Tani do ta kuptojmë numrat pozitivë dhe negativë. Së pari, ne do të japim përkufizime, do të prezantojmë shënimin dhe më pas do të japim shembuj të numrave pozitivë dhe negativë. Do të ndalemi edhe te ngarkesa semantike që bartin numrat pozitivë dhe negativë.
Navigimi i faqes.
Numrat pozitivë dhe negativë - Përkufizime dhe shembuj
Jepni identifikimin e numrave pozitivë dhe negativë do të na ndihmojë. Për lehtësi, do të supozojmë se është e vendosur horizontalisht dhe e drejtuar nga e majta në të djathtë.
Përkufizimi.
Numrat që korrespondojnë me pikat e vijës së koordinatave që shtrihen në të djathtë të origjinës quhen pozitive.
Përkufizimi.
Quhen numrat që u përgjigjen pikave të vijës koordinative që shtrihen në të majtë të origjinës negativ.
Numri zero, i cili korrespondon me origjinën, nuk është as pozitiv dhe as negativ.
Nga përkufizimi i numrave negativë dhe pozitivë rezulton se bashkësia e të gjithë numrave negativë është bashkësia e numrave përballë të gjithë numrave pozitivë (nëse është e nevojshme, shihni artikullin numrat e kundërt). Prandaj, numrat negativë shkruhen gjithmonë me një shenjë minus.
Tani, duke ditur përkufizimet e numrave pozitivë dhe negativë, mund të japim lehtësisht shembuj të numrave pozitivë dhe negativë. Shembuj të numrave pozitivë janë numrat natyrorë 5, 792 dhe 101,330, dhe në të vërtetë çdo numër natyror është pozitiv. Shembuj të numrave racionalë pozitivë janë numrat , 4,67 dhe 0,(12)=0,121212... , dhe ata negativë janë numrat , −11 , −51,51 dhe −3,(3) . Shembuj të numrave irracionalë pozitivë përfshijnë numrin pi, numrin e dhe thyesën dhjetore joperiodike të pafundme 809.030030003..., dhe shembujt e numrave irracionalë negativë përfshijnë numrat minus pi, minus e dhe numrin e barabartë me. Duhet të theksohet se në shembullin e fundit nuk është aspak e qartë se vlera e shprehjes është një numër negativ. Për ta zbuluar me siguri, duhet të merrni vlerën e kësaj shprehje në formën e një fraksioni dhjetor, dhe ne do t'ju tregojmë se si ta bëni këtë në artikull krahasimi i numrave realë.
Ndonjëherë numrave pozitivë paraprihen nga një shenjë plus, ashtu si numrat negativë paraprihen nga një shenjë minus. Në këto raste, duhet të dini se +5=5, 
e kështu me radhë. Kjo është, +5 dhe 5, etj. - ky është i njëjti numër, por i caktuar ndryshe. Për më tepër, mund të hasni në përkufizime të numrave pozitivë dhe negativë bazuar në shenjën plus ose minus.
Përkufizimi.
Numrat me shenjë plus quhen pozitive, dhe me një shenjë minus - negativ.
Ekziston një përkufizim tjetër i numrave pozitivë dhe negativë bazuar në krahasimin e numrave. Për të dhënë këtë përkufizim, mjafton vetëm të kujtojmë se pika në vijën koordinative që i korrespondon numrit më të madh shtrihet në të djathtë të pikës që i korrespondon numrit më të vogël.
Përkufizimi.
Numrat pozitivë janë numra që janë më të mëdhenj se zero, dhe numra negativ janë numra më të vegjël se zero.
Kështu, lloji zero ndan numrat pozitivë nga ata negativë.
Natyrisht, duhet të ndalemi edhe te rregullat e leximit të numrave pozitivë dhe negativë. Nëse një numër shkruhet me një shenjë + ose −, atëherë shqiptoni emrin e shenjës, pas së cilës shqiptohet numri. Për shembull, +8 lexohet si plus tetë, dhe - si minus një pikë dy të pestat. Emrat e shenjave + dhe − nuk refuzohen sipas rastit. Një shembull i shqiptimit të saktë është fraza "a është e barabartë me minus tre" (jo minus tre).
Interpretimi i numrave pozitivë dhe negativë
Ne kemi përshkruar numra pozitivë dhe negativë për një kohë të gjatë. Megjithatë, do të ishte mirë të dinim se çfarë kuptimi kanë ato? Le të shohim këtë çështje.
Numrat pozitivë mund të interpretohen si një mbërritje, si një rritje, si një rritje në disa vlera dhe të ngjashme. Numrat negativë, nga ana tjetër, nënkuptojnë saktësisht të kundërtën - shpenzime, mangësi, borxhe, ulje të ndonjë vlere, etj. Le ta kuptojmë këtë me shembuj.
Mund të themi se kemi 3 artikuj. Këtu numri pozitiv 3 tregon numrin e artikujve që kemi. Si mund ta interpretoni numrin negativ −3? Për shembull, numri −3 mund të nënkuptojë që ne duhet t'i japim dikujt 3 artikuj që as nuk i kemi në magazinë. Në mënyrë të ngjashme, mund të themi se në arkë na u dhanë 3.45 mijë rubla. Kjo do të thotë, numri 3.45 lidhet me ardhjen tonë. Nga ana tjetër, një numër negativ -3.45 do të tregojë një ulje të parave në arkën që na ka lëshuar këto para. Kjo do të thotë, −3.45 është shpenzimi. Një shembull tjetër: një rritje e temperaturës prej 17.3 gradë mund të përshkruhet si një numër pozitiv +17.3, dhe një ulje e temperaturës prej 2.4 mund të përshkruhet duke përdorur një numër negativ, si një ndryshim i temperaturës prej -2.4 gradë.
Numrat pozitivë dhe negativë përdoren shpesh për të përshkruar vlerat e sasive të caktuara në instrumente të ndryshme matëse. Shembulli më i arritshëm është një pajisje për matjen e temperaturave - një termometër - me një shkallë në të cilën janë shkruar numrat pozitivë dhe negativë. Shpesh, numrat negativ përshkruhen me ngjyrë blu (ajo simbolizon borën, akullin dhe në temperatura nën zero gradë Celsius, uji fillon të ngrijë), dhe numrat pozitivë shkruhen me të kuqe (ngjyra e zjarrit, dielli; në temperatura mbi zero gradë , akulli fillon të shkrihet). Shkrimi i numrave pozitivë dhe negativë me ngjyrë të kuqe dhe blu përdoret edhe në raste të tjera kur duhet të nënvizoni shenjën e numrave.
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya. dhe të tjerët. Klasa e 6-të: tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm.
Le të themi se Denisi ka shumë ëmbëlsira - një kuti krejt e madhe. Së pari Denisi hëngri 3 karamele. Pastaj babai i dha Denisit 5 karamele. Pastaj Denis i dha Matvey 9 karamele. Më në fund, mami i dha Denisit 6 karamele. Pyetje: A përfundoi Denisi me pak a shumë karamele sesa kishte në fillim? Nëse më shumë, sa më shumë? Nëse më pak, sa më pak?
Për të mos u ngatërruar me këtë detyrë, është e përshtatshme të përdorni një mashtrim. Le t'i shkruajmë të gjithë numrat me radhë nga kushti. Në të njëjtën kohë, ne do të vendosim një shenjë "+" përpara numrave që tregojnë se sa ëmbëlsira ka fituar Denis dhe një shenjë "−" përpara numrave që tregojnë se sa ëmbëlsira ka rënë Denis. Pastaj i gjithë kushti do të shkruhet shumë shkurt:
− 3 + 5 − 9 + 6.
Kjo hyrje mund të lexohet, për shembull, si kjo: "Së pari Denis mori minus tre karamele. Pastaj plus pesë karamele. Pastaj minus nëntë karamele. Dhe së fundi, plus gjashtë ëmbëlsira.” Fjala "minus" ndryshon kuptimin e frazës në të kundërtën. Kur them: "Denis mori minus tre karamele", kjo në të vërtetë do të thotë që Denisi humbi tre karamele. Fjala "plus", përkundrazi, konfirmon kuptimin e frazës. "Denis mori plus pesë ëmbëlsira" do të thotë e njëjta gjë si thjesht "Denis mori pesë ëmbëlsira".
Pra, së pari Denis mori minus tre karamele. Kjo do të thotë që Denisi tani ka minus tre karamele më shumë sesa kishte në fillim. Për shkurtësi, mund të themi: Denisi ka minus tre karamele.
Pastaj Denisi mori plus pesë karamele. Është e lehtë të kuptosh se Denis tani ka edhe dy karamele të tjera. Do të thotë,
− 3 + 5 = + 2.
Pastaj Denisi mori minus nëntë ëmbëlsira. Dhe ja sa karamele kishte:
− 3 + 5 − 9 = + 2 − 9 = − 7.
Më në fund Denis mori +6 karamele të tjera. Dhe sasia totale e karamele u bë:
− 3 + 5 − 9 + 6 = + 2 − 9 + 6 = − 7 + 6 = − 1.
Në gjuhën e zakonshme, kjo do të thotë se në fund Denisi përfundoi me një karamele më pak se sa kishte në fillim. Problemi është zgjidhur.
Truku me shenjat "+" ose "−" përdoret shumë gjerësisht. Numrat me shenjën "+" quhen pozitive. Numrat me shenjën “−” quhen negativ. Numri 0 (zero) nuk është as pozitiv as negativ, sepse +0 nuk është i ndryshëm nga -0. Kështu, kemi të bëjmë me numra nga seria
..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...
Numra të tillë quhen numra të plotë. Dhe thirren ata numra që nuk kanë fare shenjë dhe me të cilët jemi marrë deri tani numrat natyrorë(vetëm zero nuk vlen për numrat natyrorë).
Numrat e plotë mund të mendohen si shkallë në një shkallë. Numri zero është ulja, e cila është në nivel me rrugën. Nga këtu mund të ngjiteni, hap pas hapi, në katet më të larta, ose mund të zbrisni në bodrum. Për sa kohë që nuk kemi nevojë të futemi në bodrum, na mjaftojnë vetëm numrat natyrorë dhe zeroja. Numrat natyrorë janë në thelb të njëjtë me numrat e plotë pozitivë.
Në mënyrë të rreptë, një numër i plotë nuk është një numër hapi, por një urdhër për të ngjitur shkallët. Për shembull, numri +3 do të thotë që ju duhet të ngjiteni tre shkallë, dhe numri -5 do të thotë që duhet të zbrisni pesë shkallë. Një komandë merret thjesht si numri i një hapi, i cili na çon në një hap të caktuar nëse fillojmë të lëvizim nga niveli zero.
Llogaritjet me numra të plotë janë të lehta për t'u bërë thjesht duke kërcyer mendërisht lart ose poshtë hapave - përveç nëse, sigurisht, ju duhet të bëni kërcime shumë të mëdha. Por çfarë të bëni kur duhet të hidhni njëqind ose më shumë hapa? Në fund të fundit, ne nuk do të vizatojmë një shkallë kaq të gjatë!
Por pse jo? Mund të vizatojmë një shkallë të gjatë nga një distancë kaq e madhe sa hapat individualë nuk dallohen më. Atëherë shkallët tona thjesht do të kthehen në një vijë të drejtë. Dhe për ta bërë më të përshtatshëm vendosjen e tij në faqe, le ta vizatojmë pa u anuar dhe veçmas të shënojmë pozicionin e hapit 0.
Së pari, le të mësojmë se si të kërcejmë përgjatë një linje kaq të drejtë duke përdorur shembullin e shprehjeve, vlerat e të cilave kemi qenë prej kohësh në gjendje t'i llogarisim. Le të kërkohet për të gjetur
Në mënyrë të rreptë, duke qenë se kemi të bëjmë me numra të plotë, duhet të shkruajmë
Por një numër pozitiv në fillim të një rreshti zakonisht nuk ka një shenjë "+". Kërcimi i shkallëve duket diçka si kjo:
Në vend të dy kërcimeve të mëdha të tërhequra mbi vijën (+42 dhe +53), mund të bëni një kërcim të tërhequr poshtë vijës, dhe gjatësia e këtij kërcimi, natyrisht, është e barabartë me
Në gjuhën matematikore, këto lloj vizatimesh zakonisht quhen diagrame. Kjo është se si duket diagrami për shembullin tonë të zakonshëm të zbritjes:
Fillimisht bëmë një kërcim të madh djathtas, pastaj një kërcim më të vogël majtas. Si rezultat, ne mbetëm në të djathtë të zeros. Por është e mundur edhe një situatë tjetër, si, për shembull, në rastin e shprehjes
Këtë herë kërcimi në të djathtë doli të ishte më i shkurtër se kërcimi në të majtë: ne fluturuam mbi zero dhe përfunduam në "bodrum" - ku ndodhen hapat me numra negativë. Le të hedhim një vështrim më të afërt në kërcimin tonë në të majtë. Në total kemi ngjitur 95 shkallë. Pasi ngjitëm 53 shkallë, arritëm në pikën 0. Pyetja është, sa shkallë kemi ngjitur pas kësaj? Mirë sigurisht
Kështu, sapo ishim në hapin 0, zbritëm edhe 42 shkallë të tjera, që do të thotë se më në fund arritëm në hapin numër -42. Kështu që,
53 − 95 = −(95 − 53) = −42.
Po kështu, duke vizatuar diagrame, është e lehtë të përcaktohet kjo
−42 − 53 = −(42 + 53) = −95;
−95 + 53 = −(95 − 53) = −42;
dhe në fund
−53 + 95 = 95 − 53 = 42.
Kështu, ne kemi mësuar të udhëtojmë lirshëm nëpër të gjithë shkallët e numrave të plotë.
Le të shqyrtojmë tani këtë problem. Denis dhe Matvey shkëmbejnë mbështjellës karamele. Në fillim Denis i dha Matvey 3 mbështjellës karamele, dhe më pas i mori 5 mbështjellës karamele. Sa mbështjellës karamele mori në fund Matvey?
Por meqenëse Denis mori 2 mbështjellës karamele, atëherë Matvey mori -2 mbështjellës karamele. Ne i shtuam një minus fitimit të Denisit dhe morëm fitimin e Matvey. Zgjidhja jonë mund të shkruhet si një shprehje e vetme
−(−3 + 5) = −2.
Gjithçka është e thjeshtë këtu. Por le të modifikojmë pak deklaratën e problemit. Lëreni Denisin së pari t'i japë Matvey-t 5 mbështjellës karamele dhe më pas të marrë 3 mbështjellës karamele prej tij. Pyetja është, përsëri, sa mbështjellës karamele mori në fund Matvey?
Përsëri, së pari le të llogarisim "fitimin" e Denisit:
−5 + 3 = −2.
Kjo do të thotë që Matvey mori 2 mbështjellës karamele. Por si mund ta shkruajmë tani vendimin tonë si një shprehje e vetme? Çfarë do t'i shtonit numrit negativ −2 për të marrë numrin pozitiv 2? Rezulton se këtë herë duhet të caktojmë një shenjë minus. Matematikanët janë shumë të dhënë pas uniformitetit. Ata përpiqen të sigurojnë që zgjidhjet e problemeve të ngjashme të shkruhen në formën e shprehjeve të ngjashme. Në këtë rast, zgjidhja duket si kjo:
−(−5 + 3) = −(−2) = +2.
Kështu ranë dakord matematikanët: nëse një numri pozitiv i shtoni një minus, ai kthehet në negativ, dhe nëse i shtoni një minus një numri negativ, atëherë ai kthehet në një pozitiv. Kjo është shumë logjike. Në fund të fundit, zbritja minus dy shkallë është e njëjtë me ngjitjen plus dy shkallë. Kështu që,
−(+2) = −2;
−(−2) = +2.
Për të plotësuar figurën, vërejmë gjithashtu se
+(+2) = +2;
+(−2) = −2.
Kjo na jep mundësinë t'i hedhim një vështrim të ri gjërave që kanë qenë prej kohësh të njohura. Le të jepet shprehja
Kuptimi i kësaj hyrjeje mund të imagjinohet në mënyra të ndryshme. Ju mund, në mënyrën e vjetër, të supozoni se numri pozitiv +3 zbritet nga numri pozitiv +5:
Në këtë rast quhet +5 të reduktueshme, +3 - i zbritshëm, dhe e gjithë shprehja është ndryshim. Kjo është pikërisht ajo që ata mësojnë në shkollë. Megjithatë, fjalët "reduktuar" dhe "zbritur" nuk përdoren askund përveçse në shkollë dhe mund të harrohen pas testit përfundimtar. Rreth kësaj hyrjeje mund të themi se numri negativ −3 i shtohet numrit pozitiv +5:
Quhen numrat +5 dhe −3 kushtet, dhe e gjithë shprehja është shuma. Ka vetëm dy terma në këtë shumë, por, në përgjithësi, shuma mund të përbëhet nga aq terma sa të doni. Po kështu shprehja
me të drejtë të barabartë mund të konsiderohet si shuma e dy numrave pozitivë:
dhe si ndryshim midis numrave pozitivë dhe negativë:
(+5) − (−3).
Pasi të jemi njohur me numrat e plotë, duhet patjetër të sqarojmë rregullat për hapjen e kllapave. Nëse ka një shenjë "+" përpara kllapave, atëherë kllapa të tilla thjesht mund të fshihen, dhe të gjithë numrat në to ruajnë shenjat e tyre, për shembull:
+(+2) = +2;
+(−2) = −2;
+(−3 + 5) = −3 + 5;
+(−3 − 5) = −3 − 5;
+(5 − 3) = 5 − 3
e kështu me radhë.
Nëse ka një shenjë "−" përpara kllapave, atëherë kur fshijmë kllapa, duhet të ndryshojmë edhe shenjat e të gjithë numrave në të:
−(+2) = −2;
−(−2) = +2;
−(−3 + 5) = +3 − 5 = 3 − 5;
−(−3 − 5) = +3 + 5 = 3 + 5;
−(5 − 3) = −(+5 − 3) = −5 + 3;
e kështu me radhë.
Në të njëjtën kohë, është e dobishme të mbani në mend problemin e shkëmbimit të mbështjellësve të ëmbëlsirave midis Denis dhe Matvey. Për shembull, rreshti i fundit mund të merret si kjo. Ne besojmë se Denis së pari mori 5 mbështjellës karamele nga Matvey, dhe më pas -3 të tjera. Në total, Denis mori 5 − 3 mbështjellës karamele, dhe Matvey mori të njëjtin numër, por me shenjën e kundërt, domethënë −(5 − 3) mbështjellës karamele. Por i njëjti problem mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër, duke pasur parasysh se sa herë që Denisi merr, Matvey jep. Kjo do të thotë që në fillim Matvey mori -5 mbështjellës karamele, dhe më pas një tjetër +3, që në fund jep -5 + 3.
Ashtu si numrat natyrorë, numrat e plotë mund të krahasohen me njëri-tjetrin. Le të bëjmë, për shembull, pyetjen: cili numër është më i madh: −3 apo −1? Le të shohim shkallën me numra të plotë, dhe menjëherë bëhet e qartë se −1 është më i madh se −3, dhe për këtë arsye −3 është më i vogël se −1:
−1 > −3;
−3 < −1.
Tani le të sqarojmë: sa më shumë është −1 se −3? Me fjalë të tjera, sa hapa duhet të ngjiteni për të kaluar nga hapi −3 në hapin −1? Përgjigja për këtë pyetje mund të shkruhet si ndryshim midis numrave −1 dhe −3:
− 1 − (−3) = −1 + 3 = 3 − 1 = 2.
Duke kërcyer shkallët, është e lehtë të kontrollosh nëse është kështu. Këtu është një pyetje tjetër interesante: sa më i madh është numri 3 se numri 5? Ose, e cila është e njëjta gjë: sa hapa duhet të ngjiteni për të kaluar nga hapi 5 në hapin 3? Deri vonë, kjo pyetje do të na kishte hutuar. Por tani mund ta shkruajmë lehtësisht përgjigjen:
3 − 5 = − 2.
Në të vërtetë, nëse jemi në hapin 5 dhe ngjitemi −2 shkallë të tjera, do të përfundojmë pikërisht në hapin 3.
Detyrat
2.3.1. Cili është kuptimi i frazave të mëposhtme?
Denisi i dha babait minus tre karamele.
Matvey është minus dy vjet më i madh se Denis.
Për të arritur në banesën tonë, duhet të zbrisni minus dy kate.
2.3.2. A kanë kuptim fraza të tilla?
Denisi ka minus tre karamele.
Minus dy lopë po kullosin në livadh.
Komentoni. Ky problem nuk ka një zgjidhje unike. Nuk do të ishte gabim, sigurisht, të thuash se këto deklarata janë të pakuptimta. Dhe në të njëjtën kohë, atyre mund t'u jepet një kuptim shumë i qartë. Le të themi se Denis ka një kuti të madhe të mbushur deri në buzë me ëmbëlsira, por përmbajtja e kësaj kutie nuk llogaritet. Ose le të themi se dy lopë nga tufa nuk dolën për të kullotur në livadh, por për disa arsye mbetën në hambar. Vlen të kihet parasysh se edhe frazat më të njohura mund të jenë të paqarta:
Denisi ka tre karamele.
Kjo deklaratë nuk përjashton mundësinë që Denisi të ketë një kuti të madhe me karamele të fshehura diku tjetër, por ato karamele thjesht mbahen të heshtura. Në të njëjtën mënyrë, kur them: "Unë kam pesë rubla", nuk dua të them se kjo është e gjithë pasuria ime.
2.3.3. Karkaleca kërcen nga shkallët, duke u nisur nga kati ku ndodhet banesa e Denisit. Fillimisht ai kërceu 2 shkallë poshtë, më pas 5 shkallë lart dhe në fund 7 shkallë poshtë. Sa hapa dhe në cilin drejtim lëvizi karkaleca?
2.3.4. Gjeni kuptimin e shprehjeve:
− 6 + 10;
− 28 + 76;
e kështu me radhë.
− 6 + 10 = 10 − 6 = 4.
2.3.5. Gjeni kuptimin e shprehjeve:
8 − 20;
34 − 98;
e kështu me radhë.
8 − 20 = − (20 − 8) = − 12.
2.3.6. Gjeni kuptimin e shprehjeve:
− 4 − 13;
− 48 − 53;
e kështu me radhë.
− 4 − 13 = − (4 + 13) = − 17.
2.3.7. Për shprehjet e mëposhtme, gjeni vlerat duke kryer llogaritjet në rendin e specifikuar nga kllapat. Pastaj hapni kllapat dhe sigurohuni që kuptimet e shprehjeve të mbeten të njëjta. Krijoni probleme për ëmbëlsirat që mund të zgjidhen në këtë mënyrë.
25 − (−10 + 4);
25 + (− 4 + 10);
e kështu me radhë.
25 − (− 10 + 4) = 25 − (−(10 − 4)) = 25 − (−6) = 25 + 6 = 31.
25 − (− 10 + 4) = 25 + 10 − 4 = 35 − 4 = 31.
“Denisi kishte 25 karamele. Ai i dha babait minus dhjetë karamele, dhe Matvey-t katër karamele. Sa karamele ka?
Numrat pozitivë dhe negativë
Linja e koordinatave
Le të shkojmë drejt. Le të shënojmë pikën 0 (zero) në të dhe të marrim këtë pikë si pikënisje.
Ne tregojmë me një shigjetë drejtimin e lëvizjes në një vijë të drejtë në të djathtë nga origjina e koordinatave. Në këtë drejtim nga pika 0 do të vizatojmë numra pozitivë.
Kjo do të thotë, numrat që tashmë janë të njohur për ne, përveç zeros, quhen pozitiv.
Ndonjëherë numrat pozitivë shkruhen me një shenjë "+". Për shembull, "+8".
Për shkurtësi, shenja "+" para një numri pozitiv zakonisht hiqet dhe në vend të "+8" ata thjesht shkruajnë 8.
Prandaj, "+3" dhe "3" janë i njëjti numër, vetëm të përcaktuar ndryshe.
Të zgjedhim një segment gjatësinë e të cilit e marrim si një dhe ta zhvendosim disa herë djathtas nga pika 0. Në fund të segmentit të parë shkruhet numri 1, në fund të të dytit - numri 2 etj. 
Duke e vendosur segmentin njësi majtas nga origjina marrim numra negativë: -1; -2; etj.
Numrat negativë përdoret për të treguar sasi të ndryshme, si: temperaturë (nën zero), rrjedhje - domethënë të ardhura negative, thellësi - lartësi negative dhe të tjera.
Siç shihet nga figura, numrat negativë janë numra të njohur tashmë për ne, vetëm me shenjën minus: -8; -5.25, etj.
- Numri 0 nuk është as pozitiv as negativ.
Boshti i numrave zakonisht pozicionohet horizontalisht ose vertikalisht.
Nëse vija e koordinatave është e vendosur vertikalisht, atëherë drejtimi lart nga origjina zakonisht konsiderohet pozitiv, dhe drejtimi poshtë nga origjina është negativ.
Shigjeta tregon drejtimin pozitiv.
Vija e drejtë e shënuar:
. prejardhja (pika 0);
. segment njësi;
. shigjeta tregon drejtimin pozitiv;
thirrur vijë koordinative
ose boshti numerik.
Numrat e kundërt në një vijë koordinative
Le të shënojmë dy pika A dhe B në vijën e koordinatave, të cilat ndodhen në të njëjtën distancë nga pika 0 në të djathtë dhe në të majtë, përkatësisht.
Në këtë rast, gjatësitë e segmenteve OA dhe OB janë të njëjta.
Kjo do të thotë se koordinatat e pikave A dhe B ndryshojnë vetëm në shenjë. 
Pikat A dhe B thuhet gjithashtu se janë simetrike në lidhje me origjinën.
Koordinata e pikës A është pozitive “+2”, koordinata e pikës B ka shenjën minus “-2”.
A (+2), B (-2).
- Numrat që ndryshojnë vetëm në shenjë quhen numra të kundërt. Pikat përkatëse të boshtit numerik (koordinativ) janë simetrike në raport me origjinën.
Çdo numër ka vetëm një numër të kundërt. Vetëm numri 0 nuk ka të kundërtën, por mund të themi se është e kundërta e vetvetes.
Shënimi "-a" nënkupton numrin e kundërt të "a". Mos harroni se një shkronjë mund të fshehë një numër pozitiv ose një numër negativ.
Shembull:
-3 është numri i kundërt i 3.
E shkruajmë si shprehje:
-3 = -(+3)
Shembull:
-(-6) është numri i kundërt me numrin negativ -6. Pra -(-6) është një numër pozitiv 6.
E shkruajmë si shprehje:
-(-6) = 6
Shtimi i numrave negativë
Shtimi i numrave pozitivë dhe negativë mund të analizohet duke përdorur vijën numerike.
Është i përshtatshëm për të kryer shtimin e numrave të vegjël të modulit në një vijë koordinative, duke imagjinuar mendërisht se si pika që tregon numrin lëviz përgjatë boshtit të numrave.
Le të marrim një numër, për shembull, 3. Le ta shënojmë në boshtin numerik me pikën A.
Le t'i shtojmë numrit pozitiv 2 Kjo do të thotë se pika A duhet të zhvendoset dy segmente njësi në drejtim pozitiv, domethënë në të djathtë. Si rezultat, marrim pikën B me koordinatën 5.
3 + (+ 2) = 5
Për të shtuar një numër negativ (- 5) në një numër pozitiv, për shembull, 3, pika A duhet të zhvendoset 5 njësi gjatësi në drejtim negativ, domethënë në të majtë.
Në këtë rast, koordinata e pikës B është - 2.
Pra, rendi i mbledhjes së numrave racionalë duke përdorur rreshtin numerik do të jetë si më poshtë:
. shënoni një pikë A në vijën koordinative me një koordinatë të barabartë me termin e parë;
. zhvendoseni atë në një distancë të barabartë me modulin e termit të dytë në drejtimin që korrespondon me shenjën përpara numrit të dytë (plus - lëvizni në të djathtë, minus - në të majtë);
. pika B e fituar në bosht do të ketë një koordinatë që do të jetë e barabartë me shumën e këtyre numrave.
Shembull.
- 2 + (- 6) =
Duke lëvizur nga pika - 2 në të majtë (pasi ka një shenjë minus përpara 6), marrim - 8.
- 2 + (- 6) = - 8
Mbledhja e numrave me të njëjtat shenja
Shtimi i numrave racionalë mund të jetë më i lehtë nëse përdorni konceptin e modulit.
Le të duhet të shtojmë numra që kanë të njëjtat shenja.
Për ta bërë këtë, ne hedhim poshtë shenjat e numrave dhe marrim modulet e këtyre numrave. Le të shtojmë modulet dhe të vendosim shenjën përpara shumës që ishte e zakonshme për këta numra.
Shembull. 
Një shembull i mbledhjes së numrave negativë.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5
- Për të shtuar numra të së njëjtës shenjë, duhet të shtoni modulet e tyre dhe të vendosni para shumës shenjën që ishte para termave.
Shtimi i numrave me shenja të ndryshme
Nëse numrat kanë shenja të ndryshme, atëherë ne veprojmë disi ndryshe sesa kur mbledhim numra me të njëjtat shenja.
. Ne i hedhim shenjat përpara numrave, domethënë marrim modulet e tyre.
. Nga moduli më i madh zbresim atë më të vogël.
. Para diferencës vendosim shenjën që ishte në numër me një modul më të madh.
Një shembull i mbledhjes së një numri negativ dhe pozitiv.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5
Një shembull i mbledhjes së numrave të përzier.
Për të shtuar numra të shenjave të ndryshme ju nevojiten:
. zbrit modulin më të vogël nga moduli më i madh;
. Para ndryshimit që rezulton, vendosni shenjën e numrit me modulin më të madh.
Zbritja e numrave negativë
Siç e dini, zbritja është e kundërta e mbledhjes.
Nëse a dhe b janë numra pozitivë, atëherë zbritja e numrit b nga numri a do të thotë gjetja e një numri c që, kur i shtohet numrit b, jep numrin a.
a - b = c ose c + b = a
Përkufizimi i zbritjes vlen për të gjithë numrat racionalë. Kjo eshte duke zbritur numrat pozitivë dhe negativë mund të zëvendësohet me shtesë.
- Për të zbritur një tjetër nga një numër, duhet të shtoni numrin e kundërt me atë që zbritet.
Ose, në një mënyrë tjetër, mund të themi se zbritja e numrit b është e njëjtë me mbledhjen, por me numrin e kundërt me b.
a - b = a + (- b)
Shembull.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Shembull.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
- Vlen të kujtohen shprehjet më poshtë.
- 0 - a = - a
- a - 0 = a
- a - a = 0
Rregullat për zbritjen e numrave negativë
Siç mund të shihet nga shembujt e mësipërm, zbritja e një numri b është një mbledhje me një numër të kundërt me b.
Ky rregull vlen jo vetëm kur zbrisni një numër më të vogël nga një numër më i madh, por gjithashtu ju lejon të zbrisni një numër më të madh nga një numër më i vogël, domethënë, gjithmonë mund të gjeni ndryshimin e dy numrave.
Dallimi mund të jetë një numër pozitiv, një numër negativ ose një numër zero.
Shembuj të zbritjes së numrave negativë dhe pozitivë.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Është e përshtatshme të mbani mend rregullin e shenjës, i cili ju lejon të zvogëloni numrin e kllapave.
Shenja plus nuk e ndryshon shenjën e numrit, kështu që nëse ka një plus para kllapave, shenja në kllapa nuk ndryshon.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Shenja minus para kllapave e kthen mbrapsht shenjën e numrit në kllapa.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Nga barazitë është e qartë se nëse ka shenja identike para dhe brenda kllapave, atëherë marrim "+", dhe nëse shenjat janë të ndryshme, atëherë marrim "-".
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Rregulli i shenjave ruhet edhe nëse kllapat nuk përmbajnë një numër, por një shumë algjebrike numrash.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Ju lutemi vini re se nëse ka disa numra në kllapa dhe ka një shenjë minus para kllapave, atëherë shenjat përpara të gjithë numrave në këto kllapa duhet të ndryshojnë.
Për të kujtuar rregullin e shenjave, mund të krijoni një tabelë për përcaktimin e shenjave të një numri.
Rregulla e shenjave për numrat
Ose mësoni një rregull të thjeshtë.
- Dy negative bëjnë një pohuese,
- Plus herë minus është i barabartë me minus.
Shumëzimi i numrave negativë
Duke përdorur konceptin e modulit të një numri, ne formulojmë rregullat për shumëzimin e numrave pozitivë dhe negativë.
Shumëzimi i numrave me të njëjtat shenja
Rasti i parë që mund të hasni është shumëzimi i numrave me të njëjtat shenja.
Për të shumëzuar dy numra me të njëjtat shenja:
. shumëzoni modulet e numrave;
. vendosni një shenjë "+" përpara produktit që rezulton (kur shkruani përgjigjen, shenja "plus" para numrit të parë në të majtë mund të hiqet).
Shembuj të shumëzimit të numrave negativë dhe pozitivë.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6
Shumëzimi i numrave me shenja të ndryshme
Rasti i dytë i mundshëm është shumëzimi i numrave me shenja të ndryshme.
Për të shumëzuar dy numra me shenja të ndryshme:
. shumëzoni modulet e numrave;
. Vendosni një shenjë "-" përpara punës që rezulton.
Shembuj të shumëzimit të numrave negativë dhe pozitivë.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4
Rregullat për shenjat e shumëzimit
Të kujtosh rregullin e shenjave për shumëzim është shumë e thjeshtë. Ky rregull përkon me rregullin për hapjen e kllapave.
- Dy negative bëjnë një pohuese,
- Plus herë minus është i barabartë me minus.
Në shembujt "të gjatë", në të cilët ka vetëm një veprim shumëzimi, shenja e produktit mund të përcaktohet nga numri i faktorëve negativë.
Në madje numri i faktorëve negativë, rezultati do të jetë pozitiv, dhe me i çuditshëm sasi - negative.
Shembull.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =
Ka pesë faktorë negativë në shembull. Kjo do të thotë që shenja e rezultatit do të jetë "minus".
Tani le të llogarisim produktin e modulit, duke mos i kushtuar vëmendje shenjave.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728
Rezultati përfundimtar i shumëzimit të numrave origjinal do të jetë:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728
Duke shumëzuar me zero dhe një
Nëse midis faktorëve ka një numër zero ose një pozitiv, atëherë shumëzimi kryhet sipas rregullave të njohura.
. 0 . a = 0
. a. 0 = 0
. a. 1 = a
Shembuj:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Uniteti negativ (- 1) luan një rol të veçantë gjatë shumëzimit të numrave racionalë.
- Kur shumëzohet me (- 1), numri kthehet mbrapsht.
Në shprehje fjalë për fjalë, kjo pronë mund të shkruhet:
a. (- 1) = (- 1) . a = - a
Gjatë mbledhjes, zbritjes dhe shumëzimit të numrave racionalë së bashku, ruhet rendi i veprimeve të vendosura për numrat pozitivë dhe zero.
Një shembull i shumëzimit të numrave negativë dhe pozitivë.
Pjesëtimi i numrave negativë
Mënyra e ndarjes së numrave negativ është e lehtë për t'u kuptuar duke kujtuar se pjesëtimi është anasjellta e shumëzimit.
Nëse a dhe b janë numra pozitivë, atëherë pjesëtimi i numrit a me numrin b nënkupton gjetjen e një numri c që, kur shumëzohet me b, jep numrin a.
Ky përkufizim i pjesëtimit zbatohet për çdo numër racional përderisa pjesëtuesit nuk janë zero.
Prandaj, për shembull, pjesëtimi i numrit (- 15) me numrin 5 do të thotë gjetja e një numri që, kur shumëzohet me numrin 5, jep numrin (- 15). Ky numër do të jetë (- 3), pasi
(- 3) . 5 = - 15
Do të thotë
(- 15) : 5 = - 3
Shembuj të pjesëtimit të numrave racionalë.
1. 10: 5 = 2, pasi 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2, pasi 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6, pasi (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, pasi (- 3) . (- 4) = 12
Nga shembujt shihet qartë se herësi i dy numrave me shenja të njëjta është një numër pozitiv (shembulli 1, 2), dhe herësi i dy numrave me shenja të ndryshme është një numër negativ (shembulli 3,4).
Rregullat për pjesëtimin e numrave negativë
Për të gjetur modulin e një herësi, duhet të ndani modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit.
Pra, për të ndarë dy numra me të njëjtat shenja, duhet:
. Vendosni një shenjë "+" përpara rezultatit.
Shembuj të pjesëtimit të numrave me të njëjtat shenja:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2
Për të ndarë dy numra me shenja të ndryshme, duhet:
. ndani modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit;
. Vendosni një shenjë "-" përpara rezultatit.
Shembuj të pjesëtimit të numrave me shenja të ndryshme:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Ju gjithashtu mund të përdorni tabelën e mëposhtme për të përcaktuar shenjën e herësit.
Rregulla e shenjave për ndarje
Kur llogaritni shprehjet "të gjata" në të cilat shfaqen vetëm shumëzimi dhe pjesëtimi, është shumë i përshtatshëm të përdoret rregulli i shenjës. Për shembull, për të llogaritur një fraksion
Ju lutemi vini re se numëruesi ka 2 shenja minus, të cilat kur shumëzohen do të japin një plus. Ka edhe tre shenja minus në emërues, të cilat kur shumëzohen do të japin një shenjë minus. Prandaj, në fund rezultati do të dalë me një shenjë minus.
Reduktimi i një fraksioni (veprimet e mëtejshme me modulet e numrave) kryhet në të njëjtën mënyrë si më parë:
- Herësi i zeros i pjesëtuar me një numër tjetër nga zero është zero.
- 0: a = 0, a ≠ 0
- NUK MUND të pjesëtosh me zero!
Të gjitha rregullat e njohura më parë të pjesëtimit me një zbatohen gjithashtu për grupin e numrave racionalë.
. a: 1 = a
. a: (- 1) = - a
. a: a = 1
, ku a është çdo numër racional.
Marrëdhëniet midis rezultateve të shumëzimit dhe pjesëtimit, të njohura për numrat pozitivë, mbeten të njëjta për të gjithë numrat racionalë (përveç zeros):
. nese nje . b = c; a = c: b; b = c: a;
. nëse a: b = c; a = c. b; b = a: c
Këto varësi përdoren për të gjetur faktorin e panjohur, dividentin dhe pjesëtuesin (kur zgjidhen ekuacionet), si dhe për të kontrolluar rezultatet e shumëzimit dhe pjesëtimit.
Një shembull i gjetjes së të panjohurës.
x. (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2
Shenja minus në thyesa
Pjesëtoni numrin (- 5) me 6 dhe numrin 5 me (- 6).
Ju kujtojmë se rreshti në shënimin e një fraksioni të zakonshëm është e njëjta shenjë e ndarjes dhe ne shkruajmë herësin e secilit prej këtyre veprimeve në formën e një thyese negative.
Kështu, shenja minus në një fraksion mund të jetë:
. para një thyese;
. në numërues;
. në emërues. 
- Gjatë shkrimit të thyesave negative, shenja minus mund të vendoset përpara thyesës, e transferuar nga numëruesi në emërues ose nga emëruesi në numërues.
Kjo përdoret shpesh kur punoni me thyesa, duke i bërë llogaritjet më të lehta.
Shembull. Ju lutemi vini re se pasi vendosim shenjën minus përpara kllapës, ne e zbresim atë më të vogël nga moduli më i madh sipas rregullave për mbledhjen e numrave me shenja të ndryshme. 
Duke përdorur vetinë e përshkruar të transferimit të shenjave në thyesa, mund të veproni pa zbuluar se cili nga fraksionet e dhëna ka një modul më të madh.
Nga mësimet e mëparshme të gjuhës Assembler e dimë se procesori punon me numra binarë, këta numra mund të jenë pozitivë ose negativë. Dhe sot do t'ju tregoj në detaje se çfarë janë numrat pozitivë (të panënshkruar) dhe negativë (të nënshkruar).
Numrat pozitivë
Nëse numri është pozitiv, atëherë ai thjesht përfaqëson rezultatin e konvertimit të një numri dhjetor në binar. Kodimi special përdoret për të paraqitur numra pozitivë. Biti më domethënës në këtë rast tregon shenjën e numrit. Nëse biti i shenjës është zero, atëherë numri është pozitiv, përndryshe është negativ.
Në familjen e procesorëve Intel, njësia bazë e ruajtjes për të gjitha llojet e të dhënave është bajt. Një bajt përbëhet nga tetë bit. Tabela më poshtë tregon vargjet e vlerave të mundshme të numrave të plotë pozitivë me të cilët mund të punojë procesori:
Kur punoni me numra, mos harroni se një numër me vlerë jo më shumë se 255 mund të shkruhet në një bajt, një numër me një vlerë jo më shumë se 65,535 mund të shkruhet në një fjalë, etj. Për shembull, nëse, kur punoni me një bajt, kryeni operacionin e mbledhjes 255 + 1, atëherë rezultati duhet të jetë numri 256. Megjithatë, nëse e shkruani rezultatin në një bajt, atëherë rezultati nuk do të jetë 256, por 0 Kjo situatë paraqitet në rastet e “tejmbushjes”.
Një tejmbushje është kur rezultati i një operacioni nuk futet në regjistrin e destinuar për atë rezultat. Gjithashtu, nëse ka një tejmbushje, rezultati mund të mos jetë zero, por një numër tjetër.
Numrat negativë
Paraqitja e numrave negativë në kompjuter ndesh disa vështirësi. Një numër negativ nuk ka kuptim numerik, ai simbolizon, përkundrazi, një veprim të ardhshëm - faktin që në të ardhmen ne duhet të zbresim disa më shumë nga objektet që shfaqen përsëri.
Numrat negativë janë numra me shenjë minus.
Gama e vlerave të mundshme të numrave negativë:
Për të treguar shenjën e një numri, mjafton një shifër (bit). Në mënyrë tipike, biti i shenjës zë pjesën më të rëndësishme të numrit. Nëse biti më domethënës i një numri është 0, atëherë numri konsiderohet pozitiv. Nëse shifra më e rëndësishme e një numri është 1, atëherë numri konsiderohet negativ.
Kur programoni në gjuhën e asamblesë, duhet të merret parasysh një pikë e rëndësishme: "Kufizimi i gamës së përfaqësimit të numrave".
Për shembull, nëse madhësia e një ndryshoreje pozitive është 1 bajt, atëherë mund të marrë gjithsej 256 vlera të ndryshme. Kjo do të thotë që ne nuk mund ta përdorim atë për të përfaqësuar një numër më të madh se 255 (111111112). Për të njëjtën ndryshore negative, vlera maksimale do të jetë 127 (011111112), dhe minimumi -128 (100000002). Gama është përcaktuar në mënyrë të ngjashme për variablat 2- dhe 4-bajtë.
Historia e numrave negativë
Dihet se numrat natyrorë lindën gjatë numërimit të objekteve. Nevoja e njeriut për të matur sasitë dhe fakti që rezultati i një matjeje nuk shprehet gjithmonë si një numër i plotë çoi në zgjerimin e grupit të numrave natyrorë. U prezantuan numrat zero dhe thyesorë.
Procesi i zhvillimit historik të konceptit të numrit nuk mbaroi këtu. Sidoqoftë, shtysa e parë për zgjerimin e konceptit të numrit nuk ishin gjithmonë nevojat thjesht praktike të njerëzve. Ndodhi gjithashtu që vetë problemet e matematikës kërkonin zgjerimin e konceptit të numrit. Kjo është pikërisht ajo që ndodhi me shfaqjen e numrave negativë. Zgjidhja e shumë problemeve, veçanërisht ato që përfshijnë ekuacione, përfshinte zbritjen e një numri më të madh nga një numër më i vogël. Kjo kërkonte futjen e numrave të rinj.
Numrat negativë u shfaqën për herë të parë në Kinën e lashtë rreth 2100 vjet më parë. Ata dinin të mbledhin dhe të zbresin numrat pozitivë dhe negativë, nuk zbatoheshin rregullat e shumëzimit dhe pjesëtimit.
Në shekullin II. para Krishtit e. Shkencëtari kinez Zhang Can shkroi librin Aritmetika në nëntë kapituj. Nga përmbajtja e librit duket qartë se kjo nuk është një vepër krejtësisht e pavarur, por një ripërpunim i librave të tjerë të shkruar shumë kohë përpara Zhang Canit. Në këtë libër, sasitë negative ndeshen për herë të parë në shkencë. Ato kuptohen ndryshe nga mënyra se si ne i kuptojmë dhe i zbatojmë. Ai nuk ka një kuptim të plotë dhe të qartë të natyrës së sasive negative dhe rregullave për të vepruar me to. Ai e kuptonte çdo numër negativ si borxh dhe çdo numër pozitiv si pronë. Ai kryente operacione me numra negativë jo në të njëjtën mënyrë si ne, por duke përdorur arsyetimin për borxhin. Për shembull, nëse i shtoni një borxh tjetër një borxhi, atëherë rezultati është borxh, jo pronë (d.m.th., sipas nesh (- x) + (- x) = - 2x. Shenja minus nuk dihej atëherë, prandaj, në për të dalluar numrat, duke shprehur borxhin, Zhan Can i shkroi me një bojë të ndryshme nga numrat që shprehin vetinë (pozitive).
Në matematikën kineze, sasitë pozitive quheshin "chen" dhe përshkruheshin me të kuqe, ndërsa sasitë negative quheshin "fu" dhe përshkruheshin me të zezë. Kjo metodë e përshkrimit u përdor në Kinë deri në mesin e shekullit të 12-të, derisa Li Ye propozoi një përcaktim më të përshtatshëm për numrat negativ - numrat që përfaqësonin numra negativ u kryqëzuan me një vijë diagonalisht nga e djathta në të majtë. Edhe pse shkencëtarët kinezë i shpjeguan sasitë negative si borxh dhe sasitë pozitive si pronë, ata megjithatë shmangën përdorimin e tyre të gjerë, pasi këto shifra dukeshin të pakuptueshme dhe veprimet me to ishin të paqarta. Nëse problemi çonte në një zgjidhje negative, atëherë ata përpiqeshin të zëvendësonin kushtin (si grekët) në mënyrë që në fund të merrej një zgjidhje pozitive.
Në shekujt 5-6, numrat negativë u shfaqën dhe u përhapën shumë në matematikën indiane. Për llogaritjet, matematikanët e asaj kohe përdorën një tabelë numërimi, në të cilën numrat përshkruheshin duke përdorur shkopinj numërimi. Meqenëse nuk kishte shenja + dhe - në atë kohë, numrat pozitivë përshkruheshin me shkopinj të kuq, dhe numrat negativë përshkruheshin me shkopinj të zinj dhe quheshin "borxhi" dhe "mungesë". Numrat pozitivë u interpretuan si "pronë". Ndryshe nga Kina, rregullat e shumëzimit dhe pjesëtimit ishin të njohura tashmë në Indi. Në Indi, numrat negativë përdoreshin sistematikisht, ashtu si ne tani. Tashmë në veprën e matematikanit dhe astronomit të shquar indian Brahmagupta (598 - rreth 660) lexojmë: “prona dhe prona janë pronë, shuma e dy borxheve është një borxh; shuma e pasurisë dhe zeros është pronë; shuma e dy zeros është zero... Borxhi, i cili zbritet nga zero, bëhet pronë dhe prona bëhet borxh. Nëse është e nevojshme të merret pasuria nga borxhi dhe borxhi nga pasuria, atëherë ata marrin shumën e tyre.”
Matematikanët indianë përdorën numra negativë gjatë zgjidhjes së ekuacioneve dhe zbritja u zëvendësua nga mbledhja me një numër po aq të kundërt.
Së bashku me numrat negativë, matematikanët indianë prezantuan konceptin e zeros, i cili i lejoi ata të krijonin një sistem numrash dhjetorë. Por për një kohë të gjatë, zero nuk u njoh si numër "nullus" në latinisht do të thotë jo, mungesë e një numri. Dhe vetëm pas 10 shekujsh, në shekullin e 17-të, me futjen e një sistemi koordinativ, zero u bë numër.
Grekët gjithashtu nuk përdorën shenja në fillim. Shkencëtari i lashtë grek Diophantus nuk i njihte fare numrat negativ dhe nëse, kur zgjidhte një ekuacion, merrej një rrënjë negative, ai e hodhi atë si "të paarritshëm". Dhe Diofanti u përpoq të formulonte probleme dhe të kompozonte ekuacione në mënyrë të tillë që të shmangte rrënjët negative, por së shpejti Diofanti i Aleksandrisë filloi të tregonte zbritjen me shenjën .
Përkundër faktit se numrat negativë janë përdorur për një kohë të gjatë, ata u trajtuan me njëfarë mosbesimi, duke i konsideruar jo plotësisht realë, interpretimi i tyre si pronë-borxhi shkaktoi hutim: si mund të "shtohen" dhe "zbresin" prona dhe borxhet?
Në Evropë, njohja erdhi një mijë vjet më vonë. Ideja e një sasie negative u afrua mjaft afër në fillim të shekullit të 13-të nga Leonardo i Pizës (Fibonacci), i cili gjithashtu e prezantoi atë për të zgjidhur problemet financiare me borxhet dhe erdhi në idenë se sasitë negative duhet të merren në kuptim të kundërt me ato pozitive. Në ato vite u zhvilluan të ashtuquajturat duele matematikore. Në një konkurs për zgjidhjen e problemeve me matematikanët e oborrit të Frederikut II, Leonardo i Pizës (Fibonacci) iu kërkua të zgjidhte një problem: ishte e nevojshme të gjendej kapitali i disa individëve. Fibonacci mori një vlerë negative. "Ky rast," tha Fibonacci, "është i pamundur, përveç nëse supozojmë se dikush nuk kishte kapital, por borxh."
Në 1202, ai përdori për herë të parë numra negativë për të llogaritur humbjet e tij. Sidoqoftë, numrat negativë u përdorën në mënyrë eksplicite për herë të parë në fund të shekullit të 15-të nga matematikani francez Chuquet.
Sidoqoftë, deri në shekullin e 17-të, numrat negativë ishin "në dele" dhe për një kohë të gjatë ata quheshin "të rremë", "imagjinarë" ose "absurd". Dhe madje edhe në shekullin e 17-të, matematikani i famshëm Blaise Pascal argumentoi se 0-4 = 0, sepse nuk ka numër që mund të jetë më i vogël se asgjë, dhe deri në shekullin e 19-të, matematikanët shpesh i hidhnin numrat negativë në llogaritjet e tyre, duke i konsideruar të pakuptimtë. ..
Bombelli dhe Girard, përkundrazi, i konsideruan numrat negativë si mjaft të pranueshëm dhe të dobishëm, veçanërisht për të treguar mungesën e diçkaje. Një jehonë e atyre kohërave është fakti që në aritmetikën moderne operacioni i zbritjes dhe shenja e numrave negativë shënohen me të njëjtin simbol (minus), megjithëse algjebrikisht këto janë koncepte krejtësisht të ndryshme.
Në Itali, kur huazonin paratë, huadhënësit vendosnin shumën e borxhit dhe një rresht përpara emrit të debitorit, si minusi ynë, dhe kur debitori kthente paratë, i kalonin ato, kështu që dukej si plusi ynë. Ju mund ta konsideroni një plus si një minus të kryqëzuar!
Shënim modern për numrat pozitivë dhe negativë me shenja
"+" dhe "-" u përdorën nga matematikani gjerman Widmann.
Matematikani gjerman Michael Stiefel, në librin e tij "Aritmetika e plotë" (1544), së pari prezantoi konceptin e numrave negativë si numra më pak se zero (më pak se asgjë). Ky ishte një hap shumë i madh përpara në justifikimin e numrave negativë. Ai bëri të mundur që numrat negativë të shiheshin jo si borxh, por në një mënyrë krejtësisht të ndryshme, të re. Por Stiefel i quajti numrat negativë absurdë; veprimet me ta, sipas fjalëve të tij, "gjithashtu shkojnë në mënyrë absurde, të turbullta".
Pas Stiefel, shkencëtarët filluan të kryejnë operacione me numra negativë me më shumë besim.
Zgjidhjet negative të problemeve mbaheshin dhe interpretoheshin gjithnjë e më shumë.
Në shekullin e 17-të Matematikani i madh francez Rene Descartes propozoi vendosjen e numrave negativë në vijën numerike në të majtë të zeros. Tani gjithçka na duket kaq e thjeshtë dhe e kuptueshme, por për të arritur këtë ide, u deshën tetëmbëdhjetë shekuj punë të mendimit shkencor nga shkencëtari kinez Zhang Can deri te Dekarti.
Në veprat e Dekartit, numrat negativ morën, siç thonë ata, një interpretim të vërtetë. Dekarti dhe pasuesit e tij i njohën ato në baza të barabarta me ato pozitive. Por në operacionet me numra negativë, jo gjithçka ishte e qartë (për shembull, shumëzimi me to), kështu që shumë shkencëtarë nuk donin të njihnin numrat negativë si numra realë. Një debat i madh dhe i gjatë shpërtheu mes shkencëtarëve për thelbin e numrave negativë dhe nëse duhet të njihen numrat negativë si numra realë apo jo. Kjo mosmarrëveshje pas Dekartit zgjati rreth 200 vjet. Gjatë kësaj periudhe, matematika si shkencë u zhvillua shumë dhe në çdo hap haseshin numra negativë. Matematika është bërë e paimagjinueshme, e pamundur pa numra negativë. U bë e qartë për një numër në rritje shkencëtarësh se numrat negativë janë numra realë, po aq sa numra realë, realë ekzistues, sa edhe numra pozitivë.
Numrat negativë vështirë se kanë fituar vendin e tyre në matematikë. Pavarësisht se sa shumë përpiqen shkencëtarët t'i shmangin ato. Sidoqoftë, ata jo gjithmonë ia dolën mbanë në këtë. Jeta i paraqiti shkencës detyra të reja dhe të reja dhe gjithnjë e më shpesh këto detyra çuan në zgjidhje negative në Kinë, Indi dhe Evropë. Vetëm në fillim të shekullit të 19-të. teoria e numrave negativ përfundoi zhvillimin e saj dhe "numrat absurdë" morën njohje universale.
Çdo fizikant merret vazhdimisht me numra: ai gjithmonë mat, llogarit, llogarit diçka. Kudo në letrat e tij ka numra, numra dhe numra. Nëse shikoni nga afër shënimet e fizikanit, do të zbuloni se kur shkruan numra, ai shpesh përdor shenjat "+" dhe "-".
Si lindin numrat pozitivë dhe veçanërisht negativë në fizikë?
Një fizikan merret me sasi të ndryshme fizike që përshkruajnë vetitë e ndryshme të objekteve dhe dukurive rreth nesh. Lartësia e një ndërtese, distanca nga shkolla në shtëpi, masa dhe temperatura e trupit të njeriut, shpejtësia e një makine, vëllimi i një kanaçe, forca e një rryme elektrike, indeksi i thyerjes së ujit, fuqia e një shpërthim bërthamor, voltazhi midis elektrodave, kohëzgjatja e një mësimi ose pushimi, ngarkesa elektrike e një topi metalik - të gjitha këto janë sasi fizike. Një sasi fizike mund të matet.
Nuk duhet menduar se çdo karakteristikë e një objekti ose fenomeni natyror mund të matet dhe, për rrjedhojë, është një sasi fizike. Nuk është aspak kështu. Për shembull, ne themi: “Sa male të bukura përreth! Dhe çfarë liqeni i bukur atje, poshtë! Dhe çfarë peme e bukur bredh atje mbi atë shkëmb! Por ne nuk mund të masim bukurinë e maleve, liqenit apo këtij bredh të vetmuar!”. Kjo do të thotë që një karakteristikë e tillë si bukuria nuk është një sasi fizike.
Matjet e sasive fizike kryhen duke përdorur instrumente matëse si vizore, orë, peshore etj.
Pra, numrat në fizikë lindin si rezultat i matjes së madhësive fizike dhe vlera numerike e një sasie fizike të marrë si rezultat i matjes varet: nga mënyra se si përcaktohet kjo madhësi fizike; nga njësitë matëse të përdorura.
Le të shohim shkallën e një termometri të rregullt në natyrë.
Ajo ka formën e treguar në shkallën 1. Mbi të janë shtypur vetëm numra pozitivë dhe për këtë arsye, kur tregohet vlera numerike e temperaturës, është e nevojshme të shpjegohen gjithashtu 20 gradë Celsius (mbi zero). Kjo është e papërshtatshme për fizikantët - në fund të fundit, nuk mund të vendosni fjalë në një formulë! Prandaj, në fizikë përdoret një shkallë me numra negativë.
Le të shohim hartën fizike të botës. Zonat e tokës në të janë pikturuar në nuanca të ndryshme të gjelbër dhe kafe, dhe detet dhe oqeanet janë pikturuar në blu dhe blu. Çdo ngjyrë ka lartësinë e vet (për tokën) ose thellësinë (për detet dhe oqeanet). Në hartë vizatohet një shkallë e thellësive dhe lartësive, e cila tregon se çfarë lartësie (thellësie) do të thotë një ngjyrë e caktuar,
Duke përdorur një shkallë të tillë, mjafton të tregohet numri pa ndonjë fjalë shtesë: numrat pozitiv korrespondojnë me vende të ndryshme në tokë që ndodhen mbi sipërfaqen e detit; numrat negativ korrespondojnë me pikat nën sipërfaqen e detit.
Në shkallën e lartësisë që konsideruam, lartësia e sipërfaqes së ujit në Oqeanin Botëror merret si zero. Kjo shkallë përdoret në gjeodezi dhe hartografi.
Në të kundërt, në jetën e përditshme zakonisht e marrim lartësinë e sipërfaqes së tokës (në vendin ku ndodhemi) si lartësi zero.
3.1 Si numëroheshin vitet në kohët e lashta?
Është ndryshe në vende të ndryshme. Për shembull, në Egjiptin e Lashtë, sa herë që fillonte të sundonte një mbret i ri, numërimi i viteve fillonte përsëri. Viti i parë i mbretërimit të mbretit u konsiderua viti i parë, i dyti - i dyti, e kështu me radhë. Kur ky mbret vdiq dhe një i ri erdhi në pushtet, filloi përsëri viti i parë, pastaj i dyti, i treti. Ndryshe ishte numërimi i viteve të përdorura nga banorët e një prej qyteteve më të lashta të botës, Romës. Romakët e konsideruan vitin e themelimit të qytetit si të parën, vitin e ardhshëm si të dytin, e kështu me radhë.
Numërimi i viteve që ne përdorim u ngrit shumë kohë më parë dhe lidhet me nderimin e Jezu Krishtit, themeluesit të fesë së krishterë. Numërimi i viteve nga lindja e Jezu Krishtit u adoptua gradualisht në vende të ndryshme. Në vendin tonë, ajo u prezantua nga Car Pjetri i Madh treqind vjet më parë. Kohën e llogaritur nga Lindja e Krishtit e quajmë ERA JONË (dhe e shkruajmë në formë të shkurtuar N.E.). Epoka jonë vazhdon për dy mijë vjet.
konkluzioni
Shumica e njerëzve i dinë numrat negativë, por ka disa që përfaqësimi i numrave negativë është i gabuar.
Numrat negativë janë më të zakonshëm në shkencat ekzakte, matematikë dhe fizikë.
Në fizikë, numrat negativë lindin si rezultat i matjeve dhe llogaritjeve të sasive fizike. Numri negativ - tregon sasinë e ngarkesës elektrike. Në shkencat e tjera, si gjeografia dhe historia, një numër negativ mund të zëvendësohet me fjalë, për shembull, nën nivelin e detit, dhe në histori - 157 para Krishtit. e.
Letërsia
1. Enciklopedi e madhe shkencore, 2005.
2. Vigasin A. A., “Historia e Botës së Lashtë”, Teksti mësimor i klasës së 5-të, 2001.
3. Vygovskaya V.V. "Zhvillimet e bazuara në mësime në matematikë: klasa e 6-të" - M.: VAKO, 2008.
4. “Numrat pozitivë dhe negativë”, Teksti mësimor i matematikës për klasën e VI, 2001.
5. Enciklopedia për fëmijë "Unë e njoh botën", Moskë, "Iluminizmi", 1995.
6.. “Studiojmë matematikën”, botim arsimor, 1994.
7. "Elementet e historicizmit në mësimdhënien e matematikës në shkollën e mesme", Moskë, "Prosveshchenie", 1982
8. Nurk E.R., Telgmaa A.E. "Matematika e klasës së 6-të", Moskë, "Iluminizmi", 1989
9. "Historia e matematikës në shkollë", Moskë, "Prosveshchenie", 1981.
