallën 7. Por në përgjithësi teorema mbeti e paprovuar.

Në fillim të shekullit të 20-të (1907), një amator i pasur gjerman në matematikë i quajtur Wolfskehl i la trashëgim njëqind mijë marka atij që do të paraqiste një provë të plotë të teoremës së Fermatit. Eksitimi filloi. Departamentet e matematikës ishin të mbushura me mijëra prova, por të gjitha, siç mund ta merrni me mend, përmbanin gabime. Ata thonë se në disa universitete në Gjermani, të cilat morën sasi të mëdha "provash" të teoremës së Fermatit, u përgatitën formularë me përafërsisht këtë përmbajtje:

I dashur ________________________!

Në vërtetimin tuaj të teoremës së Fermatit në faqen ____ në rreshtin ____ në krye
gabimi i mëposhtëm u zbulua në formulën: _________________________:,

Të cilat iu dërguan aplikantëve të pafat për çmimin.

Në atë kohë, në mesin e matematikanëve u shfaq një pseudonim gjysmë përçmues - fermeri. Ky ishte emri që i vihej çdo fillestari me vetëbesim, të cilit i mungonin njohuritë, por kishte më shumë se sa ambicie për të provuar me ngut maksimumin për të vërtetuar Teoremën e Madhe dhe më pas, pa i vënë re gabimet e veta, duke e goditur veten me krenari në gjoks, duke deklaruar me zë të lartë : "Unë isha i pari që vërtetova teoremën e Fermat!" Çdo fermer, edhe nëse ishte i dhjetëmijtë, e konsideronte veten të parën - kjo ishte qesharake. Pamja e thjeshtë e Teoremës së Madhe u kujtoi fermerëve një objektiv kaq të lehtë saqë ata nuk ishin aspak të turpëruar që as Euler dhe Gauss nuk mund ta përballonin atë.

(Fermatistët, çuditërisht, ekzistojnë edhe sot. Edhe pse njëri prej tyre nuk mendoi se e kishte vërtetuar teoremën, si një Fermatist klasik, ai bëri përpjekje deri vonë - ai refuzoi të më besonte kur i thashë se teorema e Fermatit ishte tashmë e provuar).

Matematicienët më të fuqishëm, ndoshta, në qetësinë e zyrave të tyre, u përpoqën t'i afroheshin me kujdes edhe kësaj shtange të pamundur, por nuk e thanë me zë të lartë, që të mos damkoseshin si fermerë dhe, kësisoj, të mos dëmtonin autoritetin e tyre të lartë.

Në atë kohë, ishte shfaqur një provë e teoremës për eksponentin n

Teorema- një deklaratë, korrektësia e së cilës vërtetohet përmes arsyetimit, provave. Një shembull i një teoreme do të ishte pohimi se shuma e këndeve të një trekëndëshi arbitrar është e barabartë me 180° Kjo mund të verifikohet në mënyrë eksperimentale: vizatoni një trekëndësh, matni vlerat e këndeve të tij me një raportor dhe duke i shtuar ato. , sigurohuni që shuma të jetë e barabartë me 180° (në çdo rast, brenda kufijve të saktësisë së matjes që lejon raportori).

Ky test mund të përsëritet disa herë për trekëndësha të ndryshëm. Sidoqoftë, vlefshmëria e këtij pohimi përcaktohet në një kurs gjeometrie jo me verifikim eksperimental, por me anë të një prove që na bind se ky pohim është i vërtetë për çdo trekëndësh. Kështu, pohimi për shumën e këndeve të një trekëndëshi është një teoremë.

Në formulimet e teoremave, si rregull, gjenden fjalët "nëse". pastaj...", "nga... vijon:- ..", etj. Në këto raste, shenja përdoret për të shkurtuar shënimin => Le të marrim si shembull teoremën se pika M, po aq e largët nga dy pikat A dhe B, i përket boshtit të simetrisë së këtyre pikave (1). Mund të formulohet më hollësisht si vijon: (për çdo pikë A, B, M) (MA - MB) => (M i përket boshtit të simetrisë së pikave A dhe B).

Teorema të tjera gjeometrike mund të shkruhen në mënyrë të ngjashme: së pari vjen pjesa shpjeguese e teoremës (duke përshkruar cilat pika ose shifra konsiderohen në teoremë), dhe më pas dy pohime të lidhura me shenjën =>. I pari nga këto pohime, që qëndron pas pjesës shpjeguese dhe para shenjës =>, quhet kushti i teoremës, i dyti, që qëndron pas shenjës =>, quhet përfundim i teoremës.

Duke ndërruar kushtin dhe përfundimin dhe duke e lënë të pandryshuar pjesën shpjeguese, marrim një teoremë të re, e cila quhet anasjellta e asaj origjinale. Për shembull, për teoremën e diskutuar më sipër, e kundërta do të jetë si vijon: (për çdo pikë A, B, M) (pika M i përket boshtit të simetrisë së pikave A dhe B) => (MA - MB). Shkurtimisht: nëse pika M i përket boshtit të simetrisë së pikave A dhe B, atëherë pika M është po aq e largët nga pikat A dhe B. Në këtë rast, si teorema origjinale ashtu edhe anasjellta e saj janë të vlefshme.

Megjithatë, vetëm për shkak se një teoremë është e vërtetë, nuk rrjedh gjithmonë se e kundërta e saj është gjithashtu e vërtetë.

Një rol të madh në matematikë luajnë të ashtuquajturat teorema të ekzistencës, të cilat deklarojnë vetëm ekzistencën e një numri, figure etj., por nuk tregojnë se si mund të gjendet ky numër (ose figurë). Për shembull: çdo ekuacion x" + -t-atx"-1 + a2xb~2 + ...I me koeficientë realë ka të paktën një rrënjë reale për n tek, domethënë ka një numër x0eR që është rrënja e këtë ekuacion.

Disa lloje teoremash u jepen emra të veçantë, për shembull, lemë, përfundim. Ata kanë një hije shtesë. Një lemë zakonisht quhet një teoremë ndihmëse, e cila në vetvete është me pak interes, por është e nevojshme për atë që vijon. Një përfundim është një deklaratë që mund të nxirret lehtësisht nga diçka e provuar më parë.

Ndonjëherë një teoremë quhet diçka që më saktë do të quhej hipotezë. Për shembull, teorema e fundit e Fermatit, e cila thotë se ekuacioni x* + y" = z* nuk ka zgjidhje pozitive të numrave të plotë për n > 2, nuk është vërtetuar ende.

Së bashku me aksiomat dhe përkufizimet, teoremat janë llojet kryesore të fjalive matematikore. Faktet e rëndësishme të çdo shkence matematikore (gjeometria, algjebra, teoria e funksionit, teoria e probabilitetit etj.) formulohen në formën e teoremave.

Megjithatë, zotërimi i matematikës nuk kufizohet vetëm në mësim aksiomat, përkufizimet dhe teoremat bazë. Edukimi i matematikës përfshin gjithashtu aftësinë për të lundruar në pasurinë e fakteve të teorisë matematikore, zotërimin e metodave themelore për zgjidhjen e problemeve, të kuptuarit e ideve që qëndrojnë në themel të matematikës dhe aftësinë për të zbatuar njohuritë matematikore në zgjidhjen e problemeve praktike.

Jo më pak të rëndësishme janë përfaqësimi hapësinor, aftësitë grafike të "vizionit", aftësia për të gjetur shembuj që ilustrojnë një koncept të veçantë matematikor, etj. Kështu, teoremat përbëjnë vetëm "kornizën" formale të një teorie matematikore dhe njohja me teoremat përfaqëson vetëm fillimin e një zotërimi të thellë të matematikës.

Ne kemi parë tashmë se nëse një sekuencë numerike ka një kufi, atëherë elementët e kësaj sekuence i afrohen sa më afër që të jetë e mundur. Edhe në një distancë shumë të vogël, gjithmonë mund të gjeni dy elementë, distanca e të cilëve do të jetë edhe më e vogël. Kjo quhet sekuenca themelore, ose sekuenca Cauchy. A mund të themi se kjo sekuencë ka një kufi? Nëse është formuar më

Nëse marrim një katror me brinjë të barabartë me një, mund të llogarisim lehtësisht diagonalen e tij duke përdorur teoremën e Pitagorës: $d^2=1^2+1^2=2$, domethënë vlera e diagonales do të jetë e barabartë. në $\sqrt 2$. Tani kemi dy numra, 1 dhe $\sqrt 2$, të përfaqësuar nga dy segmente rreshtash. Megjithatë, ne nuk do të mund të krijojmë një marrëdhënie mes tyre, siç kemi bërë më parë. E pamundur

Përcaktimi se ku ndodhet pika P - brenda ose jashtë një figure të caktuar - ndonjëherë është shumë e thjeshtë, si për shembull për figurën e paraqitur në figurë: Megjithatë, për figura më komplekse, si ajo e paraqitur më poshtë, kjo është më e vështirë të bëhet. . Për ta bërë këtë, duhet të vizatoni një vijë me laps. Megjithatë, kur kërkojmë përgjigje për pyetje si këto, mund të përdorim një të thjeshtë,

Zakonisht formulohet si më poshtë: çdo numër natyror përveç 1 mund të përfaqësohet në mënyrë unike si prodhim i numrave të thjeshtë, ose si kjo: çdo numër natyror mund të përfaqësohet në mënyrë unike si produkt i fuqive të numrave të thjeshtë quhet kanonik, edhe pse jo gjithmonë, që kërkon Kjo është në mënyrë që faktorët kryesorë të hyjnë në këtë zgjerim në rend rritës.

Kjo teoremë është jashtëzakonisht e dobishme për zgjidhjen e problemeve që përfshijnë mbetjet e fuqive, dhe megjithëse është një teoremë krejtësisht serioze nga teoria e numrave dhe nuk përfshihet në kursin shkollor, vërtetimi i saj mund të kryhet në një nivel normal shkollor. Mund të kryhet në mënyra të ndryshme, dhe një nga provat më të thjeshta bazohet në formulën e binomit, ose binomin e Njutonit, i cili

Shpesh në literaturën metodologjike mund të gjendet një kuptim i provave indirekte si provë me kontradiktë. Në fakt, ky është një interpretim shumë i ngushtë i këtij koncepti. Metoda e vërtetimit me kontradiktë është një nga metodat më të famshme të provës indirekte, por është larg nga e vetmja. Metodat e tjera indirekte të provës, megjithëse përdoren shpesh në një nivel intuitiv, rrallë realizohen, dhe

Shpesh, mësuesit, duke përdorur produktin skalar të vektorëve, provojnë pothuajse menjëherë teoremën e Pitagorës dhe teoremën e kosinusit. Kjo është sigurisht joshëse. Megjithatë, kërkohet koment. Në paraqitjen tradicionale, shpërndarja e produktit skalar të vektorëve vërtetohet më vonë se teorema e Pitagorës, pasi kjo e fundit përdoret në këtë vërtetim, të paktën në mënyrë indirekte. Variantet e kësaj prove janë të mundshme. Në tekstet shkollore të gjeometrisë, si