Shembuj dhe zgjidhje të sistemeve të ekuacioneve. Metoda për futjen e variablave të rinj

Sistemet e ekuacioneve përdoren gjerësisht në sektorin ekonomik për modelimin matematikor të proceseve të ndryshme. Për shembull, kur zgjidhni problemet e menaxhimit dhe planifikimit të prodhimit, rrugëve të logjistikës (problemi i transportit) ose vendosjes së pajisjeve.

Sistemet e ekuacioneve përdoren jo vetëm në matematikë, por edhe në fizikë, kimi dhe biologji, kur zgjidhen problemet e gjetjes së madhësisë së popullsisë.

Një sistem ekuacionesh lineare është dy ose më shumë ekuacione me disa ndryshore për të cilat është e nevojshme të gjendet një zgjidhje e përbashkët. Një sekuencë e tillë numrash për të cilat të gjitha ekuacionet bëhen barazi të vërteta ose vërtetojnë se sekuenca nuk ekziston.

Ekuacioni linear

Ekuacionet e trajtës ax+by=c quhen lineare. Emërtimet x, y janë të panjohurat vlera e të cilave duhet gjetur, b, a janë koeficientët e variablave, c është termi i lirë i ekuacionit.
Zgjidhja e një ekuacioni duke e vizatuar do të duket si një vijë e drejtë, të gjitha pikat e së cilës janë zgjidhje të polinomit.

Llojet e sistemeve të ekuacioneve lineare

Shembujt më të thjeshtë konsiderohen të jenë sistemet e ekuacioneve lineare me dy ndryshore X dhe Y.

F1(x, y) = 0 dhe F2(x, y) = 0, ku F1,2 janë funksione dhe (x, y) janë variabla funksioni.

Zgjidh sistemin e ekuacioneve - kjo do të thotë gjetja e vlerave (x, y) në të cilat sistemi kthehet në një barazi të vërtetë ose vërtetimi që vlerat e përshtatshme të x dhe y nuk ekzistojnë.

Një çift vlerash (x, y), të shkruara si koordinatat e një pike, quhet zgjidhje e një sistemi ekuacionesh lineare.

Nëse sistemet kanë një zgjidhje të përbashkët ose nuk ekziston asnjë zgjidhje, ato quhen ekuivalente.

Sistemet homogjene të ekuacioneve lineare janë sisteme ana e djathtë e të cilave është e barabartë me zero. Nëse pjesa e djathtë pas shenjës së barabartë ka një vlerë ose shprehet me një funksion, një sistem i tillë është heterogjen.

Numri i variablave mund të jetë shumë më tepër se dy, atëherë duhet të flasim për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare me tre ose më shumë ndryshore.

Kur përballen me sisteme, nxënësit e shkollës supozojnë se numri i ekuacioneve duhet domosdoshmërisht të përkojë me numrin e të panjohurave, por nuk është kështu. Numri i ekuacioneve në sistem nuk varet nga variablat mund të ketë aq sa dëshironi.

Metoda të thjeshta dhe komplekse për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Nuk ka asnjë metodë të përgjithshme analitike për zgjidhjen e sistemeve të tilla; Kursi i matematikës shkollore përshkruan në detaje metoda të tilla si ndryshimi, mbledhja algjebrike, zëvendësimi, si dhe metodat grafike dhe matricore, zgjidhje me metodën Gaussian.

Detyra kryesore kur mësoni metodat e zgjidhjes është të mësoni se si të analizoni saktë sistemin dhe të gjeni algoritmin optimal të zgjidhjes për secilin shembull. Gjëja kryesore nuk është të mësosh përmendësh një sistem rregullash dhe veprimesh për secilën metodë, por të kuptosh parimet e përdorimit të një metode të veçantë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare në kurrikulën e arsimit të përgjithshëm të klasës së 7-të është mjaft e thjeshtë dhe e shpjeguar me shumë detaje. Në çdo tekst të matematikës, këtij seksioni i kushtohet vëmendje e mjaftueshme. Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Gauss dhe Cramer është studiuar më hollësisht në vitet e para të arsimit të lartë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën e zëvendësimit

Veprimet e metodës së zëvendësimit synojnë të shprehin vlerën e një ndryshore në terma të të dytës. Shprehja zëvendësohet në ekuacionin e mbetur, pastaj reduktohet në një formë me një ndryshore. Veprimi përsëritet në varësi të numrit të të panjohurave në sistem

Le të japim një zgjidhje për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare të klasës 7 duke përdorur metodën e zëvendësimit:

Siç mund të shihet nga shembulli, ndryshorja x u shpreh përmes F(X) = 7 + Y. Shprehja rezultuese, e zëvendësuar në ekuacionin e dytë të sistemit në vend të X, ndihmoi për të marrë një ndryshore Y në ekuacionin e dytë. . Zgjidhja e këtij shembulli është e lehtë dhe ju lejon të merrni vlerën Y. Hapi i fundit është të kontrolloni vlerat e marra.

Nuk është gjithmonë e mundur të zgjidhet një shembull i një sistemi ekuacionesh lineare me zëvendësim. Ekuacionet mund të jenë komplekse dhe shprehja e ndryshores në termat e të panjohurës së dytë do të jetë shumë e rëndë për llogaritjet e mëtejshme. Kur ka më shumë se 3 të panjohura në sistem, zgjidhja me zëvendësim është gjithashtu e papërshtatshme.

Zgjidhja e një shembulli të një sistemi ekuacionesh lineare johomogjene:

Zgjidhje duke përdorur mbledhjen algjebrike

Kur kërkoni zgjidhje për sistemet duke përdorur metodën e mbledhjes, ekuacionet shtohen term pas termi dhe shumëzohen me numra të ndryshëm. Qëllimi përfundimtar i operacioneve matematikore është një ekuacion në një ndryshore.

Zbatimi i kësaj metode kërkon praktikë dhe vëzhgim. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e mbledhjes kur ka 3 ose më shumë ndryshore nuk është e lehtë. Shtimi algjebrik është i përshtatshëm për t'u përdorur kur ekuacionet përmbajnë thyesa dhe dhjetore.

Algoritmi i zgjidhjes:

1. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me një numër të caktuar. Si rezultat i veprimit aritmetik, një nga koeficientët e ndryshores duhet të bëhet i barabartë me 1.
2. Shtoni shprehjen që rezulton term pas termi dhe gjeni një nga të panjohurat.
3. Zëvendësoni vlerën që rezulton në ekuacionin e dytë të sistemit për të gjetur variablin e mbetur.

Metoda e zgjidhjes duke futur një ndryshore të re

Një variabël i ri mund të futet nëse sistemi kërkon gjetjen e një zgjidhjeje për jo më shumë se dy ekuacione, gjithashtu numri i të panjohurave duhet të jetë jo më shumë se dy.

Metoda përdoret për të thjeshtuar një nga ekuacionet duke futur një ndryshore të re. Ekuacioni i ri zgjidhet për të panjohurën e futur dhe vlera që rezulton përdoret për të përcaktuar variablin origjinal.

Shembulli tregon se duke futur një ndryshore të re t, ishte e mundur të reduktohej ekuacioni i parë i sistemit në një trinom kuadratik standard. Ju mund të zgjidhni një polinom duke gjetur diskriminuesin.

Është e nevojshme të gjendet vlera e diskriminuesit duke përdorur formulën e njohur: D = b2 - 4*a*c, ku D është diskriminuesi i dëshiruar, b, a, c janë faktorët e polinomit. Në shembullin e dhënë, a=1, b=16, c=39, pra D=100. Nëse diskriminuesi është më i madh se zero, atëherë ekzistojnë dy zgjidhje: t = -b±√D / 2*a, nëse diskriminuesi është më i vogël se zero, atëherë ka një zgjidhje: x = -b / 2*a.

Zgjidhja për sistemet rezultuese gjendet me metodën e shtimit.

Metoda vizuale për zgjidhjen e sistemeve

I përshtatshëm për 3 sisteme ekuacionesh. Metoda konsiston në ndërtimin e grafikëve të çdo ekuacioni të përfshirë në sistem në boshtin koordinativ. Koordinatat e pikave të kryqëzimit të kurbave do të jenë zgjidhja e përgjithshme e sistemit.

Metoda grafike ka një numër nuancash. Le të shohim disa shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare në mënyrë vizuale.

Siç shihet nga shembulli, për secilën rresht u ndërtuan dy pika, u zgjodhën në mënyrë arbitrare vlerat e ndryshores x: 0 dhe 3. Bazuar në vlerat e x, u gjetën vlerat për y: 3 dhe 0. Pikat me koordinata (0, 3) dhe (3, 0) janë shënuar në grafik dhe janë lidhur me një vijë.

Hapat duhet të përsëriten për ekuacionin e dytë. Pika e prerjes së vijave është zgjidhja e sistemit.

Shembulli i mëposhtëm kërkon gjetjen e një zgjidhjeje grafike të një sistemi ekuacionesh lineare: 0.5x-y+2=0 dhe 0.5x-y-1=0.

Siç shihet nga shembulli, sistemi nuk ka zgjidhje, sepse grafikët janë paralelë dhe nuk kryqëzohen në të gjithë gjatësinë e tyre.

Sistemet nga shembujt 2 dhe 3 janë të ngjashëm, por kur ndërtohen, bëhet e qartë se zgjidhjet e tyre janë të ndryshme. Duhet mbajtur mend se nuk është gjithmonë e mundur të thuhet nëse një sistem ka një zgjidhje apo jo, është gjithmonë e nevojshme të ndërtohet një grafik.

Matrica dhe varietetet e saj

Matricat përdoren për të shkruar në mënyrë koncize një sistem ekuacionesh lineare. Një matricë është një lloj i veçantë tabele i mbushur me numra. n*m ka n - rreshta dhe m - kolona.

Një matricë është katror kur numri i kolonave dhe rreshtave është i barabartë. Një matricë-vektor është një matricë e një kolone me një numër pafundësisht të mundshëm rreshtash. Një matricë me ato përgjatë njërës prej diagonaleve dhe elementëve të tjerë zero quhet identitet.

Një matricë e kundërt është një matricë kur shumëzohet me të cilën ajo origjinale shndërrohet në një matricë njësi një matricë e tillë ekziston vetëm për atë origjinale.

Rregullat për shndërrimin e një sistemi ekuacionesh në një matricë

Në lidhje me sistemet e ekuacioneve, koeficientët dhe termat e lirë të ekuacioneve shkruhen si numra matricë;

Një rresht matricë thuhet se është jozero nëse të paktën një element i rreshtit nuk është zero. Prandaj, nëse në ndonjë nga ekuacionet numri i variablave ndryshon, atëherë është e nevojshme të futet zero në vend të të panjohurës që mungon.

Kolonat e matricës duhet të korrespondojnë rreptësisht me variablat. Kjo do të thotë se koeficientët e ndryshores x mund të shkruhen vetëm në një kolonë, për shembull e para, koeficienti i të panjohurës y - vetëm në të dytën.

Kur shumëzoni një matricë, të gjithë elementët e matricës shumëzohen në mënyrë sekuenciale me një numër.

Opsione për gjetjen e matricës së kundërt

Formula për gjetjen e matricës së kundërt është mjaft e thjeshtë: K -1 = 1 / |K|, ku K -1 është matrica e kundërt, dhe |K| është përcaktor i matricës. |K| nuk duhet të jetë e barabartë me zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje.

Përcaktori llogaritet lehtësisht për një matricë dy-nga-dy ju vetëm duhet të shumëzoni elementët diagonale me njëri-tjetrin. Për opsionin "tre nga tre", ekziston një formulë |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Ju mund të përdorni formulën, ose mund të mbani mend se duhet të merrni një element nga çdo rresht dhe çdo kolonë në mënyrë që numrat e kolonave dhe rreshtave të elementeve të mos përsëriten në punë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e matricës

Metoda e matricës për të gjetur një zgjidhje ju lejon të reduktoni hyrjet e rënda kur zgjidhni sisteme me një numër të madh variablash dhe ekuacionesh.

Në shembull, një nm janë koeficientët e ekuacioneve, matrica është një vektor x n janë variabla dhe b n janë terma të lirë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën Gaussian

Në matematikën e lartë, metoda Gaussian studiohet së bashku me metodën Cramer dhe procesi i gjetjes së zgjidhjeve për sistemet quhet metoda e zgjidhjes Gauss-Cramer. Këto metoda përdoren për të gjetur variabla të sistemeve me një numër të madh ekuacionesh lineare.

Metoda e Gausit është shumë e ngjashme me zgjidhjet me zëvendësim dhe mbledhje algjebrike, por është më sistematike. Në kursin e shkollës, zgjidhja me metodën Gaussian përdoret për sistemet me 3 dhe 4 ekuacione. Qëllimi i metodës është të zvogëlojë sistemin në formën e një trapezi të përmbysur. Me anë të shndërrimeve dhe zëvendësimeve algjebrike, vlera e një ndryshoreje gjendet në një nga ekuacionet e sistemit. Ekuacioni i dytë është një shprehje me 2 të panjohura, ndërsa 3 dhe 4 janë, përkatësisht, me 3 dhe 4 ndryshore.

Pas sjelljes së sistemit në formën e përshkruar, zgjidhja e mëtejshme reduktohet në zëvendësimin vijues të variablave të njohur në ekuacionet e sistemit.

Në tekstet shkollore për klasën 7, një shembull i një zgjidhjeje me metodën Gauss përshkruhet si më poshtë:

Siç shihet nga shembulli, në hapin (3) janë marrë dy ekuacione: 3x 3 -2x 4 =11 dhe 3x 3 +2x 4 =7. Zgjidhja e ndonjë prej ekuacioneve do t'ju lejojë të gjeni një nga variablat x n.

Teorema 5, e cila përmendet në tekst, thotë se nëse një nga ekuacionet e sistemit zëvendësohet me një ekuivalent, atëherë sistemi që rezulton do të jetë gjithashtu i barabartë me atë origjinal.

Metoda Gaussian është e vështirë për t'u kuptuar nga nxënësit e shkollave të mesme, por është një nga mënyrat më interesante për të zhvilluar zgjuarsinë e fëmijëve të regjistruar në programe të avancuara mësimore në klasat e matematikës dhe fizikës.

Për lehtësinë e regjistrimit, llogaritjet zakonisht bëhen si më poshtë:

Koeficientët e ekuacioneve dhe termat e lirë shkruhen në formën e një matrice, ku çdo rresht i matricës korrespondon me një nga ekuacionet e sistemit. ndan anën e majtë të ekuacionit nga e djathta. Numrat romakë tregojnë numrin e ekuacioneve në sistem.

Fillimisht shkruani matricën me të cilën do të punohet, pastaj të gjitha veprimet e kryera me një nga rreshtat. Matrica që rezulton shkruhet pas shenjës "shigjeta" dhe veprimet e nevojshme algjebrike vazhdojnë derisa të arrihet rezultati.

Rezultati duhet të jetë një matricë në të cilën një nga diagonalet është e barabartë me 1, dhe të gjithë koeficientët e tjerë janë të barabartë me zero, domethënë, matrica reduktohet në një formë njësi. Nuk duhet të harrojmë të kryejmë llogaritjet me numra në të dy anët e ekuacionit.

Kjo metodë regjistrimi është më pak e rëndë dhe ju lejon të mos shpërqendroheni duke renditur shumë të panjohura.

Përdorimi falas i çdo metode zgjidhjeje do të kërkojë kujdes dhe përvojë. Jo të gjitha metodat janë të një natyre aplikative. Disa metoda për të gjetur zgjidhje janë më të preferuara në një fushë të caktuar të veprimtarisë njerëzore, ndërsa të tjera ekzistojnë për qëllime edukative.

Materiali në këtë artikull ka për qëllim një njohje të parë me sistemet e ekuacioneve. Këtu do të prezantojmë përkufizimin e një sistemi ekuacionesh dhe zgjidhjet e tij, dhe gjithashtu do të shqyrtojmë llojet më të zakonshme të sistemeve të ekuacioneve. Si zakonisht, ne do të japim shembuj shpjegues.

Navigimi i faqes.

Çfarë është një sistem ekuacionesh?

Përkufizimit të sistemit të ekuacioneve do t'i qasemi gradualisht. Së pari, le të themi se është e përshtatshme për ta dhënë atë, duke treguar dy pika: së pari, llojin e regjistrimit dhe, së dyti, kuptimin e ngulitur në këtë regjistrim. Le t'i shikojmë ato me radhë, dhe pastaj të përgjithësojmë arsyetimin në përkufizimin e sistemeve të ekuacioneve.

Le të jenë disa prej tyre para nesh. Për shembull, le të marrim dy ekuacione 2 x+y=−3 dhe x=5. Le t'i shkruajmë njëra poshtë tjetrës dhe t'i kombinojmë në të majtë me një mbajtës kaçurrelë:

Regjistrimet e këtij lloji, të cilat janë disa ekuacione të renditura në një kolonë dhe të bashkuara në të majtë nga një mbajtës kaçurrelë, janë regjistrime të sistemeve të ekuacioneve.

Çfarë nënkuptojnë hyrje të tilla? Ata përcaktojnë grupin e të gjitha zgjidhjeve të tilla për ekuacionet e sistemit që janë një zgjidhje për çdo ekuacion.

Nuk do të ishte keq ta përshkruajmë me fjalë të tjera. Le të themi se disa zgjidhje të ekuacionit të parë janë zgjidhje për të gjitha ekuacionet e tjera të sistemit. Pra, të dhënat e sistemit i nënkuptojnë vetëm ato.

Tani ne jemi gati të pranojmë në mënyrë adekuate përkufizimin e një sistemi ekuacionesh.

Përkufizimi.

Sistemet e ekuacioneve thirrni rekorde që janë ekuacione të vendosura njëra poshtë tjetrës, të bashkuara në të majtë nga një mbajtës kaçurrelë, që tregojnë grupin e të gjitha zgjidhjeve të ekuacioneve që janë gjithashtu zgjidhje për çdo ekuacion të sistemit.

Një përkufizim i ngjashëm është dhënë në tekstin shkollor, megjithatë, ai është dhënë atje jo për rastin e përgjithshëm, por për dy ekuacione racionale me dy ndryshore.

Llojet kryesore

Është e qartë se ka një numër të pafund ekuacionesh të ndryshme. Natyrisht, ka gjithashtu një numër të pafund sistemesh ekuacionesh të përpiluara duke përdorur ato. Prandaj, për lehtësinë e studimit dhe punës me sistemet e ekuacioneve, ka kuptim t'i ndajmë ato në grupe sipas karakteristikave të ngjashme, dhe më pas të kalojmë në shqyrtimin e sistemeve të ekuacioneve të llojeve individuale.

Ndarja e parë sugjeron veten nga numri i ekuacioneve të përfshira në sistem. Nëse ka dy ekuacione, atëherë mund të themi se kemi një sistem prej dy ekuacionesh, nëse janë tre, atëherë një sistem prej tre ekuacionesh, etj. Është e qartë se nuk ka kuptim të flasim për një sistem të një ekuacioni, pasi në këtë rast, në thelb, kemi të bëjmë me vetë ekuacionin dhe jo me sistemin.

Ndarja tjetër bazohet në numrin e variablave të përfshirë në shkrimin e ekuacioneve të sistemit. Nëse është një ndryshore, atëherë kemi të bëjmë me një sistem ekuacionesh me një ndryshore (thonë edhe me një të panjohur), nëse janë dy, atëherë me një sistem ekuacionesh me dy ndryshore (me dy të panjohura) etj. Për shembull, është një sistem ekuacionesh me dy ndryshore x dhe y.

Kjo i referohet numrit të të gjitha variablave të ndryshëm të përfshirë në regjistrim. Ata nuk duhet të përfshihen të gjithë në të dhënat e secilit ekuacion menjëherë; P.sh. është një sistem ekuacionesh me tre ndryshore x, y dhe z. Në ekuacionin e parë, ndryshorja x është e pranishme në mënyrë eksplicite, dhe y dhe z janë të nënkuptuar (mund të supozojmë se këto ndryshore kanë zero), dhe në ekuacionin e dytë janë x dhe z, por ndryshorja y nuk është paraqitur në mënyrë eksplicite. Me fjalë të tjera, ekuacioni i parë mund të shihet si , dhe e dyta – si x+0·y−3·z=0 .

Pika e tretë në të cilën ndryshojnë sistemet e ekuacioneve është vetë lloji i ekuacioneve.

Në shkollë, studimi i sistemeve të ekuacioneve fillon me sistemet e dy ekuacioneve lineare në dy ndryshore. Domethënë, sisteme të tilla përbëjnë dy ekuacione lineare. Këtu janë disa shembuj: Dhe . Ata mësojnë bazat e punës me sistemet e ekuacioneve.

Kur zgjidhni probleme më komplekse, mund të hasni edhe sisteme me tre ekuacione lineare me tre të panjohura.

Më tej në klasën e 9-të, ekuacionet jolineare u shtohen sistemeve të dy ekuacioneve me dy ndryshore, kryesisht ekuacione të tëra të shkallës së dytë, më rrallë - shkallë më të larta. Këto sisteme quhen sisteme ekuacionesh jolineare, nëse është e nevojshme, specifikohet numri i ekuacioneve dhe të panjohurave; Le të tregojmë shembuj të sistemeve të tilla të ekuacioneve jolineare: Dhe .

Dhe pastaj në sisteme ka gjithashtu, për shembull, . Zakonisht quhen thjesht sisteme ekuacionesh, pa specifikuar se cilat ekuacione. Vlen të përmendet këtu se më shpesh ata thjesht thonë "sistem ekuacionesh" për një sistem ekuacionesh, dhe sqarimet shtohen vetëm nëse është e nevojshme.

Në shkollën e mesme, ndërsa studiohet materiali, ekuacionet iracionale, trigonometrike, logaritmike dhe eksponenciale depërtojnë në sistemet: , , .

Nëse shikojmë edhe më tej në kurrikulën universitare të vitit të parë, theksi kryesor është në studimin dhe zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE), pra ekuacioneve në të cilat anët e majta përmbajnë polinome të shkallës së parë, dhe anët e djathta përmbajnë numra të caktuar. Por atje, ndryshe nga shkolla, nuk marrin më dy ekuacione lineare me dy ndryshore, por një numër arbitrar ekuacionesh me një numër arbitrar ndryshoresh, që shpesh nuk përputhet me numrin e ekuacioneve.

Cila është zgjidhja e një sistemi ekuacionesh?

Termi "zgjidhje e një sistemi ekuacionesh" i referohet drejtpërdrejt sistemeve të ekuacioneve. Në shkollë jepet përkufizimi i zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh me dy ndryshore :

Përkufizimi.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh me dy ndryshore quhet një çift vlerash të këtyre variablave që e kthen çdo ekuacion të sistemit në të saktë, me fjalë të tjera, është një zgjidhje për çdo ekuacion të sistemit.

Për shembull, një palë vlerash të ndryshueshme x=5, y=2 (mund të shkruhet si (5, 2)) është një zgjidhje për një sistem ekuacionesh sipas përkufizimit, pasi ekuacionet e sistemit, kur x= 5, y=2 zëvendësohen në to, kthehen në barazime numerike të sakta përkatësisht 5+2=7 dhe 5−2=3. Por çifti i vlerave x=3, y=0 nuk është zgjidhje për këtë sistem, pasi me zëvendësimin e këtyre vlerave në ekuacione, e para prej tyre do të kthehet në barazinë e pasaktë 3+0=7.

Përkufizime të ngjashme mund të formulohen për sistemet me një ndryshore, si dhe për sistemet me tre, katër, etj. variablat.

Përkufizimi.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh me një ndryshore do të ketë një vlerë të ndryshores që është rrënja e të gjitha ekuacioneve të sistemit, domethënë, duke i kthyer të gjitha ekuacionet në barazi numerike të sakta.

Le të japim një shembull. Konsideroni një sistem ekuacionesh me një ndryshore t të formës . Numri −2 është zgjidhja e tij, pasi që të dyja (−2) 2 =4 dhe 5·(−2+2)=0 janë barazi të vërteta numerike. Dhe t=1 nuk është zgjidhje për sistemin, pasi zëvendësimi i kësaj vlere do të japë dy barazi të pasakta 1 2 =4 dhe 5·(1+2)=0.

Përkufizimi.

Zgjidhja e një sistemi me tre, katër etj. variablave quhen tre, katër, etj. vlerat e variablave, përkatësisht, duke i kthyer të gjitha ekuacionet e sistemit në barazi të vërteta.

Pra, sipas definicionit, një trefish i vlerave të ndryshoreve x=1, y=2, z=0 është një zgjidhje për sistemin , pasi 2·1=2, 5·2=10 dhe 1+2+0=3 janë barazi numerike të vërteta. Dhe (1, 0, 5) nuk është një zgjidhje për këtë sistem, pasi kur zëvendësohen këto vlera të ndryshoreve në ekuacionet e sistemit, e dyta prej tyre kthehet në barazinë e pasaktë 5·0=10, dhe e treta. gjithashtu 1+0+5=3.

Vini re se sistemet e ekuacioneve mund të mos kenë zgjidhje, mund të kenë një numër të kufizuar zgjidhjesh, për shembull, një, dy, ..., ose mund të kenë pafundësisht shumë zgjidhje. Këtë do ta shihni ndërsa futeni më thellë në temë.

Duke marrë parasysh përkufizimet e një sistemi ekuacionesh dhe zgjidhjet e tyre, mund të konkludojmë se zgjidhja e një sistemi ekuacionesh është kryqëzimi i grupeve të zgjidhjeve të të gjitha ekuacioneve të tij.

Për të përfunduar, këtu janë disa përkufizime të lidhura:

Përkufizimi.

jo të përbashkët, nëse nuk ka zgjidhje, ndryshe quhet sistemi të përbashkët.

Përkufizimi.

Sistemi i ekuacioneve quhet i pasigurt, nëse ka pafundësisht shumë zgjidhje, dhe të caktuara, nëse ka një numër të kufizuar zgjidhjesh ose nuk i ka fare.

Këto terma futen, për shembull, në një libër shkollor, por ato përdoren mjaft rrallë në shkollë, ato dëgjohen më shpesh në institucionet e arsimit të lartë.

Bibliografi.

1. Algjebra: teksti shkollor për klasën e 7-të arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 17-të. - M.: Arsimi, 2008. - 240 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algjebra: Klasa e 9-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2009. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 7-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich. - Botimi i 17-të, shto. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 f.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 9-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Botimi i 13-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 f.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovich A.G. Algjebra dhe fillimi i analizës matematikore. Klasa 11. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm (niveli i profilit) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Botimi i 2-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 f.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algjebër dhe fillimi i analizës: Proc. për klasat 10-11. arsimi i përgjithshëm institucionet / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn dhe të tjerë; Ed. A. N. Kolmogorov - botimi i 14-të - M.: Arsimi, 2004. - 384 f.: ISBN 5-09-013651.
7. A. G. Kurosh. Kursi i lartë i algjebrës.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Gjeometria analitike: Libër mësuesi: Për universitetet. - Ed. 5. - M.: Shkencë. Fizmatlit, 1999. – 224 f. – (Kursi i matematikës së lartë dhe fizikës matematikore). – ISBN 5-02-015234 – X (Çështja 3)

Mësim dhe prezantim me temën: "Sistemet e ekuacioneve. Metoda e zëvendësimit, metoda e mbledhjes, metoda e prezantimit të një ndryshoreje të re"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Ndihma edukative dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 9
Simulator për tekste shkollore nga Atanasyan L.S. Simulator për tekstet shkollore Pogorelova A.V.

Metodat për zgjidhjen e sistemeve të pabarazive

Metoda e zëvendësimit

Si duhet të veproni kur merrni një vendim?
1. Shprehni një nga variablat në terma të një tjetri. Variablat që përdoren më shpesh në ekuacione janë x dhe y. Në një nga ekuacionet ne shprehim një ndryshore në terma të një tjetri. Këshillë: Shikoni me kujdes të dy ekuacionet përpara se të filloni zgjidhjen dhe zgjidhni atë ku është më e lehtë të shprehni variablin.
2. Zëvendësoni shprehjen që rezulton në ekuacionin e dytë, në vend të ndryshores që u shpreh.
3. Zgjidheni ekuacionin që morëm.
4. Zëvendësoni zgjidhjen që rezulton në ekuacionin e dytë. Nëse ka disa zgjidhje, atëherë duhet t'i zëvendësoni ato në mënyrë sekuenciale në mënyrë që të mos humbni disa zgjidhje.
5. Si rezultat, ju do të merrni një palë numrash $(x;y)$, të cilët duhet të shënohen si përgjigje.

Shembull.
Zgjidh një sistem me dy variabla duke përdorur metodën e zëvendësimit: $\begin(rastet)x+y=5, \\xy=6\end(rastet)$.

Zgjidhje.
Le t'i hedhim një vështrim nga afër ekuacionet tona. Natyrisht, shprehja e y në terma x në ekuacionin e parë është shumë më e thjeshtë.
$\begin(rastet)y=5-x, \\xy=6\end(rastet)$.
Le të zëvendësojmë shprehjen e parë në ekuacionin e dytë $\begin(rastet)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(rastet)$.
Le të zgjidhim ekuacionin e dytë veçmas:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Ne morëm dy zgjidhje për ekuacionin e dytë $x_1=2$ dhe $x_2=3$.
Zëvendësoni në mënyrë sekuenciale në ekuacionin e dytë.
Nëse $x=2$, atëherë $y=3$. Nëse $x=3$, atëherë $y=2$.
Përgjigja do të jetë dy çifte numrash.
Përgjigje: $(2;3)$ dhe $(3;2)$.

Metoda e mbledhjes algjebrike

Shembull.
Zgjidheni sistemin: $\begin(rastet)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(rastet)$.

Zgjidhje.
Le të shumëzojmë ekuacionin e parë me 2.
$\begin(rastet)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(rastet)$.
Le të zbresim të dytën nga ekuacioni i parë.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Siç mund ta shihni, forma e ekuacionit që rezulton është shumë më e thjeshtë se ajo origjinale. Tani mund të përdorim metodën e zëvendësimit.
$\begin(rastet)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(rastet)$.
Le të shprehim x në terma y në ekuacionin që rezulton.
$\begin(rastet)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(rastet)$.
$\fillimi(rastet)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\fund(rastet)$.
$\fille(rastet)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\fund(rastet)$.
$\fillim(rastet)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\fund(rastet)$.
$\fillim(rastet)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\fund(rastet)$.
$\fillimi(rastet)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\fundi(rastet)$.
Ne morëm $y=-1$ dhe $y=-3$.
Le t'i zëvendësojmë këto vlera në mënyrë sekuenciale në ekuacionin e parë. Marrim dy palë numrash: $(1;-1)$ dhe $(-1;-3)$.
Përgjigje: $(1;-1)$ dhe $(-1;-3)$.

Metoda për prezantimin e një ndryshoreje të re

Shembull.
Zgjidheni sistemin: $\begin(rastet)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(rastet)$.

Zgjidhje.
Le të prezantojmë zëvendësimin $t=\frac(x)(y)$.
Le të rishkruajmë ekuacionin e parë me një ndryshore të re: $t+\frac(2)(t)=3$.
Le të zgjidhim ekuacionin që rezulton:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Ne morëm $t=2$ ose $t=1$. Le të prezantojmë ndryshimin e kundërt $t=\frac(x)(y)$.
Ne morëm: $x=2y$ dhe $x=y$.

Për secilën prej shprehjeve, sistemi origjinal duhet të zgjidhet veçmas:
$\fillim(rastet)x=2y, \\2x^2-y^2=1\fund(rastet)$.    $\fille(rastet)x=y, \\2x^2-y^2=1\fund(rastet)$.
$\fillim(rastet)x=2y, \\8y^2-y^2=1\fund(rastet)$.    $\fille(rastet)x=y, \\2y^2-y^2=1\fund(rastet)$.
$\begin(rastet)x=2y, \\7y^2=1\end(rastet)$.       $\fille(rastet)x=2y, \\y^2=1\fund(rastet)$.
$\begin(rastet)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(rastet)$.      $\fillimi(rastet)x=y, \\y=±1\fundi(rastet)$.
$\begin(rastet)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(rastet)$.     $\fillimi(rastet)x=±1, \\y=±1\fundi(rastet)$.
Ne morëm katër palë zgjidhje.
Përgjigje: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Shembull.
Zgjidheni sistemin: $\begin(rastet)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\fund(rastet)$.

Zgjidhje.
Le të prezantojmë zëvendësimin: $z=\frac(2)(x-3y)$ dhe $t=\frac(3)(2x+y)$.
Le të rishkruajmë ekuacionet origjinale me ndryshore të reja:
$\fille(rastet)z+t=2, \\4z-3t=1\fund(rastet)$.
Le të përdorim metodën e mbledhjes algjebrike:
$\fillim(rastet)3z+3t=6, \\4z-3t=1\fund(rastet)$.
$\begin(rastet)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end (rastet)$.
$\begin(rastet)7z=7, \\4z-3t=1\end(rastet)$.
$\begin(rastet)z=1, \\-3t=1-4\end(rastet)$.
$\fillimi(rastet)z=1, \\t=1\fundi(rastet)$.
Le të prezantojmë zëvendësimin e kundërt:
$\begin(rastet)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\fund(rastet)$.
$\fillim(rastet)x-3y=2, \\2x+y=3\fund(rastet)$.
Le të përdorim metodën e zëvendësimit:
$\fillimi(rastet)x=2+3y, \\4+6y+y=3\fundi(rastet)$.
$\fillim(rastet)x=2+3y, \\7y=-1\fund(rastet)$.
$\fille(rastet)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\fund(rastet)$.
$\begin(rastet)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end (rastet)$.
Përgjigje: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Probleme mbi sistemet e ekuacioneve për zgjidhje të pavarur

Me këtë video filloj një seri mësimesh kushtuar sistemeve të ekuacioneve. Sot do të flasim për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare metoda e shtimit- Kjo është një nga metodat më të thjeshta, por në të njëjtën kohë një nga më efektivet.

Metoda e shtimit përbëhet nga tre hapa të thjeshtë:

1. Shikoni sistemin dhe zgjidhni një variabël që ka koeficientë të njëjtë (ose të kundërt) në çdo ekuacion;
2. Kryen zbritjen algjebrike (për numrat e kundërt - mbledhje) të ekuacioneve nga njëri-tjetri, dhe më pas sjell terma të ngjashëm;
3. Zgjidheni ekuacionin e ri të marrë pas hapit të dytë.

Nëse gjithçka është bërë si duhet, atëherë në dalje do të marrim një ekuacion të vetëm me një variabël- nuk do të jetë e vështirë për ta zgjidhur atë. Pastaj gjithçka që mbetet është të zëvendësojmë rrënjën e gjetur në sistemin origjinal dhe të marrim përgjigjen përfundimtare.

Sidoqoftë, në praktikë gjithçka nuk është aq e thjeshtë. Ka disa arsye për këtë:

• Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes nënkupton që të gjitha linjat duhet të përmbajnë variabla me koeficientë të barabartë/të kundërt. Çfarë duhet bërë nëse kjo kërkesë nuk plotësohet?
• Jo gjithmonë, pasi shtojmë/zbrisim ekuacionet në mënyrën e treguar, marrim një ndërtim të bukur që mund të zgjidhet lehtësisht. A është e mundur që disi të thjeshtohen llogaritjet dhe të shpejtohen llogaritjet?

Për të marrë përgjigjen e këtyre pyetjeve dhe në të njëjtën kohë për të kuptuar disa hollësi shtesë që shumë studentë dështojnë, shikoni mësimin tim video:

Me këtë mësim ne fillojmë një seri leksionesh kushtuar sistemeve të ekuacioneve. Dhe ne do të fillojmë nga më të thjeshtat prej tyre, përkatësisht ato që përmbajnë dy ekuacione dhe dy ndryshore. Secila prej tyre do të jetë lineare.

Sistemet është material i klasës së 7-të, por ky mësim do të jetë i dobishëm edhe për nxënësit e shkollave të mesme që duan të përmirësojnë njohuritë e tyre për këtë temë.

Në përgjithësi, ekzistojnë dy metoda për zgjidhjen e sistemeve të tilla:

1. Metoda e shtimit;
2. Një metodë për të shprehur një ndryshore në termat e një tjetri.

Sot do të merremi me metodën e parë - do të përdorim metodën e zbritjes dhe mbledhjes. Por për ta bërë këtë, duhet të kuptoni faktin e mëposhtëm: pasi të keni dy ose më shumë ekuacione, mund të merrni çdo dy prej tyre dhe t'i shtoni njëri-tjetrit. Ata shtohen anëtar për anëtar, d.m.th. "X" i shtohen "X" dhe jepen të ngjashme, "Y" me "Y" janë përsëri të ngjashme, dhe ajo që është në të djathtë të shenjës së barabartë i shtohet njëra-tjetrës dhe të ngjashme jepen edhe atje. .

Rezultatet e makinacioneve të tilla do të jenë një ekuacion i ri, i cili, nëse ka rrënjë, ato sigurisht që do të jenë ndër rrënjët e ekuacionit origjinal. Prandaj, detyra jonë është të bëjmë zbritjen ose mbledhjen në atë mënyrë që ose $x$ ose $y$ të zhduket.

Si ta arrini këtë dhe çfarë mjeti të përdorni për këtë - do të flasim për këtë tani.

Zgjidhja e problemeve të lehta duke përdorur shtimin

Pra, ne mësojmë të përdorim metodën e mbledhjes duke përdorur shembullin e dy shprehjeve të thjeshta.

Detyra nr. 1

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Vini re se $y$ ka një koeficient prej $-4$ në ekuacionin e parë dhe $+4$ në të dytin. Ato janë reciprokisht të kundërta, kështu që është logjike të supozohet se nëse i mbledhim ato, atëherë në shumën që rezulton "lojërat" do të shkatërrohen reciprokisht. Shtoni dhe merrni:

Le të zgjidhim ndërtimin më të thjeshtë:

E shkëlqyeshme, gjetëm "x". Çfarë duhet të bëjmë me të tani? Ne kemi të drejtë ta zëvendësojmë atë në ndonjë nga ekuacionet. Le të zëvendësojmë në të parën:

\[-4y=12\majtas| :\left(-4 \djathtas) \djathtas.\]

Përgjigje: $\majtas(2;-3 \djathtas)$.

Problemi nr. 2

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Situata këtu është krejtësisht e ngjashme, vetëm me "X". Le t'i mbledhim ato:

Ne kemi ekuacionin linear më të thjeshtë, le ta zgjidhim:

Tani le të gjejmë $x$:

Përgjigje: $\majtas(-3;3 \djathtas)$.

Pika të rëndësishme

Pra, ne sapo kemi zgjidhur dy sisteme të thjeshta të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e mbledhjes. Pikat kryesore përsëri:

1. Nëse ka koeficientë të kundërt për njërën nga variablat, atëherë është e nevojshme të shtohen të gjitha variablat në ekuacion. Në këtë rast, njëri prej tyre do të shkatërrohet.
2. Ne e zëvendësojmë variablin e gjetur në cilindo nga ekuacionet e sistemit për të gjetur të dytin.
3. Regjistrimi përfundimtar i përgjigjes mund të paraqitet në mënyra të ndryshme. Për shembull, si kjo - $x=...,y=...$, ose në formën e koordinatave të pikave - $\left(...;... \djathtas)$. Opsioni i dytë është i preferueshëm. Gjëja kryesore për t'u mbajtur mend është se koordinata e parë është $x$, dhe e dyta është $y$.
4. Rregulli i shkrimit të përgjigjes në formën e koordinatave të pikës nuk është gjithmonë i zbatueshëm. Për shembull, nuk mund të përdoret kur variablat nuk janë $x$ dhe $y$, por, për shembull, $a$ dhe $b$.

Në problemat e mëposhtme do të shqyrtojmë teknikën e zbritjes kur koeficientët nuk janë të kundërt.

Zgjidhja e problemeve të lehta duke përdorur metodën e zbritjes

Detyra nr. 1

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Vini re se këtu nuk ka koeficientë të kundërt, por ka të njëjtë. Prandaj, ne zbresim të dytën nga ekuacioni i parë:

Tani ne e zëvendësojmë vlerën $x$ në cilindo nga ekuacionet e sistemit. Le të shkojmë së pari:

Përgjigje: $\majtas(2;5\djathtas)$.

Problemi nr. 2

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne përsëri shohim të njëjtin koeficient prej $5$ për $x$ në ekuacionin e parë dhe të dytë. Prandaj, është logjike të supozohet se ju duhet të zbritni të dytën nga ekuacioni i parë:

Ne kemi llogaritur një variabël. Tani le të gjejmë të dytin, për shembull, duke zëvendësuar vlerën $y$ në ndërtimin e dytë:

Përgjigje: $\majtas(-3;-2 \djathtas)$.

Nuancat e zgjidhjes

Pra, çfarë shohim? Në thelb, skema nuk është e ndryshme nga zgjidhja e sistemeve të mëparshme. I vetmi ndryshim është se ne nuk i shtojmë ekuacionet, por i zbresim ato. Ne po bëjmë zbritjen algjebrike.

Me fjalë të tjera, sapo të shihni një sistem të përbërë nga dy ekuacione në dy të panjohura, gjëja e parë që duhet të shikoni janë koeficientët. Nëse janë të njëjta kudo, ekuacionet zbriten, dhe nëse janë të kundërta, përdoret metoda e mbledhjes. Kjo bëhet gjithmonë në mënyrë që njëra prej tyre të zhduket, dhe në ekuacionin përfundimtar, i cili mbetet pas zbritjes, mbetet vetëm një ndryshore.

Sigurisht, kjo nuk është e gjitha. Tani do të shqyrtojmë sistemet në të cilat ekuacionet janë përgjithësisht jokonsistente. Ato. Nuk ka variabla në to që janë ose të njëjta ose të kundërta. Në këtë rast, për të zgjidhur sisteme të tilla, përdoret një teknikë shtesë, domethënë, shumëzimi i secilit prej ekuacioneve me një koeficient të veçantë. Si ta gjejmë atë dhe si të zgjidhim sisteme të tilla në përgjithësi, ne do të flasim për këtë tani.

Zgjidhja e problemave duke shumëzuar me një koeficient

Shembulli #1

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne shohim se as për $x$ as për $y$ koeficientët nuk janë vetëm reciprokisht të kundërt, por edhe në asnjë mënyrë nuk lidhen me ekuacionin tjetër. Këta koeficientë nuk do të zhduken në asnjë mënyrë, edhe nëse i shtojmë ose i zbresim ekuacionet nga njëri-tjetri. Prandaj, është e nevojshme të zbatohet shumëzimi. Le të përpiqemi të heqim qafe variablin $y$. Për ta bërë këtë, ne e shumëzojmë ekuacionin e parë me koeficientin $y$ nga ekuacioni i dytë dhe ekuacionin e dytë me koeficientin $y$ nga ekuacioni i parë, pa prekur shenjën. Ne shumëzojmë dhe marrim një sistem të ri:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Le ta shohim: në $y$ koeficientët janë të kundërt. Në një situatë të tillë, është e nevojshme të përdoret metoda e shtimit. Le të shtojmë:

Tani duhet të gjejmë $y$. Për ta bërë këtë, zëvendësoni $x$ në shprehjen e parë:

\[-9y=18\majtas| :\left(-9 \djathtas) \djathtas.\]

Përgjigje: $\majtas(4;-2 \djathtas)$.

Shembulli nr. 2

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Përsëri, koeficientët për asnjë nga variablat nuk janë konsistent. Le të shumëzojmë me koeficientët e $y$:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 11x+4y=-18\majtas| 6 \djathtas. \\& 13x-6y=-32\majtas| 4 \djathtas. \\\fund (rreshtoj) \djathtas .\]

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Sistemi ynë i ri është ekuivalent me atë të mëparshëm, por koeficientët $y$ janë reciprokisht të kundërt, dhe për këtë arsye është e lehtë të zbatohet metoda e mbledhjes këtu:

Tani le të gjejmë $y$ duke zëvendësuar $x$ në ekuacionin e parë:

Përgjigje: $\majtas(-2;1 \djathtas)$.

Nuancat e zgjidhjes

Rregulli kryesor këtu është si vijon: ne gjithmonë shumëzojmë vetëm me numra pozitivë - kjo do t'ju shpëtojë nga gabimet budallaqe dhe fyese që lidhen me ndryshimin e shenjave. Në përgjithësi, skema e zgjidhjes është mjaft e thjeshtë:

1. Ne shikojmë sistemin dhe analizojmë çdo ekuacion.
2. Nëse shohim që as $y$ as $x$ koeficientët janë konsistent, d.m.th. ato nuk janë as të barabarta as të kundërta, atëherë bëjmë si më poshtë: zgjedhim variablin që duhet të heqim qafe dhe më pas shikojmë koeficientët e këtyre ekuacioneve. Nëse e shumëzojmë ekuacionin e parë me koeficientin nga i dyti, dhe i dyti, përkatësisht, shumëzojmë me koeficientin nga i pari, atëherë në fund do të marrim një sistem që është plotësisht ekuivalent me atë të mëparshëm, dhe koeficientët e $ y$ do të jetë konsistente. Të gjitha veprimet ose transformimet tona synojnë vetëm marrjen e një ndryshoreje në një ekuacion.
3. Ne gjejmë një variabël.
4. Ne e zëvendësojmë variablin e gjetur në një nga dy ekuacionet e sistemit dhe gjejmë të dytën.
5. Përgjigjen e shkruajmë në formën e koordinatave të pikave nëse kemi variabla $x$ dhe $y$.

Por edhe një algoritëm kaq i thjeshtë ka hollësitë e veta, për shembull, koeficientët e $x$ ose $y$ mund të jenë fraksione dhe numra të tjerë "të shëmtuar". Tani do t'i shqyrtojmë këto raste veç e veç, sepse në to mund të veproni disi ndryshe sesa sipas algoritmit standard.

Zgjidhja e problemave me thyesa

Shembulli #1

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Së pari, vini re se ekuacioni i dytë përmban thyesa. Por vini re se mund të ndani 4$ me 0,8$. Do të marrim 5 dollarë. Le të shumëzojmë ekuacionin e dytë me $5 $:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne i zbresim ekuacionet nga njëri-tjetri:

Gjetëm $n$, tani le të numërojmë $m$:

Përgjigje: $n=-4;m=5$

Shembulli nr. 2

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 2,5p+1,5k=-13\majtas| 4 \djathtas. \\& 2p-5k=2\majtas| 5 \djathtas. \\\fund (rreshtoj )\ drejtë.\]

Këtu, si në sistemin e mëparshëm, ka koeficientë thyesorë, por për asnjë nga variablat koeficientët nuk përshtaten me njëri-tjetrin një numër të plotë herë. Prandaj, ne përdorim algoritmin standard. Hiqni qafe $p$:

\[\majtas\( \fillimi(radhis)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ne përdorim metodën e zbritjes:

Le të gjejmë $p$ duke zëvendësuar $k$ në ndërtimin e dytë:

Përgjigje: $p=-4;k=-2$.

Nuancat e zgjidhjes

Kjo është e gjitha optimizimi. Në ekuacionin e parë, ne nuk e shumëzuam fare me asgjë, por ekuacionin e dytë e shumëzuam me 5$. Si rezultat, kemi marrë një ekuacion të qëndrueshëm dhe madje identik për variablin e parë. Në sistemin e dytë kemi ndjekur një algoritëm standard.

Por si i gjeni numrat me të cilët shumohen ekuacionet? Në fund të fundit, nëse shumëzojmë me thyesa, marrim thyesa të reja. Prandaj, thyesat duhet të shumëzohen me një numër që do të jepte një numër të ri të plotë, dhe pas kësaj ndryshoret duhet të shumëzohen me koeficientë, duke ndjekur algoritmin standard.

Si përfundim, dëshiroj të tërheq vëmendjen tuaj për formatin e regjistrimit të përgjigjes. Siç thashë tashmë, pasi këtu nuk kemi $x$ dhe $y$, por vlera të tjera, ne përdorim një shënim jo standard të formës:

Zgjidhja e sistemeve komplekse të ekuacioneve

Si shënim i fundit për mësimin e sotëm video, le të shohim disa sisteme vërtet komplekse. Kompleksiteti i tyre do të konsistojë në faktin se ata do të kenë variabla si në të majtë ashtu edhe në të djathtë. Prandaj, për t'i zgjidhur ato do të duhet të aplikojmë parapërpunim.

Sistemi nr. 1

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 3\majtas(2x-y \djathtas)+5=-2\majtas(x+3y\djathtas)+4 \\& 6\majtas(y+1 \djathtas )-1=5\majtas(2x-1 \djathtas)+8 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Çdo ekuacion mbart një kompleksitet të caktuar. Prandaj, le ta trajtojmë secilën shprehje si me një ndërtim të rregullt linear.

Në total, marrim sistemin përfundimtar, i cili është i barabartë me atë origjinal:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Le të shohim koeficientët e $y$: $3$ përshtatet në $6$ dy herë, kështu që le të shumëzojmë ekuacionin e parë me $2$:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Koeficientët e $y$ tani janë të barabartë, kështu që ne zbresim të dytën nga ekuacioni i parë: $$

Tani le të gjejmë $y$:

Përgjigje: $\left(0;-\frac(1)(3) \djathtas)$

Sistemi nr. 2

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 4\majtas(a-3b \djathtas)-2a=3\majtas(b+4 \djathtas)-11 \\& -3\majtas(b-2a \djathtas )-12=2\majtas(a-5 \djathtas)+b \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Le të transformojmë shprehjen e parë:

Le të merremi me të dytën:

\[-3\majtas(b-2a \djathtas)-12=2\majtas(a-5 \djathtas)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Në total, sistemi ynë fillestar do të marrë formën e mëposhtme:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Duke parë koeficientët e $a$, ne shohim se ekuacioni i parë duhet të shumëzohet me $2$:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Zbrisni të dytën nga ndërtimi i parë:

Tani le të gjejmë $a$:

Përgjigje: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \djathtas)$.

Kjo eshte e gjitha. Shpresoj se ky video tutorial do t'ju ndihmojë të kuptoni këtë temë të vështirë, përkatësisht zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve të thjeshta lineare. Në të ardhmen do të ketë shumë mësime të tjera për këtë temë: do të shikojmë shembuj më kompleksë, ku do të ketë më shumë variabla dhe vetë ekuacionet do të jenë jolineare. Shihemi perseri!