Sa poliedra të rregullta ka? Polyedra të rregullta

Gjeometria është e mrekullueshme sepse, ndryshe nga algjebra, ku nuk është gjithmonë e qartë se çfarë po llogaritni dhe pse, ajo i jep qartësi objektit. Kjo botë e mrekullueshme e trupave të ndryshëm është zbukuruar me poliedra të rregullt.

Informacione të përgjithshme për poliedrat e rregullt

Sipas shumë njerëzve, poliedrat e rregullt, ose siç quhen edhe trupat e ngurtë platonike, kanë veti unike. Disa hipoteza shkencore lidhen me këto objekte. Kur filloni të studioni këto trupa gjeometrikë, kupton se praktikisht nuk dini asgjë për një koncept të tillë si poliedrat e rregullt. Prezantimi i këtyre objekteve në shkollë nuk është gjithmonë interesant, kështu që shumë nuk e mbajnë mend as si quhen. Shumica e njerëzve kujtojnë vetëm kubin. Asnjë trup në gjeometri nuk ka një përsosmëri të tillë si poliedrat e rregullt. Të gjithë emrat e këtyre trupave gjeometrikë vijnë nga Greqia e Lashtë. Ata nënkuptojnë numrin e fytyrave: katërkëndësh - katërkëndësh, gjashtëkëndor - gjashtë anë, oktaedron - tetëkëndësh, dodekaedron - dymbëdhjetë anë, ikozaedron - njëzet anë. Të gjithë këta trupa gjeometrikë zinin vendin më të rëndësishëm në konceptin e Platonit për universin. Katër prej tyre personifikuan elemente ose esenca: tetraedron - zjarr, ikozaedron - ujë, kub - tokë, oktaedron - ajër. Dodekaedri mishëronte të gjitha gjërat. Ai konsiderohej kryesori sepse ishte simbol i universit.

Përgjithësimi i konceptit të një poliedri

Një shumëkëndësh është një koleksion i një numri të kufizuar poligonesh të tillë që:

secila anë e çdo shumëkëndëshi është njëkohësisht një anë e vetëm një shumëkëndëshi tjetër në të njëjtën anë;
Nga secili prej shumëkëndëshave mund të arrini te të tjerët duke lëvizur përgjatë poligoneve ngjitur me të.

Shumëkëndëshat që përbëjnë një shumëkëndësh janë faqet e tij dhe anët e tyre janë skajet e tij. Kulmet e shumëkëndëshave janë kulme të shumëkëndëshave. Nëse koncepti i shumëkëndëshit kuptohet si vija të thyera të mbyllura të sheshta, atëherë vijmë në të njëjtin përkufizim të një poliedri. Në rastin kur ky koncept i referohet një pjese të rrafshit që kufizohet me vija të thyera, atëherë duhet kuptuar si një sipërfaqe e përbërë nga pjesë poligonale. quhet një trup i shtrirë në njërën anë të një aeroplani ngjitur me fytyrën e tij.

Një përkufizim tjetër i një poliedri dhe elementeve të tij

Një shumëfaqësh është një sipërfaqe e përbërë nga shumëkëndësha që kufizojnë një trup gjeometrik. Ata janë:

jo konveks;
konveks (i rregullt dhe i çrregullt).

Një shumëfaqësh i rregullt është një shumëfaqësh konveks me simetri maksimale. Elementet e poliedrit të rregullt:

katërkëndësh: 6 skaje, 4 faqe, 5 kulme;
gjashtëkëndor (kub): 12, 6, 8;
dodekahedron: 30, 12, 20;
oktaedron: 12, 8, 6;
Ikozaedroni: 30, 20, 12.

Teorema e Euler-it

Ai vendos një marrëdhënie midis numrit të skajeve, kulmeve dhe faqeve që topologjikisht janë ekuivalente me një sferë. Duke mbledhur numrin e kulmeve dhe fytyrave (B + D) të poliedrave të ndryshëm të rregullt dhe duke i krahasuar ato me numrin e skajeve, mund të vendosni një model: shuma e numrit të fytyrave dhe kulmeve është e barabartë me numrin e skajeve ( P) rritur me 2. Mund të nxirret një formulë e thjeshtë:

B + G = P + 2.

Kjo formulë është e vërtetë për të gjitha poliedrat konveks.

Përkufizimet bazë

Koncepti i një poliedri të rregullt nuk mund të përshkruhet me një fjali. Është më shumëvlerë dhe voluminoze. Që një organ të njihet si i tillë, ai duhet të plotësojë një sërë përkufizimesh. Kështu, një trup gjeometrik do të jetë një shumëfaqësh i rregullt nëse plotësohen kushtet e mëposhtme:

është konveks;
i njëjti numër skajesh konvergojnë në secilën nga kulmet e saj;
të gjitha faqet e tij janë shumëkëndësha të rregullt të barabartë me njëri-tjetrin;
të gjithë janë të barabartë me të.

Vetitë e poliedrave të rregullt

Ekzistojnë 5 lloje të ndryshme të poliedrave të rregullt:

Kubi (gjashtëkëndor) - këndi i tij i sheshtë në kulm është 90°. Ka një kënd me 3 anë. Shuma e këndeve të rrafshët në kulm është 270°.
Tetrahedron - kënd i sheshtë në kulm - 60°. Ka një kënd me 3 anë. Shuma e këndeve të rrafshët në kulm është 180°.
Tetëkëndësh - kënd i sheshtë i kulmit - 60°. Ka një kënd me 4 anë. Shuma e këndeve të rrafshët në kulm është 240°.
Dodekaedri është një kënd i sheshtë kulm prej 108°. Ka një kënd me 3 anë. Shuma e këndeve të rrafshët në kulm është 324°.
Ikozaedroni - ka një kënd të sheshtë kulmi prej 60°. Ka një kënd me 5 anë. Shuma e këndeve të rrafshët në kulm është 300°.

Sipërfaqja e këtyre trupave gjeometrikë (S) llogaritet si sipërfaqja e një poligoni të rregullt shumëzuar me numrin e faqeve të tij (G):

S = (a: 2) x 2G ahur π/p.

Vëllimi i një poliedri të rregullt

Kjo vlerë llogaritet duke shumëzuar vëllimin e një piramide të rregullt, në bazën e së cilës ka një shumëkëndësh të rregullt, me numrin e faqeve, dhe lartësia e saj është rrezja e sferës së brendashkruar (r):

V=1:3rS.

Vëllimet e poliedrave të rregullt

Si çdo trup tjetër gjeometrik, poliedrat e rregullt kanë vëllime të ndryshme. Më poshtë janë formulat me të cilat mund t'i llogaritni ato:

katërkëndësh: α x 3√2: 12;
oktaedron: α x 3√2: 3;
ikozaedron; α x 3;
gjashtëkëndor (kub): 5 x α x 3 x (3 + √5) : 12;
dodekahedron: α x 3 (15 + 7√5) : 4.

Gjashtëkëndëshi dhe oktaedri janë trupa të ngurtë gjeometrikë të dyfishtë. Me fjalë të tjera, ato mund të dalin nga njëra-tjetra nëse qendra e gravitetit të fytyrës së njërës merret si kulm i tjetrit dhe anasjelltas. Ikozaedri dhe dodekaedri janë gjithashtu të dyfishtë. Vetëm tetrahedroni është i dyfishtë në vetvete. Duke përdorur metodën e Euklidit, ju mund të merrni një dodekaedron nga një gjashtëkëndor duke ndërtuar "çati" në faqet e kubit. Kulmet e një tetraedri do të jenë çdo 4 kulme të një kubi që nuk janë ngjitur në çifte përgjatë një skaji. Nga një heksaedron (kub) mund të merrni poliedra të tjerë të rregullt. Edhe pse ka numra të panumërt, ka vetëm 5 poliedra të rregullta.

Rrezet e shumëkëndëshave të rregullt

Me secilin prej këtyre trupave gjeometrikë janë 3 sfera koncentrike:

përshkruar, duke kaluar nëpër kulmet e tij;
i gdhendur, duke prekur secilën nga fytyrat e tij në qendër;
mesatare, duke prekur të gjitha brinjët në mes.

Rrezja e sferës së përshkruar llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

R = a: 2 x tan π/g x tan θ: 2.

Rrezja e sferës së gdhendur llogaritet me formulën:

R = a: 2 x cot π/p x tan θ: 2,

ku θ është këndi dihedral që shtrihet midis faqeve ngjitur.

Rrezja e sferës mesatare mund të llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

ρ = a cos π/p: 2 sin π/h,

ku vlera h = 4,6,6,10 ose 10. Raporti i rrezeve të rrethuara dhe të brendashkruara është simetrik në lidhje me p dhe q. Ajo llogaritet duke përdorur formulën:

R/r = tan π/p x tan π/q.

Simetria e poliedrit

Simetria e poliedrave të rregullt shkakton interesin kryesor në këto trupa gjeometrikë. Kuptohet si një lëvizje e tillë e një trupi në hapësirë që lë të njëjtin numër kulmesh, faqesh dhe skajesh. Me fjalë të tjera, nën veprimin e një transformimi simetrike, një skaj, kulm, fytyra ose ruan pozicionin e saj origjinal ose lëviz në pozicionin origjinal të një skaji tjetër, një kulm ose faqe tjetër.

Elementet e simetrisë së poliedrave të rregullt janë karakteristikë për të gjitha llojet e trupave të tillë gjeometrikë. Këtu po flasim për një transformim identiteti që lë çdo pikë në pozicionin e tij origjinal. Kështu, kur rrotullohet një prizëm poligonal, mund të fitohen disa simetri. Secili prej tyre mund të përfaqësohet si produkt i reflektimeve. Një simetri që është produkt i një numri çift reflektimesh quhet vijë e drejtë. Nëse është prodhim i një numri tek reflektimesh, atëherë quhet anasjelltas. Kështu, të gjitha rrotullimet rreth një vije të drejtë paraqesin simetri të drejtpërdrejtë. Çdo reflektim i një poliedri është simetri e kundërt.

Për të kuptuar më mirë elementet e simetrisë së shumëkëndëshave të rregullt, mund të marrim shembullin e një katërkëndëshi. Çdo vijë e drejtë që do të kalojë nëpër njërën nga kulmet dhe qendrën e kësaj figure gjeometrike do të kalojë edhe nga qendra e fytyrës përballë saj. Secila prej rrotullimeve 120 dhe 240° rreth një vije të drejtë i përket numrit shumës të simetrive të tetraedrit. Meqenëse ka 4 kulme dhe faqe, ka vetëm tetë simetri të drejtpërdrejta. Secila prej vijave që kalon nga mesi i një skaji dhe qendra e këtij trupi kalon nga mesi i skajit të kundërt të tij. Çdo rrotullim 180°, i quajtur gjysmë rrotullimi, rreth një vije të drejtë është simetri. Meqenëse tetraedri ka tre palë skaje, do të ketë edhe tre simetri të drejtpërdrejta. Bazuar në sa më sipër, mund të konkludojmë se numri i përgjithshëm i simetrive të drejtpërdrejta, duke përfshirë transformimin e identitetit, do të arrijë në dymbëdhjetë. Tetraedri nuk ka simetri të tjera të drejtpërdrejta, por ka 12 simetri të kundërta. Rrjedhimisht, tetraedri karakterizohet nga vetëm 24 simetri. Për qartësi, mund të ndërtoni një model të një tetraedri të rregullt nga kartoni dhe të siguroheni që ky trup gjeometrik të ketë vërtet vetëm 24 simetri.

Dodekaedri dhe ikozaedri janë trupat më të afërt me sferën. Ikozaedri ka numrin më të madh të fytyrave, më i madhi dhe më i dendur mund të shtypet kundër një sfere të gdhendur. Dodekaedri ka defektin më të vogël këndor dhe këndin më të madh të ngurtë në kulm. Ai mund ta mbushë sferën e tij të përshkruar në maksimum.

Zhvillimet e poliedrave

Ato të sakta, të cilat i kemi ngjitur të gjithë së bashku në fëmijëri, kanë shumë koncepte. Nëse ekziston një koleksion poligonesh, secila anë e të cilave identifikohet vetëm me njërën anë të shumëkëndëshit, atëherë identifikimi i anëve duhet të plotësojë dy kushte:

nga çdo shumëkëndësh mund të shkohet përgjatë shumëkëndëshave që kanë një anë të identifikuar;
anët e identifikuara duhet të kenë të njëjtën gjatësi.

Është bashkësia e shumëkëndëshave që plotësojnë këto kushte që quhet zhvillimi i shumëkëndëshit. Secili prej këtyre trupave ka disa prej tyre. Kështu, për shembull, një kub ka 11 prej tyre.

Polyedrat jo vetëm që zënë një vend të spikatur në gjeometri, por gjenden edhe në jetën e përditshme të çdo personi. Për të mos përmendur sendet shtëpiake të krijuara artificialisht në formën e shumëkëndëshave të ndryshëm, nga kutia e shkrepëseve deri te elementet arkitekturore, në natyrë ka edhe kristale në formën e kubit (kripë), prizmit (kristalit), piramidës (scheelitit), oktaedrit (diamantit). ), etj. .d.

Koncepti i një poliedri, llojet e poliedrit në gjeometri

Gjeometria si shkencë përmban seksionin stereometri, i cili studion karakteristikat dhe vetitë e trupave vëllimorë, anët e të cilëve në hapësirën tredimensionale formohen nga rrafshe (fytyra) të kufizuara, të quajtura "poliedra". Ekzistojnë dhjetëra lloje poliedrash, të cilat ndryshojnë në numrin dhe formën e fytyrave.

Sidoqoftë, të gjitha poliedrat kanë veti të përbashkëta:

Të gjithë kanë 3 komponentë integralë: një fytyrë (sipërfaqja e një shumëkëndëshi), një kulm (këndet e formuara në kryqëzimin e fytyrave), një skaj (ana e figurës ose një segment i formuar në kryqëzimin e dy faqeve. ).
Çdo skaj i një shumëkëndëshi lidh dy, dhe vetëm dy, fytyra që janë ngjitur me njëra-tjetrën.
Konveksiteti do të thotë që trupi është plotësisht i vendosur vetëm në njërën anë të planit në të cilin shtrihet njëra nga fytyrat. Rregulli vlen për të gjitha fytyrat e poliedrit. Në stereometri, figura të tilla gjeometrike quhen poliedra konvekse. Përjashtim bëjnë poliedrat yjorë, të cilët janë derivate të trupave të rregullt gjeometrikë shumëkëndësh.

Polyhedra mund të ndahet në:

Llojet e poliedrave konveks, që përbëhen nga klasat e mëposhtme: të zakonshme ose klasike (prizëm, piramidë, paralelopiped), të rregullt (të quajtur edhe trupa të ngurtë platonike), gjysmë të rregullta (një emër tjetër është trupat e ngurtë Arkimede).
Polyedra jo konvekse (yjore).

Prizmi dhe vetitë e tij

Stereometria si degë e gjeometrisë studion vetitë e figurave tredimensionale, llojet e poliedrave (prizma ndër to). Një prizëm është një trup gjeometrik që ka domosdoshmërisht dy fytyra plotësisht identike (ato quhen edhe baza) të shtrira në plane paralele, dhe numrin e n-të të faqeve anësore në formën e paralelogrameve. Nga ana tjetër, prizmi ka gjithashtu disa lloje, duke përfshirë lloje të tilla poliedrash si:

Një paralelopiped formohet nëse baza është një paralelogram - një shumëkëndësh me 2 palë kënde të kundërta të barabarta dhe dy palë brinjë të kundërta kongruente.
Një prizëm i drejtë ka brinjë pingul me bazën.
karakterizohet nga prania e këndeve indirekte (përveç 90) midis skajeve dhe bazës.
Një prizëm i rregullt karakterizohet nga baza në formën e faqeve anësore të barabarta.

Karakteristikat themelore të prizmit:

Bazat kongruente.
Të gjitha skajet e prizmit janë të barabarta dhe paralele me njëra-tjetrën.
Të gjitha faqet anësore kanë formën e një paralelogrami.

Piramida

Një piramidë është një trup gjeometrik që përbëhet nga një bazë dhe numri i n-të i faqeve trekëndore që lidhen në një pikë - kulmin. Duhet të theksohet se nëse faqet anësore të piramidës përfaqësohen domosdoshmërisht me trekëndësha, atëherë në bazë mund të ketë një shumëkëndësh trekëndësh, një katërkëndësh, një pesëkëndësh dhe kështu me radhë ad infinitum. Në këtë rast, emri i piramidës do të korrespondojë me poligonin në bazë. Për shembull, nëse në bazën e një piramide ka një trekëndësh - ky është një katërkëndësh, etj.

Piramidat janë poliedra në formë koni. Llojet e poliedrave në këtë grup, përveç atyre të listuara më sipër, përfshijnë edhe përfaqësuesit e mëposhtëm:

Një piramidë e rregullt ka një shumëkëndësh të rregullt në bazën e saj dhe lartësia e saj është projektuar në qendër të një rrethi të gdhendur në bazë ose të rrethuar rreth tij.
Një piramidë drejtkëndëshe formohet kur një nga skajet anësore kryqëzon bazën në një kënd të drejtë. Në këtë rast, kjo skaj mund të quhet edhe lartësia e piramidës.

Karakteristikat e piramidës:

Nëse të gjitha skajet anësore të piramidës janë kongruente (me të njëjtën lartësi), atëherë të gjitha kryqëzohen me bazën në të njëjtin kënd, dhe rreth bazës mund të vizatoni një rreth me qendër që përkon me projeksionin e majës së piramidale.
Nëse një shumëkëndësh i rregullt shtrihet në bazën e piramidës, atëherë të gjitha skajet anësore janë kongruente dhe faqet janë trekëndësha dykëndësh.

Shumëfaqëshi i rregullt: llojet dhe vetitë e poliedrit

Në stereometri, një vend të veçantë zënë trupat gjeometrikë me faqe absolutisht të barabarta, në kulmet e të cilave lidhet i njëjti numër skajesh. Këta trupa quhen trupa të ngurtë platonike, ose poliedra të rregullta. Ekzistojnë vetëm pesë lloje poliedrash me këto veti:

Tetrahedron.
Heksahedron.
Tetëkëndësh.
Dodekahedron.
Ikozaedri.

Polyedrat e rregullta ia detyrojnë emrin e tyre filozofit të lashtë grek Platonit, i cili i përshkroi këto trupa gjeometrikë në veprat e tij dhe i lidhi me elementët natyrorë: toka, uji, zjarri, ajri. Figura e pestë iu dha ngjashmëria me strukturën e Universit. Sipas mendimit të tij, atomet e elementeve natyrore kanë formë si poliedra të rregullt. Falë vetive të tyre më magjepsëse - simetrisë, këta trupa gjeometrikë ishin me interes të madh jo vetëm për matematikanët dhe filozofët e lashtë, por edhe për arkitektët, artistët dhe skulptorët e të gjitha kohërave. Prania e vetëm 5 llojeve të poliedrave me simetri absolute u konsiderua një gjetje themelore, ato madje u shoqëruan me parimin hyjnor.

Hexahedron dhe vetitë e tij

Në formën e një gjashtëkëndëshi, pasardhësit e Platonit supozuan një ngjashmëri me strukturën e atomeve të tokës. Natyrisht, aktualisht kjo hipotezë është hedhur poshtë plotësisht, gjë që megjithatë nuk i pengon figurat në kohët moderne të tërheqin mendjen e figurave të famshme me estetikën e tyre.

Në gjeometri, një gjashtëkëndor, i njohur gjithashtu si një kub, konsiderohet një rast i veçantë i një paralelepipedi, i cili, nga ana tjetër, është një lloj prizmi. Prandaj, vetitë e kubit janë të lidhura me njëra-tjetrën, me ndryshimin e vetëm që të gjitha fytyrat dhe qoshet e kubit janë të barabarta me njëra-tjetrën. Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga kjo:

Të gjitha skajet e kubit janë kongruente dhe shtrihen në plane paralele në lidhje me njëri-tjetrin.
Të gjitha fytyrat janë katrore kongruente (ka 6 prej tyre në kub), secila prej të cilave mund të merret si bazë.
Të gjithë këndet ndërkëndor janë të barabartë me 90.
Çdo kulm ka një numër të barabartë skajesh, përkatësisht 3.
Kubi ka 9 të cilat të gjitha kryqëzohen në pikën e kryqëzimit të diagonaleve të gjashtëkëndëshit, që quhet qendra e simetrisë.

Tetrahedron

Një katërkëndësh është një katërkëndësh me faqe të barabarta në formë trekëndëshi, secila nga kulmet e të cilit është pika lidhëse e tre faqeve.

Karakteristikat e një tetraedri të rregullt:

Të gjitha faqet e një katërkëndëshi - kjo do të thotë që të gjitha fytyrat e një katërkëndëshi janë kongruente.
Meqenëse baza përfaqësohet nga një figurë e rregullt gjeometrike, domethënë ka anët e barabarta, atëherë faqet e tetraedrit konvergojnë në të njëjtin kënd, domethënë të gjitha këndet janë të barabarta.
Shuma e këndeve të rrafshët në secilën kulm është 180, pasi të gjitha këndet janë të barabarta, atëherë çdo kënd i një tetraedri të rregullt është 60.
Çdo kulm është projektuar në pikën e kryqëzimit të lartësive të faqes së kundërt (ortokendrës).

Tetëkëndëshi dhe vetitë e tij

Kur përshkruhen llojet e poliedrave të rregullt, nuk mund të mos vërehet një objekt i tillë si oktaedri, i cili mund të përfaqësohet vizualisht si dy piramida të rregullta katërkëndore të ngjitura së bashku në baza.

Karakteristikat e oktaedrit:

Vetë emri i një trupi gjeometrik sugjeron numrin e fytyrave të tij. Tetëkëndëshi përbëhet nga 8 trekëndësha barabrinjës kongruentë, në secilën nga kulmet e të cilëve konvergojnë një numër i barabartë fytyrash, përkatësisht 4.
Meqenëse të gjitha faqet e oktaedrit janë të barabarta, këndet e tij ndërfaqe janë gjithashtu të barabarta, secila prej të cilave është e barabartë me 60, dhe shuma e këndeve të rrafshët të cilësdo prej kulmeve është kështu 240.

Dodekahedron

Nëse imagjinojmë se të gjitha fytyrat e një trupi gjeometrik janë një pesëkëndësh i rregullt, atëherë marrim një dodekaedron - një figurë prej 12 poligonesh.

Vetitë e dodekaedrit:

Tri fytyra kryqëzohen në çdo kulm.
Të gjitha fytyrat janë të barabarta dhe kanë të njëjtën gjatësi buzë, si dhe sipërfaqe të barabartë.
Dodekaedri ka 15 boshte dhe rrafshe simetrie dhe secili prej tyre kalon nëpër kulmin e faqes dhe mesit të skajit përballë saj.

Ikozaedri

Jo më pak interesante se dodekaedri, figura ikozaedron është një trup gjeometrik tredimensional me 20 fytyra të barabarta. Ndër vetitë e 20-hedronit të rregullt, mund të vërehen sa vijon:

Të gjitha faqet e ikozaedrit janë trekëndësha izoscelorë.
Pesë faqe takohen në çdo kulm të shumëkëndëshit, dhe shuma e këndeve ngjitur të kulmit është 300.
Ikozaedri, si dodekaedri, ka 15 boshte dhe rrafshe simetrie që kalojnë nëpër mesin e faqeve të kundërta.

Shumëkëndësha gjysmë të rregullt

Përveç trupave të ngurtë platonike, në grupin e poliedrave konveks bëjnë pjesë edhe trupat e ngurtë të Arkimedit, të cilat janë poliedra të rregullta të cunguara. Llojet e poliedrave në këtë grup kanë këto karakteristika:

Trupat gjeometrikë kanë fytyra të barabarta në çift të disa llojeve, për shembull, një katërkëndor i cunguar ka, si një katërkëndor i rregullt, 8 fytyra, por në rastin e një trupi të Arkimedit, 4 faqe do të jenë në formë trekëndore dhe 4 do të jenë gjashtëkëndore.
Të gjitha këndet e një kulmi janë kongruentë.

poliedra yjesh

Përfaqësuesit e llojeve jo vëllimore të trupave gjeometrikë janë poliedra yjorë, fytyrat e të cilave kryqëzohen me njëra-tjetrën. Ato mund të formohen nga shkrirja e dy trupave të rregullt tredimensionale ose si rezultat i shtrirjes së fytyrave të tyre.

Kështu, poliedra të tillë yjorë njihen si: format yjore të tetëkëndëshit, dodekaedrit, ikozaedrit, kuboktaedrit, ikosidodekedronit.

1. Në figurën 1, tregoni poliedrat konveks dhe jo konveks.

Përgjigje: Konveks - b), d); jo konveks - a), c), d).

2. Jepni një shembull të një shumëkëndëshi jokonveks në të cilin të gjitha faqet janë shumëkëndësha konveks.

Përgjigje: Figura 1, a).

3. A është e vërtetë se bashkimi i shumëkëndëshave konveks është një shumëkëndësh konveks?

Përgjigje: Jo.

4. A mund të jetë i barabartë numri i kulmeve të një shumëkëndëshi me numrin e faqeve të tij?

Përgjigje: Po, afër katërkëndëshit.

5. Vendosni një lidhje midis numrit të këndeve të sheshta P të një poliedri dhe numrit të skajeve të tij P.

Përgjigje: P = 2P.

6. Fytyrat e vetme të një shumëkëndëshi konveks janë trekëndëshat. Sa kulme B dhe faqe D ka nëse ka: a) 12 brinjë; b) 15 brinjë? Jepni shembuj të poliedrave të tillë.

7. Tre skaje dalin nga çdo kulm i një shumëkëndëshi konveks. Sa kulme B dhe faqe D ka nëse ka: a) 12 brinjë; b) 15 brinjë? Vizatoni këto poliedra.

Përgjigje: a) B = 8, D = 6, kub; b) B = 10, G = 7, prizëm pesëkëndësh.

8. Katër skajet konvergojnë në çdo kulm të një shumëkëndëshi konveks. Sa kulme B dhe faqe D ka nëse numri i skajeve është 12? Vizatoni këto poliedra.

9. Vërtetoni se çdo shumëfaqësh konveks ka një faqe trekëndore ose tre skaje takohen në një kulm.

10. Mendoni se ku është përdorur konveksiteti i shumëfaqëshit në arsyetimin që tregon vlefshmërinë e relacionit të Euler-it.

11. Sa është vlera e B - P + G për poliedrin e paraqitur në figurën 6?

Polyedra të rregullta

Një shumëkëndësh konveks quhet i rregullt nëse faqet e tij janë shumëkëndësha të rregullta të barabarta dhe të gjithë këndet shumëkëndësh janë të barabartë.

Le të shqyrtojmë poliedrat e mundshëm të rregullt dhe, para së gjithash, ato fytyrat e të cilëve janë trekëndësha të rregullt. Polyedri më i thjeshtë i tillë i rregullt është një piramidë trekëndore, faqet e së cilës janë trekëndësha të rregullt (Fig. 7). Tre fytyra takohen në secilën nga kulmet e saj. Duke pasur vetëm katër fytyra, ky poliedron quhet edhe një katërkëndor i rregullt, ose thjesht tetrahedron, që do të thotë tetrahedron në greqisht.

Një shumëkëndësh, faqet e të cilit janë trekëndësha të rregullt dhe katër faqe takohen në secilën kulm është paraqitur në figurën 8. Sipërfaqja e tij përbëhet nga tetë trekëndësha të rregullt, prandaj quhet tetëkëndësh.

Një shumëkëndësh, në secilën kulm prej të cilit takohen pesë trekëndësha të rregullt, është paraqitur në figurën 9. Sipërfaqja e tij përbëhet nga njëzet trekëndësha të rregullt, prandaj quhet ikozaedron.

Vini re se meqenëse më shumë se pesë trekëndësha të rregullt nuk mund të konvergojnë në kulmet e një shumëkëndëshi konveks, nuk ka shumëkëndësha të rregullt, faqet e të cilave janë trekëndësha të rregullt.

Në mënyrë të ngjashme, meqenëse vetëm tre katrorë mund të konvergojnë në kulmet e një shumëkëndëshi konveks, atëherë, përveç kubit (Fig. 10), nuk ka shumë poliedra të rregullt, fytyrat e të cilave janë katrore. Një kub ka gjashtë fytyra dhe për këtë arsye quhet edhe gjashtëkëndor.

Një shumëfaqësh, faqet e të cilit janë pesëkëndësha të rregullt dhe tre faqe takohen në secilën kulm është paraqitur në figurën 11. Sipërfaqja e tij përbëhet nga dymbëdhjetë pesëkëndësha të rregullt, prandaj quhet dodekaedron.

Le të shqyrtojmë konceptin e një poliedri të rregullt nga pikëpamja e topologjisë së shkencës, e cila studion vetitë e figurave që nuk varen nga deformime të ndryshme pa ndërprerje. Nga ky këndvështrim, për shembull, të gjithë trekëndëshat janë ekuivalent, pasi një trekëndësh mund të merret gjithmonë nga çdo tjetër me ngjeshjen ose zgjerimin e duhur të brinjëve. Në përgjithësi, të gjithë shumëkëndëshat me të njëjtin numër brinjësh janë ekuivalent për të njëjtën arsye.

Si të përcaktohet koncepti i një poliedri topologjikisht të rregullt në një situatë të tillë? Me fjalë të tjera, cilat veti në përkufizimin e një poliedri të rregullt janë topologjikisht të qëndrueshme dhe duhet të mbahen, dhe cilat veti nuk janë topologjikisht të qëndrueshme dhe duhet të hidhen poshtë.

Në përkufizimin e një poliedri të rregullt, numri i anëve dhe numri i faqeve janë topologjikisht të qëndrueshëm, d.m.th. nuk ndryshon nën deformime të vazhdueshme. Rregullsia e shumëkëndëshave nuk është një veti topologjikisht e qëndrueshme. Kështu, arrijmë në përkufizimin e mëposhtëm.

Një shumëkëndësh konveks quhet topologjikisht i rregullt nëse faqet e tij janë shumëkëndësha me të njëjtin numër brinjësh dhe të njëjtin numër faqesh takohen në secilën kulm.

Dy poliedra thuhet se janë topologjikisht ekuivalente nëse njëra mund të merret nga tjetra me deformim të vazhdueshëm.

Për shembull, të gjitha piramidat trekëndore janë poliedra topologjikisht të rregullta, ekuivalente me njëra-tjetrën. Të gjithë paralelepipedët janë gjithashtu poliedra topologjikisht të rregullta ekuivalente. Për shembull, piramidat katërkëndore nuk janë poliedra topologjikisht të rregullta.

Le të sqarojmë pyetjen se sa poliedra topologjikisht të rregullta që nuk janë ekuivalente me njëra-tjetrën ekzistojnë.

Siç e dimë, ekzistojnë pesë poliedra të rregullt: tetraedri, kubi, tetëkëndëshi, ikozaedri dhe dodekaedri. Duket se duhet të ketë poliedra shumë më të rregullta topologjikisht. Megjithatë, rezulton se nuk ka politopë të tjerë topologjikisht të rregullt që nuk janë ekuivalent me ato të rregullta tashmë të njohura.

Për ta vërtetuar këtë, ne do të përdorim teoremën e Euler-it. Le të jepet një shumëfaqësh topologjikisht i rregullt, faqet e të cilit janë n-këndësha dhe skajet m konvergojnë në çdo kulm. Është e qartë se n dhe m janë më të mëdha ose të barabarta me tre. Le të shënojmë, si më parë, B numrin e kulmeve, P numrin e skajeve dhe G numrin e faqeve të këtij poliedri. Pastaj

nГ = 2P; Г = ; mB = 2P; B = .

Sipas teoremës së Euler-it, B - P + G = 2 dhe, për rrjedhojë,

Ku qëndron P = .

Nga barazia që rezulton, në veçanti, rrjedh se duhet të jetë pabarazia 2n + 2m - nm > 0, e cila është ekuivalente me pabarazinë (n - 2) (m - 2)< 4.

Le të gjejmë të gjitha vlerat e mundshme të n dhe m që plotësojnë pabarazinë e gjetur dhe të plotësojmë tabelën e mëposhtme


katërkëndësh	H=6, P=12, D=8	H=12, P=30, D=20 ikozaedron
H=8, P=12, D=4	Nuk ekziston	Nuk ekziston
H=20, P=30, D=12 dodekahedron	Nuk ekziston	Nuk ekziston

Për shembull, vlerat n = 3, m = 3 plotësojnë pabarazinë (n - 2) (m - 2)< 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.

Vlerat n = 4, m = 4 nuk plotësojnë pabarazinë (n - 2) (m - 2)< 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Kontrolloni vetë rastet e tjera.

Nga kjo tabelë del se të vetmet poliedra të rregullta topologjikisht të mundshme janë poliedrat e rregullta të renditura më sipër dhe shumëfaqëshet ekuivalente me to.

Mësimi 7 me temën: “Polyedra. Kulmet, skajet, faqet e një poliedri"

Qëllimi i mësimit: prezantoni nxënësit me një nga llojet e poliedrave - kubin; duke matur dhe vëzhguar gjeni sa më shumë veti të kubit.

Lloji i mësimit: mësimi i materialit të ri

Metodat:

Sipas burimeve të njohurive: verbale, vizuale;

Sipas shkallës së ndërveprimit mësues-nxënës: bisedë heuristike;

Lidhur me detyrat didaktike: përgatitja për perceptim;

Në lidhje me natyrën e veprimtarisë njohëse:riprodhues, pjesërisht kërkim.

Pajisjet: Libër mësuesi:Matematikë: Gjeometri pamore. Klasat 5-6 I.F. Sharygin, projektor multimedial, kompjuter.

Rezultatet e mësimit:

Personal: aftësia për të perceptuar emocionalisht objekte matematikore, aftësia për të shprehur qartë dhe saktë mendimet e dikujt.

Metasubjekt: aftësia për të kuptuar dhe përdorur mjete ndihmëse vizuale.

Tema: mësoni të vizatoni skanime dhe të bëni forma duke i përdorur ato.

Pajisjet: teksti “Gjeometria pamore. Klasa 5 - 6" S. Sharygin, tabela interaktive, gërshërë.

UUD:

arsimore: analiza dhe klasifikimi i objekteve

rregullatore: vendosje qellimi; identifikimi dhe njohja e asaj që tashmë dihet dhe çfarë duhet mësuar

komunikues: bashkëpunimi edukativ me mësuesin dhe bashkëmoshatarët.

Gjatë orëve të mësimit

Koha e organizimit.

Përditësimi dhe regjistrimi i njohurive bazë.

Në tryezë janë poliedra, me të cilat nxënësit u njohën në shkollën fillore. Çfarë formash mund të emërtoni? Cilat shifra janë më shumë?

Është e vështirë të gjesh një person që nuk është i njohur me kubin. Në fund të fundit, kubet janë një lojë e preferuar për fëmijët. Duket se ne dimë gjithçka për kubin. Por a është ajo?

Kubi është një përfaqësues i një familje të madhe poliedrash. Ju keni takuar tashmë disa - kjo është një piramidë, një paralelipiped drejtkëndor. Takimi me të tjerët ju pret përpara.

Pavarësisht nga të gjitha dallimet e tyre, poliedrat kanë një numër të vetive të përbashkëta.

Sipërfaqja e secilit prej tyre përbëhet nga shumëkëndësha të sheshtë, të cilët quhenfytyra poliedrike . Dy poligone të sheshta ngjitur kanë një anë të përbashkët -buzë shumëkëndëshi . Skajet e brinjëve janëmajat shumëkëndësh.

Në mësimin e fundit ju interesuan llojet e poliedrave dhe këtu janë 5 përfaqësues të shumëkëndëshave të rregullt.

Tetrahedron oktaedron ikozaedron heksaedron dodekaedron

Përgjithësimi dhe sistematizimi i njohurive

Shikoni imazhin e kubit në figurë, vizatoni atë në fletoren tuaj dhe shkruani emrat e elementeve kryesore të kubit. Mbani mend dhe përdorni këto terma në të ardhmen.

Një kub është një shumëfaqësh i rregullt, fytyrat e të cilit janë katrore dhe tre skajet dhe tre faqet takohen në secilën kulm. Ka: 6 faqe, 8 kulme dhe 12 skaje.

Puna me modele.

Duke punuar me spastrime.

№ 2 (Matematika: Gjeometria vizuale. Klasat 5-6 I.F. Sharygin) Në një copë letër vizatoni zhvillimin e një kubi. Pritini dhe rrotullojeni në një kub, ngjiteni së bashku.

Figura e prerë quhetskanimi i kubit . Mendoni pse është emërtuar kështu.

№ 3 (Matematika: Gjeometria vizuale. Klasat 5-6 I.F. Sharygin) Përpiquni të mblidhni një kub nga zhvillimet e propozuara dhe t'i transferoni ato në fletoren tuaj.

№ 5 (Matematika: Gjeometria pamore. Klasat 5-6 I.F. Sharygin) Jepet zhvillimi i kubit. Cili nga kubet në figurën 30, a-c mund të ngjitet së bashku prej tij? Zgjidhni një kub dhe justifikoni zgjedhjen tuaj.

№ 12 (Matematika: Gjeometria vizuale. Klasat 5-6 I.F. Sharygin) Ka një rrip letre me përmasa 1*7. Si të bëni një kub të vetëm prej tij?

№ 15 (Matematika: Gjeometria vizuale. Klasat 5-6 I.F. Sharygin) Një merimangë dhe një mizë ulen në kulme të kundërta të kubit. Cila është mënyra më e shkurtër që një merimangë të zvarritet te një mizë? Shpjegoni përgjigjen tuaj

Reflektim mbi veprimtaritë edukative.

sot mora vesh...

ishte interesante…

ishte e veshtire…

Kam kryer detyrat...

Bleva...

Une mesova…

E menaxhova …

Unë kam qenë në gjendje ...

Do te perpiqem…

Unë kam qenë i befasuar...

me dha nje leksion jete...

Detyre shtepie. Bëni një model kubi nga kartoni.

Subjekti."Polyedron. Elementet e një poliedri - fytyrat, kulmet, skajet.

Golat. Krijoni kushte për zgjerimin e njohurive teorike për figurat hapësinore: prezantoni konceptet e "polyedron", "fytyrat", "kulmi", "buzë"; të sigurojë zhvillimin e aftësisë së nxënësve për të nxjerrë në pah gjënë kryesore në një objekt njohës; nxisin zhvillimin e imagjinatës hapësinore të nxënësve.

Materiale edukative. Libër mësuesi “Matematika. Klasa e 4-të” (autor V.N. Rudnitskaya, T.V. Yudacheva);

kompjuter; projektor; prezantimi "Poligonat"; formularët e shtypur “Këndi i koordinatave”, “Poligonat”, “Problemi”; modelet e poliedrave, zhvillimi i poliedrave;

pasqyra; gërshërët.

GJATË KLASËVE

Para fillimit të mësimit, fëmijët ndahen në tre grupe sipas nivelit të njohurive të tyre - i lartë, mesatar, i ulët. I. Momenti organizativ

Mësues.

Të dashur njerëzit e mi të shqetësuar, edhe një herë ju ftoj në botën magjepsëse të matematikës. Dhe jam i sigurt se në këtë mësim do të mësoni gjëra të reja, do të konsolidoni atë që keni mësuar dhe do të jeni në gjendje t'i zbatoni njohuritë e marra në praktikë.

Sot do të doja ta nisja mësimin tonë me fjalët e filozofit anglez Roger Bacon për matematikën: "Ai që nuk njeh matematikë nuk mund të studiojë shkenca të tjera dhe nuk mund të kuptojë botën". Mendoj se në mësim do të gjejmë me siguri konfirmimin e fjalëve të këtij filozofi. II. Përsëritja e materialit të mbuluar.

Ndërtimi i shumëkëndëshave sipas koordinatave

Në mësimet e matematikës në klasat 1, 2, 3, ne studiuam figura të ndryshme gjeometrike të sheshta dhe gjithashtu mësuam se si t'i ndërtojmë ato. Unë ju sugjeroj të ndërtoni figura të sheshta në një kënd koordinativ duke përdorur këto koordinata. Detyra plotësohet në formularë të printuar. (0; 2), Grupi 1 (2; 5), Ndërtoni një figurë nëse dihen koordinatat A

NË

ME Detyra plotësohet në formularë të printuar.(3; 2) dhe Grupi 1(6; 5) janë kulmet e kundërta të tij. Jepni koordinatat e kulmeve të kundërta. Cili është emri tjetër për këtë figurë?

Grupi 3

Ndërtoni një figurë nëse dihen koordinatat e kulmeve të saj Detyra plotësohet në formularë të printuar. (2; 3), Grupi 1 (2; 6), Ndërtoni një figurë nëse dihen koordinatat (5; 8), D (8; 6), K (8; 3), M(5; 1). Çfarë lloj figure keni marrë?

– Si mund t’i quani të gjitha këto shifra?

Fëmijët. Këto janë shumëkëndësha.

Rrëshqitja 1

Një person nga grupi kryen detyrën në tabelë.

III. Njohja me materiale të reja

Nxënësit kanë në tavolinat e tyre figura tredimensionale: kube, paralelopipedë, piramida, prizma.

– Uluni, shikoni me kujdes, dëgjoni me kujdes dhe mbani mend.

Hyrje në konceptet e "polyedron", "fytyrë", "kulm", "buzë"

- Nëse merrni 4 trekëndësha, mund të krijoni një figurë tredimensionale - piramidale. Nga sheshet mund të merrni një figurë tjetër - një kub, nga drejtkëndëshat - një paralelipiped. Ju keni një figurë tjetër në tryezën tuaj - një prizëm, i cili përbëhet nga drejtkëndësha dhe trekëndësha. Të gjitha këto shifra quhen poliedra .

Secili prej shumëkëndëshave (në këtë rast trekëndëshat) quhet buzë shumëkëndësh. Dhe brinjët e shumëkëndëshave quhen brinjët shumëkëndësh. Dhe, sigurisht, kulmet e poligonit do të jenë majat shumëkëndësh. Kështu duket një vizatim i një poliedri në një fletë letre.

Rrëshqitja 2

– Duket se figura është prej xhami. Çfarë mendoni se tregohet nga vija me pika në vizatim?

D. Brinjë të padukshme.

Fëmijët punojnë sipas një vizatimi në tabelë.

D. Polyedron.

Fëmijët tregojnë me një tregues dhe një listë.

– Nëse e prisni piramidën nga maja në bazë përgjatë skajeve, do të merrni diçka të tillë.
Dhe tani, të dashur nervozë, gjeni një formular në tryezë me një foto të një poligoni, lexoni me kujdes udhëzimet:

1. Shqyrtoni me kujdes vizatimin e shumëkëndëshit.
2. Gjeni zhvillimin e dëshiruar të shumëkëndëshit (modelet në tabelë).
3. Mblidhni modelin e shumëkëndëshit.
4. Tregoni numrin e kulmeve __, faqeve __, skajeve __ të shumëkëndëshit.
5. Emërtoni çdo kulm __, skaj __, faqe __ të shumëkëndëshit.

NË

Grupi 3

– Tabela tregon zhvillimet e poliedrave. Përpiquni të gjeni zhvillimin e figurës suaj nga vizatimi dhe të mblidhni një shumëkëndësh.

Punoni së bashku dhe mendoj se do të keni sukses.

Kontrollimi i përfundimit të detyrës (rrëshqitjet 3, 4, 5). – 8; majat – 12; brinjët – 6;
fytyrat
brinjë – MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO;
fytyrat – MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

Kontrollimi i përfundimit të detyrës (rrëshqitjet 3, 4, 5). – 8; majat – 12; brinjët – 6;
kulmet - M, B, C, A, X, K, O, T;
brinjë – MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO;
fytyrat – MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

Kontrollimi i përfundimit të detyrës (rrëshqitjet 3, 4, 5). – 12; majat – 18; brinjët – 8;
kulmet - Y, B, A, X, N, M, P, E, D, F, L, C;
brinjë – YB, YX, BA, XA, XN, NM, AM, ME, EP, NP, ED, PF, DF, FL, LC, CD, LY, CB;
fytyrat – BAMEDC, YXNPFL, YBAX, XAMN, NMEP, EDFP, DFLC, CLYB.

IV. Përgjithësimi dhe sistematizimi i njohurive

Dëgjohen përgjigjet e fëmijëve. Një "shëtitje" e improvizuar zhvillohet rreth oborrit të shkollës. Fëmijët "ekzaminojnë" modele të godinës së shkollës dhe dhomave të shërbimeve, të cilat duken si poliedra.

- Përfundoni detyrën:

Ujku dhe lepuri ngjitën së bashku një shtëpi nga letra me ngjyrë.

Sa fytyra të çdo ngjyre duheshin?

Çfarë forme shumëkëndëshi ka skaji i secilës ngjyrë?

V. Konsolidimi i të mësuarit më parë

Djema, imagjinoni veten si arkitektë, projektues ose ndërtues dhe përpiquni të zgjidhni problemet. Detyra e grupit 1)

Gjeni sipërfaqen që do të zërë ndërtesa e re e shkollës nëse gjatësia e saj është 74 m dhe gjerësia e saj është 13 m.

Përgjigje: 962 sq. m. Detyra e grupit 2)

Sipërfaqja e këndit të lojërave në oborrin e shkollës tonë është 1080 metra katrorë. Kjo është për 1320 m2. m më pak se zona e sheshit të hokejit. Llogaritni sipërfaqen e sheshit të hokejit. (

Përgjigje: 2400 sq. m Detyra e grupit 3)

Një sipërfaqe prej 2500 metrash katrorë është ndarë për ndërtimin e një godine të re për shkollën tonë. Dihet se ndërtesa do të jetë 13 m e gjatë dhe 74 m e gjatë. (

Përgjigje: 1) 962 sq. m; 2) 1538 sq. m

VI. Përmbledhja e mësimit