11. Funksioni i shpërndarjes së një sistemi me dy ndryshore të rastit.

Deri më tani, ne kemi konsideruar variabla të rastësishëm, vlerat e mundshme të të cilave përcaktoheshin nga një numër i vetëm. Sasi të tilla quhen njëdimensionale. Për shembull, numri i pikave që mund të fitohen kur hedhet një masë është një sasi diskrete njëdimensionale; distanca nga arma deri në vendin ku bie predha është një ndryshore e vazhdueshme njëdimensionale e rastësishme.

Përveç ndryshoreve të rastësishme njëdimensionale, ata studiojnë sasi, vlerat e mundshme të të cilave përcaktohen nga dy, tre, ..., n numra. Madhësi të tilla quhen përkatësisht dydimensionale, tredimensionale, ..., n-dimensionale. Do të shënojmë me (X,Y) dydimensionalen ndryshore e rastësishme. Secila nga sasitë X dhe Y quhet komponent (komponent): të dyja sasitë X dhe Y, të konsideruara njëkohësisht, formojnë një sistem prej dy ndryshoresh të rastit.

Në mënyrë të ngjashme, një sasi n-dimensionale mund të konsiderohet si një sistem n i rastësishëm

sasive Për shembull, çdo pikë në planin koordinativ XOY mund të shihet si një ndryshore e rastësishme dydimensionale me komponentë X dhe Y (koordinatat); çdo pikë në hapësirë ​​tredimensionale- Si

një ndryshore e rastësishme tredimensionale me komponentët X, Y dhe Z. Ka variabla të rastësishme shumëdimensionale diskrete (përbërësit e këtyre sasive janë diskrete) dhe të vazhdueshme (përbërësit e këtyre madhësive janë të vazhdueshme).

Konsideroni një ndryshore të rastësishme dy-dimensionale (X, Y) (nuk ka dallim nëse është diskrete apo e vazhdueshme). Le të jetë (x,y) një çift numrash realë. Probabiliteti i ngjarjes që X të marrë një vlerë më të vogël se x, dhe në të njëjtën kohë Y të marrë një vlerë më të vogël se y, do të shënohet me F(x,y). Nëse x dhe y ndryshojnë, atëherë, në përgjithësi, F(x,y) do të ndryshojë gjithashtu, pra F(x,y) është një funksion i x dhe y.

Funksioni i shpërndarjes një ndryshore e rastësishme dydimensionale (X,Y) është një funksion F(x,y) që përcakton për çdo çift numrash x, y probabilitetin që X të marrë një vlerë më të vogël se x, dhe në të njëjtën kohë do të marrë Y një vlerë më e vogël se y: F(x, y) = P(X

Gjeometrikisht, kjo barazi mund të interpretohet si më poshtë: F(x,y) është probabiliteti që një pikë e rastësishme (X,Y) të bjerë në një kuadrant të pafund me një kulm (x, y) të vendosur në të majtë dhe nën këtë kulm. .

Vetitë e funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale

Prona 1. Vlerat e funksionit të shpërndarjes plotësojnë pabarazinë e dyfishtë 0 ≤ F(x, y) ≤ 1.

Dëshmi. Vetia rrjedh nga përkufizimi i funksionit të shpërndarjes si probabilitet: probabiliteti është gjithmonë një numër jo negativ që nuk e kalon një.

Prona 2. F(x,y) është një funksion jo-zvogëlues për çdo argument, d.m.th.

F(x2,y) ≥ F(x1,y), nëse x2> x1;

F(x,y2) ≥ F(x,y1) nëse y2>y1.

Dëshmi. Le të vërtetojmë se F(x,y) është një funksion jo-zvogëlues në lidhje me argumentin x. Ngjarja që komponenti X do të marrë një vlerë më të vogël se x2, dhe në të njëjtën kohë komponenti Y< y, можно подразделить на следующие два несовместных события:

1) X do të marrë një vlerë më të vogël se x1, dhe në të njëjtën kohë Y< y с вероятностью P(X< x1,Y

2) X do të marrë një vlerë që plotëson pabarazinë x1 ≤ X< x2 , и при этом Y

Sipas teoremës së mbledhjes,

P(X< x2, Y

P(X< x2, Y

F(x2,y) - F(x1,y) = P(x1≤X< x2, Y

Prandaj, çdo probabilitet është një numër jo negativ

F(x2,y) - F(x1,y) ≥ 0, ose F(x2,y) ≥ F(x1,y),

Q.E.D.

Vetia bëhet qartësisht e qartë nëse përdorim interpretimin gjeometrik të funksionit të shpërndarjes si probabilitet që një pikë e rastësishme të bjerë në një kuadrant të pafund me një kulm (x;y). Ndërsa x rritet, kufiri i djathtë i këtij kuadranti lëviz djathtas; ndërsa probabiliteti i goditjes

një pikë e rastësishme në një kuadrant të ri padyshim nuk mund të reduktohet. Në mënyrë të ngjashme, vërtetohet se F(x,y) është një funksion jozvogëlues në lidhje me

argumenti y.

Prona 3. Ekzistojnë marrëdhënie kufizuese:

1) F(-∞, y) = 0, 2) F(x, -∞) = 0,

3) F(-∞, -∞) = 0, 4) F(∞, ∞) = 1.

Dëshmi

1) F(-∞ , y) është probabiliteti i ngjarjes X< -∞ и Y < y; но такое событие невозможно (поскольку невозможно событие X < -∞), следовательно, вероятность этого события равна нулю. Свойство становится наглядно ясным, если прибегнуть к геометрической интерпретации: при x→-∞ правая граница бесконечного квадранта неограниченно сдвигается влево и при этом вероятность попадания случайной точки в квадрант стремится к нулю.

2) Ngjarja Y< -∞ невозможно, поэтому F(x, -∞) = 0.

3) Ngjarja X< -∞ невозможно, поэтому F(-∞ , -∞) = 0.

4) Ngjarja X< ∞ и Y < ∞ достоверно, следовательно, вероятность этого

Ngjarjet F(∞ , ∞) = 1.

Vetia bëhet qartësisht e qartë nëse marrim parasysh se për x→∞ dhe y→∞ kuadranti i pafundëm kthehet në të gjithë rrafshin xOy dhe, për rrjedhojë, shfaqja e një pike të rastësishme (X;Y) në këtë plan është një ngjarje e besueshme. .

Prona 4

a) Në y = ∞, funksioni i shpërndarjes së sistemit bëhet funksioni i shpërndarjes së komponentit X:

F(x, ∞) = F1(x).

b) Në x = ∞, funksioni i shpërndarjes së sistemit bëhet funksioni i shpërndarjes së komponentit Y:

F(∞, y) = F2(y).

Dëshmi.

a) Që nga ngjarja Y< ∞ достоверно, то F(x, ∞) определяет вероятность события X < x, т.е. представляет собой функцию распределения составляющей X.

b) Prova është e ngjashme.

në lidhjen e tij të ngushtë me shpërndarjen binomiale. Kujtoni (§ 2.5) se nëse në formulën e Bernoulli-t

P n (k )= C n k p k (1− p )n − k

ne rregullojmë vlerën e k dhe fillojmë të drejtojmë numrin e eksperimenteve në pafundësi, dhe probabilitetin p në zero, për më tepër, në mënyrë që produkti i tyre të mbetet i barabartë me një numër konstant λ (np = λ), atëherë do të kemi:

Lidhja (3.17) tregon se me kalimin në kufirin e përshkruar më sipër, tabela (3.15) e shpërndarjes binomiale shkon në tabelën (3.16) të shpërndarjes Poisson. Kështu, shpërndarja Poisson është kufiri i shpërndarjes binomiale në kushtet e mësipërme. Vini re se kjo veti e shpërndarjes Poisson - për të shprehur një shpërndarje binomiale me një numër të madh eksperimentesh dhe një probabilitet të ulët të një ngjarjeje - shoqërohet me emrin që përdoret shpesh për të: ligji i ngjarjeve të rralla.

§ 3.5. Sistemet e ndryshoreve diskrete të rastit

Deri më tani, ne i kemi konsideruar variablat e rastësishëm të veçuar nga njëri-tjetri, pa prekur çështjen e marrëdhënieve të tyre. Megjithatë, në problemet praktike ka shpesh situata kur disa variabla të rastit duhet të studiohen së bashku. Në raste të tilla flitet për një sistem të disa variablave të rastit. Më saktësisht: variablat e rastësishëm formojnë një sistem nëse përcaktohen në të njëjtën hapësirë ​​të ngjarjeve elementare Ω.

Një sistem me dy ndryshore të rastësishme (X,Y) mund të interpretohet si një pikë e rastësishme në një plan, një sistem prej tre ndryshoresh të rastësishme (X,Y,Z) - si një pikë e rastësishme në hapësirën tredimensionale. Ne do të kufizojmë veten kryesisht në rastin dydimensional.

Një qasje intuitive ndaj konceptit të një sistemi me dy ndryshore të rastësishme shoqërohet me idenë e përvojës, rezultati i së cilës është një palë numrash X,Y. Meqenëse rezultati i eksperimentit mendohet si një ngjarje e rastësishme, është e pamundur të parashikohen paraprakisht vlerat e numrave X dhe Y (kur eksperimenti përsëritet, ato ndryshojnë në mënyrë të papritur). Le të japim disa shembuj.

Shembulli 3.7. Zari hidhet dy herë. Le të shënojmë me X numrin e pikëve në hedhjen e parë dhe me Y numrin e pikëve në të dytën. Çifti (X ,Y ) do të jetë një sistem me dy ndryshore të rastësishme.

Shembulli 3.8. Një student zgjidhet rastësisht nga një audiencë e caktuar X është gjatësia e tij (të themi, në centimetra), Y është pesha e tij (në kilogramë).

Shembulli 3.9. Në një rajon të caktuar bujqësor, zgjidhet rastësisht një ngastër mbjellëse gruri, X është sasia e plehut të aplikuar në këtë parcelë;

Shembulli 3.10. Krahasohen punimet e shkruara në matematikë dhe gjuha ruse X është nota për punën në matematikë, Y është për punën në rusisht.

Lista e shembujve të tillë është e lehtë për të vazhduar.

§ 3.6. Variabla të rastësishme diskrete të pavarura

1°. Vërejtje të përgjithshme. Shembuj. Kur shqyrtojmë një sistem prej dy ndryshoresh të rastësishme (X, Y), është e nevojshme të kihet parasysh se vetitë e sistemit nuk shterohen gjithmonë nga vetitë e vetë variablave X dhe Y. Me fjalë të tjera, nëse dimë gjithçka për sasinë X dhe gjithçka për sasinë Y, kjo nuk do të thotë se dimë gjithçka për sistemin (X,Y). Fakti është se mund të ketë një varësi midis madhësive X dhe Y, dhe pa marrë parasysh këtë varësi, është e pamundur të ndërtohet një ligj shpërndarjeje për sistemin (X,Y).

Varësia ndërmjet variablave të rastësishëm në kushte reale mund të jetë e ndryshme. Në disa raste, rezulton të jetë aq e fortë sa, duke ditur se çfarë vlere mori vlera X, mund të tregoni me saktësi vlerën e Y. Duke përdorur terminologjinë tradicionale, mund të themi se në këto raste varësia midis X dhe Y funksionale(megjithatë, koncepti i një funksioni të një ndryshoreje të rastësishme ka ende nevojë për sqarim; kjo e fundit do të jepet në § 3.7). Ne vazhdimisht hasim shembuj të një varësie të tillë në natyrë dhe teknologji.

Në të njëjtën kohë, mund të vëmë në dukje edhe shembuj të një lloji tjetër - kur varësia midis ndryshoreve të rastësishme ekziston, por nuk është e një natyre funksionale të përcaktuar rreptësisht. Shembuj të tillë janë veçanërisht tipikë për fusha të tilla të shkencës dhe praktikës si teknologjia bujqësore, biologjia, mjekësia, ekonomia, etj., ku zhvillimi i fenomeneve, si rregull, varet nga shumë faktorë që vështirë të merren parasysh. Dihet, për shembull, se reshjet e shumta gjatë periudhës së pjekjes së grurit çojnë në rritjen e rendimenteve; megjithatë, kjo nuk do të thotë se lidhja ndërmjet sasisë së reshjeve X dhe rendimentit Y (të themi, për 1 ha) është funksionale; Përveç reshjeve, në rendimentin ndikojnë edhe faktorë të tjerë: lloji i tokës, sasia e plehut të aplikuar, numri i ditëve me diell etj. Në raste të tilla, kur ndryshimi i një vlere ndikon vetëm statistikisht në një tjetër, mesatarisht është zakon të flitet për lidhje probabilistike ndërmjet sasive. Pa dhënë ende përkufizime të sakta, le të shohim disa shembuj. Ato ilustrojnë shkallë të ndryshme të varësisë ndërmjet variablave të rastësishëm - nga varësia e fortë, pothuajse funksionale deri te pavarësia praktike.

Shembulli 3.11. Le të jetë X lartësia e një të rrituri të zgjedhur rastësisht (të themi, në centimetra), dhe Y të jetë pesha e tij (në kilogramë). Marrëdhënia midis gjatësisë dhe peshës është shumë e fortë në një përafrim të parë, madje mund të konsiderohet funksionale. Formula që përafërsisht shpreh këtë varësi zakonisht shkruhet:

Y (kg) =X (cm) – 100.

Shembulli 3.12. X është lartësia e një peme të zgjedhur rastësisht në pyll, Y është diametri i bazës së saj. Dhe këtu varësia duhet të njihet si e fortë, megjithëse jo në të njëjtën masë si në shembullin e mëparshëm.

Shembulli 3.13. Një gur zgjidhet rastësisht nga një grumbull gurësh me formë të parregullt. Le të jetë X masa dhe Y gjatësia e tij më e madhe. Marrëdhënia midis X dhe Y është thjesht probabiliste.

Shembulli 3.14. X është lartësia e një të rrituri të zgjedhur rastësisht, Y është mosha e tij. Vëzhgimet tregojnë se këto sasi janë praktikisht të pavarura.

2°. Përcaktimi i pavarësisë së variablave të rastësishëm. Le të lëmë mënjanë tani për tani çështjen e

cilët numra mund të përdoren për të shprehur shkallën e varësisë midis madhësive X dhe Y. Le të kufizohemi në një përkufizim të rreptë të pavarësisë së variablave të rastësishëm.

Përkufizimi . Le të jepet sistemi (X, Y). Do të themi se madhësitë X dhe Y janë të pavarura nëse

ngjarjet X A dhe Y B janë të pavarura, ku A dhe B janë çdo dy segmente [a1, a2] dhe [b1, b2].

Me fjalë të tjera, barazia qëndron

ku x i është çdo vlerë e mundshme e sasisë X, dhe y j është çdo vlerë e mundshme e sasisë Y. Në të vërtetë, nga (3.18) rrjedh qartë (3.19). Le ta kontrollojmë atë dhe anasjelltas nga (3.19)

vijon (3.18).

Le të karakterizohet sistemi (X,Y) nga tabela

Le të vendosim A = [a 1,a 2],B = [b 1,b 2]. Pastaj

p ij = P (X = x i )P (Y = y j ) (i ,j = 1, 2, ...) (barazia e shkruar është pikërisht kushti (3.19)). Nga këtu

ato. madhësitë X dhe Y janë të pavarura.

§ 3.7. Funksioni i një ndryshoreje të rastësishme. Veprimet në ndryshore të rastësishme

Le të jetë X një ndryshore e rastësishme. Shpesh ka nevojë të merren parasysh variablat e rastësishëm të formës:

ku g (x) është një funksion numerik i dhënë. Cili është kuptimi i hyrjes (3.20), d.m.th., koncepti

funksioni i një ndryshoreje të rastësishme?

Supozoni se si rezultat i eksperimentit ndodhi një ngjarje

X = x

dmth vlera e X mori vlerën . Pastaj, sipas përkufizimit, besojmë se në këtë eksperiment, sasia Y mori vlerën g (x). Është e qartë se për një ndryshore të rastësishme diskrete, një marrëveshje e tillë përcakton plotësisht variablin e ri të rastësishëm Y. Sa i përket një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, pohimi i mëposhtëm është i vërtetë.

Propozimi 3.1. Nëse g(x) është një funksion i vazhdueshëm, atëherë relacioni (3.20) përcakton variablin e rastësishëm Y.

Dëshmi. Ne do të përdorim kushtin (3.2), i cili është i barabartë me përkufizimin e një ndryshoreje të rastësishme. Kështu, ne duhet të kontrollojmë se për çdo grup të hapur U në vijën numerike ka një grup ngjarjesh elementare për të cilat

Por sipas përkufizimit (3.2), grupi i ngjarjeve elementare të përcaktuara nga kushti (3.22) është një ngjarje. Prandaj, kushti (3.21) përcakton ngjarjen, e cila është ajo që duhet të vërtetohet.

Për çdo funksion (3.20) ndryshorja e rastësishme

Y = g(X),

si X, ka ligjin e vet të shpërndarjes. Çfarë është ky ligj? Le të kufizohemi në shqyrtimin e rastit kur ndryshorja e rastësishme X është e një lloji diskrete. Ligji i shpërndarjes X le të jepet nga tabela (3.11). Sipas përkufizimit, ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme Y jepet nga tabela (3.23), në të cilën

Ne zëvendësuam rreshtin e parë të (3.11) me vlerat përkatëse të funksionit g (x), duke e lënë rreshtin e dytë të pandryshuar.

Nëse ka vlera të barabarta midis vlerave Y, atëherë duhet të kombinoni kolonat përkatëse në një kolonë duke shtuar probabilitetet përkatëse.

Shembulli 3.15. Lëreni variablin e rastësishëm X të specifikohet nga ligji i shpërndarjes:

Gjeni ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme Y =X 2.

Zgjidhje . Për të gjetur ligjin e shpërndarjes Y = X 2, vendosim në katror të gjitha vlerat dhe marrim tabelën e mëposhtme

Shumë shpesh, për variablat e rastësishëm X dhe Y që formojnë një sistem, është e nevojshme të merret parasysh shuma dhe produkti i tyre. Meqenëse ligji i shpërndarjes së operacioneve të tilla dhe të ngjashme në ndryshore të rastësishme është përcaktuar në mënyrë të ngjashme, ne do të supozojmë se po shqyrtojmë një ndryshore të rastit

Z =g(X,Y),

ku g (x,y) është një funksion numerik.

kuptimin e të cilit lexuesi e di. Madhësia

Z = g(X, Y)

do të jetë gjithashtu diskrete. Vlerat e tij të mundshme do të jenë numrat z 11 = g (x 1, y 1), z 12 = g (x 1, y 2), ....

Le të shohim dy raste.

1. Të gjithë numrat z ij janë të ndryshëm. Atëherë ngjarjaZ =z ij, d.m.th.

g (X,Y)= z ij,

ndodh vetëm kur ngjarjet X = x i dhe Y = y j ndodhin njëkohësisht, prandaj, probabiliteti i tij do të jetë i barabartë me

P(X= xi, Y= yj) = pij. 1 ,Y = y 2 ) dhe (X = x 3 , Y = y 5 ) ,

prandaj probabiliteti i tij do të jetë

12+ р 35.

Për ta përmbledhur, mund të themi se do të shprehet ligji i shpërndarjes së vlerës g (X,Y).

Tabela (3.25), në të cilën kolonat me të njëjtat vlera z ij duhet të kombinohen në një, duke shtuar probabilitetet p ij në to.

Shembulli 3.16. Le të jepet ligji i shpërndarjes së sistemit të ndryshoreve të rastit (X,Y) nga një tabelë. Gjeni ligjin e shpërndarjes së produktit të tyre.

Zgjidhje . Numrat z ij në këtë rast do të jenë

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale diskrete mund të paraqitet në formën e një tabele (Tabela 1.2), e cila karakterizon tërësinë e të gjitha vlerave të ndryshoreve të rastit dhe probabilitetet përkatëse:

Për më tepër, shuma e të gjitha probabiliteteve, si dhe shuma e probabiliteteve të grupit të plotë të ngjarjeve të papajtueshme, është e barabartë me një.

Tabela 1.2

Duke përdorur ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale, është e mundur të ndërtohen ligjet e shpërndarjes për çdo ndryshore të rastësishme të përfshirë në sistem.

Tabela 1.3

Seritë e shpërndarjes për SV X:

Ligji i shpërndarjes me kusht ndryshore e rastësishme X me kusht që ndryshorja e rastit Y=y 0është një grup vlerash të mundshme X së bashku me probabilitetet e kushtëzuara . Kur llogaritni këto probabilitete, duhet të përdorni formulën për probabilitetin e kushtëzuar:

.

Pritshmëria matematikore e SV dydimensionale(X, Y ) quhet një grup prej dy pritjesh matematikore. M[X]dhe M[ Y], të përcaktuara nga barazitë:

,

Dispersioni i sistemit SV(X, Y) quhet një grup prej dy variancash D[X]Dhe D[Y], të përcaktuara nga barazitë:

, ,

, ,

Shembulli 8.Është dhënë një tabelë e shpërndarjeve të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme dy-dimensionale ( X;Y) (Tabela 1.5).

Tabela 1.5

Tabela 1.7

a) Llogaritni karakteristikat numerike:

b) Ne gjejmë karakteristikat numerike të produktit të variablave të rastësishëm duke shumëzuar vlerat e tyre me probabilitetet përkatëse:

Për të gjetur pritshmërinë matematikore të kushtëzuar, së pari duhet të gjeni shpërndarjen e kushtëzuar të ndryshores së rastit Y me kusht që X= 0. Për një tabelë të shpërndarjes me dy variacione ( X; Y) ndani të gjitha probabilitetet në rreshtin e parë me . Ne marrim një tabelë të shpërndarjes së kushtëzuar Y:

Tani le të gjejmë pritshmërinë matematikore të kushtëzuar:

KAPITULLI 2. STATISTIKA MATEMATIKE

Punë e pavarur sipas kursit të leksionit

Ky lloj pune përfshin studim të pavarur (opsionale) të temave të mëposhtme:

1. Intervalet e besimit për vlerësimin e pritshmërisë matematikore të një shpërndarjeje normale me një σ të njohur.

2. Vlerësimi i saktësisë së matjes.

3. Vlerësimi i probabilitetit (shpërndarja binomiale) sipas frekuencës relative.

4. Metoda e momenteve për vlerësimin pikësor të parametrave të shpërndarjes.

5. Metoda e gjasave maksimale.

6. Karakteristika të tjera të serisë së variacioneve.

7. Rastet më të thjeshta të korrelacionit kurvilinear.

8. Koncepti i korrelacionit të shumëfishtë.

9. Krahasimi i dy variancave të popullatave normale.

10. Testimi i hipotezës për rëndësinë e koeficientit të korrelacionit të mostrës.

Të gjitha temat e listuara mund të gjenden në literaturën e paraqitur në fund të udhëzimeve.

Për një nga temat e përzgjedhura, duhet të përpiloni një shënim mbështetës leksioni, të cilin këshillohet ta ilustroni me një detyrë të zgjidhur në mënyrë të pavarur.

Punë e pavarur në ushtrime praktike

Për këtë lloj pune, propozohet të ndërtohet një model regresioni linear bazuar në të dhënat eksperimentale.

Krijimi i një modeli matematikor të një procesi teknologjik ose një fenomeni tjetër fizik i hap mundësinë një studiuesi të parashikojë rezultatet e proceseve kur plotësohen disa kushte, të studiojë situata kritike, të parashikojë cilësinë e produktit, etj.

Kur përfundoni detyrën e ndërtimit të një modeli regresioni, është e nevojshme të demonstroni një kuptim të termave të statistikave matematikore, të analizoni dhe të nxirrni përfundime bazuar në rezultatet e llogaritura të marra. Realizimi i kësaj pune synon sistemimin dhe zbatimin e njohurive të marra gjatë studimit të temës “Statistika matematikore”.

Le të shqyrtojmë mundësinë e ndërtimit të një modeli regresioni linear bazuar në të dhënat eksperimentale.

Shembull. Si rezultat i eksperimentit, u morën të dhënat statistikore të mëposhtme (Tabela 2.1):

Tabela 2.1

Për mostrën e dhënë, plotësoni detyrat e mëposhtme.

1) Paraqisni mostrën në formën e serive statistikore intervale të ndryshoreve të rastit X Dhe Y.

2) Për një ndryshore të rastësishme X ndërtoni një poligon të frekuencës dhe një histogram. Gjeni funksionin empirik të shpërndarjes dhe vizatoni atë.

3) Gjeni karakteristikat numerike të mostrës (mesatarja e mostrës, varianca e mostrës së paanshme, devijimi standard i paanshëm) për ndryshoret e rastësishme X Dhe Y.

4) Ndërtoni intervale besimi për pritshmërinë matematikore dhe variancën për një ndryshore të rastësishme X me probabilitet besimi β=0.95.

5) Testoni hipotezën për shpërndarjen normale të ndryshores së rastësishme X.

6) Kryerja e analizës së korrelacionit.

7) Ndërtoni një model regresioni linear.

Zgjidhje. Madhësia e kampionit është n=42.

1. Për të përfaqësuar kampionin në formën e serive statistikore të intervalit, ne përcaktojmë gjatësinë e intervaleve për çdo ndryshore të rastit.

Për një ndryshore të rastësishme X vlera më e madhe është 16.25, më e vogla është 8.35. Le të gjejmë gjatësinë e intervalit nga X:

Zgjidhni h x=1.2. Ne marrim shtatë intervale. Le të lëvizim pak majtas nga vlera më e vogël e 8.35, kështu që do të fillojmë intervalin e parë me një vlerë prej 8.3. Le të llogarisim frekuencën e goditjes së një ndryshoreje të rastësishme X X merr formën (Tabela 2.2):

Tabela 2.2

Për një ndryshore të rastësishme Y vlera më e madhe është 13.0, më e vogla është 1.49. Le të gjejmë gjatësinë e intervalit nga Y:

Zgjidhni h y=1.8. Ne marrim shtatë intervale. Le të lëvizim pak majtas nga vlera më e vogël e 1.49, kështu që do të fillojmë intervalin e parë me një vlerë prej 1.5. Le të llogarisim frekuencën e goditjes së një ndryshoreje të rastësishme Y në çdo interval, dhe ne pajtohemi që vlera kufitare të përfshihet në një interval më të madh. Seritë statistikore intervale për Y merr formën (Tabela 2.3):

Tabela 2.3

2. Për të ndërtuar një poligon të frekuencës për një ndryshore të rastësishme X, le të gjejmë frekuencën e mesme dhe relative për çdo interval (Tabela 2.4).

Tabela 2.4

Në figurën 2.1, përgjatë boshtit të abshisave shënojmë pikat e mesit të intervaleve x i, përgjatë frekuencave ordinate - relative.

Kur ndërtojmë një histogram të shpërndarjes, shënojmë kufijtë e intervaleve përgjatë boshtit të abshisës dhe frekuencat relative të ndara me gjatësinë e intervalit përgjatë boshtit të ordinatave (Fig. 2.2).

Ne gjejmë funksionin empirik të shpërndarjes duke përdorur formulën:

.

Për të gjetur vlerën e funksionit të shpërndarjes empirike për një të dhënë X, mjafton të numërohet numri i eksperimenteve në të cilat vlera X mori një vlerë më të vogël se X, dhe pjesëtojeni me numrin total të eksperimenteve të kryera n.

Le të paraqesim funksionin empirik të shpërndarjes (Fig. 2.3).

3. X përdorim tabelën (2.5).

Tabela 2.5

Në formularin e mesatares së mostrës, ne zëvendësojmë shumën në kolonën e katërt (Tabela 2.5):

Në formulën për variancën e mostrës së paanshme, ne zëvendësojmë shumën në kolonën e pestë (Tabela 2.5):

Për të llogaritur vlerësimet e karakteristikave numerike për Y përdorim tabelën (2.6).

Tabela 2.6

Në formularin e mostrës mesatare ne zëvendësojmë shumën në kolonën e katërt (Tabela 2.6):

Në formulën për variancën e mostrës së paanshme, ne zëvendësojmë shumën në kolonën e pestë (Tabela 2.6):

Devijimi standard i mostrës së paanshme:

4. Le të ndërtojmë intervale besimi për pritshmërinë matematikore dhe variancën për një ndryshore të rastësishme X me probabilitet besimi β=0.95.

Duke përdorur tabelën 4 të shtojcave, gjejmë vlerën e statistikave studentore për probabilitetin e besimit β=0.95 dhe numrin e shkallëve të lirisë. k=42-1=41:

Gjysma e gjatësisë së intervalit të besimit:

Ne i zëvendësojmë vlerat e marra në formulën e intervalit të besimit për pritshmërinë matematikore:

Për të përcaktuar intervalin e besimit për variancën, sipas tabelës 3 të shtojcave, do të gjejmë vlerën e statistikës χ 2 për nivelin e rëndësisë α=1–β=1–0,95=0,05 dhe numrin e shkallëve të lirisë. k=42-1=41:

Le të zëvendësojmë vlerat e gjetura të statistikave χ 2 në formulën e intervalit të besimit për variancën:

Kështu, vlerat e vërteta të pritshmërisë matematikore M(x) dhe variancës D(x) bien në intervalet rezultuese me probabilitet β=0.95.

5. Le të kontrollojmë hipotezën për shpërndarjen normale të një ndryshoreje të rastësishme X duke përdorur kriterin Pearson.

Grafiku i poligonit të frekuencës dhe histogrami (ngjashmëria e jashtme me kurbën e Gaussian) sugjerojnë që popullata i bindet një ligji normal të shpërndarjes.

Ne parashtrojmë hipotezën kryesore:

H 0: Popullsia ndjek një ligj normal të shpërndarjes.

Atëherë hipoteza alternative merr formën:

H 1: Ligji i shpërndarjes nuk është normal.

Vendosëm nivelin e rëndësisë α=0.05.

Duke zgjeruar kufijtë e intervalit të parë dhe të fundit (Tabela 2.3), ne përmbledhim rezultatet e të gjitha llogaritjeve në tabelën 2.7.

Tabela 2.7

Kufijtë e intervalit	Frekuenca
–∞ – 9,5		0,0618		0,022
9,5 – 10,7	0,11440
10,7 – 11,9		0,1983	8,3286	0,335
11,9 – 13,1		0,2396	10,0632	0,423
13,1 – 14,3		0,2218	9,9356	0,082
14,3 – 15,5		0,0986		0,018
15,5 – +∞	0,0654
Shuma		1,0062	1,0000	0,88

Në tabelën 2.7, kolona e katërt paraqet rezultatet e llogaritjeve të probabiliteteve teorike të gjetura nën supozimin se ndryshorja e rastësishme i bindet një ligji të shpërndarjes normale, sipas formulës:

Vlerat e funksionit Laplace mund të gjenden në Tabelën 2 të Shtojcës.

Le të gjejmë probabilitetet për të hyrë në çdo interval:

Frekuenca teorike e dy intervaleve të para dhe dy të fundit është më e vogël se 5, kështu që i bashkojmë në kolonën e dytë dhe të katërt (Tabela 2.7).

Kolona e pestë (Tabela 2.7) është rezultat i llogaritjeve duke përdorur formulën:

Nuk duhet të harrojmë se dy intervalet e para dhe dy të fundit janë të kombinuara.

Kështu, shuma e kolonës së pestë (Tabela 2.7) është vlera e llogaritur e kriterit:

Meqenëse pas bashkimit kanë mbetur edhe 5 intervale ( l= 5), dhe vlerësimet e dy parametrave u përcaktuan nga kampioni, d.m.th. r=2, atëherë numri i shkallëve të lirisë është i barabartë me . Duke përdorur tabelën 3 të shtojcës, gjejmë vlerën e statistikave për fq=1–α=0,95 dhe k= 2:

Duke krahasuar vlerat e marra, shohim se

prandaj hipoteza e shpërndarjes normale nuk hidhet poshtë.

6. Për të kryer një analizë korrelacioni bazuar në të dhënat e mostrës, ne do të krijojmë një tabelë korrelacioni (Tabela 2.8):

Tabela 2.8

Duke përdorur vlerësimet e karakteristikave numerike të marra në paragrafin 3, gjejmë momentin e korrelacionit të mostrës duke përdorur formulën:

Së pari, le të llogarisim shumën:

Ne gjejmë koeficientin e korrelacionit të mostrës duke përdorur formulën:

Duhet të theksohet se afërsia e koeficientit të korrelacionit të mostrës në vlerë absolute me unitetin është një argument serioz në favor të zgjedhjes së një modeli të regresionit linear.

7. Le të ndërtojmë një model regresioni linear.

Bazuar në metodën e katrorëve më të vegjël, është marrë një marrëdhënie lineare Y nga X:

Ne zëvendësojmë vlerësimet e karakteristikave numerike të marra në paragrafin 3:

Duke thjeshtuar shprehjen, më në fund marrim ekuacionin e regresionit linear të mostrës:

Ju gjithashtu mund të ndërtoni një ekuacion varësie X nga Y:

Le të zëvendësojmë vlerësimet e marra më parë të karakteristikave numerike:

Le të ndërtojmë të dy drejtëzat në fushën e korrelacionit (Fig. 2.4). Vijat e drejta kryqëzohen në pikën . Këndi midis vijave të drejta, të ashtuquajturat "gërshërë", doli të jetë akut, i cili është plotësisht në përputhje me vlerën e marrë të koeficientit të korrelacionit të mostrës.

Modeli i regresionit që rezulton na lejon të parashikojmë vlerën e një ndryshoreje të rastësishme Y nga X, dhe anasjelltas.

Pyetje për vetëkontroll

1. Jepni kushtet për realizueshmërinë e skemës së Bernulit?

2. Në cilat raste formula e Bernulit zëvendësohet me formula të përafërta

3. Llojet kryesore të shpërndarjeve dhe karakteristikat e tyre numerike.

4. Cilat janë detyrat kryesore të statistikave matematikore?

5. Cili është parimi i metodës së kampionimit?

6. Koncepti i serisë së variacionit, frekuencës dhe frekuencës relative.

7. Koncepti i shpërndarjes së mostrës statistikore dhe funksioni i shpërndarjes empirike.

8. Përshkruani metodat për paraqitjen grafike të shpërndarjeve statistikore.

9. Cilat karakteristika të shpërndarjes përdoren në statistikat matematikore. Jepni shembuj dhe kontekst të përdorimit të tyre.

10. Specifikoni vetitë e vlerësimeve statistikore. Cilat prej tyre kanë karakteristika të njohura të shpërndarjes së mostrës.

11. Koncepti i saktësisë dhe besueshmërisë së vlerësimeve të intervalit.

12. Koncepti i hipotezës statistikore. Jepni llojet kryesore të hipotezave statistikore.

13.Formuloni algoritmin bazë për testimin e një hipoteze statistikore.

14. Cilat lloje të zonave kritike njihni?

15. Gabimet e llojit të parë dhe të dytë. Mënyrat për të reduktuar gjasat për të ndodhur një gabim.

16. Koncepti i varësisë statistikore dhe korrelacionit.

17. Detyrat kryesore të teorisë së korrelacionit.

18. Koeficienti i regresionit të mostrës dhe vetitë e tij.

Bibliografi

1. Bolshev L.N., Smirnov N.V. Tabelat e statistikave matematikore. M.: Nauka, 1983.

2. Ventzel E.S. Teoria e probabilitetit. − M.: Më e lartë. shkolla, 1998. − 578 f.

3. Ventzel, E.S., Ovcharov, L.A. Teoria e probabilitetit dhe aplikimet e saj inxhinierike. -M.: Nauka, 1988. - 480 f.

4. Ventzel, Teoria e probabilitetit: Libër mësuesi për universitetet / E.S., stereotip. 1999. - 400 f.

5. Gmurman, V.E. Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore: Libër mësuesi. manual për universitetet/V.E Gmurman – botimi i 9-të. stereotip., - M.: Shkolla e lartë, 2003. - 479 f.

6. Gmurman, V.E. Udhëzues për zgjidhjen e problemeve në teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore: Libër mësuesi. manual / V.E. Gmurman – botimi i 5-të. stereotip., - M.: Shkolla e lartë, 1999. - 400 f.

7. Kolde Y.K. Workshop mbi teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore. -M.: Shkolla e lartë, 1991. - 157 f.

8. Kolmogorov A.N., Zhurbenko I.G., Prokhorov A.V. Hyrje në teorinë e probabilitetit. -M.: Shkencë. Redaksia kryesore e literaturës fiziko-matematikore, 1982. - 160 f.

9. Me shkrim, D.T. Shënime leksioni mbi teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore. – M.: Iris-press, 2006. – 288 f. - (Arsimi i lartë).

10. Chetyrkin E.M., Kalikhman I.L. Probabiliteti dhe statistikat. -M.: Financa dhe statistika, 1982.- 319 f.

11. Chistyakov V.P. Kursi i teorisë së probabilitetit. − M.: Nauka, 1982.

APLIKACIONET

Tabela 1

Vlerat e standardizuara të funksionit të densitetit të shpërndarjes normale N(0,1)

tabela 2

Vlera e funksionit

Koncepti i një sistemi variablash të rastësishëm

Funksioni i shpërndarjes së një sistemi me dy ndryshore të rastit

1. Përkufizimi

   Vetitë e funksionit të shpërndarjes së një sistemi variablash të rastësishëm

Dendësia e shpërndarjes së një sistemi me dy ndryshore të rastësishme

1. Përkufizimi

   Interpretimi gjeometrik dhe "mekanik" i densitetit të shpërndarjes së një sistemi me dy ndryshore të rastit

   Vetitë e densitetit të shpërndarjes së sistemit

Ligjet e shpërndarjes së sasive individuale të përfshira në sistem. Ligjet e kushtëzuara të shpërndarjes

1. Përkufizimet

   Teorema e shumëzimit për ligjet e shpërndarjes

Variabla të rastësishme të varura dhe të pavarura

1. Përkufizimi variabla të rastësishme të pavarura

Karakteristikat numerike të një sistemi me dy ndryshore të rastit. Momenti i korrelacionit. Koeficienti i korrelacionit

1. A është koncepti i variablave të rastësishëm të pakorreluara ekuivalent me konceptin e pavarësisë?

Sistemi i një numri arbitrar të ndryshoreve të rastit

Koncepti i funksionit të shpërndarjes së një sistemi variablash të rastësishëm

Përcaktimi i densitetit të shpërndarjes së një sistemi prej n të vazhdueshme variabla të rastit

Karakteristikat numerike të një sistemi me disa ndryshore të rastit

1. Koncepti i një sistemi variablash të rastësishëm

Në aplikimet praktike të teorisë së probabilitetit, njeriu shumë shpesh ndeshet me probleme në të cilat rezultati i një eksperimenti përshkruhet jo nga një ndryshore e rastësishme, por nga dy ose më shumë ndryshore të rastësishme që formojnë një kompleks ose sistem. Për shembull, pika e goditjes së një predhe nuk përcaktohet nga një ndryshore e rastësishme, por nga dy: abshisa dhe ordinata - dhe mund të konsiderohet si një kompleks i dy ndryshoreve të rastit. Në mënyrë të ngjashme, pika e shpërthimit të një predhe të largët përcaktohet nga një kompleks i tre variablave të rastësishëm. Gjatë gjuajtjes së një grupi të shtënave, grupi i pikave të goditjes në aeroplan mund të konsiderohet si një kompleks ose sistem variablash të rastësishëm: abshisa dhe ordinata e pikave të goditjes. Fragmenti i formuar kur një predhë çahet karakterizohet nga një numër variablash të rastësishëm: pesha, madhësia, shpejtësia fillestare, drejtimi i fluturimit, etj. Le të biem dakord të shënojmë një sistem me disa ndryshore të rastësishme.

Vetitë e një sistemi të disa ndryshoreve të rastit nuk kufizohen vetëm në vetitë e variablave individuale që e përbëjnë atë: përveç kësaj, ato përfshijnë gjithashtu lidhje (varësi) të ndërsjella midis ndryshoreve të rastit.

Kur merren parasysh çështjet që lidhen me sistemet e ndryshoreve të rastësishme, është e përshtatshme të përdoret interpretimi gjeometrik i sistemit. Për shembull, një sistem me dy ndryshore të rastësishme mund të paraqitet si një pikë e rastësishme në një plan me koordinata dhe (Fig. 1.1). Në mënyrë të ngjashme, një sistem me tre ndryshore të rastësishme mund të përfaqësohet nga një pikë e rastësishme në hapësirën tre-dimensionale. Shpesh është e përshtatshme të flitet për një sistem variablash të rastësishëm si një "pikë e rastësishme në hapësirën matëse". Përkundër faktit se interpretimi i fundit nuk ka qartësi të drejtpërdrejtë, përdorimi i tij ofron njëfarë përfitimi në terminologjinë e përbashkët dhe thjeshtimin e shënimeve.

Shpesh, në vend të imazhit të një pike të rastësishme, imazhi i një vektori të rastësishëm përdoret për interpretimin gjeometrik të një sistemi variablash të rastësishëm. Një sistem me dy ndryshore të rastësishme konsiderohet si një vektor i rastësishëm në rrafsh, përbërësit e të cilit përgjatë boshteve paraqesin ndryshore të rastit (Fig. 1.2). Një sistem prej tre variablash të rastësishëm përfaqësohet nga një vektor i rastësishëm në hapësirën tredimensionale dhe një sistem i ndryshoreve të rastit përfaqësohet nga një vektor i rastësishëm në hapësirën dimensionale. Në këtë rast, teoria e sistemeve të numrave të rastit konsiderohet si një teori e vektorëve të rastit.

Fig.1.1. Fig.1.2

Në këtë kurs, në varësi të komoditetit të aplikacionit, ne do të përdorim një interpretim dhe tjetrin.

Kur kemi të bëjmë me sisteme të ndryshoreve të rastit, ne do të marrim parasysh karakteristikat e plota, shteruese probabilistike - ligjet e shpërndarjes, dhe ato jo të plota - karakteristikat numerike.

Ne e fillojmë prezantimin tonë me rastin më të thjeshtë të një sistemi me dy ndryshore të rastit.

Shpesh, kur studiohen dukuritë e rastësishme, duhet të merret jo me një ndryshore të rastësishme, por me dy, tre ose më shumë. Studimi i përbashkët i një numri të kufizuar variablash të rastësishëm çon në një sistem të ndryshoreve të rastit. Këtu janë disa shembuj të sistemeve të ndryshoreve të rastësishme:

• 1. Pika e uljes së anijes kozmike të ripërdorshme të Space Shuttle karakterizohet nga një sistem i tre variablave të rastësishëm: gjerësia (av), gjatësia (A,), lartësia (H).
• 2. Performanca akademike e një studenti të përzgjedhur në mënyrë të rastësishme karakterizohet nga një sistem variablash të rastësishëm - nota të vendosura në aneksin e diplomës.

Një grup i renditur variablash të rastësishëm >,

e dhënë në hapësirën e ngjarjeve elementare quhet sistem prej n variablash të rastit. Është e përshtatshme ta konsiderojmë atë si koordinatat e një vektori të rastësishëm në hapësirën n-dimensionale. Një sistem prej n variablash të rastësishëm është funksion i një ngjarjeje elementare, d.m.th.

Çdo ngjarje elementare shoqërohet me n numra realë - vlera të pranuara nga variablat e rastësishëm (X, X 2, ..., XJ si rezultat i eksperimentit.

Variablat e rastësishëm (X 1? X 2, ..., X) të përfshira në sistem mund të jenë diskrete dhe jodiskrete (të vazhdueshme dhe të përziera). Të gjitha përkufizimet bazë të konceptit të një ndryshoreje të rastësishme zbatohen për to praktikisht pa ndryshime.

Le të shqyrtojmë një sistem me dy ndryshore të rastësishme (X;Y). Konceptet e tij bazë përgjithësohen lehtësisht në rastin e një numri më të madh komponentësh. Një sistem me dy ndryshore të rastësishme (X;Y) mund të përfaqësohet nga një pikë e rastësishme në planin OXY (Fig. 2.18) ose një vektor i rastësishëm (Fig. 2.19).

Një karakteristikë e plotë e një sistemi variablash të rastësishëm është ligji i tij i shpërndarjes, i cili ka forma të ndryshme:

• matrica e shpërndarjes;
• funksioni i shpërndarjes;
• dendësia e shpërndarjes.

Një analog i serisë së shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X për një sistem me dy ndryshore të rastësishme (X,Y) është matrica e shpërndarjes - një tabelë drejtkëndore në të cilën

janë rregulluar probabilitetet

Një ngjarje është produkt i ngjarjeve (X = x d)

Dhe (Y = y).

Matrica e shpërndarjes së dy ndryshoreve të rastësishme diskrete ka formën:

vini re, se

Në Fig. Figura 2.20 tregon një grafik të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete dy-dimensionale (X, Y).

Duke ditur matricën e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete dy-dimensionale (X, Y), mund të përcaktohet seria e shpërndarjes së secilit komponent (e kundërta është përgjithësisht e pamundur).

Formulat e kërkuara duken kështu:

Formula më universale e ligjit të shpërndarjes për një sistem me dy ndryshore të rastësishme është funksioni i shpërndarjes, të cilin e shënojmë F(x, y).

Funksioni i shpërndarjes së dy ndryshoreve të rastit (X,Y) është probabiliteti i përmbushjes së përbashkët të pabarazisë: X x dhe Y y, d.m.th.

Gjeometrikisht F(x, y) interpretohet si probabiliteti që një pikë e rastësishme (X, Y) të bjerë në një katror të pafund me kulmin e saj në pikën ( x, y), e cila ndodhet majtas dhe poshtë saj (Fig. 2.21).

Vini re se kufijtë e sipërm dhe të djathtë të sheshit nuk janë përfshirë.

Nëse jepet matrica e shpërndarjes së dy ndryshoreve të rastësishme diskrete (2.49), atëherë funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale përcaktohet nga formula:

Le të paraqesim disa veti të funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale.

1. Bashkësia e vlerave të funksionit të shpërndarjes F(x, y) i përket segmentit d.m.th.

2. Funksioni i shpërndarjes F(x, y)është një funksion jo-zvogëlues i të dy argumenteve të tij, d.m.th.

3. Nëse të paktën një nga argumentet e funksionit të shpërndarjes F(x, y) kthehet në -oo, pastaj funksioni i shpërndarjes kthehet në zero, d.m.th.

• 4. Nëse të dy argumentet e funksionit të shpërndarjes F(x, y) kthehu në +oo, pastaj bëhet e barabartë me një, d.m.th. F(+oo, +oo) = 1.
• 5. Nëse njëri nga argumentet e funksionit të shpërndarjes kthehet në +oo, atëherë funksioni i shpërndarjes i një sistemi me dy ndryshore të rastësishme bëhet funksioni i shpërndarjes së ndryshores së rastit që i përgjigjet argumentit tjetër, d.m.th.

Ku F x (x) dhe F 2 (y) - funksionet e shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme X dhe Y, përkatësisht.

6. Funksioni i shpërndarjes së një sistemi me dy ndryshore të rastit F(x, y) lihet i vazhdueshëm në lidhje me secilin argument të tij, d.m.th.

Njohja e funksionit të shpërndarjes F (x, y), ju mund të gjeni probabilitetin për të goditur një pikë të rastësishme ( X, Y) në një drejtkëndësh G me brinjë paralele me boshtet e koordinatave, të kufizuara me abshisa a, b dhe ordinatat c dhe d, me kufijtë e majtë dhe të poshtëm të përfshirë në G, por kufiri i djathtë dhe i sipërm nuk përfshihen (Fig. 2.22).

Nëse funksioni i shpërndarjes F(x, y)është i vazhdueshëm dhe i diferencueshëm në lidhje me secilin nga argumentet, atëherë sistemi i dy ndryshoreve të rastit (X, Y) është i vazhdueshëm, dhe përbërësit e këtij sistemi janë variabla të rastësishme të vazhdueshme.

Për variablat e rastësishme dydimensionale të vazhdueshme, koncepti i densitetit të shpërndarjes (ose densitetit të përbashkët të shpërndarjes) prezantohet si një ligj i shpërndarjes. f (x, y), që është derivati ​​i dytë i përzier i pjesshëm i funksionit të shpërndarjes, d.m.th.

Dendësia e shpërndarjes f(x, y) paraqet një sipërfaqe të caktuar, e cila quhet sipërfaqe e shpërndarjes (Fig. 2.23).

Dendësia e shpërndarjes f(x, y) ka vetitë e mëposhtme:

• 1) dendësia e shpërndarjes është një funksion jo negativ, d.m.th. f(x, y) > 0;
• 2) vëllimi i kufizuar nga sipërfaqja e shpërndarjes dhe rrafshi Oxy është i barabartë me unitetin, d.m.th.

3) probabiliteti që një pikë e rastësishme (X, Y) të bjerë në rajonin G përcaktohet nga formula

4) funksioni i shpërndarjes së një sistemi me dy ndryshore të rastësishme (X, Y) shprehet përmes densitetit të përbashkët të shpërndarjes si më poshtë:

Ashtu si në rastin e një ndryshoreje të rastësishme, ne prezantojmë konceptin e një elementi probabiliteti për një sistem me dy ndryshore të vazhdueshme të rastit: f(x, y)dxdy.

Deri në urdhra pafundësisht të vegjël, elementi i probabilitetit f(x, y)dxdyështë e barabartë me probabilitetin që një pikë e rastësishme (X, Y) të bjerë në një drejtkëndësh elementar me dimensione dx dhe dy, ngjitur me një pikë (x, y)(Fig. 2.24).

Ky probabilitet është afërsisht i barabartë me vëllimin e një paralelipipedi elementar me lartësi f (x, y), që mbështetet në këtë drejtkëndësh.

Dendësia e shpërndarjes së komponentëve njëdimensionale X dhe Y të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme dydimensionale gjenden duke përdorur formulat

Njohja e densitetit të përbashkët të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme dy-dimensionale/(x, y), ju mund të gjeni funksionin e shpërndarjes së secilit prej përbërësve të tij:

Nëse dihen ligjet e shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme X dhe Y që përfshihen në sistem (X, Y), atëherë është e mundur të përcaktohet ligji i shpërndarjes së sistemit vetëm nëse variablat e rastësishëm X dhe Y janë të pavarur. Dy ndryshore të rastësishme X dhe Y do të jenë të pavarura vetëm nëse ligji i shpërndarjes së secilit prej tyre nuk varet nga vlerat që merr tjetri. Përndryshe, vlerat e X dhe Y do të varen.

Ne paraqesim pa prova kushtet për pavarësinë e dy ndryshoreve të rastit.

Teorema 2.2. Në mënyrë që dy ndryshore diskrete të rastit X dhe Y, që formojnë sistemin (X, Y), të jenë të pavarura, është e nevojshme dhe e mjaftueshme për barazinë

për Vi = 1, P Dhe j = 1, T.

Teorema 2.3. Që variablat e rastësishëm X dhe Y të përfshira në sistem (X, Y) të jenë të pavarura, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që funksioni i shpërndarjes së sistemit të jetë i barabartë me produktin e funksioneve të shpërndarjes së përbërësve të tij, d.m.th.

Teorema 2.4. Në mënyrë që variablat e rastësishëm të vazhdueshëm X dhe Y të përfshira në sistem (X, Y) të jenë të pavarura, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që barazia

domethënë, dendësia e shpërndarjes së përbashkët të sistemit (X, Y) duhet të jetë e barabartë me produktin e densitetit të shpërndarjes së përbërësve të tij.

Në rast se variablat e rastësishëm X dhe Y që formojnë sistemin janë të varur, konceptet e ligjeve të kushtëzuara të shpërndarjes së variablave të rastësishëm futen për të karakterizuar varësinë e tyre.

Ne nuk do të prekim ligjet e kushtëzuara të shpërndarjes në këtë manual. Të interesuarit mund të njihen me to, për shembull në.

Ashtu si një ndryshore e rastësishme X, një sistem me dy ndryshore të rastësishme (X, Y) mund të specifikohet nga karakteristikat numerike. Si të tilla, zakonisht përdoren momentet fillestare dhe qendrore të porosive të ndryshme.

Momenti fillestar i porosisë (Për + s) i një sistemi me dy ndryshore të rastësishme (X dhe Y) quhet pritshmëria matematikore e produktit X k në Po, d.m.th.

Momenti qendror i rendit (Për+ s) i një sistemi me dy ndryshore të rastësishme (X, Y) quhet pritshmëri matematikore

punon X k në U®, d.m.th.

ku janë të përqendruara rastësore

sasive.

Kujtoni se rendi i momenteve fillestare dhe qendrore është shuma e indekseve të tij, d.m.th. (Për+ s).

Le të paraqesim formulat për gjetjen e momenteve fillestare dhe qendrore.

Për një sistem prej dy ndryshoresh të rastësishme diskrete, kemi
Le t'ju kujtojmë se

Për një sistem me dy ndryshore të rastësishme të vazhdueshme marrim

Në praktikë, momentet fillestare dhe qendrore të rendit të parë dhe të dytë përdoren më shpesh.

Ka dy momente fillestare të rendit të parë:

Ato janë pritshmëritë matematikore të variablave të rastësishëm X dhe Y.

Pika me koordinata ( M[X], M[Y]) në rrafshin OXY - karakteristikë e pozicionit të një pike të rastit (X, Y), pra përhapja e tij ndodh rreth pikës (M[X, M[Y]).

Të dy momentet qendrore të rendit të parë janë të barabartë me zero, d.m.th.

Ekzistojnë tre momente fillestare të rendit të dytë:

Momenti a 11 gjenden shpesh në aplikacione. Nga shprehjet (2.66) dhe (2.68) formulat për llogaritjen e tij vijojnë:

Për një sistem me dy ndryshore diskrete të rastit

Për një sistem me dy ndryshore të rastësishme të vazhdueshme

Ekzistojnë tre momente qendrore të rendit të dytë:

Dy momentet e para në formulat (2.74) janë dispersione. Dhe momenti { quhet kovariancë, ose momenti i korrelacionit të sistemit të ndryshoreve të rastit (X,Y). Për të është futur një emërtim i veçantë K = K xy. Nga shprehjet (2.67) dhe (2.69) formulat për llogaritjen e tij vijojnë:

Për një sistem variablash diskrete të rastit

Për sistemet e variablave të rastësishme të vazhdueshme

Momentet qendrore mund të shprehen përmes atyre fillestare dhe anasjelltas. Prandaj, kovarianca shpesh shprehet në terma të momenteve fillestare.

domethënë, kovarianca e një sistemi prej dy ndryshoresh të rastësishme është e barabartë me pritshmërinë matematikore të produktit të tyre minus produktin e pritjeve të tyre matematikore.

Këtu janë disa veti të kovariancës:

1. Kovarianca është simetrike, d.m.th., kur indekset ndërrohen, ajo nuk ndryshon:

2. Varianca e një ndryshoreje të rastësishme është kovarianca e saj me vetveten, d.m.th.

3. Nëse ndryshoret e rastësishme X dhe Y janë të pavarura, atëherë kovarianca është zero:

Dimensioni i momentit të korrelacionit është i barabartë me produktin e dimensioneve të ndryshoreve të rastësishme X dhe Y. Është më i përshtatshëm të përdoret një koeficient pa dimension që karakterizon vetëm varësinë midis variablave të rastësishëm X dhe Y. Prandaj, kovarianca ndahet nga produkti i devijimeve standarde a[X] x a[Y] dhe fitohet koeficienti i korrelacionit:

Ky koeficient karakterizon shkallën e varësisë së variablave të rastësishëm X dhe Y, dhe jo ndonjë varësi, por vetëm lineare. Për çdo dy ndryshore të rastësishme X dhe Y, vlen pabarazia e mëposhtme:

Nëse g xy= 0, atëherë nuk ka lidhje lineare midis ndryshoreve të rastësishme X dhe Y dhe ato quhen të pakorreluara. Nëse g xy F 0, atëherë variablat e rastësishëm X dhe Y quhen të ndërlidhura.

Sa më afër r të jetë ±1, aq më afër ekziston marrëdhënia lineare midis ndryshoreve të rastësishme X dhe Y. Nëse r = ±1, atëherë midis ndryshoreve të rastësishme X dhe Y ekziston një marrëdhënie e ngurtë funksionale lineare e formës

Nga pavarësia e variablave të rastësishëm X dhe Y, rezulton se ato janë të pakorreluara. Por e kundërta nuk është e vërtetë në rastin e përgjithshëm, d.m.th nëse g xy= 0, atëherë kjo tregon vetëm mungesën e një lidhjeje lineare midis ndryshoreve të rastit. Ato mund të ndërlidhen nga një marrëdhënie lakor.

Le të shohim një shembull specifik.

Shembulli 2.5

Është dhënë matrica e shpërndarjes së një sistemi me dy ndryshore të rastësishme diskrete (X,Y).

Gjeni karakteristikat numerike të sistemit (X,Y): M[X], M[Y], D[X], D[Y], st[X], a[Y], K)